Motion of Centre of Mass Questions in Gujarati

(A) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $(R_{cm})$ સૂત્ર $R_{cm} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે તે માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાનમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોવો જોઈએ: $\Delta R_{cm} = \frac{m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2}{m_1 + m_2} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2 = 0$.
અહીં $m_1$ દળને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ $d$ અંતર ખસેડવામાં આવે છે,તેથી $\Delta x_1 = d$ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફની દિશાને ધન લેતા).
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને સમાન સ્થાને રાખવા માટે,$m_2$ દળને વિરુદ્ધ દિશામાં $d'$ અંતર ખસેડવું પડશે,તેથી $\Delta x_2 = -d'$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $m_1(d) + m_2(-d') = 0$.
$m_1 d = m_2 d'$.
તેથી,$d' = \frac{m_1}{m_2} d$.

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $X_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન બદલાય નહીં તે માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta X_{CM} = 0$.
આનો અર્થ એ છે કે $\Delta X_{CM} = \frac{m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2}{m_1 + m_2} = 0$.
અહીં $m_1 = 10 \; kg$,$m_2 = 30 \; kg$ અને પ્રથમ બ્લોકનું સ્થાનાંતર $\Delta x_1 = +6 \; cm$ (બીજા બ્લોક તરફ) આપેલ છે.
કિંમતો મૂકતા: $0 = \frac{10 \times 6 + 30 \times \Delta x_2}{10 + 30}$.
$0 = 60 + 30 \Delta x_2$.
$30 \Delta x_2 = -60$.
$\Delta x_2 = -2 \; cm$.
ઋણ નિશાની સૂચવે છે કે $30 \; kg$ ના બ્લોકે $10 \; kg$ ના બ્લોકના સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં ખસવું જોઈએ,જેનો અર્થ છે કે તેણે $10 \; kg$ ના બ્લોક તરફ $2 \; cm$ ખસવું પડશે.

(D) દળોના પ્રારંભિક સ્થાન $x_1 = 0$ અને $x_2 = l$ છે.
$t=0$ સમયે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું પ્રારંભિક સ્થાન $(x_{CM})$ નીચે મુજબ છે:
$x_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2} = \frac{m_1(0) + m_2(l)}{m_1 + m_2} = \frac{m_2 l}{m_1 + m_2}$
દળોના પ્રારંભિક વેગ $v_1 = v_0$ અને $v_2 = 0$ છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{CM})$ અચળ રહે છે:
$v_{CM} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{m_1 v_0 + m_2(0)}{m_1 + m_2} = \frac{m_1 v_0}{m_1 + m_2}$
$t$ સમય પછી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $(x'_{CM})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$x'_{CM} = x_{CM} + v_{CM} t$
$x'_{CM} = \frac{m_2 l}{m_1 + m_2} + \left( \frac{m_1 v_0}{m_1 + m_2} \right) t$
$x'_{CM} = \frac{m_2 l}{m_1 + m_2} + \frac{m_1 v_0 t}{m_1 + m_2}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર માત્ર નીચેની તરફ લાગતા બાહ્ય ગુરુત્વાકર્ષણ બળને આધીન છે.
આંતરિક બળો,જેમ કે માણસ દ્વારા દડો ફેંકવો અથવા દડાનું દીવાલ સાથે અથડાવું,તે સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિને અસર કરતા નથી.
કણોની સિસ્ટમ માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,$F_{ext} = M_{total} \cdot a_{cm}$.
કારણ કે એકમાત્ર બાહ્ય બળ ગુરુત્વાકર્ષણ છે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $g$ નીચેની તરફ હોય છે.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સીધી ઉર્ધ્વ રેખામાં નીચેની તરફ ગતિ કરશે,જે આકૃતિ $A$ માં દર્શાવેલ છે.

(D) ફટાકડાને વિભાજિત કરતું વિસ્ફોટ બળ સિસ્ટમની આંતરિક છે,તેથી સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો માર્ગ બદલાતો નથી.
સિસ્ટમના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની અવધિ (Range) $R = \frac{u^2 \sin 2\theta}{g}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$u = 30 \, ms^{-1}$ અને સમક્ષિતિજ સાથેનો ખૂણો $\theta = 90^{\circ} - 75^{\circ} = 15^{\circ}$ છે.
તેથી,$R = \frac{30 \times 30 \times \sin(2 \times 15^{\circ})}{10} = 90 \times \sin(30^{\circ}) = 90 \times 0.5 = 45 \, m$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન ($x$-યામ) ઉગમબિંદુથી $45 \, m$ અંતરે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$X_{CM} = \frac{m_1 x_1 + m_2 x_2}{m_1 + m_2}$,જ્યાં $m_1 = m_2 = m$ અને $X_{CM} = 45 \, m$ છે:
$45 = \frac{m(27) + m(x)}{m + m}$
$45 = \frac{27 + x}{2}$
$90 = 27 + x \Rightarrow x = 63 \, m$.
જો કે,જો વિસ્ફોટ તેની દિશા ઉલટાવવા માટે પૂરતો મજબૂત હોય તો પ્રથમ ટુકડો $-27 \, m$ (ઉગમબિંદુની પાછળ) પર પણ પડી શકે છે:
$45 = \frac{m(-27) + m(x)}{2m}$
$90 = -27 + x \Rightarrow x = 117 \, m$.
આમ,બીજો ટુકડો શૂટિંગ પોઈન્ટથી $63 \, m$ અથવા $117 \, m$ અંતરે પડશે.

(C) કણોની સિસ્ટમ માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $\vec{a}_{cm}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\vec{a}_{cm} = \frac{m_1 \vec{a}_1 + m_2 \vec{a}_2}{m_1 + m_2}$
આપેલ છે કે બંને કણો સમાન છે,તેથી તેમનું દળ $m_1 = m_2 = m$ લો.
એક કણ સ્થિર છે,તેથી તેનો પ્રવેગ $\vec{a}_1 = 0$ છે.
બીજા કણનો પ્રવેગ $\vec{a}_2 = \vec{f}$ છે.
આ કિંમતો સૂત્રમાં મૂકતા:
$\vec{a}_{cm} = \frac{m(0) + m(\vec{f})}{m + m} = \frac{m\vec{f}}{2m} = \frac{\vec{f}}{2}$
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $\frac{\vec{f}}{2}$ છે.

(B) તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{cm})$ શોધવાનું સૂત્ર: $v_{cm} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}$ છે.
અહીં,તંત્ર શરૂઆતમાં સ્થિર છે,તેથી હલકા બ્લોકનો પ્રારંભિક વેગ $v_2 = 0 \, m/s$ છે.
ભારે બ્લોક $(m_1 = 5 \, kg)$ ને $v_1 = 7 \, m/s$ નો વેગ આપવામાં આવે છે.
તંત્રનું કુલ દળ $M = m_1 + m_2 = 5 \, kg + 2 \, kg = 7 \, kg$ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v_{cm} = \frac{(5 \, kg \times 7 \, m/s) + (2 \, kg \times 0 \, m/s)}{5 \, kg + 2 \, kg}$
$v_{cm} = \frac{35 \, kg \cdot m/s}{7 \, kg}$
$v_{cm} = 5 \, m/s$.

(C) સાચો વિકલ્પ $C$ છે.
જ્યારે કોઈ પદાર્થ ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ શિરોલંબ નીચે પડે છે,ત્યારે તેના પર લાગતું એકમાત્ર બાહ્ય બળ ગુરુત્વાકર્ષણ બળ છે,જે શિરોલંબ નીચેની દિશામાં કાર્ય કરે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ ની ગતિના નિયમ મુજબ,$COM$ નો પ્રવેગ $a_{COM} = \frac{F_{ext}}{M}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું ન હોવાથી $(F_{ext, x} = 0)$,$COM$ નો આડો પ્રવેગ શૂન્ય છે $(a_{COM, x} = 0)$.
પદાર્થનો પ્રારંભિક આડો વેગ શૂન્ય હોવાથી,$COM$ માત્ર શિરોલંબ દિશામાં જ ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.
તેથી,બંને ભાગોના સંયુક્ત દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું આડું સ્થાનાંતર થતું નથી.

(A) બંને કણો માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ છે,તેથી દરેક કણ $g$ જેટલો નીચેની તરફ પ્રવેગ અનુભવે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a_{cm} = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2}$
આપેલ કિંમતો $m_1 = m$,$a_1 = g$ (નીચેની તરફ),$m_2 = 2m$,અને $a_2 = g$ (નીચેની તરફ) મૂકતા:
$a_{cm} = \frac{m(g) + 2m(g)}{m + 2m}$
$a_{cm} = \frac{3mg}{3m} = g$
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ નીચેની તરફ $g$ છે.

(C) તંત્ર બાળક અને ટ્રોલીનું બનેલું છે.
ટ્રેક લીસો હોવાથી,તંત્ર (બાળક + ટ્રોલી) પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું નથી.
કણોના તંત્ર માટે ન્યૂટનના બીજા નિયમ મુજબ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{com} = \frac{F_{ext}}{M_{total}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં $F_{ext} = 0$ હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{com} = 0$ થાય છે.
આનો અર્થ એ છે કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ અચળ રહે છે.
શરૂઆતમાં,ટ્રોલી $v$ ઝડપે ગતિ કરે છે અને બાળક તેના પર ઉભું છે,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ $v$ છે.
તેથી,જ્યારે બાળક દોડવાનું શરૂ કરે છે ત્યારે પણ,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સમાન ઝડપ $v$ થી ગતિ કરવાનું ચાલુ રાખશે.

(B) તંત્ર માણસ અને ફુગ્ગાનું બનેલું છે. શિરોલંબ દિશામાં તંત્ર પર કોઈ ચોખ્ખું બાહ્ય બળ લાગતું નથી (ધારો કે ફુગ્ગો હવામાં સંતુલનમાં છે).
શરૂઆતમાં,તંત્ર સ્થિર છે,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ શૂન્ય છે.
ચોખ્ખું બાહ્ય બળ શૂન્ય હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ શૂન્ય છે અને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન અચળ રહે છે.
ધારો કે $y_m$ એ માણસનું સ્થાન છે અને $y_b$ એ ફુગ્ગાનું સ્થાન છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $Y_{cm}$ એ $Y_{cm} = \frac{M y_b + m y_m}{M + m}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
જેમ માણસ ઉપર ચઢે છે,તેમ $y_m$ વધે છે. $Y_{cm}$ ને અચળ રાખવા માટે,$y_b$ ઘટવું જોઈએ.
તેથી,ફુગ્ગો નીચે તરફ ગતિ કરે છે.

(A) કણોના તંત્ર માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $(a_{cm})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$a_{cm} = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2}$
અહીં,બંને દડા ગુરુત્વાકર્ષણ હેઠળ મુક્તપણે ગતિ કરે છે,તેથી દરેક દડાનો પ્રવેગ $a_1 = -g$ અને $a_2 = -g$ છે (નીચેની દિશાને ઋણ લેતા).
કિંમતો મૂકતા:
$a_{cm} = \frac{m(-g) + m(-g)}{m + m}$
$a_{cm} = \frac{-2mg}{2m}$
$a_{cm} = -g$
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના પ્રવેગનું મૂલ્ય $g$ છે જે નીચેની દિશામાં હોય છે.

(D) કણોના તંત્ર માટે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{cm})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
આપેલ છે:
પ્રથમ બ્લોકનું દળ $(m_1)$ = $5 \,kg$
પ્રથમ બ્લોકનો વેગ $(v_1)$ = $7 \,m/s$
બીજા બ્લોકનું દળ $(m_2)$ = $2 \,kg$
બીજા બ્લોકનો વેગ $(v_2)$ = $0 \,m/s$ (શરૂઆતમાં સ્થિર)
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$v_{cm} = \frac{5 \times 7 + 2 \times 0}{5 + 2}$
$v_{cm} = \frac{35 + 0}{7}$
$v_{cm} = \frac{35}{7} = 5 \,m/s$
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $5 \,m/s$ છે.

(D) વિધાન $(A)$ ખોટું છે કારણ કે તે જણાવે છે કે ટુકડાઓ પોતે મૂળ માર્ગને અનુસરે છે. વાસ્તવમાં,માત્ર ટુકડાઓનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(C.O.M.)$ મૂળ પરવલયાકાર માર્ગને અનુસરવાનું ચાલુ રાખે છે.
કારણ $(R)$ સાચું છે કારણ કે વિસ્ફોટ આંતરિક રાસાયણિક બળોને કારણે થાય છે,અને વિસ્ફોટ દરમિયાન બાહ્ય બળ (ગુરુત્વાકર્ષણ) અપરિવર્તિત રહે છે.
આમ,વિધાન $(A)$ ખોટું છે પરંતુ કારણ $(R)$ સાચું છે.

(D) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાનાંતર નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\Delta X_{\text{COM}} = \frac{m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2}{m_1 + m_2}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તેના મૂળ સ્થાને રહેવું જોઈએ,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું કુલ સ્થાનાંતર શૂન્ય છે,એટલે કે $\Delta X_{\text{COM}} = 0$.
ધારો કે $m_1$ નું સ્થાનાંતર $\Delta x_1 = +2 \text{ cm}$ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ) છે અને $m_2$ નું સ્થાનાંતર $\Delta x_2 = -x$ (દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ) છે.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$0 = \frac{3 \times 2 + 2 \times (-x)}{3 + 2}$
$0 = \frac{6 - 2x}{5}$
$6 - 2x = 0$
$2x = 6$
$x = 3 \text{ cm}$.
તેથી,$m_2$ દળના કણને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ $3 \text{ cm}$ અંતરે ખસેડવો જોઈએ.

(A) તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{a}_{\text{com}} = \frac{m_1 \vec{a}_1 + m_2 \vec{a}_2}{m_1 + m_2}$.
કણો એકબીજાની નજીક આવી રહ્યા હોવાથી,તેમના પ્રવેગ સદિશો વિરુદ્ધ દિશામાં છે. જો પ્રથમ કણની દિશા ધન લઈએ,તો $\vec{a}_1 = 2 \ m/s^2$ અને $\vec{a}_2 = -4 \ m/s^2$ થશે.
કિંમતો મૂકતા: $\vec{a}_{\text{com}} = \frac{(3 \ kg)(2 \ m/s^2) + (6 \ kg)(-4 \ m/s^2)}{3 \ kg + 6 \ kg}$.
$\vec{a}_{\text{com}} = \frac{6 - 24}{9} = \frac{-18}{9} = -2 \ m/s^2$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના પ્રવેગનું મૂલ્ય $|\vec{a}_{\text{com}}| = 2 \ m/s^2$ છે.

(C) ધારો કે માણસનું દળ $m = 100 \ kg$ અને હોડીનું દળ $M = 500 \ kg$ છે. હોડીની લંબાઈ $L = 9 \ m$ છે.
તંત્ર (માણસ + હોડી) પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
ધારો કે હોડીનું સ્થાનાંતર $x$ છે. માણસ હોડીની સાપેક્ષે $L$ અંતર કાપે છે,તેથી પાણીની સાપેક્ષે તેનું સ્થાનાંતર વિરુદ્ધ દિશામાં $(L - x)$ થશે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા: $m(L - x) = Mx$.
$100(9 - x) = 500x$.
$900 - 100x = 500x$.
$600x = 900$.
$x = \frac{900}{600} = 1.5 \ m$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને સમાન સ્થાને રાખવા માટે હોડી માણસની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં ગતિ કરશે.

(A) તંત્રનો પ્રવેગ $a = \left(\frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2}\right)g = \left(\frac{2 - 1}{2 + 1}\right) \times 10 = \frac{10}{3} \ m/s^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે ઉપરની દિશા ધન છે. $1 \ kg$ દળનો પ્રવેગ $a_1 = +\frac{10}{3} \ m/s^2$ છે અને $2 \ kg$ દળનો પ્રવેગ $a_2 = -\frac{10}{3} \ m/s^2$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{cm} = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2}$ છે.
કિંમતો મૂકતા,$a_{cm} = \frac{1(\frac{10}{3}) + 2(-\frac{10}{3})}{1 + 2} = \frac{\frac{10}{3} - \frac{20}{3}}{3} = \frac{-10/3}{3} = -\frac{10}{9} \ m/s^2$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના પ્રવેગનું મૂલ્ય $|a_{cm}| = \frac{10}{9} \ m/s^2$ છે.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરીને $t = 2 \ s$ માં દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર દ્વારા કપાયેલું અંતર $S_{cm} = \frac{1}{2} |a_{cm}| t^2$ છે.
$S_{cm} = \frac{1}{2} \times \frac{10}{9} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{10}{9} \times 4 = \frac{20}{9} \ m$.

(D) તંત્ર (માણસ + પાટિયું) પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
ધારો કે પાટિયું ડાબી બાજુ $x$ જેટલું અંતર કાપે છે. માણસ જમીનની સાપેક્ષમાં જમણી બાજુ $(L - x)$ જેટલું અંતર કાપે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંરક્ષણના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા: $m_1 \Delta x_1 + m_2 \Delta x_2 = 0$.
ધારો કે $m_1 = M$ (માણસ) અને $m_2 = 3M$ (પાટિયું).
$M(L - x) - 3M(x) = 0$
$L - x - 3x = 0$
$L = 4x$
$x = \frac{L}{4}$ (પાટિયા દ્વારા કાપેલું અંતર).
માણસ દ્વારા જમીનની સાપેક્ષમાં કાપેલું અંતર $(L - x) = L - \frac{L}{4} = \frac{3L}{4}$ થાય.

(C) ધારો કે $x_1$ અને $x_2$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ થી કણો $m_1$ અને $m_2$ ના પ્રારંભિક અંતરો છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $C$ પર જળવાઈ રહે તે માટેની શરત $m_1 x_1 = m_2 x_2$ ... $(i)$ છે.
જ્યારે કણ $m_1$ ને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ $d$ અંતરે ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે $C$ થી તેનું નવું અંતર $(x_1 - d)$ થાય છે.
ધારો કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અપરિવર્તિત રાખવા માટે બીજા કણ $m_2$ ને $d'$ અંતરે ખસેડવામાં આવે છે. $C$ થી તેનું નવું અંતર $(x_2 - d')$ થશે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અપરિવર્તિત રહે તે માટે નવી શરત $m_1(x_1 - d) = m_2(x_2 - d')$ ... (ii) છે.
સમીકરણ (ii) નું વિસ્તરણ કરતા: $m_1 x_1 - m_1 d = m_2 x_2 - m_2 d'$
સમીકરણ $(i)$ મુજબ $m_1 x_1 = m_2 x_2$ હોવાથી,આપણે આ કિંમત વિસ્તૃત સમીકરણમાં મૂકી શકીએ:
$m_2 x_2 - m_1 d = m_2 x_2 - m_2 d'$
$-m_1 d = -m_2 d'$
$d' = \frac{m_1}{m_2} d$
અહીં સ્થાનાંતર $d'$ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફની દિશામાં ધન હોવાથી,બીજા કણને પણ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ ખસેડવો પડશે.

(D) ધારો કે $x_{1}$ અને $x_{2}$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી $m_{1}$ અને $m_{2}$ દળના અંતર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યા મુજબ,$m_{1}x_{1} = m_{2}x_{2}$.
જ્યારે પ્રથમ કણને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ $d$ અંતરે ખસેડવામાં આવે છે,ત્યારે તેનું નવું અંતર $(x_{1} - d)$ થાય છે.
ધારો કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને અપરિવર્તિત રાખવા માટે બીજા કણને $D$ અંતરે ખસેડવામાં આવે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સમાન સ્થિતિમાં રહે તે માટે,નવા અંતરોએ $m_{1}(x_{1} - d) = m_{2}(x_{2} - D)$ નું પાલન કરવું આવશ્યક છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $m_{1}x_{1} - m_{1}d = m_{2}x_{2} - m_{2}D$ મળે છે.
ચૂંક $m_{1}x_{1} = m_{2}x_{2}$ હોવાથી,સમીકરણ $-m_{1}d = -m_{2}D$ માં સરળ બને છે.
આમ,$D = \frac{m_{1}}{m_{2}} d$.
પ્રથમ કણ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ ખસ્યો હોવાથી,સંતુલન જાળવવા માટે બીજા કણને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી દૂર ખસવું પડશે.

(D) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $V_{cm} = \frac{m_1v_1 + m_2v_2}{m_1 + m_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
કણો શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,તંત્રનું પ્રારંભિક વેગમાન $P_{initial} = 0$ છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું નથી (માત્ર આંતરિક પરસ્પર આકર્ષણ બળ લાગે છે),તેથી ચોખ્ખું બાહ્ય બળ $F_{ext} = 0$ છે.
રેખીય વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,તંત્રનું કુલ વેગમાન અચળ રહે છે.
તેથી,$P_{final} = P_{initial} = 0$.
ચૂક,$P_{final} = M_{total} \times V_{cm}$,અને કુલ દળ $M_{total}$ શૂન્ય નથી,તેથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $V_{cm}$ હંમેશા $0$ રહેશે.

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{cm}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $a_{cm} = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2}$.
જ્યારે બંને દડા હવામાં હોય,ત્યારે તેઓ માત્ર ગુરુત્વાકર્ષણની અસર હેઠળ હોય છે,તેથી $a_1 = -g$ અને $a_2 = -g$.
આ કિંમતો મૂકતા: $a_{cm} = \frac{m_1(-g) + m_2(-g)}{m_1 + m_2}$.
$a_{cm} = -g \frac{(m_1 + m_2)}{(m_1 + m_2)} = -g$.
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના પ્રવેગનું મૂલ્ય $g$ જેટલું હોય છે,જે ગુરુત્વપ્રવેગ છે.

(D) સિસ્ટમનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર બદલાય નહીં તે માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું કુલ સ્થાનાંતર શૂન્ય હોવું જોઈએ.
ધારો કે દળ $m_A = 10 \ kg$,$m_B = 25 \ kg$,અને $m_C = 15 \ kg$ છે.
ધારો કે સ્થાનાંતર $\Delta x_A$,$\Delta x_B$,અને $\Delta x_C$ છે.
જમણી તરફની દિશાને ધન લેતા:
બ્લોક $A$ ને $B$ તરફ (જમણી બાજુ) $2 \ m$ ખસેડવામાં આવે છે,તેથી $\Delta x_A = +2 \ m$.
બ્લોક $C$ ને $B$ તરફ (ડાબી બાજુ) $3 \ m$ ખસેડવામાં આવે છે,તેથી $\Delta x_C = -3 \ m$.
ધારો કે બ્લોક $B$ ને $\Delta x_B$ જેટલું ખસેડવામાં આવે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર બદલાય નહીં તે માટેની શરત:
$m_A \Delta x_A + m_B \Delta x_B + m_C \Delta x_C = 0$
કિંમતો મૂકતા:
$(10 \ kg)(2 \ m) + (25 \ kg)(\Delta x_B) + (15 \ kg)(-3 \ m) = 0$
$20 + 25 \Delta x_B - 45 = 0$
$25 \Delta x_B - 25 = 0$
$25 \Delta x_B = 25$
$\Delta x_B = 1 \ m$
પરિણામ ધન હોવાથી,બ્લોક $B$ ને $1 \ m$ ધન દિશામાં ખસેડવો જોઈએ,જે બ્લોક $C$ તરફ છે.

(B) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે: $\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$.
આપેલ છે: $m_1 = 2 \,kg$,$\vec{v}_1 = 20 \hat{j} \,m \,s^{-1}$ (ઉત્તર દિશામાં).
$m_2 = 3 \,kg$,$\vec{v}_2 = 10 \hat{i} \,m \,s^{-1}$ (પૂર્વ દિશામાં).
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{v}_{cm} = \frac{2(20 \hat{j}) + 3(10 \hat{i})}{2 + 3} = \frac{40 \hat{j} + 30 \hat{i}}{5} = 6 \hat{i} + 8 \hat{j} \,m \,s^{-1}$.
વેગનું મૂલ્ય $|\vec{v}_{cm}| = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 \,m \,s^{-1}$ થાય.

(A) તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિ તંત્ર પર લાગતા પરિણામી બાહ્ય બળ પર આધાર રાખે છે.
આ પ્રશ્નમાં,બે પદાર્થો તેમના પરસ્પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળને કારણે એકબીજા તરફ ગતિ કરે છે,જે આંતરિક બળ છે.
તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય બળ લાગતું ન હોવાથી,પરિણામી બાહ્ય બળ $F_{ext} = 0$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ગુણધર્મ મુજબ,જો તંત્ર પરનું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ શૂન્ય $(a_{cm} = 0)$ હોય છે.
પદાર્થો શરૂઆતમાં સ્થિર હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ $v_{cm, initial} = 0$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ શૂન્ય હોવાથી,તેનો વેગ સમય સાથે અચળ રહે છે.
તેથી,કોઈપણ ક્ષણે,જ્યારે પ્રથમ પદાર્થ $v_0$ વેગ પ્રાપ્ત કરે ત્યારે પણ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $0$ જ રહેશે.

(B) ધારો કે બ્લોકનો પ્રવેગ $a$ છે. ઢાળ પર લાગતા બળો $Mg \sin 60^{\circ}$ અને $Mg \sin 30^{\circ}$ છે.
ગતિનું સમીકરણ $Mg \sin 60^{\circ} - Mg \sin 30^{\circ} = (M+M)a$ છે.
$a = \frac{g(\sin 60^{\circ} - \sin 30^{\circ})}{2} = \frac{10(\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2})}{2} = \frac{5(\sqrt{3}-1)}{2} \text{ ms}^{-2}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $\vec{a}_{cm} = \frac{M\vec{a}_1 + M\vec{a}_2}{2M} = \frac{\vec{a}_1 + \vec{a}_2}{2}$ છે.
બે ઢાળ વચ્ચેનો ખૂણો $90^{\circ}$ હોવાથી,તેનું મૂલ્ય $a_{cm} = \frac{\sqrt{a^2 + a^2}}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$ થાય.
$a = \frac{5(\sqrt{3}-1)}{2}$ કિંમત મૂકતા,$a_{cm} = \frac{5(\sqrt{3}-1)}{2\sqrt{2}}$ મળે.

(B) આપેલ છે: $m_1 = 1 \,g$,$m_2 = 2 \,g$.
કણો એકબીજા તરફ ગતિ કરતા હોવાથી,આપણે વિરુદ્ધ દિશાઓ લઈશું। ધારો કે $v_1 = 10 \,ms^{-1}$ અને $v_2 = -20 \,ms^{-1}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $V_{cm}$ શોધવાનું સૂત્ર:
$V_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$V_{cm} = \frac{(1 \times 10) + (2 \times -20)}{1 + 2}$
$V_{cm} = \frac{10 - 40}{3} = \frac{-30}{3} = -10 \,ms^{-1}$.
વેગનું મૂલ્ય $10 \,ms^{-1}$ છે.

(A) ધારો કે પ્રથમ કણનો વેગ $\vec{v}_1 = 10 \hat{i} \text{ ms}^{-1}$ છે અને બીજા કણનો વેગ $\vec{v}_2 = 5 \hat{j} \text{ ms}^{-1}$ છે.
દળ $m_1 = 10 \text{ g}$ અને $m_2 = 15 \text{ g}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\vec{v}_{cm}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{10(10 \hat{i}) + 15(5 \hat{j})}{10 + 15} = \frac{100 \hat{i} + 75 \hat{j}}{25} = 4 \hat{i} + 3 \hat{j} \text{ ms}^{-1}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના વેગનું મૂલ્ય:
$|\vec{v}_{cm}| = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ ms}^{-1}$.

(C) ધારો કે ટાવરની ટોચ એ $xy$-સમતલમાં ઉગમબિંદુ $(0, 25)$ છે. દળ $m_1 = 12 \,kg$ અને $m_2 = 6 \,kg$ છે.
પ્રારંભિક વેગ $\vec{v}_1 = 15 \hat{j} \,ms^{-1}$ અને $\vec{v}_2 = 20 \hat{i} \,ms^{-1}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના વેગનો શિરોલંબ ઘટક $v_{cm,y} = \frac{m_1 v_{1y} + m_2 v_{2y}}{m_1 + m_2} = \frac{12(15) + 6(0)}{12 + 6} = \frac{180}{18} = 10 \,ms^{-1}$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો શિરોલંબ પ્રવેગ $a_{cm,y} = -g = -10 \,ms^{-2}$ છે.
ટાવરની ટોચથી દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ઊંચાઈ $y_{cm} = v_{cm,y} t - \frac{1}{2} g t^2$ છે.
ટોચથી મહત્તમ ઊંચાઈ ત્યારે મળે જ્યારે $v_{cm,y}(t) = 0$,એટલે કે $10 - 10t = 0 \implies t = 1 \,s$.
ટોચથી મહત્તમ સ્થાનાંતર $y_{max} = 10(1) - \frac{1}{2}(10)(1)^2 = 10 - 5 = 5 \,m$ છે.
જમીનથી કુલ ઊંચાઈ $H = 25 + 5 = 30 \,m$ છે.

(D) $m$ દળ અને $M$ દળના વેજ (wedge) થી બનેલા તંત્રનો વિચાર કરો.
સમક્ષિતિજ સમતલ લીસું હોવાથી,તંત્ર પર કોઈ બાહ્ય સમક્ષિતિજ બળ લાગતું નથી.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના ગુણધર્મ મુજબ,જો કોઈ ચોક્કસ દિશામાં તંત્ર પરનું કુલ બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો તે દિશામાં દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ શૂન્ય હોય છે.
તંત્રનો પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સમક્ષિતિજ દિશામાં ગતિ કરશે નહીં.
જોકે,શિરોલંબ દિશામાં તંત્ર પર ગુરુત્વાકર્ષણ બળ લાગે છે,જે બાહ્ય બળ છે.
જેમ $m$ દળનો પદાર્થ ઢળતા સમતલ પર નીચે સરકે છે,તેમ તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું શિરોલંબ સ્થાન બદલાય છે (તે નીચે તરફ ગતિ કરે છે).
તેથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર શિરોલંબ દિશામાં નીચે તરફ ગતિ કરશે અને સમક્ષિતિજ દિશામાં અપરિવર્તિત રહેશે.

(D) ધારો કે બ્લોક્સનો પ્રવેગ $a$ છે. $60^{\circ}$ ના ઢાળ પરના બ્લોક માટે ઢાળની દિશામાં લાગતું બળ $mg \sin 60^{\circ} - T = ma$ અને $30^{\circ}$ ના ઢાળ પરના બ્લોક માટે $T - mg \sin 30^{\circ} = ma$ છે.
આ બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $mg(\sin 60^{\circ} - \sin 30^{\circ}) = 2ma$.
$a = \frac{g}{2} (\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2}) = \frac{g(\sqrt{3}-1)}{4}$.
બંને બ્લોક્સ માટે પ્રવેગ સદિશો $\vec{a}_1 = a(\cos 60^{\circ} \hat{i} - \sin 60^{\circ} \hat{j})$ અને $\vec{a}_2 = a(-\cos 30^{\circ} \hat{i} - \sin 30^{\circ} \hat{j})$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $\vec{a}_{CM} = \frac{m\vec{a}_1 + m\vec{a}_2}{2m} = \frac{\vec{a}_1 + \vec{a}_2}{2}$ છે.
$\vec{a}_{CM} = \frac{a}{2} [(\cos 60^{\circ} - \cos 30^{\circ}) \hat{i} - (\sin 60^{\circ} + \sin 30^{\circ}) \hat{j}]$.
$a = \frac{g(\sqrt{3}-1)}{4}$,$\cos 60^{\circ} = 1/2$,$\cos 30^{\circ} = \sqrt{3}/2$,$\sin 60^{\circ} = \sqrt{3}/2$,$\sin 30^{\circ} = 1/2$ કિંમતો મૂકતા:
$|\vec{a}_{CM}| = \frac{a}{2} \sqrt{(\frac{1-\sqrt{3}}{2})^2 + (\frac{\sqrt{3}+1}{2})^2} = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{1+3-2\sqrt{3} + 3+1+2\sqrt{3}}{4}} = \frac{a}{2} \sqrt{\frac{8}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$.
$|\vec{a}_{CM}| = \frac{g(\sqrt{3}-1)}{4\sqrt{2}}$.
આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(A) ધારો કે કણોના દળ $m_1 = m$ અને $m_2 = 2m$ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાનાંતર $\Delta Y_{cm}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$\Delta Y_{cm} = \frac{m_1 \Delta y_1 + m_2 \Delta y_2}{m_1 + m_2}$
અહીં $\Delta Y_{cm} = 2 \ cm$,$\Delta y_1 = 9 \ cm$,$m_1 = m$,અને $m_2 = 2m$ આપેલ છે,આ કિંમતોને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2 = \frac{m(9) + 2m(\Delta y_2)}{m + 2m}$
$2 = \frac{9m + 2m(\Delta y_2)}{3m}$
$2 = \frac{9 + 2\Delta y_2}{3}$
$6 = 9 + 2\Delta y_2$
$2\Delta y_2 = 6 - 9$
$2\Delta y_2 = -3$
$\Delta y_2 = -1.5 \ cm$
ઋણ નિશાની દર્શાવે છે કે ભારે કણને $1.5 \ cm$ નીચે ખસેડવો જોઈએ.

(A) દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ નો વેગ $V_{CM} = \frac{m_A v_A + m_B v_B}{m_A + m_B}$ સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે.
શરૂઆતમાં બંને કણો સ્થિર હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ $V_{CM, initial} = 0$ છે.
વેગમાન સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,જો તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય હોય,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ અચળ રહે છે.
આ તંત્રમાં,કણો પરસ્પર આકર્ષણ બળ હેઠળ ગતિ કરે છે,જે આંતરિક બળો છે.
તેથી,તંત્ર પર લાગતું પરિણામી બાહ્ય બળ શૂન્ય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રારંભિક વેગ શૂન્ય હોવાથી,તે દરેક સમયે શૂન્ય જ રહેશે,ભલે કણોની વ્યક્તિગત ઝડપ ગમે તે હોય.

(A) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{CM})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$v_{CM} = \frac{m_1 \overrightarrow{v}_1 + m_2 \overrightarrow{v}_2}{m_1 + m_2} = \frac{\overrightarrow{v}_1 + \overrightarrow{v}_2}{2}$ (કારણ કે $m_1 = m_2 = m$).
$v_{CM} = \frac{4 \hat{i} + 4 \hat{j}}{2} = (2 \hat{i} + 2 \hat{j}) \text{ ms}^{-1}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $(a_{CM})$ નીચે મુજબ મળે છે:
$a_{CM} = \frac{m_1 \overrightarrow{a}_1 + m_2 \overrightarrow{a}_2}{m_1 + m_2} = \frac{\overrightarrow{a}_1 + 0}{2} = \frac{5 \hat{i} + 5 \hat{j}}{2} = (2.5 \hat{i} + 2.5 \hat{j}) \text{ ms}^{-2}$.
અહીં પ્રવેગ સદિશ $\overrightarrow{a}_{CM}$ અચળ હોવાથી,દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અચળ પ્રવેગથી ગતિ કરે છે.
પ્રારંભિક વેગ $\overrightarrow{v}_{CM}$ અને પ્રવેગ $\overrightarrow{a}_{CM}$ એકબીજાને સમાંતર હોવાથી (બંને $\hat{i} + \hat{j}$ ની દિશામાં છે),દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો માર્ગ સીધી રેખા હશે.

(A) સિસ્ટમનો પ્રવેગ $a$ નીચે મુજબ મળે છે:
$a = \left( \frac{m_2 - m_1}{m_1 + m_2} \right) g = \left( \frac{2m - m}{2m + m} \right) \times 10 = \frac{10}{3} \ ms^{-2}$
$t = 5.4 \ s$ સમય પછી,દરેક બ્લોકની ઝડપ:
$v = at = \frac{10}{3} \times 5.4 = 18 \ ms^{-1}$
$m$ દળનો બ્લોક $v_1 = 18 \ ms^{-1}$ ના વેગથી ઉપર તરફ ગતિ કરે છે (ધારો કે આ ધન દિશા છે),અને $2m$ દળનો બ્લોક $v_2 = -18 \ ms^{-1}$ ના વેગથી નીચે તરફ ગતિ કરે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ:
$v_{cm} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2} = \frac{m(18) + 2m(-18)}{m + 2m} = \frac{18m - 36m}{3m} = \frac{-18m}{3m} = -6 \ ms^{-1}$
ઝડપ એ વેગનું મૂલ્ય છે,જે $6 \ ms^{-1}$ થાય છે.

(D) ધારો કે $M = 90 \ kg$ એ પાટિયાનું દળ છે અને $m = 20 \ kg$ એ છોકરીનું દળ છે.
પાટિયાની લંબાઈ $l = 3.3 \ m$ છે.
તંત્ર (પાટિયું + છોકરી) પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે.
ધારો કે પાટિયાનું સ્થાનાંતર છોકરીની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં $\Delta x$ છે.
પાણીની સાપેક્ષમાં છોકરીનું સ્થાનાંતર $(l - \Delta x)$ છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સિદ્ધાંતનો ઉપયોગ કરતા: $M \Delta x = m(l - \Delta x)$.
$90 \Delta x = 20(3.3 - \Delta x)$.
$90 \Delta x = 66 - 20 \Delta x$.
$110 \Delta x = 66$.
$\Delta x = \frac{66}{110} = 0.6 \ m$.
સેન્ટિમીટરમાં રૂપાંતર કરતા: $0.6 \ m = 60 \ cm$.

(B) આપેલ દળ $m_1 = m$, $m_2 = 2m$, અને $m_3 = 3m$ છે.
વેગની દિશાઓ નીચે મુજબ છે:
કણ $A$ ઉત્તર દિશામાં ગતિ કરે છે: $\vec{v}_1 = 6 \hat{j} \,ms^{-1}$
કણ $B$ દક્ષિણ દિશામાં ગતિ કરે છે: $\vec{v}_2 = -12 \hat{j} \,ms^{-1}$
કણ $C$ પૂર્વ દિશામાં ગતિ કરે છે: $\vec{v}_3 = 8 \hat{i} \,ms^{-1}$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\vec{v}_{cm}$ નીચે મુજબ મળે છે:
$\vec{v}_{cm} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 + m_3 \vec{v}_3}{m_1 + m_2 + m_3}$
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{v}_{cm} = \frac{m(6 \hat{j}) + 2m(-12 \hat{j}) + 3m(8 \hat{i})}{m + 2m + 3m}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{6m \hat{j} - 24m \hat{j} + 24m \hat{i}}{6m}$
$\vec{v}_{cm} = \frac{24m \hat{i} - 18m \hat{j}}{6m} = 4 \hat{i} - 3 \hat{j} \,ms^{-1}$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના વેગનું મૂલ્ય:
$v_{cm} = \sqrt{(4)^2 + (-3)^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \,ms^{-1}$

(D) ધારો કે $x_1$ અને $x_2$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી $m_1$ અને $m_2$ ના પ્રારંભિક અંતર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યા મુજબ,$m_1 x_1 = m_2 x_2$.
જો $m_1$ ને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ $d$ અંતર સુધી ખસેડવામાં આવે,તો દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી તેનું નવું અંતર $(x_1 - d)$ થાય છે.
ધારો કે બીજા કણ $m_2$ ને દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને તે જ સ્થાને રાખવા માટે $s$ અંતર સુધી ખસેડવામાં આવે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી તેનું નવું અંતર $(x_2 - s)$ થાય છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તે જ સ્થાને રહે તે માટે,નવી સ્થિતિ $m_1(x_1 - d) = m_2(x_2 - s)$ નું પાલન કરવું જોઈએ.
આનું વિસ્તરણ કરતા,આપણને $m_1 x_1 - m_1 d = m_2 x_2 - m_2 s$ મળે છે.
ચૂકી $m_1 x_1 = m_2 x_2$,તેથી બંને બાજુથી આ પદો બાદ કરતા $-m_1 d = -m_2 s$ મળે છે.
$s$ માટે ઉકેલતા,આપણને $s = \frac{m_1}{m_2} d$ મળે છે.

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું સ્થાન $R_{cm} = \frac{m_1 r_1 + m_2 r_2}{m_1 + m_2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સમાન સ્થાને રહે તે માટે,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સ્થાનમાં થતો ફેરફાર શૂન્ય હોવો જોઈએ,એટલે કે $\Delta R_{cm} = 0$.
તેથી,$m_1 \Delta r_1 + m_2 \Delta r_2 = 0$.
અહીં,$m_1$ દળ ધરાવતા કણને દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફ $d$ અંતરે ખસેડવામાં આવે છે,તેથી $\Delta r_1 = -d$ (ધારી લઈએ કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર તરફની દિશા ઋણ છે).
આ કિંમત સમીકરણમાં મૂકતા: $m_1 (-d) + m_2 \Delta r_2 = 0$.
$m_2 \Delta r_2 = m_1 d$.
$\Delta r_2 = \left(\frac{m_1}{m_2}\right) d$.
આમ,દ્રવ્યમાન કેન્દ્રને મૂળ સ્થાને જાળવી રાખવા માટે $m_2$ દળ ધરાવતા કણને $\left(\frac{m_1}{m_2}\right) d$ જેટલા અંતરે ખસેડવો જોઈએ.

(C) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $(v_{CM})$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$v_{CM} = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$v_{CM} = \frac{4 \times 5 \hat{i} + 2 \times 10 \hat{i}}{4 + 2}$
$v_{CM} = \frac{20 \hat{i} + 20 \hat{i}}{6} = \frac{40 \hat{i}}{6} = \frac{20}{3} \hat{i} \text{ m/s}$
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની ગતિઊર્જાની ગણતરી નીચે મુજબ થાય છે:
$K_{CM} = \frac{1}{2} (m_1 + m_2) v_{CM}^2$
$K_{CM} = \frac{1}{2} \times (4 + 2) \times \left( \frac{20}{3} \right)^2$
$K_{CM} = \frac{1}{2} \times 6 \times \frac{400}{9}$
$K_{CM} = 3 \times \frac{400}{9} = \frac{400}{3} \text{ J}$

(B) ધારો કે દળ $m_1 = 2 \,kg$ અને $m_2 = 1 \,kg$ છે. તંત્રનો પ્રવેગ $a = \frac{(m_1 - m_2)g}{m_1 + m_2} = \frac{(2 - 1)g}{2 + 1} = \frac{g}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$m_1$ માટે નીચેની દિશાને ધન અને $m_2$ માટે ઉપરની દિશાને ધન લેતા,પ્રવેગ $a_1 = \frac{g}{3}$ (નીચેની તરફ) અને $a_2 = -\frac{g}{3}$ (ઉપરની તરફ) મળે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો પ્રવેગ $a_{cm} = \frac{m_1 a_1 + m_2 a_2}{m_1 + m_2} = \frac{2(g/3) + 1(-g/3)}{2 + 1} = \frac{g/3}{3} = \frac{g}{9}$ છે.
સ્થિર સ્થિતિમાંથી શરૂ કરીને $t = 2 \,s$ માં દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર દ્વારા કાપેલું અંતર $S = \frac{1}{2} a_{cm} t^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $S = \frac{1}{2} \times \frac{10}{9} \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times \frac{10}{9} \times 4 = \frac{20}{9} \approx 2.22 \,m$.

(B) હોડીનું દળ,$M = 750 \ kg$. માણસનું દળ,$m = 80 \ kg$. હોડીની લંબાઈ,$L = 10 \ m$. તંત્ર (હોડી + માણસ) પર કોઈ બાહ્ય આડું બળ લાગતું ન હોવાથી,તંત્રનું દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર સ્થિર રહે છે. ધારો કે હોડી માણસની ગતિની વિરુદ્ધ દિશામાં $x$ જેટલું સ્થાનાંતર કરે છે. માણસ હોડીની સાપેક્ષે $L$ અંતર કાપે છે,તેથી પાણીની સાપેક્ષે તેનું સ્થાનાંતર $(L - x)$ થાય. હોડીના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનું પાણીની સાપેક્ષે સ્થાનાંતર વિરુદ્ધ દિશામાં $x$ થાય છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રના સંરક્ષણના સિદ્ધાંત મુજબ: $m \Delta x_m + M \Delta x_B = 0$. અહીં,$\Delta x_m = (L - x)$ અને $\Delta x_B = -x$. કિંમતો મૂકતા: $80(10 - x) + 750(-x) = 0$. $800 - 80x - 750x = 0$. $830x = 800$. $x = \frac{800}{830} \approx 0.96 \ m$. આમ,હોડી માણસના સ્થાનાંતરની વિરુદ્ધ દિશામાં $0.96 \ m$ જેટલું સ્થાનાંતર કરશે.

(C) કોઈપણ બાહ્ય આડા બળની ગેરહાજરીમાં, તંત્રના દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(COM)$ નું સ્થાન બદલાતું નથી.
ધારો કે કિનારો એ ઉગમબિંદુ $(x = 0)$ છે.
પાટિયાનું દળ $M = 10 \,kg$ છે અને તેની લંબાઈ $L = 10 \,m$ છે. તેનું $COM$ $x_p = 5 \,m$ પર છે.
છોકરાનું દળ $m = 30 \,kg$ છે. શરૂઆતમાં, તે દૂરના છેડે છે, તેથી તેનું સ્થાન $x_b = 10 \,m$ છે.
તંત્રના $COM$ નું પ્રારંભિક સ્થાન:
$X_{COM} = \frac{M x_p + m x_b}{M + m} = \frac{10 \times 5 + 30 \times 10}{10 + 30} = \frac{50 + 300}{40} = \frac{350}{40} = 8.75 \,m$.
જ્યારે છોકરો નજીકના છેડા તરફ ચાલે છે, ત્યારે પાટિયું કિનારાથી $d$ અંતર દૂર ખસે છે. પાટિયાના $COM$ નું નવું સ્થાન $x_p' = 5 + d$ છે, અને છોકરાનું નવું સ્થાન $x_b' = d$ છે.
કારણ કે $COM$ સમાન સ્થાન પર રહે છે:
$X_{COM} = \frac{M x_p' + m x_b'}{M + m}$
$8.75 = \frac{10(5 + d) + 30(d)}{40}$
$8.75 \times 40 = 50 + 10d + 30d$
$350 = 50 + 40d$
$300 = 40d$
$d = \frac{300}{40} = 7.5 \,m$.

(A) દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$v_{CM} = \frac{m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2}{m_1 + m_2}$
આપેલ છે: $m_1 = 4 \,kg$,$m_2 = 5 \,kg$. વેગ $\vec{v}_1$ પૂર્વ દિશામાં (x-અક્ષ) અને $\vec{v}_2$ ઉત્તર દિશામાં (y-અક્ષ) છે.
તેથી,$\vec{v}_1 = 5 \hat{i} \,m/s$ અને $\vec{v}_2 = 3 \hat{j} \,m/s$.
કિંમતો મૂકતા:
$\vec{v}_{CM} = \frac{4(5 \hat{i}) + 5(3 \hat{j})}{4 + 5}$
$\vec{v}_{CM} = \frac{20 \hat{i} + 15 \hat{j}}{9} = \frac{20}{9} \hat{i} + \frac{15}{9} \hat{j} \,m/s$
વેગનું મૂલ્ય:
$|v_{CM}| = \sqrt{(\frac{20}{9})^2 + (\frac{15}{9})^2}$
$|v_{CM}| = \sqrt{\frac{400 + 225}{81}} = \sqrt{\frac{625}{81}}$
$|v_{CM}| = \frac{25}{9} \,m/s$

(C) આપેલ છે,$m_1 = 6 \,kg, m_2 = 4 \,kg$ અને $\overrightarrow{v}_1 = 5 \hat{i}-2 \hat{j}+10 \hat{k}, \overrightarrow{v}_2 = 10 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રનો વેગ $\overrightarrow{v}_{cm}$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\overrightarrow{v}_{cm} = \frac{m_1 \overrightarrow{v}_1 + m_2 \overrightarrow{v}_2}{m_1 + m_2}$
કિંમતો મૂકતા:
$\overrightarrow{v}_{cm} = \frac{6(5 \hat{i}-2 \hat{j}+10 \hat{k}) + 4(10 \hat{i}-2 \hat{j}+5 \hat{k})}{6 + 4}$
$\overrightarrow{v}_{cm} = \frac{(30 \hat{i}-12 \hat{j}+60 \hat{k}) + (40 \hat{i}-8 \hat{j}+20 \hat{k})}{10}$
$\overrightarrow{v}_{cm} = \frac{70 \hat{i}-20 \hat{j}+80 \hat{k}}{10}$
$\overrightarrow{v}_{cm} = 7 \hat{i}-2 \hat{j}+8 \hat{k}$