Velocity of Efflux and Torricelli's law Questions in Hindi

(B) बाल्टी के तल में छेद से पानी के बहने की दर टोरिसेली के नियम $v = \sqrt{2gh_{eff}}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $g_{eff}$ गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण है।
स्थिर लिफ्ट में,प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g$ होता है। अतः,$R_0 \propto \sqrt{g}$।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर चलती है,तो प्रभावी गुरुत्वाकर्षण $g_{eff} = g + a$ हो जाता है। चूँकि $g + a > g$,इसलिए प्रवाह की दर $R_u$ बढ़ जाती है,यानी $R_u > R_0$।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ नीचे की ओर चलती है,तो प्रभावी गुरुत्वाकर्षण $g_{eff} = g - a$ हो जाता है। चूँकि $g - a < g$,इसलिए प्रवाह की दर $R_d$ कम हो जाती है,यानी $R_d < R_0$।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $R_u > R_0 > R_d$ प्राप्त होता है।

(B) टोरिसेली के नियम के अनुसार,मुक्त सतह से $h$ गहराई पर स्थित एक छोटे छिद्र से बाहर निकलने वाले द्रव का वेग $v$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$v = \sqrt{2gh}$
दिया गया है:
बेलन की ऊँचाई $h = 20\;m$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\;m/s^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 20}$
$v = \sqrt{400}$
$v = 20\;m/s$
अतः,बाहर निकलने वाले पानी का वेग $20\;m/s$ है।

(A) टंकी के तल पर कुल दाब $P = P_{\text{atm}} + h\rho g = 3 \times 10^5 \text{ N/m}^2$ है।
चूंकि वायुमंडलीय दाब $P_{\text{atm}} = 1 \times 10^5 \text{ N/m}^2$ है,इसलिए द्रव स्तंभ के कारण गेज दाब $P_l = h\rho g = P - P_{\text{atm}} = 3 \times 10^5 - 1 \times 10^5 = 2 \times 10^5 \text{ N/m}^2$ होगा।
टोरीसेली के नियम के अनुसार बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
चूंकि $P_l = h\rho g$,इसलिए $h = \frac{P_l}{\rho g}$ होगा।
वेग के सूत्र में मान रखने पर: $v = \sqrt{2g \left( \frac{P_l}{\rho g} \right)} = \sqrt{\frac{2P_l}{\rho}}$.
पानी का घनत्व $\rho = 10^3 \text{ kg/m}^3$ लेने पर,$v = \sqrt{\frac{2 \times 2 \times 10^5}{10^3}} = \sqrt{4 \times 10^2} = \sqrt{400} \text{ m/s}$ प्राप्त होता है।

(C) अनुप्रस्थ काट वाले बेलनाकार बर्तन को $A_0$ क्षेत्रफल वाले तल के छेद से $H$ ऊँचाई तक भरे होने पर खाली करने में लगा समय $t$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$t = \frac{A}{A_0} \sqrt{\frac{2H}{g}}$
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि समय $t$,ऊँचाई $H$ के वर्गमूल के समानुपाती है:
$t \propto \sqrt{H}$
अतः,$H_2 = 4h$ और $H_1 = h$ ऊँचाई के लिए समय $t_2$ और $t_1$ का अनुपात:
$\frac{t_2}{t_1} = \sqrt{\frac{H_2}{H_1}} = \sqrt{\frac{4h}{h}} = \sqrt{4} = 2$
इस प्रकार,$t_2 = 2t_1 = 2t$.

(A) टैंक में पानी की ऊँचाई तब अधिकतम हो जाती है जब टैंक में प्रति सेकंड आने वाले पानी का आयतन, बाहर निकलने वाले पानी के आयतन के बराबर हो जाता है।
प्रति सेकंड बाहर निकलने वाले पानी का आयतन $Q_{out} = A \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $A = 1 \, cm^2$ छेद का क्षेत्रफल है, $g = 980 \, cm/s^2$ गुरुत्वीय त्वरण है और $h$ पानी की ऊँचाई है।
प्रति सेकंड अंदर आने वाले पानी का आयतन $Q_{in} = 70 \, cm^3/s$ है।
अधिकतम ऊँचाई पर, $Q_{in} = Q_{out}$।
$70 = 1 \times \sqrt{2 \times 980 \times h}$
$70 = \sqrt{1960 \times h}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $4900 = 1960 \times h$
$h = \frac{4900}{1960} = 2.5 \, cm$.

(C) छेद से बाहर निकलने वाले पानी का वेग (बहिःस्राव का वेग) टोरिसेली के नियम के अनुसार $v = \sqrt{2gD}$ है।
टैंक के तल से छेद की ऊँचाई $(H - D)$ है।
पानी को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t$ मुक्त रूप से गिरती हुई वस्तु के गति के समीकरण का उपयोग करके निकाला जा सकता है: $(H - D) = \frac{1}{2}gt^2$,जिससे $t = \sqrt{\frac{2(H - D)}{g}}$ प्राप्त होता है।
पानी द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $x$,क्षैतिज वेग और जमीन तक पहुँचने में लगे समय का गुणनफल है:
$x = v \times t$
$x = \sqrt{2gD} \times \sqrt{\frac{2(H - D)}{g}}$
$x = \sqrt{2gD \times \frac{2(H - D)}{g}}$
$x = \sqrt{4D(H - D)}$
$x = 2\sqrt{D(H - D)}$

(B) $H$ कुल ऊंचाई वाले पात्र में द्रव की मुक्त सतह से $y$ गहराई पर स्थित एक छोटे छेद से निकलने वाले पानी की क्षैतिज परास $R = 2\sqrt{y(H-y)}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,पानी के स्तंभ की कुल ऊंचाई $H = 90 \ cm$ है।
छेद तल से $h_1 = 20 \ cm, h_2 = 30 \ cm, h_3 = 45 \ cm$ और $h_4 = 50 \ cm$ की ऊंचाई पर हैं।
मुक्त सतह से प्रत्येक छेद की गहराई $y = H - h$ है।
छेद $1$ के लिए: $y_1 = 90 - 20 = 70 \ cm$।
छेद $2$ के लिए: $y_2 = 90 - 30 = 60 \ cm$।
छेद $3$ के लिए: $y_3 = 90 - 45 = 45 \ cm$।
छेद $4$ के लिए: $y_4 = 90 - 50 = 40 \ cm$।
क्षैतिज परास तब अधिकतम होती है जब गहराई $y$ कुल ऊंचाई की आधी हो,अर्थात $y = H/2 = 90/2 = 45 \ cm$।
गहराइयों की तुलना करने पर,छेद $3$ मुक्त सतह से $45 \ cm$ की गहराई पर है।
अतः,अधिकतम क्षैतिज दूरी पर गिरने वाला पानी छेद $3$ से आता है।

(B) टोरिसेली के नियम के अनुसार,बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
प्रवाह की दर $\frac{dV}{dt} = A_0 v = A_0 \sqrt{2gh}$ है,जहाँ $A_0$ छिद्र का क्षेत्रफल है।
चूँकि $V = Ah$ (जहाँ $A$ पात्र का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है),हमें प्राप्त होता है $A \frac{dh}{dt} = -A_0 \sqrt{2gh}$।
इसका समाकलन करने पर,$H$ ऊँचाई वाले पात्र को खाली करने में लगा समय $t = \frac{A}{A_0} \sqrt{\frac{2H}{g}}$ होता है।
अतः,$t \propto \sqrt{H}$।
ऊँचाई $H$ के लिए $t_1 = 10 \text{ मिनट}$ दिया गया है,तो ऊँचाई $H/2$ के लिए समय $t_2$ होगा:
$t_2 = t_1 \sqrt{\frac{H/2}{H}} = \frac{t_1}{\sqrt{2}}$।
$t_2 = \frac{10}{\sqrt{2}} = 5\sqrt{2} \approx 5 \times 1.414 = 7.07 \text{ मिनट}$।
निकटतम पूर्णांक में,समय $7 \text{ मिनट}$ है।

(C) माना $A$ छेद का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है,$v$ बहिःस्राव का प्रारंभिक वेग है,और $d$ पानी का घनत्व है।
टोरिसेली के नियम के अनुसार,बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
प्रति सेकंड बाहर निकलने वाले पानी का आयतन $V = Av$ है।
प्रति सेकंड बाहर निकलने वाले पानी का द्रव्यमान $m = Avd$ है।
संवेग परिवर्तन की दर (प्रणोद बल) $F = \frac{dp}{dt} = (Avd)v = Adv^2$ है।
पानी की धारा की प्रतिक्रिया के कारण यह प्रणोद बल बेलन पर ऊपर की ओर कार्य करता है।
$v^2 = 2gh$ प्रतिस्थापित करने पर,ऊपर की ओर लगने वाला प्रतिक्रिया बल $F = Ad(2gh) = 2Adgh$ है।
यहाँ $A = \frac{1}{4} \ cm^2$,$d = 1 \ g/cm^3$,$g = 980 \ cm/s^2$,और $h = 25 \ cm$ दिया गया है।
$F = 2 \times \frac{1}{4} \times 1 \times 980 \times 25 = 12250 \ dynes$।
चूंकि $1 \ gm-wt = 980 \ dynes$,इसलिए $gm-wt$ में बल $F = \frac{12250}{980} = 12.5 \ gm-wt$ होगा।
चूंकि यह बल ऊपर की ओर कार्य करता है,इसलिए यह तराजू पर बेलन के प्रभावी भार में कमी लाता है।

(C) मान लीजिए कि ऊपरी छिद्र $A$ और निचले छिद्र $B$ से बाहर निकलने वाले द्रव का वेग क्रमशः $v_A$ और $v_B$ है।
संवेग संरक्षण के नियम के अनुसार,द्रव जेट द्वारा लगाया गया बल संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है,$F = \frac{dp}{dt} = \rho a v^2$।
चूंकि छिद्र विपरीत दिशाओं में हैं,इसलिए बल विपरीत दिशाओं में कार्य करते हैं। पात्र को संतुलन में रखने के लिए आवश्यक कुल बल $F$ है:
$F = F_B - F_A = \rho a v_B^2 - \rho a v_A^2 = \rho a (v_B^2 - v_A^2)$
दोनों छिद्रों के बीच बर्नौली प्रमेय लागू करने पर,जहाँ $h$ उनके बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी है:
$P_A + \frac{1}{2}\rho v_A^2 + \rho g h_A = P_B + \frac{1}{2}\rho v_B^2 + \rho g h_B$
दोनों छिद्रों पर दबाव को वायुमंडलीय दबाव $(P_A = P_B = P_{atm})$ मानने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{2}\rho v_A^2 + \rho g h = \frac{1}{2}\rho v_B^2 + 0$ (निचले छिद्र को संदर्भ स्तर $0$ मानते हुए)
$v_B^2 - v_A^2 = 2gh$
इस मान को बल के समीकरण में रखने पर:
$F = \rho a (2gh) = 2\rho agh$।

(A) टोरिसेली के नियम के अनुसार,$h$ ऊँचाई पर द्रव के बाहर निकलने का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
छिद्र से बाहर निकलने वाले द्रव के आयतन की दर $dV/dt = a \cdot v = a \sqrt{2gh}$ है।
जैसे-जैसे स्तर गिरता है,पात्र में द्रव का आयतन कम होता है,इसलिए $dV = -A \cdot dh$ (जहाँ $dh$ ऊँचाई में परिवर्तन है)।
$dV/dt$ के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर: $-A \cdot dh = a \sqrt{2gh} \cdot dt$.
$dt$ के लिए व्यवस्थित करने पर: $dt = -\frac{A}{a \sqrt{2g}} \cdot h^{-1/2} \cdot dh$.
कुल समय $t$ ज्ञात करने के लिए $H_1$ से $H_2$ तक समाकलन करने पर: $t = \int_{0}^{t} dt = -\frac{A}{a \sqrt{2g}} \int_{H_1}^{H_2} h^{-1/2} \cdot dh$.
$t = \frac{A}{a \sqrt{2g}} \int_{H_2}^{H_1} h^{-1/2} \cdot dh = \frac{A}{a \sqrt{2g}} [2\sqrt{h}]_{H_2}^{H_1}$.
$t = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} [\sqrt{H_1} - \sqrt{H_2}]$.

(C) पानी के स्तर को ऊँचाई $H_1$ से $H_2$ तक गिरने में लगा समय $t$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $t = \frac{A}{A_0} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{H_1} - \sqrt{H_2})$,जहाँ $A$ पात्र का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है और $A_0$ छेद का क्षेत्रफल है।
प्रथम अंतराल के लिए ($h$ से $\frac{h}{2}$): $t_1 = \frac{A}{A_0} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{h} - \sqrt{\frac{h}{2}})$.
द्वितीय अंतराल के लिए ($\frac{h}{2}$ से $0$): $t_2 = \frac{A}{A_0} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{\frac{h}{2}} - 0)$.
अनुपात लेने पर: $\frac{t_1}{t_2} = \frac{\sqrt{h} - \sqrt{\frac{h}{2}}}{\sqrt{\frac{h}{2}}} = \frac{1 - \frac{1}{\sqrt{2}}}{\frac{1}{\sqrt{2}}} = \sqrt{2} - 1$.

(B) टोरिसेली के नियम के अनुसार,मुक्त सतह से $h$ गहराई पर स्थित छेद से बाहर निकलने वाले द्रव का वेग $v$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v = \sqrt{2gh}$।
दिया गया है:
ऊँचाई $h = 20 \ m$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 20}$
$v = \sqrt{400}$
$v = 20 \ m/s$।
अतः,बाहर निकलने वाले पानी का वेग $20 \ m/s$ होगा।

(B) टंकी के तल पर दबाव $P = h \rho g = 3 \times 10^{5} \, N/m^{2}$ द्वारा दिया जाता है।
टोरिसेली के नियम के अनुसार,बहिःस्राव (efflux) का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
चूंकि $P = h \rho g$,हम $h = P / (\rho g)$ लिख सकते हैं।
इस मान को वेग के सूत्र में रखने पर: $v = \sqrt{2g(P / \rho g)} = \sqrt{2P / \rho}$।
पानी का घनत्व $\rho = 10^{3} \, kg/m^{3}$ और $P = 3 \times 10^{5} \, N/m^{2}$ दिया गया है।
अतः,$v = \sqrt{(2 \times 3 \times 10^{5}) / 10^{3}} = \sqrt{6 \times 10^{2}} = \sqrt{600} \, m/s$।

(C) अनुप्रस्थ काट वाले पात्र से $A_0$ अनुप्रस्थ काट वाले छिद्र के माध्यम से $H$ ऊँचाई से पानी खाली होने में लगा समय $t$ इस सूत्र द्वारा दिया जाता है: $t = \frac{A}{A_0} \sqrt{\frac{2H}{g}}$.
इस संबंध से,हम देख सकते हैं कि समय $t$ ऊँचाई के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक है,अर्थात $t \propto \sqrt{H}$.
प्रारंभिक ऊँचाई $H_1 = h$ और समय $t_1 = t$ दिया गया है।
नई ऊँचाई $H_2 = 4h$ के लिए,मान लीजिए समय $t_2$ है।
अनुपात का उपयोग करते हुए: $\frac{t_2}{t_1} = \sqrt{\frac{H_2}{H_1}} = \sqrt{\frac{4h}{h}} = \sqrt{4} = 2$.
अतः,$t_2 = 2t$.

(A) टोरिसेली के नियम के अनुसार छेद से बाहर निकलने वाले पानी की दर: $Q_{out} = A \cdot v = A \sqrt{2gh}$ है।
पात्र में पानी डालने की दर $Q_{in} = 70 \, cm^3/s$ दी गई है।
जब पानी का स्तर अधिकतम ऊँचाई पर होता है, तो अंदर आने वाले पानी की दर और बाहर जाने वाले पानी की दर समान होती है: $Q_{in} = Q_{out}$।
मान रखने पर: $70 = 1 \times \sqrt{2 \times 980 \times h}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $70^2 = 2 \times 980 \times h$।
$4900 = 1960 \times h$।
$h = \frac{4900}{1960} = 2.5 \, cm$।

(D) टॉरिसली के नियम के अनुसार छिद्र से निकलने वाले द्रव का वेग: $v = \sqrt{2gy}$ है।
जमीन से छिद्र की ऊँचाई $(h - y) + h = 2h - y$ है। द्रव को जमीन तक पहुँचने में लगा समय:
$t = \sqrt{\frac{2(2h - y)}{g}}$.
क्षैतिज परास $x$ क्षैतिज वेग और समय का गुणनफल है:
$x = v \cdot t = \sqrt{2gy} \cdot \sqrt{\frac{2(2h - y)}{g}} = \sqrt{4y(2h - y)}$.
अधिकतम परास ज्ञात करने के लिए,हम $y$ के सापेक्ष $x^2$ का अधिकतम मान प्राप्त करते हैं:
$x^2 = 4y(2h - y) = 8hy - 4y^2$.
$y$ के सापेक्ष अवकलन करने और शून्य के बराबर रखने पर:
$\frac{d(x^2)}{dy} = 8h - 8y = 0 \implies y = h$.
$x$ के समीकरण में $y = h$ रखने पर:
$x_m = \sqrt{4h(2h - h)} = \sqrt{4h^2} = 2h$.
चूंकि $y = h$ और $x_m = 2h$ दोनों सही हैं,इसलिए सही विकल्प $(d)$ है।

(A) छेद के ऊपर पानी के स्तर की ऊंचाई $D$ है। जमीन से छेद की ऊंचाई $(H-D)$ है।
टोरिसेली के नियम का उपयोग करते हुए,छेद से निकलने वाली पानी की धार का वेग $v = \sqrt{2gD}$ है।
पानी की धार को $(H-D)$ ऊंचाई से जमीन तक पहुंचने में लगा समय $t$,गति के समीकरण $S = ut + \frac{1}{2}at^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $S = H-D$,$u = 0$,और $a = g$ है।
$H-D = 0 + \frac{1}{2}gt^2 \implies t = \sqrt{\frac{2(H-D)}{g}}$.
क्षैतिज दूरी $x$ (परास) क्षैतिज वेग और समय का गुणनफल है:
$x = v \times t = \sqrt{2gD} \times \sqrt{\frac{2(H-D)}{g}}$.
$x = \sqrt{2gD \times \frac{2(H-D)}{g}} = \sqrt{4D(H-D)} = 2\sqrt{D(H-D)}$.

(D) टोरिसेली के प्रमेय के अनुसार,बहिर्वाह का वेग यानी वह वेग जिससे तरल एक छेद से बाहर निकलता है,$\sqrt{2gh}$ के बराबर होता है,जहाँ $h$ तरल सतह के नीचे छेद की गहराई है।
मान लीजिए घन की भुजा $a$ है। जब बक्सा भरा होता है,तो तरल सतह के नीचे टोंटी की गहराई $h = a$ है। इसलिए,प्रारंभिक वेग:
$v_0 = \sqrt{2ga}$
जब घनाकार बक्सा आधा खाली होता है और इसे $45^{\circ}$ पर झुकाया जाता है ताकि टोंटी सबसे निचले बिंदु पर हो,तो तरल सतह घन के विकर्ण से गुजरने वाला एक समतल बनाती है। टोंटी के ऊपर तरल सतह की ऊँचाई निचले कोने से विकर्ण समतल तक की दूरी के बराबर होती है,जो घन के फलक विकर्ण की लंबाई की आधी है:
$h' = \frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}}$
अब,टोंटी से वाइन का वेग:
$v' = \sqrt{2gh'} = \sqrt{2g \left( \frac{a}{\sqrt{2}} \right)} = \sqrt{\frac{2ga}{\sqrt{2}}} = \frac{\sqrt{2ga}}{\sqrt[4]{2}} = \frac{v_0}{\sqrt[4]{2}}$

(B) आरेख के अनुसार,नली ऊपर से वायुमंडल में खुली है और इसका निचला सिरा छेद से $h = 20 \ cm = 0.2 \ m$ की गहराई पर पानी में डूबा हुआ है।
नली में पानी की सतह (जो वायुमंडलीय दबाव $P_0$ पर है) और छेद (जो भी वायुमंडलीय दबाव $P_0$ पर है) के बीच बर्नौली का प्रमेय लागू करने पर:
$P_0 + \rho g h + 0 = P_0 + 0 + \frac{1}{2} \rho v^2$
यहाँ,$h$ नली में पानी के स्तर और छेद के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी है।
$v^2 = 2gh$
$v = \sqrt{2gh}$
यहाँ $g = 10 \ m/s^2$ और $h = 0.2 \ m$ दिया गया है:
$v = \sqrt{2 \times 10 \times 0.2} = \sqrt{4} = 2 \ m/s$.

(C) अनुप्रस्थ काट वाली टंकी में $a$ अनुप्रस्थ काट वाले छिद्र से पानी का स्तर $H_1$ से $H_2$ तक कम होने में लगा समय $t = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{H_1} - \sqrt{H_2})$ होता है।
प्रथम अंतराल के लिए,ऊँचाई $H$ से घटकर $H/\eta$ हो जाती है। अतः,$T_1 = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{H} - \sqrt{H/\eta})$.
दूसरे अंतराल के लिए,ऊँचाई $H/\eta$ से घटकर $0$ हो जाती है। अतः,$T_2 = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} (\sqrt{H/\eta} - \sqrt{0}) = \frac{A}{a} \sqrt{\frac{2}{g}} \sqrt{H/\eta}$.
दिया गया है कि $T_1 = T_2$,इसलिए:
$\sqrt{H} - \sqrt{H/\eta} = \sqrt{H/\eta}$.
$\sqrt{H} = 2\sqrt{H/\eta}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$H = 4(H/\eta)$.
अतः,$\eta = 4$.

(D) टोरिसेली के नियम के अनुसार,बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
बर्तन में पानी के आयतन के परिवर्तन की दर $\frac{dV}{dt} = -A_h v$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A_h$ छेद का क्षेत्रफल है और $A$ बर्तन का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है।
$A \frac{dh}{dt} = -A_h \sqrt{2gh}$
इस समीकरण का $H$ से $0$ ऊँचाई तक $t_0$ समय में समाकलन करने पर:
$\int_{H}^{0} \frac{dh}{\sqrt{h}} = -\frac{A_h}{A} \sqrt{2g} \int_{0}^{t_0} dt$
$2\sqrt{H} = \frac{A_h}{A} \sqrt{2g} \cdot t_0$
इसका अर्थ है कि $t_0 \propto \sqrt{H}$।
नई ऊँचाई $H' = 4H$ के लिए,नया समय $t'$ इस प्रकार होगा:
$\frac{t'}{t_0} = \sqrt{\frac{H'}{H}} = \sqrt{\frac{4H}{H}} = 2$
अतः,$t' = 2t_0$।

(C) माना टैंक में तरल की ऊँचाई $H$ है और छेद का क्षेत्रफल $A_h$ है। टैंक के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_t = N A_h$ है।
केंद्र में (गहराई $h = H/2$ पर) छेद से बाहर निकलने वाले तरल का वेग $v$,टोरिसेली के नियम के अनुसार है: $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2g(H/2)} = \sqrt{gH}$।
तरल के बाहर निकलने के कारण टैंक पर लगने वाला बल $F = \rho A_h v^2$ है,जहाँ $\rho$ तरल का घनत्व है।
$v^2 = gH$ रखने पर,हमें $F = \rho A_h (gH)$ प्राप्त होता है।
टैंक में तरल का द्रव्यमान $M = \rho V = \rho (A_t H) = \rho (N A_h H)$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार टैंक का प्रारंभिक त्वरण $a = \frac{F}{M}$ है।
$a = \frac{\rho A_h g H}{\rho N A_h H} = \frac{g}{N}$।

(B) पानी के आने की दर $Q_{in} = 10^{-4} \; m^3/s$ है।
छेद से बाहर निकलने वाले पानी की दर $Q_{out} = A_{hole} \times v$ है, जहाँ $v$ बहिःस्राव का वेग है।
टोरिसेली के नियम के अनुसार, बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
पानी का स्तर स्थिर रहने के लिए, आने वाले पानी की दर और बाहर निकलने वाले पानी की दर समान होनी चाहिए: $Q_{in} = Q_{out}$।
$10^{-4} = (10^{-4}) \times \sqrt{2gh}$।
दोनों पक्षों को $10^{-4}$ से विभाजित करने पर, $1 = \sqrt{2gh}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर, $1 = 2gh$।
$h$ के लिए हल करने पर, $h = \frac{1}{2g}$।
$g = 9.8 \; m/s^2$ का उपयोग करने पर, $h = \frac{1}{2 \times 9.8} = \frac{1}{19.6} \approx 0.051 \; m$।

(C) मान लीजिए कि जमीन से द्रव की सतह की कुल ऊंचाई $h_{total} = 2H + H = 3H$ है।
मान लीजिए कि छेद जमीन से $y$ ऊंचाई पर है। द्रव की सतह से छेद की गहराई $h = 3H - y$ है।
बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh} = \sqrt{2g(3H - y)}$ है।
द्रव को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2y}{g}}$ है।
क्षैतिज परास $R = v \cdot t = \sqrt{2g(3H - y)} \cdot \sqrt{\frac{2y}{g}} = 2\sqrt{y(3H - y)} = 2\sqrt{3Hy - y^2}$ है।
अधिकतम परास के लिए,वर्गमूल के अंदर का पद $f(y) = 3Hy - y^2$ अधिकतम होना चाहिए।
$y$ के सापेक्ष अवकलन करके इसे शून्य के बराबर रखने पर: $\frac{df}{dy} = 3H - 2y = 0$.
अतः,$y = 1.5H$.
इसलिए,जमीन से दूरी $1.5H$ है।

(D) $H$ कुल ऊंचाई तक भरे द्रव वाले पात्र में तल से $h$ ऊंचाई पर स्थित छिद्र के लिए बहिःस्राव की परास $x = 2 \sqrt{(H - h)h}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $h_1$ और $h_2$ ऊंचाइयों पर स्थित दो छिद्रों के लिए परास समान है,इसलिए:
$2 \sqrt{(H - h_1)h_1} = 2 \sqrt{(H - h_2)h_2}$
$(H - h_1)h_1 = (H - h_2)h_2$
$Hh_1 - h_1^2 = Hh_2 - h_2^2$
$H(h_1 - h_2) = h_1^2 - h_2^2$
$H(h_1 - h_2) = (h_1 - h_2)(h_1 + h_2)$
$H = h_1 + h_2$
बहिःस्राव की परास $x = 2 \sqrt{Hh - h^2}$ तब अधिकतम होती है जब वर्गमूल के अंदर का पद अधिकतम हो। माना $f(h) = Hh - h^2$। अधिकतम के लिए,$f'(h) = 0$।
$H - 2h = 0 \Rightarrow h = \frac{H}{2}$।
$H = h_1 + h_2$ रखने पर,अधिकतम परास के लिए ऊंचाई $h = \frac{h_1 + h_2}{2}$ प्राप्त होती है।

(D) $h$ गहराई पर एक छेद से निकलने वाले पानी की परास $R = 2\sqrt{h(H-h)}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $H$ पानी के स्तंभ की कुल ऊँचाई है। यदि छेद तल पर है $(h=H)$,तो परास $R = 2h$ होती है।
$h=10 \ m$ की गहराई पर छेद के लिए,बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है। परास $R = v \cdot t$ है,जहाँ $t = \sqrt{2(H-h)/g}$ है।
यदि हम सतह पर अतिरिक्त दबाव $P_{ext}$ लगाते हैं,तो छेद पर प्रभावी दबाव $P_{eff} = P_{atm} + P_{ext} + \rho gh$ हो जाता है। बहिःस्राव का वेग $v' = \sqrt{2(P_{ext} + \rho gh)/\rho} = \sqrt{2gh + 2P_{ext}/\rho}$ हो जाता है।
परास को $2R$ बनाने के लिए,बहिःस्राव का वेग $2v$ होना चाहिए (क्योंकि छेद की स्थिति स्थिर होने पर उड़ान का समय समान रहता है)।
अतः,$v' = 2v \implies v'^2 = 4v^2$.
$2gh + 2P_{ext}/\rho = 4(2gh) = 8gh$.
$2P_{ext}/\rho = 6gh \implies P_{ext} = 3\rho gh$.
यहाँ $\rho = 10^3 \ kg/m^3$,$g = 10 \ m/s^2$,और $h = 10 \ m$ दिया गया है:
$P_{ext} = 3 \times 10^3 \times 10 \times 10 = 3 \times 10^5 \ Pa$.
चूँकि $1 \ atm = 10^5 \ Pa$,इसलिए आवश्यक अतिरिक्त दबाव $3 \ atm$ है।

(B) माना बैरल में पानी की गहराई $d$ है।
टोरिसेली के नियम के अनुसार,आधार पर बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gd}$ है।
$h$ ऊँचाई की मेज से पानी को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t$,$h = \frac{1}{2}gt^2$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $t = \sqrt{\frac{2h}{g}}$।
पानी की धारा द्वारा तय की गई क्षैतिज दूरी $R = v \times t$ है।
मान रखने पर,$R = \sqrt{2gd} \times \sqrt{\frac{2h}{g}} = \sqrt{4dh} = 2\sqrt{dh}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$R^2 = 4dh$।
अतः,पानी की गहराई $d = \frac{R^2}{4h}$ है।

(B) छेद पर दबाव वायुमंडलीय दबाव,पिस्टन के वजन और पानी के स्तंभ की ऊंचाई के कारण होता है।
मान लीजिए $A = 1000 \ cm^2 = 0.1 \ m^2$ पिस्टन का क्षेत्रफल है और $m = 10 \ kg$ इसका द्रव्यमान है।
पिस्टन द्वारा लगाया गया दबाव $P_p = \dfrac{mg}{A} = \dfrac{10 \times 9.8}{0.1} = 980 \ Pa$ है।
पानी के स्तंभ की समतुल्य ऊंचाई $h_p$ जो यह दबाव उत्पन्न करती है,वह $h_p = \dfrac{P_p}{\rho g} = \dfrac{980}{1000 \times 9.8} = 0.1 \ m = 10 \ cm$ है।
छेद के ऊपर पानी के स्तंभ की कुल प्रभावी ऊंचाई $H_{eff} = h_p + h = 10 \ cm + 50 \ cm = 60 \ cm = 0.6 \ m$ है।
टोरिसेली के नियम का उपयोग करते हुए,बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gH_{eff}}$ है।
$v = \sqrt{2 \times 9.8 \times 0.6} = \sqrt{11.76} \approx 3.43 \ m/s$.
अतः,वेग लगभग $3.4 \ m/s$ है।

(D) घनत्व $\rho$ वाले द्रव में $h/2$ गहराई पर स्थित पहले छेद के लिए:
टोरिसेली के नियम का उपयोग करते हुए,$v_1 = \sqrt{2g(h/2)} = \sqrt{gh}$.
सतह से $3h/2$ गहराई पर स्थित दूसरे छेद के लिए,यह $2\rho$ घनत्व वाले द्रव में $h/2$ गहराई पर है:
ऊपरी सतह और दूसरे छेद के बीच बर्नौली प्रमेय लागू करने पर:
$P_0 + \rho gh + 2\rho g(h/2) = P_0 + \frac{1}{2}(2\rho)v_2^2$
$\rho gh + \rho gh = \rho v_2^2$
$2\rho gh = \rho v_2^2$
$v_2 = \sqrt{2gh}$.
अब,अनुपात की गणना करने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\sqrt{gh}}{\sqrt{2gh}} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(D) स्थिर अवस्था में,पात्र में प्रवेश करने वाले पानी की आयतन प्रवाह दर,छेद से बाहर निकलने वाले पानी की आयतन प्रवाह दर के बराबर होनी चाहिए।
माना $Q$ अंतर्वाह की दर है,$a$ छेद का क्षेत्रफल है,और $h$ पानी के स्तर की ऊँचाई है।
बहिर्वाह की दर टोरिसेली के नियम द्वारा दी जाती है: $Q_{out} = a v = a \sqrt{2gh}$।
अंतर्वाह और बहिर्वाह को बराबर करने पर: $Q = a \sqrt{2gh}$।
$h$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $h = \frac{Q^2}{2 g a^2}$।
दिया गया है $Q = 100 \ cm^3 s^{-1}$,$a = 1 \ cm^2$,और $g = 1000 \ cm s^{-2}$।
मान रखने पर: $h = \frac{(100)^2}{2 \times 1000 \times (1)^2} = \frac{10000}{2000} = 5 \ cm$।

(A) टोरिसेली के नियम के अनुसार,मुक्त सतह से $h$ गहराई पर स्थित एक छोटे छेद से बाहर निकलने वाले द्रव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ होता है।
छेद से बाहर निकलने वाले आयतन की दर $\frac{dV}{dt} = a \cdot v = a \sqrt{2gh}$ है,जहाँ $a$ छेद का क्षेत्रफल है।
चूँकि टंकियों की ऊँचाई $h$ समान है और छेद भी समान (समान क्षेत्रफल $a$) हैं,इसलिए तीनों टंकियों के लिए बाहर निकलने वाले द्रव का वेग और प्रवाह की दर समान रहेगी।
टंकी को खाली करने में लगने वाला समय कुल आयतन $V$ और प्रवाह की दर पर निर्भर करता है। चूँकि तीनों टंकियों का कुल आयतन $V$ समान है और प्रवाह की दर ऊँचाई $h$ (जो कि समान है) द्वारा निर्धारित होती है,इसलिए टंकी को खाली करने में लगने वाला समय पात्र के आकार पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,तीनों टंकियों को खाली होने में समान समय लगेगा।

(A) छेद से बाहर निकलने वाले पानी की धारा द्वारा लगाया गया बल $F = \rho A v^2$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ छेद का क्षेत्रफल है और $v$ पानी का वेग है।
टोरिसेली के नियम का उपयोग करते हुए,तल पर पानी का वेग $v = \sqrt{2gH}$ है।
अतः,बल $F = \rho A (2gH)$ है।
पात्र के गति करने के लिए,यह बल सीमांत घर्षण बल $f_s = \mu Mg$ को पार करना चाहिए।
दोनों को बराबर करने पर: $\rho A (2gH) = \mu Mg$.
$A = \frac{\pi D^2}{4}$ रखने पर,हमें प्राप्त होता है: $\rho \left( \frac{\pi D^2}{4} \right) (2gH) = \mu Mg$.
समीकरण को सरल करने पर: $\frac{\rho \pi D^2 g H}{2} = \mu Mg$.
$D$ के लिए हल करने पर: $D^2 = \frac{2\mu M}{\pi \rho H}$.
इसलिए,$D = \sqrt{\frac{2\mu M}{\pi \rho H}}$.

(B) टोरिसेली के नियम के अनुसार,बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gy}$ है।
द्रव को $(H-y)$ ऊँचाई से जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2(H-y)}{g}}$ है।
क्षैतिज परास $x = v \cdot t = \sqrt{2gy} \cdot \sqrt{\frac{2(H-y)}{g}} = 2\sqrt{y(H-y)}$ है।
अधिकतम परास ज्ञात करने के लिए,हम $x^2 = 4(Hy - y^2)$ का $y$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{d}{dy}(4Hy - 4y^2) = 4H - 8y = 0 \implies y = \frac{H}{2}$.
$x$ के व्यंजक में $y = \frac{H}{2}$ रखने पर,हमें $x_{max} = 2\sqrt{\frac{H}{2}(H - \frac{H}{2})} = 2\sqrt{\frac{H^2}{4}} = H$ प्राप्त होता है।
अतः,$y = \frac{H}{2}$ पर $x$ अधिकतम है और इसका अधिकतम मान $H$ है।
इस प्रकार,विकल्प $B$ सही उत्तर है।

(C) द्रव की ऊपरी सतह और छेद पर बर्नौली के सिद्धांत को लागू करने पर:
$P_0 + h_1\rho_1g + h_2\rho_2g = P_0 + \frac{1}{2}\rho_1v^2$
यहाँ,$P_0$ वायुमंडलीय दबाव है,और हम मानते हैं कि ऊपरी सतह का वेग छेद पर वेग $v$ की तुलना में नगण्य है।
दोनों पक्षों से $P_0$ घटाने पर:
$h_1\rho_1g + h_2\rho_2g = \frac{1}{2}\rho_1v^2$
$\rho_1$ से विभाजित करने पर:
$h_1g + \frac{h_2\rho_2g}{\rho_1} = \frac{1}{2}v^2$
$v^2 = 2g(h_1 + \frac{h_2\rho_2}{\rho_1})$
$v = \sqrt{2g(h_1 + \frac{h_2\rho_2}{\rho_1})}$

(A) पानी की ऊपरी सतह और छेद के लिए बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार:
$P_{top} + \rho gh + \frac{1}{2}\rho v_{top}^{2} = P_{atm} + \frac{1}{2}\rho v^{2}$
चूंकि पात्र बंद है और ऊपरी दबाव $0.9 P_{0}$ है,और $v_{top} \approx 0$ मानते हुए:
$0.9 P_{0} + \rho gh = P_{0} + \frac{1}{2} \rho v^{2}$
$\rho gh - 0.1 P_{0} = \frac{1}{2} \rho v^{2}$
मान रखने पर: $10^{3} \times 10 \times (9/4) - 0.1 \times 10^{5} = \frac{1}{2} \times 10^{3} \times v^{2}$
$22500 - 10000 = 500 v^{2}$
$12500 = 500 v^{2}$
$v^{2} = 25$
$v = 5 \text{ m/s}$

(B) टैंक में पानी की कुल ऊँचाई $H = 1 \, m = 100 \, cm$ है।
ऊपरी सतह से छेद की गहराई $h = 20 \, cm$ है।
टैंक के तल से छेद की ऊँचाई $y = H - h = 100 - 20 = 80 \, cm$ है।
बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
पानी को जमीन तक पहुँचने में लगा समय $t = \sqrt{\frac{2y}{g}} = \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}}$ है।
क्षैतिज परास $R$ का सूत्र $R = v \times t = \sqrt{2gh} \times \sqrt{\frac{2(H-h)}{g}} = 2 \sqrt{h(H-h)}$ है।
मान रखने पर: $R = 2 \sqrt{20 \times (100 - 20)} = 2 \sqrt{20 \times 80} = 2 \sqrt{1600} = 2 \times 40 = 80 \, cm$.

(D) मान लीजिए कि द्रव की ऊपरी सतह बिंदु $1$ है और छेद बिंदु $2$ है। ऊपरी सतह (बिंदु $1$) और छेद (बिंदु $2$) के बीच बर्नौली प्रमेय लागू करने पर:
$P_0 + \rho_1 g \left( \frac{H}{2} \right) + \rho_2 g \left( \frac{H}{2} - h \right) = P_0 + \frac{1}{2} \rho_2 v^2$
यहाँ,$\rho_1 = d$,$\rho_2 = 2d$,और $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है।
मान रखने पर:
$d g \left( \frac{H}{2} \right) + 2d g \left( \frac{H}{2} - h \right) = \frac{1}{2} (2d) v^2$
$g \left( \frac{H}{2} + H - 2h \right) = v^2$
$g \left( \frac{3H}{2} - 2h \right) = v^2$
$v^2 = g \left( \frac{3H - 4h}{2} \right)$
$v = \sqrt{\frac{(3H - 4h)g}{2}}$

(A) टंकी का क्षेत्रफल $A = \pi R^2$,जहाँ $R = 0.08\,m$ है।
छेद का क्षेत्रफल $a = \pi r^2$,जहाँ $r = 5 \times 10^{-3}\,m$ है।
सांतत्य समीकरण और टोरिसेली के नियम के अनुसार,आयतन परिवर्तन की दर $A \frac{dh}{dt} = -a \sqrt{2gh}$ है।
समय $t$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $dt = -\frac{A}{a \sqrt{2g}} h^{-1/2} dh$.
$h = 0.16\,m$ से $h = 0$ तक समाकलन करने पर:
$t = \frac{A}{a \sqrt{2g}} \int_{0}^{0.16} h^{-1/2} dh = \frac{A}{a \sqrt{2g}} [2\sqrt{h}]_{0}^{0.16}$.
$t = \frac{\pi (0.08)^2}{\pi (5 \times 10^{-3})^2 \sqrt{2 \times 9.8}} \times 2 \times \sqrt{0.16}$.
$t = \frac{0.0064}{25 \times 10^{-6} \times 4.427} \times 0.8 \approx 46.26\,s$.

(A) मान लीजिए कि छेद पर पानी का वेग $v_1$ है और जमीन से टकराते समय पानी का वेग $v_2$ है।
टोरिसेली के नियम का उपयोग करते हुए,छेद पर वेग $v_1 = \sqrt{2gH}$ है।
स्वतंत्र रूप से गिरती हुई वस्तु के लिए गति के समीकरण का उपयोग करते हुए,जमीन पर वेग $v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2gh} = \sqrt{2gH + 2gh} = \sqrt{2g(H + h)}$ है।
सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,आयतन प्रवाह दर स्थिर रहती है:
$A_1 v_1 = A_2 v_2$
$\pi r^2 v_1 = \pi x^2 v_2$
$r^2 \sqrt{2gH} = x^2 \sqrt{2g(H + h)}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$r^4 (2gH) = x^4 (2g(H + h))$
$x^4 = r^4 \frac{H}{H + h}$
$x = r \left( \frac{H}{H + h} \right)^{\frac{1}{4}}$

(B) बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,टंकी की तली पर दबाव दोनों द्रवों के हाइड्रोस्टेटिक दबाव के योग के बराबर होता है।
$P = h_w \rho_w g + h_k \rho_k g$
यहाँ,$h_w = 3\,m$,$\rho_w = 1000\,kg/m^3$,$h_k = 2\,m$,और $\rho_k = 0.8 \times 1000 = 800\,kg/m^3$ है।
$P = (3 \times 1000 \times 10) + (2 \times 800 \times 10) = 30000 + 16000 = 46000\,Pa$।
तली पर निकास वेग $v$ के लिए टोरिसेली के नियम का उपयोग करते हुए,जहाँ दबाव ऊर्जा गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है:
$P = \frac{1}{2} \rho_w v^2$
$46000 = \frac{1}{2} \times 1000 \times v^2$
$v^2 = \frac{46000 \times 2}{1000} = 92$
$v = \sqrt{92} \approx 9.6\,ms^{-1}$।

(B) माना जल स्तर के गिरने की दर $-\frac{dh}{dt}$ है।
सांतत्य समीकरण के अनुसार,प्रति इकाई समय में छिद्र से बाहर निकलने वाले पानी का आयतन पात्र द्वारा खोए गए पानी के आयतन के बराबर होता है।
$A \left( -\frac{dh}{dt} \right) = a_{hole} \cdot v$
जहाँ $a_{hole} = \pi a^2$ छिद्र का क्षेत्रफल है और $v = \sqrt{2gh}$ बहिःस्राव का वेग (टोरिसेली का नियम) है।
अतः,$A \left( -\frac{dh}{dt} \right) = \pi a^2 \sqrt{2gh}$.
समाकलन के लिए पदों को व्यवस्थित करने पर:
$dt = -\frac{A}{\pi a^2 \sqrt{2g}} h^{-1/2} dh$.
$t = 0$ से $T$ (कुल समय) और $h = h$ से $0$ तक समाकलन करने पर:
$\int_0^T dt = -\frac{A}{\pi a^2 \sqrt{2g}} \int_h^0 h^{-1/2} dh$.
$T = -\frac{A}{\pi a^2 \sqrt{2g}} \left[ \frac{h^{1/2}}{1/2} \right]_h^0$.
$T = -\frac{A}{\pi a^2 \sqrt{2g}} \cdot 2 [0 - \sqrt{h}] = \frac{2A}{\pi a^2 \sqrt{2g}} \sqrt{h}$.
$T = \frac{2A}{\pi a^2} \sqrt{\frac{h}{2g}} = \frac{\sqrt{2}A}{\pi a^2} \sqrt{\frac{h}{g}}$.

(A) पानी के प्रवाह की दर (आयतन प्रवाह दर) $Q = A \times v$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $A$ छेद का क्षेत्रफल है और $v$ बहिःस्राव का वेग है।
टोरिसेली के नियम के अनुसार,$d$ गहराई पर बहिःस्राव का वेग $v = \sqrt{2gd}$ होता है।
$h$ गहराई पर वर्गाकार छेद के लिए: क्षेत्रफल $A_1 = l^2$,वेग $v_1 = \sqrt{2gh}$। अतः,$Q_1 = l^2 \sqrt{2gh}$।
$4h$ गहराई पर वृत्ताकार छेद के लिए: क्षेत्रफल $A_2 = \pi r^2$,वेग $v_2 = \sqrt{2g(4h)} = 2\sqrt{2gh}$। अतः,$Q_2 = \pi r^2 (2\sqrt{2gh})$।
चूंकि प्रवाह की दर समान है,इसलिए $Q_1 = Q_2$:
$l^2 \sqrt{2gh} = 2\pi r^2 \sqrt{2gh}$
$l^2 = 2\pi r^2$
$r^2 = \frac{l^2}{2\pi}$
$r = \frac{l}{\sqrt{2\pi}}$

(A) कुल ऊँचाई $H$ वाली टंकी में सतह से $y$ गहराई पर स्थित छेद से निकलने वाले पानी की क्षैतिज परास (range) $R = 2\sqrt{y(H-y)}$ द्वारा दी जाती है।
छेद $A$ के लिए,सतह से गहराई $h_1$ है,इसलिए परास $R_A = 2\sqrt{h_1(H - h_1)}$ है।
छेद $B$ के लिए,तल से ऊँचाई $h_2$ है,इसलिए सतह से गहराई $(H - h_2)$ है। परास $R_B = 2\sqrt{(H - h_2)h_2}$ है।
चूंकि परास समान हैं,$R_A = R_B$:
$2\sqrt{h_1(H - h_1)} = 2\sqrt{(H - h_2)h_2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$h_1(H - h_1) = h_2(H - h_2)$
$Hh_1 - h_1^2 = Hh_2 - h_2^2$
$H(h_1 - h_2) = h_1^2 - h_2^2$
$H(h_1 - h_2) = (h_1 - h_2)(h_1 + h_2)$
यदि $h_1 \neq h_2$ है,तो हमें $H = h_1 + h_2$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है कि $h_1/h_2$ का अनुपात कोई निश्चित स्थिरांक नहीं है बल्कि यह $H$ पर निर्भर करता है।

(B) आयतन प्रवाह दर $Q = A \cdot v$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $v = \sqrt{2gh}$ बहिःस्राव का वेग है।
दिया गया है: $Q = 0.74\,m^3/min = \frac{0.74}{60}\,m^3/s$,त्रिज्या $r = 2\,cm = 0.02\,m$,और $g = 9.8\,m/s^2$ है।
छिद्र का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = 3.14 \times (0.02)^2 = 3.14 \times 4 \times 10^{-4}\,m^2$ है।
इन मानों को समीकरण $Q = A\sqrt{2gh}$ में रखने पर:
$\frac{0.74}{60} = (3.14 \times 4 \times 10^{-4}) \sqrt{2 \times 9.8 \times h}$.
$\frac{0.01233}{1.256 \times 10^{-3}} = \sqrt{19.6h}$.
$9.816 = \sqrt{19.6h}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $96.36 = 19.6h$.
$h = \frac{96.36}{19.6} \approx 4.92\,m$.
अतः,गहराई लगभग $4.8\,m$ के निकट है।

(A) टंकी में पानी के आयतन में परिवर्तन की दर, अंदर आने वाले पानी की दर और बाहर निकलने वाले पानी की दर का अंतर है।
$\frac{dV}{dt} = Q_{in} - Q_{out} = 0$ (चूँकि ऊँचाई स्थिर रहती है)।
$Q_{in} = 10^{-4} \, m^3 s^{-1}$।
बाहर निकलने वाले पानी की दर टोरिसेली के नियम द्वारा दी जाती है: $Q_{out} = a \sqrt{2gh}$, जहाँ $a = 1 \, cm^2 = 10^{-4} \, m^2$ और $g = 9.8 \, m s^{-2}$।
अंदर आने वाले और बाहर निकलने वाले पानी की दर को बराबर करने पर: $10^{-4} = 10^{-4} \sqrt{2 \times 9.8 \times h}$।
$1 = \sqrt{19.6 \times h}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $1 = 19.6 \times h$।
$h = \frac{1}{19.6} \approx 0.051 \, m$।
सेंटीमीटर में बदलने पर: $h = 0.051 \times 100 = 5.1 \, cm$।

(D) जब एक बाल्टी मुक्त रूप से गिर रही होती है, तो वह नीचे की ओर $g$ का त्वरण अनुभव करती है। बाल्टी के अंदर का पानी भी नीचे की ओर समान त्वरण $g$ का अनुभव करता है। इसलिए, बाल्टी के सापेक्ष पानी पर कार्य करने वाला प्रभावी गुरुत्वाकर्षण बल शून्य हो जाता है। चूंकि किसी तरल में $h$ गहराई पर दबाव $P = P_{atm} + \rho g_{eff} h$ द्वारा दिया जाता है, और यहाँ $g_{eff} = 0$ है, इसलिए छेद पर दबाव वायुमंडलीय दबाव के बराबर हो जाता है। परिणामस्वरूप, पानी को छेद से बाहर निकालने के लिए कोई दबाव अंतर नहीं होता है, और पानी बहना बंद कर देता है।

(B) टोरिसेली के नियम के अनुसार,बहिर्वाह का वेग $v = \sqrt{2gh}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ छेद के ऊपर पानी के स्तर की ऊँचाई है।
चूंकि $v$ केवल ऊँचाई $h$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ पर निर्भर करता है,इसलिए छेद का आकार बढ़ाने पर पानी के बाहर निकलने का वेग अपरिवर्तित रहता है।
प्रति सेकंड बाहर बहने वाले पानी का आयतन (प्रवाह की दर) $Q = A \times v$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ छेद का क्षेत्रफल है।
चूंकि छेद का आकार (क्षेत्रफल $A$) बढ़ता है,इसलिए प्रति सेकंड बाहर बहने वाले पानी का आयतन बढ़ जाएगा।

(C) मान लीजिए $d_w$ और $d_o$ क्रमशः पानी और तेल के घनत्व हैं। टैंक के तल पर दबाव $P = h_w d_w g + h_o d_o g$ द्वारा दिया जाता है।
हम पानी के स्तंभ की समतुल्य ऊँचाई $h$ ज्ञात कर सकते हैं जो तल पर समान दबाव डालती है: $h d_w g = h_w d_w g + h_o d_o g$.
दिए गए मानों को रखने पर: $h = h_w + \frac{h_o d_o}{d_w} = 100 + \frac{400 \times 0.9}{1} = 100 + 360 = 460 \, cm$.
टोरिसेली के प्रमेय के अनुसार,बाहर निकलने वाले द्रव का वेग $v = \sqrt{2gh}$ है।
मान रखने पर: $v = \sqrt{2 \times 980 \times 460} = \sqrt{920 \times 980} \, cm/s$.

(A) $h$ गहराई पर स्थित छेद से बाहर निकलने वाले पानी का वेग $(v)$ टोरिसेली के नियम द्वारा $v = \sqrt{2gh}$ दिया जाता है।
दिया गया है: $h = 5\, m$,$g = 10\, m/s^2$,और क्षेत्रफल $A = 1\, cm^2 = 10^{-4}\, m^2$.
वेग की गणना: $v = \sqrt{2 \times 10 \times 5} = \sqrt{100} = 10\, m/s$.
आयतन प्रवाह दर $(Q)$ $Q = A \times v$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर: $Q = 10^{-4}\, m^2 \times 10\, m/s = 10^{-3}\, m^3/s$.