Pressure and Density (of Mixure) Questions in Hindi

(B) दाब को उस भौतिक राशि के रूप में परिभाषित किया जाता है जो किसी वस्तु की सतह पर प्रति इकाई क्षेत्रफल पर लगने वाले लंबवत बल का प्रतिनिधित्व करती है।
गणितीय रूप से,इसे $P = \frac{F}{A}$ के रूप में व्यक्त किया जाता है,जहाँ $P$ दाब है,$F$ बल है,और $A$ क्षेत्रफल है।

(C) दोनों बिंदु $P$ और $S$ दो पात्रों में द्रव की मुक्त सतहों पर स्थित हैं।
चूंकि दोनों पात्र खुले वातावरण में हैं,इसलिए बिंदु $P$ और $S$ दोनों पर दबाव वायुमंडलीय दबाव $(P_{atm})$ के बराबर है।
अतः,बिंदु $P$ और बिंदु $S$ के बीच दाबांतर $\Delta P = P_P - P_S = P_{atm} - P_{atm} = 0$ होगा।

(C) $M$ द्रव्यमान की बर्फ का आयतन $V_{\text{ice}} = \frac{M}{\rho}$ द्वारा दिया जाता है।
जब यह बर्फ समान द्रव्यमान $M$ के पानी में पिघलती है,तो पानी का आयतन $V_{\text{water}} = \frac{M}{\sigma}$ होता है।
चूंकि पानी का घनत्व $\sigma$,बर्फ के घनत्व $\rho$ से अधिक होता है,इसलिए पानी का आयतन बर्फ के आयतन से कम होगा।
आयतन में कमी $\Delta V = V_{\text{ice}} - V_{\text{water}}$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है $\Delta V = \frac{M}{\rho} - \frac{M}{\sigma} = M \left( \frac{1}{\rho} - \frac{1}{\sigma} \right)$।

(B) माना कि पानी का द्रव्यमान $m$ है और द्रव का द्रव्यमान भी $m$ है। पानी का घनत्व $\rho_1 = 1 \ g/cm^3$ और द्रव का घनत्व $\rho_2 = 2 \ g/cm^3$ है।
मिश्रण का कुल द्रव्यमान $M = m + m = 2m$ होगा।
मिश्रण का कुल आयतन $V = V_1 + V_2 = \frac{m}{\rho_1} + \frac{m}{\rho_2} = m(\frac{1}{1} + \frac{1}{2}) = m(\frac{3}{2})$ होगा।
मिश्रण का घनत्व $\rho_{mix} = \frac{M}{V} = \frac{2m}{m(3/2)} = \frac{2}{3/2} = \frac{4}{3} \ g/cm^3$ होगा।

(A) दाईं ओर त्वरण $a$ के कारण,पानी पर बाईं दिशा में एक छद्म बल (pseudo force) कार्य करता है। इसके कारण सामने की तरफ (बिंदु $D$ और $C$) की तुलना में पीछे की तरफ (बिंदु $A$ और $B$) दबाव अधिक होता है।
इसके अतिरिक्त,तरल स्तंभ की गहराई के कारण,गहराई के साथ दबाव बढ़ता है,जिससे नीचे (बिंदु $B$ और $C$) दबाव ऊपर (बिंदु $A$ और $D$) की तुलना में अधिक होता है।
इन दोनों प्रभावों को मिलाने पर,दबाव नीचे के पिछले कोने (बिंदु $B$) पर अधिकतम और ऊपर के अगले कोने (बिंदु $D$) पर न्यूनतम होता है।

(B) द्रव के तल पर कुल दबाव $P$ निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$P = P_0 + h\rho g$
जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव (या द्रव के ऊपर हवा का दबाव) है,$h$ द्रव की गहराई है,$\rho$ द्रव का घनत्व है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
जैसे-जैसे जार से हवा लगातार बाहर निकाली जाती है,द्रव की सतह के ऊपर का दबाव $P_0$ कम हो जाता है।
चूंकि $h$,$\rho$ और $g$ स्थिर रहते हैं,इसलिए द्रव के तल पर कुल दबाव $P$ कम हो जाएगा।

(B) डूबी हुई सतह पर लगने वाला प्रणोद (thrust),सतह के केंद्रक (centroid) पर दबाव और सतह के क्षेत्रफल के गुणनफल के बराबर होता है।
एक त्रिकोणीय लैमिना के लिए जिसका आधार तरल की सतह पर है,सतह से केंद्रक की गहराई $(h_c)$ $\frac{h}{3}$ होती है,जहाँ $h$ त्रिभुज की ऊँचाई है।
केंद्रक पर दबाव $P = \rho g h_c = \rho g (\frac{h}{3}) = \frac{\rho g h}{3}$ है।
लैमिना पर लगने वाला प्रणोद $F = P \times A = (\frac{\rho g h}{3}) \times A = \frac{1}{3} A \rho g h$ है।

(C) मिश्रण का घनत्व कुल द्रव्यमान को कुल आयतन से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
मान लीजिए प्रत्येक द्रव का द्रव्यमान $m$ है।
कुल द्रव्यमान = $m + m = 2m$.
पहले द्रव का आयतन $V_1 = \frac{m}{\rho_1}$.
दूसरे द्रव का आयतन $V_2 = \frac{m}{\rho_2}$.
कुल आयतन = $V_1 + V_2 = \frac{m}{\rho_1} + \frac{m}{\rho_2} = m \left( \frac{\rho_1 + \rho_2}{\rho_1\rho_2} \right)$.
मिश्रण का घनत्व $\rho = \frac{\text{कुल द्रव्यमान}}{\text{कुल आयतन}} = \frac{2m}{m \left( \frac{\rho_1 + \rho_2}{\rho_1\rho_2} \right)}$.
$\rho = \frac{2\rho_1\rho_2}{\rho_1 + \rho_2}$.

(A) मिश्रण का घनत्व कुल द्रव्यमान और कुल आयतन का अनुपात होता है।
मान लीजिए कि प्रत्येक द्रव का आयतन $V$ है।
मिश्रण का कुल आयतन = $V + V = 2V$.
पहले द्रव का द्रव्यमान = $m_1 = \rho_1 V$.
दूसरे द्रव का द्रव्यमान = $m_2 = \rho_2 V$.
मिश्रण का कुल द्रव्यमान = $m_1 + m_2 = \rho_1 V + \rho_2 V = V(\rho_1 + \rho_2)$.
अतः,मिश्रण का घनत्व $\rho$ होगा:
$\rho = \frac{\text{कुल द्रव्यमान}}{\text{कुल आयतन}} = \frac{V(\rho_1 + \rho_2)}{2V} = \frac{\rho_1 + \rho_2}{2}$.

(B) माना कि प्रत्येक द्रव का आयतन $V$ है।
पहले द्रव का द्रव्यमान $m_1 = d \times V$ है।
दूसरे द्रव का द्रव्यमान $m_2 = 2d \times V$ है।
तीसरे द्रव का द्रव्यमान $m_3 = 3d \times V$ है।
मिश्रण का कुल द्रव्यमान $M = m_1 + m_2 + m_3 = V(d + 2d + 3d) = 6dV$ है।
मिश्रण का कुल आयतन $V_{total} = V + V + V = 3V$ है।
मिश्रण का घनत्व $\rho_{mixture} = \frac{M}{V_{total}} = \frac{6dV}{3V} = 2d$ होगा।

(B) माना प्रत्येक द्रव का भार $m$ है।
मिश्रण का कुल भार = $m + m + m = 3m$ है।
प्रत्येक द्रव का आयतन $V = \frac{m}{\rho}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$V_1 = \frac{m}{d}$,$V_2 = \frac{m}{2d}$,और $V_3 = \frac{m}{3d}$ है।
मिश्रण का घनत्व $\rho_{mix} = \frac{\text{कुल द्रव्यमान}}{\text{कुल आयतन}}$ द्वारा दिया जाता है।
$\rho_{mix} = \frac{3m}{\frac{m}{d} + \frac{m}{2d} + \frac{m}{3d}}$.
$\rho_{mix} = \frac{3m}{\frac{6m + 3m + 2m}{6d}} = \frac{3m}{\frac{11m}{6d}}$.
$\rho_{mix} = 3m \times \frac{6d}{11m} = \frac{18d}{11}$.

(C) $h$ गहराई पर किसी तरल द्वारा लगाया गया दबाव $P = \rho gh$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ तरल का घनत्व है,$g$ गुरुत्वीय त्वरण है,और $h$ गहराई है।
जैसे-जैसे गहराई $h$ बढ़ती है,बांध की दीवारों पर पानी द्वारा लगाया गया दबाव $P$ रैखिक रूप से बढ़ता है।
अधिक गहराई पर इस उच्च दबाव का सामना करने के लिए,बांध का आधार मोटा बनाया जाना चाहिए ताकि संरचनात्मक स्थिरता बनी रहे और पानी के दबाव से उत्पन्न होने वाले बड़े टॉर्क के कारण यह गिरे नहीं।

(C) पदार्थ का विशिष्ट गुरुत्व उसके घनत्व और पानी के घनत्व के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है,अर्थात $s = \frac{\rho}{\rho_w}$।
इसलिए,पदार्थ का घनत्व $\rho = s \times \rho_w$ है।
मिश्रधातु का कुल द्रव्यमान $M = m_1 + m_2$ है।
मिश्रधातु का कुल आयतन $V = V_1 + V_2 = \frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2} = \frac{m_1}{s_1 \rho_w} + \frac{m_2}{s_2 \rho_w} = \frac{1}{\rho_w} \left( \frac{m_1}{s_1} + \frac{m_2}{s_2} \right)$ है।
मिश्रधातु का घनत्व $\rho_{alloy} = \frac{M}{V} = \frac{m_1 + m_2}{\frac{1}{\rho_w} \left( \frac{m_1}{s_1} + \frac{m_2}{s_2} \right)}$ है।
मिश्रधातु का विशिष्ट गुरुत्व $s_{alloy} = \frac{\rho_{alloy}}{\rho_w} = \frac{m_1 + m_2}{\frac{m_1}{s_1} + \frac{m_2}{s_2}}$ होगा।

(B) मान लीजिए कि बाएं पात्र का व्यास $d$ है और दाएं पात्र का व्यास $nd$ है। बाएं पात्र का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A_1 = \pi (d/2)^2$ है और दाएं पात्र का $A_2 = \pi (nd/2)^2 = n^2 A_1$ है।
जब बाएं पात्र में $h$ ऊंचाई का पानी डाला जाता है,तो बाएं पात्र में पारे का स्तर $h_1$ नीचे गिरता है और दाएं पात्र में $h_2$ ऊपर उठता है।
पारे के आयतन के संरक्षण के कारण,$A_1 h_1 = A_2 h_2$,जिससे $A_1 h_1 = (n^2 A_1) h_2$ प्राप्त होता है,अतः $h_1 = n^2 h_2$ है।
$A-B$ इंटरफ़ेस स्तर पर दबाव दोनों भुजाओं में समान होना चाहिए।
$A$ (बाएं) पर दबाव = $h \rho g$ (पानी के स्तंभ के कारण)।
$B$ (दाएं) पर दबाव = $(h_1 + h_2) \rho_{Hg} g$,जहाँ $\rho_{Hg} = s \rho$ है।
दबाव को बराबर करने पर: $h \rho g = (h_1 + h_2) s \rho g$।
$h = (h_1 + h_2) s$।
$h_1 = n^2 h_2$ प्रतिस्थापित करने पर: $h = (n^2 h_2 + h_2) s = h_2 (n^2 + 1) s$।
अतः,दाएं पात्र में पारे का स्तर $h_2 = \frac{h}{(n^2 + 1)s}$ ऊपर उठेगा।

(B) किसी पदार्थ का द्रव्यमान $m = \rho \times V$ सूत्र द्वारा दिया जाता है,जहाँ $\rho$ घनत्व है और $V$ आयतन है।
चूंकि आयतन $V$ को $1 \text{ लीटर}$ पर स्थिर रखा गया है,इसलिए द्रव्यमान घनत्व $\rho$ पर निर्भर करता है।
जब तापमान बढ़ता है (जैसे गर्मियों में),तो अल्कोहल का प्रसार होता है,जिससे उसका घनत्व $\rho$ कम हो जाता है।
चूंकि $\rho_{\text{summer}} < \rho_{\text{winter}}$ है,इसलिए गर्मियों में $1 \text{ लीटर}$ अल्कोहल का द्रव्यमान सर्दियों की तुलना में कम होगा।
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) किसी द्रव का घनत्व उसके तापमान पर निर्भर करता है। जैसे-जैसे तापमान कम होता है,द्रव सिकुड़ता है,जिससे उसका घनत्व बढ़ जाता है।
सर्दियों में तापमान गर्मियों की तुलना में कम होता है। इसलिए,सर्दियों में बेंजीन का घनत्व अधिक होता है।
चूंकि आयतन $5 \text{ लीटर}$ निश्चित है,इसलिए द्रव्यमान $(m = \text{घनत्व} \times \text{आयतन})$ तब अधिक होगा जब घनत्व अधिक होगा।
अतः,$5 \text{ लीटर}$ बेंजीन का वजन गर्मियों की तुलना में सर्दियों में अधिक होता है।

(C) बर्फ का आयतन $V_{ice} = \frac{M}{\rho}$ है।
पिघलने के बाद बने पानी का आयतन $V_{water} = \frac{M}{\sigma}$ है।
आयतन में परिवर्तन $\Delta V = V_{ice} - V_{water}$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $\Delta V = \frac{M}{\rho} - \frac{M}{\sigma} = M \left( \frac{1}{\rho} - \frac{1}{\sigma} \right)$.

(B) मान लीजिए कि प्रत्येक द्रव का द्रव्यमान $m$ है। मिश्रण का कुल द्रव्यमान $M = m + m = 2m$ है।
पहले द्रव का आयतन $V_1 = m / \rho_1$ है और दूसरे द्रव का आयतन $V_2 = m / \rho_2$ है।
मिश्रण का कुल आयतन $V = V_1 + V_2 = m / \rho_1 + m / \rho_2 = m(\frac{\rho_1 + \rho_2}{\rho_1 \rho_2})$ है।
मिश्रण का घनत्व $\rho = \frac{M}{V} = \frac{2m}{m(\frac{\rho_1 + \rho_2}{\rho_1 \rho_2})} = \frac{2\rho_1 \rho_2}{\rho_1 + \rho_2}$ है।
दिए गए मान $\rho_1 = 1$ और $\rho_2 = 2$ रखने पर:
$\rho = \frac{2 \times 1 \times 2}{1 + 2} = \frac{4}{3}$।

(A) मान लीजिए कि दो धातुओं के सापेक्ष घनत्व $\rho_1$ और $\rho_2$ हैं।
जब समान आयतन $V$ को मिलाया जाता है,तो मिश्रण का घनत्व $\rho_{mix} = \frac{V\rho_1 + V\rho_2}{2V} = \frac{\rho_1 + \rho_2}{2}$ होता है।
दिया गया है कि $\frac{\rho_1 + \rho_2}{2} = 4$,इसलिए $\rho_1 + \rho_2 = 8$ (समीकरण $i$)।
जब समान द्रव्यमान $M$ को मिलाया जाता है,तो मिश्रण का घनत्व $\rho_{mix} = \frac{2M}{V_1 + V_2} = \frac{2M}{\frac{M}{\rho_1} + \frac{M}{\rho_2}} = \frac{2\rho_1\rho_2}{\rho_1 + \rho_2}$ होता है।
दिया गया है कि $\frac{2\rho_1\rho_2}{\rho_1 + \rho_2} = 3$,इसलिए $2\rho_1\rho_2 = 3(\rho_1 + \rho_2)$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $i$ का मान समीकरण $ii$ में रखने पर:
$2\rho_1\rho_2 = 3(8) = 24$,इसलिए $\rho_1\rho_2 = 12$।
हमें $\rho_1 + \rho_2 = 8$ और $\rho_1\rho_2 = 12$ प्राप्त होता है। द्विघात समीकरण $x^2 - 8x + 12 = 0$ को हल करने पर:
$(x - 6)(x - 2) = 0$।
अतः,सापेक्ष घनत्व $6$ और $2$ हैं।

(C) विशिष्ट गुरुत्व $s = \frac{\text{मिश्रण का घनत्व}}{\text{पानी का घनत्व}}$.
मिश्रण का घनत्व $\rho_{mix} = \frac{\text{कुल द्रव्यमान}}{\text{कुल आयतन}} = \frac{m_1 + m_2}{V_1 + V_2}$.
चूंकि $V = \frac{m}{\rho}$ और $\rho = s \cdot \rho_w$,इसलिए $V_1 = \frac{m_1}{s_1 \rho_w}$ और $V_2 = \frac{m_2}{s_2 \rho_w}$ होगा।
इन मानों को घनत्व के सूत्र में रखने पर: $\rho_{mix} = \frac{m_1 + m_2}{\frac{m_1}{s_1 \rho_w} + \frac{m_2}{s_2 \rho_w}} = \frac{m_1 + m_2}{\frac{1}{\rho_w} \left( \frac{m_1}{s_1} + \frac{m_2}{s_2} \right)}$.
अतः,मिश्रण का विशिष्ट गुरुत्व $s_{mix} = \frac{\rho_{mix}}{\rho_w} = \frac{m_1 + m_2}{\frac{m_1}{s_1} + \frac{m_2}{s_2}}$.

(C) मान लीजिए कि मूल जल स्तर रेखा $D$ पर है। जब बाईं भुजा में तेल डाला जाता है,तो दाईं भुजा में पानी का स्तर $65\, mm$ बढ़कर $E$ स्तर तक पहुँच जाता है। परिणामस्वरूप,बाईं भुजा में पानी का स्तर मूल स्तर $D$ से $65\, mm$ गिरकर $B$ स्तर पर आ जाता है।
दाईं भुजा में इंटरफ़ेस स्तर $BC$ के ऊपर पानी के स्तंभ की ऊँचाई $h_{water} = 65\, mm + 65\, mm = 130\, mm = 0.13\, m$ है।
तेल के स्तंभ की ऊँचाई $h_{oil}$ तेल की सतह $A$ से इंटरफ़ेस $B$ तक की दूरी है। चूँकि तेल की सतह पानी के स्तर $E$ से $10\, mm$ ऊपर है,इसलिए कुल ऊँचाई $h_{oil} = 65\, mm + 65\, mm + 10\, mm = 140\, mm = 0.14\, m$ है।
इंटरफ़ेस स्तर $BC$ पर दबाव को समान रखने पर:
$P_{atm} + \rho_{oil} g h_{oil} = P_{atm} + \rho_{water} g h_{water}$
$\rho_{oil} h_{oil} = \rho_{water} h_{water}$
$\rho_{oil} = \rho_{water} \times \frac{h_{water}}{h_{oil}}$
यहाँ $\rho_{water} = 1000\, kg/m^3$ दिया गया है:
$\rho_{oil} = 1000 \times \frac{130}{140} = 1000 \times \frac{13}{14} \approx 928.57\, kg/m^3$.
निकटतम पूर्णांक में,हमें $928\, kg/m^3$ प्राप्त होता है।

(C) टंकी की कुल ऊंचाई $H = 5 \,m = 500 \,cm$ है।
चूंकि टंकी आधी पानी से भरी है,इसलिए पानी के स्तंभ की ऊंचाई $h_1 = 250 \,cm$ है।
शेष आधा भाग तेल से भरा है,इसलिए तेल के स्तंभ की ऊंचाई $h_2 = 250 \,cm$ है।
पानी का घनत्व $d_1 = 1 \,g/cm^3$ है और तेल का घनत्व $d_2 = 0.85 \,g/cm^3$ है।
द्रव स्तंभ के कारण तल पर दबाव $P = h_1 d_1 + h_2 d_2$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर: $P = (250 \,cm \times 1 \,g/cm^3) + (250 \,cm \times 0.85 \,g/cm^3)$.
$P = 250 + 212.5 = 462.5 \,g/cm^2$.

(A) जब पदार्थों को समान आयतन में मिलाया जाता है,तो मिश्रण का घनत्व $\rho_{mix} = \frac{\rho_1 + \rho_2}{2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\rho_{mix} = 4$,इसलिए $\frac{\rho_1 + \rho_2}{2} = 4$,जिसका अर्थ है $\rho_1 + \rho_2 = 8$ .......$(i)$
जब पदार्थों को समान द्रव्यमान में मिलाया जाता है,तो मिश्रण का घनत्व $\rho_{mix} = \frac{2\rho_1 \rho_2}{\rho_1 + \rho_2}$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है $\rho_{mix} = 3$,इसलिए $\frac{2\rho_1 \rho_2}{\rho_1 + \rho_2} = 3$,जिसका अर्थ है $2\rho_1 \rho_2 = 3(\rho_1 + \rho_2)$ .......$(ii)$
समीकरण $(i)$ को समीकरण $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2\rho_1 \rho_2 = 3(8) = 24$,इसलिए $\rho_1 \rho_2 = 12$.
हमारे पास $\rho_1 + \rho_2 = 8$ और $\rho_1 \rho_2 = 12$ है। ये द्विघात समीकरण $x^2 - 8x + 12 = 0$ के मूल हैं।
$(x - 6)(x - 2) = 0$,इसलिए $x = 6$ या $x = 2$.
अतः,मान ${\rho _1} = 6$ और ${\rho _2} = 2$ हैं।

(A) $\rho$ घनत्व वाले तरल में $h$ गहराई पर दाब $P$ का सूत्र $P = P_0 + \rho gh$ है,जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दाब है और $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि दोनों झिल्लियाँ एक ही तरल में समान गहराई $h$ पर रखी गई हैं,इसलिए उन पर कार्य करने वाला दाब केवल गहराई,तरल के घनत्व और वायुमंडलीय दाब पर निर्भर करता है।
दाब झिल्ली के क्षेत्रफल से स्वतंत्र होता है।
अतः,दोनों झिल्लियों पर दाब का अनुपात $1:1$ है।

(B) घनत्व $\rho$ और ऊंचाई $h$ वाले तरल से भरे पात्र के आधार पर दबाव $P$ का सूत्र $P = h \rho g$ है,जहाँ $g$ गुरुत्वीय त्वरण है।
चूंकि तीनों पात्रों के लिए ऊंचाई $h$ समान है और $g$ स्थिर है,इसलिए दबाव $P$ तरल के घनत्व $\rho$ के सीधे आनुपातिक है $(P \propto \rho)$।
दिए गए घनत्वों का क्रम $\rho_A > \rho_B > \rho_C$ है,इसलिए सबसे अधिक घनत्व वाले तरल के लिए आधार पर दबाव अधिकतम होगा।
अतः,पात्र $A$ में दबाव अधिकतम होगा।

(A) पात्र के आधार पर दाब $P = \frac{F}{A}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $F$ आधार पर द्रव द्वारा लगाया गया बल है और $A$ आधार का क्षेत्रफल है।
चूंकि पात्र समान हैं,इसलिए तीनों पात्रों के लिए आधार का क्षेत्रफल $A$ समान है।
आधार पर द्रव द्वारा लगाया गया बल $F$ द्रव के भार के बराबर होता है,$F = mg$।
चूंकि द्रवों के द्रव्यमान $m$ समान हैं और गुरुत्वीय त्वरण $g$ स्थिर है,इसलिए तीनों पात्रों के लिए बल $F$ समान है।
अतः,द्रवों के घनत्व पर ध्यान दिए बिना,तीनों पात्रों में दाब $P = \frac{mg}{A}$ समान रहेगा।

(A) द्रव फ्लास्क के अंदर संतुलन की स्थिति में है।
न्यूटन के गति के तीसरे नियम के अनुसार,फ्लास्क द्वारा द्रव पर लगाया गया बल,द्रव द्वारा फ्लास्क पर लगाए गए बल के बराबर और विपरीत होता है।
द्रव द्वारा फ्लास्क के आधार और दीवारों पर लगाया गया कुल नीचे की ओर बल द्रव के भार के बराबर होता है,जो $W = mg$ है।
यहाँ $m = 1 \ kg$ और $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है,इसलिए भार $W = 1 \ kg \times 10 \ m/s^2 = 10 \ N$ है।
चूंकि निकाय स्थिर है और हम वायुमंडलीय दबाव की उपेक्षा करते हैं,इसलिए द्रव के भार को सहारा देने के लिए फ्लास्क द्वारा द्रव पर लगाया गया अभिलंब बल $10 \ N$ है।

(D) पानी के स्तंभ की कुल लंबाई $l_w = \frac{V}{A} = \frac{60 \ cm^3}{1 \ cm^2} = 60 \ cm$ है।
जब $\rho_l = 4 \ g/cc$ घनत्व वाला द्रव डाला जाता है,तो यह पानी को क्षैतिज भुजा से बाहर धकेलता है।
मान लीजिए द्रव स्तंभ की ऊंचाई $h$ है। $U$-ट्यूब में द्रव और पानी के इंटरफेस पर समान क्षैतिज स्तर पर दबाव समान होना चाहिए।
$h$ ऊंचाई के द्रव स्तंभ द्वारा लगाया गया दबाव शेष पानी के स्तंभ द्वारा लगाए गए दबाव को संतुलित करना चाहिए,जहां पानी के स्तंभ की ऊंचाई $H = l_w - l_{horizontal} = 60 \ cm - 20 \ cm = 40 \ cm$ है।
हाइड्रोस्टैटिक दबाव संतुलन समीकरण का उपयोग करते हुए: $\rho_l \cdot g \cdot h = \rho_w \cdot g \cdot H$.
यहाँ $\rho_l = 4 \ g/cc$,$\rho_w = 1 \ g/cc$,और $H = 40 \ cm$ दिया गया है:
$4 \cdot h = 1 \cdot 40 \Rightarrow h = 10 \ cm$.
ट्यूब में द्रव स्तंभ की कुल लंबाई $l_l = h + l_{horizontal} = 10 \ cm + 20 \ cm = 35 \ cm$ है।
आवश्यक द्रव का आयतन $V_L = l_l \cdot A = 35 \ cm \cdot 1 \ cm^2 = 35 \ cc$ है।

(B) टंकी के तल पर कुल दबाव $P_{total} = P_{atm} + P_{gauge} = P + h\rho g = 3P$ द्वारा दिया जाता है।
इसलिए,पानी के स्तंभ के कारण गेज दबाव $h\rho g = 3P - P = 2P$ है।
जब पानी का स्तर एक-पाँचवें भाग तक कम हो जाता है,तो पानी के स्तंभ की नई ऊँचाई $h' = h - (1/5)h = (4/5)h$ हो जाती है।
नया गेज दबाव $P'_{gauge} = h'\rho g = (4/5)h\rho g$ है।
$h\rho g$ का मान रखने पर,हमें $P'_{gauge} = (4/5) \times 2P = (8/5)P$ प्राप्त होता है।
तल पर नया कुल दबाव $P'_{total} = P_{atm} + P'_{gauge} = P + (8/5)P = (13/5)P$ होगा।

(C) माना प्रत्येक भुजा में पानी की प्रारंभिक ऊँचाई $H = 20 \text{ cm}$ है। पानी का कुल आयतन स्थिर रहता है। जब अमिश्रणीय द्रव डाला जाता है,तो एक भुजा में पानी का स्तर $x$ गिर जाता है और दूसरी भुजा में $x$ बढ़ जाता है।
अतः,$h_1 = H - x + 5 = 20 - x + 5 = 25 - x$ और $h_2 = H + x = 20 + x$ है।
$U$-ट्यूब के तल पर दबाव को बराबर करने पर:
$P_{\text{left}} = P_{\text{right}}$
$5 \times 4 \times g + (h_1 - 5) \times 1 \times g = h_2 \times 1 \times g$
$20 + (25 - x - 5) = 20 + x$
$20 + 20 - x = 20 + x$
$2x = 20 \Rightarrow x = 10 \text{ cm}$।
अब,$h_1 = 25 - 10 = 15 \text{ cm}$ और $h_2 = 20 + 10 = 30 \text{ cm}$ है।
अनुपात $h_2/h_1 = 30/15 = 2/1$ है।

(B) मान लीजिए कि वृत्ताकार नली की त्रिज्या $R$ है। दो तरल पदार्थों के बीच का अंतरापृष्ठ ऊर्ध्वाधर के साथ $\alpha$ कोण पर है।
$d_1$ घनत्व वाले तरल के लिए,स्तंभ की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h_1 = R \cos \alpha - R \sin \alpha$ है।
$d_2$ घनत्व वाले तरल के लिए,स्तंभ की ऊर्ध्वाधर ऊँचाई $h_2 = R \cos \alpha + R \sin \alpha$ है।
चूंकि एक निरंतर स्थिर तरल में समान क्षैतिज स्तर पर दबाव समान होता है,इसलिए हम अंतरापृष्ठ के सबसे निचले बिंदु पर दबाव को बराबर करते हैं:
$P_1 = P_2$
$d_1 g h_1 = d_2 g h_2$
$d_1 (R \cos \alpha - R \sin \alpha) = d_2 (R \cos \alpha + R \sin \alpha)$
$\frac{d_1}{d_2} = \frac{R \cos \alpha + R \sin \alpha}{R \cos \alpha - R \sin \alpha}$
अंश और हर को $R \cos \alpha$ से विभाजित करने पर:
$\frac{d_1}{d_2} = \frac{1 + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha}$

(B) बिंदु $A$ पर दबाव ऊपरी द्रव की सतह से $h$ गहराई पर $\rho$ घनत्व वाले द्रव के कारण है।
$P_A = P_{atm} + \rho gh$
बिंदु $B$ पर दबाव $\rho$ घनत्व वाले द्रव (ऊँचाई $2h$) और $2\rho$ घनत्व वाले द्रव (ऊँचाई $h$) के कारण है।
$P_B = P_{atm} + \rho g(2h) + (2\rho)gh = P_{atm} + 2\rho gh + 2\rho gh = P_{atm} + 4\rho gh$
बिंदु $B$ और बिंदु $A$ के बीच दबाव का अंतर है:
$P_B - P_A = (P_{atm} + 4\rho gh) - (P_{atm} + \rho gh) = 3\rho gh$

(B) जब $U$-ट्यूब के शीर्ष से हवा बाहर निकाली जाती है,तो दोनों द्रव स्तंभों के शीर्ष पर दबाव समान हो जाता है,जो घटा हुआ दबाव $P_{top}$ है।
मान लीजिए $P_{atm}$ वायुमंडलीय दबाव है और $h_A = 10\, cm$ तथा $h_B = 12\, cm$ भुजाओं में द्रव स्तंभों की ऊँचाई है।
पात्र $A$ में द्रव की मुक्त सतह पर दबाव $P_{atm}$ है। भुजा $A$ में द्रव स्तंभ के शीर्ष पर दबाव $P_{top} = P_{atm} - \rho_w g h_A$ है।
इसी प्रकार,पात्र $B$ के लिए,द्रव स्तंभ के शीर्ष पर दबाव $P_{top} = P_{atm} - \rho_B g h_B$ है।
$P_{top}$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$P_{atm} - \rho_w g h_A = P_{atm} - \rho_B g h_B$
यह सरल होकर प्राप्त होता है:
$\rho_w g h_A = \rho_B g h_B$
दिया गया है कि $\rho_w = 1\, g/cm^3$,$h_A = 10\, cm$,और $h_B = 12\, cm$:
$1 \times 10 = \rho_B \times 12$
$\rho_B = \frac{10}{12} = \frac{5}{6} \approx 0.833\, g/cm^3$.
अतः,द्रव $B$ का घनत्व लगभग $0.83\, g/cm^3$ है।

(A) गहराई $h$ पर दबाव को अवकल समीकरण $dP = \rho(P) g dh$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि पानी संपीड़ित है,इसलिए जैसे-जैसे गहराई $h$ के साथ दबाव $P$ बढ़ता है,उसका घनत्व $\rho$ भी बढ़ता है।
इसका मतलब है कि जैसे-जैसे $h$ बढ़ता है,गहराई के सापेक्ष दबाव के परिवर्तन की दर,$\frac{dP}{dh} = \rho g$,भी बढ़ती है क्योंकि $\rho$,$P$ का एक बढ़ता हुआ फलन है।
गणितीय रूप से,$\frac{d^2P}{dh^2} = g \frac{d\rho}{dP} \frac{dP}{dh} > 0$।
यह इंगित करता है कि $P$ बनाम $h$ का ग्राफ ऊपर की ओर अवतल (concave upward) होना चाहिए (अर्थात,जैसे-जैसे $h$ बढ़ता है,ढलान बढ़ती है)।
दिए गए विकल्पों में से,ग्राफ $A$ ऊपर की ओर मुड़ने वाला संबंध दिखाता है,जो अधिक गहराई पर पानी के बढ़ते घनत्व के कारण दबाव परिवर्तन की बढ़ती दर का सही प्रतिनिधित्व करता है।

(C) गोले के फ्रेम में,द्रव पीछे की दिशा में $a = 2g$ के त्वरण के साथ एक छद्म बल (pseudo-force) का अनुभव करता है। प्रभावी त्वरण सदिश $\vec{g}_{eff}$,गुरुत्वीय त्वरण $\vec{g}$ (नीचे की ओर) और छद्म त्वरण $\vec{a}_{pseudo} = -2g\hat{i}$ (पीछे की ओर) का सदिश योग है।
अतः,$\vec{g}_{eff} = -2g\hat{i} - g\hat{j}$.
प्रभावी त्वरण का परिमाण $g_{eff} = \sqrt{(2g)^2 + g^2} = \sqrt{5g^2} = g\sqrt{5}$ है।
द्रव में दाब $P = P_{min} + \rho \vec{g}_{eff} \cdot \vec{r}$ के अनुसार बदलता है,जहाँ $\vec{r}$ न्यूनतम दाब वाले बिंदु से रुचि के बिंदु तक का विस्थापन सदिश है।
न्यूनतम दाब $\vec{g}_{eff}$ की दिशा में सबसे दूर स्थित बिंदु पर होता है। केंद्र से इस बिंदु की दूरी $R$ है।
केंद्र पर दाब $P_c = P_{min} + \rho g_{eff} \times R$ है।
मान रखने पर,$P_c = P_0 + \rho (g\sqrt{5}) R = P_0 + \rho gR\sqrt{5}$.

(A) चित्र में दिखाए अनुसार, ट्यूब की दोनों भुजाओं में क्षैतिज सतह $PP'$ पर दबाव समान रहता है।
बाईं भुजा में $PP'$ स्तर पर दबाव तरल $Y$ (ऊँचाई $8 \ cm$) और पारे के स्तंभ (ऊँचाई $2 \ cm$) के कारण है।
दाईं भुजा में $PP'$ स्तर पर दबाव तरल $X$ (ऊँचाई $10 \ cm$) के कारण है।
दबाव को बराबर करने पर:
$P_{left} = P_{right}$
$h_Y \rho_Y g + h_{Hg} \rho_{Hg} g = h_X \rho_X g$
$8 \times \rho_Y + 2 \times 13.6 = 10 \times 3.36$
$8 \rho_Y + 27.2 = 33.6$
$8 \rho_Y = 33.6 - 27.2$
$8 \rho_Y = 6.4$
$\rho_Y = \frac{6.4}{8} = 0.8 \ g/cc$

(B) मान लीजिए कि बर्तनों का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $S$ है। मान लीजिए बर्तन $A$ में पानी के स्तर की ऊंचाई $h_A$ है और बर्तन $B$ में $h_B$ है। चूंकि $B$ में पानी की मात्रा $A$ की तुलना में दोगुनी है, इसलिए $S \cdot h_B = 2(S \cdot h_A)$, जिसका अर्थ है कि $h_B = 2h_A$ है।
मान लीजिए $P_A$ और $P_B$ क्रमशः बर्तन $A$ और $B$ के तल पर पानी द्वारा लगाया गया दबाव है। तल पर दबाव $P = P_{ext} + \rho gh$ द्वारा दिया जाता है, जहाँ $P_{ext}$ पिस्टन द्वारा लगाया गया दबाव है।
लीवर के संतुलन में रहने के लिए, पिस्टन द्वारा पानी पर लगाया गया बल समान होना चाहिए (यह मानते हुए कि लीवर आर्म केंद्र में संतुलित है)। मान लीजिए $F$ प्रत्येक पिस्टन द्वारा लगाया गया बल है। तो $P_{ext} = F/S$ दोनों बर्तनों के लिए समान है।
इस प्रकार, $P_A = F/S + \rho gh_A$ और $P_B = F/S + \rho gh_B$ है।
चूंकि $h_B > h_A$, इसलिए यह निष्कर्ष निकलता है कि $P_B > P_A$ है।
जब वाल्व खोला जाता है, तो पानी उच्च दबाव वाले क्षेत्र से निम्न दबाव वाले क्षेत्र की ओर बहता है। इसलिए, पानी $B$ से $A$ की ओर बहेगा।

(B) किसी तरल द्वारा डूबी हुई सतह पर लगाया गया बल सतह के केंद्रक (centroid) पर दबाव और सतह के क्षेत्रफल के गुणनफल के बराबर होता है।
$1$. त्रिकोणीय प्लेट $ABC$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times b \times a$ है।
$2$. पानी की सतह से त्रिभुज के केंद्रक की गहराई की गणना इस प्रकार की जाती है: शीर्ष $h$ (बिंदु $A$ के लिए),$h+a$ (बिंदु $B$ के लिए),और $h+a$ (बिंदु $C$ के लिए) की गहराई पर हैं। केंद्रक की गहराई $h_c$ शीर्षों की गहराई का औसत है: $h_c = \frac{h + (h+a) + (h+a)}{3} = \frac{3h + 2a}{3} = h + \frac{2a}{3}$।
$3$. केंद्रक पर दबाव $P_c = P_0 + h_c \rho g = P_0 + (h + \frac{2a}{3}) \rho g$ है।
$4$. कुल बल $F = P_c \times A = (P_0 + h \rho g + \frac{2a}{3} \rho g) \times \frac{1}{2} ab = (P_0 + h \rho g) \frac{1}{2} ab + \frac{1}{2} ab \times \frac{2a}{3} \rho g = (P_0 + h \rho g) \frac{1}{2} ab + \frac{a^2 b}{3} \rho g$।

(A) माना द्रव $X$ का घनत्व $\rho_X = 3.36 \, g/cm^3$ है, द्रव $Y$ का घनत्व $\rho_Y$ है, और पारे $(Hg)$ का घनत्व $\rho_{Hg} = 13.6 \, g/cm^3$ है।
स्थिर द्रव में समान क्षैतिज स्तर पर दबाव समान होता है।
समान इंटरफ़ेस स्तर को संदर्भ स्तर के रूप में लें। दाईं भुजा में, इस स्तर पर दबाव $h_X = 10 \, cm$ ऊंचाई के द्रव $X$ के स्तंभ के कारण है।
बाईं भुजा में, इस स्तर पर दबाव $h_Y = 8 \, cm$ ऊंचाई के द्रव $Y$ के स्तंभ और $h_{Hg} = (10 - 8) \, cm = 2 \, cm$ ऊंचाई के पारे के स्तंभ के कारण है।
इस स्तर पर दबावों को बराबर करने पर:
$P_{right} = P_{left}$
$\rho_X g h_X = \rho_Y g h_Y + \rho_{Hg} g h_{Hg}$
$3.36 \times 10 = \rho_Y \times 8 + 13.6 \times 2$
$33.6 = 8 \rho_Y + 27.2$
$8 \rho_Y = 33.6 - 27.2$
$8 \rho_Y = 6.4$
$\rho_Y = 0.8 \, g/cm^3$.

(B) बल्क मापांक $B$ को $B = -\frac{\Delta P}{\Delta V/V}$ के रूप में परिभाषित किया गया है।
दी गई संपीड्यता $K = \frac{1}{B} = 50 \times 10^{-6} \text{ atm}^{-1}$ है।
चूंकि $\rho V = \text{स्थिरांक}$, अवकलन करने पर $\rho dV + V d\rho = 0$ प्राप्त होता है, इसलिए $\frac{dV}{V} = -\frac{d\rho}{\rho}$।
अतः, $K = \frac{\Delta P}{\Delta \rho / \rho}$।
यहाँ $\frac{\Delta \rho}{\rho} = 1\% = 0.01$ और $\Delta P = \rho gh$ है।
मान रखने पर: $50 \times 10^{-6} \text{ atm}^{-1} = \frac{\rho gh}{0.01}$।
$\rho = 10^3 \text{ kg/m}^3$ और $g = 10 \text{ m/s}^2$ लेने पर, $\Delta P = 10^4 h \text{ Pa}$ प्राप्त होता है।
$K$ को $\text{Pa}^{-1}$ में बदलने पर: $K = \frac{50 \times 10^{-6}}{10^5} = 5 \times 10^{-10} \text{ Pa}^{-1}$।
$0.01 = K \cdot \Delta P = (5 \times 10^{-10}) \cdot (10^4 h)$।
$0.01 = 5 \times 10^{-6} h \implies h = \frac{0.01}{5 \times 10^{-6}} = 2000 \text{ m} = 2 \text{ km}$।

(B) चूंकि $U$ ट्यूब की दोनों भुजाओं में पारे के स्तंभ समान स्तर पर हैं,इसलिए पारे के ऊपर द्रव स्तंभों द्वारा लगाया गया दबाव समान होना चाहिए।
मान लीजिए पानी का घनत्व $\rho_w$ है और स्पिरिट का घनत्व $\rho_s$ है।
मान लीजिए पानी के स्तंभ की ऊंचाई $h_w = 10\,cm$ और स्पिरिट के स्तंभ की ऊंचाई $h_s = 12.5\,cm$ है।
पारे के इंटरफ़ेस पर दबाव को बराबर करने पर:
$P_{\text{water}} = P_{\text{spirit}}$
$\rho_w h_w g = \rho_s h_s g$
स्पिरिट के घनत्व के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\rho_s = \frac{h_w}{h_s} \rho_w$
स्पिरिट का आपेक्षिक घनत्व,स्पिरिट के घनत्व और पानी के घनत्व का अनुपात है:
$\text{आपेक्षिक घनत्व} = \frac{\rho_s}{\rho_w} = \frac{h_w}{h_s}$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$\text{आपेक्षिक घनत्व} = \frac{10\,cm}{12.5\,cm} = \frac{100}{125} = 0.8$

(A) क्षैतिज नली के स्तर पर (जहाँ पिस्टन स्थित है) दबाव उसके ऊपर स्थित द्रव स्तंभों द्वारा लगाए गए दबाव के योग के बराबर होना चाहिए।
मान लीजिए $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है। पिस्टन पर दबाव $P = P_0 + \frac{F}{A}$ है।
हाइड्रोस्टैटिक्स के सिद्धांत के अनुसार,एक निरंतर द्रव में समान क्षैतिज स्तर पर दबाव समान होता है।
पिस्टन पर क्षैतिज स्तर को देखते हुए,दबाव तीन द्रव स्तंभों के कारण है:
$1$. $\rho_1$ घनत्व वाले द्रव के कारण $h_1$ लंबाई पर दबाव $\rho_1 g h_1$ है।
$2$. $\rho_2$ घनत्व वाले द्रव के कारण $h_2$ ऊँचाई पर दबाव $\rho_2 g h_2$ है।
$3$. $\rho_3$ घनत्व वाले द्रव के कारण $h_3$ ऊँचाई पर दबाव $\rho_3 g h_3$ है।
इनका योग करने पर,पिस्टन स्तर पर कुल दबाव $P = P_0 + (\rho_1 h_1 + \rho_2 h_2 + \rho_3 h_3)g$ प्राप्त होता है।
पिस्टन पर दबाव के लिए दोनों व्यंजकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{F}{A} = (\rho_1 h_1 + \rho_2 h_2 + \rho_3 h_3)g$ प्राप्त होता है (यह मानते हुए कि $P_0$ नगण्य है या दोनों तरफ समान रूप से कार्य कर रहा है)।

(B) माना झील की गहराई $h$ है। झील की तली पर दबाव $P_1 = P_{atm} + \rho_w g h$ है, जहाँ $P_{atm} = \rho_{Hg} g (0.75 \, m)$ है।
सतह पर दबाव $P_2 = P_{atm} = \rho_{Hg} g (0.75 \, m)$ है।
दिया गया है कि आयतन दोगुना हो जाता है, इसलिए $V_2 = 2V_1$ है।
चूंकि प्रक्रिया समतापीय है, इसलिए $P_1 V_1 = P_2 V_2$ होगा।
मान रखने पर: $(P_{atm} + \rho_w g h) V_1 = P_{atm} (2 V_1)$।
$P_{atm} + \rho_w g h = 2 P_{atm} \Rightarrow \rho_w g h = P_{atm}$।
$P_{atm} = \rho_{Hg} g (0.75 \, m)$ रखने पर: $\rho_w g h = \rho_{Hg} g (0.75 \, m)$।
$h = (0.75 \, m) \times (\rho_{Hg} / \rho_w) = 0.75 \times (40/3) \, m$।
$h = 0.25 \times 40 \, m = 10 \, m$।

(C) किसी पदार्थ का विशिष्ट गुरुत्व उसके घनत्व और पानी के घनत्व $(d_w)$ के अनुपात के रूप में परिभाषित होता है।
$s = \frac{\rho}{\rho_w} \implies \rho = s \cdot \rho_w$.
मिश्रधातु का कुल द्रव्यमान = $m_1 + m_2$.
मिश्रधातु का कुल आयतन = $V_1 + V_2 = \frac{m_1}{\rho_1} + \frac{m_2}{\rho_2} = \frac{m_1}{s_1 \rho_w} + \frac{m_2}{s_2 \rho_w} = \frac{1}{\rho_w} \left( \frac{m_1}{s_1} + \frac{m_2}{s_2} \right)$.
मिश्रधातु का विशिष्ट गुरुत्व $(s_{alloy})$ मिश्रधातु के घनत्व और पानी के घनत्व का अनुपात है:
$s_{alloy} = \frac{\rho_{alloy}}{\rho_w} = \frac{\text{कुल द्रव्यमान}}{\text{कुल आयतन} \times \rho_w}$.
मान रखने पर:
$s_{alloy} = \frac{m_1 + m_2}{\left[ \frac{1}{\rho_w} \left( \frac{m_1}{s_1} + \frac{m_2}{s_2} \right) \right] \times \rho_w} = \frac{m_1 + m_2}{\frac{m_1}{s_1} + \frac{m_2}{s_2}}$.

(A) मान लीजिए कि नली की त्रिज्या $r$ है। चूंकि दो द्रवों के समान आयतन का उपयोग किया जाता है,प्रत्येक द्रव वृत्त का एक चौथाई भाग ($\pi/2$ रेडियन का चाप) घेरता है।
मान लीजिए कि इंटरफ़ेस ऊर्ध्वाधर से $\theta$ कोण पर है।
संतुलन के लिए,इंटरफ़ेस पर दोनों तरफ से दबाव समान होना चाहिए।
ज्यामितीय गणनाओं और दबाव संतुलन से,हमें प्राप्त होता है: $\tan \theta = \frac{\pi}{2} \frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_1 + \rho_2}$.
अतः,$\theta = \tan^{-1} \left[ \frac{\pi}{2} \left( \frac{\rho_1 - \rho_2}{\rho_1 + \rho_2} \right) \right]$.

(C) टंकी की कुल ऊंचाई $H = 5 \ m = 500 \ cm$ है।
चूंकि टंकी आधी पानी से भरी है,इसलिए पानी के स्तंभ की ऊंचाई $h_1 = 250 \ cm$ है और पानी का घनत्व $d_1 = 1 \ g/cm^3$ है।
शेष आधा भाग तेल से भरा है,इसलिए तेल के स्तंभ की ऊंचाई $h_2 = 250 \ cm$ है और तेल का घनत्व $d_2 = 0.85 \ g/cm^3$ है।
द्रव स्तंभ के कारण टंकी के तल पर दबाव $P = h_1 d_1 g + h_2 d_2 g$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $P = (250 \times 1 + 250 \times 0.85) \ g \ dyne/cm^2$.
$P = (250 + 212.5) \ g \ dyne/cm^2 = 462.5 \ g \ dyne/cm^2$.

(A) एक निरंतर स्थिर तरल पदार्थ में समान क्षैतिज स्तर पर दबाव समान होता है। मान लीजिए कि बिंदु $D$ (तेल स्तंभ में) पर दबाव $P_1$ है और बिंदु $B$ (पानी के स्तंभ में) पर दबाव $P_2$ है।
$P_1 = P_2$
$P_0 + \rho_{\text{oil}} \cdot g \cdot h_1 = P_0 + \rho_{\text{water}} \cdot g \cdot h_2$
जहाँ $P_0$ वायुमंडलीय दबाव है,$\rho_{\text{oil}}$ तेल का घनत्व है,और $\rho_{\text{water}}$ पानी का घनत्व है।
$\rho_{\text{oil}} \cdot g \cdot h_1 = \rho_{\text{water}} \cdot g \cdot h_2$
$\frac{\rho_{\text{oil}}}{\rho_{\text{water}}} = \frac{h_2}{h_1}$
तेल का सापेक्ष घनत्व तेल के घनत्व और पानी के घनत्व के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
इसलिए,तेल का सापेक्ष घनत्व $\frac{h_2}{h_1}$ है।

(B) टंकी के तल पर प्रारंभिक दबाव $P_{bottom} = P + h \rho g = 3P$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ पानी के स्तंभ की प्रारंभिक ऊँचाई है।
इससे हमें $h \rho g = 2P$ प्राप्त होता है।
जब पानी का स्तर एक-पाँचवां हिस्सा कम हो जाता है,तो पानी के स्तंभ की नई ऊँचाई $h' = h - \frac{h}{5} = \frac{4h}{5}$ हो जाती है।
तल पर नया दबाव $P' = P + h' \rho g$ है।
$h'$ का मान रखने पर,हमें $P' = P + \left(\frac{4h}{5}\right) \rho g = P + \frac{4}{5}(h \rho g)$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $h \rho g = 2P$ रखने पर,हमें $P' = P + \frac{4}{5}(2P) = P + \frac{8P}{5} = \frac{13P}{5}$ प्राप्त होता है।

(A) माना ट्यूब के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है और द्रव का घनत्व $\rho$ है। ट्यूब के क्षैतिज खंड $AB$ पर विचार करें।
क्षैतिज खंड $AB$ में द्रव का द्रव्यमान $m = \rho A d$ है।
बिंदु $A$ पर दबाव $P_A = h_2 \rho g$ है और बिंदु $B$ पर दबाव $P_B = h_1 \rho g$ है।
क्षैतिज खंड $AB$ में द्रव पर त्वरण की दिशा में कार्य करने वाला कुल बल $F_{net} = (P_A - P_B) A = (h_2 \rho g - h_1 \rho g) A = (h_2 - h_1) \rho g A$ है।
न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार,$F_{net} = ma$ है।
मान रखने पर,हमें $(h_2 - h_1) \rho g A = (\rho A d) a$ प्राप्त होता है।
समीकरण को सरल करने पर,$(h_2 - h_1) g = da$ प्राप्त होता है।
अतः,द्रव स्तरों में अंतर $h_2 - h_1 = \frac{da}{g}$ है।

(C) $h$ ऊँचाई और $\rho$ घनत्व वाले तरल से भरे पात्र के आधार पर दबाव $P = \rho gh$ द्वारा दिया जाता है।
पात्र के आधार पर लगने वाला प्रणोद (बल) $T$,दबाव $P$ और आधार क्षेत्रफल $A_{base}$ का गुणनफल होता है।
अतः,$T = P \times A_{base} = \rho gh \times A_{base}$।
दिए गए प्रश्न में,दोनों पात्रों $A$ और $B$ का आधार क्षेत्रफल $(A_{base})$ समान है और उनमें समान ऊँचाई $(h)$ तक पानी भरा है। चूँकि तरल समान (पानी) है,इसलिए दोनों के लिए घनत्व $\rho$ भी समान है।
इसलिए,पात्र $A$ के आधार पर प्रणोद $T_A = \rho gh A_{base}$ है और पात्र $B$ के आधार पर प्रणोद $T_B = \rho gh A_{base}$ है।
अतः,प्रणोद का अनुपात $\frac{T_A}{T_B} = \frac{\rho gh A_{base}}{\rho gh A_{base}} = 1:1$ है।