Reynold's Number and Poiseuille's Equation Questions in Hindi

(B) द्रव के प्रवाह की प्रकृति रेनॉल्ड्स संख्या $(N_R)$ द्वारा निर्धारित की जाती है। रेनॉल्ड्स संख्या का सूत्र $N_R = \frac{\rho v D}{\eta}$ है,जहाँ $\rho$ द्रव का घनत्व है,$v$ वेग है,$D$ पाइप का व्यास (या त्रिज्या $r$) है,और $\eta$ श्यानता गुणांक है।
प्रवाह के सबसे अधिक सुव्यवस्थित (streamlined) होने के लिए,रेनॉल्ड्स संख्या $N_R$ का मान जितना संभव हो उतना कम होना चाहिए।
संबंध $N_R \propto \frac{r \rho}{\eta}$ से,हम देख सकते हैं कि $N_R$ को न्यूनतम करने के लिए,त्रिज्या $r$ और घनत्व $\rho$ कम होने चाहिए,जबकि श्यानता $\eta$ उच्च होनी चाहिए।
इसलिए,छोटी त्रिज्या वाले पाइप से बहने वाला उच्च श्यानता और कम घनत्व वाला द्रव सबसे अधिक सुव्यवस्थित प्रवाह प्रदान करेगा।

(D) पॉइज़ुइल के समीकरण के अनुसार,प्रवाह की दर $V = \frac{P \pi r^4}{8 \eta l}$ द्वारा दी जाती है।
इससे,दाबांतर $P = \frac{V 8 \eta l}{\pi r^4}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
मान लीजिए प्रारंभिक स्थिति $P_1 = P$,$V_1 = V$,$r_1 = r$,और $l_1 = l$ है।
अंतिम स्थिति के लिए,$V_2 = 2V$,$r_2 = 2r$,और $l_2 = 2l$ है।
दाब का अनुपात लेने पर: $\frac{P_2}{P_1} = \frac{V_2}{V_1} \times \frac{l_2}{l_1} \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^4$.
मान रखने पर: $\frac{P_2}{P} = 2 \times 2 \times \left( \frac{r}{2r} \right)^4 = 4 \times \left( \frac{1}{2} \right)^4 = 4 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$.
अतः,$P_2 = \frac{P}{4}$.

(B) पोइज़ुइल के समीकरण के अनुसार,प्रवाह की दर $V = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$ द्वारा दी जाती है।
नली $T_1$ के लिए,$V_1 = \frac{\pi P r_1^4}{8 \eta l_1} = 8 \ cm^3/sec$.
दिया गया है कि $l_1 = 2l_2$ और $r_1 = r_2 = r$,इसलिए $l_2 = l_1/2$.
जब श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो तुल्य प्रतिरोध $R_{eq} = R_1 + R_2$,जहाँ $R = \frac{8 \eta l}{\pi r^4}$ है।
$R_1 = \frac{8 \eta l_1}{\pi r^4}$ और $R_2 = \frac{8 \eta l_2}{\pi r^4} = \frac{8 \eta (l_1/2)}{\pi r^4} = \frac{1}{2} R_1$.
$R_{eq} = R_1 + \frac{1}{2} R_1 = \frac{3}{2} R_1$.
नई प्रवाह दर $V' = \frac{P}{R_{eq}} = \frac{P}{(3/2) R_1} = \frac{2}{3} \left( \frac{P}{R_1} \right) = \frac{2}{3} V_1$.
$V' = \frac{2}{3} \times 8 = \frac{16}{3} \ cm^3/sec$.

(C) रेनॉल्ड्स संख्या $(Re)$ को जड़त्व बलों (inertial forces) और श्यान बलों (viscous forces) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
गणितीय रूप से, इसे $Re = \frac{\rho v L}{\mu}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ $\rho$ द्रव का घनत्व है, $v$ प्रवाह का वेग है, $L$ एक विशिष्ट रैखिक आयाम है, और $\mu$ गतिशील श्यानता है।
यह दी गई प्रवाह स्थितियों के लिए इन दो प्रकार के बलों के सापेक्ष महत्व को निर्धारित करता है।
रेनॉल्ड्स संख्या का उपयोग विभिन्न द्रव प्रवाह स्थितियों के बीच गतिशील समानता निर्धारित करने और प्रवाह के प्रकारों, जैसे कि लैमिनर या टर्बुलेंट प्रवाह को वर्गीकृत करने के लिए किया जाता है।

(B) पोइज़ुइल के नियम के अनुसार,$r$ त्रिज्या और $l$ लंबाई वाली बेलनाकार नली से $P$ दाबांतर के अंतर्गत द्रव के प्रवाह की दर (प्रति इकाई समय आयतन) का सूत्र है:
$V = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$
इसकी तुलना दिए गए समीकरण $V = \frac{\pi Q P r^4}{\eta l}$ से करने पर,हम गुणांकों की तुलना कर सकते हैं:
$\frac{\pi P r^4}{8 \eta l} = \frac{\pi Q P r^4}{\eta l}$
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $\pi, P, r^4, \eta,$ और $l$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{1}{8} = Q$
अतः,$Q$ का मान $\frac{1}{8}$ है।

(D) श्यानता गुणांक $\eta$ के लिए पॉइज़ुली का समीकरण $\eta = \frac{\pi P r^4}{8 V l}$ है,जहाँ $P$ दाब अंतर है,$r$ केशिका नली की आंतरिक त्रिज्या है,$V$ प्रति इकाई समय में एकत्रित द्रव का आयतन है और $l$ नली की लंबाई है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $\eta \propto r^4$ है।
चूंकि त्रिज्या $r$ की घात $4$ है,इसलिए $r$ के मापन में कोई भी छोटी सी त्रुटि श्यानता गुणांक $\eta$ के परिकलित मान में बहुत बड़ी त्रुटि उत्पन्न करेगी।
इसलिए,केशिका नली की आंतरिक त्रिज्या के मापन में सबसे अधिक सटीकता की आवश्यकता होती है।

(D) पॉइज़ुइल के समीकरण के अनुसार,एक केशिका नली के माध्यम से प्रवाह की दर $V = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि दो नलियाँ समानांतर में जुड़ी हुई हैं,इसलिए कुल प्रवाह दर $V$ प्रत्येक नली के माध्यम से प्रवाह दर का योग है: $V = V_1 + V_2$।
प्रवाह दर के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\pi P r^4}{8 \eta l} = \frac{\pi P r_1^4}{8 \eta l} + \frac{\pi P r_2^4}{8 \eta l}$।
दोनों पक्षों से सामान्य पदों $\frac{\pi P}{8 \eta l}$ को हटाने पर,हमें $r^4 = r_1^4 + r_2^4$ प्राप्त होता है।
इसलिए,एकल नली की त्रिज्या $r = (r_1^4 + r_2^4)^{1/4}$ होगी।

(D) दिया गया है: लंबाई समान है,$l_1 = l_2 = l$। त्रिज्या का अनुपात $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2}$ है।
केशिका के माध्यम से सुव्यवस्थित स्थिति में बहने वाले तरल के लिए,आयतन प्रवाह दर $V$ पॉइसुइल (Poiseuille) के समीकरण द्वारा दी जाती है: $V = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$।
चूंकि केशिकाएं श्रेणीक्रम में जुड़ी हुई हैं,इसलिए दोनों के माध्यम से आयतन प्रवाह दर $V$ समान होनी चाहिए।
इसलिए,$\frac{\pi P_1 r_1^4}{8 \eta l} = \frac{\pi P_2 r_2^4}{8 \eta l}$।
यह $P_1 r_1^4 = P_2 r_2^4$ में सरल हो जाता है,या $\frac{P_1}{P_2} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^4$।
दिया गया है $\frac{r_1}{r_2} = \frac{1}{2}$,इसलिए $\frac{r_2}{r_1} = 2$। अतः,$\frac{P_1}{P_2} = (2)^4 = 16$,जिसका अर्थ है $P_1 = 16 P_2$।
संयोजन के पार कुल दबाव अंतर $P = P_1 + P_2 = 1 \ m$ है।
समीकरण में $P_2 = \frac{P_1}{16}$ रखने पर: $P_1 + \frac{P_1}{16} = 1$।
$\frac{17 P_1}{16} = 1 \implies P_1 = \frac{16}{17} \approx 0.94 \ m$।

(A) बेलनाकार पाइप के माध्यम से एक असंपीड्य,श्यान तरल के स्थिर प्रवाह के लिए पॉइज़ुइल (Poiseuille) के समीकरण के अनुसार,आयतन प्रवाह दर $V$ इस प्रकार है:
$V = \frac{\pi p r^4}{8 \eta l}$
जहाँ:
$p$ दबाव का अंतर है,
$r$ पाइप की त्रिज्या है,
$\eta$ श्यानता गुणांक है,
$l$ पाइप की लंबाई है।
विमीय विश्लेषण द्वारा इसकी पुष्टि:
$V = [L^3 T^{-1}]$
$p = [M L^{-1} T^{-2}]$
$r = [L]$
$\eta = [M L^{-1} T^{-1}]$
$l = [L]$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$V = \frac{[M L^{-1} T^{-2}] [L^4]}{[M L^{-1} T^{-1}] [L]} = [L^3 T^{-1}]$
चूंकि दोनों पक्षों की विमाएं समान हैं,इसलिए यह व्यंजक सही है।

(A) क्रांतिक वेग $(v_c)$ का सूत्र $v_c = \frac{N_R \eta}{\rho r}$ है,जहाँ $N_R$ रेनॉल्ड्स संख्या है,$\eta$ श्यानता गुणांक है,$\rho$ घनत्व है और $r$ नली की त्रिज्या है।
चूंकि दोनों तरल पदार्थों के लिए त्रिज्या $(r)$ और रेनॉल्ड्स संख्या $(N_R)$ समान हैं,इसलिए क्रांतिक वेग $\frac{\eta}{\rho}$ के समानुपाती है।
अतः,क्रांतिक वेग का अनुपात $\frac{v_1}{v_2} = \frac{\eta_1}{\eta_2} \times \frac{\rho_2}{\rho_1}$ होगा।
दिया गया है कि $\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{52}{49}$ और $\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{13}{1}$,इसलिए $\frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{1}{13}$ होगा।
इन मानों को रखने पर: $\frac{v_1}{v_2} = \frac{52}{49} \times \frac{1}{13} = \frac{4}{49}$।

(B) पॉइज़ुली के नियम के अनुसार,आयतन प्रवाह दर $V = \frac{P}{R}$ है,जहाँ $R$ द्रव का प्रतिरोध है।
प्रतिरोध $R = \frac{8\eta l}{\pi r^4}$ द्वारा दिया जाता है।
पहली नली के लिए,$R = \frac{8\eta l}{\pi r^4}$ है।
आधी त्रिज्या $r' = \frac{r}{2}$ वाली दूसरी नली के लिए,प्रतिरोध $R'$:
$R' = \frac{8\eta l}{\pi (r/2)^4} = \frac{8\eta l}{\pi r^4} \times 16 = 16R$ है।
जब इन्हें श्रेणीक्रम में जोड़ा जाता है,तो कुल प्रतिरोध $R_{total} = R + R' = R + 16R = 17R$ होगा।
नई प्रवाह दर $V_{new}$:
$V_{new} = \frac{P}{R_{total}} = \frac{P}{17R} = \frac{V}{17}$।

(D) पॉइज़ुइल के समीकरण के अनुसार,आयतन प्रवाह दर $V = \frac{P \pi r^4}{8 \eta l}$ है।
दाबांतर $P$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,$P = \frac{V 8 \eta l}{\pi r^4}$ प्राप्त होता है।
प्रारंभिक स्थिति $(P_1, V_1, r_1, l_1)$ और अंतिम स्थिति $(P_2, V_2, r_2, l_2)$ के लिए:
$V_2 = 2V_1$,$r_2 = 2r_1$,और $l_2 = 2l_1$ है।
अनुपात लेने पर: $\frac{P_2}{P_1} = \left( \frac{V_2}{V_1} \right) \times \left( \frac{l_2}{l_1} \right) \times \left( \frac{r_1}{r_2} \right)^4$.
मान रखने पर: $\frac{P_2}{P_1} = (2) \times (2) \times \left( \frac{1}{2} \right)^4 = 4 \times \frac{1}{16} = \frac{1}{4}$.
अतः,$P_2 = \frac{P_1}{4} = \frac{P}{4}$।

(C) केश नली से प्रवाह की दर $Q$ पॉइज़ुइल के नियम द्वारा दी जाती है: $Q = \frac{\Delta P}{R}$,जहाँ $R = \frac{8 \eta l}{\pi r^4}$ द्रव का प्रतिरोध है।
समानांतर संयोजन के लिए,प्रभावी प्रतिरोध $R_{eff}$ को $\frac{1}{R_{eff}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
प्रतिरोध के व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{\pi r^4}{8 \eta l} = \frac{\pi r^4}{8 \eta l_1} + \frac{\pi r^4}{8 \eta l_2}$.
सामान्य पदों $\frac{\pi r^4}{8 \eta}$ को हटाने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{l} = \frac{1}{l_1} + \frac{1}{l_2}$.
$l$ के लिए हल करने पर: $\frac{1}{l} = \frac{l_1 + l_2}{l_1 l_2}$,जिसका अर्थ है कि $l = \frac{l_1 l_2}{l_1 + l_2}$।

(B) पोइज़ुइल (Poiseuille) के समीकरण के अनुसार,प्रवाह की दर $V$ निम्न प्रकार दी जाती है:
$V = \frac{P \pi r^4}{8 \eta l}$
चूंकि $P, \pi, \eta,$ और $l$ स्थिर हैं,इसलिए $V \propto r^4$ है।
दिया गया है कि त्रिज्या $r$ में $10\%$ की वृद्धि होती है,इसलिए नई त्रिज्या $r_2 = r_1 + 0.1r_1 = 1.1r_1$ है।
नई प्रवाह दर $V_2$ और प्रारंभिक प्रवाह दर $V_1$ का अनुपात:
$\frac{V_2}{V_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^4 = (1.1)^4 = 1.4641$ है।
अतः,$V_2 = 1.4641 V_1$ है।
प्रवाह की दर में प्रतिशत परिवर्तन:
$\frac{\Delta V}{V_1} \times 100 = \frac{V_2 - V_1}{V_1} \times 100 = (1.4641 - 1) \times 100 = 46.41\% \approx 46\%$।

(A) पॉइज़ुइल का समीकरण एक बेलनाकार पाइप के माध्यम से प्रवाहित होने वाले श्यान द्रव के प्रवाह का वर्णन करता है।
पॉइज़ुइल के नियम के अनुसार,आयतन प्रवाह की दर $V$ को निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V = \frac{\pi p r^4}{8 \eta l}$
जहाँ:
$p$ नली के सिरों के बीच दाबांतर है,
$r$ नली की त्रिज्या है,
$\eta$ द्रव का श्यानता गुणांक है,
$l$ नली की लंबाई है।
यह सूत्र विमीय रूप से सुसंगत है,क्योंकि दोनों पक्षों की विमाएँ $[L^3 T^{-1}]$ हैं।

(A) नली से बहने वाले तरल का क्रांतिक वेग $v_c$ सूत्र द्वारा दिया जाता है: $v_c = \frac{N_R \eta}{\rho r}$,जहाँ $N_R$ रेनॉल्ड्स संख्या है,$\eta$ श्यानता गुणांक है,$\rho$ घनत्व है और $r$ नली की त्रिज्या है।
यह दिया गया है कि नलियों की त्रिज्या समान है $(r_1 = r_2)$ और यह मानते हुए कि दोनों तरल पदार्थों के लिए क्रांतिक रेनॉल्ड्स संख्या $N_R$ समान है,तो क्रांतिक वेगों का अनुपात होगा:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{\eta_1}{\eta_2} \times \frac{\rho_2}{\rho_1}$
दिए गए अनुपात:
$\frac{\eta_1}{\eta_2} = \frac{52}{49}$
$\frac{\rho_1}{\rho_2} = \frac{13}{1} \implies \frac{\rho_2}{\rho_1} = \frac{1}{13}$
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{v_1}{v_2} = \frac{52}{49} \times \frac{1}{13} = \frac{4}{49}$
अतः,उनके क्रांतिक वेगों का अनुपात $4:49$ है।

(C) पोइज़ुली के नियम के अनुसार,केशिका नली से प्रवाह की दर $Q = \frac{P}{R}$ है,जहाँ $R = \frac{8\eta l}{\pi r^4}$ द्रव का प्रतिरोध है।
समानांतर संयोजन के लिए,प्रभावी प्रतिरोध $R_{eff}$ का मान $\frac{1}{R_{eff}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}$ होता है।
प्रतिरोध के मान रखने पर: $\frac{\pi r^4}{8\eta l} = \frac{\pi r^4}{8\eta l_1} + \frac{\pi r^4}{8\eta l_2}$।
समान पदों $\frac{\pi r^4}{8\eta}$ को हटाने पर,हमें $\frac{1}{l} = \frac{1}{l_1} + \frac{1}{l_2}$ प्राप्त होता है।
$l$ के लिए हल करने पर,हमें $l = \frac{l_1 l_2}{l_1 + l_2}$ प्राप्त होता है।

(B) पोइज़ुइल के नियम के अनुसार,केशिका नली से द्रव के प्रवाह की दर $V$ इस प्रकार है:
$V = \frac{P \pi r^4}{8 \eta l}$
चूंकि $P$,$\eta$ और $l$ स्थिर हैं,इसलिए $V \propto r^4$ है।
यदि त्रिज्या $r$ को $10\%$ बढ़ाया जाता है,तो नई त्रिज्या $r_2 = 1.1 r_1$ होगी।
नई प्रवाह दर $V_2$ है:
$V_2 = V_1 \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^4 = V_1 (1.1)^4 = 1.4641 V_1$.
प्रवाह दर में प्रतिशत परिवर्तन है:
$\frac{\Delta V}{V_1} \times 100 = \frac{V_2 - V_1}{V_1} \times 100 = (1.4641 - 1) \times 100 = 46.41\% \approx 46\%$.
अतः,प्रवाह दर में लगभग $46\%$ की वृद्धि होगी।

(D) पोइज़ुइल (Poiseuille) के समीकरण के अनुसार,केशिका नली से तरल के प्रवाह की दर $V$ इस प्रकार है:
$V = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$
जहाँ $P$ दबाव का अंतर है,$r$ बोर की त्रिज्या है,$\eta$ श्यानता गुणांक है और $l$ नली की लंबाई है।
सूत्र से,हम देख सकते हैं कि $V \propto \frac{r^4}{l}$ है।
यहाँ लंबाई दोगुनी $(l_2 = 2l_1)$ की गई है और व्यास आधा किया गया है,इसलिए त्रिज्या भी आधी $(r_2 = r_1 / 2)$ हो जाएगी।
अनुपात में इन मानों को रखने पर:
$\frac{V_2}{V_1} = \left( \frac{r_2}{r_1} \right)^4 \times \left( \frac{l_1}{l_2} \right)$
$\frac{V_2}{V_1} = \left( \frac{1}{2} \right)^4 \times \left( \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{16} \times \frac{1}{2} = \frac{1}{32}$
अतः,नई प्रवाह दर $V_2 = V / 32$ होगी।

(B) नली की आंतरिक सतह पर अपरूपण प्रतिबल (shear stress) $\tau = \frac{F}{A} = \frac{P \cdot \pi r^2}{2 \pi r l} = \frac{Pr}{2l}$ द्वारा दिया जाता है।
दृढ़ता गुणांक $\beta$ की परिभाषा के अनुसार,अपरूपण विकृति $\phi = \frac{\tau}{\beta} = \frac{Pr}{2\beta l}$ ........$(1)$
पॉइज़ुइल के नियम के अनुसार,प्रवाह की दर $Q = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$ है।
इससे,दाबांतर $P = \frac{8 \eta l Q}{\pi r^4}$ लिखा जा सकता है ........$(2)$
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$\phi = \frac{r}{2 \beta l} \cdot \left( \frac{8 \eta l Q}{\pi r^4} \right) = \frac{4 \eta Q}{\pi \beta r^3}$.

(C) पोइज़ुइल के नियम के अनुसार,$r$ त्रिज्या और $\ell$ लंबाई वाली केशिका से $p$ दबाव अंतर के तहत प्रवाह की दर $Q$ इस प्रकार दी जाती है:
$Q = \frac{\pi p r^4}{8 \eta \ell}$
यहाँ,$\eta$ श्यानता गुणांक है।
सूत्र से,हम देखते हैं कि $Q \propto p r^4$ है।
प्रारंभिक स्थिति: $Q \propto p a^4$ है।
अंतिम स्थिति: $Q' \propto p' (r')^4$,जहाँ $p' = 4p$ और $r' = a/2$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$Q' \propto (4p) \left(\frac{a}{2}\right)^4 = 4p \cdot \frac{a^4}{16} = \frac{p a^4}{4}$ है।
दोनों की तुलना करने पर:
$\frac{Q'}{Q} = \frac{p a^4 / 4}{p a^4} = \frac{1}{4}$ है।
अतः,$Q' = Q/4$।

(A) पॉइज़ुइल के नियम के अनुसार,आयतन प्रवाह की दर $Q = \frac{\pi P r^4}{8 \eta \ell}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $P$ दबाव का अंतर है,$r$ त्रिज्या है,$\eta$ श्यानता है और $\ell$ नली की लंबाई है।
इस सूत्र से,$Q \propto \frac{r^4}{\ell}$ प्राप्त होता है।
मान लीजिए प्रारंभिक लंबाई $\ell_1 = \ell$ और प्रारंभिक त्रिज्या $r_1 = r$ है। नई लंबाई $\ell_2 = 2\ell$ है और नया व्यास आधा कर दिया गया है,इसलिए नई त्रिज्या $r_2 = \frac{r}{2}$ होगी।
प्रवाह की नई दर $Q^{\prime}$ इस प्रकार होगी:
$Q^{\prime} = Q \times \left(\frac{r_2}{r_1}\right)^4 \times \left(\frac{\ell_1}{\ell_2}\right)$
$Q^{\prime} = Q \times \left(\frac{r/2}{r}\right)^4 \times \left(\frac{\ell}{2\ell}\right)$
$Q^{\prime} = Q \times \left(\frac{1}{2}\right)^4 \times \left(\frac{1}{2}\right)$
$Q^{\prime} = Q \times \frac{1}{16} \times \frac{1}{2} = \frac{Q}{32}$.

(D) सुव्यवस्थित स्थितियों में श्रेणीक्रम में जुड़ी नलियों से बहने वाले तरल के लिए,तरल के प्रवाह की दर $(V)$ दोनों नलियों में समान रहती है।
पॉइज़ुइल के समीकरण के अनुसार,प्रवाह की दर $V = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि $V_1 = V_2$,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{\pi P_1 r_1^4}{8 \eta l_1} = \frac{\pi P_2 r_2^4}{8 \eta l_2}$
व्यंजक को सरल बनाने पर:
$\frac{P_1 r_1^4}{l_1} = \frac{P_2 r_2^4}{l_2}$
यह दिया गया है कि $P_2 = 4P_1$ और $l_2 = \frac{l_1}{4}$,इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$\frac{P_1 r_1^4}{l_1} = \frac{(4P_1) r_2^4}{l_1 / 4}$
$\frac{P_1 r_1^4}{l_1} = \frac{16 P_1 r_2^4}{l_1}$
$r_1^4 = 16 r_2^4$
दोनों पक्षों का चतुर्थ मूल लेने पर:
$r_1 = 2 r_2$
अतः,$r_2 = \frac{r_1}{2}$.

(D) दिया गया है: नल का व्यास $D = \frac{2}{\sqrt{\pi}}\,cm = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \times 10^{-2}\,m$.
त्रिज्या $r = \frac{D}{2} = \frac{1}{\sqrt{\pi}} \times 10^{-2}\,m$.
आयतन प्रवाह दर $Q = \frac{15\,litres}{5\,minutes} = \frac{15 \times 10^{-3}\,m^3}{300\,s} = 5 \times 10^{-5}\,m^3/s$.
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi \left( \frac{1}{\sqrt{\pi}} \times 10^{-2} \right)^2 = 10^{-4}\,m^2$.
वेग $v = \frac{Q}{A} = \frac{5 \times 10^{-5}}{10^{-4}} = 0.5\,m/s$.
रेनॉल्ड्स संख्या $R_e = \frac{\rho v D}{\eta}$,जहाँ $\rho = 10^3\,kg/m^3$,$v = 0.5\,m/s$,$D = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \times 10^{-2}\,m$,और $\eta = 10^{-3}\,Pa\cdot s$.
$R_e = \frac{10^3 \times 0.5 \times (2/\sqrt{\pi}) \times 10^{-2}}{10^{-3}} = \frac{5 \times (2/\sqrt{\pi})}{10^{-3}} = \frac{10}{\sqrt{\pi}} \times 10^3 \approx \frac{10}{1.772} \times 10^3 \approx 5642$.
निकटतम मान $5500$ है।

(D) $\text{रेनॉल्ड्स संख्या } (Re) \text{ का सूत्र है: } Re = \frac{\rho v D}{\eta}, \text{जहाँ } \rho \text{ घनत्व है } v \text{ वेग है } D \text{ पाइप का व्यास है और } \eta \text{ श्यानता गुणांक है।}
\text{सबसे पहले, सभी इकाइयों को } SI \text{ इकाइयों में बदलें:}
\text{आयतन प्रवाह दर } (Q) = 100\, L/min = \frac{100 \times 10^{-3}}{60}\, m^3/s = \frac{1}{60}\, m^3/s.
\text{त्रिज्या } (r) = 5\, cm = 0.05\, m, \text{इसलिए व्यास } (D) = 2r = 0.1\, m.
\text{घनत्व } (\rho) = 1000\, kg/m^3.
\text{श्यानता } (\eta) = 1\, mPa\, s = 10^{-3}\, Pa\, s.
\text{वेग } (v) \text{ की गणना:}
Q = A \times v = (\pi r^2) \times v
v = \frac{Q}{\pi r^2} = \frac{1/60}{\pi \times (0.05)^2} = \frac{20}{3\pi}\, m/s.
\text{अब, रेनॉल्ड्स संख्या की गणना करें:}
Re = \frac{1000 \times (20 / 3\pi) \times 0.1}{10^{-3}} = \frac{2000}{3\pi} \times 10^3 \approx 2.12 \times 10^5.
\text{दिए गए विकल्पों के अनुसार, सही क्रम } 10^4 \text{ है।}$

(B) दिया गया व्यंजक केशनली से बहने वाले श्यान द्रव के लिए पॉइज़ेली के नियम से प्राप्त होता है,जो $Q = \frac{\pi P r^4}{8 \eta l}$ है।
इस सूत्र को श्यानता गुणांक $\eta$ के लिए व्यवस्थित करने पर,हमें $\eta = \frac{\pi P r^4}{8 Q l}$ प्राप्त होता है।
चूँकि $\pi$ और $8$ विमाहीन स्थिरांक हैं,इसलिए व्यंजक $\frac{\pi P r^4}{8 Q l}$ की विमाएँ श्यानता गुणांक $\eta$ की विमाओं के बराबर हैं।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

$(A)$ रेनॉल्ड्स संख्या $(Re)$ को द्रव प्रवाह में जड़त्व बलों और श्यान बलों के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है: $Re = \frac{\text{Inertial Force}}{\text{Viscous Force}}$.
$Re < 2000$ के लिए, प्रवाह आमतौर पर स्तरीय (laminar) होता है, जहाँ श्यान बल प्रभावी होते हैं।
$Re > 2000$ के लिए, प्रवाह अशांत (turbulent) हो जाता है, जिसका अर्थ है कि श्यान बलों की तुलना में जड़त्व बल प्रभावी होते हैं।
इसलिए, अभिकथन सही है, और कारण यह सही ढंग से बताता है कि उच्च रेनॉल्ड्स संख्या पर प्रवाह अशांत क्यों हो जाता है।

(A) दिया गया है:
नली की लंबाई,$l = 1.5 \; m$
नली की त्रिज्या,$r = 1.0 \; cm = 0.01 \; m$
द्रव्यमान प्रवाह दर,$M = 4.0 \times 10^{-3} \; kg \; s^{-1}$
ग्लिसरीन का घनत्व,$\rho = 1.3 \times 10^{3} \; kg \; m^{-3}$
ग्लिसरीन की श्यानता,$\eta = 0.83 \; Pa \; s$
आयतन प्रवाह दर $V = \frac{M}{\rho} = \frac{4.0 \times 10^{-3}}{1.3 \times 10^{3}} \approx 3.077 \times 10^{-6} \; m^{3} \; s^{-1}$.
दाबांतर $p$ के लिए पॉइज़ुइल के सूत्र का उपयोग करते हुए:
$V = \frac{\pi p r^{4}}{8 \eta l} \implies p = \frac{8 \eta l V}{\pi r^{4}}$
$p = \frac{8 \times 0.83 \times 1.5 \times 3.077 \times 10^{-6}}{\pi \times (0.01)^{4}}$
$p = \frac{3.0647 \times 10^{-5}}{\pi \times 10^{-8}} \approx 9.756 \times 10^{2} \; Pa \approx 9.8 \times 10^{2} \; Pa$.
रेनॉल्ड्स संख्या $R_e = \frac{4 \rho V}{\pi d \eta}$ का उपयोग करके स्तरीय प्रवाह की जांच करते हुए,जहाँ $d = 2r = 0.02 \; m$:
$R_e = \frac{4 \times 1.3 \times 10^{3} \times 3.077 \times 10^{-6}}{\pi \times 0.02 \times 0.83} \approx 0.306$.
चूंकि $R_e < 2000$,इसलिए प्रवाह स्तरीय (laminar) है।

(N/A) दिया गया है:
धमनी का व्यास,$d = 2 \times 10^{-3} \; m$
रक्त की श्यानता,$\eta = 2.084 \times 10^{-3} \; Pa \cdot s$
रक्त का घनत्व,$\rho = 1.06 \times 10^{3} \; kg/m^3$
लैमिनर प्रवाह के लिए रेनॉल्ड्स संख्या,$N_{R} = 2000$
$(a)$ लैमिनर प्रवाह के लिए अधिकतम औसत वेग $(V_{avg})$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$V_{avg} = \frac{N_{R} \eta}{\rho d}$
मान रखने पर:
$V_{avg} = \frac{2000 \times 2.084 \times 10^{-3}}{1.06 \times 10^{3} \times 2 \times 10^{-3}}$
$V_{avg} = \frac{4.168}{2.12} \approx 1.966 \; m/s$
$(b)$ हाँ,जैसे-जैसे तरल का वेग बढ़ता है,विसर्जक बल अधिक महत्वपूर्ण हो जाते हैं। इसका कारण यह है कि उच्च वेग अशांत प्रवाह (turbulence) को जन्म देता है। अशांत प्रवाह में,तरल के कण अनियमित पथ पर चलते हैं,जिससे लैमिनर प्रवाह की तुलना में आंतरिक घर्षण और ऊर्जा का ह्रास बढ़ जाता है।

(N/A) धमनी की त्रिज्या,$r = 2 \times 10^{-3} \; m$
धमनी का व्यास,$d = 2r = 4 \times 10^{-3} \; m$
रक्त की श्यानता,$\eta = 2.084 \times 10^{-3} \; Pa \; s$
रक्त का घनत्व,$\rho = 1.06 \times 10^{3} \; kg/m^{3}$
लैमिनर प्रवाह के लिए रेनॉल्ड्स संख्या,$N_{R} = 2000$
$(a)$ अधिकतम औसत वेग $(V_{avg})$ निम्नलिखित संबंध द्वारा दिया जाता है:
$V_{avg} = \frac{N_{R} \eta}{\rho d}$
$V_{avg} = \frac{2000 \times 2.084 \times 10^{-3}}{1.06 \times 10^{3} \times 4 \times 10^{-3}}$
$V_{avg} \approx 0.983 \; m/s$
$(b)$ प्रवाह दर $(Q)$ निम्नलिखित है:
$Q = A \times V_{avg} = \pi r^{2} V_{avg}$
$Q = 3.14 \times (2 \times 10^{-3})^{2} \times 0.983$
$Q \approx 1.235 \times 10^{-5} \; m^{3}/s$

(N/A) अशांत प्रवाह तरल प्रवाह का एक प्रकार है जो तरल के वेग और दबाव में अराजक, अनियमित और अप्रत्याशित परिवर्तनों द्वारा पहचाना जाता है। यह तब होता है जब तरल का वेग एक महत्वपूर्ण मान से अधिक हो जाता है, जिससे रेनॉल्ड्स संख्या उच्च $(Re > 4000)$ हो जाती है।
अशांत प्रवाह के उदाहरण निम्नलिखित हैं:
$(i)$ समुद्री धाराएँ।
$(ii)$ लकड़ी जलने से उठता धुआं।
$(iii)$ पृथ्वी के वायुमंडल में अशांति के कारण तारों का टिमटिमाना।
$(iv)$ चलती नाव के चारों ओर पानी का प्रवाह या विमान के पंखों के सिरों के आसपास का प्रवाह।

(A) द्रव गतिकी में, क्रांतिक गति (या क्रांतिक वेग) द्रव प्रवाह का वह विशिष्ट वेग है जिस पर प्रवाह स्तरीय (laminar) से अशांत (turbulent) में परिवर्तित हो जाता है।
जब द्रव का वेग इस क्रांतिक मान से कम होता है, तो प्रवाह सुचारू और व्यवस्थित (स्तरीय) होता है।
जब वेग इस क्रांतिक मान से अधिक हो जाता है, तो प्रवाह अराजक और अनियमित (अशांत) हो जाता है।
यह संक्रमण रेनॉल्ड्स संख्या $(Re)$ द्वारा निर्धारित किया जाता है, जहाँ $Re = \frac{\rho v D}{\eta}$ होता है।
पाइप के लिए, प्रवाह आमतौर पर तब अशांत हो जाता है जब $Re > 2300$ होता है।

(N/A) ऑस्बोर्न रेनॉल्ड्स ने देखा कि कम दर पर बहने वाले श्यान (viscous) तरल पदार्थों के लिए अशांत प्रवाह (turbulent flow) की संभावना कम होती है। उन्होंने एक विमाहीन संख्या को परिभाषित किया,जिसका मान यह संकेत देता है कि प्रवाह अशांत होगा या नहीं। इस संख्या को रेनॉल्ड्स संख्या,$R_{e}$ कहा जाता है।
$R_{e} = \frac{\rho v d}{\eta}$
जहाँ $\rho$ तरल का घनत्व है,$v$ तरल का वेग है,$\eta$ तरल की श्यानता है और $d$ पाइप का आयाम (व्यास) है।
रेनॉल्ड्स संख्या के मान से प्रवाह के प्रकार को जाना जा सकता है:
$1$. यदि $R_{e} < 1000$ है,तो प्रवाह सुरेख या लैमिनर (laminar) होता है।
$2$. यदि $R_{e} > 2000$ है,तो प्रवाह अशांत (turbulent) होता है।
$3$. यदि $R_{e}$ का मान $1000$ और $2000$ के बीच है,तो प्रवाह अस्थिर (unsteady) होता है।

(N/A) प्रक्षुब्ध प्रवाह तरल प्रवाह का एक प्रकार है जो तरल कणों की अराजक, अनियमित और अस्थिर गति द्वारा पहचाना जाता है। यह तब होता है जब प्रवाह का वेग एक महत्वपूर्ण मान से अधिक हो जाता है, जिससे रेनॉल्ड्स संख्या उच्च $ (Re > 4000) $ हो जाती है। इस प्रवाह में, किसी भी बिंदु पर वेग का परिमाण और दिशा लगातार बदलते रहते हैं, जिससे भंवर (eddies) और चक्रवात (vortices) बनते हैं।
प्रक्षुब्ध प्रवाह के उदाहरण:
$ (i) $ समुद्री धाराएँ।
$ (ii) $ लकड़ी जलने से उठता हुआ धुआँ।
$ (iii) $ पृथ्वी के वायुमंडल में प्रक्षोभ के कारण तारों का टिमटिमाना।
$ (iv) $ चलती नाव के चारों ओर पानी का प्रवाह और विमान के पंखों के सिरों के चारों ओर हवा का प्रवाह।

(N/A) रेनॉल्ड्स संख्या $R_{e}$ को जड़त्व बल और श्यान बल के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
जड़त्व बल द्रव्यमान और त्वरण का गुणनफल है,जिसे $F_{i} = \rho A v^{2}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $v$ वेग है।
श्यान बल न्यूटन के श्यानता के नियम द्वारा दिया जाता है,$F_{v} = \eta A \frac{dv}{dx}$,जो एक विशिष्ट लंबाई $d$ के लिए $F_{v} = \frac{\eta A v}{d}$ के रूप में सरल हो जाता है।
इन दोनों बलों का अनुपात लेने पर:
$R_{e} = \frac{F_{i}}{F_{v}} = \frac{\rho A v^{2}}{\left(\frac{\eta A v}{d}\right)}$
व्यंजक को सरल करने पर:
$R_{e} = \frac{\rho v^{2}}{\left(\frac{\eta v}{d}\right)} = \frac{\rho v d}{\eta}$
इस प्रकार,रेनॉल्ड्स संख्या जड़त्व बल और श्यान बल के अनुपात को दर्शाती है।

(N/A) पाइप में बहने वाले द्रव का प्रवाह जिस अधिकतम वेग तक धारा रेखीय (laminar) रहता है,उस वेग को क्रांतिक वेग (Critical velocity) कहा जाता है। इस वेग से अधिक होने पर प्रवाह विक्षुब्ध (turbulent) हो जाता है।
क्रांतिक वेग $(v_{c})$ का समीकरण इस प्रकार है:
$v_{c} = \frac{R_{e} \eta}{\rho d}$
जहाँ:
$R_{e}$ रेनॉल्ड्स संख्या है,
$\eta$ द्रव का श्यानता गुणांक है,
$\rho$ द्रव का घनत्व है,
$d$ पाइप का व्यास है।

रेनॉल्ड्स संख्या $(R_{e})$ का सूत्र इस प्रकार है: $R_{e} = \frac{\rho v d}{\eta}$
जहाँ:
$\rho$ (घनत्व) = $[M^{1} L^{-3} T^{0}]$
$v$ (वेग) = $[M^{0} L^{1} T^{-1}]$
$d$ (व्यास) = $[L^{1}]$
$\eta$ (श्यानता गुणांक) = $[M^{1} L^{-1} T^{-1}]$
सूत्र में विमाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$R_{e} = \frac{[M^{1} L^{-3} T^{0}] [M^{1} L^{1} T^{-1}] [L^{1}]}{[M^{1} L^{-1} T^{-1}]}$
$R_{e} = \frac{[M^{1} L^{-1} T^{-1}]}{[M^{1} L^{-1} T^{-1}]}$
$R_{e} = [M^{0} L^{0} T^{0}]$
चूंकि मूल विमाओं की सभी घातें शून्य हैं,इसलिए रेनॉल्ड्स संख्या विमाहीन है।

(B) रेनॉल्ड्स संख्या $(R_e)$ एक विमाहीन राशि है जिसका उपयोग द्रव के प्रवाह के प्रकार का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है।
पाइप के माध्यम से प्रवाह के लिए,प्रवाह की विशेषताओं को आमतौर पर इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$1$. यदि $R_e < 2000$ है,तो प्रवाह लैमिनर (धारा रेखीय) होता है।
$2$. यदि $2000 < R_e < 4000$ है,तो प्रवाह संक्रमण अवस्था में होता है।
$3$. यदि $R_e > 4000$ है,तो प्रवाह अशांत (Turbulent) होता है।
कई संदर्भों में,$R_e > 1000$ से $2000$ के प्रवाह को लैमिनर प्रवाह से दूर और अशांत प्रवाह की ओर बढ़ते हुए माना जाता है। दिए गए विकल्पों के अनुसार,$R_e > 1000$ अस्थिरता की शुरुआत को दर्शाता है जो अशांत प्रवाह की ओर ले जाता है।

(TURBULENT) जब रेनॉल्ड्स संख्या $(R_e)$ $2000$ से अधिक हो जाती है,तो द्रव का प्रवाह विक्षुब्ध (turbulent) माना जाता है।
विक्षुब्ध प्रवाह में,द्रव के कण अनियमित,अराजक और अप्रत्याशित तरीके से गति करते हैं।
इस प्रकार के प्रवाह की विशेषता द्रव में किसी भी बिंदु पर भंवर (eddies),चक्रवात (vortices) और वेग में उतार-चढ़ाव का बनना है।
स्तरीय (laminar) प्रवाह के विपरीत,जहाँ द्रव की परतें एक-दूसरे पर सुचारू रूप से फिसलती हैं,विक्षुब्ध प्रवाह में आंतरिक घर्षण के कारण महत्वपूर्ण मिश्रण और ऊर्जा का ह्रास होता है।

(D) रेनॉल्ड्स संख्या $(R_e)$ एक विमाहीन राशि है जिसका उपयोग विभिन्न द्रव प्रवाह स्थितियों में प्रवाह पैटर्न की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है।
स्थिर (लैमिनर) प्रवाह के लिए,$R_e < 2000$ होता है।
संक्रमण प्रवाह के लिए,$2000 < R_e < 3000$ होता है।
अशांत (टर्बुलेंट) प्रवाह के लिए,$R_e > 3000$ होता है।
अस्थिर प्रवाह का अर्थ है ऐसा प्रवाह जिसमें किसी दिए गए बिंदु पर वेग समय के साथ बदलता रहता है। रेनॉल्ड्स संख्या विशेष रूप से स्थिर-अवस्था प्रवाह स्थितियों के लिए परिभाषित की जाती है ताकि प्रवाह के प्रकार को पहचाना जा सके। इसलिए,यह अस्थिर प्रवाह के लिए लागू नहीं होती है या परिभाषित नहीं है।

(N/A) क्रांतिक वेग वह अधिकतम वेग है जहाँ तक किसी तरल का प्रवाह सुव्यवस्थित (streamlined) या लैमिनर रहता है। जब तरल का वेग इस मान से अधिक हो जाता है,तो प्रवाह अशांत (turbulent) हो जाता है।
क्रांतिक वेग $(v_c)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$v_c = \frac{R_e \cdot \eta}{\rho \cdot D}$
जहाँ:
$R_e$ रेनॉल्ड्स संख्या है (एक विमाहीन राशि),
$\eta$ तरल का श्यानता गुणांक है,
$\rho$ तरल का घनत्व है,
$D$ पाइप का व्यास है।

(C) टर्बुलेंस को द्रव प्रवाह में अराजक और यादृच्छिक गुणों में परिवर्तन द्वारा पहचाना जाता है। इसकी मुख्य सीमाएँ निम्नलिखित हैं:
$1$. यह अत्यधिक गैर-रेखीय (non-linear) है और प्रारंभिक स्थितियों के प्रति संवेदनशील है,जिससे दीर्घकालिक भविष्यवाणी करना असंभव हो जाता है।
$2$. कोई भी एकल,सार्वभौमिक विश्लेषणात्मक सिद्धांत नहीं है जो सभी अशांत प्रवाहों का वर्णन कर सके।
$3$. इसमें स्थानिक और समय के पैमानों की एक विस्तृत श्रृंखला शामिल है,जिसके लिए संख्यात्मक सिमुलेशन $(DNS)$ हेतु भारी कम्प्यूटेशनल शक्ति की आवश्यकता होती है।
$4$. यह आंतरिक घर्षण के कारण ऊर्जा के क्षय में काफी वृद्धि करता है।

(N/A) रेनॉल्ड्स संख्या एक विमाहीन राशि है जिसका उपयोग द्रव यांत्रिकी (fluid mechanics) में विभिन्न द्रव प्रवाह स्थितियों में प्रवाह पैटर्न की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है।
इसे द्रव के भीतर जड़त्वीय बलों (inertial forces) और श्यानता बलों (viscous forces) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
यह द्रव के घनत्व $(\rho)$,द्रव के वेग $(v)$,नली के व्यास $(D)$ और श्यानता गुणांक $(\eta)$ पर निर्भर करता है।
रेनॉल्ड्स संख्या $(N_R)$ का सूत्र इस प्रकार है:
$N_R = \frac{\rho v D}{\eta}$
रेनॉल्ड्स संख्या का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि द्रव का प्रवाह लैमिनर (धारा रेखीय) है या टर्बुलेंट (विक्षुब्ध)।

(A) रेनॉल्ड्स संख्या $(Re)$ एक विमाहीन राशि है जिसका उपयोग विभिन्न तरल प्रवाह स्थितियों में प्रवाह पैटर्न की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है।
स्ट्रीमलाइन या लैमिनार प्रवाह के लिए, रेनॉल्ड्स संख्या का मान सामान्यतः $2000$ से कम माना जाता है।
जब $Re > 3000$ होता है तो प्रवाह को अशांत (turbulent) माना जाता है, और जब $2000 < Re < 3000$ होता है तो यह संक्रमण अवस्था में होता है।

(B) रेनॉल्ड्स संख्या $(Re)$ एक विमाहीन राशि है जिसका उपयोग विभिन्न द्रव प्रवाह स्थितियों में प्रवाह पैटर्न की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है।
परतदार (laminar) प्रवाह के लिए, $Re < 1000$ होता है।
अस्थिर या संक्रमणकालीन प्रवाह के लिए, रेनॉल्ड्स संख्या आमतौर पर $1000$ और $2000$ के बीच होती है।
विक्षुब्ध (turbulent) प्रवाह के लिए, $Re > 2000$ होता है।
अतः, अस्थिर प्रवाह के लिए रेनॉल्ड्स संख्या का मान $1000$ और $2000$ के बीच होता है।

(C) रेनॉल्ड्स संख्या $(Re)$ एक विमाहीन राशि है जिसका उपयोग विभिन्न तरल प्रवाह स्थितियों में प्रवाह पैटर्न की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है।
पाइप में प्रवाह के लिए, जब $Re < 2000$ होता है तो प्रवाह को लैमिनर (laminar) माना जाता है।
जब $2000 < Re < 4000$ होता है तो प्रवाह को ट्रांजिशनल (transitional) माना जाता है।
जब $Re > 4000$ होता है तो प्रवाह को अशांत (turbulent) माना जाता है।
हालाँकि, कई सरल संदर्भों में, जब $Re > 2000$ होता है तो प्रवाह को अक्सर अशांत माना जाता है।

(B) द्रव गतिकी में,जड़त्वीय बल गतिमान द्रव कणों के संवेग से जुड़ा बल है।
इसे द्रव के तत्व के द्रव्यमान और उसके त्वरण के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे $F_i = m \cdot a$ के रूप में दर्शाया जाता है,जहाँ $m$ द्रव का द्रव्यमान है और $a$ त्वरण है।
रेनॉल्ड्स संख्या के संदर्भ में,यह द्रव की गति की स्थिति में परिवर्तन के प्रति प्रतिरोध को दर्शाता है।

(A) रेनॉल्ड्स संख्या $(Re)$ एक विमाहीन राशि है जिसका उपयोग द्रव यांत्रिकी (fluid mechanics) में विभिन्न द्रव प्रवाह स्थितियों में प्रवाह पैटर्न की भविष्यवाणी करने के लिए किया जाता है。
इसे द्रव के भीतर जड़त्व बल (Inertial force) और श्यान बल (Viscous force) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, जो विभिन्न द्रव वेगों के कारण आंतरिक गति का अनुभव करता है。
गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:
$Re = \frac{\text{Inertial force}}{\text{Viscous force}}$
अतः, सही विकल्प $A$ है。

(A) रेनॉल्ड्स संख्या $(R_e)$ एक विमाहीन राशि है जिसका उपयोग द्रव के प्रवाह के प्रकार का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है।
$1$. $R_e < 1000$ के लिए,प्रवाह स्ट्रीमलाइन या लैमिनर होता है।
$2$. $1000 < R_e < 2000$ के लिए,प्रवाह अनस्टेडी (अस्थिर/संक्रमण अवस्था) होता है।
$3$. $R_e > 2000$ के लिए,प्रवाह टर्बुलेंट (विक्षुब्ध) होता है।
अतः,सही मिलान $(a-ii)$ और $(b-iii)$ है।

(D) प्रवाह की प्रकृति रेनॉल्ड्स संख्या $(R_e)$ द्वारा निर्धारित की जाती है: $R_e = \frac{\rho v D}{\eta}$.
दिया गया है: $\rho = 10^3\, kg/m^3$,$\eta = 10^{-3}\, Pa\cdot s$,$r = 0.5\, cm = 0.005\, m$,$D = 2r = 0.01\, m$.
प्रवाह दर $Q = A \cdot v = \pi r^2 v$,इसलिए $v = \frac{Q}{\pi r^2}$.
$R_e$ में $v$ का मान रखने पर: $R_e = \frac{\rho Q D}{\eta \pi r^2} = \frac{\rho Q (2r)}{\eta \pi r^2} = \frac{2 \rho Q}{\eta \pi r}$.
$Q_1 = 0.18\, L/min = \frac{0.18 \times 10^{-3}}{60}\, m^3/s = 3 \times 10^{-6}\, m^3/s$ के लिए:
$R_{e1} = \frac{2 \times 10^3 \times 3 \times 10^{-6}}{10^{-3} \times \pi \times 0.005} \approx 382.16$.
चूंकि $R_{e1} < 1000$,प्रवाह स्थायी है।
$Q_2 = 0.48\, L/min = \frac{0.48 \times 10^{-3}}{60}\, m^3/s = 8 \times 10^{-6}\, m^3/s$ के लिए:
$R_{e2} = \frac{2 \times 10^3 \times 8 \times 10^{-6}}{10^{-3} \times \pi \times 0.005} \approx 1018.59$.
चूंकि $1000 < R_{e2} < 2000$,प्रवाह अस्थायी हो जाता है।
अतः,प्रवाह स्थायी से अस्थायी में बदल जाता है।