Newton's Law of Viscosity Questions in Hindi

(D) श्यान बल $F$ न्यूटन के श्यानता के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \eta A \frac{dv}{dx}$.
यहाँ, वर्गाकार प्लेट का क्षेत्रफल $A = (0.1 \; m)^2 = 0.01 \; m^2$ है।
श्यानता गुणांक $\eta = 0.01 \; \text{poise} = 0.001 \; \text{Pa} \cdot s$ है (चूँकि $1 \; \text{poise} = 0.1 \; \text{Pa} \cdot s$)।
वेग प्रवणता $\frac{dv}{dx} = \frac{v}{dx}$ है, जहाँ $v = 0.1 \; m/s$ और $dx$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
सूत्र में मान रखने पर: $0.002 = 0.001 \times 0.01 \times \frac{0.1}{dx}$.
$dx$ के लिए हल करने पर: $dx = \frac{0.001 \times 0.01 \times 0.1}{0.002} = \frac{0.000001}{0.002} = 0.0005 \; m$.

(A) एक नली के माध्यम से बहने वाले श्यान द्रव के लैमिनर प्रवाह में,'नो-स्लिप' स्थिति के कारण द्रव नली की दीवारों से चिपक जाता है।
परिणामस्वरूप,स्थिर दीवारों के सीधे संपर्क में आने वाली द्रव की परत का वेग $0$ होता है।
वेग का वितरण परवलयिक (parabolic) होता है,जो दीवारों पर $0$ से शुरू होकर नली की केंद्रीय अक्ष पर अधिकतम मान तक बढ़ता है।
अतः,दीवारों पर वेग $0$ होता है।

(B) नदी में बहता हुआ पानी नदी के किनारों और तल के साथ संपर्क के कारण श्यान खिंचाव (viscous drag) का अनुभव करता है।
किनारों के पास,पानी के अणु स्थिर सतह के साथ महत्वपूर्ण घर्षण का अनुभव करते हैं,जो उनके वेग को काफी कम कर देता है।
नदी के बीच में,पानी के अणु समान गति से चलने वाले अन्य पानी के अणुओं से घिरे होते हैं,जिसके परिणामस्वरूप श्यान प्रतिरोध न्यूनतम होता है।
इसलिए,पानी का वेग बीच में अधिकतम और किनारों के पास न्यूनतम होता है।

(B) किसी द्रव की श्यानता उसके प्रवाह के प्रतिरोध का माप है,जो उसके अणुओं के बीच लगने वाले ससंजक बलों के कारण उत्पन्न होती है।
द्रवों में,जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,अणुओं की गतिज ऊर्जा बढ़ जाती है।
यह बढ़ी हुई गतिज ऊर्जा अणुओं को ससंजक बलों को आसानी से पार करने में मदद करती है,जिससे द्रव की परतों के बीच का आंतरिक घर्षण कम हो जाता है।
परिणामस्वरूप,तापमान बढ़ने के साथ पानी (और अधिकांश द्रवों) की श्यानता घट जाती है।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(A) गैसों की श्यानता मुख्य रूप से अलग-अलग वेग से गति करने वाले गैस के अणुओं की परतों के बीच संवेग के स्थानांतरण के कारण होती है।
गैसों के गतिज सिद्धांत के अनुसार,श्यानता गुणांक $\eta = \frac{1}{3} \rho v_{avg} \lambda$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है,$v_{avg}$ अणुओं की औसत गति है और $\lambda$ माध्य मुक्त पथ (mean free path) है।
जैसे-जैसे तापमान बढ़ता है,गैस के अणुओं की औसत गति $(v_{avg} \propto \sqrt{T})$ बढ़ती है।
हालाँकि माध्य मुक्त पथ $\lambda$ बदल सकता है,लेकिन अणुओं की औसत गति में वृद्धि प्रभावी होती है,जिसके परिणामस्वरूप तापमान के साथ श्यानता गुणांक बढ़ जाता है।
इसलिए,गर्म हवा के लिए श्यानता गुणांक ठंडी हवा की तुलना में अधिक होता है।

(A) एक अच्छे लुब्रिकेंट में उच्च श्यानता (viscosity) होनी चाहिए ताकि मशीन के पुर्जे कुशलतापूर्वक काम कर सकें।
लुब्रिकेंट की श्यानता जितनी अधिक होती है,उसकी बाउंड्री लुब्रिकेशन प्रदान करने की क्षमता उतनी ही अधिक होती है,जो गतिशील भागों के बीच एक सुरक्षात्मक परत बनाती है ताकि घर्षण और टूट-फूट कम हो सके।

(D) दिया गया है: वर्गाकार प्लेट की भुजा $L = 0.1 \, m$,वेग $dv = 0.1 \, m/s$,श्यानता $\eta = 0.01 \, poise = 0.001 \, N \cdot s/m^2$ ($SI$ इकाई),श्यान बल $F = 0.002 \, N$.
प्लेट का क्षेत्रफल $A = L^2 = (0.1)^2 = 0.01 \, m^2$.
न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार,श्यान बल $F = \eta A \frac{dv}{dx}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $dx$ प्लेटों के बीच की दूरी है।
$dx$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर: $dx = \frac{\eta A dv}{F}$.
मान रखने पर: $dx = \frac{0.001 \times 0.01 \times 0.1}{0.002} = \frac{0.000001}{0.002} = 0.0005 \, m$.

(B) दिया गया है: क्षेत्रफल $A = 0.2\; m^{2}$,द्रव्यमान $m = 0.02\; kg$,मोटाई $l = 0.6\; mm = 0.6 \times 10^{-3}\; m$,वेग $v = 0.17\; m/s$,$g = 10\; m/s^{2}$.
ब्लॉक स्थिर गति से चलता है,इसलिए उस पर कुल बल शून्य है। डोरी में तनाव $T$ लटके हुए द्रव्यमान के भार के बराबर है:
$T = m \cdot g = 0.02\; kg \times 10\; m/s^{2} = 0.2\; N$.
यह तनाव ब्लॉक पर कार्य करने वाले श्यान बल $F$ द्वारा संतुलित होता है:
$F = \eta A \frac{v}{l} \implies T = \eta A \frac{v}{l}$.
श्यानता गुणांक $\eta$ के लिए सूत्र:
$\eta = \frac{T \cdot l}{A \cdot v} = \frac{0.2 \times 0.6 \times 10^{-3}}{0.2 \times 0.17}$.
$\eta = \frac{0.6 \times 10^{-3}}{0.17} \approx 3.53 \times 10^{-3} \; Pa \cdot s$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,निकटतम मान $3.45 \times 10^{-3} \; Pa \cdot s$ है।

(B) वेग प्रवणता को परतों के बीच की लंबवत दूरी के सापेक्ष वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है,जिसे सूत्र $\frac{dv}{dx}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
सापेक्ष वेग $(dv)$ = $8 \ cm/s$
लंबवत दूरी $(dx)$ = $0.1 \ cm$
वेग प्रवणता = $\frac{dv}{dx} = \frac{8 \ cm/s}{0.1 \ cm} = 80 \ s^{-1}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(C) न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार,कर्तन प्रतिबल (shear stress) $\tau$,वेग प्रवणता $\frac{du}{dy}$ के समानुपाती होता है।
$\tau = \mu \frac{du}{dy}$
चूंकि $\tau = \frac{F}{A}$,जहाँ $F$ लगाया गया बल है और $A$ सतह का क्षेत्रफल है,इसलिए $\frac{F}{A} = \mu \frac{u}{y}$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $F = \left( \frac{A \mu}{y} \right) u$,जिसका अर्थ है $F \propto u$।
अतः,$\frac{F_1}{u_1} = \frac{F_2}{u_2}$।
दिया गया है $F_1 = 800$ $N$,$u_1 = 1.5$ $cm/s$,और $F_2 = 2.4$ $kN = 2400$ $N$।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{800}{1.5} = \frac{2400}{u_2}$।
$u_2$ के लिए हल करने पर: $u_2 = \frac{2400 \times 1.5}{800} = 3 \times 1.5 = 4.5$ $cm/s$।

(A) ब्लॉक नियत वेग $v$ से गति करता है,जिसका अर्थ है कि नत समतल के अनुदिश ब्लॉक पर लगने वाला कुल बल शून्य है।
ढलान की दिशा में नीचे की ओर लगने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $F_g = mg \sin \theta$ है।
न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार ढलान के ऊपर की ओर लगने वाला श्यान बल $F_v = \eta A \frac{v}{t}$ है,जहाँ $A = a^2$ संपर्क क्षेत्रफल है।
बलों को बराबर करने पर: $F_v = F_g$
$\eta (a^2) \frac{v}{t} = mg \sin 37^{\circ}$
दिया गया है कि द्रव्यमान $m = \text{घनत्व} \times \text{आयतन} = \rho a^3$ और $\sin 37^{\circ} = \frac{3}{5}$:
$\eta (a^2) \frac{v}{t} = (\rho a^3) g \left(\frac{3}{5}\right)$
$\eta$ के लिए हल करने पर:
$\eta = \frac{\rho a^3 g \cdot 3}{5 \cdot a^2 \cdot v / t} = \frac{3 \rho a g t}{5 v}$

(B) प्लेट को चलाने के लिए आवश्यक बल न्यूटन के श्यानता के नियम द्वारा दिया जाता है: $F = \eta A \frac{dv}{dy}$.
दिए गए मान:
क्षेत्रफल $A = 100 \text{ cm}^2 = 100 \times 10^{-4} \text{ m}^2 = 10^{-2} \text{ m}^2$.
गैप $dy = 1 \text{ mm} = 10^{-3} \text{ m}$.
वेग $v = 7 \text{ cm/s} = 0.07 \text{ m/s}$.
श्यानता गुणांक $\eta = 1.0 \text{ kg/(m} \cdot \text{s)}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = 1.0 \times 10^{-2} \times \frac{0.07}{10^{-3}}$
$F = 1.0 \times 10^{-2} \times 70$
$F = 0.7 \text{ N}$.
अतः,आवश्यक बल $0.7 \text{ N}$ है।

(C) मान लीजिए $\eta$ श्यानता गुणांक है और $x$ तेल की परत की मोटाई है।
डिस्क पर $r$ त्रिज्या और $dr$ चौड़ाई वाली एक सूक्ष्म रिंग पर विचार करें।
$r$ त्रिज्या पर डिस्क का वेग $v = \omega r$ है।
परत के आर-पार वेग प्रवणता $\frac{dv}{dx} = \frac{\omega r - 0}{x} = \frac{\omega r}{x}$ है।
इस सूक्ष्म रिंग पर कार्य करने वाला श्यान बल $dF = \eta A \frac{dv}{dx}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A = 2\pi r dr$ है।
$dF = \eta (2\pi r dr) \frac{\omega r}{x} = \frac{2\pi \eta \omega}{x} r^2 dr$।
इस श्यान बल को दूर करने के लिए आवश्यक टॉर्क $d\tau = (dF) r$ है।
$d\tau = \left( \frac{2\pi \eta \omega}{x} r^2 dr \right) r = \frac{2\pi \eta \omega}{x} r^3 dr$।
कुल टॉर्क $\tau$ ज्ञात करने के लिए $r = 0$ से $r = R$ तक समाकलन करने पर:
$\tau = \int_{0}^{R} \frac{2\pi \eta \omega}{x} r^3 dr = \frac{2\pi \eta \omega}{x} \left[ \frac{r^4}{4} \right]_{0}^{R} = \frac{\pi \eta \omega}{2x} R^4$।
अतः,टॉर्क $\tau$,$R^4$ के समानुपाती है।

(D) न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार,कर्तन प्रतिबल $\tau$ को $\tau = \eta \frac{du}{dy}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया वेग प्रोफाइल $u = \alpha \left[ \frac{y}{h} - 2\left( \frac{y}{h} \right)^2 \right]$ है।
$y$ के सापेक्ष $u$ का अवकलन करने पर:
$\frac{du}{dy} = \alpha \left[ \frac{1}{h} - 2 \cdot 2 \left( \frac{y}{h} \right) \cdot \frac{1}{h} \right] = \alpha \left[ \frac{1}{h} - \frac{4y}{h^2} \right]$।
प्लेट के आधार पर,$y = 0$ है।
इसलिए,आधार पर वेग प्रवणता (velocity gradient) $\left( \frac{du}{dy} \right)_{y=0} = \alpha \left[ \frac{1}{h} - 0 \right] = \frac{\alpha}{h}$ है।
आधार पर कर्तन प्रतिबल का परिमाण $\tau = \eta \left| \frac{du}{dy} \right|_{y=0} = \eta \left( \frac{\alpha}{h} \right) = \frac{\alpha \eta}{h}$ है।

(B) मान लीजिए कि पतली प्लेट का वेग $v$ है और इसका क्षेत्रफल $A$ है। प्लेट को खींचने के लिए आवश्यक बल दोनों द्रवों द्वारा लगाए गए श्यान बलों का योग है:
$F = F_1 + F_2 = \eta A \frac{v}{d_1} + 4\eta A \frac{v}{d_2}$
यह दिया गया है कि $d_1 + d_2 = d$ (कुल दूरी स्थिर है),इसलिए हम $d_2 = d - d_1$ लिख सकते हैं। इसे प्रतिस्थापित करने पर:
$F = \eta A v \left( \frac{1}{d_1} + \frac{4}{d - d_1} \right)$
न्यूनतम बल ज्ञात करने के लिए,हम $F$ का $d_1$ के सापेक्ष अवकलन करते हैं और इसे शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{dF}{dd_1} = \eta A v \left( -\frac{1}{d_1^2} + \frac{4}{(d - d_1)^2} \right) = 0$
$\frac{1}{d_1^2} = \frac{4}{(d - d_1)^2}$
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\frac{1}{d_1} = \frac{2}{d - d_1}$
$d - d_1 = 2d_1$
$d = 3d_1 \Rightarrow d_1 = \frac{d}{3}$
अतः $d_2 = d - \frac{d}{3} = \frac{2d}{3}$.
इसलिए,अनुपात $\frac{d_2}{d_1} = \frac{2d/3}{d/3} = 2$.

(B) दिया गया है: सतहों के बीच की दूरी $d = 2.5\ cm = 2.5 \times 10^{-2}\ m$. प्लेट ठीक बीच में है,इसलिए प्रत्येक सतह से दूरी $dz = d/2 = 1.25 \times 10^{-2}\ m$ है।
प्लेट का क्षेत्रफल $A = 0.5\ m^2$.
प्लेट का वेग $v = 0.5\ m/s$.
अनुप्रयुक्त बल $F = 1\ N$.
न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार,प्लेट के एक तरफ लगने वाला श्यान बल $F_{viscous} = \eta A \frac{dv}{dz}$ है।
चूंकि प्लेट दो सतहों के बीच खींची जा रही है,इसलिए कुल श्यान बल दोनों तरफ से लगने वाले बलों का योग है: $F = 2 \times \eta A \frac{v}{dz}$.
मान रखने पर: $1 = 2 \times \eta \times 0.5 \times \frac{0.5}{1.25 \times 10^{-2}}$.
$1 = \eta \times \frac{0.5}{1.25 \times 10^{-2}}$.
$\eta = \frac{1.25 \times 10^{-2}}{0.5} = 2.5 \times 10^{-2}\ kg/(m \cdot s)$.

(B) प्लेट को गति कराने के लिए आवश्यक श्यान बल $F$ दोनों द्रवों द्वारा लगाए गए श्यान खिंचाव बलों का योग है। श्यान बल का सूत्र $F = \eta A \frac{dv}{dx}$ है।
दिया गया है: वर्गाकार प्लेट की भुजा $L = 2\ m$, अतः क्षेत्रफल $A = L^2 = 4\ m^2$। वेग $v = 10\ m/s$। $SI$ इकाइयों में श्यानता: $\eta_1 = 1 \text{ poise} = 0.1 \text{ Pa} \cdot \text{s}$ और $\eta_2 = 4 \text{ poise} = 0.4 \text{ Pa} \cdot \text{s}$।
कुल बल $F = F_1 + F_2 = \eta_1 A \frac{v}{h_1} + \eta_2 A \frac{v}{h_2}$।
मान रखने पर: $F = 0.1 \times 4 \times \frac{10}{h_1} + 0.4 \times 4 \times \frac{10}{h_2} = \frac{4}{h_1} + \frac{16}{h_2}$।
चूंकि $h_1 + h_2 = 3$, इसलिए $h_1 = 3 - h_2$। अतः, $F(h_2) = \frac{4}{3 - h_2} + \frac{16}{h_2}$।
न्यूनतम बल ज्ञात करने के लिए, $\frac{dF}{dh_2} = 0$ रखें:
$\frac{d}{dh_2} [4(3 - h_2)^{-1} + 16(h_2)^{-1}] = 4(3 - h_2)^{-2} - 16(h_2)^{-2} = 0$।
$\frac{4}{(3 - h_2)^2} = \frac{16}{h_2^2} \implies \frac{1}{(3 - h_2)^2} = \frac{4}{h_2^2}$।
वर्गमूल लेने पर: $\frac{1}{3 - h_2} = \frac{2}{h_2} \implies h_2 = 6 - 2h_2 \implies 3h_2 = 6 \implies h_2 = 2\ m$।
अतः $h_1 = 3 - 2 = 1\ m$।
मान वापस रखने पर: $F_{\min} = \frac{4}{1} + \frac{16}{2} = 4 + 8 = 12\ N$।

(D) न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार, श्यान बल $F = \eta A \frac{dv}{dy}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ, क्षेत्रफल $A = 10 \, cm^2$, वेग प्रवणता $\frac{dv}{dy} = \frac{v}{y} = \frac{1 \, cm/s}{1 \, mm} = \frac{1 \, cm/s}{0.1 \, cm} = 10 \, s^{-1}$.
श्यानता गुणांक $\eta = 20 \, \text{poise} = 20 \, dyne \cdot s/cm^2$.
मान रखने पर: $F = 20 \times 10 \times 10 = 2000 \, dyne$.

(C) दिया गया है:
वेग $v = 18\, km/h = 18 \times \frac{5}{18} = 5\, m/s$.
गहराई $l = 5\, m$.
श्यानता गुणांक $\eta = 10^{-2}\, \text{poise} = 10^{-2} \times 0.1\, N\cdot s/m^2 = 10^{-3}\, N\cdot s/m^2$.
वेग प्रवणता (विकृति दर) $\frac{dv}{dx} = \frac{v}{l} = \frac{5\, m/s}{5\, m} = 1\, s^{-1}$ है।
न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार,शियरिंग स्ट्रेस $\tau$ इस प्रकार है:
$\tau = \eta \times \frac{dv}{dx}$.
मान रखने पर:
$\tau = 10^{-3}\, N\cdot s/m^2 \times 1\, s^{-1} = 10^{-3}\, N/m^2$.
अतः,सही विकल्प $C$ है।

(C) कर्तन प्रतिबल (shearing stress) $\tau$ का सूत्र इस प्रकार है: $\tau = \eta \frac{dv}{dy}$.
यहाँ,$\eta = 10^{-3}\,SI\,unit$ श्यानता गुणांक (coefficient of viscosity) है।
वेग प्रवणता (velocity gradient) $\frac{dv}{dy}$ को $\frac{v}{h}$ के रूप में लिया जा सकता है,जहाँ $v = 5\,m/s$ वेग है और $h = 10\,m$ नदी की गहराई है।
मान रखने पर:
$\tau = 10^{-3} \times \frac{5}{10}$
$\tau = 10^{-3} \times 0.5$
$\tau = 0.5 \times 10^{-3}\,N/m^2$.

(A) प्लेट को एकसमान वेग से चलाने के लिए,आवश्यक बल श्यान बल के बराबर होना चाहिए।
श्यान बल का सूत्र $F = \eta A \frac{\Delta v}{\Delta z}$ है।
दिए गए मान:
श्यानता गुणांक $\eta = 1.0\, kg/(m\cdot s)$.
क्षेत्रफल $A = 100\, cm^2 = 100 \times 10^{-4}\, m^2 = 10^{-2}\, m^2$.
वेग प्रवणता $\frac{\Delta v}{\Delta z} = \frac{7\, cm/s}{1\, mm} = \frac{7 \times 10^{-2}\, m/s}{10^{-3}\, m} = 70\, s^{-1}$.
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = 1.0 \times 10^{-2} \times 70 = 0.7\, N$.
अतः,आवश्यक बल $0.7\, N$ है।

(A) चूंकि ब्लॉक नियत वेग से गति कर रहा है,इसलिए उस पर कार्य करने वाला कुल बल शून्य है।
नत समतल के अनुदिश नीचे की ओर कार्य करने वाला गुरुत्वाकर्षण बल का घटक $F = mg \sin \theta$ है।
यहाँ,$m = \rho V = \rho a^3$,इसलिए $F = \rho a^3 g \sin \theta$ है।
न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार,श्यान बल $F = \eta A \left(\frac{dv}{dx}\right)$ है,जहाँ $A = a^2$ संपर्क क्षेत्रफल है और $\frac{dv}{dx} = \frac{v}{t}$ वेग प्रवणता है।
बलों को बराबर करने पर: $\rho a^3 g \sin \theta = \eta a^2 \left(\frac{v}{t}\right)$।
श्यानता गुणांक $\eta$ के लिए हल करने पर: $\eta = \frac{\rho a^3 g \sin \theta \cdot t}{a^2 v} = \frac{\rho agt \sin \theta}{v}$।

(A) किसी द्रव की श्यानता उसके तापमान के व्युत्क्रमानुपाती होती है। जैसे-जैसे तापमान कम होता है,स्नेहक की श्यानता बढ़ जाती है।
न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार,श्यान घर्षण बल $F = -\eta A \frac{dv}{dx}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\eta$ श्यानता गुणांक है।
चूंकि सर्दियों में कम तापमान पर श्यानता $\eta$ बढ़ जाती है,इसलिए श्यान घर्षण बल में काफी वृद्धि होती है।
इस बढ़े हुए प्रतिरोध के कारण मशीन के पुर्जों को हिलाना मुश्किल हो जाता है,जिससे वे जाम हो जाते हैं।
अतः,अभिकथन और कारण दोनों सही हैं और कारण,अभिकथन की सही व्याख्या है।

(A) धातु का ब्लॉक डोरी में तनाव के कारण दाईं ओर गति करता है। चूंकि ब्लॉक स्थिर गति से चलता है,इसलिए उस पर लगने वाला कुल बल शून्य है। डोरी में तनाव $T$ लटके हुए द्रव्यमान $m$ के भार के बराबर है।
$T = m g = 0.010 \; kg \times 9.8 \; m s^{-2} = 0.098 \; N$
यह तनाव ब्लॉक पर लगने वाले श्यान बल $F$ द्वारा संतुलित होता है।
$F = \eta A \frac{dv}{dx}$
यहाँ $\eta$ श्यानता गुणांक है,$A = 0.10 \; m^2$ क्षेत्रफल है,$v = 0.085 \; m s^{-1}$ वेग है,और $dx = 0.30 \; mm = 0.30 \times 10^{-3} \; m$ तरल की परत की मोटाई है।
$\eta$ के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\eta = \frac{F \cdot dx}{A \cdot v}$
$\eta = \frac{(0.098 \; N) \times (0.30 \times 10^{-3} \; m)}{(0.10 \; m^2) \times (0.085 \; m s^{-1})}$
$\eta = \frac{0.0294 \times 10^{-3}}{0.0085} \; Pa \; s$
$\eta \approx 3.46 \times 10^{-3} \; Pa \; s$

(A) एक ठोस पदार्थ छोटे और निश्चित विरूपण से गुजरकर कर्तन प्रतिबल को सहन कर सकता है।
हालाँकि,स्थिर तरल कोई भी कर्तन प्रतिबल सहन नहीं कर सकता है।
यदि किसी तरल पर कर्तन प्रतिबल लगाया जाता है,तो वह तब तक विरूपित (प्रवाहित) होता रहेगा जब तक कि प्रतिबल लागू रहेगा।
इसलिए,स्थिर तरल का कर्तन प्रतिबल $0$ होता है।

(B) शियर मापांक (जिसे दृढ़ता गुणांक भी कहा जाता है) केवल ठोस पदार्थों के लिए परिभाषित होता है क्योंकि यह पदार्थ के अपरूपण विरूपण (shear deformation) के प्रतिरोध को मापता है। तरल पदार्थ,जैसे कि द्रव (सल्फ्यूरिक एसिड) और गैसें,शियर प्रतिबल को सहन नहीं कर सकते क्योंकि बल लगाने पर वे प्रवाहित होने लगते हैं। इसलिए,किसी भी तरल के लिए शियर मापांक का मान $0$ होता है।

(N/A) श्यानता तरल का वह गुण है जिसके कारण वह अपनी आसन्न परतों के बीच सापेक्ष गति का विरोध करता है।
श्यानता का कारण:
एक स्तरीय (laminar) प्रवाह में,तरल की किन्हीं दो क्रमिक परतों के बीच सापेक्ष वेग होता है। इस सापेक्ष गति के कारण,संपर्क में आने वाली परतों की सतह पर स्पर्शरेखीय रूप से एक प्रतिरोधी बल उत्पन्न होता है। इस आंतरिक घर्षण बल को श्यान बल (viscous force) कहा जाता है।
मान लीजिए कि दो समानांतर कांच की प्लेटों के बीच एक तरल (जैसे तेल) भरा है। निचली प्लेट स्थिर है,जबकि ऊपरी प्लेट को स्थिर प्लेट के सापेक्ष $v$ वेग से चलाया जाता है।
सतह के संपर्क में आने वाली तरल परत का वेग वही होता है जो उस सतह का होता है। अतः,ऊपरी प्लेट के संपर्क में आने वाली तरल परत $v$ वेग से चलती है और निचली (स्थिर) प्लेट के संपर्क में आने वाली परत का वेग शून्य होता है।
विभिन्न परतों का वेग नीचे से ऊपर की ओर समान रूप से बढ़ता है ($0$ से $v$ तक)।
तरल की किसी भी परत के लिए,ऊपरी परत उसे आगे खींचती है,जबकि निचली परत उसे पीछे खींचती है। इस परस्पर क्रिया के परिणामस्वरूप परतों के बीच एक प्रतिरोधी बल उत्पन्न होता है,जो श्यानता का कारण है।

(N/A) $1$. वेग प्रवणता: जब कोई तरल एक स्थिर सतह पर बहता है,तो सतह से दूरी बढ़ने के साथ तरल की परतों का वेग बढ़ता है। स्थिर सतह से लंबवत दूरी $(z)$ के सापेक्ष वेग $(v)$ में परिवर्तन की दर को वेग प्रवणता कहा जाता है। इसे $\frac{dv}{dz}$ द्वारा दिया जाता है। इसका $SI$ मात्रक $s^{-1}$ है।
$2$. श्यानता गुणांक: न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार,तरल की दो परतों के बीच कार्य करने वाला श्यान बल $(F)$,संपर्क क्षेत्र $(A)$ और वेग प्रवणता $(\frac{dv}{dz})$ के सीधे आनुपातिक होता है। अतः,$F = \eta A \frac{dv}{dz}$,जहाँ $\eta$ श्यानता गुणांक है। इसे तरल की दो समानांतर परतों के बीच इकाई वेग प्रवणता बनाए रखने के लिए प्रति इकाई क्षेत्रफल आवश्यक स्पर्शरेखीय बल के रूप में परिभाषित किया जाता है। इसका $SI$ मात्रक $Pa \cdot s$ या $N \cdot s/m^2$ है (जिसे Poiseuille भी कहा जाता है)।

(N/A) चित्र में दिखाए अनुसार एक क्षैतिज सतह पर लैमिनर प्रवाह पर विचार करें।
मान लीजिए कि दो परतें $P$ और $Q$ स्थिर सतह से $x$ और $x+dx$ की दूरी पर हैं।
$dx$ दूरी से अलग इन दो परतों के बीच वेग का अंतर $dv$ है।
अनुपात $\frac{dv}{dx}$ को वेग प्रवणता के रूप में जाना जाता है।
वेग प्रवणता: प्रवाह की दिशा के लंबवत दूरी के सापेक्ष वेग में परिवर्तन की दर को वेग प्रवणता कहा जाता है। इसका $SI$ मात्रक $s^{-1}$ है।
दो परतों के बीच श्यान बल $F$ निम्नलिखित कारकों पर निर्भर करता है:
$(1)$ यह संपर्क सतह के क्षेत्रफल $A$ के सीधे आनुपातिक होता है: $F \propto A$.
$(2)$ यह वेग प्रवणता के सीधे आनुपातिक होता है: $F \propto \frac{dv}{dx}$.
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $F \propto A \frac{dv}{dx}$ प्राप्त होता है,जो $F = -\eta A \frac{dv}{dx}$ की ओर ले जाता है।
यहाँ,$\eta$ श्यानता गुणांक है। ऋणात्मक चिह्न यह दर्शाता है कि श्यान बल परतों की सापेक्ष गति की विपरीत दिशा में कार्य करता है।
$\eta$ का $SI$ मात्रक $N \cdot s \cdot m^{-2}$ या $Pa \cdot s$ (पास्कल-सेकंड) है।

(N/A) चित्र में दो समानांतर प्लेटों के बीच द्रव का स्तरीय प्रवाह दर्शाया गया है।
द्रव को दो कांच की प्लेटों के बीच रखा गया है। निचली प्लेट स्थिर है,इसलिए इसके संपर्क में रहने वाली द्रव की परत भी स्थिर है।
ऊपरी प्लेट $v$ वेग से गति करती है,जिसके कारण इसके संपर्क में रहने वाली द्रव की परत भी उसी $v$ वेग से गति करती है।
इस गति के कारण,प्रारंभ में $ABCD$ आकार में रहने वाला द्रव $\Delta t$ के सूक्ष्म समयांतराल के बाद $AEFD$ आकार धारण कर लेता है।
इस प्रक्रिया के दौरान,उत्पन्न अपरूपण विकृति (shear strain) $\frac{\Delta x}{l}$ है। जैसे-जैसे ऊपरी प्लेट आगे बढ़ती जाती है,यह विकृति समय के साथ निरंतर बढ़ती जाती है।
इस स्थिति में,प्रतिबल विकृति पर नहीं,बल्कि विकृति के परिवर्तन की दर पर निर्भर करता है,जो $\frac{(\Delta x / l)}{\Delta t} = \frac{\Delta x}{l \Delta t} = \frac{v}{l}$ है (जहाँ $\frac{\Delta x}{\Delta t} = v$ वेग है)।
यहाँ,अपरूपण प्रतिबल (shear stress) $\frac{F}{A}$ है,जहाँ $A$ संपर्क सतह का क्षेत्रफल है और $F$ स्पर्शरेखीय दिशा में लगने वाला श्यानता बल है।
द्रव के लिए,श्यानता गुणांक $\eta$ को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:
$\eta = \frac{\text{अपरूपण प्रतिबल}}{\text{अपरूपण विकृति की दर}}$
$\therefore \eta = \frac{(F / A)}{(v / l)} = \frac{Fl}{vA}$
अथवा,$F = \eta A \left(\frac{v}{l}\right)$.

(N/A) श्यान बल वह आंतरिक घर्षण बल है जो गतिमान तरल की परतों के बीच कार्य करता है और उनके बीच की सापेक्ष गति का विरोध करता है।
न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार,तरल की दो परतों के बीच कार्य करने वाला श्यान बल $F = -\eta A \frac{dv}{dx}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ:
$1$. $\eta$ तरल का श्यानता गुणांक है।
$2$. $A$ परतों के बीच का संपर्क क्षेत्रफल है।
$3$. $\frac{dv}{dx}$ वेग प्रवणता (velocity gradient) है,जो प्रवाह के लंबवत दूरी के सापेक्ष वेग में परिवर्तन को दर्शाता है।
इस प्रकार,श्यान बल तरल की प्रकृति (श्यानता),परतों के क्षेत्रफल और वेग प्रवणता पर निर्भर करता है।

(B) जब दूध को हिलाया जाता है,तो तरल की विभिन्न परतें अलग-अलग वेग से चलती हैं,जिससे उनके बीच एक वेग प्रवणता (velocity gradient) उत्पन्न होती है।
श्यानता के गुण के कारण,तरल एक आंतरिक घर्षण बल लगाता है जो निकटवर्ती परतों के बीच सापेक्ष गति का विरोध करता है।
यह श्यान घर्षण बल प्रवाह की विपरीत दिशा में कार्य करता है,जो धीरे-धीरे तरल की गतिज ऊर्जा को ऊष्मा में परिवर्तित कर देता है।
परिणामस्वरूप,दूध अंततः स्थिर हो जाता है।

(N/A) वेग प्रवणता को प्रवाह की दिशा के लंबवत दूरी के सापेक्ष वेग में परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है।
गणितीय रूप से,इसे $\frac{dv}{dx}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $dv$ वेग में परिवर्तन है और $dx$ दूरी में परिवर्तन है।
वेग प्रवणता का $SI$ मात्रक $\text{प्रति सेकंड}$ $(s^{-1})$ है।
इसका विमीय सूत्र इस प्रकार निकाला जाता है: $\frac{[LT^{-1}]}{[L]} = [M^0L^0T^{-1}]$.

(N/A) तापमान बढ़ने के साथ द्रव का श्यानता गुणांक घटता है,जबकि गैस का श्यानता गुणांक बढ़ता है।
यह अंतर इसलिए होता है क्योंकि गैसों में श्यानता का कारण आणविक संवेग विनिमय (molecular momentum exchange) है,जबकि द्रवों में यह ससंजक बलों (cohesive forces) पर निर्भर करता है।
$\Rightarrow$ गैसों में,तापमान बढ़ने से अणुओं की गतिज ऊर्जा बढ़ती है और आणविक संवेग विनिमय में वृद्धि होती है,जिसके परिणामस्वरूप श्यानता बढ़ जाती है।
$\Rightarrow$ द्रवों में,तापमान बढ़ने से अणुओं के बीच के ससंजक बल कमजोर हो जाते हैं,जिससे श्यानता कम हो जाती है।

(N/A) श्यानता गुणांक,जिसे ग्रीक अक्षर $\eta$ (ईटा) द्वारा दर्शाया जाता है,किसी तरल के प्रवाह या अपरूपण प्रतिबल (shear stress) के तहत विरूपण के प्रतिरोध का माप है।
न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार,तरल की दो परतों के बीच कार्य करने वाला श्यान बल $F = \eta A \frac{dv}{dx}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ संपर्क का क्षेत्रफल है और $\frac{dv}{dx}$ वेग प्रवणता (velocity gradient) है।
सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\eta = \frac{F}{A(dv/dx)}$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,श्यानता गुणांक को तरल की दो समानांतर परतों के बीच इकाई वेग प्रवणता बनाए रखने के लिए आवश्यक प्रति इकाई क्षेत्रफल स्पर्शरेखीय बल के रूप में परिभाषित किया जाता है।
श्यानता गुणांक का $SI$ मात्रक $\text{Pa} \cdot \text{s}$ या $\text{N} \cdot \text{s/m}^2$ है (जिसे पॉइज़ुइल,$\text{Pl}$ भी कहा जाता है)।

(N/A) श्यानता गुणांक $\eta$ को संबंध $F = \eta A \frac{dv}{dx}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है,जहाँ $F$ श्यान बल है,$A$ क्षेत्रफल है,और $\frac{dv}{dx}$ वेग प्रवणता है।
$\eta$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\eta = \frac{F}{A (dv/dx)}$ प्राप्त होता है।
$SI$ मात्रकों में,बल का मात्रक $N$,क्षेत्रफल का $m^2$ और वेग प्रवणता का $s^{-1}$ है। अतः,$SI$ मात्रक $\frac{N}{m^2 \cdot s^{-1}} = N \cdot s \cdot m^{-2} = Pa \cdot s$ (पास्कल-सेकंड) या $kg \cdot m^{-1} \cdot s^{-1}$ है।
$CGS$ मात्रकों में,बल का मात्रक $dyne$,क्षेत्रफल का $cm^2$ और वेग प्रवणता का $s^{-1}$ है। अतः,$CGS$ मात्रक $\frac{dyne}{cm^2 \cdot s^{-1}} = dyne \cdot s \cdot cm^{-2}$ है,जिसे $Poise$ $(P)$ के रूप में भी जाना जाता है।
रूपांतरण: $1 \text{ } Pa \cdot s = 10 \text{ } Poise$.

(N/A) श्यानता का एक व्यावहारिक उपयोग मशीनरी के स्नेहन (lubrication) में होता है। इंजनों और मशीनों में गतिमान भागों के बीच घर्षण को कम करने के लिए उपयुक्त श्यानता वाले स्नेहक तेलों का उपयोग किया जाता है,जिससे टूट-फूट कम होती है और दक्षता में सुधार होता है।

(N/A) द्रव की श्यानता को उसके श्यानता गुणांक $\eta$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
जैसे-जैसे द्रव का तापमान बढ़ता है,अंतर-आणविक आकर्षण बल कम हो जाते हैं।
परिणामस्वरूप,गर्म द्रवों के लिए श्यानता गुणांक $\eta$ कम हो जाता है।
चूंकि क्रमिक परतों के बीच लगने वाला श्यान बल $F = -\eta A \frac{dv}{dx}$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $\eta$ का कम मान कम श्यान बल उत्पन्न करता है।
अतः,गर्म द्रव ठंडे द्रव की तुलना में कम आंतरिक प्रतिरोध का अनुभव करते हैं और अधिक आसानी से बहते हैं।

(N/A) सर्दियों में परिवेश का तापमान कम हो जाता है। जैसे-जैसे लुब्रिकेटिंग ऑयल का तापमान गिरता है,उसकी श्यानता (viscosity) काफी बढ़ जाती है। श्यानता में यह वृद्धि तेल को गाढ़ा बना देती है और उसके प्रवाह में प्रतिरोध पैदा करती है,जिससे मशीन की गतिशील सतहों के बीच घर्षण बढ़ जाता है। परिणामस्वरूप,मशीन के पुर्जे आसानी से नहीं चलते हैं और चिपचिपे प्रतीत होते हैं।

(N/A) नदी में पानी का बहाव श्यानता (viscosity) के गुण द्वारा नियंत्रित होता है।
$1$. किनारों के पास,पानी के अणु पानी और नदी के किनारे की ठोस सतह के बीच आसंजक बल (adhesive forces) का अनुभव करते हैं।
$2$. ये आसंजक बल एक प्रतिरोधक बल (श्यान खिंचाव) पैदा करते हैं जो पानी की गति का विरोध करता है,जिससे किनारों के पास वेग काफी कम हो जाता है।
$3$. नदी के बीच में,पानी के अणु किनारों से दूर होते हैं,इसलिए आसंजक बलों का प्रभाव न्यूनतम होता है।
$4$. परिणामस्वरूप,किनारों की तुलना में नदी के बीच में पानी के प्रवाह का वेग अधिक होता है।

(B) श्यानता किसी तरल का एक भौतिक गुण है जो उसके प्रवाह के प्रतिरोध को दर्शाता है।
चूंकि इसके साथ कोई विशिष्ट दिशा जुड़ी नहीं होती है,इसलिए यह एक अदिश राशि है।

(D) न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार,कर्तन प्रतिबल $\tau = \eta \frac{dv}{dy}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\tau = 10^{-3} \, N/m^2$,$\eta = 10^{-2} \, Pa \cdot s$,और वेग प्रवणता $\frac{dv}{dy} = \frac{v}{h}$ है,जहाँ $v$ ऊपरी परत का वेग है और $h$ नदी की गहराई है।
सबसे पहले,वेग $v$ को $SI$ इकाइयों में बदलें: $v = 36 \, km/h = 36 \times \frac{5}{18} \, m/s = 10 \, m/s$.
सूत्र में मान रखने पर: $10^{-3} = 10^{-2} \times \frac{10}{h}$.
$h$ के लिए हल करने पर: $h = \frac{10^{-2} \times 10}{10^{-3}} = \frac{10^{-1}}{10^{-3}} = 10^2 = 100 \, m$.
अतः,नदी की गहराई $100 \, m$ है।

(D) सही उत्तर $D$ है।
द्रव (या गैस) का वह गुण जिसके द्वारा वह अपनी निकटवर्ती परतों के बीच सापेक्ष गति का विरोध करता है,उसे श्यानता (Viscosity) कहा जाता है।
यह आंतरिक घर्षण बल द्रव के प्रवाह को रोकने का कार्य करता है।

(B) दिया गया है:
श्यान बल, $F = 1 \, N$
श्यानता गुणांक, $\eta = 0.02 \, \text{decapoise} = 0.02 \, N \cdot s/m^2$
अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल, $A = 20 \, m^2$
न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार, श्यान बल का सूत्र है:
$F = \eta A \frac{dv}{dx}$
वेग प्रवणता $\frac{dv}{dx}$ ज्ञात करने के लिए सूत्र को व्यवस्थित करने पर:
$\frac{dv}{dx} = \frac{F}{\eta A}$
दिए गए मानों को रखने पर:
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{0.02 \times 20}$
$\frac{dv}{dx} = \frac{1}{0.4}$
$\frac{dv}{dx} = 2.5 \, s^{-1}$
अतः, वेग प्रवणता $2.5 \, s^{-1}$ है।

(B) न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार,श्यान बल $F$ का सूत्र $F = \eta A \frac{dv}{dx}$ है।
यहाँ,$\eta = 1.5 \,N \cdot s \cdot m^{-2}$ श्यानता गुणांक है,$A = 0.1 \,m^2$ प्लेट का क्षेत्रफल है,$v = 1 \,mm \cdot s^{-1} = 10^{-3} \,m \cdot s^{-1}$ वेग है,और $dx = 10^{-5} \,m$ तेल की परत की मोटाई है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$F = 1.5 \times 0.1 \times \frac{10^{-3}}{10^{-5}}$
$F = 0.15 \times 10^2$
$F = 0.15 \times 100 = 15 \,N$.
अतः,आवश्यक बल $15 \,N$ है।

(D) किसी द्रव में गति करने वाले पिंड पर कार्य करने वाला श्यान घर्षण बल $F$,न्यूटन के श्यानता के नियम द्वारा दिया जाता है,जिसे $F = \eta A \frac{dv}{dx}$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
यहाँ:
$1$. $\eta$ द्रव का श्यानता गुणांक है।
$2$. $A$ पिंड का पृष्ठीय क्षेत्रफल है,जो पिंड के आकार से संबंधित है।
$3$. $v$ वह वेग है जिससे पिंड द्रव में गति करता है।
चूंकि बल $F$,श्यानता $(\eta)$,क्षेत्रफल $(A)$ और वेग $(v)$ पर निर्भर करता है,इसलिए यह दिए गए सभी कारकों पर निर्भर करता है।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(A) न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार,अपरूपण प्रतिबल $\tau = \eta \frac{dv}{dy}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया वेग प्रोफाइल $v = k \left( \frac{2y^2}{a^2} - \frac{y^3}{a^3} \right)$ है।
$y$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dv}{dy} = k \left( \frac{4y}{a^2} - \frac{3y^2}{a^3} \right)$ प्राप्त होता है।
इसे प्रतिबल के सूत्र में रखने पर,$\tau = \eta k \left( \frac{4y}{a^2} - \frac{3y^2}{a^3} \right)$।
$y = a$ पर,अपरूपण प्रतिबल $\tau = \eta k \left( \frac{4a}{a^2} - \frac{3a^2}{a^3} \right) = \eta k \left( \frac{4}{a} - \frac{3}{a} \right) = \frac{\eta k}{a}$ होगा।

(B) श्यानता को द्रव के आंतरिक घर्षण के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह द्रव (या गैस) का वह गुण है जिसके कारण वह अपनी आसन्न परतों के बीच सापेक्ष गति का विरोध करता है। जब कोई द्रव प्रवाहित होता है,तो विभिन्न वेगों से चलने वाली परतें एक-दूसरे पर स्पर्शरेखीय बल लगाती हैं,जो प्रवाह को धीमा करने का कार्य करता है। इस आंतरिक प्रतिरोध को ही श्यानता कहा जाता है।

(B) न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार,श्यान बल $F$ इस प्रकार दिया जाता है:
$F = \eta A \frac{dv}{dx}$
जहाँ:
$F = 0.1 \,N$ (प्रयुक्त बल)
$\eta = 5.0 \times 10^{-3} \,Pa-s$ (श्यानता)
$A = 0.20 \,m^2$ (आधार क्षेत्रफल)
$dx = 0.25 \,mm = 0.25 \times 10^{-3} \,m$ (फिल्म की मोटाई)
चूंकि ब्लॉक स्थिर गति से चलता है,इसलिए प्रयुक्त बल श्यान बल के बराबर होता है:
$0.1 = (5.0 \times 10^{-3}) \times 0.20 \times \frac{v}{0.25 \times 10^{-3}}$
$0.1 = \frac{1.0 \times 10^{-3} \times v}{0.25 \times 10^{-3}}$
$0.1 = 4v$
$v = \frac{0.1}{4} = 0.025 \,m/s$
$v = 25 \times 10^{-3} \,m/s$
अतः,ब्लॉक की गति $25 \times 10^{-3} \,m/s$ है।

(C) न्यूटन के श्यानता के नियम के अनुसार,$h$ मोटाई की तरल परत पर $u_0$ वेग से गति करने वाली $A$ क्षेत्रफल की प्लेट पर कार्य करने वाला श्यान बल $F$ इस प्रकार है:
$F = \eta A \frac{dv}{dx} = \eta A \frac{u_0}{h}$
इस समीकरण से:
$1$. प्रतिरोधक बल $F$,$h$ के व्युत्क्रमानुपाती है $(F \propto 1/h)$। अतः,कथन $(A)$ सत्य है।
$2$. प्रतिरोधक बल $F$,क्षेत्रफल $A$ के समानुपाती है $(F \propto A)$। अतः,कथन $(B)$ असत्य है।
$3$. स्पर्शरेखीय (shear) प्रतिबल $\tau$ को $\tau = F/A = \eta \frac{u_0}{h}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
$4$. चूंकि $\tau = \eta \frac{u_0}{h}$,टैंक के फर्श (या प्लेट) पर शियर प्रतिबल $u_0$ के समानुपाती है। अतः,कथन $(C)$ सत्य है।
$5$. चूंकि $\tau = \eta \frac{u_0}{h}$,शियर प्रतिबल तरल की श्यानता $\eta$ के समानुपाती है। अतः,कथन $(D)$ सत्य है।
अतः,कथन $(A), (C),$ और $(D)$ सत्य हैं।