Third Law of Motion and Momentum and Impulse Questions in Hindi

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 150\, g = 0.150\, kg$. प्रारंभिक वेग $v_i = -40\, m/s$ (बल्ले की दिशा को धनात्मक मानते हुए)। अंतिम वेग $v_f = 60\, m/s$। संपर्क समय $\Delta t = 5\, ms = 5 \times 10^{-3}\, s$।
संवेग में परिवर्तन $\Delta p$ इस प्रकार है:
$\Delta p = m(v_f - v_i) = 0.150 \times (60 - (-40)) = 0.150 \times 100 = 15\, kg \cdot m/s$।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार औसत बल $F$:
$F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{15}{5 \times 10^{-3}} = 3 \times 10^3\, N = 3000\, N$।

(A) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,आवेगी बल $F$ को $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta p$ संवेग में परिवर्तन है और $\Delta t$ टक्कर की समयावधि है।
त्वरित टक्कर में,समयावधि $\Delta t$ बहुत कम होती है।
चूंकि संवेग में परिवर्तन $\Delta p$ दोनों मामलों के लिए समान है (क्योंकि प्रारंभिक और अंतिम वेग समान हैं),बल $F$,$\Delta t$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(F \propto \frac{1}{\Delta t})$।
इसलिए,छोटी $\Delta t$ के लिए,बल $F$ बहुत अधिक होता है,जिससे टक्कर अधिक हिंसक हो जाती है।
संवेग परिवर्तन की दर को $\frac{\Delta p}{\Delta t}$ के रूप में परिभाषित किया गया है,जो कि बल $F$ है।
चूंकि पहले मामले में $\Delta t$ कम है,इसलिए संवेग परिवर्तन की दर वास्तव में अधिक है।
अतः,$Assertion$ और $Reason$ दोनों सही हैं,और $Reason$,$Assertion$ की सही व्याख्या है।

(B) सदिश राशि वह भौतिक राशि है जिसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं।
$1$. तापमान,दाब,समय,शक्ति,कुल पथ लंबाई,ऊर्जा,गुरुत्वीय विभव,घर्षण गुणांक और आवेश सभी अदिश राशियाँ हैं क्योंकि इनमें केवल परिमाण होता है और कोई विशिष्ट दिशा नहीं होती है।
$2$. आवेग (impulse) को बल और समय के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है,जिसे $\vec{J} = \vec{F} \Delta t$ के रूप में व्यक्त किया जाता है। चूंकि बल $(\vec{F})$ एक सदिश राशि है,इसलिए समय (एक अदिश) के साथ इसका गुणनफल एक सदिश राशि प्रदान करता है।
अतः,दी गई सूची में आवेग ही एकमात्र सदिश राशि है।

(D) गेंद को दिया गया आवेग उसके संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
गेंद का प्रारंभिक वेग,$u = 12 \; m/s$.
गेंद का अंतिम वेग,$v = -12 \; m/s$ (क्योंकि इसे विपरीत दिशा में वापस मारा जाता है)।
गेंद का द्रव्यमान,$m = 0.15 \; kg$.
आवेग $I = \Delta p = m(v - u)$.
$I = 0.15 \times (-12 - 12)$.
$I = 0.15 \times (-24)$.
$I = -3.6 \; N \cdot s$.
आवेग का परिमाण $3.6 \; N \cdot s$ है,जो बल्लेबाज से गेंदबाज की दिशा में है।

(N/A) $(i)$ के लिए एक सहज उत्तर यह हो सकता है कि स्थिति $(a)$ में दीवार पर बल दीवार के लंबवत है,जबकि स्थिति $(b)$ में यह लंब के साथ $30^{\circ}$ के कोण पर है। यह उत्तर गलत है। दोनों स्थितियों में दीवार पर बल दीवार के लंबवत ही होता है।
दीवार पर बल ज्ञात करने के लिए,हम दूसरे नियम का उपयोग करके दीवार के कारण गेंद पर लगने वाले आवेग पर विचार करते हैं,और फिर $(i)$ का उत्तर देने के लिए तीसरे नियम का उपयोग करते हैं। मान लीजिए $u$ दीवार के साथ टकराने से पहले और बाद में प्रत्येक गेंद की गति है,और $m$ प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान है। चित्र में दिखाए अनुसार $x$ और $y$ अक्ष चुनें।
स्थिति $(a)$:
प्रारंभिक संवेग: $(p_x)_{\text{initial}} = mu, (p_y)_{\text{initial}} = 0$
अंतिम संवेग: $(p_x)_{\text{final}} = -mu, (p_y)_{\text{final}} = 0$
आवेग संवेग सदिश में परिवर्तन है। इसलिए,
आवेग का $x$-घटक $= -2mu$
आवेग का $y$-घटक $= 0$
आवेग और बल एक ही दिशा में होते हैं। दीवार के कारण गेंद पर लगने वाला बल दीवार के लंबवत,ऋणात्मक $x$-दिशा में होता है। न्यूटन के गति के तीसरे नियम का उपयोग करते हुए,गेंद के कारण दीवार पर लगने वाला बल दीवार के लंबवत,धनात्मक $x$-दिशा में होता है।
स्थिति $(b)$:
प्रारंभिक संवेग: $(p_x)_{\text{initial}} = mu \cos 30^{\circ}, (p_y)_{\text{initial}} = -mu \sin 30^{\circ}$
अंतिम संवेग: $(p_x)_{\text{final}} = -mu \cos 30^{\circ}, (p_y)_{\text{final}} = -mu \sin 30^{\circ}$
ध्यान दें कि टक्कर के बाद $p_x$ का चिह्न बदल जाता है,लेकिन $p_y$ का नहीं। इसलिए,
आवेग का $x$-घटक $= -2mu \cos 30^{\circ}$
आवेग का $y$-घटक $= 0$
आवेग (और बल) की दिशा स्थिति $(a)$ के समान है और यह दीवार के लंबवत,ऋणात्मक $x$-दिशा में है। न्यूटन के तीसरे नियम का उपयोग करते हुए,दीवार पर लगने वाला बल दीवार के लंबवत,धनात्मक $x$-दिशा में होता है।
स्थिति $(a)$ और $(b)$ में गेंदों को दिए गए आवेगों के परिमाण का अनुपात है:
$\frac{2mu}{2mu \cos 30^{\circ}} = \frac{1}{\cos 30^{\circ}} = \frac{1}{\sqrt{3}/2} = \frac{2}{\sqrt{3}} \approx 1.15$.

(N/A) $t < 0$ के लिए:
ग्राफ दर्शाता है कि कण की स्थिति $x = 0$ है (समय अक्ष पर)। यह इंगित करता है कि कण स्थिर है। अतः,वेग शून्य है और कण पर लगने वाला बल $F = 0$ है।
$t > 4 \,s$ के लिए:
ग्राफ दर्शाता है कि कण की स्थिति $x = 3 \,m$ पर स्थिर है (समय अक्ष के समानांतर)। यह इंगित करता है कि कण स्थिर है। अतः,वेग शून्य है और कण पर लगने वाला बल $F = 0$ है।
$0 < t < 4 \,s$ के लिए:
ग्राफ एक स्थिर ढलान वाली सीधी रेखा है। वेग $v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{3 - 0}{4 - 0} = 0.75 \,m/s$ है। चूंकि वेग स्थिर है,इसलिए त्वरण शून्य है। अतः,कण पर लगने वाला बल $F = m \cdot a = 0$ है।
$(b)$ आवेग संवेग में परिवर्तन है,$J = \Delta p = m(v - u)$.
$t = 0 \,s$ पर:
प्रारंभिक वेग $u = 0$,अंतिम वेग $v = 0.75 \,m/s$.
$J = 4 \,kg \times (0.75 - 0) \,m/s = 3 \,kg \cdot m/s$.
$t = 4 \,s$ पर:
प्रारंभिक वेग $u = 0.75 \,m/s$,अंतिम वेग $v = 0$.
$J = 4 \,kg \times (0 - 0.75) \,m/s = -3 \,kg \cdot m/s$.

(B) प्रत्येक गेंद का द्रव्यमान $m = 0.05\; kg$ है।
गेंद $1$ का प्रारंभिक वेग $v_1 = 6\; m/s$ और गेंद $2$ का वेग $v_2 = -6\; m/s$ है।
गेंद $1$ का प्रारंभिक संवेग $p_{i1} = m \times v_1 = 0.05 \times 6 = 0.3\; kg\; m/s$ है।
टकराव के बाद,वे समान गति से वापस लौटती हैं,इसलिए गेंद $1$ का अंतिम वेग $v_{f1} = -6\; m/s$ हो जाता है।
गेंद $1$ का अंतिम संवेग $p_{f1} = m \times v_{f1} = 0.05 \times (-6) = -0.3\; kg\; m/s$ है।
गेंद $1$ पर लगाया गया आवेग उसके संवेग में परिवर्तन है: $J = p_{f1} - p_{i1} = -0.3 - 0.3 = -0.6\; Ns$.
प्रत्येक गेंद पर लगाए गए आवेग का परिमाण $0.6\; Ns$ है।

(D) गेंद को दिया गया आवेग उसके रैखिक संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
मान लीजिए गेंद का द्रव्यमान $m$ है और इसकी गति $v$ है।
प्रारंभिक वेग सदिश $\vec{v}_i$ और अंतिम वेग सदिश $\vec{v}_f$ का परिमाण समान है,$v = 54 \; km/h = 15 \; m/s$।
प्रारंभिक और अंतिम पथ के बीच का कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
संवेग में परिवर्तन के लिए सदिश घटाव विधि का उपयोग करते हुए $\Delta \vec{p} = m(\vec{v}_f - \vec{v}_i)$:
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $\Delta p = 2mv \sin(\theta/2)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\theta/2 = 45^{\circ}/2 = 22.5^{\circ}$।
आवेग $J = 2 \times 0.15 \; kg \times 15 \; m/s \times \sin(22.5^{\circ})$।
$\sin(22.5^{\circ}) \approx 0.3827$ का उपयोग करते हुए:
$J = 2 \times 0.15 \times 15 \times 0.3827 = 4.5 \times 0.3827 \approx 1.72 \; kg \; m/s$।
हालाँकि,दिए गए विकल्पों के अनुसार,गणना $2mv \cos(22.5^{\circ})$ का उपयोग करके की गई है,जो $2 \times 0.15 \times 15 \times 0.9239 \approx 4.16 \; kg \; m/s$ है।

(N/A) भौतिक संदर्भ: $x = 0$ और $x = 2 \; cm$ पर स्थित दो दीवारों के बीच उछलती हुई एक गेंद।
$1$. दो क्रमिक आवेगों के बीच का समय: ग्राफ दर्शाता है कि पिंड हर $2 \; s$ के बाद अपनी गति की दिशा बदलता है। चूंकि $x-t$ ग्राफ का ढाल हर $2 \; s$ के बाद बदल जाता है, इसलिए गेंद हर $2 \; s$ के बाद दीवार से टकराती है। अतः, दो क्रमिक आवेगों के बीच का समय $2 \; s$ है।
$2$. प्रत्येक आवेग का परिमाण:
गेंद का द्रव्यमान, $m = 0.04 \; kg$.
ग्राफ का ढाल गेंद का वेग देता है।
प्रारंभिक वेग $(u) = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{(2 - 0) \times 10^{-2} \; m}{(2 - 0) \; s} = 10^{-2} \; m/s$.
टक्कर से पहले का वेग, $u = 10^{-2} \; m/s$.
टक्कर के बाद का वेग, $v = -10^{-2} \; m/s$ (ऋणात्मक चिह्न दिशा में परिवर्तन को दर्शाता है)।
आवेग का परिमाण = संवेग में परिवर्तन = $|mv - mu| = |m(v - u)|$.
आवेग का परिमाण = $|0.04 \times (-10^{-2} - 10^{-2})| = |0.04 \times (-2 \times 10^{-2})| = 0.08 \times 10^{-2} \; kg \cdot m/s$.

(N/A) जब क्रिकेट की गेंद एक समान गति करती है,तो उसका त्वरण $0$ होता है।
जब इसे बल्ले से मारा जाता है,तो यह बहुत कम समय के अंतराल के लिए एक बड़े आवेगी बल का अनुभव करती है।
न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार,$F = ma$,इसलिए त्वरण $a = F/m$ होता है।
चूंकि बल आवेगी है,इसलिए त्वरण $0$ से तेजी से बढ़कर अधिकतम मान तक पहुंचता है और संपर्क समाप्त होने पर वापस $0$ हो जाता है।
त्वरण $(a)$ बनाम समय $(t)$ का ग्राफ नीचे दिखाया गया है,जिसमें पीछे की दिशा को धनात्मक लिया गया है:
[प्रभाव अंतराल के दौरान तीव्र शिखर दर्शाने वाला $a$ बनाम $t$ का ग्राफ]

(N/A) किसी पिंड के द्रव्यमान और वेग के गुणनफल को उसका रैखिक संवेग कहते हैं।
$\therefore$ रैखिक संवेग $(P)$,
$P = \text{द्रव्यमान} \times \text{वेग}$
$P = m v$
संवेग एक सदिश राशि है और इसकी दिशा वेग की दिशा में होती है।
संवेग का $SI$ मात्रक $kg \cdot m/s$ या $N \cdot s$ है।
संवेग का $CGS$ मात्रक $g \cdot cm/s$ है।
संवेग का विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-1}]$ है।

(N/A) उदाहरण $1$: यदि एक कंकड़ और एक पत्थर को समान वेग से किसी व्यक्ति पर फेंका जाए,तो केवल वेग के आधार पर यह पहचानना कठिन है कि कौन अधिक नुकसान पहुँचाएगा। हम संवेग $(p = mv)$ में परिवर्तन का अध्ययन करके प्रभाव बल निर्धारित कर सकते हैं। टक्कर के प्रभाव को समझने के लिए केवल वेग या द्रव्यमान पर्याप्त नहीं हैं।
द्रव्यमान पर विचार करके,हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि पत्थर का संवेग कंकड़ से अधिक है; इसलिए,पत्थर अधिक नुकसान पहुँचाएगा।
उदाहरण $2$: मान लीजिए कि एक कार और एक ट्रक क्षैतिज सड़क पर स्थिर हैं। उन्हें समान समय अंतराल में समान वेग तक त्वरित करने के लिए,कार को कम बल की आवश्यकता होती है,जबकि ट्रक को अधिक बल की आवश्यकता होती है। इसी प्रकार,यदि वे समान वेग से चल रहे हैं,तो उन्हें समान समय अंतराल में रोकने के लिए कार को ट्रक की तुलना में कम मंदक बल (retarding force) की आवश्यकता होती है।
अतः,बल के प्रभाव को निर्धारित करने के लिए,संवेग केवल वेग की तुलना में अधिक व्यापक जानकारी प्रदान करता है।

(N/A) किसी बल का आवेग उस औसत बल और उस समय अंतराल का गुणनफल है जिसके लिए वह बल किसी वस्तु पर कार्य करता है।
गणितीय रूप से,$Impulse (J) = F_{avg} \times \Delta t$.
यह वस्तु के संवेग में परिवर्तन के बराबर भी होता है,अर्थात $J = \Delta p = m(v - u)$.
मात्रक: आवेग का $SI$ मात्रक $Newton-second$ $(N \cdot s)$ या $kilogram-meter$ प्रति सेकंड $(kg \cdot m/s)$ है।
विमीय सूत्र: चूंकि आवेग संवेग में परिवर्तन $(p = mv)$ के बराबर है,इसलिए इसका विमीय सूत्र $[M^1 L^1 T^{-1}]$ है।

(N/A) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,हाथों पर लगने वाला बल $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta p$ संवेग में परिवर्तन है और $\Delta t$ गेंद को रोकने में लगा समय है।
जब एक अनुभवी क्रिकेटर गेंद को पकड़ता है,तो वह अपने हाथों को पीछे की ओर खींचता है। ऐसा करके,वह उस समय अंतराल $\Delta t$ को बढ़ा देता है जिसमें गेंद का संवेग शून्य हो जाता है।
चूंकि $F$,$\Delta t$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(F \propto \frac{1}{\Delta t})$,इसलिए समय $\Delta t$ को बढ़ाने से हाथों पर लगने वाला आवेगी बल $F$ काफी कम हो जाता है,जिससे चोट लगने से बचाव होता है।
इसके विपरीत,एक नौसिखिया अपने हाथों को स्थिर रखता है,जिसके परिणामस्वरूप $\Delta t$ बहुत कम होता है। इससे एक बड़ा आवेगी बल $F$ उत्पन्न होता है,जो हाथों में चोट का कारण बन सकता है।

(N/A) द्रव्यमान और वेग के गुणनफल को संवेग $(p = mv)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,लगाया गया बल संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है $(F = \frac{dp}{dt})$।
जब समान बल को अलग-अलग द्रव्यमान वाली दो वस्तुओं पर समान समय अंतराल के लिए लगाया जाता है,तो दोनों के लिए संवेग में परिवर्तन $(\Delta p = F \cdot \Delta t)$ समान होता है।
हालाँकि,चूंकि $p = mv$ होता है,इसलिए संवेग में समान परिवर्तन बनाए रखने के लिए हल्की वस्तु भारी वस्तु की तुलना में अधिक वेग प्राप्त करेगी।
इस प्रकार,संवेग वह भौतिक राशि है जो बल के प्रभाव को वस्तु की गति से सीधे जोड़ती है,जो गतिशीलता को समझने के लिए आवश्यक है।

(B) किसी वस्तु पर बल का प्रभाव उसके संवेग में परिवर्तन द्वारा निर्धारित किया जाता है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,संवेग परिवर्तन की दर लगाए गए बल के सीधे आनुपातिक होती है,जिसे $F = \frac{dp}{dt}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है। इसलिए,एक समय अंतराल में कार्य करने वाले बल के कुल प्रभाव को मापने वाला पैरामीटर 'आवेग' (Impulse) है,जिसे संवेग में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है $(J = \Delta p = F \cdot \Delta t)$। अतः,किसी वस्तु पर बल के प्रभाव को निर्धारित करने के लिए आवेग का उपयोग किया जाता है।

(N/A) $1$. बल का आवेग $(J)$ औसत बल $(F_{avg})$ और उस समय अंतराल $(\Delta t)$ का गुणनफल है जिसके दौरान यह कार्य करता है। गणितीय रूप से,$J = F_{avg} \times \Delta t$। यह एक सदिश राशि है और इसका $SI$ मात्रक $N \cdot s$ या $kg \cdot m/s$ है।
$2$. न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,संवेग परिवर्तन की दर (संवेग का समय के सापेक्ष अवकलन) वस्तु पर कार्य करने वाले कुल बाह्य बल के बराबर होती है। गणितीय रूप से,$F = dp/dt$। अतः,संवेग का समय के सापेक्ष अवकलन 'बल' (Force) नामक भौतिक राशि देता है।

(N/A) कथन: प्रत्येक क्रिया के लिए हमेशा समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है। जब एक वस्तु दूसरी वस्तु पर बल लगाती है,तो दूसरी वस्तु भी पहली वस्तु पर समान परिमाण और विपरीत दिशा में बल लगाती है।
महत्वपूर्ण बिंदु:
$(1)$ क्रिया और प्रतिक्रिया बल हमेशा जोड़े में होते हैं। एक अकेला बल अस्तित्व में नहीं रह सकता।
$(2)$ क्रिया और प्रतिक्रिया बल परिमाण में समान होते हैं लेकिन दिशा में विपरीत होते हैं।
$(3)$ क्रिया और प्रतिक्रिया बल हमेशा अलग-अलग वस्तुओं पर कार्य करते हैं। इसलिए,वे एक-दूसरे के प्रभाव को रद्द नहीं करते हैं।
$(4)$ क्रिया कारण है और प्रतिक्रिया प्रभाव है।
गणितीय रूप:
यदि वस्तु $A$ द्वारा वस्तु $B$ पर लगाया गया बल $\overrightarrow{F}_{AB}$ है और वस्तु $B$ द्वारा वस्तु $A$ पर लगाया गया बल $\overrightarrow{F}_{BA}$ है,तो न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार:
$\overrightarrow{F}_{AB} = -\overrightarrow{F}_{BA}$
उदाहरण: जब हाथ से स्प्रिंग को दबाया जाता है,तो हाथ स्प्रिंग पर बल लगाता है (क्रिया),और स्प्रिंग हाथ पर समान और विपरीत दिशा में प्रत्यानयन बल लगाती है (प्रतिक्रिया)।
नोट: जब हम किसी एक वस्तु की गति पर विचार करते हैं,तो हमें केवल उस वस्तु पर कार्य करने वाले बल को ध्यान में रखना चाहिए। यदि हम $A$ और $B$ दोनों वस्तुओं के निकाय पर विचार करते हैं,तो $\overrightarrow{F}_{AB}$ और $\overrightarrow{F}_{BA}$ आंतरिक बल हैं और उनका सदिश योग शून्य होता है।

(B) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।
ये दोनों बल अलग-अलग वस्तुओं पर कार्य करते हैं।
चूंकि वे अलग-अलग वस्तुओं पर कार्य करते हैं,इसलिए वे एक-दूसरे के प्रभाव को निरस्त नहीं कर सकते और किसी एक वस्तु पर परिणामी बल शून्य नहीं बना सकते।
इसलिए,यह कथन $False$ (असत्य) है।

(C) न्यूटन के गति के $3^{rd}$ नियम के अनुसार,क्रिया और प्रतिक्रिया बल हमेशा जोड़े में होते हैं।
ये बल समकालिक होते हैं,जिसका अर्थ है कि वे एक ही क्षण में अस्तित्व में आते हैं।
क्रिया बल के अनुप्रयोग और प्रतिक्रिया बल के प्रकट होने के बीच कोई समय अंतराल नहीं होता है।
इसलिए,कोई भी बल 'पहले' कार्य नहीं करता है; वे एक साथ कार्य करते हैं।

(B) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी पिंड के संवेग में परिवर्तन की दर उस पर लगाए गए बाह्य बल के सीधे आनुपातिक होती है।
गणितीय रूप से,$F = \frac{dp}{dt}$।
इसलिए,जब किसी वस्तु पर बाह्य बल लगाया जाता है,तो यह समय के साथ उसके संवेग में परिवर्तन का कारण बनता है।

(N/A) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के आधार पर दो परस्पर क्रिया करने वाली वस्तुओं के लिए $FBD$ (फ्री बॉडी डायग्राम) बनाने के लिए निम्नलिखित चरणों का पालन करें:
$1$. परस्पर क्रिया में शामिल दो वस्तुओं की पहचान करें।
$2$. प्रत्येक वस्तु को उसके परिवेश से अलग करें।
$3$. प्रत्येक वस्तु के लिए अलग-अलग $FBD$ बनाएं।
$4$. न्यूटन का तीसरा नियम लागू करें: प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है। यदि वस्तु $A$,वस्तु $B$ पर $F_{AB}$ बल लगाती है,तो वस्तु $B$ को वस्तु $A$ पर समान और विपरीत बल $F_{BA} = -F_{AB}$ लगाना चाहिए।
$5$. इन बल युग्मों को संबंधित आरेखों पर सदिशों के रूप में दर्शाएं,यह सुनिश्चित करते हुए कि वे परिमाण में समान और दिशा में विपरीत हैं।

(B) बल-समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल समाकलन $\int F \, dt$ द्वारा दिया जाता है।
आवेग की परिभाषा के अनुसार,$J = \int F \, dt$ होता है।
अतः,बल-समय ग्राफ के नीचे का क्षेत्रफल वस्तु पर लगाए गए आवेग को दर्शाता है।

(B) कम द्रव्यमान वाली वस्तु अधिक तेजी से गति करेगी।
मान लीजिए कि दो वस्तुओं के द्रव्यमान $m_{1}$ और $m_{2}$ हैं और उनके वेग $v_{1}$ और $v_{2}$ हैं।
दिया गया है कि उनके संवेग समान हैं:
$p_{1} = p_{2}$
$m_{1} v_{1} = m_{2} v_{2}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{v_{1}}{v_{2}} = \frac{m_{2}}{m_{1}}$
यदि $m_{1} < m_{2}$ है,तो $\frac{m_{2}}{m_{1}} > 1$ होगा।
इसलिए,$\frac{v_{1}}{v_{2}} > 1$,जिसका अर्थ है कि $v_{1} > v_{2}$।
अतः,समान संवेग बनाए रखने के लिए कम द्रव्यमान वाली वस्तु का वेग अधिक होना चाहिए।

(A) एक एथलीट लंबी कूद से पहले संवेग (momentum) प्राप्त करने के लिए दौड़ता है। न्यूटन के नियमों के अनुसार,संवेग द्रव्यमान और वेग का गुणनफल होता है $(p = mv)$। दौड़ने से,एथलीट अपना प्रारंभिक वेग बढ़ाता है,जिससे उसका संवेग बढ़ जाता है। यह बढ़ा हुआ संवेग एथलीट को कूद के दौरान अधिक दूरी तय करने में मदद करता है क्योंकि यह उसे आगे ले जाने के लिए अधिक जड़त्व और गतिज ऊर्जा प्रदान करता है।

(A) किसी वस्तु का रैखिक संवेग $\vec{p}$ उसके द्रव्यमान $m$ और वेग $\vec{v}$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित होता है,जिसे सूत्र $\vec{p} = m\vec{v}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि बस स्टेशन पर खड़ी है,इसलिए इसका वेग $\vec{v} = 0\,m/s$ है।
मान रखने पर,हमें $\vec{p} = 1000\,kg \times 0\,m/s = 0\,kg\cdot m/s$ प्राप्त होता है।
अतः,बस का रैखिक संवेग $0\,kg\cdot m/s$ है।

(B) यह कथन असत्य है।
संवेग $(p)$ को किसी वस्तु के द्रव्यमान $(m)$ और उसके वेग $(v)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,$p = m \times v$.
दिए गए कथन में संवेग को गलत तरीके से वेग और उसके परिमाण के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है।

(A) बल का आवेग,बल और उस समय अंतराल का गुणनफल है जिसके लिए यह कार्य करता है,अर्थात $J = F \times \Delta t$। आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,किसी वस्तु पर लगाया गया आवेग उसके संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है,अर्थात $J = \Delta p = m(v - u)$। इसलिए,जब बहुत कम समय के लिए एक बड़ा बल कार्य करता है,तो आवेग को वस्तु के संवेग में परिवर्तन की गणना करके निर्धारित किया जा सकता है।

(B) जब एक क्रिकेटर बल्ले को घुमाता है,तो वह बल्ले और गेंद के बीच संपर्क की अवधि को बढ़ा देता है। आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,$Impulse = F \cdot \Delta t = \Delta p$। संपर्क समय $(\Delta t)$ को बढ़ाकर,गेंद पर लगने वाला आवेग बढ़ जाता है,जिससे गेंद के संवेग में परिवर्तन $(\Delta p)$ अधिक होता है। परिणामस्वरूप,गेंद का अंतिम वेग बढ़ जाता है,जिससे वह छक्का मारने के लिए आवश्यक दूरी तय कर पाती है।

(C) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी वस्तु पर लगने वाला बल $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\Delta p$ संवेग में परिवर्तन है और $\Delta t$ समय अंतराल है।
जब एक क्रिकेटर गेंद को पकड़ते समय अपने हाथों को पीछे की ओर खींचता है,तो वह उस समय अंतराल $\Delta t$ को बढ़ा देता है जिसमें गेंद का संवेग शून्य हो जाता है।
चूंकि बल $F$ समय $\Delta t$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(F \propto \frac{1}{\Delta t})$,इसलिए प्रभाव के समय को बढ़ाने से खिलाड़ी के हाथों पर लगने वाला आवेगी बल काफी कम हो जाता है,जिससे चोट लगने से बचाव होता है।

(B) दिया गया है: द्रव्यमान $m = 50 \, g$,प्रारंभिक वेग $v_0 = 20 \, cm/s$,बल $F = 50 \, dyne$,समय $\Delta t = 5 \, s$.
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,संवेग में परिवर्तन लगाए गए आवेग के बराबर होता है:
$F \cdot \Delta t = \Delta p$
$F \cdot \Delta t = p - p_0$
$p = p_0 + F \cdot \Delta t$
चूंकि प्रारंभिक संवेग $p_0 = m \cdot v_0$ है:
$p = (50 \, g \times 20 \, cm/s) + (50 \, dyne \times 5 \, s)$
$p = 1000 \, g \cdot cm/s + 250 \, g \cdot cm/s$
$p = 1250 \, g \cdot cm/s$

(A) रासायनिक बम का विस्फोट सिस्टम के भीतर होने वाली रासायनिक प्रतिक्रियाओं के कारण ऊर्जा के तेजी से मुक्त होने के कारण होता है।
इन रासायनिक प्रतिक्रियाओं में बम बनाने वाले कणों (परमाणुओं और अणुओं) के बीच कार्य करने वाले बल शामिल होते हैं।
चूंकि ये बल सिस्टम के घटक भागों के बीच कार्य करते हैं,इसलिए इन्हें आंतरिक बल के रूप में वर्गीकृत किया जाता है।
यांत्रिकी के नियमों के अनुसार,आंतरिक बल किसी सिस्टम के द्रव्यमान केंद्र (center of mass) की स्थिति को नहीं बदल सकते हैं।
इसलिए,विस्फोट आंतरिक बलों द्वारा संचालित होता है।

(N/A) रैखिक संवेग को किसी वस्तु के द्रव्यमान $(m)$ और उसके वेग $(v)$ के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह एक सदिश राशि है,जिसका अर्थ है कि इसमें परिमाण और दिशा दोनों होते हैं। संवेग की दिशा वही होती है जो वस्तु के वेग की दिशा होती है।
रैखिक संवेग $(p)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$p = m \times v$
जहाँ:
$p$ = रैखिक संवेग
$m$ = वस्तु का द्रव्यमान
$v$ = वस्तु का वेग
रैखिक संवेग का $SI$ मात्रक $kg \cdot m/s$ है।

(B) न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,प्रत्येक क्रिया के लिए एक समान और विपरीत प्रतिक्रिया होती है।
इसका अर्थ है कि बल कभी भी अकेले मौजूद नहीं होते; वे हमेशा जोड़ों में उत्पन्न होते हैं।
इसलिए,प्रकृति में एक अकेला बल होना असंभव है।

(A) बल-समय ग्राफ के अंतर्गत का क्षेत्रफल वस्तु को दिए गए आवेग $(J)$ को दर्शाता है।
आवेग $J = \int F \, dt = F-t \text{ ग्राफ के अंतर्गत क्षेत्रफल}$.
दिया गया है,क्षेत्रफल $= 100 \ Ns$ और समयांतराल $\Delta t = 1 \ s$ है।
चूंकि आवेग $J = F_{avg} \Delta t$ होता है,इसलिए $F_{avg} = \frac{J}{\Delta t}$ होगा।
$F_{avg} = \frac{100 \ Ns}{1 \ s} = 100 \ N$.
अतः,बल का मान $100 \ N$ है।

(N/A) संवेग में परिवर्तन $(\Delta p)$ आवेग (impulse) के बराबर होता है,जो $F-t$ ग्राफ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्रफल के बराबर होता है।
क्षेत्रफल = $\text{बल} \times \text{समय अंतराल}$
क्षेत्रफल = $10\, N \times 0.03\, s$
क्षेत्रफल = $0.3\, N\cdot s$
अतः,संवेग में परिवर्तन $\Delta p = 0.3\, kg\cdot m/s$ होगा।

(B) पिंड का द्रव्यमान $m = 2\, kg$ है।
ग्राफ से,$t = 0\, s$ पर,स्थिति $x = 0\, m$ है। $t = 0\, s$ पर वेग $v_1$ ग्राफ का ढाल है,जो $v_1 = 0\, m/s$ है।
$t = 4\, s$ पर,स्थिति $x = 3\, m$ है। $t > 4\, s$ के लिए,ग्राफ एक क्षैतिज रेखा है,जिसका अर्थ है कि वेग $v_2 = 0\, m/s$ है।
$t = 0\, s$ और $t = 4\, s$ के बीच,पिंड एक समान वेग $v = \frac{\Delta x}{\Delta t} = \frac{3 - 0}{4 - 0} = 0.75\, m/s$ से गति करता है।
$t = 0\, s$ पर आवेग: पिंड विरामावस्था से गति शुरू करता है,इसलिए आवेग $J_1 = m(v_{initial} - v_{rest}) = 2(0.75 - 0) = 1.5\, Ns$ है।
$t = 4\, s$ पर आवेग: पिंड $0.75\, m/s$ के वेग से विरामावस्था में आता है,इसलिए आवेग $J_2 = m(v_{final} - v_{initial}) = 2(0 - 0.75) = -1.5\, Ns$ है।
दोनों बिंदुओं पर आवेग का परिमाण $1.5\, Ns$ है।

(N/A) परिवहन के दौरान झटकों या टक्करों के समय प्रभाव के समय को बढ़ाने के लिए चीनी मिट्टी की वस्तुओं को पुआल या कागज में लपेटा जाता है। न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,लगाया गया बल $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$ द्वारा दिया जाता है। संवेग में परिवर्तन $\Delta p$ के लिए समय अंतराल $\Delta t$ को बढ़ाकर,चीनी मिट्टी की वस्तुओं पर कार्य करने वाले आवेगी बल $F$ को काफी कम किया जा सकता है। इससे वस्तुएं टूटने या क्षतिग्रस्त होने से बच जाती हैं।

(N/A) न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,किसी वस्तु पर लगने वाला बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है: $F = \frac{\Delta p}{\Delta t}$।
जब कोई बच्चा कठोर सीमेंट के फर्श पर गिरता है,तो संवेग को शून्य होने में लगने वाला समय अंतराल $\Delta t$ बहुत कम होता है। चूंकि $F \propto \frac{1}{\Delta t}$,इसलिए कम समय अंतराल के कारण अधिक बल लगता है,जिससे अधिक दर्द होता है।
इसके विपरीत,जब बच्चा नरम कीचड़ वाली जमीन पर गिरता है,तो जमीन दब जाती है,जिससे संवेग परिवर्तन का समय अंतराल $\Delta t$ बढ़ जाता है। समय अंतराल अधिक होने से बल का मान कम हो जाता है,जिससे बच्चे को कम दर्द महसूस होता है।

(N/A) वस्तु का द्रव्यमान $(m) = 500\,g = 0.5\,kg$.
वस्तु की गति $(v) = 25\,ms^{-1}$.
$(a)$ वस्तु को दिया गया आवेग संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है।
आवेग $= m(v - u) = 0.5\,kg \times (25\,ms^{-1} - 0\,ms^{-1}) = 12.5\,N\,s$.
$(b)$ वस्तु मूल गति की आधी गति से वापस आती है,इसलिए अंतिम वेग $(v') = -12.5\,ms^{-1}$ (प्रारंभिक दिशा को धनात्मक मानते हुए)।
संवेग में परिवर्तन $= m(v' - v) = 0.5\,kg \times (-12.5\,ms^{-1} - 25\,ms^{-1}) = 0.5 \times (-37.5) = -18.75\,kg\,ms^{-1}$ (या $-18.75\,N\,s$).

(A) असत्य। रैखिक संवेग को द्रव्यमान और वेग के गुणनफल $(p = mv)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। कथन में द्रव्यमान और संवेग का गुणनफल कहा गया है,जो गलत है।
$(b)$ सत्य। जड़त्व किसी वस्तु का एक आंतरिक गुण है जो उसके द्रव्यमान से संबंधित है,और यह वस्तु की गति की अवस्था में किसी भी परिवर्तन के प्रति प्रतिरोध को दर्शाता है।
$(c)$ असत्य। बल को संवेग परिवर्तन की दर $(F = dp/dt)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है,न कि केवल संवेग में परिवर्तन के रूप में।

(B) आवेग $(J)$ को संवेग में परिवर्तन $(\Delta p)$ के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसलिए,$(1)$ का मिलान $(b)$ से होता है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,संवेग परिवर्तन की दर $(\frac{dp}{dt})$ शुद्ध बाह्य बल $(F)$ के बराबर होती है। इसलिए,$(2)$ का मिलान $(a)$ से होता है।
अतः,सही मिलान $(1-b, 2-a)$ है।

(C) गोली पर लगाया गया बल $F(t) = 100 - 0.5 \times 10^{5} t$ द्वारा दिया गया है।
सबसे पहले,हम वह समय $t$ ज्ञात करते हैं जब बल शून्य हो जाता है:
$100 - 0.5 \times 10^{5} t = 0$
$0.5 \times 10^{5} t = 100$
$t = \frac{100}{0.5 \times 10^{5}} = 2 \times 10^{-3} \ s$.
आवेग (Impulse) $I$ को समय के साथ बल के समाकल (integral) के रूप में परिभाषित किया गया है:
$I = \int_{0}^{t} F dt = \int_{0}^{2 \times 10^{-3}} (100 - 0.5 \times 10^{5} t) dt$.
व्यंजक का समाकलन करने पर:
$I = [100t - \frac{0.5 \times 10^{5} t^{2}}{2}]_{0}^{2 \times 10^{-3}}$.
$t$ का मान रखने पर:
$I = 100(2 \times 10^{-3}) - 0.25 \times 10^{5} (2 \times 10^{-3})^{2}$
$I = 0.2 - 0.25 \times 10^{5} (4 \times 10^{-6})$
$I = 0.2 - 0.25 \times 0.4$
$I = 0.2 - 0.1 = 0.1 \ N \cdot s$.

(B) जमीन से टकराने से ठीक पहले गेंद का वेग $v = \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $v = \sqrt{2 \times 10 \times 10} = \sqrt{200} = 10\sqrt{2} \, m/s$.
चूंकि गेंद उसी ऊँचाई तक वापस उछलती है,इसलिए टक्कर के बाद का वेग $v' = -v = -10\sqrt{2} \, m/s$ होगा (ऊपर की दिशा को धनात्मक लेने पर)।
गेंद को दिया गया आवेग $J$ संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है: $J = \Delta p = m(v_{final} - v_{initial})$.
यहाँ,$v_{initial} = -10\sqrt{2} \, m/s$ और $v_{final} = +10\sqrt{2} \, m/s$.
$J = 0.15 \times (10\sqrt{2} - (-10\sqrt{2})) = 0.15 \times 20\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$.
$\sqrt{2} \approx 1.414$ का उपयोग करने पर,$J = 3 \times 1.414 = 4.242 \, kg \cdot m/s$.
निकटतम मान लेने पर,आवेग का परिमाण $4.2 \, kg \cdot m/s$ है।

(C) दिया गया है:
गोली का द्रव्यमान,$m = 4 \, g = 4 \times 10^{-3} \, kg$
बंदूक का द्रव्यमान,$M = 4 \, kg$
जमीन के सापेक्ष गोली का वेग,$v_b = 50 \, ms^{-1}$
माना बंदूक का प्रतिक्षेप वेग $V$ है।
रैखिक संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,निकाय का प्रारंभिक संवेग शून्य है।
$M V + m v_b = 0$
$4 \times V + (4 \times 10^{-3}) \times 50 = 0$
$4 V = -0.2$
$V = -0.05 \, ms^{-1}$
प्रतिक्षेप वेग का परिमाण $0.05 \, ms^{-1}$ है।
बंदूक को दिया गया आवेग बंदूक के संवेग में परिवर्तन के बराबर होता है:
$J = |M \Delta V| = |4 \times (-0.05) - 0| = 0.2 \, kg \, ms^{-1}$.

(B) आवेग $J$ संवेग में परिवर्तन $\Delta p$ के बराबर होता है। दीवार द्वारा लगाया गया आवेग दीवार के अभिलंब ( $X$-दिशा) के अनुदिश होता है।
गेंद $(a)$ के लिए, वेग दीवार के लंबवत है। प्रारंभिक संवेग $p_i = mu$ (दीवार की ओर), अंतिम संवेग $p_f = -mu$ (दीवार से दूर)। संवेग में परिवर्तन $\Delta p_a = |p_f - p_i| = |-mu - mu| = 2mu = J_1$ है।
गेंद $(b)$ के लिए, वेग अभिलंब के साथ $45^{\circ}$ का कोण बनाता है। दीवार के लंबवत वेग का घटक $u \cos 45^{\circ}$ है। अभिलंब दिशा में संवेग में परिवर्तन $\Delta p_b = |(-mu \cos 45^{\circ}) - (mu \cos 45^{\circ})| = 2mu \cos 45^{\circ} = J_2$ है।
आवेगों के परिमाण का अनुपात $\frac{J_1}{J_2} = \frac{2mu}{2mu \cos 45^{\circ}} = \frac{1}{\cos 45^{\circ}} = \frac{1}{1/\sqrt{2}} = \sqrt{2} : 1$ है।

(A) आवेग (Impulse) को संवेग में परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जाता है।
मान लीजिए गेंद का प्रारंभिक वेग $u = 15 \; ms^{-1}$ है।
चूंकि बल्लेबाज गेंद को विपरीत दिशा में समान गति से वापस मारता है,इसलिए अंतिम वेग $v = -15 \; ms^{-1}$ होगा।
गेंद का द्रव्यमान $m = 0.4 \; kg$ है।
आवेग $J = \Delta p = m(v - u)$.
$J = 0.4 \times (-15 - 15) = 0.4 \times (-30) = -12 \; Ns$.
गेंद को दिए गए आवेग का परिमाण $|J| = 12 \; Ns$ है।

(B) गेंद का प्रारंभिक संवेग $\vec{P}_i = m \vec{v}_i = 0.15 \times 12 \hat{i} = 1.8 \hat{i} \; kg \cdot m/s$ है।
दीवार से टकराने के बाद गेंद का अंतिम संवेग $\vec{P}_f = m \vec{v}_f = 0.15 \times (-12 \hat{i}) = -1.8 \hat{i} \; kg \cdot m/s$ है।
संवेग में परिवर्तन (आवेग) $\Delta \vec{P} = \vec{P}_f - \vec{P}_i = -1.8 \hat{i} - 1.8 \hat{i} = -3.6 \hat{i} \; kg \cdot m/s$ है।
संवेग में परिवर्तन का परिमाण $|\Delta \vec{P}| = 3.6 \; kg \cdot m/s$ है।
आवेग-संवेग प्रमेय के अनुसार,आवेग बल और समय अवधि के गुणनफल के बराबर होता है: $|\Delta \vec{P}| = F \Delta t$।
दिए गए मानों को रखने पर: $3.6 = 100 \times \Delta t$।
अतः,$\Delta t = \frac{3.6}{100} = 0.036 \; s$।

(B) आवेग $I$,संवेग में परिवर्तन $\Delta P$ के बराबर होता है।
दिया गया है: द्रव्यमान $m = 5 \; kg$,प्रारंभिक वेग $u = 25 \; ms^{-1}$,अंतिम वेग $v = 0 \; ms^{-1}$।
संवेग में परिवर्तन $\Delta P = m(v - u) = 5(0 - 25) = -125 \; kg \cdot ms^{-1}$।
चूंकि दोनों स्थितियों में संवेग में परिवर्तन समान है,इसलिए आवेग $I = |\Delta P| = 125 \; N \cdot s$ दोनों स्थितियों में समान रहेगा।
औसत बल $F_{\text{avg}} = \frac{\Delta P}{\Delta t}$ द्वारा दिया जाता है।
स्थिति $(i)$ के लिए,$\Delta t_1 = 3 \; s$,इसलिए $F_{\text{avg}, 1} = \frac{125}{3} \approx 41.67 \; N$।
स्थिति $(ii)$ के लिए,$\Delta t_2 = 5 \; s$,इसलिए $F_{\text{avg}, 2} = \frac{125}{5} = 25 \; N$।
चूंकि $\Delta t_1 \neq \Delta t_2$,इसलिए औसत बल अलग-अलग हैं। अतः,आवेग समान है लेकिन औसत बल अलग है।

(A) लगाया गया बल रेत के कणों के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
सबसे पहले,हम उस वेग $v$ की गणना करते हैं जिसके साथ रेत का कण रेत-घड़ी के तल से टकराता है। चूंकि कण विराम अवस्था से शुरू होता है $(u = 0)$ और तल तक पहुँचने में $t = 2 \, s$ का समय लेता है,गति के समीकरण $v = u + gt$ का उपयोग करते हुए ($g = 10 \, m/s^2$ लेते हुए):
$v = 0 + 10 \times 2 = 20 \, m/s$.
तल से टकराने पर एक कण के संवेग में परिवर्तन (यह मानते हुए कि वह रुक जाता है) है:
$\Delta p = m(v - u_{final}) = m(v - 0) = mv$.
यहाँ $m = 0.2 \, g = 0.2 \times 10^{-3} \, kg$ दिया गया है,इसलिए:
$\Delta p = 0.2 \times 10^{-3} \, kg \times 20 \, m/s = 4 \times 10^{-3} \, kg \cdot m/s$.
चूंकि प्रति सेकंड $100$ कण गिरते हैं,इसलिए संवेग परिवर्तन की कुल दर (जो औसत बल के बराबर है) है:
$F = n \times \Delta p = 100 \times 4 \times 10^{-3} \, N = 0.4 \, N$.
अतः,लगाया गया औसत बल $0.4 \, N$ है।