Moment of Inertia and Radius of gyration Questions in Gujarati

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળાકાર વાયર (રિંગ) ની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_z = MR^2$ છે.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_z = I_x + I_y$,જ્યાં $I_x$ અને $I_y$ એ વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા છે.
રિંગ સંમિત હોવાથી,$I_x = I_y = I_{diameter}$ થાય.
તેથી,$I_z = 2I_{diameter}$.
$I_z$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને $MR^2 = 2I_{diameter}$ મળે છે.
આમ,વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{diameter} = \frac{1}{2}MR^2$ થાય.

(B) $m$ દળ અને $\ell$ લંબાઈના એક સળિયા માટે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{m\ell^2}{12}$ છે.
બે સળિયા તેમના કેન્દ્ર પર જોડાયેલા હોવાથી અને એકબીજાને લંબ હોવાથી,સામાન્ય કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષ પર કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા બંને સળિયાની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો થશે.
$I_{total} = I_1 + I_2 = \frac{m\ell^2}{12} + \frac{m\ell^2}{12}$.
$I_{total} = \frac{2m\ell^2}{12} = \frac{m\ell^2}{6}$.

(C) $M$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સમાન રિંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = Mr^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
ધારો કે રિંગ સમાન દ્રવ્યની બનેલી છે અને સમાન જાડાઈ ધરાવે છે,તેથી દળ $M$ એ પરિઘના સમપ્રમાણમાં છે,એટલે કે $M \propto R$.
ધારો કે પ્રથમ રિંગનું દળ $M_1$ અને ત્રિજ્યા $R_1 = R$ છે,અને બીજી રિંગનું દળ $M_2$ અને ત્રિજ્યા $R_2 = nR$ છે.
તેથી $M_1 = kR$ અને $M_2 = k(nR) = nkR$,જ્યાં $k$ અચળાંક છે.
જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર:
$\frac{I_1}{I_2} = \frac{M_1 R_1^2}{M_2 R_2^2} = \frac{(kR)(R^2)}{(nkR)(nR)^2} = \frac{kR^3}{n^3 k R^3} = \frac{1}{n^3}$.
આપેલ છે કે $\frac{I_1}{I_2} = \frac{1}{8}$,તેથી $\frac{1}{n^3} = \frac{1}{8}$.
આમ,$n^3 = 8$,જેનો અર્થ છે કે $n = 2$.

(A) $M_{total}$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સંપૂર્ણ નિયમિત વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M_{total} R^2$ છે.
તકતી નિયમિત હોવાથી,દળ તેના ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં હોય છે. તકતીનો એક ચતુર્થાંશ ભાગ કુલ ક્ષેત્રફળના ચોથા ભાગનું ક્ષેત્રફળ ધરાવે છે.
તેથી,સંપૂર્ણ તકતીનું દળ $M_{total} = 4M$ થશે.
આપેલ અક્ષને અનુલક્ષીને સંપૂર્ણ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{full} = \frac{1}{2} (4M) R^2 = 2 M R^2$ થાય.
જડત્વની ચાકમાત્રા એ દ્રઢ પદાર્થના ભાગો માટે સરવાળાના ગુણધર્મનું પાલન કરતી હોવાથી,ચતુર્થાંશ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I_{quarter})$ એ સમાન અક્ષને અનુલક્ષીને સંપૂર્ણ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રાના ચોથા ભાગની થશે.
$I_{quarter} = \frac{1}{4} I_{full} = \frac{1}{4} (2 M R^2) = \frac{1}{2} M R^2$.

(B) $M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા પાતળા નિયમિત સળિયાની તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ML^2}{3}$ છે.
આપેલ તંત્ર માટે:
$1$. $x$-અક્ષ પરનો સળિયો $xz$-સમતલમાં છે. $z$-અક્ષને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_x = \frac{ML^2}{3}$ છે.
$2$. $y$-અક્ષ પરનો સળિયો $yz$-સમતલમાં છે. $z$-અક્ષને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_y = \frac{ML^2}{3}$ છે.
$3$. $z$-અક્ષ પરનો સળિયો પોતે ભ્રમણાક્ષ પર જ છે. સળિયો પાતળો હોવાથી,દરેક દળના ઘટકનું $z$-અક્ષથી અંતર શૂન્ય છે. તેથી,$z$-અક્ષને અનુલક્ષીને તેની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_z = 0$ છે.
$z$-અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = I_x + I_y + I_z = \frac{ML^2}{3} + \frac{ML^2}{3} + 0 = \frac{2ML^2}{3}$ થાય.

(B) ઘન નળાકારની તેની ભૌમિતિક અક્ષ (લંબાઈની અક્ષ) ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ શોધવાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = \frac{1}{2} M R^2$
આપેલ છે:
દળ $(M)$ = $20 \ kg$
ત્રિજ્યા $(R)$ = $0.2 \ m$
લંબાઈ $(L)$ = $1 \ m$ (નોંધ: ભૌમિતિક અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા લંબાઈ પર આધારિત નથી).
કિંમતો મૂકતા:
$I = \frac{1}{2} \times 20 \times (0.2)^2$
$I = 10 \times 0.04$
$I = 0.4 \ kg \cdot m^2$

(B) સળિયાને મધ્યમાંથી વાળવામાં આવે છે,તેથી દરેક અર્ધ ભાગનું દળ $m = M/2$ અને લંબાઈ $l = L/2$ થાય છે.
ભ્રમણાક્ષ એ વાળેલા બિંદુ $O$ માંથી પસાર થાય છે અને તે વાંકા સળિયાના સમતલને લંબ છે.
$m$ દળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા સળિયા માટે તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{3} ml^2$ છે.
અહીં,આપણી પાસે આવા બે સળિયા છે,જેમાંથી દરેકનું દળ $M/2$ અને લંબાઈ $L/2$ છે,જે સામાન્ય છેડા $O$ ની આસપાસ ફરે છે.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total}$ એ બંને અર્ધ ભાગોની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે:
$I_{total} = I_1 + I_2 = \frac{1}{3} (M/2) (L/2)^2 + \frac{1}{3} (M/2) (L/2)^2$
$I_{total} = 2 \times \left[ \frac{1}{3} \cdot \frac{M}{2} \cdot \frac{L^2}{4} \right]$
$I_{total} = 2 \times \left[ \frac{ML^2}{24} \right] = \frac{ML^2}{12}$.

(A) $M_{total}$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સમાન વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M_{total} R^2$ છે.
સમાન તકતી માટે,દળ તેના ક્ષેત્રફળના સમપ્રમાણમાં હોય છે. ચતુર્થાંશ તકતીનું ક્ષેત્રફળ આખી તકતીના ક્ષેત્રફળના $1/4$ ભાગનું હોય છે. જો ચતુર્થાંશ તકતીનું દળ $M$ હોય,તો આખી તકતીનું દળ $4M$ થાય.
ચતુર્થાંશ તકતીની આ જ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા તેના ઘટક કણોની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે. કારણ કે ભ્રમણ અક્ષ મૂળ તકતીના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે,તેથી ચતુર્થાંશ તકતીના દરેક દળના ઘટક $dm$ નું અક્ષથી અંતર તે આખી તકતીમાં હોય તેટલું જ રહે છે.
આમ,ચતુર્થાંશ તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \int r^2 dm$ દ્વારા મળે છે. ચતુર્થાંશ તકતી એ આખી તકતીનો એક ભાગ હોવાથી,તેની જડત્વની ચાકમાત્રા એ $4M$ દળ ધરાવતી આખી તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રાના $1/4$ ભાગની થાય.
$I = \frac{1}{4} \times (\frac{1}{2} \times (4M) \times R^2) = \frac{1}{2} M R^2$.

(B) તકતીના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષ પર તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{disc} = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
ચાર બિંદુવત દળ $m$ પરિઘ પર મૂકેલા હોવાથી,દરેક દળ પરિભ્રમણ અક્ષથી $R$ અંતરે છે.
દરેક બિંદુવત દળની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{point} = mR^2$ થાય.
આવા ચાર બિંદુવત દળ હોવાથી,તેમની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total\,points} = 4 \times mR^2 = 4mR^2$ થાય.
તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા એ તકતી અને ચાર બિંદુવત દળની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે:
$I = I_{disc} + I_{total\,points} = \frac{1}{2}MR^2 + 4mR^2$.

(A) કોઈપણ અક્ષને અનુલક્ષીને બિંદુ દળોના તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_i$ એ $i$-માં દળનું અક્ષથી લંબ અંતર છે.
$x$-અક્ષ માટે,$(x, y, z)$ બિંદુનું લંબ અંતર $r = \sqrt{y^2 + z^2}$ છે.
$1$. $m_1 = 1 \text{ kg}$ દળ $(0,0,0)$ પર: $r_1 = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0$. તેથી,$I_1 = 1(0)^2 = 0$.
$2$. $m_2 = 2 \text{ kg}$ દળ $(2,0,0)$ પર: $r_2 = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0$. તેથી,$I_2 = 2(0)^2 = 0$.
$3$. $m_3 = 3 \text{ kg}$ દળ $(0,3,0)$ પર: $r_3 = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3$. તેથી,$I_3 = 3(3)^2 = 27$.
$4$. $m_4 = 4 \text{ kg}$ દળ $(-2,-2,0)$ પર: $r_4 = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2$. તેથી,$I_4 = 4(2)^2 = 16$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 = 0 + 0 + 27 + 16 = 43 \text{ kg m}^2$.

(B) સળિયાને તેના મધ્યબિંદુ $A$ આગળ બે ભાગમાં વાળવામાં આવે છે,જેમાંથી દરેકની લંબાઈ $L/2$ અને દળ $M/2$ છે.
દરેક ભાગ $l = L/2$ લંબાઈ અને $m = M/2$ દળ ધરાવતા સળિયા તરીકે વર્તે છે,જે તેના એક છેડાને અનુલક્ષીને પરિભ્રમણ કરે છે.
$m$ દળ અને $l$ લંબાઈના સળિયા માટે તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{ml^2}{3}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,દરેક ભાગ માટે,$m = M/2$ અને $l = L/2$ છે.
તેથી,એક ભાગ માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{(M/2)(L/2)^2}{3} = \frac{(M/2)(L^2/4)}{3} = \frac{ML^2}{24}$ થશે.
આવા બે ભાગ હોવાથી,$A$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_A = I_1 + I_1 = 2 \times \frac{ML^2}{24} = \frac{ML^2}{12}$ થશે.

(B) અક્ષ $AX$ ને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા એ દરેક કણની તે જ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે.
$I_{AX} = I_A + I_B + I_C$
કણ $A$ અક્ષ પર હોવાથી,તેનું અંતર $r_A = 0$ છે,તેથી $I_A = m(0)^2 = 0$.
કણ $B$ અક્ષથી $\ell$ અંતરે છે,તેથી $I_B = m\ell^2$.
કણ $C$ એ અક્ષ $AX$ થી $\ell/2$ ના લંબ અંતરે છે,તેથી $I_C = m(\ell/2)^2 = m\ell^2/4$.
તેથી,$I_{AX} = 0 + m\ell^2 + m\ell^2/4 = \frac{5}{4}m\ell^2$.

(A) આ તંત્ર ત્રણ સળિયા $A$,$B$ અને $C$ નું બનેલું છે. સળિયો $B$ એ પરિભ્રમણની અક્ષ તરીકે વર્તે છે.
$1$. સળિયા $B$ માટે: પરિભ્રમણની અક્ષ તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી હોવાથી,આ અક્ષને અનુલક્ષીને સળિયા $B$ ની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_B = 0$ થશે (સળિયાને પાતળી રેખા ધારતા).
$2$. સળિયા $A$ અને $C$ માટે: પરિભ્રમણની અક્ષ સળિયા $B$ ના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. સળિયા $A$ અને $C$ એ સળિયા $B$ ને લંબ છે અને તેના છેડાઓ પર જોડાયેલા છે,તેથી પરિભ્રમણની અક્ષ સળિયા $A$ અને $C$ ના કેન્દ્રમાંથી તેમની લંબાઈને લંબ રૂપે પસાર થાય છે.
$M$ દળ અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા સળિયા માટે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{M L^2}{12}$ છે.
અહીં આવા બે સળિયા ($A$ અને $C$) હોવાથી,તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{total} = I_A + I_B + I_C$
$I_{total} = \frac{M L^2}{12} + 0 + \frac{M L^2}{12}$
$I_{total} = \frac{2 M L^2}{12} = \frac{M L^2}{6}$

(D) ધારો કે દરેક ગોળાનું દળ $m = 5 \ kg$ છે અને સળિયાની લંબાઈ $L = 1 \ m$ છે.
કિસ્સો $1$: $A$ માંથી પસાર થતી અને સળિયાને લંબ અક્ષ.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1$ નીચે મુજબ મળે:
$I_1 = m_A \cdot (0)^2 + m_B \cdot (L)^2 = 0 + m \cdot (1)^2 = m$
કિસ્સો $2$: સળિયાના મધ્યબિંદુમાંથી પસાર થતી અને સળિયાને લંબ અક્ષ.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2$ નીચે મુજબ મળે:
$I_2 = m_A \cdot (L/2)^2 + m_B \cdot (L/2)^2 = m \cdot (0.5)^2 + m \cdot (0.5)^2 = 0.25m + 0.25m = 0.5m = m/2$
જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર:
$I_1 / I_2 = m / (m/2) = 2 / 1$
આમ,ગુણોત્તર $2 : 1$ છે.

(A) $M'$ દળ અને $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર તકતી માટે,તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}M'r^2$ છે.
અર્ધવર્તુળાકાર તકતી એ સંપૂર્ણ તકતીનો અડધો ભાગ હોવાથી,તેનું દળ $M = \frac{M'}{2}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $M' = 2M$.
હવે $M' = 2M$ ને જડત્વની ચાકમાત્રાના સૂત્રમાં મૂકતા:
$I = \frac{1}{2}(2M)r^2 = Mr^2$.
આમ,અર્ધવર્તુળાકાર તકતીની જડત્વની ચાકમાત્રા $Mr^2$ થાય છે.

(B) રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં દળનો ગુણોત્તર $M_1 : M_2 = 1 : 2$ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર $D_1 : D_2 = 2 : 1$ આપેલ છે.
ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $R_1 : R_2$ એ વ્યાસના ગુણોત્તર જેટલો જ હોય,તેથી $R_1 : R_2 = 2 : 1$.
જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{M_1 R_1^2}{M_2 R_2^2} = \left( \frac{M_1}{M_2} \right) \left( \frac{R_1}{R_2} \right)^2$ થાય.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{I_1}{I_2} = \left( \frac{1}{2} \right) \times (2)^2 = \frac{1}{2} \times 4 = 2$.
આમ,ગુણોત્તર $2 : 1$ મળે છે.

(B) $M$ દળ,$R$ ત્રિજ્યા અને $L$ લંબાઈ ધરાવતા નળાકારની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રાનું સૂત્ર નીચે મુજબ છે:
$I = M \left( \frac{L^2}{12} + \frac{R^2}{4} \right)$
અહીં વ્યાસ $D$ આપેલ હોવાથી,ત્રિજ્યા $R = \frac{D}{2}$ થાય.
સૂત્રમાં $R$ ની કિંમત મૂકતા:
$I = M \left[ \frac{L^2}{12} + \frac{(D/2)^2}{4} \right]$
$I = M \left[ \frac{L^2}{12} + \frac{D^2/4}{4} \right]$
$I = M \left[ \frac{L^2}{12} + \frac{D^2}{16} \right]$

(C) રીંગની તેના કેન્દ્રિય અક્ષ પરની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $R$ એ ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે કે જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{4}{1}$ અને વ્યાસનો ગુણોત્તર $\frac{D_1}{D_2} = \frac{4}{1}$ છે.
વ્યાસનો ગુણોત્તર એ ત્રિજ્યાના ગુણોત્તર સમાન હોવાથી,$\frac{R_1}{R_2} = \frac{4}{1}$ થાય.
સૂત્ર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{M_1 R_1^2}{M_2 R_2^2}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણે લખી શકીએ કે $\frac{M_1}{M_2} = \frac{I_1}{I_2} \times \left( \frac{R_2}{R_1} \right)^2$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા: $\frac{M_1}{M_2} = \frac{4}{1} \times \left( \frac{1}{4} \right)^2 = 4 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$.

(B) કોઈપણ અક્ષ પર કણોના તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_i$ એ $i$-માં કણનું પરિભ્રમણ અક્ષથી લંબ અંતર છે.
$Y$-અક્ષ માટે,$(x, y)$ બિંદુનું લંબ અંતર $|x|$ છે.
ચાર દળના યામ $(a, 0)$,$(0, a)$,$(-a, 0)$ અને $(0, 2a)$ છે.
$Y$-અક્ષથી લંબ અંતર $x_1 = a$,$x_2 = 0$,$x_3 = -a$,અને $x_4 = 0$ છે.
તેથી,$I_y = m(a)^2 + m(0)^2 + m(-a)^2 + m(0)^2$.
$I_y = ma^2 + 0 + ma^2 + 0 = 2ma^2$.

(C) ધારો કે સમબાજુ ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ છે. ધારો કે પરિભ્રમણની અક્ષ બાજુ $AB$ માંથી પસાર થાય છે.
કણોના તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_i$ એ $i$-માં દળનું અક્ષથી લંબ અંતર છે.
$1$. શિરોબિંદુઓ $A$ અને $B$ પરના બે દળ પરિભ્રમણની અક્ષ પર આવેલા છે,તેથી તેમનું લંબ અંતર $r_1 = 0$ અને $r_2 = 0$ છે.
$2$. શિરોબિંદુ $C$ પરનું ત્રીજું દળ બાજુ $AB$ થી $h$ જેટલા લંબ અંતરે છે. $\ell$ બાજુ ધરાવતા સમબાજુ ત્રિકોણમાં,ઊંચાઈ $h = \ell \sin(60^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2}\ell$ થાય.
$3$. તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m(0)^2 + m(0)^2 + m(h)^2 = m\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\ell\right)^2 = m\left(\frac{3}{4}\ell^2\right) = \frac{3}{4}m\ell^2$ થાય.

(C) નક્કર ગોળા માટે તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_A = \frac{2}{5} MR^2$ છે.
પોલા ગોળા માટે તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_B = \frac{2}{3} MR^2$ છે.
બંને ગોળાઓ માટે દળ $M$ અને ત્રિજ્યા $R$ સમાન હોવાથી,આપણે સહગુણકોની સરખામણી કરીએ:
$\frac{I_A}{I_B} = \frac{\frac{2}{5} MR^2}{\frac{2}{3} MR^2} = \frac{3}{5} = 0.6$.
$0.6 < 1$ હોવાથી,તે સાબિત થાય છે કે $I_A < I_B$.

(A) ચોરસના કેન્દ્રથી $m$ દળના દરેક કણનું અંતર $r = \frac{\text{વિકર્ણ}}{2} = \frac{\ell\sqrt{2}}{2} = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$ છે.
કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષ પર તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum mr^2 = 4 \times m \times \left(\frac{\ell}{\sqrt{2}}\right)^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$I = 4 \times m \times \frac{\ell^2}{2} = 2m\ell^2$.
ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K$ ને $I = MK^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે, જ્યાં $M$ એ તંત્રનું કુલ દળ છે $(M = 4m)$.
$4mK^2 = 2m\ell^2$.
$K^2 = \frac{2m\ell^2}{4m} = \frac{\ell^2}{2}$.
$K = \frac{\ell}{\sqrt{2}}$.

(B) વાયરની લંબાઈ $\ell = \pi r$ છે,જેનો અર્થ છે કે $r = \frac{\ell}{\pi}$.
અર્ધવર્તુળાકાર વાયરની તેના વ્યાસ $(XX')$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}Mr^2$ છે.
$r$ ની કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$I_{XX'} = \frac{1}{2} M \left( \frac{\ell}{\pi} \right)^2 = \frac{M\ell^2}{2\pi^2}$.

(A) કણોના તંત્રની કોઈ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_i$ એ $i$-માં કણનું અક્ષથી લંબ અંતર છે.
અહીં,અક્ષ $100 \ cm$ ના કાપામાંથી પસાર થાય છે.
$1 \ kg$ દળ (જે $20 \ cm$ પર છે) નું $100 \ cm$ ના કાપાથી અંતર $r_1 = |100 \ cm - 20 \ cm| = 80 \ cm = 0.8 \ m$ છે.
$4 \ kg$ દળ (જે $70 \ cm$ પર છે) નું $100 \ cm$ ના કાપાથી અંતર $r_2 = |100 \ cm - 70 \ cm| = 30 \ cm = 0.3 \ m$ છે.
તેથી,કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2$
$I = 1 \ kg \times (0.8 \ m)^2 + 4 \ kg \times (0.3 \ m)^2$
$I = 1 \times 0.64 + 4 \times 0.09$
$I = 0.64 + 0.36 = 1 \ kg \ m^2$.

(A) કોઈપણ અક્ષની આસપાસ કણોના તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_i$ એ $i$-માં કણનું અક્ષથી લંબ અંતર છે.
$x$-અક્ષ માટે,$(x, y, z)$ બિંદુનું લંબ અંતર $r = \sqrt{y^2 + z^2}$ છે.
$1$. $m_1 = 1 \ kg$ દળ માટે $(0, 0, 0)$ પર: $r_1 = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0$. તેથી,$I_1 = 1 \times 0^2 = 0 \ kg-m^2$.
$2$. $m_2 = 2 \ kg$ દળ માટે $(2, 0, 0)$ પર: $r_2 = \sqrt{0^2 + 0^2} = 0$. તેથી,$I_2 = 2 \times 0^2 = 0 \ kg-m^2$.
$3$. $m_3 = 3 \ kg$ દળ માટે $(0, 3, 0)$ પર: $r_3 = \sqrt{3^2 + 0^2} = 3 \ m$. તેથી,$I_3 = 3 \times (3)^2 = 27 \ kg-m^2$.
$4$. $m_4 = 4 \ kg$ દળ માટે $(-2, -2, 0)$ પર: $r_4 = \sqrt{(-2)^2 + 0^2} = 2 \ m$. તેથી,$I_4 = 4 \times (-2)^2 = 4 \times 4 = 16 \ kg-m^2$.
$x$-અક્ષની આસપાસ કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 + I_3 + I_4 = 0 + 0 + 27 + 16 = 43 \ kg-m^2$ થાય.

(C) એક સળિયા $AB$ ની તેના કેન્દ્ર $P$ માંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_C = \frac{1}{12}ML^2$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,ચોરસના કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને સળિયા $AB$ ની જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I = I_C + Md^2 = \frac{1}{12}ML^2 + M\left(\frac{L}{2}\right)^2 = \frac{1}{12}ML^2 + \frac{1}{4}ML^2 = \frac{1+3}{12}ML^2 = \frac{4}{12}ML^2 = \frac{1}{3}ML^2$.
આવા ચાર સળિયા હોવાથી,ચોરસના કેન્દ્ર $O$ માંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I'$:
$I' = 4 \times I = 4 \times \left(\frac{1}{3}ML^2\right) = \frac{4}{3}ML^2$.

(A) કણોના તંત્રની કોઈ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_i$ એ $i$-માં કણનું અક્ષથી લંબ અંતર છે.
ભ્રમણાક્ષ એ $m_1$ માંથી પસાર થતી ઊંચાઈ છે.
$1$. દળ $m_1$ માટે: કણ અક્ષ પર જ છે,તેથી તેનું લંબ અંતર $r_1 = 0$ છે.
$2$. દળ $m_2$ માટે: અક્ષથી લંબ અંતર $r_2 = a \cos(60^\circ) = \frac{a}{2}$ છે.
$3$. દળ $m_3$ માટે: અક્ષથી લંબ અંતર $r_3 = a \cos(60^\circ) = \frac{a}{2}$ છે.
હવે,કુલ જડત્વની ચાકમાત્રાની ગણતરી કરતા:
$I = m_1(0)^2 + m_2 \left( \frac{a}{2} \right)^2 + m_3 \left( \frac{a}{2} \right)^2$
$I = 0 + m_2 \frac{a^2}{4} + m_3 \frac{a^2}{4}$
$I = (m_2 + m_3) \frac{a^2}{4}$

(B) કણોના તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_i$ એ પરિભ્રમણની અક્ષથી $i$-માં કણનું લંબ અંતર છે.
$x$-અક્ષ માટે,અંતર $r_x = \sqrt{y^2 + z^2}$ છે.
$I_x = 5(0^2+0^2) + 2(0^2+0^2) + 3(3^2+0^2) + 4((-2)^2+0^2) = 0 + 0 + 27 + 16 = 43$ એકમ.
$y$-અક્ષ માટે,અંતર $r_y = \sqrt{x^2 + z^2}$ છે.
$I_y = 5(0^2+0^2) + 2(2^2+0^2) + 3(0^2+0^2) + 4((-2)^2+0^2) = 0 + 8 + 0 + 16 = 24$ એકમ.
$z$-અક્ષ માટે,અંતર $r_z = \sqrt{x^2 + y^2}$ છે.
$I_z = 5(0^2+0^2) + 2(2^2+0^2) + 3(0^2+3^2) + 4((-2)^2+(-2)^2) = 0 + 8 + 27 + 4(4+4) = 35 + 32 = 67$ એકમ.
આમ,જડત્વની ચાકમાત્રા $43, 24, 67$ એકમ છે.

(D) સળિયાને તેના મધ્યબિંદુ $O$ આગળ $90^{\circ}$ ના ખૂણે વાળવામાં આવે છે. આનાથી સળિયાના બે ભાગ $OA$ અને $OB$ બને છે,જેની લંબાઈ $l = L/2$ અને દળ $m = M/2$ છે.
ભ્રમણાક્ષ બિંદુ $O$ માંથી પસાર થાય છે અને વાળેલા સળિયાના સમતલને લંબ છે. $l$ લંબાઈ અને $m$ દળ ધરાવતા સળિયા માટે તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{3} ml^2$ થાય.
ભાગ $OA$ માટે,$O$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_A = \frac{1}{3} \left( \frac{M}{2} \right) \left( \frac{L}{2} \right)^2 = \frac{1}{3} \left( \frac{M}{2} \right) \left( \frac{L^2}{4} \right) = \frac{ML^2}{24}$.
તે જ રીતે,ભાગ $OB$ માટે,$O$ માંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_B = \frac{1}{3} \left( \frac{M}{2} \right) \left( \frac{L}{2} \right)^2 = \frac{ML^2}{24}$.
તંત્રની કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા બંને ભાગોની જડત્વની ચાકમાત્રાનો સરવાળો છે:
$I = I_A + I_B = \frac{ML^2}{24} + \frac{ML^2}{24} = \frac{2ML^2}{24} = \frac{ML^2}{12}$.

(C) આકૃતિ પરથી,ભ્રમણાક્ષ $AX$ થી ત્રણેય કણોના લંબઅંતર નીચે મુજબ છે:
$r_A = 0$
$r_B = l$
$r_C = l \sin 30^\circ = \frac{l}{2}$
તેથી,$AX$ અક્ષને અનુલક્ષીને તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નીચે મુજબ મળે:
$I = m r_A^2 + m r_B^2 + m r_C^2$
$I = m(0)^2 + m(l)^2 + m\left(\frac{l}{2}\right)^2$
$I = 0 + ml^2 + \frac{ml^2}{4}$
$I = \frac{5}{4}ml^2$

(D) તકતી $X$ નું દળ $M_X = (\pi R^2 t) \rho$ છે,જ્યાં $\rho$ એ લોખંડની ઘનતા છે.
તકતી $Y$ નું દળ $M_Y = (\pi (4R)^2 (t/4)) \rho = (4 \pi R^2 t) \rho = 4 M_X$ છે.
વર્તુળાકાર તકતીની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
તકતી $X$ માટે: $I_X = \frac{1}{2} M_X R^2$.
તકતી $Y$ માટે: $I_Y = \frac{1}{2} M_Y (4R)^2 = \frac{1}{2} (4 M_X) (16 R^2) = 64 (\frac{1}{2} M_X R^2) = 64 I_X$.
તેથી,$I_Y = 64 I_X$.

(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર તકતી માટે,તેના સમતલમાં રહેલી અને તેને સ્પર્શતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_1 = \frac{5}{4}MR^2$ છે.
$I = MK^2$ હોવાથી,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K_1 = \sqrt{\frac{I_1}{M}} = \sqrt{\frac{5}{4}}R = \frac{\sqrt{5}}{2}R$ થાય.
$M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી વર્તુળાકાર રિંગ માટે,તેના સમતલમાં રહેલી અને તેને સ્પર્શતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_2 = \frac{3}{2}MR^2$ છે.
ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $K_2 = \sqrt{\frac{I_2}{M}} = \sqrt{\frac{3}{2}}R$ થાય.
આમ,ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $\frac{K_1}{K_2} = \frac{\sqrt{5}/2}{\sqrt{3/2}} = \sqrt{\frac{5}{4} \times \frac{2}{3}} = \sqrt{\frac{5}{6}} = \frac{\sqrt{5}}{\sqrt{6}}$ મળે.

(A) ધારો કે $r_1$ અને $r_2$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર $(CM)$ થી અનુક્રમે $m_1$ અને $m_2$ દ્રવ્યમાનોના અંતર છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યા મુજબ,$m_1 r_1 = m_2 r_2$ અને $r_1 + r_2 = r$.
આ સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $r_1 = \frac{m_2 r}{m_1 + m_2}$ અને $r_2 = \frac{m_1 r}{m_1 + m_2}$ મળે છે.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષ પર જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$r_1$ અને $r_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$I = m_1 \left( \frac{m_2 r}{m_1 + m_2} \right)^2 + m_2 \left( \frac{m_1 r}{m_1 + m_2} \right)^2$
$I = m_1 \frac{m_2^2 r^2}{(m_1 + m_2)^2} + m_2 \frac{m_1^2 r^2}{(m_1 + m_2)^2}$
$I = \frac{m_1 m_2 r^2 (m_2 + m_1)}{(m_1 + m_2)^2}$
$I = \left( \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} \right) r^2$.

(A) કોઈ અક્ષને અનુલક્ષીને કણોના તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જ્યાં $r_i$ એ $i$-માં કણનું ભ્રમણ અક્ષથી લંબ અંતર છે.
અહીં,ભ્રમણ અક્ષ $XX'$ અક્ષ ($x$-અક્ષ) છે.
$x$-અક્ષથી $(x, y)$ બિંદુનું લંબ અંતર $|y|$ થાય.
$1$. $(0, 3)$ પર રહેલા $4 \ kg$ દળ માટે,અંતર $r_1 = |3| = 3 \ m$.
$I_1 = 4 \times (3)^2 = 4 \times 9 = 36 \ kg \cdot m^2$.
$2$. $(0, -2)$ પર રહેલા $2 \ kg$ દળ માટે,અંતર $r_2 = |-2| = 2 \ m$.
$I_2 = 2 \times (2)^2 = 2 \times 4 = 8 \ kg \cdot m^2$.
$3$. $(0, -4)$ પર રહેલા $3 \ kg$ દળ માટે,અંતર $r_3 = |-4| = 4 \ m$.
$I_3 = 3 \times (4)^2 = 3 \times 16 = 48 \ kg \cdot m^2$.
કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I = I_1 + I_2 + I_3 = 36 + 8 + 48 = 92 \ kg \cdot m^2$ થાય.

(B) ભ્રમણ અક્ષ $XX'$ એ $100 \ cm$ $(1 \ m)$ પર છે.
$4 \ kg$ દળનું સ્થાન $70 \ cm$ $(0.7 \ m)$ પર છે. અક્ષથી તેનું અંતર $r_1 = 100 \ cm - 70 \ cm = 30 \ cm = 0.3 \ m$ છે.
$1 \ kg$ દળનું સ્થાન $20 \ cm$ $(0.2 \ m)$ પર છે. અક્ષથી તેનું અંતર $r_2 = 100 \ cm - 20 \ cm = 80 \ cm = 0.8 \ m$ છે.
જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નું સૂત્ર $I = \sum m_i r_i^2$ છે.
$I = (4 \ kg) \times (0.3 \ m)^2 + (1 \ kg) \times (0.8 \ m)^2$.
$I = 4 \times 0.09 + 1 \times 0.64$.
$I = 0.36 + 0.64 = 1 \ kg \cdot m^2$.

(D) ધારો કે ચાર ગોળાઓ $a$ બાજુવાળા ચોરસના ખૂણાઓ $A, B, C$ અને $D$ પર મૂકેલા છે. આપણે બાજુ $AD$ ને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા શોધવી છે.
$A$ અને $D$ પરના ગોળાઓ માટે,અક્ષ $AD$ તેમના કેન્દ્રમાંથી પસાર થાય છે. નક્કર ગોળાની તેના વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = \frac{2}{5}MR^2$ છે.
તેથી,$I_A = I_D = \frac{2}{5}MR^2$.
$B$ અને $C$ પરના ગોળાઓ માટે,અક્ષ $AD$ થી તેમના કેન્દ્રનું અંતર $a$ છે. સમાંતર અક્ષ પ્રમેય $I = I_{cm} + Md^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$I_B = I_C = \frac{2}{5}MR^2 + Ma^2$.
તંત્રની $AD$ અક્ષને અનુલક્ષીને કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા:
$I_{AD} = I_A + I_D + I_B + I_C$
$I_{AD} = \frac{2}{5}MR^2 + \frac{2}{5}MR^2 + (\frac{2}{5}MR^2 + Ma^2) + (\frac{2}{5}MR^2 + Ma^2)$
$I_{AD} = 4(\frac{2}{5}MR^2) + 2Ma^2$
$I_{AD} = \frac{8}{5}MR^2 + 2Ma^2 = 2[\frac{4}{5}MR^2 + Ma^2]$.

(A) આપેલ છે: ત્રિજ્યા $R = 10 \ cm$,જાડાઈ $x = 5 \ mm = 0.5 \ cm$,ઘનતા $\rho = 8 \ g/cc$.
તકતીનું દળ $M = \text{કદ} \times \text{ઘનતા} = (\pi R^2 x) \rho$.
કિંમતો મૂકતા: $M = \pi \times (10)^2 \times 0.5 \times 8 = \pi \times 100 \times 4 = 400\pi \ g$.
$\pi \approx 3.14$ લેતા,$M = 400 \times 3.14 = 1256 \ g$.
વર્તુળાકાર તકતી માટે તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2} M R^2$ છે.
$I = \frac{1}{2} \times (400\pi) \times (10)^2 = 200\pi \times 100 = 20000\pi \ g \ cm^2$.
$I = 20000 \times 3.14 = 62800 \ g \ cm^2 = 6.28 \times 10^4 \ g \ cm^2$.

(A) તકતીની તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{2}MR^2$ છે.
બંને તકતીઓ માટે દળ $M$ અને જાડાઈ $t$ સમાન હોવાથી,$M = \rho V = \rho (\pi R^2 t)$ મળે.
અહીં $M$ અને $t$ અચળ હોવાથી,$\rho R^2 = \text{અચળ}$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $R^2 \propto \frac{1}{\rho}$.
તેથી,ત્રિજ્યાના વર્ગનો ગુણોત્તર $\frac{R_1^2}{R_2^2} = \frac{d_2}{d_1}$ થાય.
જડત્વની ચાકમાત્રાનો ગુણોત્તર $\frac{I_1}{I_2} = \frac{\frac{1}{2} M R_1^2}{\frac{1}{2} M R_2^2} = \frac{R_1^2}{R_2^2}$ છે.
ઘનતાનો સંબંધ મૂકતા,આપણને $\frac{I_1}{I_2} = \frac{d_2}{d_1} = \frac{8.9}{7.2}$ મળે છે.

(D) સળિયાને તેના મધ્યબિંદુએથી બે ભાગમાં વાળવામાં આવે છે,જેમાં દરેકની લંબાઈ $l = L/2$ અને દળ $m = M/2$ છે.
દરેક અડધો ભાગ $L/2$ લંબાઈ અને $M/2$ દળ ધરાવતા પાતળા સળિયા તરીકે વર્તે છે,જે તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને ફરે છે.
$m$ દળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા પાતળા સળિયાની તેના એક છેડામાંથી પસાર થતી અને તેની લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \frac{1}{3}ml^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$m = M/2$ અને $l = L/2$ છે.
તેથી,વળેલા બિંદુ $O$ ને અનુલક્ષીને એક અડધા ભાગની જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{half} = \frac{1}{3} \times (M/2) \times (L/2)^2 = \frac{1}{3} \times \frac{M}{2} \times \frac{L^2}{4} = \frac{ML^2}{24}$ થાય.
કારણ કે બંને અડધા ભાગ સમાન છે અને $O$ માંથી પસાર થતી સમાન અક્ષને અનુલક્ષીને ફરે છે,તેથી કુલ જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{total} = I_{half} + I_{half} = 2 \times \frac{ML^2}{24} = \frac{ML^2}{12}$ થાય.

(A) વર્તુળાકાર તકતીની તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ $I_{disc} = \frac{1}{2}MR^2$ છે. ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યા $(k)$ $I = Mk^2$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે. તેથી,$k_{disc} = \sqrt{\frac{I}{M}} = \sqrt{\frac{R^2}{2}} = \frac{R}{\sqrt{2}}$.
વર્તુળાકાર રીંગની તેની કેન્દ્રિય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ $I_{ring} = MR^2$ છે. તેથી,$k_{ring} = \sqrt{\frac{I}{M}} = \sqrt{R^2} = R$.
તકતી અને રીંગની ચક્રાવર્તનની ત્રિજ્યાનો ગુણોત્તર $\frac{k_{disc}}{k_{ring}} = \frac{R/\sqrt{2}}{R} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ થાય.
તેથી,ગુણોત્તર $1 : \sqrt{2}$ છે.

(C) ધારો કે દ્રવ્યમાન કેન્દ્રથી $m_1$ અને $m_2$ દળના અંતર અનુક્રમે $l_1$ અને $l_2$ છે.
આપેલ છે કે સળિયાની કુલ લંબાઈ $l$ છે,તેથી $l_1 + l_2 = l$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રની વ્યાખ્યા મુજબ,$m_1 l_1 = m_2 l_2$.
$l_2 = l - l_1$ મૂકતા,આપણને $m_1 l_1 = m_2 (l - l_1)$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ આપતા $l_1 = \frac{m_2 l}{m_1 + m_2}$ મળે.
તે જ રીતે,$l_2 = \frac{m_1 l}{m_1 + m_2}$.
દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = m_1 l_1^2 + m_2 l_2^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$l_1$ અને $l_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$I = m_1 \left( \frac{m_2 l}{m_1 + m_2} \right)^2 + m_2 \left( \frac{m_1 l}{m_1 + m_2} \right)^2$
$I = \frac{m_1 m_2^2 l^2 + m_2 m_1^2 l^2}{(m_1 + m_2)^2}$
$I = \frac{m_1 m_2 l^2 (m_2 + m_1)}{(m_1 + m_2)^2}$
$I = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} l^2$.

(B) તકતીનું દળ અવગણ્ય હોવાથી,તંત્રની જડત્વની ચાકમાત્રા ફક્ત ધાર પર જોડાયેલા પાંચ કણો દ્વારા નક્કી કરવામાં આવે છે.
દરેક કણનું દળ $m = 2 \ kg$ છે અને તે પરિભ્રમણની અક્ષથી $r = 0.1 \ m$ અંતરે છે.
કણોના તંત્ર માટે જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \sum m_i r_i^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
બધા $5$ કણો કેન્દ્રથી સમાન અંતર $r$ પર હોવાથી,$I = 5 \times m \times r^2$ થાય.
કિંમતો મૂકતા: $I = 5 \times 2 \times (0.1)^2 = 10 \times 0.01 = 0.1 \ kg \cdot m^2$.

(B) રીંગની તેની કેન્દ્રીય અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
રીંગ સમાન દ્રવ્ય અને સમાન જાડાઈની હોવાથી,તેનું દળ $M$ તેની પરિઘના સમપ્રમાણમાં હોય છે,એટલે કે $M \propto R$.
તેથી,જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2 \propto R \cdot R^2 = R^3$ થાય.
હવે,ગુણોત્તર લેતા: $\frac{I_1}{I_2} = (\frac{R_1}{R_2})^3 = (\frac{0.2}{0.6})^3 = (\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$.

(B) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વલયની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = MR^2$ છે.
લંબ અક્ષના પ્રમેય મુજબ,$I_z = I_x + I_y$ થાય.
વલય સંમિત હોવાથી,કોઈપણ વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા સમાન હોય છે,તેથી $I_x = I_y = I_d$ લેતા.
આમ,$I_z = 2I_d$,જેનો અર્થ છે કે $MR^2 = 2I_d$.
તેથી,વ્યાસને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_d = \frac{1}{2}MR^2$ થાય.

(A) $M$ દળ અને $R$ ત્રિજ્યા ધરાવતી સંપૂર્ણ વર્તુળાકાર રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = MR^2$ છે.
અર્ધવર્તુળાકાર રીંગ એ સંપૂર્ણ રીંગનો અડધો ભાગ હોવાથી,આપણે તેને કણોના તંત્ર તરીકે વિચારી શકીએ છીએ જ્યાં દરેક કણ કેન્દ્રથી $R$ અંતરે છે.
જડત્વની ચાકમાત્રાની વ્યાખ્યા $I = \sum m_i r_i^2$ છે.
અર્ધવર્તુળાકાર રીંગ માટે,દરેક દળનો અંશ $dm$ કેન્દ્રથી $R$ અંતરે છે.
તેથી,$I = \int r^2 dm = \int R^2 dm = R^2 \int dm = MR^2$.
આમ,અર્ધવર્તુળાકાર રીંગની તેના કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને તેના સમતલને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $MR^2$ થાય છે.

(B) કોઈ પદાર્થની અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I = \int r^2 dm$ દ્વારા આપવામાં આવે છે। કુલ દળ નિશ્ચિત હોય ત્યારે જડત્વની ચાકમાત્રા મહત્તમ કરવા માટે, દળને પરિભ્રમણની અક્ષથી શક્ય તેટલું દૂર રાખવું જોઈએ। લોખંડની ઘનતા $(\rho \approx 7870 \ kg/m^3)$ એલ્યુમિનિયમની ઘનતા $(\rho \approx 2700 \ kg/m^3)$ કરતા ઘણી વધારે હોવાથી, વધુ ઘનતા ધરાવતા પદાર્થ (લોખંડ) ને બહારની ધાર પર રાખવાથી કેન્દ્રમાં રાખવા કરતા જડત્વની ચાકમાત્રામાં વધારો થાય છે। તેથી, અંદરનો ભાગ એલ્યુમિનિયમનો અને બહારનો ભાગ લોખંડનો હોવો જોઈએ।

(D) દ્રઢ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ ને $I = \sum m_i r_i^2$ તરીકે વ્યાખ્યાયિત કરવામાં આવે છે,જ્યાં $m_i$ એ $i$-માં કણનું દળ છે અને $r_i$ એ ભ્રમણાક્ષથી તેનું લંબ અંતર છે.
$1$. તે પદાર્થના દળ $(m)$ પર આધાર રાખે છે.
$2$. તે ભ્રમણાક્ષની સાપેક્ષ દળના વિતરણ $(r_i)$ પર આધાર રાખે છે.
$3$. તે ભ્રમણાક્ષના સ્થાન અને દિશા પર આધાર રાખે છે.
આમ,આપેલા તમામ પરિબળો જડત્વની ચાકમાત્રાને અસર કરે છે,તેથી સાચો વિકલ્પ $(D)$ છે.

(A) દ્રઢ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $(I)$ ની વ્યાખ્યા $I = \sum m_i r_i^2$ છે,જ્યાં $m_i$ એ $i$-માં કણનું દળ છે અને $r_i$ એ ભ્રમણાક્ષથી તેનું લંબ અંતર છે.
આ વ્યાખ્યા પરથી સ્પષ્ટ છે કે જડત્વની ચાકમાત્રા પદાર્થના દળ,અક્ષની સાપેક્ષે દળનું વિતરણ અને ભ્રમણાક્ષના સ્થાન/દિશા પર આધાર રાખે છે.
તે પદાર્થની ગતિની અવસ્થા,જેમ કે તેનો કોણીય વેગ $(ω)$ કે કોણીય પ્રવેગ $(α)$ પર આધાર રાખતી નથી.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) $M$ દળ અને $l$ લંબાઈ ધરાવતા પાતળા સળિયાની તેના દ્રવ્યમાન કેન્દ્રમાંથી પસાર થતી અને લંબાઈને લંબ અક્ષને અનુલક્ષીને જડત્વની ચાકમાત્રા $I_{cm} = Ml^2/12$ છે.
સમાંતર અક્ષના પ્રમેયનો ઉપયોગ કરતા,$I = I_{cm} + Md^2$,જ્યાં $d$ એ દ્રવ્યમાન કેન્દ્ર અને પરિભ્રમણની અક્ષ વચ્ચેનું અંતર છે.
એક છેડામાંથી પસાર થતી અક્ષ માટે,અંતર $d = l/2$ છે.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે $I = Ml^2/12 + M(l/2)^2$.
$I = Ml^2/12 + Ml^2/4$.
$I = (Ml^2 + 3Ml^2)/12 = 4Ml^2/12 = Ml^2/3$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(D) કોઈ પદાર્થની જડત્વની ચાકમાત્રા $I$ નું સૂત્ર $I = MK^2$ છે,જ્યાં $M$ એ દળ છે અને $K$ એ ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા છે.
આપેલ છે: $M = 10 \ kg$ અને $I = 160 \ kg \ m^2$.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$160 = 10 \times K^2$
$K^2 = \frac{160}{10} = 16$
$K = \sqrt{16} = 4 \ m$.
તેથી,ચક્રાવર્તન ત્રિજ્યા $4 \ m$ છે.