Capillary Tube and Capillarity Questions in Hindi

(A) जब दो कांच की प्लेटों को पानी में एक-दूसरे के बहुत करीब रखा जाता है,तो केशिका क्रिया (capillary action) के कारण उनके बीच पानी ऊपर चढ़ जाता है। प्लेटों के बीच पानी का दबाव बाहर के वायुमंडलीय दबाव से कम हो जाता है। यह दबाव का अंतर एक शुद्ध बल उत्पन्न करता है जो दोनों प्लेटों को एक-दूसरे की ओर खींचता है। इसलिए,दोनों कांच की प्लेटों के बीच आकर्षण का बल कार्य करता है।

(D) अवतल मेनिस्कस (जैसा कि कांच की केशिका में पानी द्वारा बनता है) के लिए,अवतल पक्ष का दबाव उत्तल पक्ष के दबाव से अधिक होता है।
चूंकि पानी की सतह अवतल होती है,इसलिए सतह के ठीक नीचे (तरल के अंदर) का दबाव सतह के ठीक ऊपर के दबाव (वायुमंडलीय दबाव) से कम होता है।
इसलिए,वक्र सतह के नीचे का दबाव ऊपरी तरफ के दबाव से कम होता है।

(D) केश नली में द्रव के चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$ है।
यहाँ,$T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ केश नली की त्रिज्या है,$d$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूँकि दिए गए द्रव और नली के पदार्थ के लिए $T$,$\theta$,$d$ और $g$ स्थिरांक हैं,इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$ होता है।
इसका अर्थ है कि द्रव के चढ़ने की ऊँचाई केश नली की त्रिज्या (या व्यास) के व्युत्क्रमानुपाती होती है।
अतः,छोटे व्यास वाली नली में द्रव अधिक ऊँचाई तक चढ़ेगा।

(D) केश नली में द्रव स्तंभ की ऊंचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ होता है।
भारहीनता की स्थिति में या गुरुत्वाकर्षण मुक्त स्थान में,गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g$ शून्य $(0)$ हो जाता है।
जैसे-जैसे $g \to 0$ होता है,ऊंचाई $h$ अनंत $(h \to \infty)$ की ओर प्रवृत्त होती है।
इसका अर्थ है कि पानी केश नली की लंबाई पर ध्यान दिए बिना,उसके ऊपरी सिरे तक चढ़ जाएगा।

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक प्लेट की चौड़ाई $b$ है। पृष्ठ तनाव के कारण, द्रव $h$ ऊंचाई तक ऊपर उठेगा।
पृष्ठ तनाव के कारण ऊपर की ओर लगने वाला बल दो संपर्क रेखाओं पर कार्य करता है, जिनमें से प्रत्येक की लंबाई $b$ है:
$F_{\text{up}} = 2 \times (T \cos \theta \times b) = 2Tb \cos \theta$ ... $(i)$
प्लेटों के बीच ऊपर उठे द्रव स्तंभ का भार इस प्रकार है:
$W = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} \times g = (b \times x \times h) \times d \times g$ ... (ii)
संतुलन की स्थिति में, ऊपर की ओर लगने वाला बल द्रव स्तंभ के भार को संतुलित करता है:
$2Tb \cos \theta = bxhdg$
दोनों पक्षों को $b$ से विभाजित करने पर, हमें प्राप्त होता है:
$2T \cos \theta = xhdg$
अतः, द्रव के ऊपर उठने की ऊंचाई है:
$h = \frac{2T \cos \theta}{xdg}$

(D) पृष्ठ तनाव $(T)$ के कारण ऊपर की ओर लगने वाला बल $(F_s)$,पृष्ठ तनाव और केशिका नली की आंतरिक परिधि $(C)$ के गुणनफल के बराबर होता है।
$F_s = T \times C$
दिया गया है कि ऊपर की ओर लगने वाला बल द्रव के भार $(W = 75 \times 10^{-4} \, N)$ द्वारा संतुलित है,
$T \times C = 75 \times 10^{-4} \, N$
यहाँ $T = 6 \times 10^{-2} \, N m^{-1}$ दिया गया है,इसलिए:
$6 \times 10^{-2} \times C = 75 \times 10^{-4}$
$C = \frac{75 \times 10^{-4}}{6 \times 10^{-2}}$
$C = 12.5 \times 10^{-2} \, m$
अतः,केशिका की आंतरिक परिधि $12.5 \times 10^{-2} \, m$ है।

(D) सही उत्तर $D$ है। ब्लॉटिंग पेपर और समाचार पत्र में बहुत महीन छिद्र होते हैं जो केशिका नली (capillary tube) के रूप में कार्य करते हैं। जब स्याही वाला पेन सतह को छूता है,तो केशिकात्व की घटना के कारण स्याही तुरंत कागज में अवशोषित हो जाती है,जिससे स्याही फैल जाती है और धुंधली हो जाती है,जिससे स्पष्ट रूप से लिखना असंभव हो जाता है।

(B) केशिकानली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$\rho$ द्रव का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $r$ केशिकानली की त्रिज्या है।
समान द्रव और नली के समान पदार्थ के लिए $T, \theta, \rho$ और $g$ स्थिर हैं,इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$ होता है।
दिया गया है कि केशिकानली $P$ में ऊँचाई $h_P = \frac{2}{3} h_Q$ है,इसलिए त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_P}{r_Q} = \frac{h_Q}{h_P}$ लिखा जा सकता है।
दिए गए मानों को रखने पर,हमें $\frac{r_P}{r_Q} = \frac{h_Q}{(2/3)h_Q} = \frac{3}{2}$ प्राप्त होता है।
चूँकि व्यास $D = 2r$ होता है,इसलिए व्यासों का अनुपात $\frac{D_P}{D_Q} = \frac{2r_P}{2r_Q} = \frac{r_P}{r_Q} = \frac{3}{2}$ होगा।

(C) केश नली में द्रव के चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ होता है।
चूंकि द्रव,पदार्थ और संपर्क कोण समान हैं,इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$,जिसका अर्थ है कि $r \propto \frac{1}{h}$।
दिया गया है कि $h_1 = 2.2 \ cm$ और $h_2 = 6.6 \ cm$।
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{h_2}{h_1}$ होगा।
मान रखने पर,$\frac{r_1}{r_2} = \frac{6.6}{2.2} = \frac{3}{1}$।
अतः,उनकी त्रिज्याओं का अनुपात $3:1$ है।

(C) केश नली में द्रव के चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ होता है।
चूँकि केश नली का पदार्थ और द्रव समान हैं,इसलिए पृष्ठ तनाव $T$,संपर्क कोण $\theta$,घनत्व $\rho$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ स्थिर रहते हैं।
अतः,$h \propto \frac{1}{r}$,जिसका अर्थ है कि $h_1 r_1 = h_2 r_2$ होगा।
दिया गया है: $r_1 = 1 \, mm$,$r_2 = 2 \, mm$ और $h_1 = 30 \, cm$।
मान रखने पर: $30 \times 1 = h_2 \times 2$।
$h_2 = \frac{30}{2} = 15 \, cm$।

(B) जब $l < h$ लंबाई की एक केशिका नली को पानी में डुबोया जाता है,तो पानी नली के ऊपरी सिरे तक ऊपर चढ़ जाता है।
ऊपरी सिरे पर,मेनिस्कस की वक्रता त्रिज्या (radius of curvature) इस प्रकार समायोजित हो जाती है कि दबाव का संतुलन बना रहे।
पानी बाहर नहीं गिरता है क्योंकि मेनिस्कस की वक्रता त्रिज्या $R$ तब तक बढ़ती है जब तक कि दबाव का अंतर $2T/R$ नली की लंबाई के अनुरूप हाइड्रोस्टेटिक दबाव $\rho gh$ के बराबर न हो जाए।
इस प्रकार,पानी नली के ऊपरी सिरे पर रहता है और एक बड़ी वक्रता त्रिज्या के साथ मेनिस्कस बनाता है।

(B) केश नली में पानी जिस ऊँचाई तक चढ़ता है,वह $h = \frac{2T \cos \theta}{\rho r g}$ सूत्र द्वारा दी जाती है। दिया गया है कि केश नली में पानी का चढ़ाव $10 \, cm$ है,इसलिए पानी का स्तंभ स्वाभाविक रूप से इस ऊँचाई तक पहुँचने का प्रयास करेगा। यदि नली को इस प्रकार काटा या डुबोया जाता है कि पानी की सतह के ऊपर की लंबाई संतुलन ऊँचाई $(8 \, cm < 10 \, cm)$ से कम है,तो पानी नली के ऊपरी सिरे तक पहुँच जाएगा। संतुलन बनाए रखने के लिए,मेनिस्कस की वक्रता त्रिज्या इस प्रकार समायोजित होगी कि $h' = \frac{2T \cos \theta'}{\rho r' g} = 8 \, cm$ हो जाए। इस प्रकार,पानी ऊपरी सिरे तक चढ़ जाएगा और दबाव संतुलन को संतुष्ट करने के लिए एक अलग वक्रता त्रिज्या के साथ एक गोलाकार सतह बनाएगा।

(C) केशिका उन्नयन का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
कांच की केशिका में पानी के लिए संपर्क कोण $\theta = 0^\circ$ मानते हुए,$\cos 0^\circ = 1$ होगा।
दिया गया है: $h = 3\, cm = 3 \times 10^{-2}\, m$,$T = 75 \times 10^{-3}\, N/m$,$\rho = 10^3\, kg/m^3$ और $g = 10\, m/s^2$.
मान रखने पर: $3 \times 10^{-2} = \frac{2 \times 75 \times 10^{-3}}{r \times 10^3 \times 10}$.
$3 \times 10^{-2} = \frac{150 \times 10^{-3}}{r \times 10^4} = \frac{15 \times 10^{-3}}{r \times 10^3} = \frac{15 \times 10^{-6}}{r}$.
$r = \frac{15 \times 10^{-6}}{3 \times 10^{-2}} = 5 \times 10^{-4}\, m = 0.5\, mm$.
व्यास $D = 2r = 2 \times 0.5\, mm = 1.0\, mm$.

(C) पारे और कांच के बीच का संपर्क कोण $(\theta)$ अधिक कोण $(\theta > 90^{\circ})$ होता है।
इस कारण, पारे के अणुओं के बीच का ससंजक बल, पारे और कांच के बीच के आसंजक बल से अधिक होता है।
परिणामस्वरूप, केश नली में पारे का मेनिस्कस ऊपर की ओर उत्तल होता है।
यह केश नली के अंदर पारे के स्तर को बाहर के स्तर की तुलना में नीचे ले जाता है।

(D) केशिका नली में पानी जिस ऊँचाई तक ऊपर चढ़ता है,वह पृष्ठ तनाव और नली की त्रिज्या द्वारा निर्धारित होता है,जिसका सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
जब केशिका नली को पानी में $l$ गहराई तक डाला जाता है,तो पानी मुक्त सतह से $h$ ऊँचाई तक ऊपर चढ़ जाता है।
यदि पानी के अंदर रहते हुए निचले सिरे को बंद कर दिया जाए और नली को बाहर निकाल लिया जाए,तो नली के अंदर फंसा पानी का स्तंभ $h$ ऊँचाई पर ही रहेगा क्योंकि केशिका क्रिया नली-द्रव इंटरफ़ेस का एक गुण है।
जब बंद सिरे को खोला जाता है,तो पानी का स्तर केशिका बलों द्वारा निर्धारित संतुलन ऊँचाई $h$ पर समायोजित हो जाएगा,बशर्ते नली की लंबाई पर्याप्त हो।
अतः,पानी $h$ ऊँचाई पर ही रहेगा।

(B) केशिका नली में $r$ त्रिज्या वाली नली में द्रव जिस ऊँचाई $h$ तक चढ़ता है,उसका सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$।
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि द्रव स्तंभ की ऊँचाई नली की त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $h \propto \frac{1}{r}$।
चूंकि व्यास $d = 2r$ होता है,इसलिए त्रिज्या व्यास के समानुपाती होती है $(r \propto d)$।
अतः,$h \propto \frac{1}{d}$।
यदि व्यास को दोगुना कर दिया जाए $(d' = 2d)$,तो नई ऊँचाई $h'$ का मान $h' = \frac{h}{2}$ हो जाएगा।
इस प्रकार,द्रव के ऊपर चढ़ने वाली ऊँचाई मूल ऊँचाई की आधी होगी।

(B) केशिका उन्नयन का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
दिया गया है:
पृष्ठ तनाव $T = 0.06 \, N/m$.
व्यास $d = 1 \, mm = 10^{-3} \, m$,इसलिए त्रिज्या $r = 0.5 \times 10^{-3} \, m$.
संपर्क कोण $\theta = 0^\circ$,इसलिए $\cos 0^\circ = 1$.
घनत्व $\rho = 1000 \, kg/m^3$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$.
मान रखने पर:
$h = \frac{2 \times 0.06 \times 1}{0.5 \times 10^{-3} \times 1000 \times 10} = \frac{0.12}{5} = 0.024 \, m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $0.024 \, m = 2.4 \, cm$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार सही उत्तर $2.44 \, cm$ है।

(B) केशनलियों में द्रव के चढ़ने की ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूँकि दोनों नलियों में एक ही द्रव का उपयोग किया गया है,इसलिए $T$,$\theta$,$\rho$ और $g$ स्थिर हैं।
अतः,$h \propto \frac{1}{r}$,जिसका अर्थ है $h_1 r_1 = h_2 r_2$।
ऊँचाइयों का अनुपात $\frac{h_1}{h_2} = \frac{r_2}{r_1}$ होगा।
दिया गया है कि $r_1 = 0.2 \ cm$ और $r_2 = 0.4 \ cm$,इसलिए $\frac{h_1}{h_2} = \frac{0.4}{0.2} = \frac{2}{1}$।
अतः,अनुपात $2:1$ है।

(B) केशिका नली में द्रव स्तंभ की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $(h)$ पृष्ठ तनाव,द्रव के घनत्व और नली की त्रिज्या पर निर्भर करती है। यह नली के झुकाव से स्वतंत्र होती है।
जब नली को ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर झुकाया जाता है,तो ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ समान रहती है।
यदि $l$ नली के अनुदिश द्रव स्तंभ की लंबाई है,तो ज्यामिति के अनुसार:
$h = l \cos \theta$
दिया गया है:
$h = 3 \, cm$
$\theta = {60^\circ}$
मान रखने पर:
$3 = l \cos {60^\circ}$
$3 = l \times \frac{1}{2}$
$l = 3 \times 2 = 6 \, cm$
अतः,नली के अनुदिश द्रव स्तंभ की लंबाई $6 \, cm$ है।

(C) लिखने वाली पेन की निब की नोक को केशिकात्व (capillary action) प्रदान करने के लिए विभाजित किया जाता है।
केशिकात्व के कारण,स्याही निब के चीरे में ऊपर चढ़ती है,जो पेन को लगातार लिखने में सक्षम बनाती है क्योंकि यह कागज तक स्याही का एक स्थिर प्रवाह बनाए रखती है।

(A) $r$ त्रिज्या वाली केशिका नली में केशिका उन्नयन $h$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$
जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$d$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
त्रिज्या $r$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$r = \frac{2T \cos \theta}{hdg}$
अतः,सही संबंध $r = \frac{2T \cos \theta}{hdg}$ है।

(D) केशिका नली में द्रव जिस ऊँचाई $h$ तक चढ़ता है,उसका सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$d$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $h \propto \frac{1}{g}$ है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = g - a$ हो जाता है। चूँकि $g_{eff} < g$ है,इसलिए $h$ का मान बढ़ जाएगा।
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(C) जब कोई द्रव केशिका नली में ऊपर चढ़ता है,तो द्रव और हवा के इंटरफेस पर मेनिस्कस (चंद्रकार सतह) बनता है।
जैसे-जैसे द्रव ऊपर चढ़ता है,दिए गए पदार्थों के युग्म के लिए द्रव और कांच के बीच का संपर्क कोण स्थिर रहता है।
हालाँकि,हवा और द्रव के बीच की संपर्क सतह (मेनिस्कस) इंटरफेस पर दबाव के अंतर को संतुष्ट करने के लिए अपने आकार और वक्रता को बनाए रखती है (यंग-लाप्लास समीकरण)।
केशिका क्रिया के संदर्भ में,वह सतह जो उत्थान की ज्यामिति को परिभाषित करती है,वह हवा-द्रव इंटरफेस है।

(B) केश नली में द्रव के चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
चूँकि एक ही द्रव के लिए $T$,$\theta$,$\rho$ और $g$ स्थिर हैं,इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$ होता है।
इसका अर्थ है कि $h_1 r_1 = h_2 r_2$ होगा।
दिया गया है कि $h_1 = 1.2 \ mm$ और $r_2 = \frac{r_1}{2}$ है।
इन मानों को रखने पर,$1.2 \times r_1 = h_2 \times \frac{r_1}{2}$ प्राप्त होता है।
$h_2$ के लिए हल करने पर,$h_2 = 1.2 \times 2 = 2.4 \ mm$ प्राप्त होता है।

(A) केशिका नली में द्रव का ऊपर चढ़ना $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ सूत्र द्वारा निर्धारित होता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
प्रयोग को निर्वात में करने से पृष्ठ तनाव या संपर्क कोण पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।
चूंकि वायुमंडलीय दबाव पात्र में द्रव की सतह और केशिका के अंदर के द्रव पर समान रूप से कार्य करता है,इसलिए निर्वात में इसकी अनुपस्थिति मेनिस्कस (meniscus) पर दबाव के अंतर को नहीं बदलती है।
इसलिए,द्रव सामान्य वायुमंडलीय स्थितियों की तरह ही केशिका नली में ऊपर चढ़ेगा।

(A) केशिका नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई $h$ का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
इस संबंध से हम देख सकते हैं कि $h \propto \frac{1}{r}$,जिसका अर्थ है कि $rh = \text{स्थिरांक}$.
यदि द्रव का स्तर $h$ गिरता है (कम होता है),तो $rh$ के गुणनफल को स्थिर रखने के लिए केशिका की त्रिज्या $r$ को बढ़ना होगा।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(D) केश नली में द्रव स्तंभ की ऊंचाई का सूत्र: $h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$ है।
चूंकि केश नली का व्यास $(r)$,संपर्क कोण $(\theta)$ और गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ दोनों के लिए समान हैं,इसलिए ऊंचाई पृष्ठ तनाव $(T)$ के समानुपाती और घनत्व $(d)$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है: $h \propto \frac{T}{d}$।
अतः,ऊंचाइयों का अनुपात: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{T_1}{T_2} \times \frac{d_2}{d_1}$ होगा।
दिए गए मान: $T_1 = 60 \text{ dyne/cm}$,$T_2 = 50 \text{ dyne/cm}$,$d_1 = 0.8$ और $d_2 = 0.6$ हैं।
मान रखने पर: $\frac{h_1}{h_2} = \frac{60}{50} \times \frac{0.6}{0.8} = \frac{6}{5} \times \frac{6}{8} = \frac{36}{40} = \frac{9}{10}$।

(B) एक ऊर्ध्वाधर केशिका नली में पानी जिस ऊँचाई $h$ तक चढ़ता है,वह $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है।
जब नली को ऊर्ध्वाधर के साथ $\alpha$ कोण पर झुकाया जाता है,तो ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ समान रहती है क्योंकि मेनिस्कस पर दबाव का अंतर केवल ऊर्ध्वाधर ऊँचाई पर निर्भर करता है।
यदि $l$ झुकी हुई नली में पानी के स्तंभ की लंबाई है,तो $h = l \cos \alpha$.
यहाँ $h = 2.0 \, cm$ और $\alpha = 60^{\circ}$ दिया गया है।
अतः,$l = \frac{h}{\cos \alpha} = \frac{2.0}{\cos 60^{\circ}} = \frac{2.0}{0.5} = 4.0 \, cm$.

(D) केशिका नली में द्रव के ऊपर चढ़ने का सूत्र $T = \frac{rh\rho g}{2 \cos \theta}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$r$ केशिका नली की त्रिज्या है,$h$ द्रव स्तंभ की ऊँचाई है,$\rho$ द्रव का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $\theta$ संपर्क कोण है।
कांच की केशिका नली में शुद्ध जल के लिए,संपर्क कोण $\theta$ लगभग $0^\circ$ होता है।
चूँकि $\cos(0^\circ) = 1$ होता है,इसलिए सूत्र $T = \frac{rh\rho g}{2}$ हो जाता है।

(C) केशनलिका में पानी के स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ होता है।
मुक्त रूप से गिरती हुई लिफ्ट में,गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff}$ शून्य $(0)$ हो जाता है क्योंकि लिफ्ट भारहीनता की स्थिति में होती है।
जैसे-जैसे $g_{eff} \to 0$ होता है,पानी के स्तंभ की ऊँचाई $h$ अनंत की ओर प्रवृत्त होती है $(h \propto 1/g_{eff})$।
हालाँकि,पानी का स्तंभ केशनलिका की भौतिक लंबाई से अधिक नहीं हो सकता है।
इसलिए,पानी केशनलिका की पूरी लंबाई भर जाने तक ऊपर चढ़ेगा,जो कि $20 \,cm$ है।

(B) केशिका में स्थित द्रव स्तंभ का भार नली की परिधि के अनुदिश पृष्ठ तनाव के कारण लगने वाले ऊपर की ओर के बल द्वारा संतुलित होता है।
पृष्ठ तनाव के कारण लगने वाला बल $F = T \times (2\pi r)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है और $r$ केशिका की त्रिज्या है।
दिया गया है: भार $W = F = 6.28 \times 10^{-4} \ N$,त्रिज्या $r = 2 \times 10^{-3} \ m$,और $\pi \approx 3.14$.
पृष्ठ तनाव के सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $T = \frac{F}{2\pi r}$.
मान रखने पर: $T = \frac{6.28 \times 10^{-4}}{2 \times 3.14 \times 2 \times 10^{-3}}$.
$T = \frac{6.28 \times 10^{-4}}{12.56 \times 10^{-3}} = \frac{6.28}{12.56} \times 10^{-1} = 0.5 \times 10^{-1} = 5 \times 10^{-2} \ N/m$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) केश नलिका में द्रव के स्तंभ की ऊंचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नलिका की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
एक ही द्रव और नलिका के समान पदार्थ के लिए $T, \theta, \rho,$ और $g$ स्थिर हैं,इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$ होता है।
यह दिया गया है कि $R_B > R_A$,इसलिए $\frac{1}{R_A} > \frac{1}{R_B}$ होगा।
अतः,नलिका $A$ में द्रव की ऊंचाई $h_A$,नलिका $B$ की ऊंचाई $h_B$ से अधिक होगी $(h_A > h_B)$।

(A) केशिका नली में द्रव की ऊँचाई का सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$।
पानी के लिए,संपर्क कोण $\theta = 0^\circ$ है,इसलिए $\cos 0^\circ = 1$ होगा।
दिया गया है: $h = 3 \, cm = 3 \times 10^{-2} \, m$,$T = 7.2 \times 10^{-2} \, N/m$,$\rho = 10^3 \, kg/m^3$,और $g = 10 \, m/s^2$।
त्रिज्या $r$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $r = \frac{2T}{h \rho g}$।
मान रखने पर: $r = \frac{2 \times 7.2 \times 10^{-2}}{3 \times 10^{-2} \times 10^3 \times 10} = \frac{14.4 \times 10^{-2}}{3 \times 10^2} = 4.8 \times 10^{-4} \, m$।
व्यास $d = 2r$ है: $d = 2 \times 4.8 \times 10^{-4} \, m = 9.6 \times 10^{-4} \, m$।

(C) केशिका नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$।
पानी और कांच के लिए संपर्क कोण $\theta = 0^\circ$ मानते हुए,$\cos 0^\circ = 1$ होता है।
दिया गया है: $h = 0.015 \ m$,$T = 75 \times 10^{-3} \ N/m$,$g = 10 \ m/s^2$,और पानी का घनत्व $\rho = 10^3 \ kg/m^3$।
त्रिज्या $r$ के लिए सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $r = \frac{2T}{h \rho g}$।
मान रखने पर: $r = \frac{2 \times 75 \times 10^{-3}}{0.015 \times 10^3 \times 10}$।
$r = \frac{150 \times 10^{-3}}{150} = 10^{-3} \ m$।
चूंकि $10^{-3} \ m = 1 \ mm$ होता है,इसलिए केशिका की त्रिज्या $1 \ mm$ है।

(D) केश नली में पानी के चढ़ने की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है।
चूँकि $T$,$\theta$,$\rho$ और $g$ दिए गए द्रव और नली के लिए नियत हैं,इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$ होता है।
माना $h_1 = 3\, mm$ और $r_1 = r$ है।
दूसरी नली के लिए,$r_2 = \frac{r}{3}$ है।
संबंध $\frac{h_2}{h_1} = \frac{r_1}{r_2}$ का उपयोग करने पर,$\frac{h_2}{3} = \frac{r}{r/3} = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$h_2 = 3 \times 3 = 9\, mm$।

(A) किसी संकीर्ण नली या छिद्रयुक्त पदार्थ में द्रव के ऊपर चढ़ने की घटना को केशिकत्व (Capillarity) कहा जाता है।
लालटेन में,बत्ती सूक्ष्म केशिका नलियों के एक समूह के रूप में कार्य करती है।
केरोसिन तेल के पृष्ठ तनाव के कारण,तेल और बत्ती के पदार्थ के बीच लगने वाले आसंजक बल (adhesive forces),तेल के अणुओं के बीच लगने वाले ससंजक बलों (cohesive forces) से अधिक मजबूत होते हैं,जिसके कारण तेल गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध बत्ती में ऊपर चढ़ता है।

(A) जब एक केशिका नली को पानी में डुबोया जाता है,तो बनने वाला मेनिस्कस अवतल (concave) होता है।
यंग-लाप्लास समीकरण के अनुसार,अवतल पक्ष पर दबाव उत्तल पक्ष पर दबाव से अधिक होता है।
चूंकि केशिका के अंदर पानी की सतह अवतल होती है,इसलिए मेनिस्कस के ठीक नीचे का दबाव नली के बाहर पानी की मुक्त सतह पर कार्य करने वाले वायुमंडलीय दबाव से कम होता है।
यह दबाव का अंतर एक ऊपर की ओर बल पैदा करता है जो पानी के स्तंभ को केशिका नली में ऊपर धकेलता है,जब तक कि स्तंभ का हाइड्रोस्टेटिक दबाव इस दबाव के अंतर को संतुलित नहीं कर लेता।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(B) केशिका नली में द्रव का द्रव्यमान $M = V \times \rho = (\pi R^2 H) \rho$ द्वारा दिया जाता है।
केशिकात्व के सिद्धांत के अनुसार,द्रव स्तंभ की ऊँचाई $H$,त्रिज्या $R$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $H \propto 1/R$।
इसे द्रव्यमान के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $M \propto R^2 \times (1/R) = R$।
अतः,$M \propto R$।
यदि त्रिज्या आधी कर दी जाए $(R' = R/2)$,तो नया द्रव्यमान $M'$ होगा: $M' = M \times (R'/R) = M \times (1/2) = M/2$।

(C) केशिका नली में द्रव जिस ऊँचाई $h$ तक ऊपर चढ़ता है,उसका सूत्र है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$।
चूँकि $T$,$\theta$,$\rho$ और $g$ स्थिरांक हैं,इसलिए $h \propto \frac{1}{r}$ होता है,जहाँ $r$ केशिका नली की त्रिज्या है।
दिया गया है कि व्यास आधा कर दिया जाता है,इसलिए त्रिज्या $r$ भी आधी हो जाएगी $(r_2 = \frac{r_1}{2})$।
अतः,नई ऊँचाई $h_2$ के लिए: $\frac{h_2}{h_1} = \frac{r_1}{r_2} = \frac{r_1}{r_1/2} = 2$।
इस प्रकार,$h_2 = 2h_1 = 2h$।

(D) केश नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
पृथ्वी के चारों ओर चक्कर लगा रहे एक कृत्रिम उपग्रह में,प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff}$ शून्य होता है क्योंकि उपग्रह भारहीनता की स्थिति में होता है।
सूत्र में $g = 0$ रखने पर,हमें $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho (0)} = \infty$ प्राप्त होता है।
चूँकि ऊँचाई अनंत नहीं हो सकती,इसलिए द्रव तब तक ऊपर चढ़ेगा जब तक वह केश नली के ऊपरी सिरे तक नहीं पहुँच जाता। अतः,पानी केश नली की पूरी लंबाई तक ऊपर चढ़ेगा।

(B) केशिका नली में द्रव की ऊँचाई या अवनमन $h$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$
जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$d$ द्रव का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $r$ केशिका नली की त्रिज्या है।
इस सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $h \propto \frac{1}{r}$ है।
यह संबंध एक आयताकार अतिपरवलय (rectangular hyperbola) को दर्शाता है। इसलिए,$h$ और $r$ के बीच का ग्राफ एक आयताकार अतिपरवलय है,जो विकल्प $B$ में दिखाए गए वक्र के अनुरूप है।

(A) केशिका नली का द्रव प्रतिरोध $R_f = \frac{8 \eta l}{\pi r^4}$ द्वारा दिया जाता है।
पहली केशिका के लिए,$R_1 = \frac{8 \eta L}{\pi R^4}$ है।
दूसरी केशिका के लिए,$R_2 = \frac{8 \eta (2L)}{\pi (2R)^4} = \frac{16 \eta L}{\pi (16 R^4)} = \frac{\eta L}{\pi R^4} = \frac{1}{8} R_1$ है।
जब इन्हें श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2 = R_1 + \frac{1}{8} R_1 = \frac{9}{8} R_1$ होता है।
प्रवाह की दर $Q = \frac{P}{R_{eq}}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $X = \frac{P}{R_1}$ है,इसलिए नई प्रवाह दर $Q = \frac{P}{\frac{9}{8} R_1} = \frac{8}{9} \left( \frac{P}{R_1} \right) = \frac{8}{9} X$ होगी।

(B) ऊर्ध्वाधर केशिका नली में पानी के स्तंभ की ऊँचाई $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g} = 2.0 \, cm$ दी गई है।
जब केशिका नली को ऊर्ध्वाधर के साथ $\alpha = 60^\circ$ के कोण पर झुकाया जाता है,तो ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ स्थिर रहती है क्योंकि यह मेनिस्कस पर दबाव संतुलन पर निर्भर करती है।
यदि नली में पानी के स्तंभ की लंबाई $l$ है,तो $h = l \cos \alpha$ होता है।
इसलिए,$l = \frac{h}{\cos \alpha} = \frac{2.0 \, cm}{\cos 60^\circ}$।
चूँकि $\cos 60^\circ = 0.5$ है,इसलिए $l = \frac{2.0}{0.5} = 4.0 \, cm$ प्राप्त होता है।

(D) केशिका नली में द्रव की ऊंचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{rdg}$ है,जहाँ $T$ पृष्ठ तनाव है,$r$ नली की त्रिज्या है,$d$ घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
यह मानते हुए कि दोनों द्रवों के लिए संपर्क कोण $\theta$ और त्रिज्या $r$ समान हैं,ऊंचाइयों का अनुपात होगा:
$\frac{h_1}{h_2} = \left( \frac{T_1}{T_2} \right) \times \left( \frac{d_2}{d_1} \right)$
यहाँ $T_1 = 60 \, dyne/cm$,$T_2 = 50 \, dyne/cm$,$d_1 = 0.8 \, g/cm^3$ और $d_2 = 0.6 \, g/cm^3$ दिया गया है:
$\frac{h_1}{h_2} = \left( \frac{60}{50} \right) \times \left( \frac{0.6}{0.8} \right)$
$\frac{h_1}{h_2} = \left( \frac{6}{5} \right) \times \left( \frac{6}{8} \right) = \frac{36}{40} = \frac{9}{10}$.

(B) केशिका नली में पानी का द्रव्यमान $M = V \rho = (\pi R^2 H) \rho$ द्वारा दिया जाता है।
हम जानते हैं कि केशिका नली में पानी की ऊँचाई उसकी त्रिज्या के व्युत्क्रमानुपाती होती है,अर्थात $H \propto \frac{1}{R}$।
इस मान को द्रव्यमान के समीकरण में रखने पर: $M \propto R^2 \times (\frac{1}{R}) = R$।
अतः,$M \propto R$।
यदि त्रिज्या आधी कर दी जाए $(R' = R/2)$,तो नया द्रव्यमान $M'$ होगा: $M' = M \times (R'/R) = M \times (1/2) = M/2$।

(C) केश नली में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का सूत्र $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ होता है।
चूंकि नली का पदार्थ और द्रव समान हैं,इसलिए पृष्ठ तनाव $T$,संपर्क कोण $\theta$,घनत्व $\rho$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ स्थिर रहते हैं।
अतः,$h \propto \frac{1}{r}$,जिसका अर्थ है $h_1 r_1 = h_2 r_2$।
त्रिज्याओं का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{h_2}{h_1}$ द्वारा प्राप्त होता है।
यहाँ $h_1 = 2.2 \ cm$ और $h_2 = 6.6 \ cm$ दिया गया है,इसलिए $\frac{r_1}{r_2} = \frac{6.6}{2.2} = \frac{3}{1}$।
अतः,त्रिज्याओं का अनुपात $3:1$ है।

(A) केश नली में द्रव स्तंभ की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h$ नली के झुकाव से स्वतंत्र रहती है।
यदि नली ऊर्ध्वाधर के साथ $\alpha$ कोण पर झुकी है,तो नली के अनुदिश द्रव स्तंभ की लंबाई $l = \frac{h}{\cos \alpha}$ द्वारा दी जाती है।
दिए गए दो कोणों $\alpha_1 = 30^o$ और $\alpha_2 = 60^o$ के लिए,लंबाइयाँ $l_1 = \frac{h}{\cos 30^o}$ और $l_2 = \frac{h}{\cos 60^o}$ होंगी।
लंबाई का अनुपात $\frac{l_1}{l_2} = \frac{\cos 60^o}{\cos 30^o}$ है।
मान रखने पर: $\frac{l_1}{l_2} = \frac{1/2}{\sqrt{3}/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.
अतः,अनुपात $1:\sqrt{3}$ है।

(C) केशिका नली में पानी जिस ऊँचाई तक चढ़ता है,वह $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है।
यदि नली की वास्तविक लंबाई $L$ संतुलन ऊँचाई $h$ से कम है,तो पानी नली के ऊपरी सिरे तक चढ़ जाएगा।
ऊपरी सिरे पर,मेनिस्कस की वक्रता त्रिज्या $R$ इस प्रकार समायोजित हो जाएगी कि $h' = \frac{2T \cos \theta'}{R \rho g} = L$ हो,जहाँ $h' < h$ है।
चूंकि ऊपरी सिरे पर दबाव पृष्ठ तनाव द्वारा संतुलित रहता है,इसलिए पानी बाहर नहीं बहेगा बल्कि वक्रता त्रिज्या में बदलाव के साथ नली के ऊपरी सिरे पर स्थिर रहेगा।

(D) केशिका में द्रव के चढ़ने की ऊँचाई $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$ द्वारा दी जाती है।
$T$ और $r$ के दिए गए मान के लिए,$h \propto \frac{\cos \theta}{\rho}$ होता है।
चूँकि द्रव समान ऊँचाई तक चढ़ते हैं $(h_1 = h_2 = h_3)$,इसलिए $\frac{\cos \theta_1}{\rho_1} = \frac{\cos \theta_2}{\rho_2} = \frac{\cos \theta_3}{\rho_3}$ होगा।
दिया गया है कि $\rho_1 > \rho_2 > \rho_3$,इसलिए $\cos \theta_1 > \cos \theta_2 > \cos \theta_3$ होगा।
चूँकि कोसाइन फलन $[0, \frac{\pi}{2}]$ अंतराल में एक घटता हुआ फलन है,इसलिए $\theta_1 < \theta_2 < \theta_3$ होगा।
अतः,$0 \le \theta_1 < \theta_2 < \theta_3 < \frac{\pi}{2}$ सही उत्तर है।