Moment of Inertia and Radius of gyration Questions in Gujarati

(A) સ્થાનંતરિત ગતિમાં,પદાર્થના સ્થિર અથવા સમાન ગતિની સ્થિતિમાં ફેરફારનો વિરોધ કરવાના ગુણધર્મને દળ $(m)$ કહેવામાં આવે છે.
ભ્રમણ ગતિમાં,પદાર્થના ભ્રમણ ગતિની સ્થિતિમાં ફેરફારનો વિરોધ કરવાના ગુણધર્મને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ કહેવામાં આવે છે.
ન્યૂટનના ગતિના બીજા નિયમ $(F = ma)$ નું ભ્રમણ ગતિમાં સમકક્ષ સ્વરૂપ $\tau = I\alpha$ છે,જ્યાં $\tau$ એ ટોર્ક છે,$I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $\alpha$ એ કોણીય પ્રવેગ છે.
આમ,ભ્રમણ ગતિમાં જડત્વની ચાકમાત્રા એ જ ભૂમિકા ભજવે છે જે સ્થાનંતરિત ગતિમાં દળ ભજવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(D) ધારો કે તારની એકમ લંબાઈ દીઠ દળ $\lambda$ છે.
લૂપ $P$ નો પરિઘ $2\pi r$ છે,તેથી તેનું દળ $M_P = \lambda(2\pi r)$ છે.
લૂપ $P$ ની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_P = M_P r^2 = \lambda(2\pi r)r^2 = 2\pi\lambda r^3$ છે.
લૂપ $Q$ નો પરિઘ $2\pi(nr)$ છે,તેથી તેનું દળ $M_Q = \lambda(2\pi nr) = n M_P$ છે.
લૂપ $Q$ ની સમાન અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I_Q = M_Q (nr)^2 = (n M_P)(n^2 r^2) = n^3 M_P r^2 = n^3 I_P$ છે.
આપેલ છે કે $I_Q = 8 I_P$,તેથી $n^3 I_P = 8 I_P$.
આમ,$n^3 = 8$,જેનું સાદું રૂપ આપતા $n = 2$ મળે છે.

(C) ગોળાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_{cm} + MR^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા,$I = \frac{2}{5}MR^2 + MR^2 = \frac{7}{5}MR^2$ મળે.
ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ ની વ્યાખ્યા મુજબ $I = MK^2$ થાય.
તેથી,$MK^2 = \frac{7}{5}MR^2$.
$K$ માટે ઉકેલતા,આપણને $K = \sqrt{\frac{7}{5}}R$ મળે છે.

(A) ચોરસના કેન્દ્ર $P$ થી દરેક કણનું અંતર $r = \frac{l}{\sqrt{2}}$ છે.
કેન્દ્ર $P$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ છે:
$I = \sum m_i r_i^2 = 4 \times m \times r^2 = 4m \left( \frac{l}{\sqrt{2}} \right)^2 = 4m \left( \frac{l^2}{2} \right) = 2ml^2$.
ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ એ $I = MK^2$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $M$ એ તંત્રનું કુલ દળ છે.
અહીં,$M = 4m$,તેથી:
$4mK^2 = 2ml^2$
$K^2 = \frac{2ml^2}{4m} = \frac{l^2}{2}$
$K = \frac{l}{\sqrt{2}}$.

(B) પદાર્થની ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ એ $I = MK^2$ સંબંધ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે,જ્યાં $I$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા છે અને $M$ એ પદાર્થનું કુલ દળ છે.
આના પરથી,$K = \sqrt{I/M}$.
પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ પરિભ્રમણની અક્ષને સાપેક્ષ દળના વિતરણ પર આધાર રાખે છે.
જેમ કે $K$ એ $I$ અને $M$ પરથી મેળવવામાં આવે છે,અને $I$ પોતે પરિભ્રમણની અક્ષને સાપેક્ષ દળના વિતરણને ધ્યાનમાં લે છે,તેથી ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ એ દળના વિતરણ અને પસંદ કરેલી પરિભ્રમણની અક્ષ પર આધાર રાખે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) તકતીની તેના સમતલને લંબ અને તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું સૂત્ર $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $(K)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,જડત્વની ચાકમાત્રાને $I = MK^2$ તરીકે પણ દર્શાવી શકાય છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $MK^2 = \frac{1}{2}MR^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$K^2 = \frac{R^2}{2}$,જેનો અર્થ થાય છે કે $K = \frac{R}{\sqrt{2}}$.
અહીં $R = 2.5 \, cm$ આપેલ છે,તેથી $K = \frac{2.5}{\sqrt{2}} \approx \frac{2.5}{1.414} \approx 1.767 \, cm$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ નજીકની કિંમત $1.76 \, cm$ મળે છે.

(A) તકતીની તેના ગુરુત્વકેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું સૂત્ર $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $(K)$ ની વ્યાખ્યા મુજબ,$I = MK^2$.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $MK^2 = \frac{1}{2}MR^2$.
બંને બાજુથી દળ $(M)$ દૂર કરતા: $K^2 = \frac{R^2}{2}$.
વર્ગમૂળ લેતા: $K = \frac{R}{\sqrt{2}}$.
અહીં ત્રિજ્યા $R = 5\,cm$ આપેલ છે,તેથી $K = \frac{5}{\sqrt{2}} \approx \frac{5}{1.414} \approx 3.535\,cm$.
બે દશાંશ સ્થળ સુધી રાઉન્ડ ઓફ કરતા,$K = 3.54\,cm$ મળે છે.

(A) નળાકારની તેની લંબાઈને સમાંતર અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું સૂત્ર: $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
આપેલ છે:
દળ $(M)$ = $500 \ g = 0.5 \ kg$.
ત્રિજ્યા $(R)$ = $10 \ cm = 0.1 \ m$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \times 0.5 \times (0.1)^2$
$I = 0.25 \times 0.01$
$I = 0.0025 \ kg \cdot m^2$
$I = 2.5 \times 10^{-3} \ kg \cdot m^2$.

(A) પાતળી વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_z = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_z = I_x + I_y$.
તકતી સંમિત હોવાથી,કોઈપણ વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન હોય છે,તેથી $I_x = I_y = I_d$.
તેથી,$I_z = 2I_d$.
$I_z$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $\frac{1}{2}MR^2 = 2I_d$ મળે છે.
$I_d$ માટે ઉકેલતા,આપણને $I_d = \frac{1}{4}MR^2$ મળે છે.

(A) $M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા એક સમાન પાતળા સળિયાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સળિયાને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ML^2}{12}$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ એ જડત્વની ચાકમાત્રા સાથે $I = MK^2$ સૂત્ર દ્વારા સંબંધિત છે.
$I$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા,આપણને $MK^2 = \frac{ML^2}{12}$ મળે છે.
બંને બાજુથી $M$ ને દૂર કરતા,$K^2 = \frac{L^2}{12}$ મળે છે.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા,$K = \frac{L}{\sqrt{12}}$ મળે છે.

(B) રીંગની તેના કેન્દ્રિય અક્ષ પરની જડત્વની આઘૂર્ણ $I = mR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $m$ એ દળ છે અને $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
વ્યાસ $D = 2R$ હોવાથી,આપણે $R = D/2$ લખી શકીએ છીએ.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,આપણને $I = m(D/2)^2 = m(D^2/4)$ મળે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $I \propto mD^2$,અથવા $m \propto I/D^2$.
આપેલ ગુણોત્તર $I_1/I_2 = 2/1$ અને $D_1/D_2 = 2/1$ છે,તેથી દળનો ગુણોત્તર:
$m_1/m_2 = (I_1/I_2) \times (D_2/D_1)^2$
$m_1/m_2 = (2/1) \times (1/2)^2 = 2 \times (1/4) = 2/4 = 1/2$.
તેથી,તેમના દળનો ગુણોત્તર $1:2$ છે.

(B) પોલા ગોળા (પાતળી ગોળીય કવચ) માટે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ (વ્યાસ) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાનું પ્રમાણિત સૂત્ર $I = \frac{2}{3}MR^2$ છે.
અહીં,$M$ એ પોલા ગોળાનું દળ છે અને $R$ તેની ત્રિજ્યા છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) કોઈપણ અક્ષને અનુલક્ષીને બિંદુ દળના તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_i$ એ $i$-માં દળનું અક્ષથી લંબ અંતર છે.
$m_1$ માંથી પસાર થતી અને $m_2m_3$ બાજુને દુભાગતી અક્ષ માટે:
$1$. $m_1$ નું અક્ષથી અંતર $r_1 = 0$ છે.
$2$. $m_2$ નું અક્ષથી અંતર $r_2 = a/2$ છે.
$3$. $m_3$ નું અક્ષથી અંતર $r_3 = a/2$ છે.
તેથી,કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I = m_1(0)^2 + m_2(a/2)^2 + m_3(a/2)^2$
$I = 0 + m_2(a^2/4) + m_3(a^2/4)$
$I = (m_2 + m_3) \frac{a^2}{4}$

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A$,$B$ અને $C$ છે. ધારો કે પરિભ્રમણની અક્ષ બાજુ $AB$ છે.
$A$ અને $B$ પરના કણો પરિભ્રમણની અક્ષ પર આવેલા છે,તેથી અક્ષથી તેમનું લંબ અંતર $0$ છે. આમ,જડત્વની ચાકમાત્રામાં તેમનો ફાળો $0$ છે.
$C$ પરનો કણ બાજુ $AB$ થી $x$ જેટલા લંબ અંતરે છે. $a$ બાજુવાળા સમબાજુ ત્રિકોણમાં,વેધ $x$ એ $x = a \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} a$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બાજુ $AB$ ને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2 = m(0)^2 + m(0)^2 + m(x)^2$ છે.
$I = m x^2 = m \left( \frac{\sqrt{3}}{2} a \right)^2 = m \left( \frac{3}{4} a^2 \right) = \frac{3}{4} m a^2$.

(B) કાચા ઈંડામાં અંદર પ્રવાહી હોય છે,જે કવચ સાથે ફરતું નથી. તેથી,તે ગોલીય કવચ જેવું વર્તે છે જેનું દળ સપાટીની નજીક કેન્દ્રિત હોય છે. ગોલીય કવચની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{raw} = \frac{2}{3}MR^2$ છે.
અડધું બાફેલું ઈંડું વધુ ઘટ્ટ હોય છે અને તે નક્કર ગોળા જેવું વર્તે છે કારણ કે તેની અંદરની સામગ્રી કવચ સાથે ફરે છે. નક્કર ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{boiled} = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
તેથી,કાચા ઈંડા અને અડધા બાફેલા ઈંડાની જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર:
$\frac{I_{raw}}{I_{boiled}} = \frac{\frac{2}{3}MR^2}{\frac{2}{5}MR^2} = \frac{5}{3} = 1.67$.
આમ,$1.67 > 1$ હોવાથી,ગુણોત્તર એક કરતા વધારે છે.

(A) $M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા સમાન સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નીચેના સૂત્ર દ્વારા આપવામાં આવે છે:
$I = \frac{ML^2}{12}$
આપેલ છે:
દળ $(M)$ = $0.12 \ kg$
લંબાઈ $(L)$ = $1 \ m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{0.12 \times (1)^2}{12}$
$I = \frac{0.12}{12}$
$I = 0.01 \ kg \cdot m^2$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) ધારો કે બે રીંગ $1$ અને $2$ છે.
રીંગ $1$ માટે,પરિભ્રમણની અક્ષ તેના સમતલને લંબ છે અને તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. આ અક્ષને અનુલક્ષીને રીંગ $1$ ની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = mr^2$ છે.
રીંગ $2$ માટે,પરિભ્રમણની અક્ષ તેના સમતલમાં છે અને તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે (એટલે કે,તે રીંગ $2$ નો વ્યાસ છે). આ વ્યાસને અનુલક્ષીને રીંગ $2$ ની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{1}{2}mr^2$ છે.
આપેલ અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 = mr^2 + \frac{1}{2}mr^2 = \frac{3}{2}mr^2$ થશે.

(D) $M$ દળ,$l$ લંબાઈ અને $b$ પહોળાઈ ધરાવતી એક સમાન લંબચોરસ પ્લેટ માટે,તેની લંબાઈ $l$ ને સમાંતર અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણની ગણતરી પ્લેટને $l$ લંબાઈના સળિયાઓ તરીકે ગણીને કરવામાં આવે છે.
$m$ દળ અને $l$ લંબાઈના પાતળા સળિયાની તેના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \frac{ml^2}{12}$ છે.
લંબચોરસ પ્લેટ માટે,આપણે લંબાઈને સમાંતર મધ્ય અક્ષથી $y$ અંતરે $dy$ પહોળાઈની એક નાની પટ્ટી વિચારીએ છીએ. આ પટ્ટીનું દળ $dm = \frac{M}{b} dy$ છે.
આ પટ્ટીની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $dI = (dm) y^2 = \left( \frac{M}{b} dy \right) y^2$ છે.
આનું $y = -b/2$ થી $y = b/2$ સુધી સંકલન કરતા:
$I = \int_{-b/2}^{b/2} \frac{M}{b} y^2 dy = \frac{M}{b} \left[ \frac{y^3}{3} \right]_{-b/2}^{b/2} = \frac{M}{b} \left( \frac{b^3}{24} - (-\frac{b^3}{24}) \right) = \frac{M}{b} \left( \frac{2b^3}{24} \right) = \frac{Mb^2}{12}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(D) વર્તુળાકાર તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રાનું સૂત્ર $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
દળ $M = \text{ઘનતા} (\rho) \times \text{કદ} (V) = \rho \times (\pi R^2 t)$ થાય,જ્યાં $t$ એ જાડાઈ છે.
આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા: $I = \frac{1}{2} (\pi R^2 t \rho) R^2 = \frac{1}{2} \pi t \rho R^4$.
આપેલ છે કે તકતીઓ સમાન દ્રવ્યની બનેલી છે (સમાન $\rho$) અને તેમની જાડાઈ સમાન $(t)$ છે,તેથી $I \propto R^4$ થાય.
વ્યાસ $D = 2R$ હોવાથી,$I \propto D^4$ મળે.
તેથી,$\frac{I_A}{I_B} = \left( \frac{D_A}{D_B} \right)^4$.
અહીં $D_A = 2 D_B$ આપેલ હોવાથી,$\frac{I_A}{I_B} = (2)^4 = 16$.
આમ,$A$ ની જડત્વની ચાકમાત્રા $B$ કરતા $16$ ગણી હશે.

(B) વર્તુળાકાર વલયની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
વ્યાસનો ગુણોત્તર $2:1$ હોવાથી,ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $R_1/R_2$ પણ $2:1$ થશે.
આપેલ છે કે $M_1/M_2 = 1/2$ અને $R_1/R_2 = 2/1$.
જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{M_1 R_1^2}{M_2 R_2^2} = \left( \frac{M_1}{M_2} \right) \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{1}{2} \right) \times \left( \frac{2}{1} \right)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $2:1$ છે.

(D) ધારો કે લંબચોરસનું દળ $M$ છે. ધારો કે $AB = l$ અને $BC = 2l$ છે.
લંબચોરસની તેની બાજુઓને સમાંતર અને કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી ધરીની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{M d^2}{12}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $d$ એ ધરીને લંબ બાજુ છે.
$1$. ધરી $HF$ માટે ($AB$ ને સમાંતર): લંબ બાજુ $BC = 2l$ છે. તેથી,$I_{HF} = \frac{M(2l)^2}{12} = \frac{4Ml^2}{12} = \frac{Ml^2}{3}$.
$2$. ધરી $EG$ માટે ($BC$ ને સમાંતર): લંબ બાજુ $AB = l$ છે. તેથી,$I_{EG} = \frac{Ml^2}{12}$.
બંનેની સરખામણી કરતા,$I_{EG} < I_{HF}$.
આમ,$EG$ ધરીની આસપાસ જડત્વની ચાકમાત્રા ન્યૂનતમ છે.

(A) જડત્વની આઘૂર્ણ $(I)$ એ પરિભ્રમણની અક્ષની સાપેક્ષ દળના વિતરણ પર આધાર રાખે છે.
$m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર રિંગ માટે તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને $I = mR^2$ થાય છે.
$m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી તકતી માટે તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને $I = \frac{1}{2}mR^2$ થાય છે.
$m$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા ઘન ગોળા માટે તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને $I = \frac{2}{5}mR^2$ થાય છે.
$m$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા સળિયા માટે તેના કેન્દ્રને અનુલક્ષીને $I = \frac{1}{12}mL^2$ થાય છે.
આ મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,રિંગની જડત્વની આઘૂર્ણ સૌથી વધુ છે કારણ કે તેનું તમામ દળ પરિભ્રમણની અક્ષથી મહત્તમ અંતર $R$ પર કેન્દ્રિત છે.

(B) દ્રઢ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી રીંગ માટે,તમામ દળના ઘટકો કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષથી $R$ જેટલા અચળ અંતરે આવેલા છે.
તેથી,$I = \int r^2 dm = \int R^2 dm = R^2 \int dm$ થાય.
અહીં $\int dm = M$ હોવાથી,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = M R^2$ મળે છે.

(C) જડત્વની ચાકમાત્રા એ એક ભૌતિક રાશિ છે જે દ્રઢ પદાર્થની ચાકગતિશીલ જડતા દર્શાવે છે. તે સુરેખ ગતિમાં દળ (mass) જેવું જ કાર્ય કરે છે. તે કોઈ ચોક્કસ અક્ષની આસપાસ પદાર્થની ચાકગતિમાં થતા ફેરફારો સામેના અવરોધનું માપ છે. તેથી,તે ચાકગતિ દરમિયાન અસરકારક હોય છે.

(A) ફ્લાય-વ્હીલ (તકતી) માટે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
વ્યાસ $D = 2R$ હોવાથી,$R = D/2$ થાય. આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા,$I = \frac{1}{2}M(D/2)^2 = \frac{1}{8}MD^2$ મળે.
આ દર્શાવે છે કે $I \propto D^2$.
પ્રતિશત ભૂલના ખ્યાલનો ઉપયોગ કરતા,જો $D$ માં $1\%$ નો વધારો થાય,તો $I$ માં થતો પ્રતિશત ફેરફાર $\frac{\Delta I}{I} \times 100 = 2 \times (\frac{\Delta D}{D} \times 100)$ દ્વારા મળે છે.
આપેલ કિંમત મૂકતા,$\frac{\Delta I}{I} \times 100 = 2 \times 1\% = 2\%$.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રામાં થતો પ્રતિશત વધારો $2\%$ છે.

(B) આપેલ છે: દળ $m = 1\,kg$,વ્યાસ $D = 0.2\,m$.
ત્રિજ્યા $r = D/2 = 0.1\,m = 10^{-1}\,m$.
વર્તુળાકાર પ્લેટની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાનું સૂત્ર $I = \frac{1}{4}mr^2$ છે.
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{1}{4} \times 1\,kg \times (0.1\,m)^2$
$I = \frac{1}{4} \times 1 \times 0.01\,kg\cdot m^2$
$I = 0.0025\,kg\cdot m^2 = 2.5 \times 10^{-3}\,kg\cdot m^2$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ નું સૂત્ર $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
વ્યાખ્યા મુજબ,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $(k)$ અને જડત્વની ચાકમાત્રા વચ્ચેનો સંબંધ $I = Mk^2$ છે.
બંને સમીકરણોને સરખાવતા:
$Mk^2 = \frac{1}{2}MR^2$
$k^2 = \frac{R^2}{2}$
$k = \frac{R}{\sqrt{2}}$
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) રેખા $AX$ ને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા એ દરેક કણની જડત્વની ચાકમાત્રાના સરવાળા જેટલી હોય છે:
$I = I_A + I_B + I_C$
કણ $A$ એ અક્ષ $AX$ પર આવેલો હોવાથી,તેનું લંબ અંતર $r_A = 0$ છે. તેથી,$I_A = m(0)^2 = 0$.
કણ $B$ એ $AB$ રેખા પર $A$ થી $l$ અંતરે છે. $AX$ એ $AB$ ને લંબ હોવાથી,$AX$ થી $B$ નું લંબ અંતર $r_B = l$ છે. તેથી,$I_B = m(l)^2 = m l^2$.
કણ $C$ એ $A$ અને $B$ સાથે સમબાજુ ત્રિકોણ બનાવે છે. અક્ષ $AX$ થી $C$ નું લંબ અંતર એ $AC$ બાજુનો $AX$ ને લંબ રેખા (જે $AB$ ને સમાંતર છે) પરનો પ્રક્ષેપ છે. આ અંતર $r_C = l \cos(60^{\circ}) = l \cdot \frac{1}{2} = \frac{l}{2}$ છે.
તેથી,$I_C = m(r_C)^2 = m(\frac{l}{2})^2 = \frac{m l^2}{4}$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = 0 + m l^2 + \frac{m l^2}{4} = \frac{5}{4} m l^2$.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર તકતી માટે,તેના સમતલમાં રહેલી સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{disk}} = I_{\text{cm}} + MR^2 = \frac{1}{4}MR^2 + MR^2 = \frac{5}{4}MR^2$ થાય છે.
$I = MK^2$ હોવાથી,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K_{\text{disk}} = \sqrt{\frac{5}{4}}R = \frac{\sqrt{5}}{2}R$ મળે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર રીંગ માટે,તેના સમતલમાં રહેલી સ્પર્શક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{ring}} = I_{\text{cm}} + MR^2 = \frac{1}{2}MR^2 + MR^2 = \frac{3}{2}MR^2$ થાય છે.
$I = MK^2$ હોવાથી,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $K_{\text{ring}} = \sqrt{\frac{3}{2}}R = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}R$ મળે.
ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{K_{\text{disk}}}{K_{\text{ring}}} = \frac{\sqrt{5}/2}{\sqrt{3}/\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{5}}{2} \times \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{2} \times \sqrt{3}} = \sqrt{\frac{5}{6}}$ થાય.

(C) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_A = \frac{2}{5}MR^2 = 0.4 MR^2$ છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પોલા ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_B = \frac{2}{3}MR^2 \approx 0.67 MR^2$ છે.
બંને ગોળાઓ સમાન દળ $M$ અને સમાન ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતા હોવાથી,સહગુણકોની સરખામણી કરતા જણાય છે કે $0.4 MR^2 < 0.67 MR^2$.
તેથી,$I_A < I_B$.

(A) કણોના તંત્રની કોઈ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે, જ્યાં $r_i$ એ $i$-માં કણનું પરિભ્રમણની અક્ષથી લંબ અંતર છે।
$x$-અક્ષ માટે, $(x, y, z)$ બિંદુનું લંબ અંતર $r = \sqrt{y^2 + z^2}$ છે।
$1$. $m_1 = 1 \text{ kg}$ દળ માટે $(0,0,0)$ પર: $r_1 = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0 \text{ m}$. તેથી, $I_1 = 1 \times 0^2 = 0 \text{ kg} \cdot \text{m}^2$.
$2$. $m_2 = 2 \text{ kg}$ દળ માટે $(2,0,0)$ પર: $r_2 = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0 \text{ m}$. તેથી, $I_2 = 2 \times 0^2 = 0 \text{ kg} \cdot \text{m}^2$.
$3$. $m_3 = 3 \text{ kg}$ દળ માટે $(0,3,0)$ પર: $r_3 = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3 \text{ m}$. તેથી, $I_3 = 3 \times 3^2 = 27 \text{ kg} \cdot \text{m}^2$.
$4$. $m_4 = 4 \text{ kg}$ દળ માટે $(-2,-2,0)$ પર: $r_4 = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2 \text{ m}$. તેથી, $I_4 = 4 \times 2^2 = 16 \text{ kg} \cdot \text{m}^2$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 = 0 + 0 + 27 + 16 = 43 \text{ kg} \cdot \text{m}^2$.

(B) રીંગની તેના કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{ring} = mr^2$ છે.
જ્યારે રીંગને ઓગાળીને સમાન દળ $m$ ધરાવતા ગોળામાં રૂપાંતરિત કરવામાં આવે,ત્યારે ધારો કે ગોળાની ત્રિજ્યા $r'$ છે.
કદ અચળ રહેતું હોવાથી,ગોળાની ત્રિજ્યા $r'$ એ રીંગની ત્રિજ્યા $r$ કરતા ઘણી નાની હશે (એટલે કે $r' \ll r$).
ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{sphere} = \frac{2}{5}mr'^2$ છે.
આમ,$I_{sphere} = \frac{2}{5}mr'^2 < mr^2 = I_{ring}$.
તેથી,ગોળાની જડત્વની ચાકમાત્રા રીંગ કરતા ઓછી હશે.

(B) $m$ દળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા એક સળિયાની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ml^2}{12}$ છે.
ક્રોસ બે સળિયાઓને તેમના કેન્દ્ર પર જોડીને બનાવવામાં આવે છે,તેથી તેમના સામાન્ય કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સળિયાઓના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા એ બંને વ્યક્તિગત સળિયાઓની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો થશે.
$I_{total} = I_{rod1} + I_{rod2} = \frac{ml^2}{12} + \frac{ml^2}{12} = \frac{2ml^2}{12} = \frac{ml^2}{6}$.

(A) $M$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વલયની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = Mr^2$ છે.
વલયો સમાન દ્રવ્યમાંથી બનેલી હોવાથી અને સમાન આડછેદ ધરાવતી હોવાથી,તેમનું દળ તેમની પરિઘના સમપ્રમાણમાં હોય છે ($M = \lambda \cdot 2\pi r$,જ્યાં $\lambda$ એ રેખીય દળ ઘનતા છે).
પ્રથમ વલય માટે: $M_1 = \lambda \cdot 2\pi R$ અને $I_1 = M_1 R^2 = (\lambda \cdot 2\pi R) R^2 = 2\pi \lambda R^3$.
બીજી વલય માટે: $M_2 = \lambda \cdot 2\pi (nR)$ અને $I_2 = M_2 (nR)^2 = (\lambda \cdot 2\pi nR) (nR)^2 = 2\pi \lambda n^3 R^3$.
જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{8}$ આપેલ છે.
સમીકરણો મૂકતા: $\frac{2\pi \lambda R^3}{2\pi \lambda n^3 R^3} = \frac{1}{n^3} = \frac{1}{8}$.
તેથી,$n^3 = 8$,જેનો અર્થ છે કે $n = 2$.

(B) નક્કર નળાકારની તેની ભૌમિતિક અક્ષ (લંબાઈની અક્ષ) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{1}{2} M R^2$
આપેલ છે:
દળ $M = 20 \ kg$
ત્રિજ્યા $R = 0.2 \ m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \times 20 \times (0.2)^2$
$I = 10 \times 0.04$
$I = 0.4 \ kg \cdot m^2$

(B) જ્યારે તરવૈયો તેના શરીરને સંકોચે છે,ત્યારે દળનું વિતરણ પરિભ્રમણની ધરીની નજીક આવે છે.
સૂત્ર $I = \sum mr^2$ મુજબ,ધરીથી દળના અંતર $r$ માં ઘટાડો થવાથી જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ ઘટે છે.
બાહ્ય ટોર્કની ગેરહાજરીમાં કોણીય વેગમાન $(L = I\omega)$ સંરક્ષિત રહેતું હોવાથી,જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ ઘટતા કોણીય વેગ $(\omega)$ માં વધારો થાય છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) જ્યારે વ્યક્તિ તેના હાથ અંદરની તરફ ખેંચે છે,ત્યારે દ્રવ્યમાનનું વિતરણ પરિભ્રમણની ધરીની નજીક આવે છે.
જડત્વની આઘૂર્ણ $I = \sum m_i r_i^2$ હોવાથી,દ્રવ્યમાનનું ધરીથી અંતર $r$ ઘટતા જડત્વની આઘૂર્ણમાં ઘટાડો થાય છે.
કોણીય વેગમાનના સંરક્ષણના નિયમ મુજબ,$L = I\omega = \text{અચળ}$.
અહીં $I$ ઘટતું હોવાથી,$L$ ને અચળ રાખવા માટે કોણીય વેગ $\omega$ વધવો જોઈએ.
તેથી,સાચું અવલોકન એ છે કે જડત્વની આઘૂર્ણ ઘટે છે.

(A) $M_{total}$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સંપૂર્ણ સમાન વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}M_{total}R^2$ છે.
તકતી સમાન હોવાથી,દળ તેના ક્ષેત્રફળના પ્રમાણમાં વહેંચાયેલું હોય છે. એક-ચતુર્થાંશ ખંડનું ક્ષેત્રફળ કુલ ક્ષેત્રફળના $\frac{1}{4}$ ભાગનું હોય છે,તેથી તેનું દળ $M = \frac{1}{4}M_{total}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $M_{total} = 4M$.
આ જ અક્ષને અનુલક્ષીને એક-ચતુર્થાંશ ખંડની જડત્વની ચાકમાત્રા એ સંપૂર્ણ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રાના $\frac{1}{4}$ ભાગની હોય છે.
તેથી,$I_{sector} = \frac{1}{4} \times (\frac{1}{2} M_{total} R^2) = \frac{1}{4} \times (\frac{1}{2} \times 4M \times R^2) = \frac{1}{2}MR^2$.

(B) તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષ માટે $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
દળ $M$,ઘનતા $\rho$,જાડાઈ $t$ અને ત્રિજ્યા $R$ વચ્ચેનો સંબંધ $M = \rho \cdot V = \rho \cdot (\pi R^2 t)$ છે,તેથી $R^2 = \frac{M}{\pi t \rho}$.
આ કિંમત જડત્વની ચાકમાત્રાના સૂત્રમાં મૂકતા: $I = \frac{1}{2}M \left( \frac{M}{\pi t \rho} \right) = \frac{M^2}{2 \pi t \rho}$.
અહીં દળ $M$ અને જાડાઈ $t$ સમાન હોવાથી,$I \propto \frac{1}{\rho}$ મળે છે.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$ થશે.
આપેલ ઘનતાનો ગુણોત્તર $\rho_1 : \rho_2 = 1 : 3$ હોવાથી,$\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{3}{1}$ મળે.
આમ,$\frac{I_1}{I_2} = 3:1$ થાય.

(C) કોઈ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ એ $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે. દળ $M$ ને રીમ પર (ભ્રમણાક્ષથી $R$ અંતરે) કેન્દ્રિત કરવાથી,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા (Radius of gyration) મહત્તમ થાય છે. રીંગ જેવી રચના માટે $I = MR^2$ હોવાથી,દળને ભ્રમણાક્ષથી શક્ય તેટલું દૂર રાખવાથી જડત્વની ચાકમાત્રામાં નોંધપાત્ર વધારો થાય છે. ઉચ્ચ જડત્વની ચાકમાત્રા ફ્લાયવ્હીલને વધુ પરિભ્રમણીય ગતિઊર્જા સંગ્રહિત કરવામાં અને તેની કોણીય ઝડપમાં થતા ફેરફારોનો સામનો કરવામાં મદદ કરે છે,જે ફ્લાયવ્હીલનું મુખ્ય કાર્ય છે.

(B) રિમ (અથવા પાતળા વલય) ની તેના કેન્દ્રિય અક્ષ પરની જડત્વની આઘૂર્ણ $I$ નું સૂત્ર $I = mr^2$ છે.
આપેલ છે:
દળ $m = 6 \ kg$
ત્રિજ્યા $r = 40 \ cm = 0.4 \ m$
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$I = 6 \times (0.4)^2$
$I = 6 \times 0.16$
$I = 0.96 \ kg \cdot m^2$.
આમ,જડત્વની આઘૂર્ણ $0.96 \ kg \cdot m^2$ છે.

(D) તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M r^2$ છે.
દળ $M = V \rho = (\pi r^2 t) \rho$ હોવાથી,આપણે $r^2 = \frac{M}{\pi t \rho}$ લખી શકીએ.
$r^2$ ની કિંમત જડત્વની ચાકમાત્રાના સૂત્રમાં મૂકતા: $I = \frac{1}{2} M \left( \frac{M}{\pi t \rho} \right) = \frac{M^2}{2 \pi t \rho}$.
આપેલ છે કે બંને તકતીઓનું દળ $M$ અને જાડાઈ $t$ સમાન છે,તેથી જડત્વની ચાકમાત્રા ઘનતાના વ્યસ્ત પ્રમાણમાં છે: $I \propto \frac{1}{\rho}$.
તેથી,તેમની જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\rho_2}{\rho_1}$ થાય.

(C) નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_S = \frac{2}{5}MR_S^2$ છે.
પોલા ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_H = \frac{2}{3}MR_H^2$ છે.
આપેલ છે કે જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન છે,તેથી $I_H = I_S$.
સૂત્રો મૂકતા: $\frac{2}{3}MR_H^2 = \frac{2}{5}MR_S^2$.
સામાન્ય પદો દૂર કરતા: $\frac{R_H^2}{3} = \frac{R_S^2}{5}$.
ત્રિજ્યાઓના ગુણોત્તર માટે ગોઠવતા: $\frac{R_H^2}{R_S^2} = \frac{3}{5}$.
બંને બાજુ વર્ગમૂળ લેતા: $\frac{R_H}{R_S} = \sqrt{\frac{3}{5}} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{5}}$.
આમ,ગુણોત્તર $\sqrt{3}:\sqrt{5}$ છે.

(B) દરેક પદાર્થ માટે તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા નીચે મુજબ છે:
પદાર્થ $A$ ($R$ ત્રિજ્યાનો નક્કર નળાકાર) માટે: $I_{A} = \frac{1}{2} mR^{2} = 0.5 mR^{2}$.
પદાર્થ $B$ ($R$ બાજુવાળી ચોરસ તકતી) માટે: કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{B} = \frac{m}{12}(R^{2} + R^{2}) = \frac{2mR^{2}}{12} = \frac{1}{6} mR^{2} \approx 0.167 mR^{2}$ છે.
પદાર્થ $C$ ($R$ ત્રિજ્યાનો નક્કર ગોળો) માટે: $I_{C} = \frac{2}{5} mR^{2} = 0.4 mR^{2}$.
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા: $0.5 mR^{2} > 0.4 mR^{2} > 0.167 mR^{2}$.
આમ,$I_{A} > I_{C} > I_{B}$.
તેથી,પદાર્થ $B$ ની જડત્વની ચાકમાત્રા સૌથી ઓછી છે.

(D) ધારો કે દરેક પદાર્થનું કુલ દળ $m$ છે. દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની આઘૂર્ણ $(I)$ નીચે મુજબ છે:
$1$. $a$ ત્રિજ્યાની તકતી માટે: $I_{\text{disc}} = \frac{1}{2} m a^2 = 0.5 m a^2$.
$2$. $a$ ત્રિજ્યાની રીંગ માટે: $I_{\text{ring}} = m a^2 = 1.0 m a^2$.
$3$. $2a$ બાજુવાળી ચોરસ લેમિના માટે: લંબ અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I_z = I_x + I_y$. અહીં $I_x = I_y = \frac{m L^2}{12}$ હોવાથી,$I_{\text{sq}} = \frac{m(2a)^2}{12} + \frac{m(2a)^2}{12} = \frac{8 m a^2}{12} = \frac{2}{3} m a^2 \approx 0.67 m a^2$.
$4$. $2a$ બાજુવાળો ચોરસ બનાવતા ચાર સળિયા માટે: દરેક સળિયાનું દળ $m/4$ છે. સમાંતર અક્ષ પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા એક સળિયા માટે: $I_{\text{rod}} = I_{\text{cm}} + (m/4)d^2 = \frac{(m/4)(2a)^2}{12} + (m/4)a^2 = \frac{7}{12} m a^2$. ચાર સળિયા માટે,$I_{\text{total}} = 4 \times \frac{7}{12} m a^2 = \frac{7}{3} m a^2 \approx 2.33 m a^2$.
આમ,ચાર સળિયાઓ દ્વારા બનતા ચોરસની જડત્વની આઘૂર્ણ સૌથી વધુ છે.

(B) $m$ દળ અને $l$ લંબાઈના પાતળા સળિયા માટે તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ml^2}{3}$ છે.
$1$. $x$-અક્ષ પરના સળિયા માટે: ભ્રમણાક્ષ $z$-અક્ષ છે. સળિયો $xy$-સમતલમાં છે અને ઉગમબિંદુ આગળ $z$-અક્ષને લંબ છે,તેથી $z$-અક્ષને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_x = \frac{ml^2}{3}$ થશે.
$2$. $y$-અક્ષ પરના સળિયા માટે: ભ્રમણાક્ષ $z$-અક્ષ છે. સળિયો $yz$-સમતલમાં છે અને ઉગમબિંદુ આગળ $z$-અક્ષને લંબ છે,તેથી $z$-અક્ષને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_y = \frac{ml^2}{3}$ થશે.
$3$. $z$-અક્ષ પરના સળિયા માટે: સળિયો પોતે જ ભ્રમણાક્ષ પર રહેલો છે. તેથી,આ સળિયાના દરેક દળના ઘટકનું $z$-અક્ષથી અંતર શૂન્ય છે. આમ,$I_z = 0$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{\text{total}} = I_x + I_y + I_z = \frac{ml^2}{3} + \frac{ml^2}{3} + 0 = \frac{2ml^2}{3}$.

(C) $m$ દળ અને $l$ લંબાઈના સળિયા માટે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સળિયા સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ml^2}{12} \sin^2 \theta$ છે.
$x$-અક્ષ પરના સળિયા માટે,$x=y$ રેખા સાથેનો ખૂણો $\theta = 45^\circ$ છે. તેથી,$I_1 = \frac{ml^2}{12} \sin^2 45^\circ = \frac{ml^2}{12} \times \frac{1}{2} = \frac{ml^2}{24}$.
$y$-અક્ષ પરના સળિયા માટે,$x=y$ રેખા સાથેનો ખૂણો પણ $\theta = 45^\circ$ છે. તેથી,$I_2 = \frac{ml^2}{12} \sin^2 45^\circ = \frac{ml^2}{24}$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 = \frac{ml^2}{24} + \frac{ml^2}{24} = \frac{2ml^2}{24} = \frac{ml^2}{12}$ થાય.

(D) દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ ધરાવતી અર્ધવર્તુળાકાર પ્લેટ માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને વ્યાસને લંબ (સંમિતિની અક્ષ) અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{MR^2}{4}$ છે.
અર્ધવર્તુળાકાર પ્લેટ આ અક્ષની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવાથી,પ્લેટના સમતલમાં કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી કોઈપણ અક્ષ માટે જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન રહેશે,કારણ કે દળનું વિતરણ સંમિતિની અક્ષની સાપેક્ષમાં સમાન છે.
આમ,અક્ષ $AA'$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{MR^2}{4}$ થાય.

(B) $M'$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = \frac{1}{2} M' R^2$ છે.
$M$ દળ ધરાવતી અર્ધવર્તુળાકાર તકતી માટે,આપણે તેને $2M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર તકતીના અડધા ભાગ તરીકે ગણી શકીએ છીએ.
આ સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર તકતીની (દળ $2M$) તેના કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = \frac{1}{2} (2M) R^2 = MR^2$ થાય.
અર્ધવર્તુળાકાર તકતી એ આ સંપૂર્ણ તકતીનો બરાબર અડધો ભાગ હોવાથી,તે જ અક્ષને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રા કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા કરતા અડધી થાય.
તેથી,$I = \frac{1}{2} I_{total} = \frac{1}{2} (MR^2) = \frac{1}{2} MR^2$.

(B) ચોરસ શીટની બાજુની લંબાઈ $L$ છે. જ્યારે તેને વાળીને પોલો નળાકાર બનાવવામાં આવે છે,ત્યારે બાજુની લંબાઈ $L$ એ નળાકારના પાયાનો પરિઘ બને છે.
તેથી,$L = 2\pi R$,જે ત્રિજ્યા $R = \frac{L}{2\pi}$ આપે છે.
શીટનું કુલ દળ $M$ એ $M = \sigma \times \text{ક્ષેત્રફળ} = \sigma L^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા પોલા નળાકારની તેની મધ્ય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ છે.
$M$ અને $R$ ની કિંમતો મૂકતા:
$I = (\sigma L^2) \times \left(\frac{L}{2\pi}\right)^2$
$I = \sigma L^2 \times \frac{L^2}{4\pi^2}$
$I = \frac{\sigma L^4}{4\pi^2}$.