Bernoulli's Theorem and Applications of Bernoulli's Theory Questions in Hindi

(N/A) बर्नौली का सिद्धांत बताता है कि एक असंपीड्य,अश्यान और धारा रेखीय प्रवाह वाले तरल के लिए,दाब ऊर्जा $(P)$,प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा $\left(\frac{1}{2}\rho v^{2}\right)$,और प्रति इकाई आयतन स्थितिज ऊर्जा $(\rho gh)$ का योग धारा रेखा के प्रत्येक बिंदु पर स्थिर रहता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $P + \frac{1}{2}\rho v^{2} + \rho gh = \text{constant}$.

(N/A) जब ट्रेन तेज गति से गुजरती है,तो ट्रेन के संपर्क में आने वाली हवा ट्रेन के समान वेग से चलती है। बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,जैसे-जैसे हवा का वेग बढ़ता है,उसका दबाव कम हो जाता है। यह व्यक्ति और ट्रेन के बीच कम दबाव का क्षेत्र बनाता है। चूंकि ट्रेन से दूर हवा का दबाव अधिक रहता है,इसलिए दबाव का अंतर पैदा हो जाता है। यह दबाव का अंतर व्यक्ति पर ट्रेन की दिशा में एक बल लगाता है,जो व्यक्ति को चलती हुई ट्रेन की ओर खींच सकता है,जिससे यह खतरनाक हो जाता है।

(N/A) बर्नौली के प्रमेय के अनुसार,जब द्रव के प्रवाह का वेग बढ़ता है तो दाब कम हो जाता है।
जैसे-जैसे नावें एक-दूसरे के समानांतर चलती हैं,नावों के बीच के क्षेत्र में पानी का वेग नावों के बाहर के पानी की तुलना में अधिक हो जाता है।
परिणामस्वरूप,नावों के बीच के क्षेत्र में पानी द्वारा लगाया गया दाब बाहर की ओर के पानी के दाब से कम हो जाता है।
यह दाबांतर एक शुद्ध बल उत्पन्न करता है जो दोनों नावों को एक-दूसरे की ओर धकेलता है,जिससे वे आकर्षित होती हैं।

(A) सांतत्य समीकरण $A_{1}v_{1} = A_{2}v_{2}$ के अनुसार, $v \propto \frac{1}{A}$ होता है। जब कोई तरल एक संकीर्ण भाग से गुजरता है, तो अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ कम हो जाता है, जिससे वेग $v$ बढ़ जाता है。
बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार, एक क्षैतिज पाइप के लिए $P + \frac{1}{2}\rho v^{2} = \text{स्थिरांक}$ होता है। जैसे-जैसे वेग $v$ बढ़ता है, कुल ऊर्जा को स्थिर रखने के लिए दबाव $P$ कम होना चाहिए।

(N/A) जब तेज हवा चलती है,तो हवा झंडे की सतह पर तेजी से बहती है। बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,तरल के क्षैतिज प्रवाह के लिए,तरल की गति में वृद्धि के साथ-साथ दबाव में कमी आती है।
चूंकि झंडे के मुक्त सिरे पर हवा की गति अधिक होती है,इसलिए वहां दबाव कम हो जाता है।
हालांकि,आधार (खंभे) के पास दबाव अपेक्षाकृत अधिक रहता है।
यह दबाव का अंतर एक बल पैदा करता है जिसके कारण झंडा दोलन करता है या फड़फड़ाता है।

(N/A) बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,एक आदर्श तरल के धारा रेखीय प्रवाह के लिए,प्रति इकाई आयतन में दाब ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है। तूफान के दौरान,इमारत की छत के ऊपर हवा बहुत तेज गति से चलती है। यह उच्च-वेग वाली हवा छत के ऊपर कम दबाव का क्षेत्र बनाती है। इमारत के अंदर हवा अपेक्षाकृत स्थिर होती है,जिसके परिणामस्वरूप छत के नीचे वायुमंडलीय दबाव अधिक होता है। यह दबाव का अंतर छत पर ऊपर की ओर एक बल (लिफ्ट) पैदा करता है। जब यह ऊपर की ओर लगने वाला बल छत के वजन से अधिक हो जाता है,तो छत उड़ जाती है।

(N/A) हवाई जहाज के पंख को $airfoil$ नामक एक विशेष आकार के साथ डिज़ाइन किया गया है। जैसे-जैसे हवाई जहाज रनवे पर आगे बढ़ता है,हवा पंखों की ऊपरी और निचली सतहों पर बहती है। पंख के आकार के कारण,ऊपर की ओर हवा का वेग नीचे की तुलना में अधिक होता है। $Bernoulli$ के सिद्धांत के अनुसार,जहाँ तरल का वेग अधिक होता है,वहाँ उसका दबाव कम होता है। इस प्रकार,पंख के ऊपर का दबाव नीचे के दबाव से कम हो जाता है। यह दबाव का अंतर ऊपर की ओर एक बल पैदा करता है जिसे लिफ्ट कहा जाता है। जब हवाई जहाज पर्याप्त गति प्राप्त कर लेता है,तो लिफ्ट बल हवाई जहाज के वजन से अधिक हो जाता है,जिससे वह उड़ान भरने में सक्षम हो जाता है।

(N/A) मैग्नस प्रभाव वह घटना है जिसमें किसी तरल (जैसे हवा) में गति करने वाली घूमती हुई वस्तु अपनी गति की दिशा के लंबवत एक बल का अनुभव करती है।
जैसे ही वस्तु घूमती है,वह श्यानता (viscosity) के कारण अपने आसपास के तरल को अपने साथ खींचती है।
वस्तु के एक तरफ,तरल का वेग बढ़ जाता है (क्योंकि स्पिन की दिशा प्रवाह के साथ संरेखित होती है),जिससे बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार दबाव कम हो जाता है।
विपरीत दिशा में,तरल का वेग कम हो जाता है,जिससे दबाव बढ़ जाता है।
यह दबाव का अंतर एक शुद्ध बल उत्पन्न करता है जो घूमती हुई वस्तु के प्रक्षेप पथ (trajectory) को वक्र बना देता है।

(C) द्रव यांत्रिकी (fluid mechanics) में, विशेष रूप से बर्नौली के समीकरण में, द्रव के प्रति इकाई भार ऊर्जा को 'शीर्ष' (heads) के रूप में व्यक्त किया जाता है:
$1$. वेग शीर्ष (Velocity head): यह द्रव की प्रति इकाई भार गतिज ऊर्जा को दर्शाता है, जो $\frac{v^2}{2g}$ द्वारा दी जाती है। अतः, $(a-iii)$।
$2$. दाब शीर्ष (Pressure head): यह द्रव की प्रति इकाई भार दाब ऊर्जा को दर्शाता है, जो $\frac{P}{\rho g}$ द्वारा दी जाती है। अतः, $(b-i)$।
$3$. स्थितिज शीर्ष (Potential head): यह द्रव की प्रति इकाई भार स्थितिज ऊर्जा को दर्शाता है, जो $h$ द्वारा दी जाती है। अतः, $(c-ii)$।
इसलिए, सही मिलान $(a-iii), (b-i)$ है।

(B) क्षैतिज पाइप के लिए,ऊँचाई $h$ स्थिर रहती है,इसलिए $h_1 = h_2$। बर्नौली के समीकरण के अनुसार:
$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$
यहाँ $P_1 = P$,$v_1 = v$,$P_2 = \frac{P}{2}$,और $v_2 = V$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर:
$P + \frac{1}{2}\rho v^2 = \frac{P}{2} + \frac{1}{2}\rho V^2$
दोनों पक्षों से $\frac{P}{2}$ घटाने पर:
$\frac{P}{2} + \frac{1}{2}\rho v^2 = \frac{1}{2}\rho V^2$
पूरे समीकरण को $\frac{2}{\rho}$ से गुणा करने पर:
$\frac{P}{\rho} + v^2 = V^2$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$V = \sqrt{\frac{P}{\rho} + v^2}$

(A) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,$A_{1}V_{1} = A_{2}V_{2}$। चूंकि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल समान है $(A_{1} = A_{2})$,इसलिए द्रव की गति स्थिर रहती है,अतः $V_{1} = V_{2} = 3.5 \ m/s$।
बिंदु $A_{1}$ (ऊँचाई $0$ पर) और बिंदु $A_{2}$ के ऊपर प्राप्त अधिकतम ऊँचाई $h$ (जहाँ अंतिम वेग $0$ है) के बीच बर्नौली प्रमेय लागू करने पर:
$P_{atm} + \frac{1}{2} \rho V_{1}^{2} + \rho g(0) = P_{atm} + \frac{1}{2} \rho(0)^{2} + \rho gh$
समीकरण को सरल करने पर:
$\frac{1}{2} \rho V_{1}^{2} = \rho gh$
$h = \frac{V_{1}^{2}}{2g}$
दिए गए मानों ($V_{1} = 3.5 \ m/s$ और $g = 10 \ m/s^{2}$) को रखने पर:
$h = \frac{(3.5)^{2}}{2 \times 10} = \frac{12.25}{20} = 0.6125 \ m$
सेंटीमीटर में बदलने पर:
$h = 0.6125 \times 100 = 61.25 \ cm$।
अतः,विकल्प $A$ सही है।

(B) $1$. सांतत्य समीकरण लागू करें: $A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$.
चूंकि $A = \pi (d/2)^{2}$,इसलिए $d_{1}^{2} v_{1} = d_{2}^{2} v_{2}$ होगा।
मान रखने पर: $5^{2} \times 4 = 2^{2} \times v_{2} \implies 25 \times 4 = 4 \times v_{2} \implies v_{2} = 25 \, m/s$.
$2$. बर्नौली का समीकरण लागू करें (क्षैतिज प्रवाह मानते हुए): $P_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2}$.
$3$. दाबांतर ज्ञात करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करें: $\Delta P = P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2} \rho (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$.
$4$. मान रखने पर: $\Delta P = \frac{1}{2} \times 1000 \times (25^{2} - 4^{2})$.
$\Delta P = 500 \times (625 - 16) = 500 \times 609 = 304500 \, Pa$.

(A) दिया गया है:
भार का द्रव्यमान $m = 24\, kg$
टंकी का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = 0.4\, m^{2}$
छिद्र का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $a = 1\, cm^{2} = 10^{-4\, m^{2}}$
पानी की ऊँचाई $H = 40\, cm = 0.4\, m$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\, ms^{-2}$
पानी का घनत्व $\rho = 1000\, kg/m^{3}$
ऊपरी सतह और छिद्र $B$ पर बर्नौली का समीकरण लागू करने पर:
$P_{top} + \rho gH + \frac{1}{2}\rho v_{1}^{2} = P_{atm} + \frac{1}{2}\rho v^{2}$
जहाँ $P_{top} = P_{atm} + \frac{mg}{A}$
मान रखने पर:
$(P_{atm} + \frac{mg}{A}) + \rho gH = P_{atm} + \frac{1}{2}\rho v^{2}$ ($A \gg a$ होने के कारण $v_{1} \approx 0$ मानते हुए)
$\frac{mg}{A} + \rho gH = \frac{1}{2}\rho v^{2}$
$v = \sqrt{2gH + \frac{2mg}{A\rho}}$
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 0.4 + \frac{2 \times 24 \times 10}{0.4 \times 1000}}$
$v = \sqrt{8 + \frac{480}{400}} = \sqrt{8 + 1.2} = \sqrt{9.2}$
$v \approx 3.033\, m/s$
निकटतम पूर्णांक में,$v = 3\, m/s$.

(A) सांतत्य समीकरण (continuity equation) के अनुसार,$A_1 v_1 = A_2 v_2$ होता है।
यहाँ $A_1 = a$ और $A_2 = \frac{a}{2}$ दिया गया है,इसलिए $a v_1 = \frac{a}{2} v_2$,जिसका अर्थ है $v_2 = 2 v_1$।
दोनों खंडों के बीच बर्नौली प्रमेय का उपयोग करने पर:
$P_1 + \rho g h_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \rho g h_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$।
निचले खंड को संदर्भ स्तर $(h_2 = 0)$ मानने पर,$h_1 = 1 \; m$ प्राप्त होता है।
$P_1 - P_2 = \rho g (h_2 - h_1) + \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2)$।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $4100 = 800 \times [10 \times (0 - 1) + \frac{1}{2} ( (2v_1)^2 - v_1^2 )]$।
$4100 = 800 \times [-10 + \frac{3 v_1^2}{2}]$।
$\frac{4100}{800} = -10 + \frac{3 v_1^2}{2}$।
$5.125 = -10 + 1.5 v_1^2$।
$15.125 = 1.5 v_1^2$।
$v_1^2 = \frac{15.125}{1.5} = \frac{121}{12}$।
$v_1 = \sqrt{\frac{121}{12}} = \frac{11}{\sqrt{12}} = \frac{11 \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{121 \times 3}}{6} = \frac{\sqrt{363}}{6}$।
इसे $\frac{\sqrt{x}}{6}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 363$ प्राप्त होता है।

(C) माना $A = 0.5 \; m^{2}$ टंकी का क्षेत्रफल है,$a = 1 \; cm^{2} = 10^{-4} \; m^{2}$ छिद्र का क्षेत्रफल है,$M = 25 \; kg$ आरोपित द्रव्यमान है,और $h = 40 \; cm = 0.4 \; m$ पानी के स्तंभ की ऊँचाई है।
ऊपरी सतह और छिद्र पर बर्नौली के सिद्धांत का उपयोग करने पर:
$P_{top} + \rho g h = P_{atm} + \frac{1}{2} \rho v^{2}$
यहाँ,$P_{top} = P_{atm} + \frac{Mg}{A}$.
मान रखने पर:
$P_{atm} + \frac{25 \times 10}{0.5} + 1000 \times 10 \times 0.4 = P_{atm} + \frac{1}{2} \times 1000 \times v^{2}$
$500 + 4000 = 500 v^{2}$
$4500 = 500 v^{2}$
$v^{2} = 9$
$v = 3 \; m \; s^{-1} = 300 \; cm \; s^{-1}$.

(C) दिया गया है:
घनत्व $\rho = 750\,kg\,m^{-3}$
$A_{1} = 1.2 \times 10^{-2}\,m^{2}$
$A_{2} = \frac{A_{1}}{2} = 0.6 \times 10^{-2}\,m^{2}$
दाबांतर $\Delta P = P_{1} - P_{2} = 4500\,Pa$
सांतत्य समीकरण (Equation of Continuity) का उपयोग करने पर:
$A_{1}V_{1} = A_{2}V_{2}$
$A_{1}V_{1} = (A_{1}/2)V_{2} \Rightarrow V_{2} = 2V_{1}$
क्षैतिज पाइप के लिए बरनौली समीकरण का उपयोग करने पर $(h_{1} = h_{2})$:
$P_{1} + \frac{1}{2}\rho V_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2}\rho V_{2}^{2}$
$P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2}\rho(V_{2}^{2} - V_{1}^{2})$
$4500 = \frac{1}{2} \times 750 \times ((2V_{1})^{2} - V_{1}^{2})$
$4500 = 375 \times (4V_{1}^{2} - V_{1}^{2})$
$4500 = 375 \times 3V_{1}^{2}$
$4500 = 1125V_{1}^{2}$
$V_{1}^{2} = 4 \Rightarrow V_{1} = 2\,m\,s^{-1}$
प्रवाह की दर (आयतन प्रवाह दर) $Q = A_{1}V_{1}$
$Q = (1.2 \times 10^{-2}) \times 2 = 2.4 \times 10^{-2}\,m^{3}\,s^{-1}$
$Q = 24 \times 10^{-3}\,m^{3}\,s^{-1}$
अतः,प्रवाह की दर $24 \times 10^{-3}\,m^{3}\,s^{-1}$ है।

(C) मान लीजिए कि ऊपरी सतह पर दबाव $P_{1}$ है और छेद पर दबाव $P_{2}$ है।
पिस्टन का क्षेत्रफल $A = \pi r^{2} = \pi(1)^{2} = \pi\,m^{2}$ है।
पिस्टन द्वारा लगाया गया दबाव $P_{piston} = \frac{F}{A} = \frac{5 \times 10^{5}}{\pi}\,Pa$ है।
ऊपरी सतह पर कुल दबाव $P_{1} = P_{A} + P_{piston} = 1.01 \times 10^{5} + \frac{5 \times 10^{5}}{\pi}$ है।
बर्नौली के समीकरण का उपयोग करते हुए:
$P_{1} + \rho g h_{1} = P_{2} + \rho g h_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{e}^{2}$
यहाँ $P_{2} = P_{A}$,$h_{1} = 15\,m$,$h_{2} = 5\,m$,और $\rho = 1000\,kg/m^{3}$ है।
$\frac{5 \times 10^{5}}{\pi} + \rho g (h_{1} - h_{2}) = \frac{1}{2} \rho v_{e}^{2}$
$\frac{5 \times 10^{5}}{\pi} + 1000 \times 10 \times (15 - 5) = \frac{1}{2} \times 1000 \times v_{e}^{2}$
इस समीकरण को हल करने पर,$v_{e} = 17.8\,m/s$ प्राप्त होता है।

(B) बोतल के अंदर (बिंदु $1$) और नोजल पर (बिंदु $2$) बर्नौली के समीकरण का उपयोग करने पर:
$p_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = p_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2}$
यहाँ,$p_{1} = p_{\text{atm}} + \frac{F}{A}$ और $p_{2} = p_{\text{atm}}$. चूंकि दबाना धीमा है,हम $v_{1} \approx 0$ मानते हैं।
इसलिए,$p_{\text{atm}} + \frac{F}{A} = p_{\text{atm}} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} \Rightarrow v_{2}^{2} = \frac{2F}{\rho A}$ .......... $(i)$
$h$ ऊँचाई से क्षैतिज प्रक्षेप्य गति के लिए,परास $R$ को $R = v_{2} \sqrt{\frac{2h}{g}}$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$R^{2} = v_{2}^{2} \left(\frac{2h}{g}\right) \Rightarrow v_{2}^{2} = \frac{R^{2}g}{2h}$ .......... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{2F}{\rho A} = \frac{R^{2}g}{2h} \Rightarrow F = \frac{R^{2}g \rho A}{4h}$
दिया गया है $R = 2 \,m$,$g = 10 \,m/s^{2}$,$\rho = 1000 \,kg/m^{3}$,$A = 10 \,cm^{2} = 10^{-3} \,m^{2}$,और $h = 1 \,m$:
$F = \frac{(2)^{2} \times 10 \times 1000 \times 10^{-3}}{4 \times 1} = 10 \,N$.

(C) असंपीड्य,श्यानता-रहित तरल के सुव्यवस्थित प्रवाह के लिए बर्नौली के समीकरण के अनुसार:
$p + \frac{1}{2} \rho v^{2} + \rho g h = \text{स्थिरांक}$
दिए गए क्षैतिज पाइप में,सभी अनुभागों के लिए ऊंचाई $h$ स्थिर है।
इसलिए,समीकरण इस प्रकार सरल हो जाता है:
$p + \frac{1}{2} \rho v^{2} = \text{स्थिरांक}$
सांतत्य समीकरण के अनुसार,$A_{1}v_{1} = A_{2}v_{2}$। चूंकि पाइप का मध्य भाग संकरा है ($A$ छोटा है),इसलिए प्रवाह दर को स्थिर रखने के लिए उस अनुभाग में तरल का वेग $(v)$ बढ़ना चाहिए।
जैसे-जैसे संकरे अनुभाग में वेग $v$ बढ़ता है,योग को स्थिर रखने के लिए दबाव $p$ कम होना चाहिए।
इसलिए,बीच वाली ऊर्ध्वाधर पाइप में पानी का स्तर बाईं और दाईं ओर के चौड़े अनुभागों में पानी के स्तर से कम होगा। सही चित्रण समाधान छवि में दिखाया गया है।

(B) सांतत्य समीकरण के अनुसार,$A_1 v_1 = A_2 v_2$ होता है। संकीर्ण क्षेत्र में,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ घट जाता है,इसलिए द्रव का वेग $v$ बढ़ जाता है $(v \propto \frac{1}{A})$।
क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,$p + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{स्थिरांक}$ होता है। चूंकि संकीर्ण क्षेत्र में वेग $v$ बढ़ता है,इसलिए दबाव $p$ कम हो जाता है।
जैसे ही संकीर्ण क्षेत्र में हवा के बुलबुलों पर बाहरी दबाव कम होता है,बुलबुलों के अंदर की हवा फैलती है,जिससे बुलबुले आकार में बड़े हो जाते हैं। इस प्रकार,बुलबुले अधिक गति से चलते हैं और आकार में बड़े होते हैं।

(B) मान लीजिए $A_1$ क्षेत्र $I$ का क्षेत्रफल है और $v_1$ इस क्षेत्र में रक्त का वेग है।
इसी प्रकार,$A_2$ और $v_2$ क्षेत्र $II$ में क्षेत्रफल और वेग हैं।
सांतत्य समीकरण का उपयोग करते हुए,$A_1 v_1 = A_2 v_2$।
चूंकि $A_1 > A_2$,इसलिए $v_2 > v_1$।
अब,बर्नौली के प्रमेय का उपयोग करते हुए,$p + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{स्थिरांक}$।
चूंकि $v_2 > v_1$,इसलिए $p_2 < p_1$।
अतः,जब प्लेटलेट्स संकुचन में प्रवेश करते हैं तो क्षेत्र $II$ में दबाव कम होता है।

(C) एक क्षैतिज पाइप के लिए, पाइप की ऊँचाई $h$ सभी बिंदुओं पर स्थिर रहती है।
चूंकि प्रति इकाई आयतन स्थितिज ऊर्जा $\rho gh$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\rho$ तरल का घनत्व है, $g$ गुरुत्वीय त्वरण है, और $h$ ऊँचाई है, इसलिए यह राशि पूरे प्रवाह के दौरान स्थिर रहती है।
एक असमान पाइप में, अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ बदलता है, जिससे सांतत्य समीकरण $(A_1v_1 = A_2v_2)$ के अनुसार वेग $v$ बदल जाता है।
परिणामस्वरूप, बर्नौली के सिद्धांत को संतुष्ट करने के लिए प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा $(\frac{1}{2}\rho v^2)$ और दाब ऊर्जा $(P)$ पाइप के साथ बदलती रहती है।
इसलिए, प्रति इकाई आयतन स्थितिज ऊर्जा वह राशि है जो अपरिवर्तित रहती है।

(D) वेग शीर्ष (velocity head) को सूत्र $\frac{v^2}{2g}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
यहाँ वेग $v = 4 \, m/s$ दिया गया है और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$ लेने पर।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\text{वेग शीर्ष} = \frac{4^2}{2 \times 10} = \frac{16}{20} = 0.8 \, m$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) तरल की प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा का सूत्र: $\frac{KE}{V} = \frac{1}{2} \rho v^2$ है।
यहाँ,पानी का घनत्व $\rho = 1000 \, kg/m^3$ और गति $v = 2 \, m/s$ है।
सूत्र में मान रखने पर:
$\frac{KE}{V} = \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2$
$\frac{KE}{V} = \frac{1}{2} \times 1000 \times 4$
$\frac{KE}{V} = 2000 \, J/m^3$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(B) बर्नौली के सिद्धांत और सांतत्य समीकरण का उपयोग करते हुए:
बिंदु $A$ और $B$ की तुलना करने पर:
सांतत्य समीकरण के अनुसार,$A_A V_A = A_B V_B$ है।
चूंकि $A_A < A_B$ है,इसलिए $V_A > V_B$ होगा।
$A$ और $B$ के बीच बर्नौली का समीकरण (समान ऊँचाई पर) लागू करने पर: $P_A + \frac{1}{2} \rho V_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho V_B^2$।
चूंकि $V_A > V_B$ है,इसलिए $\frac{1}{2} \rho V_A^2 > \frac{1}{2} \rho V_B^2$ होगा,जिसका अर्थ है कि $P_A < P_B$ ... $(1)$।
बिंदु $B$ और $C$ की तुलना करने पर:
चूंकि $A_B = A_C$ है,इसलिए द्रव का वेग समान रहेगा,अर्थात $V_B = V_C$।
बर्नौली का समीकरण लागू करने पर: $P_B + \frac{1}{2} \rho V_B^2 + \rho g h_B = P_C + \frac{1}{2} \rho V_C^2 + \rho g h_C$।
चूंकि $V_B = V_C$ है,यह समीकरण $P_B + \rho g h_B = P_C + \rho g h_C$ में सरल हो जाता है।
यहाँ $h_B > h_C$ है,इसलिए $P_B < P_C$ प्राप्त होता है ... $(2)$।
$(1)$ और $(2)$ को मिलाने पर,हमें $P_A < P_B < P_C$ प्राप्त होता है।

(A) क्षैतिज प्रवाह के लिए बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार $(h_1 = h_2)$:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
जहाँ $P_1$ और $v_1$ ऊपरी सतह पर दबाव और वेग हैं,और $P_2$ और $v_2$ निचली सतह पर दबाव और वेग हैं।
दबाव का अंतर $\Delta P = P_2 - P_1$ इस प्रकार दिया गया है:
$\Delta P = \frac{1}{2} \rho (v_1^2 - v_2^2)$
दिया गया है: $\rho = 1.293 \, kg/m^3$,$v_1 = 60 \, m/s$,$v_2 = 45 \, m/s$.
$\Delta P = \frac{1}{2} \times 1.293 \times (60^2 - 45^2)$
$\Delta P = 0.6465 \times (3600 - 2025)$
$\Delta P = 0.6465 \times 1575$
$\Delta P \approx 1018.23 \, N/m^2$.
अतः,दबाव में अंतर लगभग $1018 \, N/m^2$ है।

(D) लिफ्ट बल $F_L$ को विमान के वजन को संतुलित करना चाहिए: $F_L = mg = (5.4 \times 10^5 \, kg) \times (10 \, m/s^2) = 5.4 \times 10^6 \, N$.
निचली और ऊपरी सतहों के बीच दबाव का अंतर $\Delta P = P_2 - P_1$ है: $\Delta P = \frac{F_L}{A} = \frac{5.4 \times 10^6 \, N}{500 \, m^2} = 1.08 \times 10^4 \, Pa$.
बर्नौली के समीकरण का उपयोग करते हुए: $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$,जहाँ $v_1$ निचली सतह पर गति है और $v_2$ ऊपरी सतह पर गति है।
$P_2 - P_1 = \frac{1}{2} \rho (v_1^2 - v_2^2) = \frac{1}{2} \rho (v_1 - v_2)(v_1 + v_2)$.
विमान की गति $v = 1080 \, km/h = 1080 \times \frac{5}{18} \, m/s = 300 \, m/s$ है। मान लें कि $v_1 + v_2 \approx 2v = 600 \, m/s$.
$1.08 \times 10^4 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times (v_2 - v_1) \times 600$.
$1.08 \times 10^4 = 360 \times (v_2 - v_1) \implies v_2 - v_1 = \frac{10800}{360} = 30 \, m/s$.
भिन्नात्मक वृद्धि $\frac{v_2 - v_1}{v} \times 100 = \frac{30}{300} \times 100 = 10 \%$ है।

(D) दिया गया है: घनत्व $\rho = 1.25 \times 10^3 \, kg \, m^{-3}$, $A_1 = 10 \, cm^2 = 10 \times 10^{-4} \, m^2$, $A_2 = 5 \, cm^2 = 5 \times 10^{-4} \, m^2$, $\Delta P = P_1 - P_2 = 3 \, N \, m^{-2}$.
सांतत्य समीकरण (continuity equation) के अनुसार, $A_1 v_1 = A_2 v_2$.
इसलिए, $v_1 = \frac{A_2}{A_1} v_2 = \frac{5}{10} v_2 = 0.5 v_2$.
क्षैतिज प्रवाह के लिए बर्नौली के समीकरण का उपयोग करने पर: $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$.
$\Delta P = P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2)$.
$v_1 = 0.5 v_2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$3 = \frac{1}{2} \times (1.25 \times 10^3) \times (v_2^2 - (0.5 v_2)^2)$.
$3 = 0.625 \times 10^3 \times (v_2^2 - 0.25 v_2^2) = 0.625 \times 10^3 \times 0.75 v_2^2$.
$3 = 468.75 v_2^2$.
$v_2^2 = \frac{3}{468.75} = 0.0064$.
$v_2 = \sqrt{0.0064} = 0.08 \, m \, s^{-1}$.
प्रवाह की दर (डिस्चार्ज) $Q = A_2 v_2 = (5 \times 10^{-4} \, m^2) \times (0.08 \, m \, s^{-1}) = 40 \times 10^{-6} \, m^3 \, s^{-1} = 4 \times 10^{-5} \, m^3 \, s^{-1}$.
$x \times 10^{-5} \, m^3 \, s^{-1}$ के साथ तुलना करने पर, हमें $x = 4$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है:
$A$ पर क्षेत्रफल,$A_A = 1.5 \, cm^2 = 1.5 \times 10^{-4} \, m^2$
$B$ पर क्षेत्रफल,$A_B = 25 \, mm^2 = 25 \times 10^{-6} \, m^2$
$B$ पर वेग,$v_B = 60 \, cm/s = 0.6 \, m/s$
घनत्व,$\rho = 1000 \, kg/m^3$
सांतत्य समीकरण का उपयोग करते हुए,$A_A v_A = A_B v_B$:
$1.5 \times 10^{-4} \times v_A = 25 \times 10^{-6} \times 0.6$
$v_A = \frac{25 \times 10^{-6} \times 0.6}{1.5 \times 10^{-4}} = \frac{15 \times 10^{-6}}{1.5 \times 10^{-4}} = 10 \times 10^{-2} = 0.1 \, m/s$
क्षैतिज नली के लिए बर्नौली के समीकरण का उपयोग करते हुए $(h_A = h_B)$:
$P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2$
$P_A - P_B = \frac{1}{2} \rho (v_B^2 - v_A^2)$
$P_A - P_B = \frac{1}{2} \times 1000 \times ((0.6)^2 - (0.1)^2)$
$P_A - P_B = 500 \times (0.36 - 0.01)$
$P_A - P_B = 500 \times 0.35 = 175 \, Pa$

(C) वेंचुरी-मीटर एक उपकरण है जिसका उपयोग पाइप के माध्यम से बहने वाले तरल पदार्थ की प्रवाह दर को मापने के लिए किया जाता है।
यह बर्नौली के सिद्धांत पर आधारित है,जो बताता है कि एक असंपीड्य,गैर-श्यान और स्थिर तरल प्रवाह के लिए,प्रति इकाई आयतन में दबाव ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग एक धारा के साथ स्थिर रहता है।
जैसे ही तरल वेंचुरी-मीटर के संकुचित भाग (गले) से गुजरता है,उसका वेग बढ़ जाता है,जिससे बर्नौली के समीकरण के अनुसार दबाव में कमी आती है।
चौड़े भाग और गले के बीच दबाव के अंतर को मापकर,प्रवाह दर की गणना की जा सकती है।

(A) बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,क्षैतिज प्रवाह के लिए कुल दबाव (स्थैतिक दबाव + गतिशील दबाव) स्थिर रहता है।
$P_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v^2$
जहाँ $P_1$ पानी के स्थिर होने पर प्रारंभिक दबाव $(4.5 \times 10^4 \ N/m^2)$ है,$P_2$ पानी के बहने पर दबाव $(2.0 \times 10^4 \ N/m^2)$ है,और $\rho$ पानी का घनत्व $(10^3 \ kg/m^3)$ है।
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho v^2$
$(4.5 \times 10^4) - (2.0 \times 10^4) = \frac{1}{2} \times 10^3 \times v^2$
$2.5 \times 10^4 = 0.5 \times 10^3 \times v^2$
$v^2 = \frac{2.5 \times 10^4}{0.5 \times 10^3} = 5 \times 10 = 50$
$v = \sqrt{50} \ m/s$
यह दिया गया है कि वेग $\sqrt{V} \ m/s$ है,इसलिए $\sqrt{V} = \sqrt{50}$।
अतः,$V = 50$।

(B) बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,पंख की निचली और ऊपरी सतहों के बीच दबाव का अंतर $\Delta P = \frac{1}{2} \rho (v_1^2 - v_2^2)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $v_1$ ऊपरी सतह पर गति है और $v_2$ निचली सतह पर गति है।
लिफ्ट बल $F$ की गणना $F = \Delta P \times A$ के रूप में की जाती है,जहाँ $A$ पंख का क्षेत्रफल है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\rho = 1.2 \,kg/m^3$,$v_1 = 70 \,m/s$,$v_2 = 65 \,m/s$,और $A = 2 \,m^2$.
$F = \frac{1}{2} \times 1.2 \times (70^2 - 65^2) \times 2$
$F = 1.2 \times (4900 - 4225)$
$F = 1.2 \times 675 = 810 \,N$.

(D) दोनों पंखों का कुल क्षेत्रफल $A = 2 \times 40 \,m^2 = 80 \,m^2$ है।
हवा की गति को $km/h$ से $m/s$ में बदलने पर:
$V_1 = 180 \,km/h = 180 \times \frac{5}{18} = 50 \,m/s$ (निचली सतह)
$V_2 = 252 \,km/h = 252 \times \frac{5}{18} = 70 \,m/s$ (ऊपरी सतह)
बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,निचली और ऊपरी सतहों के बीच का दबाव अंतर $\Delta P = P_1 - P_2$ लिफ्ट बल $F_L$ प्रदान करता है:
$F_L = (P_1 - P_2) A = \frac{1}{2} \rho (V_2^2 - V_1^2) A$
समतल उड़ान के लिए,लिफ्ट बल को विमान के वजन को संतुलित करना चाहिए:
$mg = \frac{1}{2} \rho (V_2^2 - V_1^2) A$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$m \times 10 = \frac{1}{2} \times 1 \times (70^2 - 50^2) \times 80$
$10m = 40 \times (4900 - 2500)$
$10m = 40 \times 2400$
$10m = 96000$
$m = 9600 \,kg$.

(B) बर्नौली का सिद्धांत बताता है कि एक असंपीड्य,अश्यान और धारा रेखीय प्रवाह वाले तरल के लिए,दाब ऊर्जा,प्रति इकाई आयतन स्थितिज ऊर्जा और प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा का योग एक धारा रेखा के अनुदिश नियत रहता है।
गणितीय रूप से,इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है: $P + \rho gh + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{नियतांक}$।
यहाँ,$P$ दाब है,$\rho$ तरल का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,$h$ ऊँचाई है और $v$ तरल का वेग है।

(D) ट्रेन के संदर्भ फ्रेम पर विचार करें। इस फ्रेम में,ट्रेन स्थिर है और सुरंग $v_t$ गति से चलती है। ट्रेन के सामने की हवा $v_t$ गति से ट्रेन की ओर बढ़ती है।
मान लीजिए कि ट्रेन और सुरंग की दीवारों के बीच के अंतराल में हवा की गति ट्रेन के सापेक्ष $v$ है। अंतराल का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A_{gap} = S_0 - S_t = 4S_t - S_t = 3S_t$ है।
ट्रेन के सापेक्ष हवा के प्रवाह के लिए निरंतरता समीकरण लागू करने पर:
$S_0 v_t = A_{gap} v$
$4S_t v_t = 3S_t v$
$v = \frac{4}{3} v_t$
अब,ट्रेन के सामने से अंतराल क्षेत्र तक स्ट्रीमलाइन के साथ हवा के प्रवाह के लिए बर्नौली का समीकरण लागू करें:
$p_0 + \frac{1}{2} \rho v_t^2 = p + \frac{1}{2} \rho v^2$
$p_0 - p = \frac{1}{2} \rho (v^2 - v_t^2)$
समीकरण में $v = \frac{4}{3} v_t$ प्रतिस्थापित करने पर:
$p_0 - p = \frac{1}{2} \rho ((\frac{4}{3} v_t)^2 - v_t^2)$
$p_0 - p = \frac{1}{2} \rho (\frac{16}{9} v_t^2 - v_t^2)$
$p_0 - p = \frac{1}{2} \rho (\frac{7}{9} v_t^2) = \frac{7}{18} \rho v_t^2$
इसे दिए गए व्यंजक $p_0 - p = \frac{7}{2N} \rho v_t^2$ के साथ तुलना करने पर:
$\frac{7}{2N} = \frac{7}{18}$
$2N = 18$
$N = 9$

(A, B, C, D) द्रव्यमान प्रवाह दर: $\frac{dm}{dt} = \rho_1 A_1 v_1 = 0.8 \ kg/s$.
निचले सिरे पर वेग: $v_1 = \frac{0.8}{0.2 \times 0.1} = 40 \ m/s$.
रुद्धोष्म प्रसार के लिए: $P^{1-\gamma} T^{\gamma} = \text{स्थिरांक}$,इसलिए $\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{T_1}{T_2}\right)^{\frac{\gamma}{\gamma-1}}$.
दिया है $\gamma=2$,$\frac{P_2}{P_1} = \left(\frac{300}{150}\right)^2 = 4 \implies P_2 = 600 \times \frac{1}{4} = 150 \ Pa$.
आदर्श गैस समीकरण $\rho = \frac{PM}{RT}$ का उपयोग करते हुए,$\frac{\rho_1}{\rho_2} = \left(\frac{P_1}{P_2}\right)\left(\frac{T_2}{T_1}\right) = \left(\frac{600}{150}\right)\left(\frac{150}{300}\right) = 2 \implies \rho_2 = \frac{0.2}{2} = 0.1 \ kg/m^3$.
ऊपरी सिरे पर वेग: $v_2 = \frac{0.8}{\rho_2 A_2} = \frac{0.8}{0.1 \times 0.4} = 20 \ m/s$.
संपीड़ित प्रवाह के लिए बर्नौली के सिद्धांत का उपयोग करते हुए (ऊर्जा संरक्षण): $\frac{\gamma}{\gamma-1} \frac{P_1}{\rho_1} + \frac{1}{2}v_1^2 = \frac{\gamma}{\gamma-1} \frac{P_2}{\rho_2} + \frac{1}{2}v_2^2 + gh$.
$\frac{2}{1} \frac{600}{0.2} + \frac{1}{2}(40)^2 = \frac{2}{1} \frac{150}{0.1} + \frac{1}{2}(20)^2 + 10h$.
$6000 + 800 = 3000 + 200 + 10h \implies 6800 = 3200 + 10h \implies 10h = 3600 \implies h = 360 \ m$.

(A) क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,प्रति इकाई आयतन दाब ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है।
जब वाल्व बंद होता है,तो पानी का वेग $v_1 = 0$ है और दाब $P_1$ है।
जब वाल्व खोला जाता है,तो पानी का वेग $v$ है और दाब $P_2$ है।
बर्नौली का समीकरण लागू करने पर: $P_1 + \frac{1}{2} \rho (0)^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v^2$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho v^2$.
वेग $v$ के लिए हल करने पर: $v^2 = \frac{2(P_1 - P_2)}{\rho}$.
अतः,$v = \sqrt{\frac{2}{\rho}} \times \sqrt{P_1 - P_2}$.
चूंकि $\rho$ (पानी का घनत्व) स्थिर है,इसलिए गति $v$,$\sqrt{P_1 - P_2}$ के समानुपाती है।

(D) मान लीजिए बिंदु $1$ पानी की ऊपरी सतह है और बिंदु $2$ छेद है।
बिंदु $1$ और $2$ के बीच बर्नौली का समीकरण लागू करने पर:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2$
यहाँ,$P_1 = P_0 + \frac{F}{A} = P_0 + \frac{mg}{A}$,जहाँ $m = 50 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,और $A = 0.5 \ m^2$.
$P_1 = P_0 + \frac{50 \times 10}{0.5} = P_0 + 1000 \ Pa$.
$P_2 = P_0$ (वायुमंडलीय दबाव)।
ऊँचाई का अंतर $h = h_1 - h_2 = 1.6 \ m - 0.9 \ m = 0.7 \ m$.
चूंकि टंकी का क्षेत्रफल बड़ा है,इसलिए $v_1 \approx 0$.
मान रखने पर:
$(P_0 + 1000) + 0 + \rho g (0.7) = P_0 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
$1000 + 1000 \times 10 \times 0.7 = \frac{1}{2} \times 1000 \times v_2^2$
$1000 + 7000 = 500 \times v_2^2$
$8000 = 500 \times v_2^2$
$v_2^2 = 16$
$v_2 = 4 \ m/s$.

(C) सांतत्य समीकरण का उपयोग करते हुए: $A_1 V_1 = A_2 V_2$.
दिया गया है $A_1 = 2 \times 10^{-2} \ m^2$,$V_1 = 2 \ m/s$,और $A_2 = 0.01 \ m^2 = 10^{-2} \ m^2$.
$(2 \times 10^{-2})(2) = (10^{-2}) V_2$.
$V_2 = 4 \ m/s$.
क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के समीकरण का उपयोग करते हुए $(h_1 = h_2)$: $P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2$.
पानी का घनत्व $\rho = 10^3 \ kg/m^3$ लेने पर।
$4 \times 10^4 + \frac{1}{2}(10^3)(2)^2 = P_2 + \frac{1}{2}(10^3)(4)^2$.
$40000 + 2000 = P_2 + 8000$.
$P_2 = 42000 - 8000 = 34000 \ Pa = 3.4 \times 10^4 \ Pa$.

(C) बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार, क्षैतिज प्रवाह के लिए, $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$।
घर के अंदर हवा स्थिर है, इसलिए $v_1 = 0$ और $P_1 = P_{atm}$।
घर के बाहर हवा की गति $v_2 = 50 \,m/s$ है और दबाव $P_2$ है।
अतः, $P_{atm} = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$, जो दबाव का अंतर $\Delta P = P_{atm} - P_2 = \frac{1}{2} \rho v_2^2$ देता है।
मान रखने पर: $\Delta P = \frac{1}{2} \times 1.2 \,kg/m^3 \times (50 \,m/s)^2 = 0.6 \times 2500 = 1500 \,N/m^2$।
छत पर लगाया गया बल $F = \Delta P \times A = 1500 \,N/m^2 \times 300 \,m^2 = 4.5 \times 10^5 \,N$ होगा।

(C) $1$. सांतत्य समीकरण (equation of continuity) का उपयोग करते हुए, $A_1 v_1 = A_2 v_2$। दिया गया है $A_1 = 10 \,cm^2$, $v_1 = 1 \,m/s$, और $A_2 = 5 \,cm^2$। अतः, $10 \times 1 = 5 \times v_2$, जिससे $v_2 = 2 \,m/s$ प्राप्त होता है।
$2$. चूंकि पाइपलाइन क्षैतिज है, ऊंचाई $h_1 = h_2$ समान रहेगी। बर्नौली के समीकरण का उपयोग करते हुए: $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$।
$3$. मान रखने पर: $2000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (1)^2 = P_2 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2$।
$4$. $2000 + 500 = P_2 + 2000$।
$5$. $2500 = P_2 + 2000$, इसलिए $P_2 = 500 \,Pa$।

(B) क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,प्रति इकाई आयतन में दबाव ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है:
$P_1 + \frac{1}{2} \varrho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \varrho V_2^2$
दिया गया है:
$P_1 = P$,$V_1 = V$,$V_2 = 3V$
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$P + \frac{1}{2} \varrho V^2 = P_2 + \frac{1}{2} \varrho (3V)^2$
$P + \frac{1}{2} \varrho V^2 = P_2 + \frac{1}{2} \varrho (9V^2)$
$P_2 = P + \frac{1}{2} \varrho V^2 - \frac{9}{2} \varrho V^2$
$P_2 = P - \frac{8}{2} \varrho V^2$
$P_2 = P - 4 \varrho V^2$
अतः,दूसरे बिंदु पर दबाव $P - 4 \varrho V^2$ है।

(A) दिया गया है: घनत्व $\rho = 1.25 \times 10^3 \ kg/m^3$,$A_1 = 10 \ cm^2 = 10^{-3} \ m^2$,$A_2 = 5 \ cm^2 = 5 \times 10^{-4} \ m^2$,$\Delta P = P_1 - P_2 = 3 \ N/m^2$.
क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के समीकरण का उपयोग करने पर $(h_1 = h_2)$:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2)$
$3 = \frac{1}{2} \times 1.25 \times 10^3 \times (v_2^2 - v_1^2)$
$v_2^2 - v_1^2 = \frac{6}{1.25 \times 10^3} = 4.8 \times 10^{-3} \dots (i)$
सांतत्य समीकरण (equation of continuity) से,$A_1 v_1 = A_2 v_2$:
$10 \times 10^{-4} \times v_1 = 5 \times 10^{-4} \times v_2 \Rightarrow v_2 = 2v_1 \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ को $(i)$ में रखने पर:
$(2v_1)^2 - v_1^2 = 4.8 \times 10^{-3}$
$3v_1^2 = 4.8 \times 10^{-3} \Rightarrow v_1^2 = 1.6 \times 10^{-3}$
$v_1 = \sqrt{1.6 \times 10^{-3}} \approx 0.04 \ m/s$
प्रवाह की दर $Q = A_1 v_1 = 10 \times 10^{-4} \times 0.04 = 4 \times 10^{-5} \ m^3/s$.

(D) क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के समीकरण का उपयोग करने पर $(h_1 = h_2)$:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
दिया गया है: $P_1 = P$,$v_1 = v$,और $v_2 = 3v$।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$P + \frac{1}{2} \rho v^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho (3v)^2$
$P + \frac{1}{2} \rho v^2 = P_2 + \frac{9}{2} \rho v^2$
$P_2 = P + \frac{1}{2} \rho v^2 - \frac{9}{2} \rho v^2$
$P_2 = P - \frac{8}{2} \rho v^2$
$P_2 = P - 4 \rho v^2$

(C) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) का उपयोग करते हुए,$A_1 V_1 = A_2 V_2$:
$10 \,cm^2 \times V_1 = 5 \,cm^2 \times 60 \,cm/s$
$V_1 = 30 \,cm/s = 0.3 \,m/s$
$V_2 = 60 \,cm/s = 0.6 \,m/s$
क्षैतिज प्रवाह के लिए बर्नौली के समीकरण का उपयोग करते हुए $(P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2)$:
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (V_2^2 - V_1^2)$
पानी का घनत्व $\rho = 1000 \,kg/m^3$ लेने पर:
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \times 1000 \times ((0.6)^2 - (0.3)^2)$
$P_1 - P_2 = 500 \times (0.36 - 0.09)$
$P_1 - P_2 = 500 \times 0.27 = 135 \,N/m^2$

(C) गतिशील तरल के लिए बर्नौली के समीकरण के अनुसार,एक स्ट्रीमलाइन के साथ प्रति इकाई आयतन में दबाव ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है।
यह मानते हुए कि पाइप क्षैतिज है और पाइप के अंदर प्रारंभिक वेग $v_1$ नगण्य है $(v_1 \approx 0)$:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
चूंकि $v_1 = 0$ है,समीकरण इस प्रकार सरल हो जाता है:
$P_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
$v_2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho v_2^2$
$v_2^2 = \frac{2(P_1 - P_2)}{\rho}$
$v_2 = \sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho}}$

(A) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,$A_1 V_1 = A_2 V_2$।
चूंकि $Av$ का गुणनफल स्थिर है,सबसे संकरे भाग पर जहाँ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ न्यूनतम है,वहां वेग $v$ अधिकतम होगा।
क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार ($h$ स्थिर है),$P + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{स्थिरांक}$।
जैसे-जैसे वेग $v$ बढ़ता है,योग को स्थिर रखने के लिए दबाव $P$ को कम होना चाहिए।
अतः,सबसे संकरे भाग पर वेग अधिकतम और दबाव न्यूनतम होता है।

(C) वेंचुरीमीटर एक उपकरण है जिसका उपयोग पाइप से बहने वाले असंपीड्य द्रव के प्रवाह की दर को मापने के लिए किया जाता है। यह बर्नौली के प्रमेय के सिद्धांत पर कार्य करता है,जहाँ पाइप में एक संकीर्ण भाग दबाव में गिरावट का कारण बनता है जो प्रवाह दर के वर्ग के समानुपाती होता है।

(A) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,$A_{1}V_{1} = A_{2}V_{2}$ होता है।
चूंकि प्रवाह की दर स्थिर है,यदि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ घटता है,तो वेग $V$ बढ़ जाता है।
क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,$P + \frac{1}{2}\rho V^{2} = \text{constant}$ होता है।
इसका तात्पर्य यह है कि जैसे-जैसे वेग $V$ बढ़ता है,दबाव $P$ कम हो जाता है।
इसलिए,पाइप के सबसे संकरे हिस्से में,वेग अधिकतम होता है और दबाव न्यूनतम होता है।

(D) बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,तरल के क्षैतिज प्रवाह के लिए,प्रति इकाई आयतन में दबाव ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है।
जब दो लटकी हुई गेंदों के बीच की जगह से हवा की धारा प्रवाहित की जाती है,तो उस क्षेत्र में हवा का वेग बढ़ जाता है।
जैसे-जैसे वेग बढ़ता है,उस क्षेत्र में दबाव गेंदों के बाहरी किनारों पर मौजूद वायुमंडलीय दबाव की तुलना में कम हो जाता है।
यह दबाव का अंतर गेंदों पर एक शुद्ध बल पैदा करता है,जो उन्हें एक-दूसरे की ओर धकेलता है।
इसलिए,गेंदों के बीच की दूरी कम हो जाएगी।