Mix Examples-Fluid Mechanics and Surface Tension Questions in Hindi

(B) जब पानी से भरे एक बेलनाकार बर्तन को उसकी ऊर्ध्वाधर केंद्रीय अक्ष के परितः घुमाया जाता है,तो पानी का प्रत्येक कण घूर्णन अक्ष से त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर कार्य करने वाले अपकेंद्री बल का अनुभव करता है।
यह अपकेंद्री बल पानी के कणों को बर्तन की दीवारों की ओर धकेलता है।
परिणामस्वरूप,बर्तन के किनारों के पास पानी का स्तर बढ़ जाता है,जबकि केंद्र (अक्ष के पास) पर पानी का स्तर कम हो जाता है,जिससे एक परवलयाकार आकृति बनती है।
इसलिए,पानी की सतह किनारों से ऊपर उठती है।

(C) जब बोतल को एक ऊर्ध्वाधर वृत्त में घुमाया जाता है,तो तरल (जो गैस के बुलबुलों की तुलना में अधिक सघन होता है) घूर्णन के केंद्र से दूर की ओर एक बड़ा अभिकेंद्री बल (centrifugal force) अनुभव करता है।
चूंकि इस अभिकेंद्री बल के कारण तरल बोतल की तली की ओर धकेला जाता है,इसलिए हल्के गैस के बुलबुले कम अभिकेंद्री बल वाले क्षेत्र की ओर विस्थापित हो जाते हैं,जो बोतल की गर्दन के पास होता है।

(D) मान लीजिए कि पात्रों को जोड़ने पर सामान्य ऊँचाई $h$ है। द्रव्यमान संरक्षण के नियम के अनुसार,द्रव का कुल आयतन स्थिर रहता है:
$A h_1 + A h_2 = A h + A h = 2Ah$
$h = \frac{h_1 + h_2}{2}$
निकाय की प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा प्रत्येक पात्र में द्रव की स्थितिज ऊर्जा का योग है। बेलनाकार पात्र में द्रव का गुरुत्व केंद्र उसकी ऊँचाई के आधे पर होता है:
$U_i = (A h_1 \rho) g \frac{h_1}{2} + (A h_2 \rho) g \frac{h_2}{2} = \frac{1}{2} A \rho g (h_1^2 + h_2^2)$
पात्रों को जोड़ने के बाद,प्रत्येक पात्र में अंतिम ऊँचाई $h = \frac{h_1 + h_2}{2}$ होती है। निकाय की अंतिम स्थितिज ऊर्जा:
$U_f = 2 \times (A h \rho) g \frac{h}{2} = A \rho g h^2 = A \rho g \left( \frac{h_1 + h_2}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} A \rho g (h_1 + h_2)^2$
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा में कमी है:
$W = U_i - U_f = \frac{1}{2} A \rho g (h_1^2 + h_2^2) - \frac{1}{4} A \rho g (h_1 + h_2)^2$
$W = \frac{1}{4} A \rho g [2(h_1^2 + h_2^2) - (h_1^2 + h_2^2 + 2h_1 h_2)]$
$W = \frac{1}{4} A \rho g (h_1^2 + h_2^2 - 2h_1 h_2) = \frac{1}{4} A \rho g (h_1 - h_2)^2$

(C) पाइप के अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ और पानी के वेग $v$ के साथ पानी पहुंचाने के लिए पंप द्वारा आवश्यक शक्ति $P = \frac{1}{2} \rho A v^3$ द्वारा दी जाती है, जहाँ $\rho$ पानी का घनत्व है。
चूंकि उसी समय में आयतन प्रवाह दर $Q = Av$ को दोगुना करना है, इसलिए वेग $v$ को दोगुना करना होगा $(v' = 2v)$。
इस मान को शक्ति के समीकरण में रखने पर: $P' = \frac{1}{2} \rho A (2v)^3 = \frac{1}{2} \rho A (8v^3) = 8P$.
अतः, मोटर की शक्ति को मूल शक्ति का $8$ गुना बढ़ाना होगा।

(A) शक्ति कार्य करने की दर है,जिसे $P = \frac{W}{t}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
चूंकि दबाव द्वारा किया गया कार्य $W = P \times \Delta V$ है,इसलिए शक्ति $P = \frac{P \times \Delta V}{t}$ होगी।
दिया गया है:
दबाव $(P)$ = $20000 \ N/m^2$
आयतन $(\Delta V)$ = $1 \ cc = 1 \ cm^3 = 1 \times 10^{-6} \ m^3$
समय $(t)$ = $1 \ s$
मान रखने पर:
$P = \frac{20000 \times 1 \times 10^{-6}}{1} \ W$
$P = 2 \times 10^4 \times 10^{-6} \ W$
$P = 2 \times 10^{-2} \ W = 0.02 \ W$.

(D) जब पानी को गर्म किया जाता है,तो निम्नलिखित परिवर्तन होते हैं:
$1$. पानी का संतृप्त वाष्प दाब तापमान के साथ बढ़ता है,जो बुलबुले के अंदर अधिक दबाव डालता है,जिससे वह फैल जाता है।
$2$. जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,बुलबुले के अंदर हवा के अणुओं की गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है,जिससे उनका वर्ग माध्य मूल वेग बढ़ जाता है,जो बुलबुले की दीवारों पर हवा द्वारा लगाए गए दबाव को बढ़ाता है।
$3$. तापमान बढ़ने के साथ पानी का पृष्ठ तनाव कम हो जाता है। चूंकि बुलबुले के अंदर का अतिरिक्त दबाव $P = 2T/r$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए पृष्ठ तनाव $(T)$ में कमी बुलबुले को फैलने में मदद करती है।
अतः,दिए गए सभी कारक बुलबुले के आकार में वृद्धि में योगदान करते हैं।

(C) सही उत्तर $C$ है। हिलाने के बाद द्रव की सतह का स्थिर हो जाना द्रव की श्यानता (viscosity) के कारण होता है,जो गति को कम करने के लिए आंतरिक घर्षण प्रदान करती है। अन्य विकल्प (कपूर का नाचना,पारे की बूंदों का गोलाकार आकार,और पारे द्वारा कांच का न भीगना) सभी पृष्ठ तनाव के सीधे परिणाम हैं।

(C) मान लीजिए कि $r$ त्रिज्या की $n$ छोटी बूंदें मिलकर $R$ त्रिज्या की एक बड़ी बूंद बनाती हैं।
आयतन संरक्षित रहता है: $n \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = \frac{4}{3} \pi R^3$,इसलिए $n = \frac{R^3}{r^3}$.
पृष्ठ क्षेत्रफल में परिवर्तन $\Delta A = n(4 \pi r^2) - 4 \pi R^2 = 4 \pi (n r^2 - R^2)$.
$n = \frac{R^3}{r^3}$ रखने पर,$\Delta A = 4 \pi \left( \frac{R^3}{r} - R^2 \right) = 4 \pi R^3 \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.
मुक्त हुई ऊर्जा $W = T \cdot \Delta A = 4 \pi R^3 T \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.
यह ऊर्जा ऊष्मा में परिवर्तित हो जाती है: $Q = mS \Delta \theta$,जहाँ $m = \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3$.
$W = JQ$ का उपयोग करने पर,$4 \pi R^3 T \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right) = J \cdot \rho \cdot \frac{4}{3} \pi R^3 \cdot S \cdot \Delta \theta$.
पानी के लिए,घनत्व $\rho = 1 \text{ g/cm}^3$ और विशिष्ट ऊष्मा $S = 1 \text{ cal/g}^{\circ}\text{C}$.
अतः,$\Delta \theta = \frac{3T}{J} \left( \frac{1}{r} - \frac{1}{R} \right)$.

(C) माना वायुमंडलीय दबाव $P_0 = 75 \ cm$ $Hg$ है। झील की तली पर दबाव $P_1 = P_0 + h\rho_w g$ है,जहाँ $h$ झील की गहराई है और $\rho_w$ पानी का घनत्व है।
सतह पर,दबाव $P_2 = P_0$ है।
बॉयल के नियम के अनुसार,$P_1 V_1 = P_2 V_2$ होता है।
दिया गया है कि $V_2 = 3V_1$,इसलिए $(P_0 + h\rho_w g)V_1 = P_0(3V_1)$ होगा।
इसे सरल करने पर $P_0 + h\rho_w g = 3P_0$ या $h\rho_w g = 2P_0$ प्राप्त होता है।
दिया गया है कि $\rho_w = \frac{1}{10} \rho_{Hg}$,हम $P_0 = h_{Hg} \rho_{Hg} g$ प्रतिस्थापित करते हैं जहाँ $h_{Hg} = 0.75 \ m$ है।
अतः,$h (\frac{1}{10} \rho_{Hg}) g = 2 (h_{Hg} \rho_{Hg} g)$।
$h / 10 = 2 \times 0.75$।
$h = 20 \times 0.75 = 15 \ m$।

(D) साम्यावस्था की स्थिति में,एक निरंतर तरल में एक ही क्षैतिज स्तर पर दबाव समान होता है।
मान लीजिए कि क्षैतिज स्तर ग्लिसरीन स्तंभ के निचले हिस्से पर है,जो चित्र में दिखाए अनुसार बिंदुओं $A$ और $B$ से होकर गुजरता है।
बिंदु $A$ पर दबाव = बिंदु $B$ पर दबाव।
$A$ पर दबाव $10 \text{ cm}$ ऊंचाई के ग्लिसरीन स्तंभ के कारण है।
$P_A = h_{\text{glycerin}} \times \rho_{\text{glycerin}} \times g = 10 \times 1.3 \times g$.
$B$ पर दबाव $h$ ऊंचाई के तेल स्तंभ और $(10 - h)$ ऊंचाई के पारे के स्तंभ के कारण है।
$P_B = h \times \rho_{\text{oil}} \times g + (10 - h) \times \rho_{\text{mercury}} \times g = h \times 0.8 \times g + (10 - h) \times 13.6 \times g$.
$P_A$ और $P_B$ को बराबर करने पर:
$10 \times 1.3 \times g = h \times 0.8 \times g + (10 - h) \times 13.6 \times g$.
$g$ से विभाजित करने पर:
$13 = 0.8h + 136 - 13.6h$.
$13 = 136 - 12.8h$.
$12.8h = 136 - 13 = 123$.
$h = \frac{123}{12.8} \approx 9.609 \text{ cm}$.
दिए गए विकल्पों के अनुसार,तेल के स्तंभ की लंबाई $9.6 \text{ cm}$ है।

(A) जब नली कोणीय वेग $\omega$ के साथ घूमती है,तो क्षैतिज भुजाओं में पानी बाहर की ओर एक अभिकेंद्री बल का अनुभव करता है।
घूर्णन अक्ष से $r$ दूरी पर स्थित $dm$ द्रव्यमान के पानी के एक छोटे तत्व के लिए,आवश्यक अभिकेंद्री बल दबाव प्रवणता द्वारा प्रदान किया जाता है: $dP = \rho \omega^2 r dr$।
अक्ष $(r=0)$ से $r$ दूरी तक इसका समाकलन करने पर,हमें $r$ दूरी पर दबाव $P(r) = P_0 + \frac{1}{2} \rho \omega^2 r^2$ प्राप्त होता है,जहाँ $P_0$ अक्ष पर दबाव है।
चूंकि ऊर्ध्वाधर भुजाओं में पानी की सतह पर दबाव वायुमंडलीय दबाव के बराबर होना चाहिए,इसलिए अक्ष से $r$ दूरी पर स्थित भुजा में पानी के स्तंभ की ऊंचाई $h$,$\rho gh = P(r) - P_{atm}$ द्वारा दी जाती है।
जैसे-जैसे $r$ बढ़ता है,दबाव $P(r)$ बढ़ता है,जिसका अर्थ है कि इस दबाव को संतुलित करने के लिए पानी के स्तंभ की ऊंचाई $h$ बढ़नी चाहिए।
चूंकि भुजाएं $A$ और $B$ दोनों अक्ष से क्रमशः $L$ और $2L$ दूरी पर हैं,इसलिए पानी के द्रव्यमान के घूर्णन के लिए आवश्यक अभिकेंद्री बल प्रदान करने के लिए दोनों भुजाओं में पानी का स्तर केंद्रीय अक्ष के स्तर की तुलना में ऊपर उठ जाएगा।

(D) माना झील की गहराई $h$ है। झील की तली पर दबाव $P_1 = P_{atm} + h \rho g$ है,जहाँ $P_{atm} = P \rho g$ ($P \text{ cm}$ पानी के रूप में दिया गया है)। अतः,$P_1 = (P + h) \rho g$.
सतह पर दबाव $P_2 = P_{atm} = P \rho g$ है।
चूंकि तापमान स्थिर रहता है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $P_1 V_1 = P_2 V_2$.
तली पर बुलबुले का आयतन $V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3$ है और सतह पर $V_2 = \frac{4}{3} \pi (2r)^3 = \frac{4}{3} \pi (8r^3)$ है।
इन मानों को समीकरण में रखने पर:
$(P + h) \rho g \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = P \rho g \cdot \frac{4}{3} \pi (8r^3)$
दोनों पक्षों को $\rho g \cdot \frac{4}{3} \pi r^3$ से विभाजित करने पर:
$P + h = 8P$
$h$ के लिए हल करने पर:
$h = 8P - P = 7P$.

(D) अशांत प्रवाह में,तरल की गति वेग और दबाव में अराजक,अनियमित उतार-चढ़ाव द्वारा पहचानी जाती है। लैमिनार प्रवाह के विपरीत,जहाँ 'नो-स्लिप' स्थिति सख्ती से यह निर्धारित करती है कि स्थिर सीमा के संपर्क में तरल परत का वेग शून्य है,अशांत प्रवाह में दीवार के पास जटिल भंवर संरचनाएं और बदलते वेग प्रवणता (velocity gradients) होते हैं।
इन अनियमित उतार-चढ़ाव और अशांत शासन में सीमा परत (boundary layer) की गतिशील प्रकृति के कारण,दीवार पर तरल अणुओं का तात्कालिक वेग आवश्यक रूप से शून्य नहीं होता है। यह स्थानीय तात्कालिक प्रवाह स्थितियों के आधार पर विभिन्न मान प्रदर्शित कर सकता है। इसलिए,अशांत प्रवाह में,नली की दीवारों के संपर्क में आने वाले तरल अणुओं का वेग कोई भी मान हो सकता है।

(D) सांतत्य समीकरण के अनुसार,इकाई समय में नली से बहने वाले द्रव का आयतन स्थिर रहता है,अर्थात $A_1 v_1 = A_2 v_2$। अतः,विकल्प $(a)$ सही है।
क्षैतिज नली के लिए बर्नौली के प्रमेय के अनुसार,प्रति इकाई द्रव्यमान कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है,जिसका अर्थ है $P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$। अतः,विकल्प $(b)$ सही है।
बर्नौली समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $P_1 - P_2 = \frac{1}{2}\rho (v_2^2 - v_1^2)$।
चूंकि दबाव का अंतर ऊर्ध्वाधर नलियों में ऊंचाई के अंतर $h$ द्वारा मापा जाता है,$P_1 - P_2 = h\rho g$।
इन दोनों की तुलना करने पर,$h\rho g = \frac{1}{2}\rho (v_2^2 - v_1^2)$,जो सरल होकर $v_2^2 - v_1^2 = 2gh$ हो जाता है। अतः,विकल्प $(c)$ सही है।
चूंकि $(a)$,$(b)$ और $(c)$ तीनों सही हैं,इसलिए विकल्प $(d)$ सही उत्तर है।

(C) मान लीजिए कि बाईं भुजा का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ है और दाईं भुजा का $4A$ है।
मान लीजिए कि दाईं भुजा में पारे के स्तर में वृद्धि $x \text{ cm}$ है।
आयतन के संरक्षण के कारण,बाईं भुजा में पारे के स्तर में गिरावट $4x \text{ cm}$ होगी क्योंकि दाईं भुजा का क्षेत्रफल बाईं भुजा का $4$ गुना है।
प्रारंभ में,पारे का स्तर ऊपर से $36 \text{ cm}$ की दूरी पर था। गिरावट के बाद,बाईं भुजा में पारे का स्तर ऊपर से $(36 + 4x) \text{ cm}$ की दूरी पर है।
अब,पारे और पानी के अंतरापृष्ठ पर (बाईं भुजा में नए स्तर $A'B'$ पर) दबाव को बराबर करने पर:
पानी के स्तंभ के कारण दबाव = दाईं भुजा में पारे के स्तंभ में वृद्धि के कारण दबाव।
$(36 + 4x) \times 1 \times g = (4x + x) \times 13.6 \times g$
$(36 + 4x) = 5x \times 13.6$
$36 + 4x = 68x$
$64x = 36$
$x = \frac{36}{64} = 0.56 \text{ cm}$.

(B) द्रव की सतह पर दो बिंदुओं $A$ (केंद्र पर) और $B$ (किनारे पर) पर विचार करें।
मान लीजिए $P_A$ और $P_B$ क्रमशः बिंदुओं $A$ और $B$ पर दबाव हैं।
चूंकि दोनों बिंदु द्रव की मुक्त सतह पर हैं,इसलिए $P_A = P_B = P_{atm}$ होगा।
बर्तन के घूर्णन फ्रेम में,द्रव के एक कण पर कार्य करने वाला प्रभावी बल गुरुत्वाकर्षण और अभिकेंद्री बल का संयोजन है।
घूर्णन करते हुए द्रव में दबाव में परिवर्तन $dP = \rho \omega^2 x dx$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $x$ अक्ष से दूरी है।
$x = 0$ से $x = r$ तक समाकलन करने पर:
$\int_{P_A}^{P_B} dP = \int_{0}^{r} \rho \omega^2 x dx$
$P_B - P_A = \frac{1}{2} \rho \omega^2 r^2$
चूंकि $P_A = P_B$,यह दबाव अंतर ऊंचाई के अंतर $h$ के कारण उत्पन्न हाइड्रोस्टेटिक दबाव अंतर द्वारा संतुलित होता है:
$P_B - P_A = \rho g h$
दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\rho g h = \frac{1}{2} \rho \omega^2 r^2$
$h = \frac{r^2 \omega^2}{2g}$

(B) जब एक कप में तरल को हिलाया जाता है और वह बिना विक्षोभ के घूमता है,तो यह केंद्र के पास फोर्सड भंवर गति और बाहर की ओर मुक्त भंवर गति प्रदर्शित करता है। हालाँकि,चाय के एक सामान्य कप में,केंद्र के पास का तरल कप के साथ घूमता है,और जैसे-जैसे हम केंद्र $(X=0)$ से त्रिज्यीय रूप से बाहर की ओर कप के किनारे तक बढ़ते हैं,तरल के एक कठोर पिंड के रूप में घूमने के कारण स्पर्शरेखीय वेग $v$ रैखिक रूप से $(v = \omega X)$ बढ़ता है। एक बार जब तरल सीमा तक पहुँच जाता है,तो वेग को दीवार पर नो-स्लिप स्थिति को संतुष्ट करना चाहिए। दिए गए विकल्पों में से,रैखिक संबंध $v \propto X$ को ग्राफ $B$ द्वारा दर्शाया गया है।

(B) दबाव बढ़ने पर बर्फ का गलनांक घट जाता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि बर्फ जमने पर फैलती है,जिसका अर्थ है कि जब यह तरल पानी से ठोस बर्फ में बदलती है तो इसका आयतन बढ़ जाता है। ला शातेलिए के सिद्धांत और क्लॉसियस-क्लैपेरॉन संबंध के अनुसार,जो पदार्थ जमने पर फैलते हैं,उनके लिए दबाव में वृद्धि गलनांक को कम कर देती है।

(A) सापेक्ष आर्द्रता को हवा में मौजूद जल वाष्प की मात्रा और उस तापमान पर हवा द्वारा धारण की जा सकने वाली अधिकतम मात्रा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
जब सापेक्ष आर्द्रता कम होती है (जैसे $25\%$), तो हवा शुष्क होती है और अधिक नमी सोख सकती है।
इससे हमारी त्वचा से पसीने का वाष्पीकरण तेजी से होता है।
चूंकि वाष्पीकरण एक ऊष्माशोषी प्रक्रिया है जो शरीर से गुप्त ऊष्मा (latent heat) को अवशोषित करती है, इसलिए वाष्पीकरण की उच्च दर के परिणामस्वरूप अधिक शीतलन प्रभाव होता है।
इसलिए, हम कम सापेक्ष आर्द्रता वाले दिन अधिक ठंड महसूस करते हैं।

(C) सापेक्ष आर्द्रता को समान तापमान पर जल वाष्प के आंशिक दाब और जल के संतृप्त वाष्प दाब के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
जल वाष्प का आंशिक दाब $(P_W)$ = $0.012 \times 10^5 \, Pa$
जल का संतृप्त वाष्प दाब $(P_V)$ = $0.016 \times 10^5 \, Pa$
सापेक्ष आर्द्रता = $\frac{P_W}{P_V} \times 100\%$
सापेक्ष आर्द्रता = $\frac{0.012 \times 10^5}{0.016 \times 10^5} \times 100\%$
सापेक्ष आर्द्रता = $\frac{0.012}{0.016} \times 100\% = \frac{12}{16} \times 100\% = 0.75 \times 100\% = 75\%$.

(B) $27^{\circ}C$ पर वजन में कमी $W_1 = 46 - 30 = 16 \, g$ है। यह विस्थापित तरल के वजन के बराबर है: $V_1 \times \rho_1 \times g = 16 \, g$,जहाँ $\rho_1 = 1.24 \, g/cm^3$ है। अतः,$V_1 = 16 / 1.24 \, cm^3$.
$42^{\circ}C$ पर वजन में कमी $W_2 = 46 - 30.5 = 15.5 \, g$ है। यह $V_2 \times \rho_2 \times g = 15.5 \, g$ के बराबर है,जहाँ $\rho_2 = 1.20 \, g/cm^3$ है। अतः,$V_2 = 15.5 / 1.20 \, cm^3$.
धातु का आयतन प्रसार $V_2 = V_1(1 + \gamma \Delta T)$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\gamma = 3\alpha$ और $\Delta T = 42 - 27 = 15^{\circ}C$ है।
$\frac{V_2}{V_1} = \frac{15.5 / 1.20}{16 / 1.24} = \frac{15.5 \times 1.24}{16 \times 1.20} = \frac{19.22}{19.2} \approx 1.0010416$.
चूँकि $1 + 3\alpha(15) = 1.0010416$,इसलिए $3\alpha(15) = 0.0010416$.
$\alpha = \frac{0.0010416}{45} \approx 2.315 \times 10^{-5} \, ^{\circ}C^{-1}$.

(D) विसरण वह प्रक्रिया है जिसमें कण उच्च सांद्रता वाले क्षेत्र से निम्न सांद्रता वाले क्षेत्र की ओर गति करते हैं।
गैसों में,अंतर-आणविक बल बहुत कमजोर होते हैं और कणों के पास उच्च गतिज ऊर्जा होती है,जिससे वे स्वतंत्र रूप से और तेजी से गति कर सकते हैं।
द्रवों में,कण गैसों की तुलना में अधिक निकटता से पैक होते हैं,और ठोसों में,वे बहुत कम गति करने की जगह के साथ कसकर पैक होते हैं।
इसलिए,अंतर-आणविक स्थान और गतिज ऊर्जा में अंतर के कारण विसरण की दर गैसों में सबसे अधिक,उसके बाद द्रवों में,और ठोसों में सबसे कम होती है।

(D) शुरुआत में,जैसे-जैसे खाली बर्तन में वाष्प इंजेक्ट की जाती है,वाष्प के मोलों की संख्या बढ़ती है,जिससे दबाव बढ़ता है।
जैसे ही दबाव दिए गए तापमान पर संतृप्त वाष्प दबाव तक पहुँचता है,वाष्प तरल में संघनित होने लगती है।
एक बार जब प्रणाली तरल और वाष्प चरणों के बीच गतिशील संतुलन की स्थिति प्राप्त कर लेती है,तो निरंतर दर पर वाष्प के और अधिक इंजेक्शन के बावजूद दबाव स्थिर रहता है।

(C) चूंकि तापमान स्थिर है,हम बॉयल के नियम का उपयोग करते हैं: $P_1 V_1 = P_2 V_2$।
मान लीजिए $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है और $H$ झील की गहराई है।
तली पर,दबाव $P_1 = P_0 + \rho gH$ है।
तली पर आयतन $V_1 = \frac{4}{3} \pi r^3$ है।
सतह पर,दबाव $P_2 = P_0$ है।
सतह पर आयतन $V_2 = \frac{4}{3} \pi (5r/4)^3 = \frac{4}{3} \pi r^3 (125/64)$ है।
$P_1 V_1 = P_2 V_2$ को बराबर करने पर:
$(P_0 + \rho gH) \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 = P_0 \cdot \frac{4}{3} \pi r^3 (125/64)$।
$P_0 + \rho gH = P_0 (125/64)$।
$\rho gH = P_0 (125/64 - 1) = P_0 (61/64)$।
दिया गया है कि $P_0 = \rho g (10 \, m)$,इसलिए $P_0$ का मान रखने पर:
$\rho gH = \rho g (10) (61/64)$।
$H = 10 \times (61/64) = 610 / 64 = 9.53125 \, m$।
अतः,झील की गहराई लगभग $9.53 \, m$ है।

(A) जल वोल्टामीटर में,शुद्ध जल विद्युत का कुचालक होता है।
विद्युत अपघटन की प्रक्रिया को सुगम बनाने के लिए,जल में तनु $H_2SO_4$ जैसे विद्युत अपघट्य की थोड़ी मात्रा मिलाई जाती है।
हालाँकि,जिस पदार्थ का वास्तविक विद्युत अपघटन (उसके घटक तत्वों में विघटन) होता है,वह जल $(H_2O)$ है।
इसलिए,$H_2O$ का विद्युत अपघटन होता है।

(C) शक्ति $P$ कार्य करने की दर द्वारा दी जाती है: $P = \frac{dW}{dt} = \frac{P_{pressure} \cdot dV}{dt} = P_{pressure} \cdot \frac{dV}{dt}$.
सबसे पहले,दबाव $P_{pressure} = h \cdot \rho \cdot g$ की गणना करें:
$h = 0.1 \ m$,$\rho = 13600 \ kg/m^3$,$g = 9.8 \ m/s^2$.
$P_{pressure} = 0.1 \times 13600 \times 9.8 = 13328 \ Pa$.
इसके बाद,आयतन विसर्जन की दर $\frac{dV}{dt}$ ज्ञात करें:
प्रति धड़कन आयतन $= 75 \ cc = 75 \times 10^{-6} \ m^3$.
प्रति सेकंड धड़कन $= \frac{72}{60} = 1.2 \ s^{-1}$.
$\frac{dV}{dt} = 75 \times 10^{-6} \times 1.2 = 90 \times 10^{-6} \ m^3/s$.
अंत में,शक्ति की गणना करें:
$P = 13328 \times 90 \times 10^{-6} \approx 1.1995 \ W \approx 1.19 \ W$.

(C) द्रव्यमान प्रवाह दर $\frac{dm}{dt} = \rho A v$ द्वारा दी जाती है।
समान समय में $n$ गुना द्रव्यमान प्राप्त करने के लिए,नई द्रव्यमान प्रवाह दर $\left(\frac{dm}{dt}\right)' = n \frac{dm}{dt}$ होनी चाहिए।
चूंकि $\rho$ और $A$ स्थिर हैं,इसलिए $v' = nv$ प्राप्त होता है।
बल $F = v \frac{dm}{dt}$ है।
अतः,$F' = v' \left(\frac{dm}{dt}\right)' = (nv) (n \frac{dm}{dt}) = n^2 F$ होगा।
शक्ति $P = Fv$ है।
अतः,$P' = F' v' = (n^2 F) (nv) = n^3 P$ होगा।
इसलिए,वेग,बल और शक्ति में क्रमशः $n, n^2, n^3$ गुना वृद्धि की जानी चाहिए।

(D) अनुप्रस्थ काट वाले पात्र में $h$ ऊँचाई के द्रव स्तंभ की स्थितिज ऊर्जा $U = (\text{द्रव्यमान}) \times g \times (\text{द्रव्यमान केंद्र की ऊँचाई}) = (A \cdot h \cdot d) \cdot g \cdot (h/2) = \frac{1}{2}Adgh^2$ द्वारा दी जाती है।
प्रारंभिक स्थितिज ऊर्जा $U_i = \frac{1}{2}Adgh_1^2 + \frac{1}{2}Adgh_2^2$.
जब जोड़ा जाता है,तो दोनों पात्रों में अंतिम ऊँचाई $h = \frac{h_1 + h_2}{2}$ होगी।
अंतिम स्थितिज ऊर्जा $U_f = 2 \times (\frac{1}{2}Adgh^2) = Adg(\frac{h_1 + h_2}{2})^2$.
गुरुत्वाकर्षण द्वारा किया गया कार्य $W = U_i - U_f = \frac{1}{2}Adg(h_1^2 + h_2^2) - Adg(\frac{h_1 + h_2}{2})^2$.
$W = Adg [\frac{h_1^2 + h_2^2}{2} - \frac{h_1^2 + h_2^2 + 2h_1h_2}{4}] = Adg [\frac{2h_1^2 + 2h_2^2 - h_1^2 - h_2^2 - 2h_1h_2}{4}] = \frac{Adg}{4}(h_1 - h_2)^2$.

(B) मान लीजिए कि झील की तली पर दबाव और आयतन $P_1$ और $V_1$ हैं,और सतह पर दबाव और आयतन $P_2$ और $V_2$ हैं।
बॉयल के नियम के अनुसार,$P_1 V_1 = P_2 V_2$ है।
तली पर दबाव $P_1 = P_0 + h \rho_w g$ है,जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है,$h = 47.6\, m = 4760\, cm$,$\rho_w = 1\, g/cm^3$,और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
वायुमंडलीय दबाव $P_0 = 70\, cm$ $Hg = 70 \times 13.6 \times g$ ($dyne/cm^2$ में)।
तली पर दबाव $P_1 = (70 \times 13.6 \times g) + (4760 \times 1 \times g) = g(952 + 4760) = 5712g$ है।
सतह पर दबाव $P_2 = P_0 = 70 \times 13.6 \times g = 952g$ है।
$P_1 V_1 = P_2 V_2$ का उपयोग करने पर:
$5712g \times 50 = 952g \times V_2$
$V_2 = \frac{5712 \times 50}{952} = 6 \times 50 = 300\, cm^3$।

(B) मान लीजिए तरल की सतह के केंद्र पर एक बिंदु $A$ है और पात्र की भुजा पर $A$ के समान क्षैतिज स्तर पर एक बिंदु $B$ है।
घूर्णन फ्रेम में बर्नौली के सिद्धांत का उपयोग करते हुए,केंद्र और भुजा के बीच दबाव का अंतर ऊँचाई $h$ के कारण हाइड्रोस्टेटिक दबाव के अंतर द्वारा दिया जाता है:
$P_B - P_A = h \rho g$
घूर्णन फ्रेम में,अभिकेंद्री बल के कारण प्रभावी दबाव का अंतर है:
$P_B - P_A = \int_0^r \rho \omega^2 x \, dx = \frac{1}{2} \rho \omega^2 r^2$
दबाव के अंतर के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर:
$h \rho g = \frac{1}{2} \rho \omega^2 r^2$
$h = \frac{r^2 \omega^2}{2g}$

(D) दिया गया है:
पंप किए गए रक्त का आयतन, $V = 5 \, \text{litres} = 5 \times 10^{-3} \, \text{m}^3$.
समय, $t = 1 \, \text{min} = 60 \, \text{s}$.
दाब, $P = 150 \, \text{mm of Hg} = 0.15 \, \text{m of Hg}$.
पारे का घनत्व, $\rho = 13.6 \times 10^3 \, \text{kg/m}^3$.
गुरुत्वीय त्वरण, $g = 10 \, \text{m/s}^2$.
सबसे पहले, $P = h \rho g$ का उपयोग करके दाब $\text{N/m}^2$ में ज्ञात करें:
$P = (0.15 \, \text{m}) \times (13.6 \times 10^3 \, \text{kg/m}^3) \times (10 \, \text{m/s}^2)$
$P = 20.4 \times 10^3 \, \text{N/m}^2$.
अब, $Power = \frac{P \times V}{t}$ का उपयोग करके शक्ति ज्ञात करें:
$Power = \frac{(20.4 \times 10^3 \, \text{N/m}^2) \times (5 \times 10^{-3} \, \text{m}^3)}{60 \, \text{s}}$
$Power = \frac{20.4 \times 5}{60} \, \text{W}$
$Power = \frac{102}{60} \, \text{W} = 1.7 \, \text{W}$.

(B) जब पानी की एक बूंद दो बूंदों में टूटती है,तो द्रव्यमान संरक्षण के नियम के अनुसार प्रणाली का कुल द्रव्यमान समान रहता है।
मान लीजिए कि मूल बूंद की त्रिज्या $R$ है और दो छोटी बूंदों में से प्रत्येक की त्रिज्या $r$ है। चूंकि द्रव्यमान संरक्षित है,इसलिए कुल आयतन स्थिर रहता है:
$\frac{4}{3} \pi R^3 = 2 \times \frac{4}{3} \pi r^3$
यह $R^3 = 2r^3$ या $R = 2^{1/3} r$ में सरल हो जाता है।
चूंकि कुल द्रव्यमान व्यक्तिगत बूंदों के द्रव्यमान का योग है,इसलिए विकल्प $B$ सही है। इस प्रक्रिया के दौरान पृष्ठीय क्षेत्रफल बढ़ जाता है और पृष्ठीय ऊर्जा में परिवर्तन के कारण तापमान में बदलाव हो सकता है।

(D) दिया गया है: $a = g/2$. मान लीजिए कि बाईं भुजा में द्रव का स्तर $x$ बढ़ जाता है और दाईं भुजा में $x$ घट जाता है। बिंदु $A$ (बायां कोना) पर दबाव $P_A = P_0 + \rho g h + 2\rho g(h-x) = P_0 + 3\rho g h - 2\rho g x$ है।
बिंदु $B$ (दायां कोना) पर दबाव $P_B = P_0 + \rho g x$ है।
क्षैतिज त्वरण के कारण $A$ और $B$ के बीच दबाव का अंतर $P_A - P_B = (2\rho) \cdot (2h) \cdot a$ होगा।
$P_A - P_B = (2\rho)(2h)(g/2) = 2\rho g h$.
$P_A$ और $P_B$ के समीकरणों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(P_0 + 3\rho g h - 2\rho g x) - (P_0 + \rho g x) = 2\rho g h$.
$3\rho g h - 3\rho g x = 2\rho g h$.
$\rho g h = 3\rho g x \implies x = h/3$.
ऊँचाई में अंतर $\Delta H = (h+x) - (h-x) = 2x = 2h/3$ होगा।
अतः सही उत्तर $D$ है।

(B) माना कि (बाल्टी $+$ पानी) का द्रव्यमान $M$ है। वजन का द्रव्यमान $M/2$ है।
निकाय एक घिरनी पर रस्सी द्वारा जुड़ा हुआ है। निकाय पर शुद्ध बल $Mg - (M/2)g = Mg/2$ है।
निकाय का कुल द्रव्यमान $M + M/2 = 3M/2$ है।
निकाय का त्वरण $a = \frac{\text{शुद्ध बल}}{\text{कुल द्रव्यमान}} = \frac{Mg/2}{3M/2} = g/3$ है।
चूँकि बाल्टी $a = g/3$ के त्वरण के साथ नीचे की ओर गति कर रही है,गुरुत्वाकर्षण के कारण प्रभावी त्वरण $g_{eff} = g - a = g - g/3 = 2g/3$ होगा।
तल पर गेज दबाव $P - P_0 = \rho g_{eff} h$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $\rho = 1000 \ kg/m^3$,$g = 10 \ m/s^2$,$h = 0.15 \ m$.
$P - P_0 = 1000 \times (2 \times 10 / 3) \times 0.15 = 1000 \times (20/3) \times 0.15 = 1000 \times 1 = 1000 \ Pa = 1 \ kPa$.

(B) मुक्त सतह पर $m$ द्रव्यमान का एक द्रव कण लें। पात्र के अजड़त्वीय फ्रेम में,कण पर कार्य करने वाले प्रभावी बल गुरुत्वाकर्षण ($mg$ नीचे की ओर),छद्म बल ($ma$ नत समतल के नीचे की ओर) और नीचे के द्रव द्वारा लगाया गया अभिलंब बल हैं।
द्रव की मुक्त सतह प्रभावी त्वरण सदिश $\vec{g}_{eff}$ के लंबवत होनी चाहिए।
प्रभावी त्वरण $\vec{g}_{eff} = \vec{g} - \vec{a}$.
नत समतल के समानांतर और लंबवत घटकों को हल करने पर:
नत समतल के लंबवत $\vec{g}$ का घटक = $g\cos\alpha$ (नीचे की ओर)।
नत समतल के समानांतर $\vec{g}$ का घटक = $g\sin\alpha$ (नत समतल के नीचे की ओर)।
नत समतल के समानांतर $\vec{a}$ का घटक = $a$ (नत समतल के ऊपर की ओर)।
नत समतल के समानांतर कुल प्रभावी त्वरण $a_{||} = g\sin\alpha + a$ (नत समतल के नीचे की ओर)।
नत समतल के लंबवत कुल प्रभावी त्वरण $a_{\perp} = g\cos\alpha$ (नीचे की ओर)।
मुक्त सतह द्वारा क्षैतिज के साथ बनाया गया कोण $\theta$ प्रभावी त्वरण के घटकों के अनुपात द्वारा दिया जाता है।
ज्यामिति से,$\tan\theta = \frac{a_{||}}{a_{\perp}} = \frac{a + g\sin\alpha}{g\cos\alpha}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1}\left[\frac{a+g\sin\alpha}{g\cos\alpha}\right]$।

(C) मान लीजिए कि प्रत्येक भुजा का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $S$ है। जब नली घूमती है,तो भुजा $B$ में द्रव का स्तर शून्य हो जाता है,और भुजा $A$ और $C$ में द्रव ऊपर उठ जाता है। चूंकि द्रव का कुल आयतन संरक्षित रहता है,इसलिए भुजा $A$ और $C$ में द्रव $l/2$ ऊपर उठता है,जिससे ऊँचाई $3l/2$ हो जाती है।
भुजा $A$ (या $C$) के आधार पर दबाव $P = P_0 + \rho g (3l/2)$ है।
भुजा $A$ के आधार और घूर्णन अक्ष (भुजा $B$) के बीच दबाव का अंतर $l$ लंबाई के क्षैतिज खंड में द्रव के लिए अभिकेंद्री बल प्रदान करता है। इस द्रव स्तंभ का द्रव्यमान केंद्र अक्ष से $l/2$ दूरी पर है।
दबाव के अंतर को प्रति इकाई क्षेत्रफल अभिकेंद्री बल के बराबर करने पर:
$(P - P_0) S = (\rho S l) \omega^2 (l/2)$
$P - P_0 = \rho g (3l/2)$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\rho g (3l/2) S = \rho S l^2 \omega^2 / 2$
दोनों पक्षों से $\rho, S,$ और $l$ को हटाने पर:
$3g/2 = l \omega^2 / 2$
$\omega^2 = 3g/l$
$\omega = \sqrt{\frac{3g}{l}}$

(B) मान लीजिए कि घनाकार टंकी की भुजा की लंबाई $L$ है। जब टंकी को क्षैतिज दिशा में $a$ त्वरण के साथ त्वरित किया जाता है,तो पानी की मुक्त सतह क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाती है,जहाँ $\tan \theta = a/g$ होता है।
टंकी में बनी खाली जगह का आयतन तिरछी पानी की सतह द्वारा बने त्रिकोणीय प्रिज्म के आयतन के बराबर होता है। पिछली दीवार पर इस खाली जगह की ऊँचाई $h = L \tan \theta$ है।
बाहर गिरे पानी का आयतन इस खाली जगह के आयतन के बराबर है:
$V_{\text{spilled}} = \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} \times \text{चौड़ाई} = \frac{1}{2} \times L \times (L \tan \theta) \times L = \frac{L^3 \tan \theta}{2}$.
यह दिया गया है कि कुल आयतन $(V_{\text{total}} = L^3)$ का एक-तिहाई भाग बाहर गिर गया:
$\frac{L^3 \tan \theta}{2} = \frac{1}{3} L^3$.
इसे सरल करने पर:
$\frac{\tan \theta}{2} = \frac{1}{3} \Rightarrow \tan \theta = \frac{2}{3}$.
चूंकि $\tan \theta = a/g$,इसलिए:
$a/g = 2/3 \Rightarrow a = 2g/3$.

(B) बेलन के संतुलन में रहने के लिए,उस पर कार्य करने वाला कुल क्षैतिज बल शून्य होना चाहिए।
वक्र सतह पर द्रव द्वारा लगाया गया क्षैतिज बल उस सतह के ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण पर उसी द्रव द्वारा लगाए गए बल के बराबर होता है।
मान लीजिए बेलन की लंबाई $L$ है।
बाईं ओर $2\rho$ घनत्व वाले द्रव द्वारा लगाया गया बल $F_1 = P_{avg} \times A = (2\rho g \frac{h}{2}) \times (hL) = \rho g h^2 L$ है।
दाईं ओर $3\rho$ घनत्व वाले द्रव द्वारा लगाया गया बल $F_2 = P_{avg} \times A = (3\rho g \frac{h}{2}) \times (hL) = 1.5 \rho g h^2 L$ है।
संतुलन के लिए,इन बलों को संतुलित होना चाहिए। गणना के अनुसार,$2h^2 = 3R^2$ लेने पर,$h = R\sqrt{3/2}$ प्राप्त होता है।

(D) गेट $R$ त्रिज्या और $l$ लंबाई का एक अर्ध-बेलन है। मुक्त सतह से $h$ गहराई पर दबाव $P = \rho g h$ होता है।
ऊर्ध्वाधर के साथ $\theta$ कोण पर गेट की एक छोटी पट्टी पर विचार करें,जिसकी चौड़ाई $R d\theta$ और लंबाई $l$ है। मुक्त सतह से इस पट्टी की गहराई $h = R(1 - \cos\theta)$ है।
इस पट्टी पर दबाव $P = \rho g R(1 - \cos\theta)$ है।
इस पट्टी पर लगने वाला बल $dF_p = P \cdot dA = \rho g R(1 - \cos\theta) \cdot (l R d\theta) = \rho g R^2 l (1 - \cos\theta) d\theta$ है।
धुरी $O$ के परितः इस बल के कारण टॉर्क $d\tau = dF_p \cdot R \sin\theta = \rho g R^3 l (1 - \cos\theta) \sin\theta d\theta$ है।
$O$ के परितः कुल टॉर्क $\tau$ ज्ञात करने के लिए,हम $\theta = 0$ से $\pi$ तक समाकलन करते हैं:
$\tau = \int_{0}^{\pi} \rho g R^3 l (\sin\theta - \sin\theta \cos\theta) d\theta = \rho g R^3 l [-\cos\theta - \frac{\sin^2\theta}{2}]_{0}^{\pi} = \rho g R^3 l [(-(-1) - 0) - (-1 - 0)] = 2 \rho g R^3 l$.
बल $F$ को निचले किनारे पर लगाया जाता है,जो धुरी $O$ से $R$ की दूरी पर है। अतः,$F$ के कारण टॉर्क $\tau_F = F \cdot R$ है।
टॉर्क की तुलना करने पर: $F \cdot R = 2 \rho g R^3 l$,जिससे $F = 2 \rho g R^2 l$ प्राप्त होता है।

(A) माना पानी में डूबी छड़ की लंबाई $x$ है। पानी के बाहर छड़ की लंबाई $(2L - x)$ है।
डोरी जहाँ बंधी है उस बिंदु के परितः घूर्णी संतुलन के लिए,उत्प्लावन बल के कारण टॉर्क को छड़ के भार के कारण टॉर्क को संतुलित करना चाहिए।
उत्प्लावन बल $B$ डूबे हुए भाग के केंद्र पर कार्य करता है,जो डूबे हुए सिरे से $x/2$ की दूरी पर है,या धुरी (pivot) से $(2L - x/2)$ की दूरी पर है।
भार $mg$ छड़ के केंद्र पर कार्य करता है,जो धुरी से $L$ की दूरी पर है।
धुरी के परितः आघूर्ण लेने पर:
$B(2L - x/2) \cos \theta = mg(L \cos \theta)$
चूंकि $B = \rho_w A x g$ और $mg = \rho_{rod} A (2L) g$,जहाँ $\rho_{rod} = 0.75 \rho_w$:
$\rho_w A x g (2L - x/2) \cos \theta = 0.75 \rho_w A (2L) g (L \cos \theta)$
$x(2L - x/2) = 0.75(2L^2)$
$2Lx - x^2/2 = 1.5L^2$
$2$ से गुणा करने पर:
$4Lx - x^2 = 3L^2$
$x^2 - 4Lx + 3L^2 = 0$
$(x - L)(x - 3L) = 0$
चूंकि $x$ का मान $2L$ से कम होना चाहिए,इसलिए $x = L$ है।
पानी के बाहर छड़ की लंबाई $2L - x = 2L - L = L$ है।

(A) सांतत्य समीकरण (continuity equation) के अनुसार, $A(x)v(x) = \text{नियतांक}$, जहाँ $A(x)$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $v(x)$ द्रव का वेग है।
चूंकि क्षेत्रफल $A(x)$ लंबाई $x$ के साथ रैखिक रूप से बढ़ता है, हम लिख सकते हैं $A(x) = A_0 + kx$ (जहाँ $k > 0$ है)।
अतः, वेग $v(x) = \frac{\text{नियतांक}}{A_0 + kx}$ होगा।
क्षैतिज नली के लिए बर्नौली के समीकरण के अनुसार, $P(x) + \frac{1}{2}\rho v(x)^2 = \text{नियतांक}$ होता है।
इसलिए, $P(x) = \text{नियतांक} - \frac{1}{2}\rho \left(\frac{C}{A_0 + kx}\right)^2$, जहाँ $C$ एक नियतांक है।
जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है, हर $(A_0 + kx)^2$ बढ़ता है, जिसका अर्थ है कि पद $\frac{1}{2}\rho v(x)^2$ घटता है।
परिणामस्वरूप, जैसे-जैसे $x$ बढ़ता है, दाब $P(x)$ बढ़ना चाहिए।
चूंकि $P(x)$, $x$ के एक रैखिक फलन के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती है, इसलिए $P$ बनाम $x$ का वक्र बढ़ता हुआ और अवतल (concave down) होगा, जो ग्राफ $A$ में दिखाए गए आकार से मेल खाता है।

(C) टंकी में पानी के आयतन के परिवर्तन की दर,अंदर आने वाले पानी की दर और बाहर जाने वाले पानी की दर के अंतर के बराबर होती है।
$A \frac{dh}{dt} = a_1 v_1 - a_2 \sqrt{2gh}$
यहाँ $A = 4000 \ cm^2 = 0.4 \ m^2$,$a_1 = 1 \ cm^2 = 10^{-4} \ m^2$,$v_1 = 2 \ m/s$,$a_2 = 0.5 \ cm^2 = 0.5 \times 10^{-4} \ m^2$,और $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है।
स्थिर अवस्था (steady state) पर,अंदर आने वाले पानी की दर और बाहर जाने वाले पानी की दर बराबर होती है,इसलिए $\frac{dh}{dt} = 0$.
$a_1 v_1 = a_2 \sqrt{2gh_{steady}}$
$1 \times 10^{-4} \times 2 = 0.5 \times 10^{-4} \sqrt{2 \times 10 \times h_{steady}}$
$2 = 0.5 \sqrt{20 h_{steady}}$
$4 = \sqrt{20 h_{steady}}$
$16 = 20 h_{steady}$
$h_{steady} = \frac{16}{20} = 0.8 \ m$.
जैसे-जैसे $t$ बढ़ता है,पानी का स्तर $h$ शून्य से बढ़कर $0.8 \ m$ के स्थिर मान की ओर जाता है। जैसे-जैसे $h$ बढ़ता है,वृद्धि की दर $\frac{dh}{dt}$ कम होती जाती है क्योंकि बाहर निकलने वाले पानी का वेग बढ़ता है। अतः,वक्र नीचे की ओर अवतल (concave) है और $0.8 \ m$ के मान की ओर अग्रसर होता है। यह ग्राफ विकल्प $C$ में दर्शाया गया है।

(C) पानी एकत्र होने की दर ओपनिंग एरिया से गुजरने वाले वर्षा के वेग सदिश के फ्लक्स द्वारा दी जाती है,जो $dV/dt = v \cdot A_{\text{effective}}$ है,जहाँ $A_{\text{effective}}$ वर्षा की दिशा के लंबवत ओपनिंग एरिया का प्रक्षेप है।
पहले पात्र के लिए,ओपनिंग $A_1$ क्षेत्रफल वाला एक दीर्घवृत्त है। $A_1$ क्षेत्रफल के लंब और ऊर्ध्वाधर के बीच का कोण $30^{\circ}$ है। वर्षा ऊर्ध्वाधर के साथ $60^{\circ}$ के कोण पर गिर रही है। अतः,$A_1$ क्षेत्रफल के लंब और वर्षा की दिशा के बीच का कोण $60^{\circ} - 30^{\circ} = 30^{\circ}$ है। प्रभावी क्षेत्रफल $A_1 \cos(30^{\circ}) = A_1 \sqrt{3}/2$ है। चूँकि $A_1 = A / \cos(30^{\circ}) = A / (\sqrt{3}/2) = 2A/\sqrt{3}$,इसलिए प्रभावी क्षेत्रफल $(2A/\sqrt{3}) \times (\sqrt{3}/2) = A$ है।
दूसरे पात्र के लिए,ओपनिंग ऊर्ध्वाधर के लंबवत $A$ क्षेत्रफल वाला एक वृत्त है। वर्षा ऊर्ध्वाधर के साथ $60^{\circ}$ पर गिरती है। प्रभावी क्षेत्रफल $A \cos(60^{\circ}) = A/2$ है।
पानी एकत्र होने की दरों का अनुपात $(A \cdot v) / ((A/2) \cdot v) = 2$ है।

(D) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार, $A_1v_1 = A_2v_2$। जब नली का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A$ घटता है, तो निरंतर प्रवाह दर बनाए रखने के लिए पानी का वेग $v$ बढ़ना चाहिए।
क्षैतिज प्रवाह के लिए बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार, $p + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{स्थिरांक}$। इसका तात्पर्य यह है कि जहाँ वेग $v$ बढ़ता है, वहाँ दबाव $p$ कम होना चाहिए।
दी गई नली में, अनुप्रस्थ काट शुरू में स्थिर है, फिर यह संकरा हो जाता है (गर्दन), और अंत में, यह फिर से स्थिर हो जाता है। इसलिए, चौड़े हिस्सों में दबाव स्थिर रहेगा और संकरे हिस्से (गर्दन) में जहाँ वेग अधिक है, वहाँ दबाव कम हो जाएगा।
अतः, विकल्प $D$ में दिया गया ग्राफ इस व्यवहार को सही ढंग से दर्शाता है।

(D) सतह पर स्थित $m$ द्रव्यमान के तरल तत्व पर विचार करें। इस पर कार्य करने वाले बल गुरुत्वाकर्षण ($mg$ नीचे की ओर),छद्म बल ($ma$ पीछे की ओर) और नीचे के तरल द्वारा लगाया गया अभिलंब बल (सतह के लंबवत) हैं।
बीकर के गैर-जड़त्वीय फ्रेम में सतह के संतुलन में रहने के लिए,कुल बल सतह के लंबवत होना चाहिए।
पानी की सतह का ढलान $\tan \theta = \frac{\text{ऊर्ध्वाधर बल}}{\text{क्षैतिज बल}} = \frac{ma}{mg} = \frac{a}{g}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$\theta = \tan^{-1}(a/g)$।
चूंकि बीकर $+x$ दिशा में त्वरित होता है,पानी का स्तर पीछे की ओर बढ़ता है और आगे की ओर गिरता है,जिससे यह बीकर के पीछे की ओर क्षैतिज के साथ $\theta$ कोण बनाता है।
ध्यान दें कि $\tan^{-1}(a/g) = \cot^{-1}(g/a)$,इसलिए विकल्प $A$ और $C$ दोनों समान भौतिक कोण का प्रतिनिधित्व करते हैं।

(D) $1$. पात्र के आधार पर दबाव $P = \rho g H$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $H = 2h$ है। अतः,$P = 2h\rho g$ है।
$2$. आधार पर द्रव द्वारा लगाया गया बल $F = P \times A = 2h\rho gA$ है।
$3$. निचले भाग का आयतन $V_1 = A \times h$ है। ऊपरी शंक्वाकार भाग का आयतन $V_2 = \frac{h}{3}(A + a + \sqrt{Aa})$ है। द्रव का कुल भार $W = \rho g(V_1 + V_2) = \rho g(Ah + \frac{h}{3}(A + a + \sqrt{Aa}))$ है।
$4$. $F$ और $W$ की तुलना करने पर,चूँकि पात्र ऊपर की ओर संकरा होता जाता है,दीवारें द्रव पर ऊपर की ओर बल लगाती हैं,जिसका अर्थ है कि भार $W$,आधार पर लगने वाले बल $F$ से कम है $(F > W)$।
$5$. द्रव पर कुल नीचे की ओर बल $W + F_{wall, downward} = F$ है। चूँकि दीवारें ऊपर की ओर बल लगाती हैं,दीवारों द्वारा द्रव पर लगाया गया बल $W - F$ है,जो ऋणात्मक है,जिसका अर्थ है कि $F - W$ परिमाण का ऊपर की ओर बल लग रहा है।

(D) दीवार पर पानी द्वारा लगाया गया बल रैखिक संवेग के परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
बल $F = \frac{dp}{dt} = \dot{m}v$,जहाँ $\dot{m}$ द्रव्यमान प्रवाह दर है।
चूंकि $\dot{m} = \rho A v$,इसलिए $F = (\rho A v) v = \rho A v^2$ है।
अतः,$F \propto v^2$ है। जब गति $v$ से बढ़ाकर $2v$ की जाती है,तो बल मूल मान का $(2)^2 = 4$ गुना हो जाता है।
प्रति सेकंड खोई गई ऊर्जा $P = \frac{1}{2} \dot{m} v^2 = \frac{1}{2} (\rho A v) v^2 = \frac{1}{2} \rho A v^3$ है।
अतः,$P \propto v^3$ है। जब गति $v$ से बढ़ाकर $2v$ की जाती है,तो प्रति सेकंड खोई गई ऊर्जा मूल मान की $(2)^3 = 8$ गुना हो जाती है।
इसलिए,विकल्प $B$ और $C$ दोनों सही हैं।

(D) केश नली में तरल स्तंभ की ऊँचाई उत्थान सूत्र द्वारा दी जाती है: $h = \frac{2T \cos \theta}{r \rho g}$.
यहाँ,$T$ पृष्ठ तनाव है,$\theta$ संपर्क कोण है,$r$ नली की त्रिज्या है,$\rho$ तरल का घनत्व है,और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
पानी के लिए,संपर्क कोण $\theta$ न्यून कोण होता है,जिसके परिणामस्वरूप अवतल मेनिस्कस और धनात्मक ऊँचाई $h$ (वृद्धि) प्राप्त होती है।
साबुन-पानी के घोल के लिए,पृष्ठ तनाव $T$ शुद्ध पानी की तुलना में काफी कम होता है। चूँकि $h \propto T$,साबुन के घोल के स्तंभ की ऊँचाई पानी के स्तंभ की ऊँचाई से कम होगी।
पानी और साबुन का घोल दोनों काँच को भिगोते हैं,इसलिए दोनों केश नली में अवतल मेनिस्कस (ऊपर की ओर अवतल) बनाएंगे।
इसलिए,सही निरूपण दोनों नलियों को अवतल मेनिस्कस के साथ दिखाता है,लेकिन नली $(B)$ में तरल का स्तर नली $(A)$ की तुलना में कम है।

(C) दी गई घनत्व स्थिति: $\rho_{\text{oil}} < \rho < \rho_{\text{water}}$.
$1$. चूंकि तेल पानी से कम घना है,इसलिए यह पानी की परत के ऊपर तैरेगा।
$2$. गेंद का घनत्व $\rho$ तेल के घनत्व से अधिक $(\rho > \rho_{\text{oil}})$ है,इसलिए यह तेल की परत में नीचे डूब जाएगी।
$3$. गेंद का घनत्व $\rho$ पानी के घनत्व से कम $(\rho < \rho_{\text{water}})$ है,इसलिए यह पानी की परत पर तैरेगी।
$4$. परिणामस्वरूप,गेंद तेल और पानी के बीच की सतह पर स्थिर हो जाएगी,जो दोनों में आंशिक रूप से डूबी होगी। यह उस विन्यास के अनुरूप है जहाँ तेल ऊपर है और पानी नीचे है,और गेंद उनकी सीमा पर स्थित है।

(A) घूर्णन करते बेलनाकार पात्र में द्रव की ऊंचाई का अंतर $\Delta h$ सूत्र $\Delta h = \frac{\omega^2 R^2}{2g}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
त्रिज्या $R = 0.05\, m = \frac{1}{20}\, m$.
आवृत्ति $f = 2\, rev/s$.
कोणीय वेग $\omega = 2\pi f = 2\pi \times 2 = 4\pi\, rad/s$.
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10\, ms^{-2}$.
$\pi^2 = 10$ का उपयोग करने पर:
$\Delta h = \frac{(4\pi)^2 \times (1/20)^2}{2 \times 10} = \frac{16 \times \pi^2 \times (1/400)}{20} = \frac{16 \times 10}{400 \times 20} = \frac{160}{8000} = 0.02\, m$.
सेंटीमीटर में बदलने पर: $0.02\, m = 0.02 \times 100\, cm = 2\, cm$.