Pressure due to Liquid Column and Barometer Questions in Hindi

(B) माना झील की कुल गहराई $h$ है। झील के तल पर दबाव $P_{bottom} = P_0 + h\rho g$ होता है।
आधी गहराई $(h/2)$ पर दबाव $P_{half} = P_0 + (h/2)\rho g$ होता है।
प्रश्न के अनुसार,$P_{half} = \frac{2}{3} P_{bottom}$.
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर: $P_0 + \frac{h}{2}\rho g = \frac{2}{3}(P_0 + h\rho g)$.
$3$ से गुणा करने पर: $3P_0 + \frac{3}{2}h\rho g = 2P_0 + 2h\rho g$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $P_0 = 2h\rho g - 1.5h\rho g = 0.5h\rho g$.
अतः,$h = \frac{2P_0}{\rho g}$.
मान $P_0 = 10^5 \ Pa$,$\rho = 10^3 \ kg/m^3$,और $g = 10 \ m/s^2$ रखने पर:
$h = \frac{2 \times 10^5}{10^3 \times 10} = \frac{2 \times 10^5}{10^4} = 20 \ m$.

(B) समुद्र तल और पहाड़ी की चोटी के बीच दबाव का अंतर मरकरी स्तंभ की ऊँचाई में परिवर्तन द्वारा दिया जाता है:
$\Delta P = (h_1 - h_2) \times \rho_{Hg} \times g = (75 - 50) \times 10^{-2} \ m \times \rho_{Hg} \times g$ ... $(i)$
दबाव का अंतर $h$ ऊँचाई के वायु स्तंभ के वजन के बराबर भी होता है:
$\Delta P = h \times \rho_{air} \times g$ ... $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$h \times \rho_{air} \times g = 25 \times 10^{-2} \times \rho_{Hg} \times g$
$h = 25 \times 10^{-2} \times \left( \frac{\rho_{Hg}}{\rho_{air}} \right)$
दिया गया है कि $\frac{\rho_{Hg}}{\rho_{air}} = 10^4$,इसलिए:
$h = 25 \times 10^{-2} \times 10^4 = 2500 \ m$
किलोमीटर में बदलने पर,पहाड़ी की ऊँचाई $2.5 \ km$ है।

(C) घनत्व $\rho$ वाले द्रव में $h$ गहराई पर दाब $P$ का सूत्र $P = h\rho g$ है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
इस सूत्र से यह स्पष्ट है कि दाब द्रव स्तंभ की ऊँचाई $(h)$,द्रव के घनत्व $(\rho)$ और गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ पर निर्भर करता है।
यह टैंक की तली के सतह के क्षेत्रफल पर निर्भर नहीं करता है।
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(A) बैरोमीटर में पारे के स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $P$,सूत्र $P = h \rho g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ पारे के स्तंभ की ऊँचाई है,$\rho$ पारे का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूँकि वायुमंडलीय दबाव $P$ स्थिर रहता है और पारे का घनत्व $\rho$ स्थिर है,इसलिए हमारे पास $h \propto \frac{1}{g}$ है।
लघुगणकीय अवकलन (logarithmic differentiation) लेने पर,हमें $\frac{\Delta h}{h} = -\frac{\Delta g}{g}$ प्राप्त होता है।
यह दिया गया है कि $g$ में $2\%$ की कमी होती है,इसलिए $\frac{\Delta g}{g} = -0.02$ है।
इस मान को समीकरण में रखने पर,$\frac{\Delta h}{h} = -(-0.02) = 0.02$ प्राप्त होता है।
अतः,ऊँचाई $h$ में $2\%$ की वृद्धि होगी।

(D) $h$ ऊँचाई के द्रव स्तंभ द्वारा लगाया गया दाब $P = \rho g_{eff} h$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ द्रव का घनत्व है और $g_{eff}$ गुरुत्वीय त्वरण का प्रभावी मान है।
बैरोमीटर के लिए,वायुमंडलीय दाब $P_{atm}$ द्रव स्तंभ द्वारा संतुलित होता है,इसलिए $P_{atm} = \rho g_{eff} h$,जिसका अर्थ है $h = \frac{P_{atm}}{\rho g_{eff}}$।
जब लिफ्ट स्थिर होती है,तो $g_{eff} = g$ होता है।
जब लिफ्ट $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति करती है,तो प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g + a$ हो जाता है।
चूंकि $g_{eff}$ बढ़ता है,इसलिए समान वायुमंडलीय दाब बनाए रखने के लिए पारे (mercury) के स्तंभ की ऊँचाई $h$ कम हो जानी चाहिए $(h \propto \frac{1}{g_{eff}})$।
अतः,पाठ्यांक $76 \ cm$ से कम होगा।

(A) बैरोमीटर में पारे के स्तंभ की ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h$ ट्यूब के झुकाव की परवाह किए बिना स्थिर रहती है,क्योंकि यह वायुमंडलीय दबाव द्वारा निर्धारित होती है।
दिया गया है,ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h = 76 \ cm$ है।
जब ट्यूब को ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta = 60^\circ$ के कोण पर झुकाया जाता है,तो ट्यूब के साथ पारे के स्तंभ की लंबाई $l$ और ऊर्ध्वाधर ऊंचाई $h$ के बीच संबंध इस प्रकार है:
$h = l \cos \theta$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$76 = l \cos 60^\circ$
$76 = l \times \frac{1}{2}$
$l = 76 \times 2 = 152 \ cm$.
अतः,पारे के स्तंभ की लंबाई $152 \ cm$ होगी।

(B) माना द्रव की ऊँचाई $h$ है और बेलनाकार बर्तन की त्रिज्या $r$ है। द्रव का घनत्व $\rho$ है।
$1$. बर्तन के तल पर दबाव $P_{bottom} = h\rho g$ है। तल पर लगाया गया बल $F_{bottom} = P_{bottom} \times A_{bottom} = (h\rho g)(\pi r^2)$ है।
$2$. ऊर्ध्वाधर भुजा पर दबाव गहराई के साथ रैखिक रूप से बदलता है। भुजा की दीवार पर औसत दबाव $P_{avg} = \frac{0 + h\rho g}{2} = \frac{1}{2}h\rho g$ है। भुजा की दीवार का क्षेत्रफल $A_{side} = 2\pi rh$ है। अतः,भुजा की दीवार पर बल $F_{side} = P_{avg} \times A_{side} = (\frac{1}{2}h\rho g)(2\pi rh) = \pi \rho g r h^2$ है।
$3$. प्रश्न के अनुसार,$F_{bottom} = F_{side}$ है।
अतः,$h\rho g \pi r^2 = \pi \rho g r h^2$ है।
$4$. समीकरण को सरल करने पर: $h r^2 = r h^2$,जिससे $h = r$ प्राप्त होता है।

(D) $h$ गहराई पर तरल स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $P = h \rho g$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ तरल का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
यह सूत्र दर्शाता है कि कंटेनर के तल पर दबाव कंटेनर के आकार या आधार के क्षेत्रफल से स्वतंत्र होता है।
यह केवल तरल स्तंभ की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h$ पर निर्भर करता है।
दिए गए चित्र में,दोनों टैंक $(a)$ और $(b)$ समान ऊँचाई $h$ तक पानी से भरे हुए हैं।
चूँकि दोनों टैंकों के लिए $h$,$\rho$ और $g$ समान हैं,इसलिए दोनों टैंकों के तल पर दबाव भी समान होगा।

(A) एक द्रव तब उबलता है जब उसका वाष्प दाब बाहरी वायुमंडलीय दबाव के बराबर हो जाता है।
इस बिंदु पर,द्रव के पूरे आयतन में वाष्प के बुलबुले बन सकते हैं और वे सतह तक ऊपर उठ सकते हैं,जिससे द्रव गैसीय अवस्था में परिवर्तित हो जाता है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(B) माना झील की गहराई $h$ है और वायुमंडलीय दबाव $P_0$ है। पानी का घनत्व $\rho = 10^3 \ kg/m^3$ और $g = 10 \ m/s^2$ है।
$h/2$ गहराई पर दबाव $P_1 = P_0 + (h/2)\rho g$ है।
तली (गहराई $h$) पर दबाव $P_2 = P_0 + h\rho g$ है।
प्रश्न के अनुसार,$P_1 = (2/3)P_2$ है।
मान रखने पर: $P_0 + (1/2)h\rho g = (2/3)(P_0 + h\rho g)$।
हर को हटाने के लिए $6$ से गुणा करने पर: $6P_0 + 3h\rho g = 4P_0 + 4h\rho g$।
पदों को व्यवस्थित करने पर: $2P_0 = h\rho g$।
अतः,$h = (2P_0) / (\rho g)$।
$P_0 = 10^5 \ Pa$,$\rho = 10^3 \ kg/m^3$,और $g = 10 \ m/s^2$ का उपयोग करने पर:
$h = (2 \times 10^5) / (10^3 \times 10) = 2 \times 10^5 / 10^4 = 20 \ m$।

(B) $h$ ऊँचाई के द्रव स्तंभ के कारण पात्र के तल पर लगने वाला दाब $P = h \rho g$ द्वारा दिया जाता है।
तल के क्षेत्रफल $A$ पर लगने वाला बल $F = P \times A$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $h = 0.4 \ m$,$\rho = 900 \ kg/m^{3}$,$g = 10 \ m/s^{2}$,और $A = 2 \times 10^{-3} \ m^{2}$.
$F = (h \rho g) \times A$
$F = 0.4 \times 900 \times 10 \times (2 \times 10^{-3})$
$F = 3600 \times 2 \times 10^{-3}$
$F = 7200 \times 10^{-3} = 7.2 \ N$.

(B) पर्वत के आधार और शीर्ष के बीच का दाबांतर $h$ ऊँचाई और $\rho_{air}$ घनत्व वाले हवा के स्तंभ के भार के बराबर होता है।
यह दाबांतर पारे के स्तंभों द्वारा लगाए गए दबाव के अंतर के भी बराबर होता है।
माना पर्वत की ऊँचाई $h$ है,पारे का घनत्व $\rho_{Hg}$ है और हवा का घनत्व $\rho_{air}$ है।
दाबांतर इस प्रकार है: $\Delta P = (h_1 - h_2) \rho_{Hg} g = h \rho_{air} g$.
दिए गए मानों को रखने पर: $(75 \, cm - 50 \, cm) \times \rho_{Hg} = h \times \rho_{air}$.
$25 \times 10^{-2} \, m \times \rho_{Hg} = h \times \rho_{air}$.
$h = 25 \times 10^{-2} \times \left( \frac{\rho_{Hg}}{\rho_{air}} \right)$.
दिया गया है कि $\frac{\rho_{Hg}}{\rho_{air}} = 10^4$.
$h = 25 \times 10^{-2} \times 10^4 = 2500 \, m$.
अतः,पर्वत की ऊँचाई $2.5 \, km$ है।

(D) $h$ गहराई पर,कुल दबाव $P_1 = P + \rho gh$ होता है,जहाँ $P$ वायुमंडलीय दबाव है,$\rho$ पानी का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
सतह पर,दबाव $P_2$ वायुमंडलीय दबाव $P$ के बराबर होता है।
चूंकि तापमान स्थिर है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
यहाँ,$V_1 = V_0$ और $V_2 = V$ (सतह पर आयतन)।
मान रखने पर: $(P + \rho gh) V_0 = P V$.
$V$ के लिए हल करने पर: $V = V_0 \frac{(P + \rho gh)}{P} = V_0 (1 + \frac{\rho gh}{P})$.

(A) वायुमंडलीय दबाव $P_{atm} = 75 \, cm$ पारा है।
चूंकि नली का केवल $50 \, cm$ हिस्सा पारे के स्तर से ऊपर है,इसलिए नली के अंदर पारे का स्तंभ $50 \, cm$ ऊंचा है।
नली के शीर्ष पर दबाव $(P_{top})$ और $50 \, cm$ पारे के स्तंभ के कारण दबाव का योग वायुमंडलीय दबाव के बराबर होना चाहिए।
$P_{top} + 50 \, cm \, Hg = 75 \, cm \, Hg$.
$P_{top} = 75 \, cm - 50 \, cm = 25 \, cm$ पारा।
$25 \, cm$ पारे को $kPa$ में बदलने के लिए,हम $76 \, cm \, Hg \approx 101.3 \, kPa$ संबंध का उपयोग करते हैं।
$P_{top} = (25 / 76) \times 101.3 \, kPa \approx 33.3 \, kPa$.

(D) परिवर्ती घनत्व वाले द्रव के पात्र के तल पर दाब का सूत्र $P = P_0 + \int_{0}^{H} \rho(h) g \, dh$ है,जहाँ $H = 10\, m$ कुल गहराई है।
दिए गए मानों को रखने पर: $P = 10^5 + \int_{0}^{10} (100 + 6h^2) \times 10 \, dh$.
$P = 10^5 + 10 \times [100h + \frac{6h^3}{3}]_{0}^{10}$.
$P = 10^5 + 10 \times [100(10) + 2(10)^3]$.
$P = 10^5 + 10 \times [1000 + 2000]$.
$P = 10^5 + 10 \times 3000 = 10^5 + 30000 = 130000\, Pa$.
अतः,$P = 1.3 \times 10^5\, Pa$.

(C) मरकरी स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $P = \rho gh$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ मरकरी का घनत्व है,$g$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है,और $h$ मरकरी स्तंभ की ऊंचाई है। यह दबाव वायुमंडलीय दबाव $(P_{atm})$ को संतुलित करता है।
$1$. वायुमंडलीय दबाव $(P_{atm})$ में परिवर्तन सीधे ऊंचाई $h$ को बदलने का कारण बनता है ताकि संतुलन बना रहे $(P_{atm} = \rho gh)$।
$2$. $g$ के मान में परिवर्तन होने पर ऊंचाई $h$ को समायोजित होना पड़ेगा ताकि दबाव $\rho gh$ का मान $P_{atm}$ के बराबर बना रहे।
$3$. ट्यूब में हवा का रिसाव मरकरी स्तंभ के ऊपर हवा का दबाव डालता है,जो मरकरी को नीचे धकेलता है,जिससे ऊंचाई $h$ बदल जाती है।
$4$. जलाशय से मरकरी का वाष्पीकरण जलाशय की सतह पर कार्य करने वाले वायुमंडलीय दबाव को नहीं बदलता है,और न ही यह घनत्व या गुरुत्वाकर्षण त्वरण को बदलता है। इसलिए,यह मरकरी स्तंभ की ऊंचाई को बदलने का कारण नहीं बनता है।

(A) लिफ्ट $\alpha$ मंदन के साथ नीचे की ओर गति कर रही है। इसका मतलब है कि लिफ्ट का शुद्ध त्वरण ऊपर की दिशा में है।
लिफ्ट के फ्रेम में गुरुत्वीय त्वरण $g_{eff} = g + \alpha$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\alpha$ मंदन का परिमाण है।
बैरोमीटर में,वायुमंडलीय दबाव $P_0$ को $h$ ऊँचाई के पारे के स्तंभ द्वारा लगाए गए दबाव द्वारा संतुलित किया जाता है,जो $P = \rho g_{eff} h$ द्वारा दिया जाता है।
दोनों को बराबर करने पर,हमें $P_0 = \rho (g + \alpha) h$ प्राप्त होता है।
$h$ के लिए हल करने पर,हमें $h = \frac{P_0}{\rho (g + \alpha)}$ प्राप्त होता है।

(A) $1$. बिंदु $1$ कंटेनर में तरल की सतह पर है,जो वायुमंडल के संपर्क में है। इसलिए,बिंदु $1$ पर दबाव $P_1 = P_0$ है।
$2$. बिंदु $3$ साइफन का निकास बिंदु है,जो वायुमंडल के संपर्क में भी है। इसलिए,बिंदु $3$ पर दबाव $P_3 = P_0$ है।
$3$. साइफन दोनों सिरों के बीच दबाव के अंतर के आधार पर काम करता है। तरल को बाहर निकालने के लिए,निकास बिंदु कंटेनर में तरल स्तर से नीचे होना चाहिए,जिसका अर्थ है $h_3 > 0$। इसलिए,कथन 'साइफन तब काम करता है जब $h_3 < 0$ हो' गलत है।
$4$. बिंदु $2$ निकास बिंदु $3$ से $h_3$ ऊंचाई पर है। हाइड्रोस्टेटिक दबाव सूत्र $P_3 = P_2 + \rho g h_3$ का उपयोग करते हुए,हमें $P_2 = P_3 - \rho g h_3 = P_0 - \rho g h_3$ प्राप्त होता है।

(D) किसी तरल की सतह से $h$ गहराई पर दबाव,सतह पर कार्य करने वाले वायुमंडलीय दबाव और तरल स्तंभ द्वारा लगाए गए हाइड्रोस्टेटिक दबाव के योग के बराबर होता है।
गणितीय रूप से,इसे $P = P_a + h\rho g$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $P_a$ वायुमंडलीय दबाव है,$\rho$ तरल का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $h$ गहराई है।

(B) स्थिर द्रव में किसी भी बिंदु पर दाब $P = h'\rho g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h'$ द्रव की मुक्त सतह के नीचे बिंदु की गहराई है।
दिए गए चित्र में,द्रव स्तंभ की कुल ऊँचाई $H$ है और तल से बिंदु $P$ की ऊँचाई $h$ है। इसलिए,मुक्त सतह के नीचे बिंदु $P$ की गहराई $H - h$ है।
प्रति इकाई क्षेत्रफल सामान्य प्रणोद उस बिंदु पर हाइड्रोस्टेटिक दाब के बराबर होता है।
अतः,बिंदु $P$ पर प्रति इकाई क्षेत्रफल सामान्य प्रणोद $(H - h)\rho g$ होगा।

(D) तरल में $d$ गहराई पर दबाव $P = P_{atm} + \rho g d$ द्वारा दिया जाता है।
दो अलग-अलग गहराइयों $d_1$ और $d_2$ के लिए,दबाव का अंतर $\Delta P = P_2 - P_1 = \rho g (d_2 - d_1)$ है।
दिया गया है $P_1 = 5.05 \times 10^6 \, Pa$ और $P_2 = 8.08 \times 10^6 \, Pa.$
दबाव में अंतर $\Delta P = (8.08 - 5.05) \times 10^6 \, Pa = 3.03 \times 10^6 \, Pa$ है।
सूत्र $\Delta P = \rho g (d_2 - d_1)$ का उपयोग करते हुए,जहाँ $\rho = 10^3 \, kg/m^3$ और $g = 10 \, m/s^2$:
$3.03 \times 10^6 = 10^3 \times 10 \times (d_2 - d_1)$
$3.03 \times 10^6 = 10^4 \times (d_2 - d_1)$
$d_2 - d_1 = \frac{3.03 \times 10^6}{10^4} = 3.03 \times 10^2 = 303 \, m.$
अतः,$d_2 - d_1$ का मान $303 \, m$ है।

(A) रक्त को नस में प्रवेश करने देने के लिए,रक्त के स्तंभ द्वारा लगाया गया हाइड्रोस्टेटिक दबाव नस के गेज दबाव के बराबर होना चाहिए।
हाइड्रोस्टेटिक दबाव का सूत्र $P = h \rho g$ है,जहाँ:
$P = 2000\,Pa$ (गेज दबाव),
$\rho = 1.06 \times 10^3\,kg/m^3$ (रक्त का घनत्व),
$g = 9.8\,m/s^2$ (गुरुत्वीय त्वरण)।
ऊँचाई $h$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$h = \frac{P}{\rho g}$
मान रखने पर:
$h = \frac{2000}{1.06 \times 10^3 \times 9.8}$
$h = \frac{2000}{10388}$
$h \approx 0.1925\,m$
तीन दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित करने पर,हमें $h = 0.192\,m$ प्राप्त होता है।

(C) वायुमंडलीय दबाव,$P_{0} = 76\,cm$ $Hg$ है।
मैनोमीटर की दो भुजाओं में पारे के स्तर के बीच का अंतर गेज दबाव देता है।
चित्र से,गेज दबाव $P_{g} = 20\,cm$ $Hg$ है।
निरपेक्ष दबाव,वायुमंडलीय दबाव और गेज दबाव का योग होता है।
$P_{abs} = P_{0} + P_{g} = 76\,cm + 20\,cm = 96\,cm$ $Hg$ है।
अतः,निरपेक्ष दबाव $96\,cm$ $Hg$ है और गेज दबाव $20\,cm$ $Hg$ है।

(A) बैरोमीटर के स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $P = h \rho g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ स्तंभ की ऊंचाई है,$\rho$ तरल का घनत्व है,और $g$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है।
चूंकि चंद्रमा पर कोई वायुमंडल नहीं है,इसलिए चंद्रमा पर वायुमंडलीय दबाव $0 \, Pa$ है।
इसलिए,पारे के स्तंभ की ऊंचाई $h$ का मान $0 \, mm$ होना चाहिए क्योंकि स्तंभ को सहारा देने के लिए कोई बाहरी दबाव मौजूद नहीं है।

(A) द्रव स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव सूत्र $P = \rho h g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $P$ दबाव है,$\rho$ घनत्व है,$h$ ऊँचाई है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
दिया गया है:
$P = 1.013 \times 10^5 \ Pa$
$\rho = 1.29 \ kg/m^3$
$g = 9.81 \ m/s^2$
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$1.013 \times 10^5 = 1.29 \times h \times 9.81$
$h = \frac{1.013 \times 10^5}{1.29 \times 9.81}$
$h \approx \frac{101300}{12.6549}$
$h \approx 8004.8 \ m$
किलोमीटर में बदलने पर,$h \approx 8 \ km$.

(B) माना द्रव की सतह से $h$ गहराई पर $dh$ ऊँचाई और $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल वाला द्रव का एक छोटा अवयव है। माना अवयव की ऊपरी और निचली सतहों पर द्रव का दबाव क्रमशः $p$ और $p+dp$ है।
अवयव में द्रव का द्रव्यमान $dm = A \cdot dh \cdot \rho$ है।
अवयव पर लगने वाला कुल ऊर्ध्व बल $F_{net} = (p+dp)A - pA - dm \cdot g$ है।
चूंकि अवयव $a$ त्वरण के साथ ऊपर की ओर गति कर रहा है, न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार $F_{net} = dm \cdot a$ होगा।
इसलिए, $A \cdot dp - dm \cdot g = dm \cdot a$.
$A \cdot dp = dm(g+a)$.
$dm = A \cdot dh \cdot \rho$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें $A \cdot dp = (A \cdot dh \cdot \rho)(g+a)$ प्राप्त होता है।
$dp = \rho(g+a) dh$.
सतह $(h=0, p=0)$ से $h$ गहराई तक समाकलन करने पर, $p = \int_0^h \rho(g+a) dh = \rho(g+a)h$ प्राप्त होता है।

(C) वायुमंडलीय दबाव $P_{atm} = 760\, mm$ $Hg$ है।
फेफड़ों में दबाव $P_{lungs} = 750\, mm$ $Hg$ है।
उत्पन्न दबाव का अंतर $\Delta P = P_{atm} - P_{lungs} = 760\, mm - 750\, mm = 10\, mm$ $Hg$ है।
यह दबाव अंतर स्ट्रॉ में $h$ ऊंचाई के पानी के स्तंभ को सहारा देता है।
हाइड्रोस्टेटिक दबाव सूत्र $\Delta P = h_w \rho_w g = h_{Hg} \rho_{Hg} g$ का उपयोग करने पर:
$h_w \rho_w = h_{Hg} \rho_{Hg}$
यहाँ $h_{Hg} = 10\, mm = 1\, cm$,$\rho_{Hg} = 13.6\, g/cm^3$,और $\rho_w = 1\, g/cm^3$ दिया गया है:
$h_w \times 1\, g/cm^3 = 1\, cm \times 13.6\, g/cm^3$
$h_w = 13.6\, cm$.

(B) $h$ गहराई पर कुल दबाव $P$ का सूत्र $P = P_{a} + \rho gh$ है,जहाँ $P_{a}$ वायुमंडलीय दबाव है,$\rho$ पानी का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
दिया गया है: $h = 10\; m$,$\rho = 1000\; kg/m^3$,$g = 10\; m/s^2$,और $P_{a} \approx 1.01 \times 10^5\; Pa$.
मान रखने पर:
$P = 1.01 \times 10^5\; Pa + (1000\; kg/m^3 \times 10\; m/s^2 \times 10\; m)$
$P = 1.01 \times 10^5\; Pa + 1.00 \times 10^5\; Pa$
$P = 2.01 \times 10^5\; Pa$.
चूंकि $1\; atm = 1.013 \times 10^5\; Pa$,इसलिए दबाव लगभग $2\; atm$ है।

(A) द्रव स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $P = \rho gh$ द्वारा दिया जाता है।
सामान्य वायुमंडलीय दबाव के लिए,पारे के स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव फ्रेंच वाइन के स्तंभ द्वारा लगाए गए दबाव के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए $\rho_1$ और $h_1$ पारे के स्तंभ का घनत्व और ऊंचाई हैं,और $\rho_2$ और $h_2$ फ्रेंच वाइन के स्तंभ का घनत्व और ऊंचाई हैं।
दिया गया है: $\rho_1 = 13.6 \times 10^3 \; kg \; m^{-3}$,$h_1 = 0.76 \; m$,और $\rho_2 = 984 \; kg \; m^{-3}$।
दबाव की तुलना करने पर: $\rho_1 g h_1 = \rho_2 g h_2$।
अतः,$h_2 = \frac{\rho_1 h_1}{\rho_2}$।
मान रखने पर: $h_2 = \frac{13.6 \times 10^3 \times 0.76}{984} \approx 10.5 \; m$।
इसलिए,फ्रेंच वाइन के स्तंभ की ऊंचाई $10.5 \; m$ है।

(A) संरचना के लिए अधिकतम स्वीकार्य तनाव $P_{max} = 10^9 \; Pa$ है।
समुद्र की गहराई $d = 3 \; km = 3 \times 10^3 \; m$ है।
समुद्री जल का घनत्व $\rho \approx 10^3 \; kg/m^3$ है।
गुरुत्वीय त्वरण $g = 9.8 \; m/s^2$ है।
$d$ गहराई पर समुद्री जल द्वारा लगाया गया दबाव $P = \rho g d$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $P = (10^3 \; kg/m^3) \times (9.8 \; m/s^2) \times (3 \times 10^3 \; m) = 2.94 \times 10^7 \; Pa$।
चूंकि संरचना का अधिकतम स्वीकार्य तनाव $(10^9 \; Pa)$ समुद्र द्वारा लगाए गए दबाव $(2.94 \times 10^7 \; Pa)$ से काफी अधिक है,इसलिए संरचना उपयोग के लिए उपयुक्त है।

(A) चित्र $(a)$ के लिए:
वायुमंडलीय दबाव,$P_{0} = 76 \; cm$ $Hg$ है।
दोनों भुजाओं में पारे के स्तरों के बीच का अंतर गेज दबाव देता है। चूंकि दाईं भुजा में स्तर ऊंचा है,इसलिए गेज दबाव $20 \; cm$ $Hg$ है।
निरपेक्ष दबाव $= P_{0} + \text{गेज दबाव} = 76 + 20 = 96 \; cm$ $Hg$ है।
चित्र $(b)$ के लिए:
दाईं भुजा में स्तर बाईं भुजा से नीचे है,इसलिए गेज दबाव $-18 \; cm$ $Hg$ है।
निरपेक्ष दबाव $= P_{0} + \text{गेज दबाव} = 76 - 18 = 58 \; cm$ $Hg$ है।
$(b)$ जब दाईं भुजा में $13.6 \; cm$ पानी डाला जाता है,तो यह अतिरिक्त दबाव डालता है। पारे का सापेक्ष घनत्व $13.6$ है,इसलिए $13.6 \; cm$ पानी का स्तंभ $1 \; cm$ पारे के स्तंभ के बराबर होता है।
मान लीजिए कि दोनों भुजाओं में पारे के स्तरों के बीच नया अंतर $h$ है।
बाईं भुजा में पारे की सतह के स्तर पर दाईं भुजा में दबाव $P_{R} = P_{0} + 1 \; cm$ $Hg = 76 + 1 = 77 \; cm$ $Hg$ होगा।
बाईं भुजा में दबाव $P_{L} = P_{\text{gas}} + h = 58 + h$ है।
समान क्षैतिज स्तर पर दबावों की तुलना करने पर: $58 + h = 77 \implies h = 19 \; cm$।
अतः,दोनों भुजाओं में पारे के स्तरों के बीच का नया अंतर $19 \; cm$ होगा।

(C) दिया गया है: नस में गेज दबाव,$P = 2000 \; Pa$. रक्त का घनत्व,$\rho = 1.06 \times 10^{3} \; kg \; m^{-3}$. गुरुत्वीय त्वरण,$g = 9.8 \; m \; s^{-2}$.
रक्त के नस में प्रवेश करने के लिए,कंटेनर में रक्त स्तंभ द्वारा लगाया गया हाइड्रोस्टेटिक दबाव नस के गेज दबाव के बराबर होना चाहिए।
रक्त स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $P = h \rho g$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ कंटेनर की ऊँचाई है।
$h$ के लिए हल करने पर,$h = \frac{P}{\rho g}$.
मान रखने पर: $h = \frac{2000}{1.06 \times 10^{3} \times 9.8}$.
$h = \frac{2000}{10388} \approx 0.1925 \; m$.
अतः,ऊँचाई लगभग $0.2 \; m$ होनी चाहिए।

मान लीजिए कि एक पात्र में द्रव स्थिर है। चित्र में दिखाए अनुसार द्रव का घनत्व $\rho$ है और द्रव स्तंभ की ऊंचाई $h$ है।
बेलन में द्रव का भार $W = mg \ldots(1)$
चूंकि द्रव का द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = Ah\rho$,
$\therefore W = (Ah\rho g) \ldots(2)$
इस भार के कारण पात्र के तल पर उत्पन्न दबाव
$P = \frac{\text{भार } W}{\text{क्षेत्रफल } A}$
$\therefore P = \frac{Ah\rho g}{A}$
$\therefore P = h\rho g \ldots(3)$
यह समीकरण दर्शाता है कि द्रव स्तंभ के कारण उत्पन्न दबाव द्रव स्तंभ की ऊंचाई $h$ और द्रव के घनत्व $\rho$ पर निर्भर करता है।

(N/A) मान लीजिए कि $\rho$ घनत्व वाला एक द्रव एक पात्र में स्थिर संतुलन में है।
आधार क्षेत्रफल $A$ और ऊँचाई $h$ वाले द्रव के एक बेलनाकार तत्व पर विचार करें। बिंदु $1$ और $2$ पर दबाव क्रमशः $P_{1}$ और $P_{2}$ है।
द्रव स्तंभ पर कार्य करने वाले बल इस प्रकार हैं:
$(1)$ बिंदु $1$ पर बल $F_{1} = P_{1} A$ (नीचे की ओर)।
$(2)$ बिंदु $2$ पर बल $F_{2} = P_{2} A$ (ऊपर की ओर)।
$(3)$ द्रव स्तंभ का भार $W = mg = A h \rho g$ (नीचे की ओर)।
चूंकि द्रव स्तंभ संतुलन में है,इसलिए नीचे की ओर लगने वाले बल = ऊपर की ओर लगने वाले बल:
$F_{1} + W = F_{2}$
$P_{1} A + A h \rho g = P_{2} A$
दोनों पक्षों को $A$ से विभाजित करने पर:
$P_{2} = P_{1} + h \rho g$
यह समीकरण दर्शाता है कि दबाव का अंतर बिंदुओं के बीच की ऊर्ध्वाधर दूरी $h$,द्रव के घनत्व $\rho$ और गुरुत्वीय त्वरण $g$ पर निर्भर करता है,लेकिन यह अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल $A$ पर निर्भर नहीं करता है।
यदि गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव की उपेक्षा की जाए $(g = 0)$,तो $P_{2} = P_{1}$ प्राप्त होता है,जो यह दर्शाता है कि गुरुत्वाकर्षण की अनुपस्थिति में द्रव के प्रत्येक बिंदु पर दबाव समान होता है।

(N/A) इतालवी वैज्ञानिक इवांजेलिस्टा टोरिसेली ने वायुमंडलीय दबाव को मापने की पहली विधि तैयार की थी।
यह उपकरण चित्र में दिखाया गया है।
$1 \text{ m}$ लंबी कांच की नली,जो एक सिरे पर बंद है और पारे (मरकरी) से भरी है,को पारे के एक पात्र में उल्टा किया जाता है। नली के खुले हिस्से पर अंगूठा रखा जाता है।
यदि नली से अंगूठा हटा लिया जाए,तो पारे के स्तंभ का स्तर थोड़ा नीचे गिर जाता है।
नली में पारे के स्तंभ के ऊपर की जगह में केवल पारे की वाष्प होती है,जिसका दबाव $P$ इतना कम होता है कि इसे नगण्य माना जा सकता है। अतः,$P \approx 0$।
स्तंभ के अंदर बिंदु $A$ पर दबाव,बिंदु $B$ पर दबाव के बराबर होता है,जो समान क्षैतिज स्तर पर है। बिंदु $A$ पर वायुमंडलीय दबाव इस प्रकार है:
$P_{a} = P + h \rho g$
चूंकि $P \approx 0$,इसलिए:
$P_{a} = 0 + h \rho g$
$\therefore P_{a} = h \rho g$
जहाँ $\rho$ पारे का घनत्व है और $h$ पारे के स्तंभ की ऊँचाई है।
इस उपकरण में,समुद्र तल पर पारे के स्तंभ की ऊँचाई $76 \text{ cm}$ होती है,जो एक वायुमंडल (one atmosphere) दबाव के बराबर है।

(N/A) इतालवी वैज्ञानिक इवांजेलिस्टा टोरिसेली ने वायुमंडलीय दबाव को मापने के लिए पहली विधि तैयार की थी।
यह उपकरण चित्र में दिखाया गया है।
एक सिरे पर बंद और पारे (मर्करी) से भरी $1 \,m$ लंबी कांच की नली को पारे के एक गर्त में उल्टा किया जाता है। नली के खुले भाग पर अंगूठा रखा जाता है।
यदि नली से अंगूठा हटा लिया जाए, तो पारे के स्तंभ का स्तर थोड़ा कम हो जाता है।
नली में पारे के स्तंभ के ऊपर की जगह में केवल पारे की वाष्प होती है, जिसका दबाव $P$ इतना कम होता है कि इसे नगण्य माना जा सकता है, यानी $P = 0$।
स्तंभ के अंदर बिंदु $A$ पर दबाव, बिंदु $B$ पर दबाव के बराबर होता है, जो समान स्तर पर है। बिंदु $A$ पर वायुमंडलीय दबाव इस प्रकार है:
$P_{a} = P + h \rho g$
चूंकि $P = 0$, इसलिए:
$P_{a} = 0 + h \rho g$
$\therefore P_{a} = h \rho g$
जहां $\rho$ पारे का घनत्व है और $h$ पारे के स्तंभ की ऊंचाई है।
इस उपकरण में समुद्र तल पर पारे के स्तंभ की ऊंचाई $76 \,cm$ होती है, जो एक वायुमंडल (atm) के बराबर है।

(N/A) ओपन-ट्यूब मैनोमीटर एक सरल उपकरण है जिसका उपयोग बंद पात्र में निहित गैस के दबाव को मापने के लिए किया जाता है।
इसमें एक $U$-आकार की ट्यूब होती है जिसमें एक उपयुक्त तरल (अक्सर पारा या पानी) भरा होता है।
ट्यूब का एक सिरा वायुमंडल के लिए खुला होता है और दूसरा सिरा उस प्रणाली से जुड़ा होता है जिसका दबाव $(P)$ मापा जाना है।
गैस कंटेनर से जुड़े लिम्ब में एक बिंदु $A$ और खुले लिम्ब में उसी क्षैतिज स्तर पर एक बिंदु $B$ पर विचार करें।
द्रव स्थैतिकी के नियमों के अनुसार,एक निरंतर स्थिर द्रव में समान क्षैतिज स्तर पर बिंदुओं पर दबाव समान होता है।
इसलिए,बिंदु $A$ पर दबाव बिंदु $B$ पर दबाव के बराबर है: $P = P_B$।
बिंदु $B$ पर दबाव वायुमंडलीय दबाव $(P_a)$ और $h$ ऊंचाई के तरल स्तंभ के कारण दबाव का योग है: $P_B = P_a + h \rho g$।
इस प्रकार,गैस का निरपेक्ष दबाव इस प्रकार दिया गया है: $P = P_a + h \rho g$।
यहाँ,$P_a$ वायुमंडलीय दबाव है,$h$ तरल स्तरों की ऊंचाई का अंतर है,$\rho$ तरल का घनत्व है,और $g$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है।
पद $(P - P_a) = h \rho g$ को गेज दबाव कहा जाता है,जो सीधे तरल स्तंभ की ऊंचाई $h$ के समानुपाती होता है।

(A) $\rho$ घनत्व वाले द्रव में $h$ गहराई पर दबाव $P$ का सूत्र $P = P_0 + \rho gh$ है, जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है, $\rho$ द्रव का घनत्व है, $g$ गुरुत्वीय त्वरण है और $h$ सतह से गहराई है।
चूंकि $P_0$, $\rho$ और $g$ स्थिर हैं, इसलिए दबाव $P$ गहराई $h$ के सीधे समानुपाती होता है।
अतः, जैसे-जैसे गहराई $h$ बढ़ती है, दबाव $P$ भी बढ़ता है।

(N/A) $\rho$ घनत्व वाले द्रव की सतह से $h$ गहराई पर दाब $P$ का सूत्र निम्नलिखित है:
$P = P_a + \rho gh$
जहाँ:
$P_a$ द्रव की सतह पर वायुमंडलीय दाब है।
$\rho$ द्रव का घनत्व है।
$g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
$h$ द्रव की सतह से बिंदु की गहराई है।

(N/A) वायुमंडलीय दबाव को मापने के लिए उपयोग किए जाने वाले दो सामान्य उपकरण निम्नलिखित हैं:
$1$. मरकरी बैरोमीटर (पारा बैरोमीटर): यह वायुमंडलीय दबाव को संतुलित करने के लिए कांच की नली में पारे के स्तंभ का उपयोग करता है।
$2$. एनिरोइड बैरोमीटर: यह एक लचीले धातु के बॉक्स (एनिरोइड सेल) का उपयोग करता है जो वायुमंडलीय दबाव में बदलाव के साथ फैलता या सिकुड़ता है,जिसे बाद में एक यांत्रिक सूचक (पॉइंटर) द्वारा दर्शाया जाता है।

(B) वायुमंडलीय दबाव को मापने की पहली विधि इतालवी भौतिक विज्ञानी और गणितज्ञ इवानगेलिस्टा टोरिसेली द्वारा $1643$ में तैयार की गई थी। उन्होंने पारे से भरी एक लंबी कांच की नली का उपयोग किया,जिसे पारे से भरे एक बर्तन में उल्टा कर दिया गया,ताकि यह प्रदर्शित किया जा सके कि पारे के स्तंभ की ऊंचाई वायुमंडल के दबाव द्वारा समर्थित होती है। इस उपकरण को मरकरी बैरोमीटर के रूप में जाना जाता है।

(B) जब केवल एक छेद वाले टिन से तेल बाहर निकाला जाता है,तो अंदर तेल का आयतन कम होने से टिन के भीतर आंशिक निर्वात या कम दबाव वाला क्षेत्र बन जाता है।
यह आंतरिक दबाव बाहर के वायुमंडलीय दबाव से कम हो जाता है,जो तेल के प्रवाह का विरोध करता है और इसके कारण तेल झटकों के साथ बाहर आता है या बहना बंद कर देता है।
जब दो छेद किए जाते हैं,तो दूसरे छेद से हवा अंदर प्रवेश करती है,जो टिन के अंदर के दबाव को वायुमंडलीय दबाव के साथ संतुलित कर देती है।
इससे तेल गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में सुचारू रूप से और लगातार बाहर निकल पाता है।

(N/A) किसी तरल (जैसे वायुमंडल) में किसी बिंदु पर दाब $P$ को सूत्र $P = h \rho g$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ:
$(1)$ तरल स्तंभ की ऊँचाई $(h)$: दाब उस बिंदु के ऊपर तरल स्तंभ की गहराई या ऊँचाई के सीधे समानुपाती होता है। जैसे-जैसे ऊँचाई बढ़ती है,तरल स्तंभ का भार बढ़ता है,जिससे दाब अधिक हो जाता है।
$(2)$ तरल का घनत्व $(\rho)$: दाब तरल के घनत्व के सीधे समानुपाती होता है। अधिक घनत्व वाला तरल अधिक दाब डालता है क्योंकि इसका प्रति इकाई आयतन द्रव्यमान अधिक होता है।
$(3)$ गुरुत्वीय त्वरण $(g)$: दाब गुरुत्वीय त्वरण के सीधे समानुपाती होता है। चूँकि भार द्रव्यमान पर गुरुत्वाकर्षण द्वारा लगाया गया बल है,इसलिए एक मजबूत गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र अधिक दाब उत्पन्न करता है।

(N/A) प्रेशर कुकर के अंदर का दबाव वायुमंडलीय दबाव से काफी अधिक होता है। यह बढ़ा हुआ दबाव पानी के क्वथनांक (boiling point) को उसके सामान्य मान $100^{\circ} C$ से ऊपर बढ़ा देता है। परिणामस्वरूप,कुकर के अंदर का पानी उच्च तापमान तक पहुँच जाता है,जिससे भोजन बहुत जल्दी पक जाता है।

(N/A) पहाड़ पर हवा पतली होती है,जिसका अर्थ है कि वायुमंडलीय दबाव समुद्र तल की तुलना में कम होता है।
द्रव यांत्रिकी (fluid mechanics) के सिद्धांतों के अनुसार,जैसे-जैसे बाहरी दबाव कम होता है,तरल का क्वथनांक (boiling point) भी कम हो जाता है।
अधिक ऊंचाई पर,पानी $100^{\circ} C$ से काफी कम तापमान पर उबलने लगता है।
चूंकि पानी इस कम तापमान पर उबलता है,इसलिए यह चाय की पत्तियों से स्वाद निकालने के लिए पर्याप्त गर्मी प्रदान नहीं कर पाता है,जिसके परिणामस्वरूप चाय का स्वाद खराब हो जाता है।

(N/A) जैसे-जैसे ऊंचाई बढ़ती है,वायुमंडलीय दबाव कम होता जाता है। फाउंटेन पेन की रिफिल में स्याही को जमीनी स्तर के वायुमंडलीय दबाव पर भरा जाता है। जब हवाई जहाज अधिक ऊंचाई पर उड़ता है,तो स्याही पर लगने वाला बाहरी वायुमंडलीय दबाव कम हो जाता है,जबकि पेन के अंदर का दबाव अधिक बना रहता है। इस दबाव के अंतर के कारण स्याही पेन से बाहर निकलकर कपड़ों पर फैल जाती है। इसलिए,अधिक ऊंचाई पर उड़ते समय फाउंटेन पेन को जेब में रखना उचित नहीं है।

(N/A) $h$ ऊंचाई के तरल स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव $P = h \rho g$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहां $\rho$ तरल का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
जैसे-जैसे गहराई $h$ बढ़ती है,दबाव $P$ रैखिक रूप से बढ़ता है।
इसलिए,बांध के ऊपरी हिस्से की तुलना में निचले हिस्से में दबाव काफी अधिक होता है।
इस बढ़े हुए हाइड्रोस्टेटिक दबाव को सहन करने और संरचनात्मक विफलता को रोकने के लिए,बांध की दीवारों को नीचे की ओर मोटा बनाया जाता है।

(N/A) जैसे-जैसे बुलबुला नीचे से सतह की ओर ऊपर आता है,पानी के स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव कम हो जाता है,क्योंकि बुलबुले के ऊपर पानी के स्तंभ की गहराई कम हो जाती है।
बॉयल के नियम के अनुसार,स्थिर तापमान पर गैस की एक निश्चित मात्रा के लिए,गैस का आयतन $V$ दबाव $P$ के व्युत्क्रमानुपाती होता है $(V \propto \frac{1}{P})$।
जैसे-जैसे बुलबुला ऊपर आता है,दबाव $P$ कम होता जाता है,इसलिए इस संबंध को पूरा करने के लिए इसका आयतन $V$ बढ़ना चाहिए।
इसलिए,हवा का बुलबुला जैसे-जैसे सतह की ओर बढ़ता है,उसका आकार बड़ा होता जाता है।

(N/A) बैरोमीटर में पारे का उपयोग करने के कारण निम्नलिखित हैं:
$(1)$ पारे का घनत्व $(13.6 \times 10^3 \ kg/m^3)$ बहुत अधिक होता है,जिससे बैरोमीटर की नली की ऊंचाई को छोटा और प्रबंधनीय (समुद्र तल पर लगभग $76 \ cm$) रखा जा सकता है।
$(2)$ कमरे के तापमान पर पारे का वाष्प दाब बहुत कम होता है,जिसका अर्थ है कि यह स्तंभ के ऊपर के निर्वात में वाष्पित नहीं होता है,जिससे सटीक दबाव रीडिंग सुनिश्चित होती है।
$(3)$ पारा बैरोमीटर की कांच की दीवारों को गीला नहीं करता है और न ही उनसे चिपकता है,जिससे स्तंभ की ऊंचाई का सटीक मापन संभव हो पाता है।

(N/A) पानी का घनत्व पारे की तुलना में बहुत कम होता है। चूंकि वायुमंडलीय दबाव $P = h \rho g$ होता है,इसलिए वायुमंडलीय दबाव को संतुलित करने के लिए आवश्यक तरल स्तंभ की ऊंचाई $h$ उसके घनत्व $\rho$ के व्युत्क्रमानुपाती होती है। पानी के लिए,आवश्यक ऊंचाई लगभग $10.3 \ m$ से $11 \ m$ होगी। इतनी लंबाई वाले बैरोमीटर का निर्माण करना,उसे संभालना और ले जाना व्यावहारिक नहीं है,इसलिए पारा एक अधिक सुविधाजनक विकल्प है।