Third Law of Motion and Momentum and Impulse Questions in Hindi

(A) मान लीजिए कि दीवार का अभिलंब $y$-अक्ष के अनुदिश है और दीवार $x$-अक्ष के अनुदिश है।
प्रारंभिक वेग $\vec{v}_1 = v \sin \theta \hat{i} - v \cos \theta \hat{j}$ है।
अंतिम वेग $\vec{v}_2 = v \sin \theta \hat{i} + v \cos \theta \hat{j}$ है।
प्रारंभिक संवेग $\vec{P}_1 = m\vec{v}_1 = m v \sin \theta \hat{i} - m v \cos \theta \hat{j}$ है।
अंतिम संवेग $\vec{P}_2 = m\vec{v}_2 = m v \sin \theta \hat{i} + m v \cos \theta \hat{j}$ है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{P} = \vec{P}_2 - \vec{P}_1$ है।
$\Delta \vec{P} = (m v \sin \theta \hat{i} + m v \cos \theta \hat{j}) - (m v \sin \theta \hat{i} - m v \cos \theta \hat{j}) = 2 m v \cos \theta \hat{j}$ है।
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{P}| = 2 m v \cos \theta$ है।

(C) दिया गया रैखिक संवेग सदिश $\overrightarrow{P} = P_x \hat{i} + P_y \hat{j} = (2\cos t) \hat{i} + (2\sin t) \hat{j}$ है।
बल $\overrightarrow{F}$ रैखिक संवेग के परिवर्तन की दर है: $\overrightarrow{F} = \frac{d\overrightarrow{P}}{dt}$.
अवकलन करने पर: $\overrightarrow{F} = \frac{d}{dt}(2\cos t) \hat{i} + \frac{d}{dt}(2\sin t) \hat{j} = (-2\sin t) \hat{i} + (2\cos t) \hat{j}$.
$\overrightarrow{F}$ और $\overrightarrow{P}$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए,हम डॉट प्रोडक्ट सूत्र का उपयोग करते हैं: $\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{P} = |\overrightarrow{F}| |\overrightarrow{P}| \cos \theta$.
डॉट प्रोडक्ट की गणना करने पर: $\overrightarrow{F} \cdot \overrightarrow{P} = (-2\sin t)(2\cos t) + (2\cos t)(2\sin t) = -4\sin t \cos t + 4\sin t \cos t = 0$.
चूंकि डॉट प्रोडक्ट $0$ है,इसलिए सदिश परस्पर लंबवत हैं,जिसका अर्थ है कि $\cos \theta = 0$,अतः $\theta = 90^o$.

(C) आवेग को बल और समय अंतराल के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$\text{आवेग} = \text{बल} \times \text{समय}$
चूंकि बल का मात्रक $kg \cdot m/s^2$ (न्यूटन) है और समय का मात्रक $s$ है:
$\text{आवेग का मात्रक} = (kg \cdot m/s^2) \times s = kg \cdot m/s$
अतः,सही मात्रक $kg \cdot m/s$ है।

(A) संवेग की विमा $p = mv = [M][L][T^{-1}] = [MLT^{-1}]$ द्वारा दी जाती है।
आवेग को बल और समय के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,$I = F \times \Delta t$।
बल की विमा $[MLT^{-2}]$ है और समय की $[T]$ है।
अतः,आवेग की विमा $[MLT^{-2}] \times [T] = [MLT^{-1}]$ होती है।
चूंकि आवेग और संवेग दोनों की विमाएँ $[MLT^{-1}]$ हैं,इसलिए वे समान हैं।

(B) जब डोरी $C$ को अचानक झटका दिया जाता है,तो उस पर एक आवेगी बल कार्य करता है। $1 \ kg$ द्रव्यमान के जड़त्व के कारण,यह तुरंत गति नहीं करता है।
यह आवेगी बल डोरी $C$ में बहुत अधिक तनाव पैदा करता है जो उसकी तोड़ने की क्षमता से अधिक हो जाता है।
चूंकि आवेग सीधे $C$ पर लगाया जाता है और द्रव्यमान एक बफर के रूप में कार्य करता है,इसलिए तनाव तुरंत डोरी $A$ तक नहीं पहुंच पाता है।
इसलिए,आवेग के $A$ तक पहुँचने से पहले ही डोरी $C$ टूट जाती है।

(B) किसी वस्तु पर कार्य करने वाला आवेग $J$ उसके रैखिक संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है,जिसे $J = \Delta p = m(v_f - v_i)$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 10 \, kg$,प्रारंभिक वेग $v_i = 10 \, m/s$,और अंतिम वेग $v_f = -2 \, m/s$ (क्योंकि यह विपरीत दिशा में है)।
मान रखने पर: $J = 10 \times (-2 - 10) = 10 \times (-12) = -120 \, N \cdot s$.
अतः,वस्तु पर कार्य करने वाला आवेग $-120 \, N \cdot s$ है।

(D) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 250\, g = 0.25\, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 10\, m/s$,अंतिम वेग $v = -10\, m/s$ (क्योंकि यह विपरीत दिशा में वापस लौटती है),और समय अंतराल $\Delta t = 0.01\, s$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m(v - u)}{\Delta t}$
मान रखने पर:
$F = \frac{0.25 \times (-10 - 10)}{0.01}$
$F = \frac{0.25 \times (-20)}{0.01}$
$F = \frac{-5}{0.01} = -500\, N$
गेंद पर लगे बल का परिमाण $500\, N$ है।

(B) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी वस्तु पर लगाया गया आवेग (Impulse) उसके संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
आवेग $(J)$ को बल $(F)$ और उस समय अंतराल $(\Delta t)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके दौरान यह कार्य करता है।
दिया गया है:
बल $(F)$ = $10 \, N$
समय अंतराल $(\Delta t)$ = $10 \, s$
संवेग में परिवर्तन $(\Delta p)$ = $F \times \Delta t$
$\Delta p = 10 \, N \times 10 \, s = 100 \, kg \cdot m/s$।
अतः,संवेग में परिवर्तन $100 \, kg \cdot m/s$ है।

(B) दिया गया है:
गेंद का द्रव्यमान,$m = 150 \, g = 0.15 \, kg$.
प्रारंभिक वेग,$u = 20 \, m/s$.
अंतिम वेग,$v = 0 \, m/s$ (क्योंकि गेंद पकड़ ली जाती है)।
लिया गया समय,$\Delta t = 0.1 \, s$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,लगाया गया बल संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m(v - u)}{\Delta t}$
$F = \frac{0.15 \times (0 - 20)}{0.1}$
$F = \frac{0.15 \times (-20)}{0.1} = \frac{-3}{0.1} = -30 \, N$.
अतः,गेंद द्वारा हाथों पर लगाए गए बल का परिमाण $30 \, N$ है।

(D) मशीन गन द्वारा लगाया गया बल दागी गई गोलियों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
$F = \frac{dp}{dt} = v \cdot \frac{dm}{dt}$
यहाँ,$v = 1200\,m/s$ गोली का वेग है।
माना $n$ प्रति सेकंड दागी गई गोलियों की संख्या है।
एक गोली का द्रव्यमान $m = 40\,g = 40 \times 10^{-3}\,kg = 0.04\,kg$ है।
प्रति सेकंड दागा गया कुल द्रव्यमान $\frac{dm}{dt} = n \times m$ है।
अधिकतम बल $F = 144\,N$ दिया गया है,इसलिए:
$144 = 1200 \times (n \times 0.04)$
$144 = 1200 \times 0.04 \times n$
$144 = 48 \times n$
$n = \frac{144}{48} = 3$.
अतः,व्यक्ति प्रति सेकंड अधिकतम $3$ गोलियां दाग सकता है।

(B) किसी वस्तु का संवेग $p$ उसके द्रव्यमान $m$ और वेग $v$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित होता है,जिसका सूत्र $p = mv$ है।
चूंकि वस्तु का द्रव्यमान $m$ स्थिर रहता है,इसलिए संवेग $p$ चाल $v$ के सीधे आनुपातिक होता है $(p \propto v)$।
जब चाल को दोगुना कर दिया जाता है $(v' = 2v)$,तो नया संवेग $p'$ का मान $p' = m(2v) = 2(mv) = 2p$ हो जाता है।
अतः,वस्तु का संवेग दोगुना हो जाता है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ का मान $4$ गुना बढ़ जाएगा,न कि $2$ गुना।

(A) पिंड का प्रारंभिक संवेग $p_i = mv$ है (दीवार की ओर की दिशा को धनात्मक लेते हुए)।
टक्कर के बाद,पिंड विपरीत दिशा में उसी चाल $v$ से वापस लौटता है,इसलिए अंतिम संवेग $p_f = -mv$ है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta p$ को अंतिम संवेग और प्रारंभिक संवेग के अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है:
$\Delta p = p_f - p_i$
$\Delta p = (-mv) - (mv) = -2\,mv$.
चूंकि संवेग में परिवर्तन का परिमाण पूछा गया है,इसलिए हम निरपेक्ष मान लेते हैं: $|\Delta p| = 2\,mv$.

(A) दीवार द्वारा गोलियों पर लगाया गया बल गोलियों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
प्रत्येक गोली का द्रव्यमान $m$ और वेग $v$ है,इसलिए एक गोली का संवेग $p = mv$ है।
चूंकि प्रति सेकंड $n$ गोलियाँ दीवार से टकराती हैं,इसलिए प्रति सेकंड संवेग में कुल परिवर्तन $\Delta p = n \times (mv - 0) = nmv$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है: $F = \frac{dp}{dt} = nmv$.
अतः,दीवार द्वारा प्रदान किया गया प्रतिक्रिया बल $nmv$ है।

(A) गेंद द्वारा दीवार पर लगाया गया बल गेंद के संवेग में परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
गेंद का प्रारंभिक संवेग,$p_i = mv$.
परावर्तन के बाद गेंद का अंतिम संवेग,$p_f = -mv$ (क्योंकि यह विपरीत दिशा में गति करती है)।
संवेग में परिवर्तन,$\Delta p = p_f - p_i = -mv - mv = -2mv$.
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta p| = 2mv$ है।
दीवार पर लगाया गया बल $F = \frac{|\Delta p|}{t} = \frac{2mv}{t}$ द्वारा दिया जाता है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 0.5\, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 2\, m/s$,अंतिम वेग $v = -2\, m/s$ (क्योंकि यह वापस उछलती है),और संपर्क समय $\Delta t = 1\, ms = 10^{-3}\, s$.
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,औसत बल $F_{av}$ संवेग परिवर्तन की दर है:
$F_{av} = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{m(v - u)}{\Delta t}$
$F_{av} = \frac{0.5 \times (-2 - 2)}{10^{-3}}$
$F_{av} = \frac{0.5 \times (-4)}{10^{-3}} = \frac{-2}{10^{-3}} = -2000\, N$.
दीवार द्वारा गेंद पर लगाए गए औसत बल का परिमाण $2000\, N$ है।

(A) दिया गया रैखिक संवेग सदिश $\vec{p} = p_x \hat{i} + p_y \hat{j} = (2\cos t) \hat{i} + (2\sin t) \hat{j}$ है।
बल $\vec{F}$ रैखिक संवेग के परिवर्तन की दर है,इसलिए $\vec{F} = \frac{d\vec{p}}{dt}$.
अवकलन करने पर: $\vec{F} = \frac{d}{dt}(2\cos t) \hat{i} + \frac{d}{dt}(2\sin t) \hat{j} = (-2\sin t) \hat{i} + (2\cos t) \hat{j}$.
$\vec{F}$ और $\vec{p}$ के बीच का कोण ज्ञात करने के लिए,हम उनका अदिश गुणनफल (dot product) निकालते हैं: $\vec{F} \cdot \vec{p} = [(-2\sin t)(2\cos t)] + [(2\cos t)(2\sin t)]$.
$\vec{F} \cdot \vec{p} = -4\sin t \cos t + 4\sin t \cos t = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $\vec{F} \cdot \vec{p} = |\vec{F}| |\vec{p}| \cos \theta = 0$ है,और कोई भी सदिश शून्य सदिश नहीं है,इसलिए $\cos \theta = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\theta = 90^o$।

(A) $1$. बल्ले से टकराते समय गेंद का वेग:
$v_1 = \sqrt{2gh_1} = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = 10\, m/s$ (नीचे की ओर)।
$2$. बल्ले से छूटने के बाद गेंद का वेग:
$v_2 = \sqrt{2gh_2} = \sqrt{2 \times 10 \times 20} = 20\, m/s$ (ऊपर की ओर)।
$3$. आवेग-संवेग प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$F_{avg} \times \Delta t = m(v_{final} - v_{initial})$
ऊपर की दिशा को धनात्मक (+) लेने पर,$v_{final} = +20\, m/s$ और $v_{initial} = -10\, m/s$ है।
यहाँ $m = 400\, g = 0.4\, kg$ और $F_{avg} = 100\, N$ है।
$100 \times \Delta t = 0.4 \times (20 - (-10))$
$100 \times \Delta t = 0.4 \times 30$
$100 \times \Delta t = 12$
$\Delta t = 0.12\, s$.

(A) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,लगाया गया बल संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
$\vec{F} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t}$
दिया गया है:
बल,$F = 2 \, N$
संवेग में परिवर्तन,$\Delta p = 0.4 \, kg \cdot m/s$
समय $\Delta t$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\Delta t = \frac{\Delta p}{F}$
$\Delta t = \frac{0.4}{2} = 0.2 \, s$
अतः,आवश्यक समय $0.2 \, s$ है।

(C) तैरना न्यूटन के गति के $\text{तीसरे}$ नियम के कारण संभव है।
जब एक तैराक अपने हाथों और पैरों से पानी को पीछे की ओर धकेलता है, तो पानी तैराक पर आगे की दिशा में समान और विपरीत बल लगाता है।
यह क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म तैराक को पानी में आगे बढ़ने में मदद करता है।

(B) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।
जब कोई व्यक्ति नाव से आगे की ओर कूदता है,तो वह व्यक्ति नाव पर आगे की दिशा में बल लगाता है (क्रिया)।
इसके जवाब में,नाव व्यक्ति पर समान और विपरीत बल लगाती है,और व्यक्ति नाव पर पीछे की दिशा में समान और विपरीत बल लगाता है (प्रतिक्रिया)।
इसलिए,नाव पीछे की ओर गति करती है।

(C) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।
पूरी तरह से चिकनी (घर्षण रहित) सतह पर,एक आदमी सामान्य रूप से नहीं चल सकता क्योंकि आवश्यक प्रतिक्रिया बल प्रदान करने के लिए कोई घर्षण नहीं होता है।
हालाँकि,यदि आदमी किनारे की विपरीत दिशा में किसी वस्तु को फेंकता है,तो वह वस्तु आदमी पर समान और विपरीत बल लगाती है।
यह प्रतिक्रिया बल आदमी को किनारे की ओर धकेलता है,जिससे वह घर्षण की कमी के बावजूद गति कर सकता है।

(C) जब तोप से गोला दागा जाता है,तो तोप गोले पर एक बड़ा बल लगाती है,जिससे गोला लंबी दूरी तय करता है। यह बल 'क्रिया' है।
उसी समय,गोला तोप पर समान और विपरीत बल लगाता है,जिसके कारण तोप पीछे की ओर हटती है (प्रतिक्रिया)। यह बल 'प्रतिक्रिया' है।
चूंकि यह क्रिया-प्रतिक्रिया का जोड़ा है,इसलिए यह न्यूटन के गति के तीसरे नियम द्वारा संचालित होता है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है। ये दोनों बल हमेशा एक साथ अलग-अलग पिंडों पर कार्य करते हैं। इसलिए,वे एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त नहीं करते हैं।

(D) गन को स्थिर रखने के लिए आवश्यक बल गोलियों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
दिया गया है:
प्रति सेकंड गोलियों की संख्या $(n)$ = $20 \, s^{-1}$
प्रत्येक गोली का द्रव्यमान $(m)$ = $150 \, g = 0.15 \, kg$
प्रत्येक गोली का वेग $(v)$ = $800 \, m/s$
बल $(F)$ ज्ञात करने का सूत्र:
$F = n \times m \times v$
$F = 20 \times 0.15 \times 800$
$F = 20 \times 120$
$F = 2400 \, N.$

(D) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।
किताब द्वारा मेज पर लगाया गया क्रिया बल नीचे की ओर कार्य करता है।
मेज द्वारा किताब पर लगाया गया प्रतिक्रिया बल ऊपर की ओर कार्य करता है।
चूंकि ये दोनों बल एक ही रेखा पर लेकिन बिल्कुल विपरीत दिशाओं में कार्य करते हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $180^o$ है।

(D) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है। जब छात्र अपने बाल खींचता है,तो वह अपने बालों पर बल लगाता है,और उसके बाल उसके हाथ पर समान और विपरीत बल लगाते हैं। चूंकि छात्र और उसके बाल दोनों एक ही निकाय का हिस्सा हैं,इसलिए ये बल आंतरिक बल हैं। आंतरिक बल किसी निकाय के द्रव्यमान केंद्र की गति की स्थिति को नहीं बदल सकते हैं। इसलिए,छात्र खुद को ऊपर नहीं उठा सकता है।

(A) किसी पिंड पर लगाया गया आवेग (Impulse) उसके संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार:
$Impulse = F \times \Delta t = \Delta p$
दिया गया है:
बल $(F)$ = $250\, N$
संवेग में परिवर्तन $(\Delta p)$ = $125\, kg \cdot m/s$
हमें समय अंतराल $(\Delta t)$ ज्ञात करना है:
$\Delta t = \frac{\Delta p}{F}$
$\Delta t = \frac{125}{250} = 0.5\, s$
अतः,वह अवधि जिसके लिए बल पिंड पर कार्य करता है,$0.5\, s$ है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 150\,g = 0.15\,kg$,त्वरण $a = 20\,m/s^2$,समय $t = 0.1\,s$.
आवेग (Impulse) संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है,जो बल और समय के गुणनफल के बराबर होता है।
आवेग $J = F \times t = (m \times a) \times t$.
मान रखने पर: $J = 0.15\,kg \times 20\,m/s^2 \times 0.1\,s$.
$J = 3\,N \times 0.1\,s = 0.3\,N-s$.
अतः,आवेगी बल $0.3\,N-s$ है।

(B) आवेग (Impulse) को किसी वस्तु के संवेग में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है। गणितीय रूप से,यह $J = \Delta p = F \times \Delta t$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आवेग सीधे संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है,इसलिए यह दिए गए विकल्पों में सबसे निकटता से संबंधित राशि है।
बल संवेग परिवर्तन की दर है $(F = \frac{dp}{dt})$,जिसमें समय का विभाजन होता है।
गतिज ऊर्जा $(K.E. = \frac{p^2}{2m})$ संवेग और द्रव्यमान दोनों पर निर्भर करती है।
शक्ति कार्य करने की दर है और यह आवेग की तरह संवेग से सीधे मौलिक रूप से संबंधित नहीं है।
इसलिए,आवेग सही उत्तर है।

(C) आवेग $(I)$ को बल $(F)$ और उस समय अंतराल $(\Delta t)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके लिए यह कार्य करता है।
दिया गया है:
बल $(F)$ = $50\, dynes = 50 \times 10^{-5}\, N$ (चूंकि $1\, dyne = 10^{-5}\, N$)
समय अंतराल $(\Delta t)$ = $3\, s$
आवेग $(I)$ = $F \times \Delta t$
$I = (50 \times 10^{-5}\, N) \times (3\, s)$
$I = 150 \times 10^{-5}\, Ns$
$I = 1.5 \times 10^{-3}\, Ns$

(C) गोली पर लगने वाला बल $F = 600 - 2 \times 10^5 t$ है।
जब गोली बैरल से बाहर निकलती है,तो बल शून्य हो जाता है,इसलिए $F = 0$.
$600 - 2 \times 10^5 t = 0$
$2 \times 10^5 t = 600$
$t = \frac{600}{2 \times 10^5} = 3 \times 10^{-3} \ s$.
आवेग $I$ समय के सापेक्ष बल का समाकलन है: $I = \int_{0}^{t} F \ dt$.
$I = \int_{0}^{3 \times 10^{-3}} (600 - 2 \times 10^5 t) \ dt$
$I = [600t - 10^5 t^2]_{0}^{3 \times 10^{-3}}$
$I = 600(3 \times 10^{-3}) - 10^5(3 \times 10^{-3})^2$
$I = 1.8 - 10^5(9 \times 10^{-6})$
$I = 1.8 - 0.9 = 0.9 \ N-s$.

(C) सही संबंध $\overrightarrow{F} \Delta t = m \Delta \overrightarrow{v}$ है,जो आवेग-संवेग प्रमेय को दर्शाता है।
इससे,हम लिख सकते हैं $F = \frac{m \Delta \overrightarrow{v}}{\Delta t}$।
जब आप जमीन पर उतरते समय अपने घुटनों को मोड़ते हैं,तो वह समय अंतराल $\Delta t$ बढ़ जाता है जिसके दौरान आपका वेग शून्य हो जाता है।
चूंकि संवेग में परिवर्तन $m \Delta \overrightarrow{v}$ स्थिर है,इसलिए समय $\Delta t$ को बढ़ाने से आपके घुटनों पर लगने वाला आवेगी बल $F$ कम हो जाता है,जिससे चोट लगने का खतरा कम हो जाता है।

(B) किसी कण पर कार्य करने वाला आवेग उसके संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
आवेग $J = \Delta p = m(v_f - v_i)$.
स्थिति-समय ग्राफ से,वेग $v$ रेखा का ढाल (slope) है।
$t = 0$ से $t = 2 \,s$ के लिए,वेग $v_i = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{4 - 0}{2 - 0} = 2 \,m/s$.
$t > 2 \,s$ के लिए,स्थिति स्थिर है $(x = 4 \,m)$,इसलिए वेग $v_f = 0 \,m/s$.
कण का द्रव्यमान $m = 0.1 \,kg$ है।
अतः,$t = 2 \,s$ पर आवेग $J = 0.1 \,kg \times (0 \,m/s - 2 \,m/s) = -0.2 \,kg \,m \,s^{-1}$ है।

(D) कण के संवेग में परिवर्तन $(\Delta p)$ आवेग के बराबर होता है,जो बल-समय $(F-t)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल द्वारा दिया जाता है।
$\Delta p = \int F \, dt = F-t \text{ वक्र के अंतर्गत क्षेत्रफल}$.
दिए गए ग्राफ में,$t = 2 \ s$ से $t = 6 \ s$ तक का क्षेत्रफल समय अक्ष के ऊपर है,जो धनात्मक आवेग को दर्शाता है।
$t = 0 \ s$ से $t = 2 \ s$ और $t = 6 \ s$ से $t = 8 \ s$ तक का क्षेत्रफल समय अक्ष के नीचे है,जो ऋणात्मक आवेग को दर्शाता है।
वक्र की समरूपता के कारण,धनात्मक क्षेत्रफल ($2 \ s$ और $6 \ s$ के बीच) का परिमाण कुल ऋणात्मक क्षेत्रफल ($0$ से $2 \ s$ और $6$ से $8 \ s$ तक) के परिमाण के बराबर है।
अतः,कुल क्षेत्रफल $0$ है,जिसका अर्थ है कि $0$ से $8 \ s$ के अंतराल में कण द्वारा प्राप्त कुल संवेग $0 \ N-s$ होगा।

(C) पिंड पर लगाया गया आवेग (Impulse) उसके संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है: $J = \Delta p = m(v_f - v_i)$ ... $(i)$
आवेग बल-समय ग्राफ के नीचे के क्षेत्रफल के भी बराबर होता है:
क्षेत्रफल $= \text{त्रिभुज का क्षेत्रफल} (0-2s) + \text{आयत का क्षेत्रफल} (2-4s) + \text{समलंब का क्षेत्रफल} (4-4.5s) + \text{आयत का क्षेत्रफल} (4.5-6.5s)$
क्षेत्रफल $= (\frac{1}{2} \times 2 \times 4) + (2 \times 4) + (\frac{1}{2} \times (4 + 2.5) \times 0.5) + (2 \times 2.5)$
क्षेत्रफल $= 4 + 8 + 1.625 + 5 = 18.625\, Ns$
समीकरण $(i)$ और गणना किए गए आवेग की तुलना करने पर:
$m(v_f - v_i) = 18.625$
$2(v_f - 5) = 18.625$
$v_f - 5 = 9.3125$
$v_f = 14.3125\, ms^{-1}$
*नोट: दिए गए विकल्पों को देखते हुए,$14.25$ सबसे निकटतम उत्तर है।*

(C) कण पर लगाया गया आवेग उसके संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
चूंकि कण प्रारंभ में विरामावस्था में है, इसलिए अंतिम संवेग $p = mu$ आवेग के बराबर है, जो $F-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल है।
ग्राफ एक अर्धवृत्त है जिसकी त्रिज्या $r_1 = F_0$ (ऊंचाई) और $r_2 = T/2$ (आधार की चौड़ाई) है।
अर्धवृत्त का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \pi r_1 r_2$ द्वारा दिया जाता है।
अतः, $mu = \frac{1}{2} \pi (F_0) (T/2)$.
$mu = \frac{\pi F_0 T}{4}$.
वेग $u$ के लिए हल करने पर, हमें $u = \frac{\pi F_0 T}{4m}$ प्राप्त होता है।

(D) किसी पिंड पर लगाया गया आवेग उसके संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है। आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,आवेग बल-समय $(F-t)$ ग्राफ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफल के बराबर होता है।
आवेग = $F-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल
ग्राफ में $t = 0$ से $t = 2\,s$ तक एक त्रिभुज और $t = 2\,s$ से $t = 6\,s$ तक एक आयत है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल = $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 2\,s \times 10\,N = 10\,N-s$.
आयत का क्षेत्रफल = $\text{लंबाई} \times \text{चौड़ाई} = (6 - 2)\,s \times 10\,N = 4\,s \times 10\,N = 40\,N-s$.
प्राप्त कुल संवेग = कुल क्षेत्रफल = $10\,N-s + 40\,N-s = 50\,N-s$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) आवेग (impulse) को बल-समय $(F-t)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
आकृति $(I)$ (आयत) के लिए: $\text{क्षेत्रफल} = \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = 1.0 \times 0.25 = 0.25 \text{ इकाई}$.
आकृति $(II)$ (त्रिभुज) के लिए: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 2.0 \times 0.3 = 0.3 \text{ इकाई}$.
आकृति $(III)$ (त्रिभुज) के लिए: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 1.0 \times 1.0 = 0.5 \text{ इकाई}$.
आकृति $(IV)$ (त्रिभुज) के लिए: $\text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times 1.0 \times 1.0 = 0.5 \text{ इकाई}$.
क्षेत्रफलों की तुलना करने पर,आकृति $(III)$ और $(IV)$ के लिए आवेग सबसे अधिक है।

(D) प्रारंभिक संवेग $P_1 = 10 \, kg \cdot m/s$ है।
बल $F = 0.2 \, N$,समय $t = 10 \, s$ के लिए कार्य करता है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta P = F \times t = 0.2 \times 10 = 2 \, kg \cdot m/s$ है।
अंतिम संवेग $P_2 = P_1 + \Delta P = 10 + 2 = 12 \, kg \cdot m/s$ है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{P^2}{2m}$ होती है।
गतिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta K = \frac{P_2^2 - P_1^2}{2m}$ है।
$\Delta K = \frac{12^2 - 10^2}{2 \times 5} = \frac{144 - 100}{10} = \frac{44}{10} = 4.4 \, J$।

(C) पिंड पर लगाया गया बल संवेग परिवर्तन की दर है: $\vec{F} = \frac{\Delta \vec{P}}{\Delta t}$.
मान लीजिए कि दीवार $y$-अक्ष के अनुदिश है। प्रारंभिक वेग सदिश $\vec{v}_i = v \sin \theta \hat{i} + v \cos \theta \hat{j}$ है।
अंतिम वेग सदिश $\vec{v}_f = -v \sin \theta \hat{i} + v \cos \theta \hat{j}$ है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{P} = m(\vec{v}_f - \vec{v}_i) = m(-2v \sin \theta \hat{i}) = -2mv \sin \theta \hat{i}$ है।
यहाँ $m = 0.1\,kg$,$v = 5\,m/s$,$\theta = 60^\circ$,और $\Delta t = 2 \times 10^{-3}\,s$ दिया गया है।
मान रखने पर: $\Delta P_x = -2 \times 0.1 \times 5 \times \sin(60^\circ) = -1 \times \frac{\sqrt{3}}{2} = -0.5\sqrt{3}\,kg\cdot m/s$.
बल $\vec{F} = \frac{-0.5\sqrt{3}}{2 \times 10^{-3}} = -250\sqrt{3}\,N$.
ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि दीवार द्वारा पिंड पर लगाया गया बल बाईं दिशा में है।

(C) संवेग में परिवर्तन को $\Delta \vec{P} = \vec{P}_{final} - \vec{P}_{initial}$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सीसे की गेंद के लिए,यह दीवार से टकराकर नीचे गिरती है,इसलिए इसका अंतिम वेग $0$ है। अतः,$\Delta \vec{P}_{lead} = 0 - m\vec{v} = -m\vec{v}$। परिवर्तन का परिमाण $m\vec{v}$ है।
टेनिस की गेंद के लिए,यह विपरीत दिशा में समान वेग $\vec{v}$ के साथ वापस उछलती है,इसलिए इसका अंतिम वेग $-\vec{v}$ है। अतः,$\Delta \vec{P}_{tennis} = m(-\vec{v}) - m\vec{v} = -2m\vec{v}$। परिवर्तन का परिमाण $2m\vec{v}$ है।
परिमाणों की तुलना करने पर,$|\Delta \vec{P}_{tennis}| > |\Delta \vec{P}_{lead}|$। इसलिए,टेनिस की गेंद के संवेग में अधिक परिवर्तन होता है।

(D) पिंड का प्रारंभिक संवेग $p_i = Mv$ है (प्रारंभिक दिशा को धनात्मक लेने पर)।
चूंकि पिंड उसी गति से वापस लौटता है,इसलिए अंतिम वेग $-v$ होगा।
अतः,अंतिम संवेग $p_f = M(-v) = -Mv$ होगा।
संवेग में परिवर्तन $\Delta p$ को $\Delta p = p_f - p_i$ द्वारा ज्ञात किया जाता है।
मान रखने पर: $\Delta p = -Mv - (Mv) = -2Mv$।

(B) दीवार पर लगाया गया बल संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है: $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$.
प्रारंभिक संवेग $p_i = m \times v = 2 \, kg \times 100 \, m/s = 200 \, kg \cdot m/s$.
अंतिम संवेग $p_f = m \times (-v) = 2 \, kg \times (-100 \, m/s) = -200 \, kg \cdot m/s$ (यह मानते हुए कि दीवार धनात्मक दिशा में है)।
संवेग में परिवर्तन $\Delta p = p_f - p_i = -200 - 200 = -400 \, kg \cdot m/s$.
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta p| = 400 \, kg \cdot m/s$ है।
संपर्क का दिया गया समय $\Delta t = 1/50 \, s$.
बल $F = \frac{|\Delta p|}{\Delta t} = \frac{400}{1/50} = 400 \times 50 = 20,000 \, N = 2 \times 10^4 \, N$.

(B) आवेग को संवेग में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
सूत्र: $J = \Delta p = m(v_f - v_i)$
दिया गया है:
द्रव्यमान $m = 0.1 \, kg$
अंतिम वेग $v_f = 40 \, m/s$ (धनात्मक लेने पर)
प्रारंभिक वेग $v_i = -30 \, m/s$ (चूंकि यह अंतिम वेग की विपरीत दिशा में है)
गणना:
$J = 0.1 \times (40) - 0.1 \times (-30)$
$J = 4 + 3 = 7 \, N \cdot s$
अतः,सही व्यंजक $0.1 \times (40) - 0.1 \times (-30)$ है।

(A) आवेग को किसी वस्तु के संवेग में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मान लीजिए प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान $m = 0.06 \,kg$ है।
पहली गेंद का प्रारंभिक वेग $v_i = 4 \,m/s$ और दूसरी गेंद का वेग $-4 \,m/s$ है।
टक्कर के बाद,गेंदें समान गति से वापस लौटती हैं,इसलिए पहली गेंद का अंतिम वेग $v_f = -4 \,m/s$ और दूसरी गेंद का वेग $4 \,m/s$ हो जाता है।
एक गेंद के लिए संवेग में परिवर्तन $\Delta p = m(v_f - v_i)$ है।
$\Delta p = 0.06 \times (-4 - 4) = 0.06 \times (-8) = -0.48 \,kg \cdot m/s$.
प्रत्येक गेंद पर लगाए गए आवेग का परिमाण $|\Delta p| = 0.48 \,kg \cdot m/s$ है।

(C) गेंद का वेग $v_i = 10 \ m/s$ से बदलकर $v_f = -10 \ m/s$ हो जाता है (दीवार की ओर की दिशा को धनात्मक लेते हुए)।
चूंकि वेग एक सदिश राशि है,दिशा में परिवर्तन का अर्थ है वेग में परिवर्तन।
संवेग में परिवर्तन $\Delta p = m(v_f - v_i) = m(-10 - 10) = -20m$ है।
चूंकि टक्कर के दौरान एक निश्चित समय अंतराल में संवेग में परिवर्तन होता है,इसलिए गेंद पर बल $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ कार्य करता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए टक्कर के दौरान गेंद त्वरण का अनुभव करती है।

(B) गेंद द्वारा अनुभव किया गया बल संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 100 \, g = 0.1 \, kg$,वेग $v = 10 \, m/s$,दीवार के साथ कोण $\theta = 30^\circ$,और समय $t = 0.1 \, s$.
संवेग में परिवर्तन $\Delta p$ दीवार के लंबवत घटक द्वारा दिया जाता है: $\Delta p = 2mv \sin \theta$.
मान रखने पर: $\Delta p = 2 \times 0.1 \times 10 \times \sin 30^\circ = 2 \times 0.1 \times 10 \times 0.5 = 1 \, kg \cdot m/s$.
बल $F = \frac{\Delta p}{t} = \frac{1}{0.1} = 10 \, N$.

(C) $t = 0$ पर दो-कण निकाय का प्रारंभिक संवेग $\vec{P}_i = m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2$ है।
दो कणों के बीच टक्कर एक आंतरिक अंतःक्रिया है और यह निकाय के कुल संवेग को प्रभावित नहीं करती है।
निकाय पर कार्य करने वाला एकमात्र बाहरी बल गुरुत्वाकर्षण है,जो $\vec{F}_{ext} = (m_1 + m_2)g$ नीचे की ओर कार्य करता है।
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{P}$ बाहरी बल के आवेग के बराबर होता है: $\Delta \vec{P} = \int_{0}^{2t_0} \vec{F}_{ext} dt$.
चूंकि बल स्थिर है,$\Delta \vec{P} = (m_1 + m_2)g \times (2t_0 - 0) = 2(m_1 + m_2)gt_0$.
अतः,संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|(m_1\vec{v}_1' + m_2\vec{v}_2') - (m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2)| = 2(m_1 + m_2)gt_0$ है।

(B) रैखिक संवेग में परिवर्तन $\Delta p$ आवेग के बराबर होता है,जो बल-समय $(F-t)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$\Delta p = \int F \, dt = F-t \text{ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल}$.
ग्राफ वृत्ताकार खंडों से बना है। $t = 0$ से $t = 2$ तक,क्षेत्रफल समय अक्ष के नीचे त्रिज्या $r = 2$ वाला एक चौथाई वृत्त है। क्षेत्रफल $= -\frac{1}{4} \pi r^2 = -\frac{1}{4} \pi (2)^2 = -\pi$.
$t = 2$ से $t = 6$ तक,क्षेत्रफल समय अक्ष के ऊपर त्रिज्या $r = 2$ वाला एक अर्धवृत्त है। क्षेत्रफल $= +\frac{1}{2} \pi r^2 = +\frac{1}{2} \pi (2)^2 = +2\pi$.
$t = 6$ से $t = 8$ तक,क्षेत्रफल समय अक्ष के नीचे त्रिज्या $r = 2$ वाला एक चौथाई वृत्त है। क्षेत्रफल $= -\frac{1}{4} \pi r^2 = -\frac{1}{4} \pi (2)^2 = -\pi$.
कुल क्षेत्रफल (शुद्ध आवेग) $= -\pi + 2\pi - \pi = 0$.
अतः,$0$ और $8$ सेकंड के बीच प्राप्त रैखिक संवेग $0 \, N \cdot s$ है।

(C) किसी वस्तु का संवेग $p = mv$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ द्रव्यमान है और $v$ वेग (या गति) है।
यदि गति दोगुनी कर दी जाए,तो नया वेग $v' = 2v$ हो जाता है।
इसे संवेग के सूत्र में रखने पर: $p' = m(2v) = 2(mv) = 2p$ प्राप्त होता है।
अतः,संवेग दोगुना हो जाता है।
गतिज ऊर्जा $K.E. = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है। यदि $v$ दोगुना हो जाए,तो $K.E.' = \frac{1}{2}m(2v)^2 = 4(\frac{1}{2}mv^2) = 4K.E.$ होगा,यानी गतिज ऊर्जा चार गुना हो जाती है।