Bernoulli's Theorem and Applications of Bernoulli's Theory Questions in Hindi

(A) बर्नौली का समीकरण बहते हुए तरल पदार्थ पर लागू कार्य-ऊर्जा प्रमेय से प्राप्त किया जाता है। यह बताता है कि एक असंपीड्य,अश्यान और धारा रेखीय प्रवाह के लिए,दाब ऊर्जा,प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा और प्रति इकाई आयतन स्थितिज ऊर्जा का योग एक धारा रेखा के साथ स्थिर रहता है। इसलिए,यह ऊर्जा संरक्षण के नियम का प्रतिनिधित्व करता है।

(B) मुक्त सतह (बिंदु $1$) और छेद (बिंदु $2$) के बीच बर्नौली के सिद्धांत को लागू करने पर:
$p_o + \rho g h + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = p_a + \rho g(0) + \frac{1}{2} \rho v^2$
चूंकि छेद बहुत छोटा है $(r \ll \sqrt{A/\pi})$,मुक्त सतह का वेग $v_1 \approx 0$ है।
अतः,$p_o + \rho g h = p_a + \frac{1}{2} \rho v^2$
$v$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{2} \rho v^2 = (p_o - p_a) + \rho g h$
$v^2 = \frac{2(p_o - p_a)}{\rho} + 2gh$
$v = \sqrt{2gh + \frac{2(p_o - p_a)}{\rho}}$
प्रवाह की दर (आयतन प्रवाह दर) $Q = \text{छेद का क्षेत्रफल} \times v = \pi r^2 \sqrt{2gh + \frac{2(p_o - p_a)}{\rho}}$.

(C) सांतत्य समीकरण का उपयोग करते हुए,$A_1 V_1 = A_2 V_2$।
दिया गया है $A_1 = 10 \text{ cm}^2$,$V_1 = 1 \text{ ms}^{-1}$,और $A_2 = 5 \text{ cm}^2$।
$V_2 = (A_1 V_1) / A_2 = (10 \times 1) / 5 = 2 \text{ ms}^{-1}$।
क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के समीकरण का उपयोग करते हुए,$P_1 + 0.5 \rho V_1^2 = P_2 + 0.5 \rho V_2^2$।
$P_2 = P_1 + 0.5 \rho (V_1^2 - V_2^2)$।
$P_2 = 2000 + 0.5 \times 1000 \times (1^2 - 2^2)$।
$P_2 = 2000 + 500 \times (1 - 4) = 2000 - 1500 = 500 \text{ Pa}$।

(D) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार, $A_{1} v_{1} = A_{2} v_{2}$ होता है।
दिया गया है: $A_{1} = 10 \,cm^{2}$, $v_{1} = 1 \,ms^{-1}$, $A_{2} = 5 \,cm^{2}$।
मान रखने पर: $10 \times 1 = 5 \times v_{2} \implies v_{2} = 2 \,ms^{-1}$।
क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के समीकरण का उपयोग करने पर: $P_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2}$।
यहाँ, $\rho = 1000 \,kg/m^{3}$ (पानी का घनत्व) है।
$2000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (1)^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^{2}$।
$2000 + 500 = P_{2} + 2000$।
$2500 = P_{2} + 2000 \implies P_{2} = 500 \,Pa$।

(B) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,असंपीड्य तरल के लिए अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल और वेग का गुणनफल स्थिर रहता है: $A_1 v_1 = A_2 v_2$।
यहाँ $A_1 = A$,$v_1 = 4 \,m/s$,और $A_2 = \frac{2}{3} A$ दिया गया है।
इन मानों को रखने पर: $A \times 4 = \frac{2}{3} A \times v_2$।
$v_2$ के लिए हल करने पर: $v_2 = 4 \times \frac{3}{2} = 6 \,m/s$।
अब,नीचे गिरती धारा के लिए ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत (बर्नौली समीकरण) का उपयोग करने पर: $P + \rho g h_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P + \rho g h_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$।
चूंकि दबाव $P$ स्थिर है और $h_1 - h_2 = h$ है,समीकरण सरल होकर बनता है: $g h = \frac{1}{2} (v_2^2 - v_1^2)$।
मान रखने पर: $10 \times h = \frac{1}{2} (6^2 - 4^2)$।
$10 h = \frac{1}{2} (36 - 16) = \frac{1}{2} (20) = 10$।
अतः,$h = 1 \,m$।

(D) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) का उपयोग करने पर:
$A_1 V_1 = A_2 V_2$
$10 \times 1 = 5 \times V_2 \Rightarrow V_2 = 2 \,m/s$
क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली प्रमेय लागू करने पर $(h_1 = h_2)$:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2$
यहाँ $\rho = 1000 \,kg/m^3$ (पानी का घनत्व):
$2000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (1)^2 = P_2 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2$
$2000 + 500 = P_2 + 2000$
$P_2 = 2500 - 2000 = 500 \,Pa$

(C) सांतत्य समीकरण के अनुसार,$A_1 v_1 = A_2 v_2$.
दिया गया है $A_1 = 2A$,$v_1 = \sqrt{2} \ m \ s^{-1}$,और $A_2 = A$.
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $(2A)(\sqrt{2}) = (A)v_2 \Rightarrow v_2 = 2\sqrt{2} \ m \ s^{-1}$.
स्थिर प्रवाह के लिए,बिंदुओं $1$ और $2$ पर बर्नौली का समीकरण लागू करने पर:
$P_1 + \rho g h_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \rho g h_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $P_1 - P_2 = \rho g (h_2 - h_1) + \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2)$.
यहाँ $P_1 - P_2 = 100 \ N \ m^{-2}$ (क्योंकि चौड़े भाग $1$ पर दबाव अधिक है जहाँ गति कम है),$h_1 - h_2 = 10 \ cm = 0.1 \ m$,इसलिए $h_2 - h_1 = -0.1 \ m$.
$100 = \rho [10(-0.1) + \frac{1}{2}((2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{2})^2)]$.
$100 = \rho [-1 + \frac{1}{2}(8 - 2)]$.
$100 = \rho [-1 + 3] = 2\rho$.
$\rho = 50 \ kg \ m^{-3}$.

(A) एक आदर्श,स्थिर और असंपीड्य तरल प्रवाह के लिए बर्नौली के प्रमेय के अनुसार,एक स्ट्रीमलाइन के साथ प्रति इकाई द्रव्यमान दबाव ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है।
क्षैतिज नली के लिए,ऊँचाई $h$ स्थिर है,इसलिए समीकरण इस प्रकार सरल हो जाता है:
$P + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{constant}$
यहाँ,$P$ दबाव है,$\rho$ घनत्व है,और $v$ तरल का वेग है।
सांतत्य समीकरण $A_1 v_1 = A_2 v_2$ से,यह पता चलता है कि जहाँ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ सबसे छोटा होता है,वहाँ वेग $v$ सबसे अधिक होता है।
चूँकि $P + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{constant}$,यदि वेग $v$ बढ़ता है,तो योग को स्थिर रखने के लिए दबाव $P$ को कम होना चाहिए।
इसलिए,दबाव वहाँ सबसे कम होता है जहाँ वेग सबसे अधिक होता है।

(C) हवाई जहाज के पंख का आकार इस तरह से डिज़ाइन किया जाता है कि ऊपरी सतह उत्तल और निचली सतह अपेक्षाकृत सपाट या अवतल हो।
बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार, घुमावदार ऊपरी सतह पर बहने वाली हवा पंख के नीचे बहने वाली हवा की तुलना में अधिक वेग से चलती है।
जैसे-जैसे वेग बढ़ता है, दबाव कम हो जाता है $(P + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{स्थिरांक})$.
इसलिए, ऊपर का दबाव नीचे के दबाव से कम होता है, जिससे ऊपर की ओर एक बल उत्पन्न होता है जिसे लिफ्ट कहा जाता है।
कथन $(A)$ सत्य है, लेकिन कारण $(R)$ असत्य है क्योंकि ऊपर की हवा का वेग अधिक होता है, कम नहीं, और ऊपर का दबाव कम होता है, अधिक नहीं।

(C) बर्नौली के प्रमेय के अनुसार,$p + \frac{1}{2} \rho V^2 + \rho g h = \text{नियतांक}$.
यहाँ,$p$ प्रति इकाई आयतन दाब ऊर्जा है,$\frac{1}{2} \rho V^2$ प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा है और $\rho g h$ प्रति इकाई आयतन स्थितिज ऊर्जा है।
धारा रेखीय प्रवाह में एक आदर्श तरल के लिए,इन ऊर्जाओं का योग स्थिर रहता है।
इसलिए,बर्नौली का प्रमेय ऊर्जा संरक्षण के नियम पर आधारित है।

(B) बर्नौली का प्रमेय एक तरल तत्व के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय से व्युत्पन्न होता है। यह बताता है कि एक असंपीड्य,अश्यान और स्थिर प्रवाह के लिए,तरल के प्रति इकाई आयतन में दाब ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग एक स्ट्रीमलाइन के साथ स्थिर रहता है। इसलिए,यह ऊर्जा संरक्षण के नियम का सीधा परिणाम है।

(C) बोइंग विमान का द्रव्यमान $M = 3.3 \times 10^5 \text{ kg}$ है।
पंखों का कुल क्षेत्रफल $A = 500 \text{ m}^2$ है।
समतल उड़ान में,पंखों की निचली और ऊपरी सतहों के बीच दबाव के अंतर के कारण उत्पन्न ऊपर की ओर लगने वाला लिफ्ट बल विमान के वजन को संतुलित करता है।
इसलिए,ऊपर की ओर लगने वाला बल $F = \Delta p \times A$,जहाँ $\Delta p$ दबाव का अंतर है।
लिफ्ट बल को वजन के बराबर करने पर: $\Delta p \times A = M \times g$.
$g = 9.8 \text{ m/s}^2$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta p = \frac{M \times g}{A} = \frac{3.3 \times 10^5 \times 9.8}{500}$.
$\Delta p = \frac{32.34 \times 10^5}{500} = 0.06468 \times 10^5 \text{ N/m}^2$.
$\Delta p = 6.468 \times 10^3 \text{ N/m}^2 \approx 6.5 \times 10^3 \text{ N/m}^2$.

(A) सांतत्य समीकरण के अनुसार,धारा रेखीय प्रवाह में एक असंपीड्य तरल के लिए,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ और वेग $v$ का गुणनफल स्थिर रहता है $(A_1v_1 = A_2v_2)$।
पाइप के सबसे संकरे भाग पर,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ न्यूनतम होता है,जिसका अर्थ है कि वेग $v$ अधिकतम होना चाहिए।
क्षैतिज प्रवाह के लिए बर्नौली के प्रमेय के अनुसार,प्रति इकाई आयतन में दबाव ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है:
$p + \frac{1}{2} \rho v^2 = \text{स्थिरांक}$
चूंकि सबसे संकरे भाग पर वेग $v$ अधिकतम है,इसलिए योग को स्थिर रखने के लिए दबाव $p$ न्यूनतम होना चाहिए।
अतः,सबसे संकरे भाग पर वेग अधिकतम और दबाव न्यूनतम होता है।

(D) लिफ्ट बल $F$ को विमान के वजन को संतुलित करना चाहिए: $F = mg = (3 \times 10^5 \ kg) \times (10 \ ms^{-2}) = 3 \times 10^6 \ N$.
बर्नौली के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,निचली और ऊपरी सतहों के बीच दबाव का अंतर $\Delta P = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2)$ है,जहाँ $v_1$ निचली सतह पर गति है और $v_2$ ऊपरी सतह पर गति है।
चूंकि $F = \Delta P \times A$,हमारे पास $\Delta P = \frac{F}{A} = \frac{3 \times 10^6 \ N}{400 \ m^2} = 7500 \ Pa$ है।
दिया गया है $v_1 = 540 \ km \ h^{-1} = 150 \ ms^{-1}$।
अतः,$7500 = \frac{1}{2} \times 1.2 \times (v_2^2 - 150^2) \implies 12500 = v_2^2 - 22500 \implies v_2^2 = 35000 \implies v_2 \approx 187.08 \ ms^{-1}$।
आंशिक वृद्धि $\frac{v_2 - v_1}{v_1} = \frac{187.08 - 150}{150} = \frac{37.08}{150} \approx 0.247$।
गणना का पुनर्मूल्यांकन: $\Delta P = \frac{1}{2} \rho (v_2 - v_1)(v_2 + v_1) \approx \rho v_1 \Delta v$।
$\Delta v = \frac{\Delta P}{\rho v_1} = \frac{7500}{1.2 \times 150} = 41.67 \ ms^{-1}$।
आंशिक वृद्धि $= \frac{\Delta v}{v_1} = \frac{41.67}{150} \approx 0.277$।

(D) हवाई जहाज के स्थिर ऊँचाई पर उड़ने के लिए,ऊपर की ओर लगने वाला उत्थापन बल (lift force) हवाई जहाज के नीचे की ओर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल (भार) को संतुलित करना चाहिए।
मान लीजिए $m$ हवाई जहाज का द्रव्यमान है,$A$ कुल पंख क्षेत्रफल है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $\Delta P$ पंखों की निचली और ऊपरी सतहों के बीच का दाबांतर है।
उत्थापन बल $F_L$ को $F_L = \Delta P \times A$ द्वारा दिया जाता है।
हवाई जहाज का भार $W = m \times g$ है।
स्थिर ऊँचाई के लिए दोनों बलों को बराबर करने पर: $\Delta P \times A = m \times g$.
दिए गए मानों को रखने पर: $\Delta P \times 600 = (4.5 \times 10^4) \times 10$.
$\Delta P \times 600 = 4.5 \times 10^5$.
$\Delta P = \frac{4.5 \times 10^5}{600} = \frac{450000}{600} = 750 \,N \,m^{-2}$.
अतः,दाबांतर $750 \,N \,m^{-2}$ है।

(A) माना पिस्टन द्वारा लगाया गया दबाव $P$ है और वायुमंडलीय दबाव $P_a$ है। अतिरिक्त दबाव $\Delta P = P - P_a$ है। छेद के ऊपर पानी के स्तंभ की ऊँचाई $h = 15 \ m - 12 \ m = 3 \ m$ है। जमीन से छेद की ऊँचाई $H = 12 \ m$ है।
बर्नौली के समीकरण का उपयोग करते हुए,बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh + \frac{2\Delta P}{\rho}}$ है।
पानी को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2H}{g}}$ है।
क्षैतिज परास $R = v \times t = \sqrt{2gh + \frac{2\Delta P}{\rho}} \times \sqrt{\frac{2H}{g}}$ है।
दिया गया है $R = 16 \ m$,$H = 12 \ m$,$h = 3 \ m$,$\rho = 1000 \ kg/m^3$,और $g = 10 \ m/s^2$:
$16 = \sqrt{2(10)(3) + \frac{2\Delta P}{1000}} \times \sqrt{\frac{2(12)}{10}}$
$16 = \sqrt{60 + \frac{\Delta P}{500}} \times \sqrt{2.4}$
$256 = (60 + \frac{\Delta P}{500}) \times 2.4$
$106.67 = 60 + \frac{\Delta P}{500}$
$46.67 = \frac{\Delta P}{500} \Rightarrow \Delta P = 23333 \ Pa \approx 23.3 \ kPa$.
बल $F = \Delta P \times A = 23333 \times 10 = 233330 \ N = 233.3 \ kN \approx 233 \ kN$.

(B) दिया है:
पाइप का व्यास $D_1 = 4 \,cm$,त्रिज्या $r_1 = 2 \,cm$.
थ्रोट का व्यास $D_2 = 2 \,cm$,त्रिज्या $r_2 = 1 \,cm$.
पाइप में वेग $V_1 = 10 \,m/s$.
पानी का घनत्व $\rho = 1000 \,kg/m^3$.
चरण $1$: सांतत्य समीकरण (equation of continuity) $A_1 V_1 = A_2 V_2$ का उपयोग करते हुए:
$\pi r_1^2 V_1 = \pi r_2^2 V_2$
$(2)^2 \times 10 = (1)^2 \times V_2$
$V_2 = 40 \,m/s$.
चरण $2$: क्षैतिज प्रवाह के लिए बर्नौली प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2$
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (V_2^2 - V_1^2)$
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \times 1000 \times (40^2 - 10^2)$
$P_1 - P_2 = 500 \times (1600 - 100)$
$P_1 - P_2 = 500 \times 1500 = 7.5 \times 10^5 \,Pa$.

(C) दिया गया है कि,बिंदु $A$ और $B$ के बीच दबाव का अंतर $p_A - p_B = 1500 \text{ N m}^{-2}$ है।
क्षैतिज नली के लिए बर्नौली के समीकरण का उपयोग करने पर $(h_A = h_B)$:
$p_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = p_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2$
$p_A - p_B = \frac{1}{2} \rho (v_B^2 - v_A^2) \quad \dots (i)$
पानी का घनत्व,$\rho = 10^3 \text{ kg m}^{-3}$ है।
बिंदु $A$ और $B$ पर अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल:
$a_A = 40 \text{ cm}^2 = 40 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
$a_B = 20 \text{ cm}^2 = 20 \times 10^{-4} \text{ m}^2$
सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,पानी के प्रवाह की दर स्थिर रहती है:
$a_A v_A = a_B v_B \Rightarrow v_B = v_A \left( \frac{a_A}{a_B} \right) = v_A \left( \frac{40}{20} \right) = 2v_A \quad \dots (ii)$
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$1500 = \frac{1}{2} \times 10^3 \times ((2v_A)^2 - v_A^2)$
$1500 = 500 \times (4v_A^2 - v_A^2)$
$3 = 3v_A^2 \Rightarrow v_A^2 = 1 \Rightarrow v_A = 1 \text{ m s}^{-1}$
अतः,पानी के प्रवाह की दर:
$Q = a_A v_A = 40 \times 10^{-4} \text{ m}^2 \times 1 \text{ m s}^{-1} = 40 \times 10^{-4} \text{ m}^3 \text{ s}^{-1} = 4000 \text{ cm}^3 \text{ s}^{-1}$.

(C) क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के समीकरण के अनुसार (जहाँ ऊँचाई $h_1 = h_2$ है):
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$
दिया गया है:
$P_1 = 50 \ kPa = 50 \times 10^3 \ Pa$
$v_1 = 1 \ m/s$
$v_2 = 2 \ m/s$
पानी का घनत्व $\rho = 1000 \ kg/m^3 = 10^3 \ kg/m^3$
$P_2$ के लिए समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho (v_1^2 - v_2^2)$
$P_2 = 50 \times 10^3 + \frac{1}{2} \times 10^3 \times (1^2 - 2^2)$
$P_2 = 50 \times 10^3 + 0.5 \times 10^3 \times (1 - 4)$
$P_2 = 50 \times 10^3 + 0.5 \times 10^3 \times (-3)$
$P_2 = 50 \times 10^3 - 1.5 \times 10^3$
$P_2 = 48.5 \times 10^3 \ Pa = 48.5 \ kPa$

(B) पानी को पंप करने के लिए आवश्यक शक्ति $P$, पानी को $h$ ऊंचाई तक उठाने के लिए आवश्यक शक्ति है।
शक्ति $P = \frac{\text{कार्य}}{\text{समय}} = \frac{mgh}{t}$.
सांतत्य समीकरण (equation of continuity) से, द्रव्यमान प्रवाह दर $\frac{m}{t} = A v \rho$ है।
इसे शक्ति समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $P = (A v \rho) g h$.
दिए गए मान: $r = 1 \ cm = 10^{-2} \ m$, $v = 10 \ m \ s^{-1}$, $\rho = 1000 \ kg \ m^{-3}$, $g = 10 \ m \ s^{-2}$, $h = 3 \ m$.
क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (10^{-2})^2 = \pi \times 10^{-4} \ m^2$.
शक्ति की गणना: $P = (\pi \times 10^{-4}) \times 10 \times 1000 \times 10 \times 3$.
$P = \pi \times 10^{-4} \times 10^5 \times 3 = 30\pi \ W$.

(C) सांतत्य समीकरण (Equation of Continuity) के अनुसार, आयतन प्रवाह दर स्थिर रहती है:
$AV = av \implies V = \frac{a}{A}v$
जहाँ $V$ पिस्टन का वेग है और $v$ छिद्र से निकलने वाले तरल का वेग है।
सिलेंडर के अंदर (पिस्टन के पास) और छिद्र के बीच बर्नौली के सिद्धांत को लागू करने पर:
$P_{in} + \frac{1}{2} \rho V^2 = P_{out} + \frac{1}{2} \rho v^2$
सिलेंडर के अंदर का दबाव $P_{in} = P_0 + \frac{F}{A}$ है, जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है। छिद्र पर दबाव $P_{out} = P_0$ है।
इन मानों को बर्नौली समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(P_0 + \frac{F}{A}) + \frac{1}{2} \rho V^2 = P_0 + \frac{1}{2} \rho v^2$
$\frac{F}{A} = \frac{1}{2} \rho (v^2 - V^2)$
$V = \frac{a}{A}v$ रखने पर:
$\frac{F}{A} = \frac{1}{2} \rho (v^2 - (\frac{a}{A}v)^2) = \frac{1}{2} \rho v^2 (1 - \frac{a^2}{A^2})$
चूंकि $A \gg a$, इसलिए $\frac{a^2}{A^2} \approx 0$, अतः:
$\frac{F}{A} = \frac{1}{2} \rho v^2 \implies v = \sqrt{\frac{2F}{\rho A}}$

(A) क्षैतिज नली में धारा रेखीय प्रवाह के लिए बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार, स्थिर दबाव और गतिशील दबाव का योग प्रवाह रेखा पर सभी बिंदुओं पर स्थिर रहता है।
$p + \frac{1}{2} \rho v^{2} = p_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2}$
दिया गया है कि दूसरे बिंदु पर, $p_{1} = p/2$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर:
$p + \frac{1}{2} \rho v^{2} = \frac{p}{2} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2}$
$v_{1}^{2}$ के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = p - \frac{p}{2} + \frac{1}{2} \rho v^{2}$
$\frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = \frac{p}{2} + \frac{1}{2} \rho v^{2}$
दोनों पक्षों को $2/\rho$ से गुणा करने पर:
$v_{1}^{2} = \frac{p}{\rho} + v^{2}$
$v_{1} = \sqrt{v^{2} + \frac{p}{\rho}}$

(D) दिया गया है: घनत्व $\rho = 600 \text{ kg/m}^3$,क्षेत्रफल $A_A = 1.0 \text{ cm}^2 = 100 \text{ mm}^2$,क्षेत्रफल $A_B = 20 \text{ mm}^2$,वेग $v_A = 10 \text{ cm/s} = 0.1 \text{ m/s}$।
सांतत्य समीकरण का उपयोग करते हुए,$A_A v_A = A_B v_B$।
$100 \times 0.1 = 20 \times v_B \Rightarrow v_B = 0.5 \text{ m/s}$।
क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के समीकरण का उपयोग करते हुए $(h_A = h_B)$:
$P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2$।
दबाव का अंतर $P_A - P_B = \frac{1}{2} \rho (v_B^2 - v_A^2)$ है।
मान रखने पर: $P_A - P_B = \frac{1}{2} \times 600 \times (0.5^2 - 0.1^2) = 300 \times (0.25 - 0.01) = 300 \times 0.24 = 72 \text{ Pa}$।