Buoyancy, Archimedes' Principle and Laws of Floatation Questions in Hindi

(B) मान लीजिए कॉर्क का घनत्व $d$ है और पानी का घनत्व $\rho$ है। कॉर्क का आयतन $V$ है।
कॉर्क पर कार्य करने वाले बल उत्प्लावन बल $F_B = V \rho g$ (ऊपर की ओर),कॉर्क का भार $W = V d g$ (नीचे की ओर),और स्प्रिंग बल $F_s$ (नीचे की ओर) हैं।
स्थिर फ्रेम में,संतुलन की स्थिति $F_B = W + F_s$ है,इसलिए $F_s = V \rho g - V d g = V(\rho - d)g$ है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर गति करती है,तो गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = (g - a)$ हो जाता है।
नया स्प्रिंग बल $F_s' = V(\rho - d)(g - a)$ है।
चूंकि $(g - a) < g$,नया स्प्रिंग बल $F_s'$ मूल स्प्रिंग बल $F_s$ से कम है। इसलिए,स्प्रिंग का विस्तार कम हो जाता है और स्प्रिंग की लंबाई घट जाती है।

(A) द्रव में डूबी हुई वस्तु पर लगने वाला उत्प्लावन बल (buoyant force) सूत्र $F_B = V \rho g$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $V$ विस्थापित द्रव का आयतन है, $\rho$ द्रव का घनत्व है, और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है。
जब पूरी प्रणाली (बीकर और द्रव) गुरुत्वाकर्षण के अधीन मुक्त रूप से गिरती है, तो यह नीचे की ओर $g$ के बराबर त्वरण का अनुभव करती है। गिरते हुए बीकर के संदर्भ फ्रेम में, प्रभावी गुरुत्वीय त्वरण $(g_{eff})$ $g - g = 0$ हो जाता है。
चूंकि उत्प्लावन बल प्रभावी गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र पर निर्भर करता है, और $g_{eff} = 0$ है, इसलिए वस्तु पर लगने वाला उत्प्लावन बल शून्य हो जाता है।

(C) प्रारंभ में,व्यक्ति अपने बाएं हाथ में $1 \,kg$ का ब्लॉक और दाएं हाथ में $10 \,kg$ की बाल्टी पकड़े हुए है।
जब ब्लॉक को बाल्टी में डाल दिया जाता है,तो दाएं हाथ द्वारा उठाया गया कुल द्रव्यमान बाल्टी (पानी के साथ) और ब्लॉक के द्रव्यमान का योग हो जाता है।
कुल द्रव्यमान $= 10 \,kg + 1 \,kg = 11 \,kg$.
अतः,व्यक्ति अब अपने दाएं हाथ में $11 \,kg$ का भार उठा रहा है।

(D) जब ब्लॉक $m$ को द्रव में डुबोया जाता है,तो आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार उस पर ऊपर की ओर उत्प्लावन बल (upthrust) $F_B$ कार्य करता है।
बैलेंस $A$ के लिए,पाठ्यांक डोरी में तनाव $T$ है। प्रारंभ में,$T = mg = 2 \, kg \cdot g$। जब इसे डुबोया जाता है,तो $T = mg - F_B$। चूँकि $F_B > 0$,इसलिए बैलेंस $A$ का पाठ्यांक $2 \, kg$ से कम होगा।
बैलेंस $B$ के लिए,यह बीकर द्वारा पैन पर लगाए गए अभिलंब बल को मापता है। प्रारंभ में,यह बीकर और द्रव का भार दर्शाता है। जब ब्लॉक को डुबोया जाता है,तो द्रव ब्लॉक पर ऊपर की ओर $F_B$ बल लगाता है। न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,ब्लॉक द्रव पर नीचे की ओर समान और विपरीत बल $F_B$ लगाता है। इस प्रकार,बैलेंस $B$ पर कार्य करने वाला कुल नीचे की ओर बल $F_B$ से बढ़ जाता है। इसलिए,बैलेंस $B$ का पाठ्यांक $5 \, kg$ से अधिक होगा।
चूँकि कथन $(b)$ और $(c)$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(D) स्प्रिंग के संपीड़न या विस्तार में,प्रत्यानयन बल (restoring force) के विरुद्ध कार्य किया जाता है,जिससे स्प्रिंग की प्रत्यास्थ स्थितिज ऊर्जा बढ़ जाती है।
किसी वस्तु को गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध ले जाने पर,गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध कार्य किया जाता है,जिससे निकाय की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा बढ़ जाती है।
अतः,स्थितियों $A$,$B$,और $C$ में,निकाय की स्थितिज ऊर्जा बढ़ती है।
जब पानी में हवा का बुलबुला ऊपर उठता है,तो वह उत्प्लावन बल (upthrust) की दिशा में गति करता है। चूँकि इस दिशा में निकाय स्वयं कार्य करता है,इसलिए निकाय की स्थितिज ऊर्जा घट जाती है।

(B) सही उत्तर $B$ है। आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,किसी तरल पदार्थ में डूबी हुई वस्तु पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल (uplift) उस वस्तु द्वारा विस्थापित तरल के भार के बराबर होता है। विस्थापित तरल का भार $W = m \cdot g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ विस्थापित तरल का द्रव्यमान है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है। यदि गुरुत्वाकर्षण प्रभाव $(g)$ कम हो जाता है,तो विस्थापित तरल का भार कम हो जाता है,जिससे आर्किमिडीज उत्प्लावन बल भी कम हो जाता है। श्यान बल और स्थिर वैद्युत बल गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की तीव्रता पर निर्भर नहीं करते हैं।

(C) द्रव में डूबे हुए पिंड का आभासी भार $W_{app} = V(\rho - \sigma)g = \frac{m}{\rho}(\rho - \sigma)g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $m$ पिंड का द्रव्यमान है,$\rho$ पिंड का घनत्व है और $\sigma$ द्रव (पानी,$\sigma = 1 \ g/cm^3$) का घनत्व है।
चूंकि दोनों पिंड संतुलन में हैं,इसलिए उनके आभासी भार समान होने चाहिए:
$\frac{m_1}{\rho_1}(\rho_1 - \sigma) = \frac{m_2}{\rho_2}(\rho_2 - \sigma)$
यहाँ $m_1 = 36 \ g$,$\rho_1 = 9 \ g/cm^3$,$m_2 = 48 \ g$,और $\sigma = 1 \ g/cm^3$ दिया गया है:
$\frac{36}{9}(9 - 1) = \frac{48}{\rho_2}(\rho_2 - 1)$
$4(8) = \frac{48}{\rho_2}(\rho_2 - 1)$
$32 = \frac{48(\rho_2 - 1)}{\rho_2}$
$32\rho_2 = 48\rho_2 - 48$
$16\rho_2 = 48$
$\rho_2 = 3 \ g/cm^3$.

(D) माना निर्वात में वस्तु का वास्तविक द्रव्यमान $M_0$ है।
जब वस्तु को हवा में तौला जाता है,तो वस्तु का आभासी भार मानक बाटों के आभासी भार के बराबर होता है।
आभासी भार = वास्तविक भार - विस्थापित हवा के कारण उत्प्लावन बल (buoyant force)।
वस्तु के लिए: आभासी भार $= M_0 g - V_1 d g = M_0 g - (M_0/d_1) d g = M_0 g (1 - d/d_1)$।
बांटों के लिए: आभासी भार $= M g - V_2 d g = M g - (M/d_2) d g = M g (1 - d/d_2)$।
दोनों को बराबर करने पर: $M_0 g (1 - d/d_1) = M g (1 - d/d_2)$।
अतः,वास्तविक द्रव्यमान $M_0 = \frac{M(1 - d/d_2)}{(1 - d/d_1)}$ होगा।

(C) माना हिमखंड का कुल आयतन $V$ है और इसका घनत्व $\rho = 900 \ kg/m^3$ है। पानी का घनत्व $\sigma = 1000 \ kg/m^3$ है।
प्लवन के नियम के अनुसार, हिमखंड का भार उसके डूबे हुए भाग $(V_{in})$ द्वारा विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है।
$V \rho g = V_{in} \sigma g$
$V_{in} = \left( \frac{\rho}{\sigma} \right) V = \left( \frac{900}{1000} \right) V = 0.9 V$
पानी के बाहर हिमखंड का आयतन $V_{out} = V - V_{in} = V - 0.9 V = 0.1 V$ है।
पानी के बाहर आयतन का प्रतिशत $\left( \frac{V_{out}}{V} \right) \times 100 = 0.1 \times 100 = 10\%$ है।

(A) लकड़ी के लट्ठे का आयतन $V = \frac{\text{द्रव्यमान}}{\text{घनत्व}} = \frac{120}{600} = 0.2 \ m^3$ है।
मान लीजिए कि लट्ठे को ठीक डुबाने के लिए उस पर रखा जाने वाला द्रव्यमान $x$ है।
लट्ठे के ठीक डूबने के लिए,लट्ठे और अतिरिक्त द्रव्यमान का कुल भार उत्प्लावन बल (विस्थापित पानी का भार) के बराबर होना चाहिए।
कुल भार = $(120 + x)g$ है।
उत्प्लावन बल = $V \rho_{\text{water}} g = 0.2 \times 1000 \times g$ है।
दोनों को बराबर करने पर: $(120 + x)g = 0.2 \times 1000 \times g$.
$120 + x = 200$.
$x = 200 - 120 = 80 \ kg$.

(C) अर्धगोलाकार कटोरे का भार $W = mg = V_{material} \rho g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V_{material} = \frac{2}{3} \pi [ (D/2)^3 - (d/2)^3 ]$ कटोरे के पदार्थ का आयतन है।
यहाँ,$D = 1 \ m$ बाहरी व्यास है और $d$ आंतरिक व्यास है। कटोरे का घनत्व $\rho = 2 \times 10^4 \ kg/m^3$ है।
प्लवन के सिद्धांत के अनुसार,कटोरे का भार उसके द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है। चूंकि कटोरा अर्धगोलाकार है और तैर रहा है,इसलिए विस्थापित द्रव का आयतन बाहरी अर्धगोले के आयतन के बराबर है,$V_{displaced} = \frac{2}{3} \pi (D/2)^3$.
विस्थापित द्रव का भार $W_{liquid} = V_{displaced} \sigma g$ है,जहाँ $\sigma = 1.2 \times 10^3 \ kg/m^3$ द्रव का घनत्व है।
दोनों भारों को बराबर करने पर: $\frac{2}{3} \pi (D/2)^3 \sigma g = \frac{2}{3} \pi [ (D/2)^3 - (d/2)^3 ] \rho g$.
समान पदों को हटाने पर: $(D/2)^3 \sigma = [ (D/2)^3 - (d/2)^3 ] \rho$.
मान रखने पर: $(0.5)^3 \times 1.2 \times 10^3 = [ (0.5)^3 - (d/2)^3 ] \times 2 \times 10^4$.
$0.125 \times 1.2 \times 10^3 = [ 0.125 - (d/2)^3 ] \times 20 \times 10^3$.
$0.15 = [ 0.125 - (d/2)^3 ] \times 20$.
$0.0075 = 0.125 - (d/2)^3$.
$(d/2)^3 = 0.125 - 0.0075 = 0.1175$.
$d/2 = (0.1175)^{1/3} \approx 0.49$.
$d = 2 \times 0.49 = 0.98 \ m$.

(B) माना कंक्रीट और लकड़ी के बुरादे का विशिष्ट गुरुत्व क्रमशः $\rho_1 = 2.4$ और $\rho_2 = 0.3$ है।
प्लवन के सिद्धांत के अनुसार,पूरे गोले का भार = गोले पर लगने वाला उत्प्लावन बल।
गोले का भार = विस्थापित पानी का भार
$\frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3)\rho_1 g + \frac{4}{3}\pi r^3 \rho_2 g = \frac{4}{3}\pi R^3 \times 1 \times g$
$\frac{4}{3}\pi g$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(R^3 - r^3)\rho_1 + r^3 \rho_2 = R^3$
$R^3 \rho_1 - r^3 \rho_1 + r^3 \rho_2 = R^3$
$R^3(\rho_1 - 1) = r^3(\rho_1 - \rho_2)$
$\frac{R^3}{r^3} = \frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_1 - 1} = \frac{2.4 - 0.3}{2.4 - 1} = \frac{2.1}{1.4} = 1.5$
अब,कंक्रीट के द्रव्यमान $(M_c)$ और लकड़ी के बुरादे के द्रव्यमान $(M_s)$ का अनुपात:
$\frac{M_c}{M_s} = \frac{\frac{4}{3}\pi (R^3 - r^3)\rho_1}{\frac{4}{3}\pi r^3 \rho_2} = \left( \frac{R^3}{r^3} - 1 \right) \frac{\rho_1}{\rho_2}$
मान रखने पर:
$\frac{M_c}{M_s} = (1.5 - 1) \times \frac{2.4}{0.3} = 0.5 \times 8 = 4$.

(D) ब्लॉक का आयतन $V = 5 \, cm \times 5 \, cm \times 5 \, cm = 125 \, cm^3$ है।
ब्लॉक का घनत्व $\rho = 5 \, g \, cm^{-3}$ है।
पानी का घनत्व $\sigma = 1 \, g \, cm^{-3}$ है।
आभासी भार $W_{app}$ का सूत्र $W_{app} = V(\rho - \sigma)g$ है।
मान रखने पर,$W_{app} = 125 \times (5 - 1) \times g$ (बल की इकाइयों में)।
चूंकि $1 \, g$ द्रव्यमान $1 \, gf$ भार के बराबर होता है,इसलिए $gf$ में आभासी भार $V(\rho - \sigma) = 125 \times 4 = 500 \, gf$ होगा।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,$500 = 4 \times 5 \times 5 \times 5 \, gf$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए ब्लॉक का आयतन $V$ है, ब्लॉक का घनत्व $\rho$ है, और तरल का घनत्व $\sigma$ है।
प्रारंभ में, ब्लॉक संतुलन में है, इसलिए ब्लॉक का भार उत्प्लावन बल (buoyant force) के बराबर है:
$V \rho g = V_{in} \sigma g$
दिया गया है कि आधा आयतन डूबा हुआ है, $V_{in} = V/2$, इसलिए:
$V \rho g = (V/2) \sigma g \implies \rho = \sigma/2$.
जब प्रणाली $a = g/3$ के त्वरण के साथ ऊपर की ओर त्वरित होती है, तो प्रभावी गुरुत्व $g' = g + a = g + g/3 = 4g/3$ हो जाता है।
नई संतुलन स्थिति है:
$V \rho g' = V'_{in} \sigma g'$
$V \rho (4g/3) = V'_{in} \sigma (4g/3)$
$V \rho = V'_{in} \sigma$
चूंकि $\rho = \sigma/2$, हमें $V(\sigma/2) = V'_{in} \sigma$ प्राप्त होता है, जिससे $V'_{in} = V/2$ मिलता है।
डूबे हुए आयतन का अंश $V'_{in}/V = 0.5$ रहता है। इस प्रकार, त्वरण के साथ डूबे हुए आयतन का अंश नहीं बदलता है।

(B) किसी द्रव में डूबी हुई वस्तु का आभासी भार इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $W_{app} = V(\rho_s - \rho_l)g$,जहाँ $V$ वस्तु का आयतन है,$\rho_s$ वस्तु का घनत्व है और $\rho_l$ द्रव का घनत्व है।
चूंकि द्रव्यमान $M = V \rho_s$,हम $V = M / \rho_s$ लिख सकते हैं।
इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करने पर: $W_{app} = \frac{M}{\rho_s}(\rho_s - \rho_l)g = M(1 - \frac{\rho_l}{\rho_s})g$.
यहाँ $M = 2.1 \ kg$,$\rho_s = 10.5$,और $\rho_l = 0.8$ दिया गया है।
धागे में तनाव $T$,$kg-wt$ में आभासी भार के बराबर होता है:
$T = 2.1 \times (1 - \frac{0.8}{10.5}) \ kg-wt$.
$T = 2.1 \times (\frac{10.5 - 0.8}{10.5}) \ kg-wt$.
$T = 2.1 \times (\frac{9.7}{10.5}) \ kg-wt$.
$T = 2.1 \times 0.9238 \approx 1.94 \ kg-wt$.

(D) मान लीजिए धातु का घनत्व $\rho$ है और द्रव का घनत्व $\sigma$ है। नमूने का आयतन $V$ है।
आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,आभासी भार वास्तविक भार और उत्प्लावन बल का अंतर होता है।
हवा में: $W_{air} = V \rho g = 210 \ g$ ... $(i)$
पानी में: $W_{water} = V(\rho - 1)g = 180 \ g$ ... (ii)
द्रव में: $W_{liquid} = V(\rho - \sigma)g = 120 \ g$ ... (iii)
$(i)$ और (ii) से: $V \rho g - V(1)g = 180 \implies 210 - Vg = 180 \implies Vg = 30$.
चूंकि $V \rho g = 210$,इसलिए $30 \rho = 210 \implies \rho = 7$.
$(i)$ और (iii) से: $V \rho g - V \sigma g = 120 \implies 210 - V \sigma g = 120 \implies V \sigma g = 90$.
$Vg = 30$ रखने पर: $30 \sigma = 90 \implies \sigma = 3$.
अतः,धातु का आपेक्षिक घनत्व $7$ है और द्रव का आपेक्षिक घनत्व $3$ है।

(C) द्रव में तैरती हुई वस्तु के लिए,वस्तु का भार उत्प्लावन बल (आर्किमिडीज का सिद्धांत) के बराबर होता है।
माना $A$ और $B$ के घनत्व $\rho_A$ और $\rho_B$ हैं,और पानी का घनत्व $\rho_w$ है।
ठोस $A$ के लिए: $V_A \rho_A g = (V_A/2) \rho_w g \implies \rho_A = \frac{1}{2} \rho_w$.
ठोस $B$ के लिए: $V_B \rho_B g = (2/3 V_B) \rho_w g \implies \rho_B = \frac{2}{3} \rho_w$.
घनत्वों का अनुपात लेने पर: $\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{(1/2) \rho_w}{(2/3) \rho_w} = \frac{1}{2} \times \frac{3}{2} = \frac{3}{4}$.
अतः,$A$ और $B$ के घनत्वों का अनुपात $3:4$ है।

(C) $\text{किसी द्रव में तैरती हुई वस्तु के लिए, वस्तु का भार उत्प्लावन बल (आर्किमिडीज का सिद्धांत) के बराबर होता है।}$
$\text{वस्तु का भार = } V_0 d_0 g$।
$\text{उत्प्लावन बल = } V_{in} d g, \text{जहाँ } V_{in} \text{ द्रव में डूबे हुए वस्तु का आयतन है।}$
$\text{दोनों को बराबर करने पर: } V_0 d_0 g = V_{in} d g$।
$\text{इससे डूबे हुए भाग का आयतन प्राप्त होता है: } V_{in} = V_0 \frac{d_0}{d}$।
$\text{सतह के ऊपर वस्तु का आयतन } V_{out} = V_0 - V_{in} \text{ है।}$
$V_{in} \text{ का मान रखने पर: } V_{out} = V_0 - V_0 \frac{d_0}{d} = V_0 \left( \frac{d - d_0}{d} \right)$।
$\text{सतह के ऊपर वस्तु का अंश } \frac{V_{out}}{V_0} = \frac{d - d_0}{d} \text{ होगा।}$

(A) स्टील के ब्लॉक का आयतन $V = 5 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} \times 5 \text{ cm} = 125 \text{ cm}^3$ है।
दिया गया है कि स्टील का सापेक्ष घनत्व $\rho_r = 7$ है,इसलिए स्टील का घनत्व $\rho = 7 \text{ g/cm}^3$ है।
पानी का घनत्व $\sigma = 1 \text{ g/cm}^3$ है।
किसी द्रव में डूबी हुई वस्तु का आभासी भार $W_{app} = V(\rho - \sigma)g$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
चूंकि हम भार $\text{gf}$ (ग्राम-बल) में ज्ञात कर रहे हैं,हम सूत्र $W_{app} = V(\rho - \sigma) \text{ gf/cm}^3$ का उपयोग करेंगे।
मान रखने पर: $W_{app} = (5 \times 5 \times 5) \times (7 - 1) \text{ gf}$.
$W_{app} = 125 \times 6 \text{ gf} = 6 \times 5 \times 5 \times 5 \text{ gf}$.

(B) जब कोई वस्तु किसी द्रव में इस प्रकार तैर रही होती है कि उसका घनत्व द्रव के घनत्व के बराबर होता है,तो वह उदासीन संतुलन (neutral equilibrium) की स्थिति में होती है।
यदि वस्तु को थोड़ा नीचे धकेला जाता है,तो उत्प्लावन बल (buoyant force) और वस्तु का भार समान रहता है क्योंकि द्रव का घनत्व एकसमान है।
चूंकि किसी भी गहराई पर वस्तु पर लगने वाला कुल बल शून्य रहता है,इसलिए वस्तु वहीं डूबी रहेगी जहाँ उसे छोड़ा गया है।

(D) माना गोले का आयतन $V$ है,गोले का घनत्व $\rho_s$ है,और पानी का घनत्व $\rho_w$ है।
दिया गया है कि गोला पानी से $\eta$ गुना हल्का है,इसलिए $\rho_w = \eta \rho_s$.
गोले का द्रव्यमान $m = V \rho_s$ है,इसलिए $V = \frac{m}{\rho_s}$.
गोले पर कार्य करने वाले बल इस प्रकार हैं:
$1$. गोले का भार $(mg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$2$. डोरी में तनाव $(T)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है।
$3$. उत्प्लावन बल $(F_B)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है,जहाँ $F_B = V \rho_w g$.
संतुलन के लिए,कुल बल शून्य है: $F_B = T + mg$.
इसलिए,$T = F_B - mg = V \rho_w g - V \rho_s g$.
$\rho_w = \eta \rho_s$ और $V \rho_s = m$ प्रतिस्थापित करने पर:
$T = V (\eta \rho_s) g - m g = \eta (V \rho_s) g - mg = \eta mg - mg = (\eta - 1) mg$.

(A) माना गोले के पदार्थ का घनत्व $\rho$ है और पानी का घनत्व $\rho_w$ है।
जब गोला आधा डूबा हुआ तैर रहा है,तो गोले का भार उत्प्लावन बल द्वारा संतुलित होता है:
$W_{sphere} = F_{buoyant}$
$V \cdot \rho \cdot g = (V/2) \cdot \rho_w \cdot g$
$\rho = \rho_w / 2$
अब,माना गोले के अंदर $V'$ आयतन का पानी डाला जाता है ताकि वह पूरी तरह डूब जाए। गोले के डूबने के लिए,कुल भार (गोला + पानी) को पूरी तरह डूबे हुए गोले पर लगने वाले उत्प्लावन बल के बराबर होना चाहिए:
$W_{total} = F_{buoyant, total}$
$(V \cdot \rho \cdot g) + (V' \cdot \rho_w \cdot g) = V \cdot \rho_w \cdot g$
$\rho = \rho_w / 2$ रखने पर:
$V \cdot (\rho_w / 2) \cdot g + V' \cdot \rho_w \cdot g = V \cdot \rho_w \cdot g$
$\rho_w \cdot g$ से विभाजित करने पर:
$V/2 + V' = V$
$V' = V - V/2 = V/2$
अतः,डाले जाने वाले पानी का न्यूनतम आयतन $V/2$ है।

(A) प्लवन के नियम के अनुसार,एक तैरती हुई वस्तु अपने स्वयं के भार के बराबर द्रव को विस्थापित करती है।
चूंकि ब्लॉक का भार स्थिर रहता है,इसलिए विस्थापित पानी का भार भी स्थिर रहना चाहिए।
चूंकि विस्थापित पानी का भार विस्थापित पानी के आयतन,पानी के घनत्व और गुरुत्वीय त्वरण के गुणनफल के बराबर होता है $(W = V_{disp} \cdot \rho_{water} \cdot g)$,और पानी का घनत्व तथा गुरुत्वीय त्वरण स्थिर हैं,इसलिए विस्थापित पानी का आयतन $(V_{disp})$ स्थिर रहना चाहिए।
चूंकि विस्थापित पानी के आयतन में कोई परिवर्तन नहीं होता है,इसलिए पात्र में पानी का स्तर अपरिवर्तित रहता है।

(B) माना गेंद का घनत्व $\rho = 0.4 \times 10^3 \ kg/m^3$ है और पानी का घनत्व $\sigma = 1.0 \times 10^3 \ kg/m^3$ है।
जब गेंद $h_0 = 9 \ cm$ की ऊँचाई से गिरती है,तो पानी में प्रवेश करने से ठीक पहले उसका वेग $v^2 = 2gh_0$ द्वारा दिया जाता है।
पानी के अंदर,गेंद पर ऊपर की ओर उत्प्लावन बल $F_B = V\sigma g$ और नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल $W = V\rho g$ कार्य करता है। परिणामी बल $F_{net} = W - F_B = V(\rho - \sigma)g$ है।
पानी के अंदर मंदन $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{V(\rho - \sigma)g}{V\rho} = \left( \frac{\rho - \sigma}{\rho} \right)g$ है।
मान रखने पर: $a = \left( \frac{0.4 - 1.0}{0.4} \right)g = -\frac{0.6}{0.4}g = -1.5g$.
गेंद $h$ गहराई तक डूबती है जहाँ उसका अंतिम वेग शून्य हो जाता है। $v_f^2 - v_i^2 = 2ah$ का उपयोग करने पर:
$0 - (2gh_0) = 2(-1.5g)h$.
$2gh_0 = 3gh$.
$h = \frac{2}{3}h_0 = \frac{2}{3} \times 9 \ cm = 6 \ cm$.

(B) प्लवन के नियम के अनुसार,वस्तु का भार उसके डूबे हुए भाग द्वारा विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है।
मान लीजिए कि ठोस $A$ और $B$ के घनत्व क्रमशः $\rho_A$ और $\rho_B$ हैं,और पानी का घनत्व $\rho_W$ है।
ठोस $A$ के लिए,डूबा हुआ आयतन $\frac{1}{2} V_A$ है। अतः,$\frac{1}{2} V_A \rho_W g = V_A \rho_A g$,जिससे $\rho_A = \frac{1}{2} \rho_W$ प्राप्त होता है।
ठोस $B$ के लिए,पानी के ऊपर का आयतन $\frac{1}{4} V_B$ है,इसलिए डूबा हुआ आयतन $V_B - \frac{1}{4} V_B = \frac{3}{4} V_B$ है। अतः,$\frac{3}{4} V_B \rho_W g = V_B \rho_B g$,जिससे $\rho_B = \frac{3}{4} \rho_W$ प्राप्त होता है।
$A$ के घनत्व और $B$ के घनत्व का अनुपात $\frac{\rho_A}{\rho_B} = \frac{\frac{1}{2} \rho_W}{\frac{3}{4} \rho_W} = \frac{1}{2} \times \frac{4}{3} = \frac{2}{3}$ है।

(C) मान लीजिए नाव का द्रव्यमान $M$ है और स्टील की गेंदों का कुल द्रव्यमान $m$ है। मान लीजिए पानी का घनत्व $\rho_{\omega}$ है और स्टील का घनत्व $\sigma_{s}$ है।
जब गेंदें नाव में होती हैं,तो नाव तैरती है। प्लवनशीलता के नियम के अनुसार,विस्थापित पानी का वजन नाव और गेंदों के कुल वजन के बराबर होता है: $W = (M + m)g$.
विस्थापित पानी का आयतन $V_{1} = \frac{M + m}{\rho_{\omega}}$ है।
जब स्टील की गेंदों को पानी में फेंका जाता है,तो वे डूब जाती हैं क्योंकि $\sigma_{s} > \rho_{\omega}$ है।
नाव अब केवल अपने वजन के बराबर पानी विस्थापित करती है: $V_{boat} = \frac{M}{\rho_{\omega}}$.
स्टील की गेंदें अपने आयतन के बराबर पानी विस्थापित करती हैं: $V_{balls} = \frac{m}{\sigma_{s}}$.
विस्थापित पानी का कुल आयतन $V_{2} = \frac{M}{\rho_{\omega}} + \frac{m}{\sigma_{s}}$ है।
चूंकि $\sigma_{s} > \rho_{\omega}$,इसलिए $\frac{m}{\sigma_{s}} < \frac{m}{\rho_{\omega}}$ होता है।
अतः,$V_{2} < V_{1}$।
जैसे-जैसे विस्थापित पानी का आयतन कम होता है,टैंक में पानी का स्तर गिर जाएगा।

(C) आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार,किसी तरल में डूबी हुई वस्तु पर कार्य करने वाला उत्प्लावन बल (upthrust) इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $F = V \rho g$,जहाँ $V$ विस्थापित तरल का आयतन है (जो वस्तु के डूबे हुए भाग के आयतन के बराबर होता है),$\rho$ तरल का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि दोनों टुकड़ों पर उत्प्लावन बल $F$ समान है और वे एक ही तरल में डूबे हुए हैं (समान $\rho$ और $g$),इसलिए दोनों टुकड़ों के लिए $V$ समान होना चाहिए।
अतः,दोनों टुकड़ों का आयतन समान होना चाहिए।

(B) तैरती हुई वस्तु के लिए,वस्तु का भार विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है (आर्किमिडीज का सिद्धांत)।
मान लीजिए $V$ बेलन का कुल आयतन है,$\rho$ लकड़ी का घनत्व है,और $\sigma$ पानी का घनत्व है।
बेलन का भार $W = V \rho g$ है।
विस्थापित पानी का आयतन $V_{disp} = \frac{V}{2}$ है।
उत्प्लावन बल (buoyant force) $F_B = V_{disp} \sigma g = \frac{V}{2} \sigma g$ है।
चूंकि बेलन तैर रहा है,इसलिए $W = F_B$ होगा।
$V \rho g = \frac{V}{2} \sigma g$।
अतः,$\rho = \frac{\sigma}{2}$।
इसका अर्थ है कि लकड़ी का घनत्व पानी के घनत्व का आधा है।

(B) मान लीजिए मोमबत्ती का घनत्व $\rho_c$ है और तरल का घनत्व $\rho_l$ है। मान लीजिए मोमबत्ती की कुल लंबाई $L_0$ है और डूबी हुई लंबाई $L_s$ है। प्लवनशीलता के सिद्धांत के अनुसार,मोमबत्ती का भार विस्थापित तरल के भार के बराबर होता है:
$\rho_c \cdot A \cdot L_0 = \rho_l \cdot A \cdot L_s$
जहाँ $A$ मोमबत्ती का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है।
इसका अर्थ है $L_s = (\rho_c / \rho_l) L_0$। मान लीजिए $k = \rho_c / \rho_l$। तब $L_s = k L_0$।
तरल सतह के ऊपर मोमबत्ती के शीर्ष की ऊँचाई $h = L_0 - L_s = L_0(1 - k)$ है।
जैसे-जैसे मोमबत्ती जलती है,इसकी कुल लंबाई $L_0$ दर $v = dL_0/dt = 2 \text{ cm/hour}$ से घटती है।
मोमबत्ती के शीर्ष की ऊँचाई में परिवर्तन की दर $dh/dt = (dL_0/dt)(1 - k)$ है।
यह मानते हुए कि मोमबत्ती आधी डूबी हुई है (जैसा कि चित्र में दिखाया गया है),$k = 0.5$।
अतः,$dh/dt = 2 \text{ cm/hour} \times (1 - 0.5) = 1 \text{ cm/hour}$।
चूंकि $dh/dt$ धनात्मक है,मोमबत्ती का शीर्ष $1 \text{ cm/hour}$ की दर से नीचे गिरता है।

(B) मान लीजिए बर्फ का द्रव्यमान $M_i$ है और कांच की गेंद का द्रव्यमान $M_g$ है।
प्रारंभ में,कांच की गेंद के साथ बर्फ का टुकड़ा पानी में तैरता है। प्लवनशीलता के नियम के अनुसार,निकाय का कुल भार विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है।
कुल भार $W = (M_i + M_g)g$ है।
प्रारंभ में विस्थापित पानी का आयतन $V_1 = \frac{M_i + M_g}{\rho_w}$ है,जहाँ $\rho_w$ पानी का घनत्व है।
जब बर्फ पिघलती है,तो बर्फ $V_{iw} = \frac{M_i}{\rho_w}$ आयतन के पानी में बदल जाती है। कांच की गेंद बर्तन की तली में बैठ जाती है।
कांच की गेंद द्वारा विस्थापित पानी का आयतन $V_g = \frac{M_g}{\rho_g}$ है,जहाँ $\rho_g$ कांच की गेंद का घनत्व है।
चूंकि कांच की गेंद पानी से अधिक सघन है $(\rho_g > \rho_w)$,इसलिए डूबी हुई कांच की गेंद द्वारा विस्थापित पानी का आयतन $V_g = \frac{M_g}{\rho_g} < \frac{M_g}{\rho_w}$ होता है।
पानी के स्तर का अंतिम आयतन $V_2 = V_{iw} + V_g = \frac{M_i}{\rho_w} + \frac{M_g}{\rho_g}$ है।
$V_1$ और $V_2$ की तुलना करने पर,चूंकि $\frac{M_g}{\rho_g} < \frac{M_g}{\rho_w}$,इसलिए $V_2 < V_1$ प्राप्त होता है।
अतः,पानी का स्तर घट जाएगा।

(D) सही उत्तर $None$ of these है। जहाज का तैरना और सुई का डूबना प्लवनशीलता (flotation) के नियम और घनत्व की अवधारणा द्वारा समझाया जाता है।
प्लवनशीलता के नियम के अनुसार,यदि वस्तु के डूबे हुए भाग द्वारा विस्थापित द्रव का भार वस्तु के अपने भार के बराबर होता है,तो वस्तु तैरती है।
जहाज को इस तरह से डिज़ाइन किया जाता है कि उसका औसत घनत्व पानी के घनत्व से कम हो,जिससे वह अपने भार के बराबर पानी विस्थापित कर सके,भले ही उसका केवल एक छोटा हिस्सा ही पानी में डूबा हो।
इसके विपरीत,स्टील का घनत्व पानी के घनत्व से बहुत अधिक होता है। सुई ठोस स्टील की बनी होती है,इसलिए इसका औसत घनत्व पानी से अधिक होता है। इसलिए,सुई द्वारा विस्थापित पानी का भार सुई के भार से कम होता है,जिसके कारण यह डूब जाती है।
यह घटना मूल रूप से वस्तु के भार और उत्प्लावन बल (आर्किमिडीज का सिद्धांत) के बीच के संबंध द्वारा समझाई जाती है,जो द्रव के सापेक्ष वस्तु के घनत्व पर निर्भर करता है।

(A) पनडुब्बी का निर्माण और संचालन आर्किमिडीज के सिद्धांत पर आधारित है।
इस सिद्धांत के अनुसार,जब किसी वस्तु को किसी तरल पदार्थ में पूर्ण या आंशिक रूप से डुबोया जाता है,तो उस पर ऊपर की ओर लगने वाला उत्प्लावन बल वस्तु द्वारा विस्थापित तरल के भार के बराबर होता है।
पनडुब्बी में बैलास्ट टैंक होते हैं जिन्हें पानी या हवा से भरकर इसके समग्र घनत्व को बदला जा सकता है।
इन टैंकों में पानी की मात्रा को समायोजित करके,पनडुब्बी डूबने,सतह पर आने या एक निश्चित गहराई बनाए रखने के लिए अपनी उत्प्लावकता को नियंत्रित कर सकती है।

(D) मान लीजिए पिंड का आयतन $V$ है। तरल में प्रवेश करने से ठीक पहले पिंड का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
जब पिंड तरल में प्रवेश करता है,तो उस पर कार्य करने वाले बल उसका भार $W = Vdg$ (नीचे की ओर) और उत्प्लावन बल $F_B = VDg$ (ऊपर की ओर) हैं।
तरल के अंदर पिंड पर कार्य करने वाला नेट बल $F_{net} = F_B - W = VDg - Vdg = V(D - d)g$ है।
पिंड का मंदन $a = \frac{F_{net}}{m} = \frac{V(D - d)g}{Vd} = \left( \frac{D - d}{d} \right)g$ है।
पिंड तब स्थिर हो जाता है जब उसका वेग शून्य हो जाता है। $v = at$ का उपयोग करने पर,$t = \frac{v}{a}$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$t = \frac{\sqrt{2gh}}{\left( \frac{D - d}{d} \right)g} = \frac{\sqrt{2gh}}{g} \cdot \frac{d}{D - d} = \sqrt{\frac{2h}{g}} \cdot \frac{d}{D - d}$।

(A) बेलन के संतुलन में तैरने के लिए,इसका भार दोनों द्रवों द्वारा लगाए गए कुल उत्प्लावन बल (buoyant force) के बराबर होना चाहिए।
बेलन का भार = $V \times D \times g = (A/5) \times L \times D \times g$.
ऊपरी द्रव (घनत्व $d$) के कारण उत्प्लावन बल: $F_1 = (A/5) \times (3L/4) \times d \times g$.
निचले द्रव (घनत्व $2d$) के कारण उत्प्लावन बल: $F_2 = (A/5) \times (L/4) \times 2d \times g$.
भार को कुल उत्प्लावन बल के बराबर रखने पर:
$(A/5) \times L \times D \times g = (A/5) \times (3L/4) \times d \times g + (A/5) \times (L/4) \times 2d \times g$.
दोनों पक्षों को $(A/5) \times L \times g$ से विभाजित करने पर:
$D = (3/4)d + (1/4) \times 2d = (3/4)d + (2/4)d = (5/4)d$.
अतः,ठोस का घनत्व $D = \frac{5}{4}d$ है।

(D) प्रारंभ में,गुटका सिक्के के साथ तैरता है। प्लवन के नियम के अनुसार,गुटके और सिक्के का कुल भार उत्प्लावन बल द्वारा संतुलित होता है,जो गुटके के डूबे हुए भाग द्वारा विस्थापित पानी के भार के बराबर होता है। मान लीजिए $M$ गुटके का द्रव्यमान है और $m$ सिक्के का द्रव्यमान है। कुल भार $(M+m)g$ है। विस्थापित पानी का आयतन $V_{disp} = (M+m)/\rho_w$ है,जहाँ $\rho_w$ पानी का घनत्व है।
जब सिक्का पानी में गिरता है,तो वह डूब जाता है (यह मानते हुए कि इसका घनत्व पानी से अधिक है)। अब गुटके को केवल अपने स्वयं के भार $Mg$ को संतुलित करना है। गुटके द्वारा विस्थापित पानी का नया आयतन $V'_{disp} = M/\rho_w$ है। चूँकि $V'_{disp} < V_{disp}$,गुटके की डूबी हुई गहराई $l$ घट जाती है।
$h$ के संबंध में,प्रारंभ में विस्थापित पानी का कुल आयतन $V_{disp} = (M+m)/\rho_w$ था। सिक्के के गिरने के बाद,गुटका $M/\rho_w$ विस्थापित करता है और सिक्का अपने स्वयं के आयतन $V_c = m/\rho_c$ के बराबर पानी विस्थापित करता है। विस्थापित पानी का नया कुल आयतन $V'_{total} = M/\rho_w + m/\rho_c$ है। चूँकि सिक्के का घनत्व $\rho_c > \rho_w$ है,इसलिए $m/\rho_c < m/\rho_w$ होता है। अतः,$V'_{total} < V_{disp}$। जैसे-जैसे विस्थापित पानी का कुल आयतन घटता है,पानी का स्तर $h$ भी घट जाता है। इस प्रकार,$l$ और $h$ दोनों घटते हैं।

(C) चूंकि गोला द्रव में तैर रहा है,इसलिए इसका भार उस पर कार्य करने वाले कुल उत्प्लावन बल (upthrust force) के बराबर होगा।
माना गोले का कुल आयतन $V$ है और इसका घनत्व $\rho$ है।
गोले का भार = $V \rho g$
तेल के कारण उत्प्लावन बल = (तेल में आयतन) $\times$ (तेल का घनत्व) $\times g = (V/2) \times 0.8 \times g = 0.4 Vg$
पारे के कारण उत्प्लावन बल = (पारे में आयतन) $\times$ (पारे का घनत्व) $\times g = (V/2) \times 13.6 \times g = 6.8 Vg$
कुल उत्प्लावन बल = $0.4 Vg + 6.8 Vg = 7.2 Vg$
भार और कुल उत्प्लावन बल को बराबर करने पर:
$V \rho g = 7.2 Vg$
$\rho = 7.2 \; g/cm^3$

(A) द्रव में डूबी हुई वस्तु पर लगने वाला उत्प्लावन बल (buoyant force) निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$F_B = V \rho_{\text{liquid}} (g - a)$
जहाँ $V$ विस्थापित द्रव का आयतन है,$\rho_{\text{liquid}}$ द्रव का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $a$ प्रणाली का नीचे की ओर त्वरण है।
मुक्त पतन (free fall) के मामले में,पूरी प्रणाली (बीकर और द्रव) गुरुत्वीय त्वरण के बराबर त्वरण के साथ नीचे गिरती है,अर्थात $a = g$।
सूत्र में $a = g$ रखने पर:
$F_B = V \rho_{\text{liquid}} (g - g) = V \rho_{\text{liquid}} (0) = 0$।
अतः,वस्तु पर लगने वाला उत्प्लावन बल शून्य है।

(A) मान लीजिए $L$ छड़ की कुल लंबाई है। छड़ एकसमान है,इसलिए इसका भार $W = A L \rho g$ इसके द्रव्यमान केंद्र पर कार्य करता है,जो निचले सिरे $P$ से $L/2$ की दूरी पर है।
मान लीजिए $l$ तरल में डूबी हुई छड़ की लंबाई है। तरल की गहराई $h = L/2$ है। ज्यामिति से,$\sin \theta = h/l = (L/2)/l = L/(2l)$,जिसका अर्थ है $l = L/(2 \sin \theta)$।
उत्प्लावन बल $F_B = A l \rho_0 g$ डूबे हुए भाग के केंद्र पर कार्य करता है,जो निचले सिरे $P$ से $l/2$ की दूरी पर है।
निचले सिरे $P$ के परितः घूर्णी संतुलन के लिए,भार के कारण आघूर्ण को उत्प्लावन बल के कारण आघूर्ण के बराबर होना चाहिए:
$W \cdot (L/2) \cos \theta = F_B \cdot (l/2) \cos \theta$
$(A L \rho g) \cdot (L/2) \cos \theta = (A l \rho_0 g) \cdot (l/2) \cos \theta$
$L^2 \rho = l^2 \rho_0$
$(l/L)^2 = \rho / \rho_0$
$l = L/(2 \sin \theta)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(1 / (2 \sin \theta))^2 = \rho / \rho_0$
$1 / (4 \sin^2 \theta) = \rho / \rho_0$
$\sin^2 \theta = \frac{1}{4} \cdot \frac{\rho_0}{\rho}$
$\sin \theta = \frac{1}{2} \sqrt{\frac{\rho_0}{\rho}}$

(B) माना बर्फ के टुकड़े का द्रव्यमान $M$ है।
प्लवन के सिद्धांत के अनुसार,बर्फ का भार विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है।
अतः,$M \cdot g = V_D \cdot \sigma_L \cdot g$,जहाँ $V_D$ विस्थापित द्रव का आयतन है और $\sigma_L$ द्रव का घनत्व है।
इसलिए,$V_D = \frac{M}{\sigma_L}$।
जब बर्फ पिघलती है,तो यह $M$ द्रव्यमान का पानी बनाती है। इस पानी का आयतन $V_F = \frac{M}{\sigma_W}$ है,जहाँ $\sigma_W$ पानी का घनत्व $(1 \ g/cm^3)$ है।
यहाँ $\sigma_L = 1.2 \ g/cm^3$ और $\sigma_W = 1 \ g/cm^3$ दिया गया है,इसलिए $\sigma_L > \sigma_W$ है।
आयतन की तुलना करने पर: चूँकि $\sigma_L > \sigma_W$ है,इसलिए $\frac{M}{\sigma_L} < \frac{M}{\sigma_W}$ होगा,जिसका अर्थ है कि $V_D < V_F$ है।
चूँकि बने हुए पानी का आयतन $(V_F)$ तैरती हुई बर्फ द्वारा विस्थापित द्रव के आयतन $(V_D)$ से अधिक है,इसलिए बीकर में द्रव का स्तर ऊपर उठ जाएगा।

(A) छड़ का प्रतिरोध $R = \rho \frac{L}{A}$ द्वारा दिया जाता है। चूंकि पदार्थ $(\rho)$ और लंबाई $(L)$ समान हैं,इसलिए $R \propto \frac{1}{A}$ है।
दिया गया है कि $\frac{R_1}{R_2} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{A_1}{A_2} = \frac{R_2}{R_1} = 2$,जिसका अर्थ है कि $A_1 = 2A_2$ है।
जब किसी वस्तु को पानी में डुबोया जाता है,तो भार में कमी उत्प्लावन बल के बराबर होती है,जो $F_B = V \sigma_L g = A L \sigma_L g$ है,जहाँ $V$ आयतन है,$\sigma_L$ तरल का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि $L$,$\sigma_L$ और $g$ दोनों छड़ों के लिए समान हैं,इसलिए भार में कमी अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ के सीधे आनुपातिक है।
अतः,$\frac{\text{भार में कमी}_1}{\text{भार में कमी}_2} = \frac{A_1}{A_2} = 2$ है।
चूंकि अनुपात $2$ है,इसलिए छड़ $A$ के भार में अधिक कमी होती है।

(A) छड़ का प्रतिरोध $R = \rho \frac{l}{A}$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि आयतन $V = A \cdot l$,हम $A = \frac{V}{l}$ लिख सकते हैं।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,$R = \rho \frac{l^2}{V}$ प्राप्त होता है।
घनत्व $\sigma = \frac{m}{V}$ होने के कारण,$V = \frac{m}{\sigma}$ होता है।
अतः,$R = \rho \frac{l^2 \sigma}{m}$।
चूंकि दोनों छड़ों की लंबाई $l$ और पदार्थ (घनत्व $\sigma$ और प्रतिरोधकता $\rho$) समान हैं,इसलिए $R \propto \frac{1}{m}$ होगा।
दिया गया है कि $R_A : R_B = 1 : 2$,अतः $m_A : m_B = 2 : 1$ होगा,जिसका अर्थ है कि $m_A > m_B$ है।
पानी में डुबोने पर भार में कमी विस्थापित पानी के भार के बराबर होती है,जो $W_{loss} = V_{rod} \cdot \sigma_{water} \cdot g = \frac{m}{\sigma_{rod}} \cdot \sigma_{water} \cdot g$ है।
चूंकि $m_A > m_B$ है,इसलिए छड़ $A$ के भार में होने वाली कमी $B$ की तुलना में अधिक होगी।

(C) द्रव में डूबे हुए पिंड का आभासी भार $W_{app} = V(\rho - \sigma)g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V$ आयतन है,$\rho$ पिंड का घनत्व है और $\sigma$ द्रव का घनत्व है।
चूंकि $V = m/\rho$,आभासी भार $W_{app} = \frac{m}{\rho}(\rho - \sigma)g = m(1 - \frac{\sigma}{\rho})g$ होता है।
यह दिया गया है कि दोनों पिंड पानी में संतुलन में हैं,इसलिए उनके आभासी भार समान होने चाहिए:
$m_1(1 - \frac{\sigma}{\rho_1}) = m_2(1 - \frac{\sigma}{\rho_2})$
दिया गया है: $m_1 = 36 \, g$,$\rho_1 = 9 \, g/cm^{3}$,$m_2 = 48 \, g$,और $\sigma = 1 \, g/cm^{3}$ (पानी का घनत्व)।
मान रखने पर:
$36(1 - \frac{1}{9}) = 48(1 - \frac{1}{\rho_2})$
$36(\frac{8}{9}) = 48(\frac{\rho_2 - 1}{\rho_2})$
$32 = 48(\frac{\rho_2 - 1}{\rho_2})$
$\frac{32}{48} = \frac{\rho_2 - 1}{\rho_2}$
$\frac{2}{3} = 1 - \frac{1}{\rho_2}$
$\frac{1}{\rho_2} = 1 - \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$
$\rho_2 = 3 \, g/cm^{3}$।

(A) बेलन के संतुलन में तैरने के लिए,बेलन का भार दोनों द्रवों द्वारा लगाए गए कुल उत्प्लावन बल के बराबर होना चाहिए।
माना $A_c = A/5$ बेलन का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है।
ऊपरी द्रव (घनत्व $d$) में डूबी बेलन की लंबाई $3L/4$ है।
निचले द्रव (घनत्व $2d$) में डूबी बेलन की लंबाई $L/4$ है।
बेलन का भार = $V_{total} \times D \times g = (A_c \times L) \times D \times g = (A/5) \times L \times D \times g$.
उत्प्लावन बल = (विस्थापित ऊपरी द्रव का भार) + (विस्थापित निचले द्रव का भार)
उत्प्लावन बल = $(A_c \times 3L/4) \times d \times g + (A_c \times L/4) \times 2d \times g$
उत्प्लावन बल = $(A/5) \times (3L/4) \times d \times g + (A/5) \times (L/4) \times 2d \times g$
भार और उत्प्लावन बल को बराबर करने पर:
$(A/5) \times L \times D \times g = (A/5) \times g \times [ (3L/4) \times d + (L/4) \times 2d ]$
$L \times D = (3L/4) \times d + (2L/4) \times d$
$L \times D = (5L/4) \times d$
$D = 5/4 d$

(C) माना गोले का कुल आयतन $V$ है और गोले का घनत्व $\rho$ है।
प्लवन के सिद्धांत के अनुसार,गोले का भार दोनों द्रवों द्वारा लगाए गए कुल उत्प्लावन बल के बराबर होता है।
गोले का भार = $V \rho g$
तेल के कारण उत्प्लावन बल = $(\frac{V}{2}) \rho_{\text{oil}} g$
पारे के कारण उत्प्लावन बल = $(\frac{V}{2}) \rho_{\text{Hg}} g$
बलों को बराबर करने पर: $V \rho g = \frac{V}{2} \rho_{\text{oil}} g + \frac{V}{2} \rho_{\text{Hg}} g$
$Vg$ से विभाजित करने पर: $\rho = \frac{\rho_{\text{oil}} + \rho_{\text{Hg}}}{2}$
मान रखने पर: $\rho = \frac{0.8 + 13.6}{2} = \frac{14.4}{2} = 7.2 \text{ g/cm}^3$.

(C) प्लवन के सिद्धांत के अनुसार, वस्तु का भार वस्तु के डूबे हुए भाग द्वारा विस्थापित द्रव के भार के बराबर होता है।
मान लीजिए $V_{in}$ द्रव में डूबी हुई वस्तु का आयतन है।
वस्तु का भार = $V_0 d_0 g$.
विस्थापित द्रव का भार = $V_{in} d g$.
दोनों को बराबर करने पर: $V_0 d_0 g = V_{in} d g$.
इससे $V_{in} = V_0 \frac{d_0}{d}$ प्राप्त होता है।
द्रव के बाहर वस्तु का आयतन $V_{out} = V_0 - V_{in}$ है।
$V_{in}$ का मान रखने पर: $V_{out} = V_0 - V_0 \frac{d_0}{d} = V_0 \left( 1 - \frac{d_0}{d} \right) = V_0 \left( \frac{d - d_0}{d} \right)$.
द्रव के बाहर रहने वाले आयतन का अंश $\frac{V_{out}}{V_0} = \frac{d - d_0}{d}$ है।

(C) माना $d$ बेलन का घनत्व है और $A$ बेलन के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है।
प्लवन के नियम के अनुसार,बेलन का भार दोनों द्रवों द्वारा लगाए गए कुल उत्प्लावन बल के बराबर होता है।
बेलन का भार = $L \times A \times d \times g$
अधिक घनत्व वाले द्रव (घनत्व $n\rho$) द्वारा उत्प्लावन बल = $(pL \times A) \times n\rho \times g$
कम घनत्व वाले द्रव (घनत्व $\rho$) द्वारा उत्प्लावन बल = $((L - pL) \times A) \times \rho \times g$
भार को कुल उत्प्लावन बल के बराबर रखने पर:
$L \times A \times d \times g = (pL \times A) \times n\rho \times g + ((L - pL) \times A) \times \rho \times g$
दोनों पक्षों को $A \times L \times g$ से विभाजित करने पर:
$d = p \times n\rho + (1 - p) \times \rho$
$d = np\rho + \rho - p\rho$
$d = [1 + (n - 1)p]\rho$

(C) गोले पर कार्य करने वाले बल उसका भार $(W = Vdg)$ जो नीचे की ओर कार्य करता है और उत्प्लावन बल $(F_B = V\rho g)$ जो ऊपर की ओर कार्य करता है,जहाँ $V$ गोले का आयतन है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,कुल बल $F_{net} = ma = Vda$ होता है।
$Vda = Vdg - V\rho g$
दोनों पक्षों को $Vd$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a = g - \frac{\rho g}{d} = g \left( 1 - \frac{\rho}{d} \right) = g \left( \frac{d - \rho}{d} \right)$.
अतः,गोला $g \left( \frac{d - \rho}{d} \right)$ के त्वरण के साथ ऊर्ध्वाधर नीचे गिरेगा।

(D) स्प्रिंग बैलेंस की रीडिंग पानी में डूबे हुए ब्लॉक के आभासी वजन को दर्शाती है।
आभासी वजन = वास्तविक वजन - उत्प्लावन बल (Upthrust)।
हवा में ब्लॉक का वास्तविक वजन $W = 12\, N$ है।
उत्प्लावन बल $F_B = V_{sub} \cdot \rho_w \cdot g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $V_{sub}$ डूबा हुआ आयतन है,$\rho_w$ पानी का घनत्व $(1000\, kg/m^3)$ है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण $(10\, m/s^2)$ है।
दिया गया है कि $V = 1000\, cm^3 = 10^{-3}\, m^3$,और चूंकि ब्लॉक का आधा हिस्सा डूबा हुआ है,इसलिए $V_{sub} = 0.5 \times 10^{-3}\, m^3 = 500 \times 10^{-6}\, m^3$ है।
$F_B = (500 \times 10^{-6}\, m^3) \times (10^3\, kg/m^3) \times (10\, m/s^2) = 5\, N$।
आभासी वजन = $12\, N - 5\, N = 7\, N$।

(A) गेंद का आयतन $V = \frac{4}{3}\pi r^3$ है। गेंद का घनत्व $\sigma = 0.5\rho$ है।
प्रारंभ में,गेंद अपने आधे आयतन के साथ तैरती है। उत्प्लावन बल $F_B = V_{submerged} \rho g = (V/2)\rho g = (2/3)\pi r^3 \rho g$ है। संतुलन में होने के कारण,गेंद का भार $W = V \sigma g = V(0.5\rho)g = (2/3)\pi r^3 \rho g$ है। अतः,$F_B = W$ है।
गेंद को पूरी तरह से डुबोने के लिए,हमें शुद्ध उत्प्लावन बल को दूर करने के लिए एक बाहरी बल लगाना होगा। किया गया कार्य प्रणाली की स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर होता है।
जब गेंद को $x$ दूरी तक नीचे धकेला जाता है,तो अतिरिक्त डूबा हुआ आयतन $A(x)dx$ होता है। किया गया कार्य $W = \int_{0}^{r} F_{ext} dx$ है। किसी भी गहराई $y$ पर आवश्यक शुद्ध बल $F_{ext} = F_{buoyant} - Weight = (V_{submerged}(y) - V_{submerged, initial})\rho g$ है।
विस्थापन पर बल का समाकलन करने पर,किया गया कार्य $W = \frac{5}{12}\pi r^4 \rho g$ प्राप्त होता है।