Third Law of Motion and Momentum and Impulse Questions in Hindi

(B) मान लीजिए कि गेंदों का द्रव्यमान $m$ है और प्रारंभिक वेग $v_1$ है।
धातु की गेंद के लिए,अंतिम वेग $v_2 = 0$ है (क्योंकि यह वापस नहीं उछलती है)।
संवेग में परिवर्तन $\Delta p = m(v_2 - v_1) = m(0 - v_1) = -mv_1$ है।
परिवर्तन का परिमाण $|\Delta p| = mv_1$ है।
रबर की गेंद के लिए,अंतिम वेग $v_2' = -v_1$ है (क्योंकि यह समान वेग से वापस उछलती है)।
संवेग में परिवर्तन $\Delta p' = m(v_2' - v_1) = m(-v_1 - v_1) = -2mv_1$ है।
परिवर्तन का परिमाण $|\Delta p'| = 2mv_1$ है।
दोनों की तुलना करने पर,$|\Delta p'| > |\Delta p|$।
अतः,रबर की गेंद संवेग में अधिक परिवर्तन का अनुभव करती है।

(A) संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि गेंद समान कोण और गति से वापस लौटती है,दीवार के समानांतर वेग का घटक अपरिवर्तित रहता है,जबकि दीवार के लंबवत घटक की दिशा उलट जाती है।
मान लीजिए दीवार $y$-अक्ष पर है। प्रारंभिक वेग $\vec{v}_i = (v \cos 60^\circ) \hat{i} - (v \sin 60^\circ) \hat{j}$ है।
अंतिम वेग $\vec{v}_f = -(v \cos 60^\circ) \hat{i} - (v \sin 60^\circ) \hat{j}$ है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p} = m(\vec{v}_f - \vec{v}_i) = m(-2v \cos 60^\circ) \hat{i}$ है।
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta p| = 2mv \cos 60^\circ$ है।
यहाँ $m = 3 \ kg$,$v = 10 \ m/s$,और $\cos 60^\circ = 0.5$ दिया गया है।
$|\Delta p| = 2 \times 3 \times 10 \times 0.5 = 30 \ kg \cdot m/s$.

(C) संवेग में परिवर्तन $\Delta p$ बल-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
ग्राफ से,$t = 0$ से $t = 3 \ s$ तक का क्षेत्रफल एक त्रिभुज है जिसका आधार $3 \ s$ और ऊँचाई $4 \ N$ है,इसलिए क्षेत्रफल$_1 = \frac{1}{2} \times 3 \times 4 = 6 \ N \cdot s$ है।
$t = 3 \ s$ से $t = 4.5 \ s$ तक का क्षेत्रफल एक त्रिभुज है जिसका आधार $1.5 \ s$ और ऊँचाई $-2 \ N$ है (क्योंकि समरूप त्रिभुजों के नियम से $t = 4.5 \ s$ पर बल $-2 \ N$ है),इसलिए क्षेत्रफल$_2 = \frac{1}{2} \times 1.5 \times (-2) = -1.5 \ N \cdot s$ है।
कुल संवेग में परिवर्तन $\Delta p = 6 - 1.5 = 4.5 \ kg \cdot m/s$ है।
चूंकि ब्लॉक विरामावस्था से शुरू होता है,इसलिए अंतिम संवेग $p = 4.5 \ kg \cdot m/s$ है।
गतिज ऊर्जा $K = \frac{p^2}{2m} = \frac{(4.5)^2}{2 \times 2} = \frac{20.25}{4} = 5.0625 \ J \approx 5.06 \ J$ है।

(D) संवेग में परिवर्तन आवेग (impulse) के बराबर होता है: $\Delta P = F \times t$
यहाँ $F = 0.2 \ N$ और $t = 10 \ s$ दिया गया है,इसलिए संवेग में परिवर्तन $\Delta P = 0.2 \times 10 = 2 \ kg \cdot m/s$
प्रारंभिक संवेग $P_1 = 10 \ kg \cdot m/s$
अंतिम संवेग $P_2 = P_1 + \Delta P = 10 + 2 = 12 \ kg \cdot m/s$
गतिज ऊर्जा $K$ और संवेग $P$ के बीच संबंध $K = \frac{P^2}{2m}$ है।
प्रारंभिक गतिज ऊर्जा $K_1 = \frac{P_1^2}{2m} = \frac{10^2}{2 \times 5} = \frac{100}{10} = 10 \ J$
अंतिम गतिज ऊर्जा $K_2 = \frac{P_2^2}{2m} = \frac{12^2}{2 \times 5} = \frac{144}{10} = 14.4 \ J$
गतिज ऊर्जा में वृद्धि $\Delta K = K_2 - K_1 = 14.4 - 10 = 4.4 \ J$ होगी।

(B) प्रति सेकंड दीवार से टकराने वाले पानी का द्रव्यमान $m = A \cdot v \cdot \rho$ है।
दीवार से टकराने वाले पानी का प्रारंभिक संवेग $P_i = m \cdot v = Av^2 \rho$ है।
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है,पानी समान वेग $v$ से $\theta$ कोण पर वापस लौटता है। दीवार के लंबवत संवेग का घटक $P \cos \theta$ है।
दीवार द्वारा पानी पर लगाया गया बल (प्रति सेकंड संवेग में परिवर्तन) $\Delta P = P_{final, x} - P_{initial, x}$ है।
दीवार की दिशा को धनात्मक लेने पर,प्रारंभिक संवेग घटक $P_i \cos \theta$ है और अंतिम संवेग घटक $-P_i \cos \theta$ है।
अतः,पानी द्वारा दीवार पर लगाया गया बल $F = |\Delta P| = |(-P_i \cos \theta) - (P_i \cos \theta)| = 2P_i \cos \theta$ है।
$P_i = Av^2 \rho$ रखने पर,हमें $F = 2Av^2 \rho \cos \theta$ प्राप्त होता है।

(B) माना प्रारंभिक वेग $\vec{v}_1$ है और अंतिम वेग $\vec{v}_2$ है।
ज्यामिति से,प्रारंभिक संवेग $\vec{P}_1 = m\vec{v}_1 = -mv \sin \theta \hat{i} - mv \cos \theta \hat{j}$ है।
अंतिम संवेग $\vec{P}_2 = m\vec{v}_2 = mv \sin \theta \hat{i} - mv \cos \theta \hat{j}$ है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{P} = \vec{P}_2 - \vec{P}_1$ है।
$\Delta \vec{P} = (mv \sin \theta \hat{i} - mv \cos \theta \hat{j}) - (-mv \sin \theta \hat{i} - mv \cos \theta \hat{j})$।
$\Delta \vec{P} = 2mv \sin \theta \hat{i}$।
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{P}| = 2mv \sin \theta$ है।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 60 \ g = 60 \times 10^{-3} \ kg$,प्रारंभिक वेग $v_i = 4 \ m/s$,अंतिम वेग $v_f = -4 \ m/s$ (क्योंकि यह वापस लौटती है)।
प्रारंभिक संवेग $P_i = m \times v_i = (60 \times 10^{-3}) \times 4 = 0.24 \ kg \cdot m/s$ है।
अंतिम संवेग $P_f = m \times v_f = (60 \times 10^{-3}) \times (-4) = -0.24 \ kg \cdot m/s$ है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta P = P_f - P_i = -0.24 - 0.24 = -0.48 \ kg \cdot m/s$ है।
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta P| = 0.48 \ kg \cdot m/s$ है।

(A) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 150 \, g = 0.15 \, kg$।
प्रारंभिक वेग $u = -12 \, m/s$ (बल्ले की ओर की दिशा को ऋणात्मक लेने पर)।
अंतिम वेग $v = +20 \, m/s$ (बल्ले से दूर की दिशा को धनात्मक लेने पर)।
समय अंतराल $\Delta t = 0.01 \, s$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$F = \frac{m(v - u)}{\Delta t}$
$F = \frac{0.15 \times (20 - (-12))}{0.01}$
$F = \frac{0.15 \times (20 + 12)}{0.01}$
$F = \frac{0.15 \times 32}{0.01}$
$F = 15 \times 32 = 480 \, N$।
अतः,बल्ले द्वारा लगाया गया बल $480 \, N$ है।

(C) आवेग $J$ को बल $F$ और उस समय अंतराल $\Delta t$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके लिए यह कार्य करता है: $J = F \times \Delta t$
दिया गया है: बल $F = 50 \, dynes$
चूंकि $1 \, N = 10^5 \, dynes$,हम बल को $SI$ इकाइयों में परिवर्तित करते हैं: $F = 50 \times 10^{-5} \, N = 5 \times 10^{-4} \, N$
समय $\Delta t = 3 \, s$
आवेग $J = (5 \times 10^{-4} \, N) \times (3 \, s) = 15 \times 10^{-4} \, N \cdot s = 1.5 \times 10^{-3} \, N \cdot s$

(B) आवेग (Impulse) को पिंड के रैखिक संवेग में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
पिंड का प्रारंभिक संवेग,$P_i = MV$ है।
चूंकि पिंड विपरीत दिशा में उसी वेग $V$ के साथ वापस उछलता है,इसलिए अंतिम संवेग $P_f = -MV$ है।
आवेग $J = \Delta P = P_f - P_i$ है।
$J = (-MV) - (MV) = -2MV$ है।
अतः,पिंड द्वारा अनुभव किए गए आवेग का परिमाण $2MV$ है।

(C) कण के संवेग में परिवर्तन आवेग के बराबर होता है,जो बल-समय $(F-t)$ ग्राफ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफल के बराबर होता है।
संवेग में परिवर्तन = $F-t$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल
$= \text{त्रिभुज } ABC \text{ का क्षेत्रफल} + \text{आयत } CDEF \text{ का क्षेत्रफल} + \text{आयत } FGHI \text{ का क्षेत्रफल}$
$= (\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई}) + (\text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई}) + (\text{चौड़ाई} \times \text{ऊंचाई})$
$= (\frac{1}{2} \times 2 \times 6) + (2 \times -3) + (4 \times 3)$
$= 6 - 6 + 12$
$= 12 \, N-s$.

(C) दीवार द्वारा गेंद पर लगाया गया आवेग गेंद के संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
मान लीजिए प्रारंभिक वेग $\vec{v}_i$ है और अंतिम वेग $\vec{v}_f$ है।
प्रारंभिक संवेग $\vec{p}_i = m\vec{v}_i$ है और अंतिम संवेग $\vec{p}_f = m\vec{v}_f$ है।
दीवार के लंबवत दिशा को $x$-अक्ष के रूप में लेने पर,प्रारंभिक वेग के घटक $v_{ix} = v \cos 60^\circ$ (दीवार की ओर) और $v_{iy} = v \sin 60^\circ$ (दीवार के समानांतर) हैं।
अंतिम वेग के घटक $v_{fx} = -v \cos 60^\circ$ (दीवार से दूर) और $v_{fy} = v \sin 60^\circ$ (दीवार के समानांतर) हैं।
संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i = m(\vec{v}_f - \vec{v}_i)$ है।
$\Delta p_x = m(v_{fx} - v_{ix}) = m(-v \cos 60^\circ - v \cos 60^\circ) = -2mv \cos 60^\circ = -2mv(0.5) = -mv$.
$\Delta p_y = m(v_{fy} - v_{iy}) = m(v \sin 60^\circ - v \sin 60^\circ) = 0$.
आवेग का परिमाण $|\Delta \vec{p}| = |-mv| = mv$ होगा।

(C) आवेग (Impulse) बल और समय अंतराल का गुणनफल होता है: $J = F \times \Delta t$.
दिया गया बल $F = 50 \text{ dynes}$ है। चूँकि $1 \text{ dyne} = 10^{-5} \text{ N}$,इसलिए $F = 50 \times 10^{-5} \text{ N} = 5 \times 10^{-4} \text{ N}$ है।
समय अंतराल $\Delta t = 3 \text{ s}$ है।
अतः,आवेग $J = (5 \times 10^{-4} \text{ N}) \times (3 \text{ s}) = 15 \times 10^{-4} \text{ N-s} = 1.5 \times 10^{-3} \text{ N-s}$।

(B) कण पर कार्य करने वाला आवेग $J$, बल-समय $(F-t)$ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
आवेग $J = \Delta p = m(v_f - v_i)$.
ग्राफ से, $t = 0$ से $t = 10\, s$ तक का क्षेत्रफल एक त्रिभुज है जिसका आधार $10\, s$ और ऊँचाई $20\, N$ है।
क्षेत्रफल $A_1 = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 10 \times 20 = 100\, Ns$.
यह क्षेत्रफल धनात्मक है, इसलिए इस अंतराल के दौरान वेग बढ़ता है।
$t = 10\, s$ पर, वेग $v_{10}$ का मान $m(v_{10} - v_i) = A_1$ द्वारा दिया जाता है।
$1 \times (v_{10} - 10) = 100 \implies v_{10} = 110\, ms^{-1}$.
$t = 10\, s$ से $t = 20\, s$ तक, बल $-10\, N$ है (एक आयत)।
क्षेत्रफल $A_2 = \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = (20 - 10) \times (-10) = 10 \times (-10) = -100\, Ns$.
चूंकि बल ऋणात्मक है, इसलिए $t = 10\, s$ के बाद वेग घटता है।
अतः, अधिकतम वेग $t = 10\, s$ पर प्राप्त होता है, जो $110\, ms^{-1}$ है।

(C) कण पर लगाया गया आवेग $J$,संवेग में परिवर्तन $\Delta p = mv_f - mv_i$ के बराबर होता है। चूंकि कण प्रारंभ में विरामावस्था में है,$v_i = 0$,इसलिए $mv_f = \int_{0}^{T} F(t) dt$.
दिए गए बल के व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर:
$mv_f = \int_{0}^{T} F_0 \left[ 1 - \left( \frac{2t - T}{T} \right)^2 \right] dt$.
माना $u = \frac{2t - T}{T}$,तब $du = \frac{2}{T} dt$,या $dt = \frac{T}{2} du$.
जब $t = 0, u = -1$. जब $t = T, u = 1$.
$mv_f = F_0 \int_{-1}^{1} (1 - u^2) \frac{T}{2} du = \frac{F_0 T}{2} \left[ u - \frac{u^3}{3} \right]_{-1}^{1}$.
$mv_f = \frac{F_0 T}{2} \left[ (1 - 1/3) - (-1 + 1/3) \right] = \frac{F_0 T}{2} \left[ 2/3 + 2/3 \right] = \frac{F_0 T}{2} \left( \frac{4}{3} \right) = \frac{2F_0 T}{3}$.
अतः,$v_f = \frac{2F_0 T}{3m}$.

(C) आवेग $J$ को औसत बल $F$ और उस समय अंतराल $\Delta t$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसके लिए बल कार्य करता है: $J = F \cdot \Delta t$।
पहले मामले में,आवेग $J = F \cdot \Delta t$ है।
दूसरे मामले में,बल $F$ समान रहता है,लेकिन संपर्क समय दोगुना हो जाता है,यानी $\Delta t' = 2 \Delta t$।
इसलिए,नया आवेग $J'$ इस प्रकार है: $J' = F \cdot (2 \Delta t) = 2(F \cdot \Delta t) = 2J$।
अतः,नया आवेग मूल आवेग का दोगुना है।

(A) किसी वस्तु का संवेग उसके द्रव्यमान और वेग के गुणनफल के बराबर होता है $(p = mv)$।
टक्कर से पहले,डिस्क पूर्व दिशा में $1 \ m/s$ के वेग से गति कर रही है। इसलिए,इसके प्रारंभिक संवेग का पूर्वी घटक $p_{i,E} = 4 \ kg \times 1 \ m/s = 4 \ kg \cdot m/s$ है।
टक्कर के बाद,डिस्क उत्तर दिशा में गति करती है। चूंकि पूर्व दिशा में इसका कोई वेग घटक नहीं है,इसलिए इसके अंतिम संवेग का पूर्वी घटक $p_{f,E} = 0 \ kg \cdot m/s$ है।
संवेग के पूर्वी घटक में परिवर्तन $\Delta p_E = p_{f,E} - p_{i,E}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें $\Delta p_E = 0 - 4 = -4 \ kg \cdot m/s$ प्राप्त होता है।

(C) आवेग $J$ रैखिक संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है,$\Delta p = m(v_f - v_i)$।
ग्राफ से,गति निरंतर वेग वाले खंडों से बनी है।
समय अंतराल $t = 0$ से $t = 2 \; s$ के लिए,विस्थापन $2 \; m$ है। अतः,प्रारंभिक वेग $v_i = \frac{2 \; m}{2 \; s} = 1 \; m/s$ है।
समय अंतराल $t = 2 \; s$ से $t = 4 \; s$ के लिए,विस्थापन $-2 \; m$ है। अतः,अंतिम वेग $v_f = \frac{-2 \; m}{2 \; s} = -1 \; m/s$ है।
पिंड का द्रव्यमान $m = 0.4 \; kg$ है।
प्रत्येक टक्कर पर ($t = 2, 6, 10, 14 \; s$ पर) आवेग $J$ इस प्रकार होगा:
$J = m(v_f - v_i) = 0.4 \; kg \times (-1 \; m/s - 1 \; m/s) = 0.4 \times (-2) = -0.8 \; kg \cdot m/s$।
आवेग का परिमाण $|J| = |-0.8| = 0.8 \; N \cdot s$ है।

(D) संवेग में परिवर्तन $\Delta \vec{p}$,आवेग $\vec{J} = \int \vec{F} dt$ के बराबर होता है। यह प्रत्येक घटक के लिए बल-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$x$-घटक के लिए: $\Delta p_x = \text{क्षेत्रफल} = 30\,N \times 0.1\,s = 3\,N\cdot s$.
$y$-घटक के लिए: $\Delta p_y = \text{क्षेत्रफल} = \frac{1}{2} \times 80\,N \times 0.1\,s = 4\,N\cdot s$.
$z$-घटक के लिए: $\Delta p_z = \text{क्षेत्रफल} = -50\,N \times 0.1\,s = -5\,N\cdot s$.
कुल संवेग परिवर्तन का परिमाण $\Delta p = \sqrt{(\Delta p_x)^2 + (\Delta p_y)^2 + (\Delta p_z)^2}$ है।
$\Delta p = \sqrt{3^2 + 4^2 + (-5)^2} = \sqrt{9 + 16 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2}\,kg\,m/s$.

(B) गेंद का द्रव्यमान $m = 40 \ g = 0.04 \ kg$ है।
टकराव से ठीक पहले प्रारंभिक वेग $v_i = -10 \ m/s$ है (नीचे की दिशा को ऋणात्मक लेते हुए)।
चूँकि टक्कर प्रत्यास्थ है (यांत्रिक ऊर्जा का कोई नुकसान नहीं होता है),टक्कर के बाद अंतिम वेग $v_f = +10 \ m/s$ होगा।
संवेग में परिवर्तन $\Delta p = m(v_f - v_i) = 0.04 \times (10 - (-10)) = 0.04 \times 20 = 0.8 \ kg \cdot m/s$ है।
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,आवेग $J = F_{avg} \times \Delta t = \Delta p$ होता है।
यहाँ $F_{avg} = 16 \ N$ दिया गया है,इसलिए $16 \times \Delta t = 0.8$।
$\Delta t = \frac{0.8}{16} = 0.05 \ s$।
मिलीसेकंड में बदलने पर,$\Delta t = 0.05 \times 1000 = 50 \ ms$।

(C) माना डोरी में आवेगी तनाव $J$ है। प्रत्येक कण द्वारा डोरी की दिशा में बॉब पर लगाया गया आवेगी बल $m u \cos 60^{\circ}$ है।
चूंकि दो कण विपरीत दिशाओं से एक साथ टकरा रहे हैं, इसलिए डोरी की दिशा में बॉब पर कार्य करने वाला कुल आवेगी बल $2 \times (m u \cos 60^{\circ})$ होगा।
ऊर्ध्वाधर दिशा (डोरी की दिशा) में आवेग-संवेग प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$J - 2mu \cos 60^{\circ} = 0$ (क्योंकि बॉब डोरी द्वारा प्रतिबंधित है और ऊर्ध्वाधर रूप से गति नहीं कर सकता है)।
$J = 2mu \times \frac{1}{2} = mu$.
अतः, डोरी में आवेगी तनाव $mu$ है।

(C) रैखिक संवेग सदिश $\vec P = P_x \hat i + P_y \hat j = (2 \cos t) \hat i + (2 \sin t) \hat j$ द्वारा दिया जाता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,बल $\vec F$ रैखिक संवेग का समय के सापेक्ष अवकलन है: $\vec F = \frac{d\vec P}{dt}$.
$\vec F = \frac{d}{dt} (2 \cos t \hat i + 2 \sin t \hat j) = -2 \sin t \hat i + 2 \cos t \hat j$.
$\vec F$ और $\vec P$ के बीच का कोण $\theta$ ज्ञात करने के लिए,हम उनका अदिश गुणनफल (dot product) करते हैं: $\vec F \cdot \vec P = (-2 \sin t)(2 \cos t) + (2 \cos t)(2 \sin t) = -4 \sin t \cos t + 4 \sin t \cos t = 0$.
चूंकि अदिश गुणनफल $\vec F \cdot \vec P = |\vec F| |\vec P| \cos \theta = 0$ है,इसलिए $\cos \theta = 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $\theta = 90^\circ$।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 2 \ kg$,प्रारंभिक वेग $u = 5 \ ms^{-1}$।
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,संवेग में परिवर्तन बल-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
$\Delta p = J = \int F \, dt = F-t \text{ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल}$.
क्षेत्रफल = त्रिभुज का क्षेत्रफल $(0-2 \ s)$ + आयत का क्षेत्रफल $(2-4 \ s)$ + समलंब का क्षेत्रफल $(4-4.5 \ s)$ + आयत का क्षेत्रफल $(4.5-6.5 \ s)$।
क्षेत्रफल = $\left(\frac{1}{2} \times 2 \times 4\right) + (2 \times 4) + \left(\frac{1}{2} \times (4 + 2.5) \times 0.5\right) + (2 \times 2.5)$।
क्षेत्रफल = $4 + 8 + 1.625 + 5 = 18.625 \ N \cdot s$।
चूंकि $\Delta p = m(v - u) = 18.625$,
$2(v - 5) = 18.625$।
$v - 5 = 9.3125$।
$v = 14.3125 \ ms^{-1}$।
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सबसे निकटतम उत्तर $14.25$ है।

(A) दीवार द्वारा प्रक्षेप्य पर लगाया गया आवेग $\vec{I}$,प्रक्षेप्य के संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है: $\vec{I} = \Delta \vec{p} = \vec{p}_f - \vec{p}_i$.
मान लीजिए कि प्रक्षेप्य की प्रारंभिक दिशा धनात्मक ($+x$ दिशा) है।
स्थिति $A$: प्रारंभिक संवेग $\vec{p}_i = mv \hat{i}$,अंतिम संवेग $\vec{p}_f = -mv \hat{i}$। आवेग $I_A = |(-mv) - (mv)| = |-2mv| = 2mv$।
स्थिति $B$: प्रारंभिक संवेग $\vec{p}_i = mv \hat{i}$,अंतिम संवेग $\vec{p}_f = 0$। आवेग $I_B = |0 - mv| = |-mv| = mv$।
स्थिति $C$: प्रारंभिक संवेग $\vec{p}_i = mv \hat{i}$,अंतिम संवेग $\vec{p}_f = \frac{mv}{2} \hat{i}$। आवेग $I_C = |\frac{mv}{2} - mv| = |-\frac{mv}{2}| = \frac{mv}{2}$।
परिमाणों की तुलना करने पर: $2mv > mv > \frac{mv}{2}$,जिसका अर्थ है कि $I_A > I_B > I_C$।

(A) पलड़े से टकराने से ठीक पहले प्रत्येक मोती का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
यहाँ $g = 10 \ m/s^2$ और $h = 5 \ m$ दिया गया है, इसलिए $v = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = 10 \ m/s$ है।
चूँकि मोती अपनी मूल ऊँचाई पर वापस उछलते हैं, इसलिए टक्कर पूर्णतः प्रत्यास्थ है और टक्कर के बाद का वेग भी ऊपर की ओर $v = 10 \ m/s$ होगा।
एक मोती के लिए संवेग में परिवर्तन $\Delta p = m(v - (-v)) = 2mv$ है।
यहाँ $m = 15 \ g = 0.015 \ kg$ दिया गया है, इसलिए $\Delta p = 2 \times 0.015 \times 10 = 0.3 \ kg \ m/s$ है।
$n = 100 \ \text{मोती प्रति सेकंड}$ द्वारा पलड़े पर लगाया गया बल (संवेग परिवर्तन की दर) $F = n \times \Delta p = 100 \times 0.3 = 30 \ N$ है।
काँटे को शून्य पर रखने के लिए, दूसरे पलड़े में रखे गए द्रव्यमान $M$ का भार इस बल को संतुलित करना चाहिए: $Mg = F$।
$M \times 10 = 30 \implies M = 3 \ kg$।

(D) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।
मेज पर किताब द्वारा लगाया गया क्रिया बल नीचे की ओर कार्य करता है।
किताब पर मेज द्वारा लगाया गया प्रतिक्रिया बल ऊपर की ओर कार्य करता है।
चूंकि ये दोनों बल परिमाण में समान हैं और एक ही रेखा पर बिल्कुल विपरीत दिशाओं में कार्य करते हैं,इसलिए उनके बीच का कोण $180^{\circ}$ या $\pi \ rad$ है।

(C) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,घोड़े द्वारा गाड़ी पर लगाया गया बल $(T)$ और गाड़ी द्वारा घोड़े पर लगाया गया बल $(T)$ परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होते हैं। ये बल अलग-अलग निकायों पर कार्य करते हैं,इसलिए वे एक-दूसरे को रद्द नहीं करते हैं।
गाड़ी को आगे बढ़ने के लिए,घोड़े द्वारा गाड़ी पर लगाया गया आगे का बल $(T)$ गाड़ी पर लगने वाले विरोधी घर्षण बल $(f_w)$ से अधिक होना चाहिए।
घोड़े को आगे बढ़ने के लिए,घोड़ा अपने पैरों से जमीन को पीछे की ओर धकेलता है,और जमीन घोड़े पर आगे की ओर घर्षण बल $(f_M)$ लगाती है। यदि यह आगे का घर्षण बल $(f_M)$ गाड़ी द्वारा लगाए गए पीछे के तनाव $(T)$ से अधिक है,तो घोड़ा आगे बढ़ता है।
इसलिए,यह कथन कि गाड़ी पर घोड़े का बल,घोड़े पर गाड़ी के बल के बराबर होता है,सही है,क्योंकि यह क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म का वर्णन करता है।

(A) चूंकि कोई वायु प्रतिरोध नहीं है,इसलिए क्षैतिज दिशा में कोई बल कार्य नहीं करता है,अतः वेग का क्षैतिज घटक स्थिर रहता है।
मान लीजिए जमीन पर अंतिम गति $V_1$ है।
$V \cos 30^{\circ} = V_1 \cos 45^{\circ}$
$V \frac{\sqrt{3}}{2} = V_1 \frac{1}{\sqrt{2}}$
$V_1 = V \sqrt{\frac{3}{2}}$
आवेग $J$ संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है: $\vec{J} = \vec{p}_f - \vec{p}_i$.
चूंकि क्षैतिज संवेग स्थिर है,आवेग केवल ऊर्ध्वाधर दिशा में कार्य करता है।
$J = |p_{fy} - p_{iy}| = |m(-V_1 \sin 45^{\circ}) - m(V \sin 30^{\circ})|$
$J = m |V \sqrt{\frac{3}{2}} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} + V \cdot \frac{1}{2}|$
$J = m |V \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{V}{2}| = \frac{1}{2}(\sqrt{3} + 1) mV$.

(C) जब ब्लॉक को क्षैतिज स्थिति से छोड़ा जाता है,तो यह गुरुत्वाकर्षण के तहत मुक्त रूप से गिरता है जब तक कि डोरी तन न जाए।
ब्लॉक द्वारा तय की गई ऊर्ध्वाधर दूरी $h = 5\, m$ है।
डोरी के तनने से ठीक पहले ब्लॉक का वेग $v_i$,गति के समीकरण $v^2 = u^2 + 2gh$ द्वारा दिया जाता है:
$v_i = \sqrt{2gh} = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = 10\, m/s$ (ऊर्ध्वाधर नीचे की ओर)।
जब डोरी तन जाती है,तो डोरी में आवेगपूर्ण तनाव बल ऊपर की ओर कार्य करता है,जो वेग के ऊर्ध्वाधर घटक को तात्कालिक रूप से शून्य कर देता है।
अतः,अंतिम ऊर्ध्वाधर वेग $v_f = 0$ है।
आवेग $I$,संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है:
$I = m(v_f - v_i) = 2(0 - 10) = -20\, N-s$।
अतः,आवेग का परिमाण $20\, N-s$ है।

(A) कण का द्रव्यमान $m = 100 \ g = 0.1 \ kg$ है।
स्थिति-समय ग्राफ से,वेग $v$ रेखा का ढाल है।
$t < 5 \ s$ के लिए,प्रारंभिक वेग $v_i$,$(0, 20)$ से $(5, 10)$ तक की रेखा का ढाल है:
$v_i = \frac{10 - 20}{5 - 0} = \frac{-10}{5} = -2 \ m/s$.
$t > 5 \ s$ के लिए,अंतिम वेग $v_f$,$(5, 10)$ से $(15, 20)$ तक की रेखा का ढाल है:
$v_f = \frac{20 - 10}{15 - 5} = \frac{10}{10} = 1 \ m/s$.
आवेग $I$,संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है:
$I = \Delta p = m(v_f - v_i) = 0.1 \times [1 - (-2)] = 0.1 \times 3 = 0.3 \ N-s$.

(C) आवेग $J$,बल-समय ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल के बराबर होता है।
आवेग $J = \int F \, dt = F-t \text{ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल}$.
$t=0$ से $t=2 \ s$ तक का क्षेत्रफल $10 \ N \times 2 \ s = 20 \ N \cdot s$ है।
$t=2$ से $t=3 \ s$ तक का क्षेत्रफल $-10 \ N \times 1 \ s = -10 \ N \cdot s$ है।
कुल आवेग $J_{total} = 20 - 10 = 10 \ N \cdot s$ है।
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,$J = \Delta p = m(v_f - v_i)$।
दिया गया है $m = 2 \ kg$ और $v_i = 0$,इसलिए $10 = 2(v_f - 0)$,जिससे $v_f = 5 \ m/s$ प्राप्त होता है।
बल द्वारा किया गया कार्य गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है:
$W = \Delta K = \frac{1}{2} m v_f^2 - \frac{1}{2} m v_i^2$.
$W = \frac{1}{2} \times 2 \times (5)^2 - 0 = 25 \ J$.

(B) मान लीजिए कि ट्रेनों $A$ और $B$ का वेग क्रमशः $v_A$ और $v_B$ है,जहाँ $v_A > v_B$ है।
जब $m$ द्रव्यमान का एक पैकेट $A$ से $B$ में स्थानांतरित किया जाता है,तो यह ट्रेन $B$ पर $m v_A$ का क्षैतिज संवेग ले जाता है।
चूंकि $v_A > v_B$ है,इसलिए पैकेट ट्रेन $B$ पर उसकी गति की दिशा में एक आवेगी बल लगाता है,जिससे $B$ त्वरित हो जाती है।
इसके विपरीत,$B$ से $A$ में स्थानांतरित पैकेट $m v_B$ संवेग ले जाता है। चूंकि $v_B < v_A$ है,इसलिए यह पैकेट ट्रेन $A$ पर मंदक बल लगाता है।
अतः,ट्रेन $B$ संवेग प्राप्त करती है (त्वरित होती है) और ट्रेन $A$ संवेग खो देती है (मंद होती है)।

(C) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 140\,g = 0.140\,kg$.
प्रारंभिक वेग $v_i = 39.0\,m/s$.
अंतिम वेग $v_f = -39.0\,m/s$ (विपरीत दिशा)।
टकराव का समय $\Delta t = 1.20\,ms = 1.20 \times 10^{-3}\,s$.
संवेग में परिवर्तन $\Delta p = m(v_f - v_i)$.
$\Delta p = 0.140 \times (-39.0 - 39.0) = 0.140 \times (-78.0) = -10.92\,kg\cdot m/s$.
औसत बल $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$.
$F = \frac{-10.92}{1.20 \times 10^{-3}} = -9100\,N$.
गेंद पर कार्य करने वाले औसत बल का परिमाण $9100\,N$ है।

(B) किसी वस्तु द्वारा प्राप्त आवेग $J$ उसके रैखिक संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है,जिसे $J = \Delta p = m(v_f - v_i)$ द्वारा दिया जाता है।
$m$ द्रव्यमान के कण के लिए:
प्रारंभिक वेग $v_i = (3\hat{i} + 2\hat{j}) \ m/s$.
अंतिम वेग $v_f = (-2\hat{i} + \hat{j}) \ m/s$.
$m$ द्वारा प्राप्त आवेग $= m(v_f - v_i) = m[(-2\hat{i} + \hat{j}) - (3\hat{i} + 2\hat{j})] = m[-5\hat{i} - \hat{j}]$.
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,$M$ द्रव्यमान द्वारा प्राप्त आवेग,$m$ द्रव्यमान द्वारा प्राप्त आवेग के बराबर और विपरीत दिशा में होता है:
$M$ द्वारा प्राप्त आवेग $= -(m \text{ द्वारा प्राप्त आवेग}) = -m[-5\hat{i} - \hat{j}] = m[5\hat{i} + \hat{j}]$.
अतः,सही कथन यह है कि $m$ द्वारा प्राप्त आवेग $m[-5\hat{i} - \hat{j}]$ है।

(D) आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,संवेग में परिवर्तन (आवेग) लगाए गए बल और उस समय अंतराल के गुणनफल के बराबर होता है जिसके लिए बल लगाया गया है।
$\Delta P = F \times \Delta t$
दिया गया है:
बल $(F)$ = $30 \, N$
समय अंतराल $(\Delta t)$ = $2 \, sec$
अतः,संवेग में परिवर्तन है:
$\Delta P = 30 \, N \times 2 \, sec = 60 \, kg \cdot m/s$.
इस प्रकार,सही विकल्प $D$ है।

(B) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है। यह नियम दो पिंडों के बीच सभी अंतःक्रियाओं पर लागू होता है,चाहे टक्कर सीधी हो या तिरछी।
दोनों स्थितियों $(i)$ और $(ii)$ में,जब पिंड $A$ और पिंड $B$ टकराते हैं,तो वे एक-दूसरे पर बल लगाते हैं। $A$ द्वारा $B$ पर लगाया गया बल $(F_{AB})$ हमेशा $B$ द्वारा $A$ पर लगाए गए बल $(F_{BA})$ के परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होता है,अर्थात $F_{AB} = -F_{BA}$।
इसलिए,वे दोनों स्थितियों में एक-दूसरे पर समान और विपरीत बल लगाते हैं।

(B) आवेग $J$ संवेग में परिवर्तन $\Delta p = m(v_f - v_i)$ के बराबर होता है।
स्थिति-समय ग्राफ से,$0 < t < 2\, s$ के लिए वेग $v_i$ रेखा का ढाल है:
$v_i = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{4 - 0}{2 - 0} = 2\, m/s$.
$t > 2\, s$ के लिए,स्थिति स्थिर $(x = 4\, m)$ है,इसलिए अंतिम वेग $v_f = 0\, m/s$ है।
$t = 2\, s$ पर आवेग:
$J = m(v_f - v_i) = 0.1\, kg \times (0 - 2)\, m/s = -0.2\, kg\, m/s$.

(B) दिया गया है,द्रव्यमान $m = 2\, kg$ और विस्थापन $s = (2t^3 + 2)\, m$ है।
वेग $v$,विस्थापन के समय के सापेक्ष परिवर्तन की दर है:
$v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}(2t^3 + 2) = 6t^2\, m/s$.
$t = 0\, s$ पर,प्रारंभिक वेग $v_i = 6(0)^2 = 0\, m/s$.
$t = 1\, s$ पर,अंतिम वेग $v_f = 6(1)^2 = 6\, m/s$.
आवेग $J$,रैखिक संवेग में परिवर्तन $\Delta P$ के बराबर होता है:
$J = \Delta P = m(v_f - v_i)$.
मान रखने पर:
$J = 2\, kg \times (6\, m/s - 0\, m/s) = 2 \times 6 = 12\, N-s$.

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 500\, g = 0.5\, kg$,प्रारंभिक वेग $u = 15\, m/s$,अंतिम वेग $v = -15\, m/s$ (क्योंकि यह विपरीत दिशा में वापस लौटती है),और समय $\Delta t = 0.01\, s$ है।
संवेग में परिवर्तन $\Delta P = m(v - u) = 0.5 \times (-15 - 15) = 0.5 \times (-30) = -15\, kg\cdot m/s$ है।
गेंद पर लगे बल का परिमाण $F = |\frac{\Delta P}{\Delta t}| = |\frac{-15}{0.01}| = 1500\, N$ है।
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,बल्ले पर लगा बल गेंद पर लगे बल के परिमाण के बराबर होता है,जो $1500\, N$ है।

(D) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,क्रिया और प्रतिक्रिया बल हमेशा अलग-अलग वस्तुओं पर कार्य करते हैं और परिमाण में समान तथा दिशा में विपरीत होते हैं।
$1$. $\vec F_4$ गुब्बारे का भार दर्शाता है,जो पृथ्वी द्वारा गुब्बारे पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल है। इस बल की प्रतिक्रिया गुब्बारे द्वारा पृथ्वी पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल है,जो पृथ्वी पर कार्य करता है।
$2$. इसलिए,$\vec F_4$ और गुब्बारे द्वारा पृथ्वी पर लगाया गया गुरुत्वाकर्षण बल एक क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म बनाते हैं।
$3$. अन्य विकल्प गलत हैं क्योंकि $\vec F_1, \vec F_2, \vec F_3$ एक ही वस्तु (गुब्बारे) पर कार्य करने वाले संपर्क बल हैं और वे एक-दूसरे के साथ क्रिया-प्रतिक्रिया युग्म नहीं बनाते हैं।

(B) मनकों की गति के लिए उपलब्ध कुल लंबाई $L_{eff} = L - 2nr$ है,क्योंकि $n$ मनकों में से प्रत्येक $2r$ लंबाई घेरता है।
जब एक मनका $v$ चाल से चलता है और आधारों के साथ प्रत्यास्थ टक्कर करता है,तो एक आधार के साथ एक टक्कर के लिए संवेग में परिवर्तन $\Delta p = mv - (-mv) = 2mv$ होता है।
दो आधारों के बीच यात्रा करने और वापस आने में लगा समय $\Delta t = \frac{2(L - 2nr)}{v}$ है।
प्रत्येक आधार पर लगने वाला औसत बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2mv}{2(L - 2nr) / v} = \frac{mv^2}{L - 2nr}$.

(B) किसी सतह पर द्रव की धारा द्वारा लगाया गया बल संवेग परिवर्तन की दर द्वारा दिया जाता है।
मान लीजिए कि $t$ समय में सतह से टकराने वाले पानी का द्रव्यमान $M$ है।
पानी की धारा का वेग $v$ है और सतह से टकराने के बाद यह स्थिर हो जाती है,इसलिए वेग में परिवर्तन $\Delta v = v - 0 = v$ है।
प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान $m = \frac{M}{L}$ के रूप में दिया गया है,जहाँ $L$ पानी की धारा की लंबाई है।
$t$ समय में,सतह से टकराने वाली पानी की धारा की लंबाई $L = v \cdot t$ है।
इसलिए,$t$ समय में सतह से टकराने वाले पानी का द्रव्यमान $M = m \cdot L = m \cdot v \cdot t$ है।
बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर है: $F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{M \cdot v}{t}$।
बल के समीकरण में $M = m \cdot v \cdot t$ प्रतिस्थापित करने पर:
$F = \frac{(m \cdot v \cdot t) \cdot v}{t} = m \cdot v^2$।
अतः,सतह पर लगने वाला बल $mv^2$ है।

(A) आवेग (Impulse) किसी पिंड के संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,आवेग $J = \Delta p = p_f - p_i$ होता है।
यहाँ प्रारंभिक वेग $v_1$ और अंतिम वेग $v_2$ दिया गया है,इसलिए प्रारंभिक संवेग $p_i = m v_1$ और अंतिम संवेग $p_f = m v_2$ होगा।
अतः,आवेग $J = m v_2 - m v_1 = m(v_2 - v_1)$।

(D) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,औसत बल संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
सूत्र है: $F_{ave} = \frac{\Delta p}{\Delta t}$.
दिया गया है:
संवेग में परिवर्तन $\Delta p = 50 \ N-s$ (चूंकि हथौड़े को $50 \ N-s$ संवेग से विराम अवस्था में लाया जाता है)।
समय अंतराल $\Delta t = 0.25 \ s$.
मान रखने पर:
$F_{ave} = \frac{50}{0.25} = \frac{5000}{25} = 200 \ N$.
अतः,आवश्यक औसत बल $200 \ N$ है।

(C) संवेग में परिवर्तन $\Delta p$ गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा लगाए गए आवेग (impulse) के बराबर होता है।
गेंद पर कार्य करने वाला बल उसका वजन है,$F = mg$,जो नीचे की ओर कार्य करता है।
यह बल जिस समय के लिए कार्य करता है वह कुल उड़ान का समय है,$T = \frac{2v \sin \theta}{g}$।
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,संवेग में परिवर्तन आवेग के बराबर होता है,जो स्थिर बल और समय अंतराल का गुणनफल है।
$\Delta p = F \times T = (mg) \times T$।
अतः,संवेग में कुल परिवर्तन गेंद के वजन और कुल उड़ान के समय के गुणनफल के बराबर होता है।

(C) औसत बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर द्वारा दिया जाता है: $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$.
दिया गया द्रव्यमान $m = 140\, g = 0.140\, kg$ है।
प्रारंभिक वेग $v_1 = 39.0\, m/s$ (मान लें कि यह धनात्मक दिशा में है)।
अंतिम वेग $v_2 = -39.0\, m/s$ (विपरीत दिशा में)।
संवेग में परिवर्तन $\Delta p = m(v_2 - v_1) = 0.140 \times (-39.0 - 39.0) = 0.140 \times (-78.0) = -10.92\, kg \cdot m/s$।
टकराव का समय $\Delta t = 1.20\, ms = 1.20 \times 10^{-3}\, s$।
औसत बल का परिमाण $F = \frac{|\Delta p|}{\Delta t} = \frac{10.92}{1.20 \times 10^{-3}} = \frac{10.92}{0.0012} = 9100\, N$।

(C) प्रारंभिक वेग सदिश $\vec{v}_i = v_0 \cos 37^{\circ} \hat{i} + v_0 \sin 37^{\circ} \hat{j} = \frac{4}{5} v_0 \hat{i} + \frac{3}{5} v_0 \hat{j}$ है।
अंतिम वेग सदिश $\vec{v}_f = -(\frac{3}{4} v_0) \cos 53^{\circ} \hat{i} + (\frac{3}{4} v_0) \sin 53^{\circ} \hat{j}$ है।
$\cos 53^{\circ} = \frac{3}{5}$ और $\sin 53^{\circ} = \frac{4}{5}$ का उपयोग करने पर,हमें $\vec{v}_f = -\frac{3}{4} v_0 (\frac{3}{5}) \hat{i} + \frac{3}{4} v_0 (\frac{4}{5}) \hat{j} = -\frac{9}{20} v_0 \hat{i} + \frac{3}{5} v_0 \hat{j}$ प्राप्त होता है।
आवेग $\vec{J}$ संवेग में परिवर्तन है: $\vec{J} = m(\vec{v}_f - \vec{v}_i)$.
$\vec{J} = m [(-\frac{9}{20} v_0 \hat{i} + \frac{3}{5} v_0 \hat{j}) - (\frac{4}{5} v_0 \hat{i} + \frac{3}{5} v_0 \hat{j})]$.
$\vec{J} = m [(-\frac{9}{20} - \frac{16}{20}) v_0 \hat{i} + (\frac{3}{5} - \frac{3}{5}) v_0 \hat{j}] = m [-\frac{25}{20} v_0 \hat{i}] = -\frac{5}{4} mv_0 \hat{i}$.

(B) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,पिंड $m_1$ द्वारा पिंड $m_2$ पर लगाया गया बल,पिंड $m_2$ द्वारा पिंड $m_1$ पर लगाए गए बल के परिमाण में समान और दिशा में विपरीत होता है।
मान लीजिए बल का परिमाण $F$ है।
पिंड $m_2$ के लिए,बल $F = m_2 a_2$ है।
पिंड $m_1$ के लिए,बल $F = m_1 a_1$ है।
चूंकि दोनों बलों का परिमाण समान है,इसलिए $m_1 a_1 = m_2 a_2$ होगा।
अतः,पिंड $m_1$ का त्वरण $a_1 = \frac{m_2 a_2}{m_1}$ है।

(C) पानी द्वारा गेंद पर लगाया गया प्रभाव बल न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$
यहाँ,$\Delta p$ समय $\Delta t$ के दौरान $v$ गति से गेंद से टकराने वाले $\Delta m$ द्रव्यमान के पानी के संवेग में परिवर्तन है। चूंकि टक्कर के बाद पानी स्थिर हो जाता है,इसलिए इसका अंतिम वेग $0$ है।
अतः,संवेग में परिवर्तन $\Delta p = \Delta m \cdot v - 0 = \Delta m \cdot v$ है।
इसे बल के समीकरण में रखने पर:
$F = \frac{\Delta m \cdot v}{\Delta t} = v \left( \frac{\Delta m}{\Delta t} \right)$
जहाँ $\frac{\Delta m}{\Delta t}$ नोजल में पानी के प्रवाह की दर है। चूंकि गेंद हवा में संतुलन में है,इसलिए पानी द्वारा लगाया गया ऊपर की ओर बल गेंद के भार को संतुलित करता है:
$F = mg$
$F$ के दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$v \left( \frac{\Delta m}{\Delta t} \right) = mg$
प्रवाह की दर के लिए हल करने पर:
$\frac{\Delta m}{\Delta t} = \frac{mg}{v}$

(A) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,जब घोड़ा अपने खुरों से जमीन को पीछे की ओर धकेलता है,तो जमीन घोड़े पर आगे की दिशा में समान और विपरीत प्रतिक्रिया बल लगाती है। जमीन द्वारा लगाया गया यही प्रतिक्रिया बल घोड़े को आगे बढ़ने में मदद करता है।