Pascal's Law Questions in Hindi

(C) पास्कल के नियम के अनुसार,जिसे $1652$ में ब्लेज़ पास्कल द्वारा प्रतिपादित किया गया था,एक बंद असंपीड्य द्रव पर लगाए गए दबाव में परिवर्तन द्रव के प्रत्येक भाग और उसके पात्र की दीवारों तक बिना किसी कमी के संचरित होता है।
यह दबाव परिवर्तन द्रव के भीतर ऊंचाई या दिशा से स्वतंत्र होता है।
इसलिए,जब द्रव से भरी एक बंद पाइप में हवा फूँकी जाती है,तो दबाव में वृद्धि पूरे द्रव में समान रूप से संचरित होती है,जिसका अर्थ है कि दबाव सभी दिशाओं में बढ़ेगा।

(D) यह कथन $Pascal$ के नियम का वर्णन करता है।
$Pascal$ का नियम बताता है कि एक बंद तरल पर लगाया गया दबाव तरल के प्रत्येक हिस्से और पात्र की दीवारों पर बिना किसी कमी के संचरित होता है।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) पास्कल का नियम बताता है कि एक सीमित तरल पर लगाया गया बाहरी स्थिर दबाव तरल के भीतर सभी दिशाओं में समान रूप से वितरित या प्रसारित होता है।

(C) पास्कल के नियम के अनुसार,तरल पर लगाया गया दबाव सभी दिशाओं में समान रूप से प्रसारित होता है। इसलिए,$P_1 = P_2$.
इसका अर्थ है $\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$.
दिया गया है: $A_1 = 100 \, cm^2 = 10^2 \, cm^2$,$F_1 = 10^7 \, dynes$,$m = 2000 \, kg = 2 \times 10^6 \, g$,और $g \approx 980 \, cm/s^2 \approx 10^3 \, cm/s^2$.
बल $F_2 = m \times g = 2000 \times 10^3 \times 10^3 \, dynes = 2 \times 10^9 \, dynes$.
मान रखने पर: $\frac{10^7}{10^2} = \frac{2 \times 10^9}{A_2}$.
$10^5 = \frac{2 \times 10^9}{A_2}$.
$A_2 = \frac{2 \times 10^9}{10^5} = 2 \times 10^4 \, cm^2$.

(C) पिस्टन पर द्रव्यमान द्वारा लगाया गया दबाव पानी के स्तंभ की ऊँचाई के अंतर $h$ के कारण उत्पन्न हाइड्रोस्टेटिक दबाव द्वारा संतुलित होता है।
दबाव $P = \frac{F}{A} = \frac{mg}{A}$.
दिया गया है: $m = 12 \ kg$,$g = 10 \ m/s^2$,$A = 800 \ cm^2 = 800 \times 10^{-4} \ m^2 = 0.08 \ m^2$.
द्रव्यमान के कारण दबाव = $\frac{12 \times 10}{0.08} = \frac{120}{0.08} = 1500 \ Pa$.
हाइड्रोस्टेटिक दबाव $P = \rho g h$,जहाँ पानी के लिए $\rho = 1000 \ kg/m^3$.
$1500 = 1000 \times 10 \times h$.
$1500 = 10000 \times h$.
$h = \frac{1500}{10000} = 0.15 \ m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $h = 0.15 \times 100 = 15 \ cm$.

(B) पास्कल के नियम के अनुसार,किसी बंद तरल पर लगाया गया दबाव तरल के प्रत्येक भाग में और पात्र की दीवारों पर बिना कम हुए संचरित होता है।
एक हाइड्रोलिक लिफ्ट के लिए,दोनों भुजाओं पर दबाव समान होना चाहिए:
$P_1 = P_2$
चूंकि दबाव $P = \frac{F}{A}$ होता है,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
चित्र से यह स्पष्ट है कि भुजा $1$ का क्षेत्रफल $(A_1)$,भुजा $2$ के क्षेत्रफल $(A_2)$ से छोटा है,अर्थात $A_1 < A_2$ है।
बल $F_2$ के लिए समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$F_2 = F_1 \times \frac{A_2}{A_1}$
चूंकि $\frac{A_2}{A_1} > 1$ है,इसलिए यह सिद्ध होता है कि $F_2 > F_1$,या $F_1 < F_2$ है।
अतः,भुजा $1$ पर बल,भुजा $2$ पर बल से कम है।

(B) हाइड्रोलिक प्रेस का यांत्रिक लाभ $(MA)$ बड़े पिस्टन के क्षेत्रफल $(A_1)$ और छोटे पिस्टन के क्षेत्रफल $(A_2)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
$MA = \frac{A_1}{A_2} = \frac{\pi (D_1/2)^2}{\pi (D_2/2)^2} = \frac{D_1^2}{D_2^2}$
यहाँ व्यास $D_1 = 0.6\, m$ और $D_2 = 0.1\, m$ दिए गए हैं:
$MA = \frac{(0.6)^2}{(0.1)^2} = \frac{0.36}{0.01} = 36$
अतः,यांत्रिक लाभ $36$ है।

(A) पिस्टन पर द्रव्यमान द्वारा लगाया गया दबाव $P = \frac{mg}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
यह दबाव $h$ ऊँचाई के पानी के स्तंभ के हाइड्रोस्टेटिक दबाव द्वारा संतुलित होता है,जो $P = \rho gh$ है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें मिलता है $\frac{mg}{A} = \rho gh$.
इसलिए,$h = \frac{m}{\rho A}$.
दिया गया है: $m = 12\,kg$,$A = 800\,cm^2 = 800 \times 10^{-4}\,m^2 = 0.08\,m^2$,और पानी का घनत्व $\rho = 1000\,kg/m^3$.
मान रखने पर: $h = \frac{12}{1000 \times 0.08} = \frac{12}{80} = 0.15\,m$.

(A) पास्कल के नियम के अनुसार,एक बंद तरल पर लगाया गया दबाव तरल के प्रत्येक हिस्से और पात्र की दीवारों पर समान रूप से संचारित होता है।
$(a)$ मान लीजिए $F_1 = 10 \; N$ छोटे पिस्टन पर बल है जिसका व्यास $d_1 = 1.0 \; cm$ है और $F_2$ बड़े पिस्टन पर बल है जिसका व्यास $d_2 = 3.0 \; cm$ है।
क्षेत्रफल $A_1 = \pi (d_1/2)^2$ और $A_2 = \pi (d_2/2)^2$ हैं।
चूंकि दबाव $P = F_1/A_1 = F_2/A_2$ है,इसलिए $F_2 = F_1 \times (A_2/A_1) = F_1 \times (d_2/d_1)^2$ होगा।
$F_2 = 10 \; N \times (3.0 \; cm / 1.0 \; cm)^2 = 10 \times 9 = 90 \; N$।
$(b)$ चूंकि पानी असंपीड्य है,छोटे पिस्टन द्वारा विस्थापित पानी का आयतन बड़े पिस्टन द्वारा विस्थापित आयतन के बराबर होना चाहिए।
$V = A_1 L_1 = A_2 L_2$,जहाँ $L_1 = 6.0 \; cm$ छोटे पिस्टन का विस्थापन है।
$L_2 = L_1 \times (A_1/A_2) = L_1 \times (d_1/d_2)^2$।
$L_2 = 6.0 \; cm \times (1.0 \; cm / 3.0 \; cm)^2 = 6.0 \times (1/9) = 0.67 \; cm$।

(N/A) पास्कल के नियम के अनुसार,किसी बंद तरल पर लगाया गया दबाव तरल के प्रत्येक भाग और पात्र की दीवारों पर समान रूप से प्रेषित होता है।
दिया गया है:
छोटे पिस्टन की त्रिज्या,$r_{1} = 5.0 \; cm = 5.0 \times 10^{-2} \; m$
बड़े पिस्टन की त्रिज्या,$r_{2} = 15 \; cm = 15 \times 10^{-2} \; m$
कार का द्रव्यमान,$m = 1350 \; kg$
गुरुत्वीय त्वरण,$g = 9.8 \; m s^{-2}$
बड़े पिस्टन पर कार द्वारा लगाया गया बल $F_{2} = m \times g = 1350 \times 9.8 = 13230 \; N$ है।
हाइड्रोलिक लिफ्ट के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,$\frac{F_{1}}{A_{1}} = \frac{F_{2}}{A_{2}}$,जहाँ $A_{1} = \pi r_{1}^{2}$ और $A_{2} = \pi r_{2}^{2}$ है।
$F_{1} = F_{2} \times \frac{A_{1}}{A_{2}} = F_{2} \times \left(\frac{r_{1}}{r_{2}}\right)^{2}$
$F_{1} = 13230 \times \left(\frac{5}{15}\right)^{2} = 13230 \times \left(\frac{1}{3}\right)^{2} = 13230 \times \frac{1}{9} = 1470 \; N$.
दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,$F_{1} \approx 1.5 \times 10^{3} \; N$.
आवश्यक दबाव $P = \frac{F_{1}}{A_{1}} = \frac{1470}{\pi \times (5.0 \times 10^{-2})^{2}} = \frac{1470}{3.14159 \times 25 \times 10^{-4}} \approx 1.87 \times 10^{5} \; Pa \approx 1.9 \times 10^{5} \; Pa$.

(C) उठाई जाने वाली कार का अधिकतम द्रव्यमान $m = 3000 \; kg$ है।
भार उठाने वाले पिस्टन के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 425 \; cm^{2} = 425 \times 10^{-4} \; m^{2}$ है।
भार द्वारा लगाया गया अधिकतम बल $F = mg = 3000 \times 9.8 = 29400 \; N$ है।
भार उठाने वाले पिस्टन पर लगाया गया दबाव $P = \frac{F}{A}$ है।
मान रखने पर,$P = \frac{29400}{425 \times 10^{-4}} = 6.917 \times 10^{5} \; Pa$ प्राप्त होता है।
पास्कल के नियम के अनुसार,बंद तरल में दबाव सभी दिशाओं में समान रूप से प्रसारित होता है। इसलिए,छोटे पिस्टन को जो अधिकतम दबाव सहन करना होगा,वह $6.917 \times 10^{5} \; Pa$ है।

(A) विराम अवस्था में द्रव अपने संपर्क में आने वाली बर्तन की सतह पर बल लगाता है।
पास्कल के नियम और स्थिर द्रव के गुणों के अनुसार,यह बल हमेशा प्रत्येक बिंदु पर बर्तन की सतह के लंबवत (perpendicular) होता है।
यदि बल का कोई घटक सतह के समानांतर होता,तो द्रव सतह पर स्पर्शरेखीय प्रतिबल (tangential stress) का अनुभव करता,जिससे वह सतह के साथ बहने लगता।
चूंकि द्रव विराम अवस्था में है,इसलिए बल का कोई स्पर्शरेखीय घटक नहीं हो सकता।
अतः,द्रव द्वारा लगाया गया बल हमेशा सतह के अभिलंब (normal) होता है।

(N/A) नियम: "यदि गुरुत्वाकर्षण को नगण्य माना जाए, तो विराम अवस्था में किसी तरल के सभी बिंदुओं पर दाब समान होता है।"
उपपत्ति: विराम अवस्था में किसी तरल के भीतर एक छोटा अवयव $ABC-DEF$ पर विचार करें, जो एक समकोण प्रिज्म के रूप में है। चूंकि अवयव बहुत छोटा है, इसलिए गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव को नगण्य माना जा सकता है।
मान लीजिए कि सतहों के क्षेत्रफल $A_a$ (निचली सतह $BEFC$), $A_c$ (ऊर्ध्वाधर सतह $ABED$), और $A_b$ (आनत सतह $ADFC$) हैं।
मान लीजिए कि इन सतहों के लंबवत कार्य करने वाले बल क्रमशः $F_a$, $F_c$, और $F_b$ हैं।
प्रिज्म की ज्यामिति से:
$A_a = A_b \cos \theta$
$A_c = A_b \sin \theta$
अवयव के संतुलन में रहने के लिए, किसी भी दिशा में कुल बल शून्य होना चाहिए:
क्षैतिज दिशा में: $F_c = F_b \sin \theta$
ऊर्ध्वाधर दिशा में: $F_a = F_b \cos \theta$
चूंकि दाब $P = F/A$ होता है, इसलिए हमें प्राप्त होता है:
$P_c = F_c / A_c = (F_b \sin \theta) / (A_b \sin \theta) = F_b / A_b = P_b$
$P_a = F_a / A_a = (F_b \cos \theta) / (A_b \cos \theta) = F_b / A_b = P_b$
अतः, $P_a = P_c = P_b$। यह सिद्ध करता है कि विराम अवस्था में तरल के सभी बिंदुओं पर दाब समान होता है।

(N/A) पास्कल का दाब संचरण का नियम कहता है: "विराम अवस्था में किसी तरल में समान ऊँचाई पर स्थित सभी बिंदुओं पर दाब समान होता है। किसी परिबद्ध तरल पर लगाया गया दाब का परिवर्तन तरल के प्रत्येक बिंदु और पात्र की दीवारों पर बिना कम हुए संचरित हो जाता है।"
एक ऐसे पात्र पर विचार करें जिसमें एक पिस्टन और विभिन्न बिंदुओं पर कई ऊर्ध्वाधर नलियाँ लगी हों। पात्र में दाब को ऊर्ध्वाधर नलियों में तरल स्तंभ की ऊँचाई द्वारा दर्शाया जाता है。
जब पिस्टन को दबाया जाता है, तो तरल का स्तर सभी नलियों में ऊपर उठ जाता है और उनमें से प्रत्येक में समान स्तर तक पहुँच जाता है。
यह दर्शाता है कि जब तरल पर दाब बढ़ाया गया, तो वह पूरे आयतन में समान रूप से वितरित हो गया。
कई उपकरण इस नियम पर आधारित हैं, जैसे डोर क्लोजर, हाइड्रोलिक ब्रेक, हाइड्रोलिक लिफ्ट और वाहनों में शॉक एब्जॉर्बर।

(N/A) पास्कल का नियम: "किसी परिबद्ध तरल पर लगाया गया दाब का परिवर्तन तरल के प्रत्येक बिंदु पर और पात्र की दीवारों पर बिना कम हुए संचरित होता है।"
हाइड्रोलिक लिफ्ट इसी सिद्धांत पर आधारित है।
चित्र में दिखाए अनुसार, $A_{1}$ और $A_{2}$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाले दो सिलेंडर पर विचार करें, जहाँ $A_{1} < < A_{2}$ है।
इस पात्र में एक तरल भरा होता है।
छोटे अनुप्रस्थ काट $A_{1}$ वाले पिस्टन का उपयोग तरल पर सीधे बल $F_{1}$ लगाने के लिए किया जाता है। दाब $P_{1} = \frac{F_{1}}{A_{1}}$ पूरे तरल में संचरित होकर $A_{2}$ क्षेत्रफल वाले बड़े पिस्टन तक पहुँचता है।
पास्कल के नियम के अनुसार, दाब बिना कम हुए संचरित होता है, इसलिए $P_{1} = P_{2}$।
अतः, $\frac{F_{1}}{A_{1}} = \frac{F_{2}}{A_{2}}$, जिसका अर्थ है $F_{2} = F_{1} \left( \frac{A_{2}}{A_{1}} \right)$।
चूंकि $A_{2} > > A_{1}$ है, इसलिए बड़े पिस्टन पर कार्य करने वाला बल $F_{2}$ लगाए गए बल $F_{1}$ से बहुत अधिक होता है, जिससे लिफ्ट कार जैसे भारी भार को उठाने में सक्षम होती है।

(N/A) हाइड्रोलिक ब्रेक पास्कल के नियम के सिद्धांत पर कार्य करते हैं।
जब वाहन चालक ब्रेक पेडल पर $F_1$ बल लगाता है,तो छोटे अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A_1$ वाला मास्टर पिस्टन मास्टर सिलेंडर में प्रवेश करता है। यह क्रिया ब्रेक ऑयल को ट्यूबों के माध्यम से व्हील सिलेंडर में धकेलती है।
व्हील सिलेंडर में दो पिस्टन होते हैं जिनका अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A_2$ बहुत बड़ा होता है। पास्कल के नियम के अनुसार,द्रव में लगाया गया दाब समान रूप से संचरित होता है। चूंकि $A_2 \gg A_1$ है,इसलिए व्हील पिस्टन पर बहुत बड़ा बल $F_2$ कार्य करता है,जहाँ $F_2 = F_1 \times (A_2 / A_1)$ होता है।
यह बड़ा बल $F_2$ ब्रेक शूज़ को बाहर की ओर धकेलता है,जिससे वे घूमते हुए व्हील रिम के संपर्क में आते हैं और ब्रेक लग जाता है।
जब चालक ब्रेक पेडल से पैर हटाता है,तो एक रिस्टोरिंग स्प्रिंग ब्रेक शूज़ को उनकी मूल स्थिति में वापस खींच लेती है,जिससे व्हील रिम मुक्त हो जाता है। जैसे ही पिस्टन अपनी प्रारंभिक स्थिति में वापस आते हैं,ब्रेक ऑयल वापस मास्टर सिलेंडर में चला जाता है।

(N/A) पास्कल का नियम बताता है कि किसी परिबद्ध तरल पर लगाया गया दाब,तरल के प्रत्येक भाग में और पात्र की दीवारों पर बिना किसी कमी के संचरित होता है।
गणितीय रूप से,यदि किसी परिबद्ध तरल पर बाहरी दाब $P_{ext}$ लगाया जाता है,तो तरल के भीतर किसी भी बिंदु पर दाब में परिवर्तन $\Delta P$ लगाए गए दाब के बराबर होता है,अर्थात $\Delta P = P_{ext}$।

(N/A) पास्कल का नियम बताता है कि किसी परिबद्ध तरल पर लगाया गया दाब परिवर्तन,तरल के प्रत्येक भाग में और पात्र की दीवारों पर बिना किसी कमी के संचरित होता है।
महत्व:
$1$. यह हाइड्रोलिक सिस्टम जैसे हाइड्रोलिक लिफ्ट,हाइड्रोलिक ब्रेक और हाइड्रोलिक जैक के पीछे का मूलभूत सिद्धांत है।
$2$. यह बल के गुणन (force multiplication) की अनुमति देता है,जहाँ एक छोटे क्षेत्रफल पर लगाया गया छोटा इनपुट बल एक बड़े क्षेत्रफल पर बहुत अधिक आउटपुट बल उत्पन्न कर सकता है,जिसे संबंध $F_2 = F_1 \times (A_2 / A_1)$ द्वारा परिभाषित किया गया है।

(N/A) पास्कल का नियम बताता है कि किसी परिबद्ध तरल पर लगाए गए दाब में परिवर्तन तरल के प्रत्येक भाग और पात्र की दीवारों पर बिना किसी कमी के संचरित होता है।
इस सिद्धांत पर कार्य करने वाले दो सामान्य उपकरण निम्नलिखित हैं:
$1$. हाइड्रोलिक लिफ्ट: सर्विस स्टेशनों में कारों जैसी भारी वस्तुओं को उठाने के लिए उपयोग की जाती है।
$2$. हाइड्रोलिक ब्रेक: ऑटोमोबाइल में ब्रेक फ्लूइड पर दबाव डालकर वाहन को रोकने या उसकी गति धीमी करने के लिए उपयोग की जाती है।

(N/A) जब $a$ क्षेत्रफल वाले कॉर्क पर $F$ बल से प्रहार किया जाता है,तो यह द्रव पर $P = \frac{F}{a}$ का दबाव उत्पन्न करता है। पास्कल के नियम के अनुसार,यह दबाव पूरे द्रव में समान रूप से और बिना किसी कमी के संचरित होता है। चूंकि बोतल के निचले हिस्से का क्षेत्रफल $A$,कॉर्क के क्षेत्रफल $a$ से बहुत बड़ा होता है,इसलिए निचले हिस्से पर लगने वाला बल $F_{bottom} = P \times A$ होता है। $A \gg a$ होने के कारण,परिणामी बल $F_{bottom}$ काफी अधिक होता है,जो बोतल के निचले हिस्से को तोड़ देता है।

(N/A) पास्कल के नियम के सिद्धांत पर कार्य करने वाले उपकरण निम्नलिखित हैं:
$(1)$ हाइड्रोलिक लिफ्ट: इसका उपयोग कम बल लगाकर कारों जैसी भारी वस्तुओं को उठाने के लिए किया जाता है।
$(2)$ हाइड्रोलिक ब्रेक: इसका उपयोग वाहनों में तरल पदार्थ के माध्यम से दबाव संचारित करके गति को रोकने या धीमा करने के लिए किया जाता है।

(D) पास्कल के नियम के अनुसार,एक बंद तरल पर लगाया गया दबाव तरल के प्रत्येक भाग और पात्र की दीवारों पर समान रूप से प्रसारित होता है।
कार के वजन के कारण बड़े पिस्टन पर लगने वाला बल:
$F = m \times g$
$F = 3000 \, kg \times 9.8 \, m/s^{2} = 29400 \, N$
बड़े पिस्टन का क्षेत्रफल:
$A = 425 \, cm^{2} = 425 \times 10^{-4} \, m^{2} = 0.0425 \, m^{2}$
बड़े पिस्टन पर लगने वाला दबाव:
$P = \frac{F}{A}$
$P = \frac{29400 \, N}{0.0425 \, m^{2}}$
$P \approx 6.92 \times 10^{5} \, Pa$
चूंकि दबाव तरल में समान रूप से प्रसारित होता है,इसलिए छोटे पिस्टन को भी $6.92 \times 10^{5} \, Pa$ का ही दबाव सहन करना होगा।

(B) पास्कल के नियम के अनुसार,किसी बंद तरल पर लगाया गया दबाव तरल के प्रत्येक भाग और पात्र की दीवारों पर बिना कम हुए संचरित होता है। हाइड्रोलिक लिफ्ट के लिए,दोनों पिस्टन पर दबाव समान होता है:
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
पहले मामले में,मान लीजिए $A_1$ छोटे पिस्टन का क्षेत्रफल है और $A_2$ बड़े पिस्टन का क्षेत्रफल है। छोटे पिस्टन पर बल $mg$ है और बड़े पिस्टन पर बल $100g$ है:
$\frac{mg}{A_1} = \frac{100g}{A_2} \implies \frac{100}{m} = \frac{A_2}{A_1} \quad .......(1)$
चूंकि $A = \frac{\pi d^2}{4}$,क्षेत्रफल का अनुपात व्यास के अनुपात के वर्ग के समानुपाती होता है: $\frac{A_2}{A_1} = \left(\frac{d_2}{d_1}\right)^2$.
दूसरे मामले में,बड़े पिस्टन का नया व्यास $d_2' = 4d_2$ है और छोटे पिस्टन का नया व्यास $d_1' = \frac{d_1}{4}$ है।
मान लीजिए कि नया उठाया गया द्रव्यमान $M_0$ है। नए क्षेत्रफल $A_2' = (4)^2 A_2 = 16A_2$ और $A_1' = (\frac{1}{4})^2 A_1 = \frac{A_1}{16}$ होंगे।
पास्कल के नियम को फिर से लागू करने पर:
$\frac{mg}{A_1'} = \frac{M_0g}{A_2'} \implies \frac{M_0}{m} = \frac{A_2'}{A_1'} = \frac{16A_2}{A_1/16} = 256 \left(\frac{A_2}{A_1}\right)$
समीकरण $(1)$ से $\frac{A_2}{A_1} = \frac{100}{m}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{M_0}{m} = 256 \left(\frac{100}{m}\right)$
$M_0 = 256 \times 100 = 25600 \, kg$.

(A) पास्कल के नियम के अनुसार,स्थिर तरल पदार्थ में किसी भी बिंदु पर दबाव केवल तरल की मुक्त सतह से उस बिंदु की गहराई $h$ पर निर्भर करता है। दबाव $p = h \rho g$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि $AB$ और $CD$ की लंबाई पानी के कुल स्तंभ की ऊंचाई $h$ की तुलना में बहुत छोटी है,इसलिए सतहों $AB$,$BC$ और $CD$ पर सभी बिंदुओं की गहराई लगभग $h$ के बराबर है।
दबाव एक अदिश राशि है,जिसका अर्थ है कि यह एक दी गई गहराई पर सभी दिशाओं में समान रूप से कार्य करता है। इसलिए,$h$ गहराई पर किसी भी सतह पर पानी द्वारा लगाए गए दबाव का परिमाण सतह के अभिविन्यास (orientation) पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,$p_1 = p_2 = p_3 = h \rho g$.

(B) सही विकल्प $B$ है।
पास्कल का नियम यह बताता है कि जब विराम अवस्था में किसी परिबद्ध तरल के किसी भी भाग पर बाहरी दबाव डाला जाता है,तो वह दबाव तरल के प्रत्येक भाग में और पात्र की दीवारों पर बिना किसी कमी के समान रूप से प्रसारित हो जाता है।

(B) पास्कल के नियम के अनुसार,किसी बंद तरल पर लगाया गया दबाव तरल के प्रत्येक भाग और पात्र की दीवारों पर समान रूप से संचारित होता है। इसलिए,दोनों पिस्टन पर दबाव समान होना चाहिए।
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
दिया गया है:
$F_1 = F$
$A_1 = 10 \, cm^2 = 10 \times 10^{-4} \, m^2$
$A_2 = 10 \, m^2$
$F_2 = W \times g = 800 \, kg \times 10 \, m/s^2 = 8000 \, N$
समीकरण में मान रखने पर:
$\frac{F}{10 \times 10^{-4}} = \frac{8000}{10}$
$F = 800 \times 10 \times 10^{-4}$
$F = 8000 \times 10^{-4}$
$F = 0.8 \, N$

(C) अभिकथन $A$ सही है क्योंकि टूथपेस्ट की ट्यूब को दबाना पास्कल के सिद्धांत का एक व्यावहारिक अनुप्रयोग है,जहाँ एक बिंदु पर लगाया गया दबाव तरल के माध्यम से खुले सिरे तक प्रसारित होता है।
कारण $R$ पास्कल के सिद्धांत की औपचारिक परिभाषा है,जो बताती है कि एक बंद असंपीड्य तरल पर लगाए गए दबाव में परिवर्तन तरल के प्रत्येक भाग में और पात्र की दीवारों पर बिना किसी कमी के प्रसारित होता है।
चूंकि $A$ में वर्णित घटना $R$ में वर्णित भौतिक नियम के कारण ही होती है,इसलिए $R$,$A$ की सही व्याख्या है।

(C) भार द्वारा लगाया गया बल $F = mg$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ $m = 5000\,kg$ और $g = 10\,m/s^2$ दिया गया है,इसलिए $F = 5000 \times 10 = 50000\,N$ है।
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 250\,cm^2 = 250 \times 10^{-4}\,m^2 = 2.5 \times 10^{-2}\,m^2$ है।
पास्कल के नियम के अनुसार,द्रव पर लगाया गया दबाव पूरे पात्र में समान रूप से संचरित होता है। भार द्वारा लगाया गया दबाव $P = \frac{F}{A}$ है।
$P = \frac{50000}{250 \times 10^{-4}} = \frac{5 \times 10^4}{2.5 \times 10^{-2}} = 2 \times 10^6\,Pa$.

(B) स्थिर तरल के लिए,समान क्षैतिज गहराई $h$ पर किसी भी बिंदु पर दबाव $P = P_{atm} + \rho gh$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि दिए गए क्षैतिज स्तर के लिए $P_{atm}$,$\rho$,$g$,और $h$ स्थिर हैं,इसलिए समान स्तर पर सभी बिंदुओं पर दबाव समान होता है। अतः,कथन $I$ सही है।
पास्कल के नियम के अनुसार,एक बंद असंपीड्य तरल पर लगाया गया दबाव का परिवर्तन तरल के प्रत्येक भाग में और पात्र की दीवारों पर बिना किसी कमी के समान रूप से प्रसारित होता है। अतः,कथन $II$ सही है।

(B) पास्कल के नियम के अनुसार, किसी परिबद्ध तरल पर लगाया गया दाब तरल के प्रत्येक भाग और पात्र की दीवारों पर समान रूप से संचरित होता है।
इसलिए, संतुलन के लिए दोनों भुजाओं पर दाब समान होना चाहिए:
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
यहाँ, $F_1$ मोटी भुजा पर बल है, $A_1$ मोटी भुजा का क्षेत्रफल है, $F_2 = 10 \,N$ पतली भुजा पर बल है, और $A_2$ पतली भुजा का क्षेत्रफल है।
मोटी भुजा का व्यास $D_1 = 14 \,cm$ है, इसलिए इसकी त्रिज्या $r_1 = 7 \,cm$ है।
पतली भुजा का व्यास $D_2 = 1.4 \,cm$ है, इसलिए इसकी त्रिज्या $r_2 = 0.7 \,cm$ है।
क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{F_1}{\pi (7)^2} = \frac{10}{\pi (0.7)^2}$
$F_1 = 10 \times \frac{49}{0.49}$
$F_1 = 10 \times 100 = 1000 \,N$.

(D) पास्कल के नियम के अनुसार,इनपुट पिस्टन पर लगाया गया दबाव आउटपुट पिस्टन पर समान रूप से संचारित होता है।
$P_1 = P_2 \implies \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
दिया गया है: $F_1 = 100 \ N$,$A_1 = 6 \ cm^2$,$A_2 = 1500 \ cm^2$.
$F_2 = F_1 \times \frac{A_2}{A_1} = 100 \times \frac{1500}{6} = 100 \times 250 = 25000 \ N$.
आउटपुट पिस्टन पर किया गया कार्य $W = F_2 \times d_2$ है,जहाँ $d_2 = 20 \ cm = 0.2 \ m$.
$W = 25000 \ N \times 0.2 \ m = 5000 \ J$.
चूंकि $1 \ kJ = 1000 \ J$,इसलिए किया गया कार्य $5 \ kJ$ है।

(C) 'हाइड्रोलिक लिफ्ट' पास्कल के नियम के सिद्धांत पर कार्य करती है।
पास्कल का नियम बताता है कि जब किसी बंद तरल पर दबाव डाला जाता है, तो वह दबाव तरल के प्रत्येक हिस्से और पात्र की दीवारों पर बिना किसी कमी के संचारित होता है।
हाइड्रोलिक लिफ्ट इस सिद्धांत का उपयोग करती है, जिसमें एक छोटे पिस्टन पर कम बल लगाकर दबाव बनाया जाता है, जो तरल के माध्यम से एक बड़े पिस्टन तक पहुँचता है, जिसके परिणामस्वरूप भारी वस्तुओं को उठाने के लिए अधिक बल प्राप्त होता है।
गणितीय रूप से, $Pressure = \frac{Force}{Area}$। चूंकि पूरी प्रणाली में दबाव समान रहता है, $P = \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$, जो एक छोटे इनपुट बल को बड़े आउटपुट बल में बदलने की अनुमति देता है।

(D) पास्कल के नियम के अनुसार,किसी बंद तरल पर लगाया गया दबाव तरल के प्रत्येक भाग और पात्र की दीवारों पर समान रूप से संचारित होता है।
हाइड्रोलिक लिफ्ट के लिए,दोनों पिस्टन पर दबाव समान होता है: $P_1 = P_2$।
इसका अर्थ है $\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$,जहाँ $F_1$ छोटे पिस्टन पर बल है,$A_1$ उसका क्षेत्रफल है,$F_2$ बड़े पिस्टन पर बल (भार) है और $A_2$ उसका क्षेत्रफल है।
वृत्ताकार पिस्टन का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\frac{F_1}{\pi r_1^2} = \frac{F_2}{\pi r_2^2}$,जो सरल होकर $F_2 = F_1 \times (\frac{r_2}{r_1})^2$ हो जाता है।
दिया गया है $F_1 = 250 \ N$,$r_1 = 5 \ cm$,और $r_2 = 50 \ cm$।
मान रखने पर: $F_2 = 250 \times (\frac{50}{5})^2 = 250 \times (10)^2 = 250 \times 100 = 25,000 \ N$।
किलोन्यूटन में बदलने पर: $F_2 = 25 \ kN$।

(C) हाइड्रोलिक लिफ्ट का सिद्धांत पास्कल के नियम पर आधारित है,जो बताता है कि किसी बंद तरल पर लगाया गया दबाव तरल के प्रत्येक भाग और बर्तन की दीवारों पर समान रूप से प्रसारित होता है।
छोटे पिस्टन पर दबाव $(P_1)$ = बड़े पिस्टन पर दबाव $(P_2)$।
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
यहाँ,$F_1 = F$,$r_1 = 3 \ cm = 3 \times 10^{-2} \ m$,$r_2 = 5 \ cm = 5 \times 10^{-2} \ m$,और $F_2 = mg = 1875 \times 10 = 18750 \ N$ है।
मान रखने पर:
$\frac{F}{\pi (3 \times 10^{-2})^2} = \frac{18750}{\pi (5 \times 10^{-2})^2}$
$\frac{F}{9 \times 10^{-4}} = \frac{18750}{25 \times 10^{-4}}$
$F = \frac{18750 \times 9}{25}$
$F = 750 \times 9 = 6750 \ N$.

(A) एक हाइड्रोलिक मशीन में, पास्कल के नियम के अनुसार दोनों पिस्टन पर दबाव समान होता है।
पिस्टन $P_1$ पर दबाव $=$ पिस्टन $P_2$ पर दबाव
$\Rightarrow \frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
जहाँ $F_1 = mg = 2 \,kg \times 10 \,ms^{-2} = 20 \,N$.
$A_1 = \pi R_1^2 = \pi (2)^2 = 4\pi \,m^2$.
$A_2 = \pi R_2^2 = \pi (8)^2 = 64\pi \,m^2$.
अब, $F_2 = F_1 \times \frac{A_2}{A_1} = 20 \times \frac{64\pi}{4\pi} = 20 \times 16 = 320 \,N$.

(B) पास्कल का नियम बताता है कि किसी बंद तरल पर लगाया गया दबाव का परिवर्तन तरल के प्रत्येक भाग में और पात्र की दीवारों पर बिना किसी कमी के संचरित होता है।
हाइड्रोलिक लिफ्ट पास्कल के नियम का एक व्यावहारिक अनुप्रयोग है। एक हाइड्रोलिक लिफ्ट में,एक छोटे क्षेत्रफल $A_1$ पर लगाया गया छोटा बल $F_1$ एक दबाव $p_1 = F_1 / A_1$ उत्पन्न करता है। यह दबाव तरल के माध्यम से एक बड़े क्षेत्रफल $A_2$ तक संचरित होता है,जहाँ यह एक बड़ा बल $F_2 = p_2 \times A_2$ लगाता है। चूंकि $p_1 = p_2$,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
इस प्रकार,हाइड्रोलिक लिफ्ट पास्कल के नियम के सिद्धांत पर कार्य करती है।

(A) पास्कल के नियम के अनुसार, किसी बंद तरल पर लगाया गया दबाव तरल के प्रत्येक भाग और पात्र की दीवारों पर समान रूप से प्रसारित होता है।
दिया गया है:
छोटे पिस्टन का व्यास, $d_1 = 8 \text{ cm}$
बड़े पिस्टन का व्यास, $d_2 = 24 \text{ cm}$
वाहन का द्रव्यमान, $M = 1400 \text{ kg}$
गुरुत्वीय त्वरण, $g = 10 \text{ ms}^{-2}$
बड़े पिस्टन पर बल, $F_2 = M \times g = 1400 \times 10 = 14000 \text{ N}$
छोटे पिस्टन पर दबाव = बड़े पिस्टन पर दबाव
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
चूंकि $A = \frac{\pi d^2}{4}$, इसलिए:
$\frac{F_1}{d_1^2} = \frac{F_2}{d_2^2}$
$F_1 = F_2 \times \left(\frac{d_1}{d_2}\right)^2$
$F_1 = 14000 \times \left(\frac{8}{24}\right)^2$
$F_1 = 14000 \times \left(\frac{1}{3}\right)^2 = \frac{14000}{9} \approx 1555.55 \text{ N}$
निकटतम विकल्प के अनुसार, $F \approx 1600 \text{ N}$.

(D) दी गई त्रिज्याएँ: $r_A = 10 \,cm = 0.1 \,m$, $r_B = 100 \,cm = 1 \,m$, $r_C = 5 \,cm = 0.05 \,m$.
पिस्टन $A$ पर रखा गया भार $F_A = m_A g = 2g$ है।
पास्कल के नियम के अनुसार, दबाव पूरे तरल में समान रूप से प्रसारित होता है: $\frac{F_A}{A_A} = \frac{F_B}{A_B} = \frac{F_C}{A_C}$.
चूंकि $A = \pi r^2$, इसलिए $\frac{F_A}{r_A^2} = \frac{F_B}{r_B^2} = \frac{F_C}{r_C^2}$ होगा।
पिस्टन $B$ के लिए: $F_B = F_A \times \left(\frac{r_B}{r_A}\right)^2 = 2g \times \left(\frac{1}{0.1}\right)^2 = 2g \times 100 = 200g$.
अतः, $B$ द्वारा उठाया जा सकने वाला द्रव्यमान $m_B = 200 \,kg$ है।
पिस्टन $C$ के लिए: $F_C = F_A \times \left(\frac{r_C}{r_A}\right)^2 = 2g \times \left(\frac{0.05}{0.1}\right)^2 = 2g \times (0.5)^2 = 2g \times 0.25 = 0.5g$.
अतः, $C$ द्वारा उठाया जा सकने वाला द्रव्यमान $m_C = 0.5 \,kg$ है।
परिकलित द्रव्यमान $200 \,kg$ और $0.5 \,kg$ हैं। चूंकि यह दिए गए किसी भी विकल्प से मेल नहीं खाता है, इसलिए सही विकल्प $D$ है।

(B) पिस्टन की दी गई त्रिज्याएँ $r_1 = 2 \ m$ और $r_2 = 5 \ m$ हैं। मान लीजिए पिस्टन $P_1$ पर रखा गया द्रव्यमान $m_1$ है और पिस्टन $P_2$ पर रखा गया द्रव्यमान $m_2 = x$ है।
पास्कल के नियम के अनुसार,एक निरंतर स्थिर तरल में समान क्षैतिज स्तर पर दबाव समान होता है।
$p_1 = p_2$
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
चूँकि $F = mg$ और $A = \pi r^2$,हमारे पास है:
$\frac{m_1 g}{\pi r_1^2} = \frac{m_2 g}{\pi r_2^2}$
$\frac{m_1}{r_1^2} = \frac{m_2}{r_2^2}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{m_1}{2^2} = \frac{x}{5^2}$
$\frac{m_1}{4} = \frac{x}{25}$
$m_1 = \frac{4}{25} x = 0.16 x$
अतः,$P_1$ पर रखा जाने वाला न्यूनतम द्रव्यमान $0.16 x$ है।

(A) पास्कल के नियम के अनुसार, $\text{किसी बंद तरल पर लगाया गया दबाव तरल के प्रत्येक भाग और पात्र की दीवारों पर बिना किसी कमी के संचरित होता है।}$ इसलिए, दोनों पिस्टन $P_1$ और $P_2$ पर दबाव समान होना चाहिए।
मान लीजिए $F_1$ और $F_2$ क्रमशः पिस्टन $P_1$ और $P_2$ पर लगाए गए बल हैं, और $A_1$ और $A_2$ उनके संबंधित क्षेत्रफल हैं।
$F_1 = m_1 g = 2g$
$F_2 = m_2 g = 32g$
$A_1 = \pi (2)^2 = 4\pi$
$A_2 = \pi R^2$
दबाव को बराबर करने पर: $\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
$\frac{2g}{4\pi} = \frac{32g}{\pi R^2}$
$\frac{1}{2} = \frac{32}{R^2}$
$R^2 = 64$
$R = 8 \,m$

(B) पास्कल के नियम के अनुसार,संतुलन के लिए दोनों पिस्टन पर लगाया गया दबाव समान होना चाहिए।
$P_1 = P_2$
$\frac{F_1}{A_1} = \frac{F_2}{A_2}$
यहाँ,$F_1 = M_1 g = 1000 \times g$ और $F_2 = M_2 g$ है।
दिया गया है कि $A_1 = 1 \ m^2$ और $A_2 = 0.01 \ m^2$ है।
मान रखने पर:
$\frac{1000 \times g}{1} = \frac{M_2 \times g}{0.01}$
$1000 = \frac{M_2}{0.01}$
$M_2 = 1000 \times 0.01 = 10 \ kg$.
अतः,$1000 \ kg$ के द्रव्यमान को उठाने के लिए पिस्टन $(P_2)$ पर $10 \ kg$ द्रव्यमान रखने की आवश्यकता है।