Force due to Liquid in pipe Questions in Hindi

(A) घूर्णन अक्ष से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई के द्रव के एक छोटे अवयव पर विचार करें। इस अवयव का द्रव्यमान $dM = (M/L)dx$ है।
इस अवयव को $x$ त्रिज्या के वृत्त में घुमाने के लिए आवश्यक अभिकेंद्र बल $dF = (dM)\omega^2 x$ है।
$dM$ का मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें $dF = (M/L)dx \cdot \omega^2 x = (M\omega^2/L)x dx$ प्राप्त होता है।
बाहरी सिरे पर द्रव द्वारा लगाया गया कुल बल $F$,$x = 0$ से $x = L$ तक इन अभिकेंद्र बलों का समाकलन है:
$F = \int_0^L \frac{M\omega^2}{L} x dx = \frac{M\omega^2}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^L = \frac{M\omega^2}{L} \cdot \frac{L^2}{2} = \frac{1}{2}ML\omega^2$.

(D) पानी के प्रवाह की दर $\frac{dV}{dt} = 10\,cm^3/s = 10 \times 10^{-6}\,m^3/s$ है।
पानी का घनत्व $\rho = 10^3\,kg/m^3$ है।
पाइप का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \pi (0.5 \times 10^{-3}\,m)^2 = \pi \times 0.25 \times 10^{-6}\,m^2$ है।
पानी का वेग $v = \frac{dV/dt}{A} = \frac{10 \times 10^{-6}}{\pi \times 0.25 \times 10^{-6}} = \frac{40}{\pi}\,m/s$ है।
प्रतिक्रियात्मक बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है: $F = \frac{dm}{dt} v = (\rho \frac{dV}{dt}) v$.
मान रखने पर: $F = (10^3) \times (10 \times 10^{-6}) \times \frac{40}{\pi} = 10^{-2} \times \frac{40}{3.14} \approx 0.127\,N$.

(B) $h$ ऊँचाई के द्रव स्तंभ के कारण बर्तन के आधार पर लगने वाला दाब $P = h \rho g$ द्वारा दिया जाता है।
दिया गया है:
ऊँचाई $h = 0.4 \, m$
घनत्व $\rho = 900 \, kg/m^3$
गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \, m/s^2$
आधार का क्षेत्रफल $A = 2 \times 10^{-3} \, m^2$
आधार पर कार्य करने वाला बल $F = P \times A$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$F = (h \rho g) \times A$
$F = 0.4 \times 900 \times 10 \times (2 \times 10^{-3})$
$F = 3600 \times 2 \times 10^{-3}$
$F = 7200 \times 10^{-3} = 7.2 \, N$.
अतः,आधार पर कार्य करने वाला बल $7.2 \, N$ है।

(D) यदि बर्तन की दीवारें ऊर्ध्वाधर हैं,तो बर्तन के तल पर तरल द्वारा लगाया गया बल तरल स्तंभ के भार के बराबर होता है।
चूंकि समान मात्रा में तरल (समान द्रव्यमान $m$) दोनों बर्तनों में डाला जाता है,इसलिए तरल का भार $W = mg$ स्थिर रहता है।
ऊर्ध्वाधर दीवारों वाले बर्तन के लिए,तल पर बल तरल के भार के बराबर होता है,$F = mg$।
इसलिए,$F_1 = mg$ और $F_2 = mg$।
अतः,$F_1 = F_2$।

(B) पानी के जेट द्वारा दीवार पर लगाया गया बल पानी के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
चूंकि टक्कर प्रत्यास्थ है,दीवार के समानांतर वेग का घटक अपरिवर्तित रहता है,जबकि दीवार के लंबवत घटक की दिशा बदल जाती है।
प्रति इकाई समय संवेग में परिवर्तन $F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{2mv \cos \theta}{\Delta t}$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$\frac{m}{\Delta t} = \rho A v$,जहाँ $\rho = 10^3 \ kg/m^3$ पानी का घनत्व है,$A = 6 \times 10^{-4} \ m^2$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,और $v = 12 \ m/s$ वेग है।
मान रखने पर: $F = 2(\rho A v) v \cos 60^{\circ} = 2 \rho A v^2 \cos 60^{\circ}$.
$F = 2 \times 10^3 \times (6 \times 10^{-4}) \times (12)^2 \times \cos 60^{\circ}$.
$F = 2 \times 10^3 \times 6 \times 10^{-4} \times 144 \times 0.5$.
$F = 10^3 \times 6 \times 10^{-4} \times 144 = 86.4 \ N$.

(D) मान लीजिए $t$ समय में बहने वाले पानी का द्रव्यमान $m = \rho L t$ है।
ऊर्ध्वाधर दिशा में पानी का प्रारंभिक संवेग $p_i = m V = \rho L t V$ (ऊपर की ओर) है।
ऊर्ध्वाधर दिशा में पानी का अंतिम संवेग $p_f = 0$ है।
ऊर्ध्वाधर दिशा में संवेग में परिवर्तन: $\Delta p_y = p_f - p_i = -\rho L V t$ है।
क्षैतिज दिशा में पानी का प्रारंभिक संवेग $p_i = 0$ है।
क्षैतिज दिशा में पानी का अंतिम संवेग $p_f = m V = \rho L t V$ (क्षैतिज) है।
क्षैतिज दिशा में संवेग में परिवर्तन: $\Delta p_x = p_f - p_i = \rho L V t$ है।
$t$ समय में संवेग में कुल परिवर्तन $\Delta p = \sqrt{(\Delta p_x)^2 + (\Delta p_y)^2} = \sqrt{(\rho L V t)^2 + (-\rho L V t)^2} = \sqrt{2} \rho L V t$ है।
कोने पर पानी द्वारा लगाया गया बल संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है:
$F = \frac{\Delta p}{t} = \sqrt{2} \rho L V$।

(A) द्रव्यमान प्रवाह दर $\dot{m} = \rho A v$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $\rho = 1000 \ kg/m^3$,$A = 10 \ cm^2 = 10^{-3} \ m^2$,और $v = 20 \ m/s$ है।
$\dot{m} = 1000 \times 10^{-3} \times 20 = 20 \ kg/s$.
$90^{\circ}$ के मोड़ के लिए वेग सदिश में परिवर्तन $\Delta \vec{v} = \sqrt{v^2 + v^2} = v\sqrt{2}$ है।
पानी द्वारा पाइप पर लगाए गए बल का परिमाण $F = \dot{m} \Delta v = \dot{m} v \sqrt{2}$ है।
$F = 20 \times 20 \times \sqrt{2} = 400 \times 1.4142 = 565.68 \ N \approx 565.7 \ N$.

(B) समतल प्लेट पर पानी की धारा द्वारा लगाया गया बल पानी के रैखिक संवेग में परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
$F = \frac{dp}{dt} = \frac{d(mv)}{dt} = v \frac{dm}{dt}$
चूंकि द्रव्यमान प्रवाह दर $\frac{dm}{dt} = \rho A v$ है,जहाँ $\rho$ पानी का घनत्व $(1000 \ kg/m^3)$,$A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल और $v$ वेग है।
$F = (\rho A v) v = \rho A v^2$
दिया गया है:
$A = 2 \ cm^2 = 2 \times 10^{-4} \ m^2$
$v = 10 \ m/s$
$\rho = 1000 \ kg/m^3$
मान रखने पर:
$F = 1000 \times (2 \times 10^{-4}) \times (10)^2$
$F = 1000 \times 2 \times 10^{-4} \times 100$
$F = 20 \ N$

(A) वस्तु पर तरल द्वारा लगाया गया बल उसकी सतह पर कार्य करने वाले दबाव बल का ऊर्ध्वाधर घटक है।
हाइड्रोस्टैटिक्स के सिद्धांत के अनुसार,वस्तु पर तरल द्वारा नीचे की ओर लगाया गया बल उस तरल स्तंभ के वजन के बराबर होता है जो पात्र के अंदर वस्तु के $V$ आयतन को घेरता।
यह बल $F = \rho Vg$ द्वारा दिया जाता है।
चूंकि वस्तु आधार पर फिट है,इसलिए तरल वस्तु की ऊपरी सतह पर नीचे की ओर बल लगाता है।
इसलिए,वस्तु पर तरल के कारण लगने वाला कुल बल विस्थापित तरल के वजन के बराबर होता है,जो कि $\rho Vg$ है।

(A) हथेली पर पानी द्वारा लगाया गया बल पानी के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
$F = \frac{dp}{dt} = v \frac{dm}{dt}$
चूंकि द्रव्यमान प्रवाह दर $\frac{dm}{dt} = A \rho v$ है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है,$\rho$ घनत्व है,और $v$ वेग है।
इसे बल के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$F = v(A \rho v) = A \rho v^2$
दिए गए मान: $v = 1.5\, ms^{-1}$,$A = 10^{-2}\, m^2$,$\rho = 10^3\, kgm^{-3}$।
$F = 10^{-2} \times 10^3 \times (1.5)^2$
$F = 10 \times 2.25 = 22.5\, N$.

(A) प्रति इकाई समय में दीवार से टकराने वाले द्रव का द्रव्यमान $\frac{dm}{dt} = A \cdot v \cdot \rho$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है,$v$ वेग है,और $\rho$ घनत्व है।
चूंकि धारा दीवार के साथ $\theta$ कोण बनाती है,इसलिए दीवार के लंबवत वेग का घटक $v_n = v \sin \theta$ है।
द्रव प्रत्यास्थ रूप से वापस लौटता है,जिसका अर्थ है कि वेग का लंबवत घटक $v \sin \theta$ से बदलकर $-v \sin \theta$ हो जाता है।
दीवार द्वारा द्रव पर लगाया गया संवेग परिवर्तन की दर (बल) $F = \frac{dp}{dt} = \frac{dm}{dt} \cdot \Delta v_n$ है।
$F = (av\rho) \cdot (v \sin \theta - (-v \sin \theta)) = (av\rho) \cdot (2v \sin \theta) = 2av^2\rho \sin \theta$.
न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार,द्रव द्वारा दीवार पर लगाया गया बल परिमाण में समान होता है,इसलिए अभिलंब बल $2av^2\rho \sin \theta$ है।

(D) पानी की धारा की गति,$v = 15\; m s^{-1}$.
नली का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल,$A = 10^{-2}\; m^2$.
प्रति सेकंड नली से बाहर आने वाले पानी का आयतन,$V = A \times v = 10^{-2} \times 15 = 0.15\; m^3 s^{-1}$.
पानी का घनत्व,$\rho = 10^3\; kg m^{-3}$.
प्रति सेकंड नली से बाहर बहने वाले पानी का द्रव्यमान,$\frac{dm}{dt} = \rho \times V = 10^3 \times 0.15 = 150\; kg s^{-1}$.
पानी दीवार से टकराता है और वापस नहीं उछलता है। इसलिए,न्यूटन के गति के दूसरे नियम के अनुसार दीवार पर लगने वाला बल:
$F = \frac{dp}{dt} = \frac{d(mv)}{dt} = v \times \frac{dm}{dt}$.
$F = 15\; m s^{-1} \times 150\; kg s^{-1} = 2250\; N$.

(D) दीवार से टकराकर रुकने वाले द्रव जेट द्वारा लगाया गया बल संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
$F = \frac{dp}{dt} = \frac{d(mv)}{dt} = v \frac{dm}{dt}$.
चूंकि द्रव्यमान प्रवाह दर $\frac{dm}{dt} = \rho A v$ है,इसलिए बल $F = \rho A v^{2}$ होगा।
दिया गया है:
घनत्व $\rho = 1000 \, kg/m^{3}$
क्षेत्रफल $A = 10 \, cm^{2} = 10 \times 10^{-4} \, m^{2} = 10^{-3} \, m^{2}$
वेग $v = 20 \, m/s$
मान रखने पर:
$F = 1000 \times 10^{-3} \times (20)^{2}$
$F = 1 \times 400 = 400 \, N$.

(D) घूर्णन अक्ष से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई के द्रव के एक छोटे अवयव पर विचार करें। इस अवयव का द्रव्यमान $dm = (m/L) dx$ है।
इस अवयव पर कार्य करने वाला अभिकेंद्री बल $dF = (dm) \omega^2 x = (m/L) \omega^2 x dx$ है।
दूसरे सिरे पर लगाए गए कुल बल $F$ को ज्ञात करने के लिए,हम $x = 0$ से $x = L$ तक समाकलन करते हैं:
$F = \int_{0}^{L} \frac{m}{L} \omega^2 x dx = \frac{m \omega^2}{L} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{L} = \frac{m \omega^2 L}{2}$.
यहाँ $m = 250\,g = 0.25\,kg$ और $L = 50\,cm = 0.5\,m$ दिया गया है,इसलिए:
$F = \frac{0.25 \times \omega^2 \times 0.5}{2} = \frac{0.125}{2} \omega^2 = 0.0625 \omega^2$.
इस प्रकार,$\omega^2 = F / 0.0625 = 16F$,जिससे हमें $\omega = 4 \sqrt{F}$ प्राप्त होता है।
इसे $\omega = x \sqrt{F}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 4$ प्राप्त होता है।

(B) पानी की सतह से $x$ गहराई पर दबाव $P = \rho g x$ द्वारा दिया जाता है।
बांध पर $x$ गहराई पर $dx$ मोटाई और $w$ चौड़ाई वाली एक छोटी क्षैतिज पट्टी पर विचार करें।
इस पट्टी का क्षेत्रफल $dA = w \cdot dx$ है।
इस पट्टी पर लगने वाला बल $dF = P \cdot dA = (\rho g x)(w \cdot dx)$ है।
बांध पर कुल परिणामी बल $F$ ज्ञात करने के लिए,हम इस व्यंजक का $x = 0$ से $x = H$ तक समाकलन करते हैं:
$F = \int_{0}^{H} \rho g w x \, dx$
$F = \rho g w \int_{0}^{H} x \, dx$
$F = \rho g w \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{H}$
$F = \frac{1}{2} \rho g w H^2$.

(A) द्रव की मुक्त सतह से $H$ गहराई पर दबाव $P = \rho g H$ द्वारा दिया जाता है।
द्रव को बाहर निकलने से रोकने के लिए,हमें छेद पर द्रव द्वारा लगाए गए बल के बराबर बल लगाना होगा।
छेद पर द्रव द्वारा लगाया गया बल $F = P \times A$ है,जहाँ $A$ छेद का क्षेत्रफल है।
$r$ त्रिज्या वाले छेद का क्षेत्रफल $A = \pi r^2$ है।
अतः,आवश्यक क्षैतिज बल $F = (\rho g H) \times (\pi r^2) = \rho g H \pi r^2$ है।

(B) नली के तल पर लगने वाला कुल बल $F$,वायुमंडलीय दबाव के कारण बल और पारे के स्तंभ के वजन के कारण बल का योग है।
$F = (P_0 + \rho gh) A$
यहाँ,क्षेत्रफल $A = \pi r^2 = \frac{22}{7} \times (2 \times 10^{-2} \,m)^2 = \frac{22}{7} \times 4 \times 10^{-4} \,m^2 \approx 1.257 \times 10^{-3} \,m^2$.
वायुमंडलीय दबाव के कारण बल $F_{atm} = P_0 A = 10^5 \times 1.257 \times 10^{-3} = 125.7 \,N$.
पारे के स्तंभ के कारण बल $F_{Hg} = \rho gh A = (1.36 \times 10^4) \times 10 \times (30 \times 10^{-2}) \times (1.257 \times 10^{-3}) = 13600 \times 10 \times 0.3 \times 1.257 \times 10^{-3} \approx 51.3 \,N$.
कुल बल $F = 125.7 + 51.3 = 177 \,N$.

(D) घूर्णन अक्ष से $x$ दूरी पर $dx$ लंबाई के तरल के एक छोटे तत्व पर विचार करें। इस तत्व का द्रव्यमान $dm = \frac{M_{total}}{L} dx = \frac{2M}{1} dx = 2M dx$ है।
इस तत्व पर कार्य करने वाला अभिकेंद्री बल $dF = (dm) \omega^2 x = (2M dx) \omega^2 x$ है।
बाहरी सिरे पर तरल द्वारा लगाया गया कुल बल $F$,$x = 0$ से $x = L = 1 \ m$ तक इन बलों का समाकलन है:
$F = \int_{0}^{L} 2M \omega^2 x dx = 2M \omega^2 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} = 2M \omega^2 \left( \frac{1}{2} \right) = M \omega^2$.
यह दिया गया है कि कोणीय वेग $\omega = \sqrt{\frac{F}{\alpha M}}$ है,इसलिए $\omega^2 = \frac{F}{\alpha M}$ है।
$F = M \omega^2$ की तुलना $\omega^2 = \frac{F}{M}$ से करने पर,हमें $\alpha = 1$ प्राप्त होता है।

(C) पानी द्वारा दीवार पर लगाया गया बल पानी के संवेग परिवर्तन की दर के बराबर होता है।
दिया गया है:
अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A = 2 \times 10^{-3} \,m^2$
वेग $v = 12 \,m \,s^{-1}$
पानी का घनत्व $\rho = 1000 \,kg \,m^{-3}$
प्रति इकाई समय में दीवार से टकराने वाले पानी का द्रव्यमान $\frac{dm}{dt} = \rho A v$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$\frac{dm}{dt} = 1000 \times (2 \times 10^{-3}) \times 12 = 24 \,kg \,s^{-1}$.
बल $F$ संवेग परिवर्तन की दर है: $F = \frac{dp}{dt} = \frac{dm}{dt} \times v$.
चूंकि पानी वापस नहीं उछलता है, इसलिए अंतिम वेग $0$ है।
$F = (24 \,kg \,s^{-1}) \times (12 \,m \,s^{-1}) = 288 \,N$.
अतः, दीवार पर लगने वाला बल $288 \,N$ है।

(B) सतह से '$y$' गहराई पर दबाव $P(y) = P_{atm} + \rho gy$ द्वारा दिया जाता है।
'$b$' चौड़ाई वाले बांध पर कार्य करने वाला कुल बल '$F$' क्षेत्रफल पर दबाव का समाकलन है:
$F = \int_{0}^{h} (P_{atm} + \rho gy) b \, dy = (P_{atm} h + \frac{1}{2} \rho g h^2) b$.
सतह से अनुप्रयोग बिंदु '$y_{cp}$' (दबाव का केंद्र) बल के आघूर्ण और कुल बल के अनुपात द्वारा दिया जाता है:
$y_{cp} = \frac{\int_{0}^{h} y (P_{atm} + \rho gy) b \, dy}{F} = \frac{b [P_{atm} \frac{h^2}{2} + \rho g \frac{h^3}{3}]}{(P_{atm} h + \frac{1}{2} \rho g h^2) b}$.
यदि हम केवल पानी के कारण बल पर विचार करें (वायुमंडलीय दबाव $P_{atm}$ को अनदेखा करते हुए या दोनों तरफ समान मानते हुए),तो दबाव का केंद्र सतह से $\frac{2h}{3}$ गहराई पर है,जो आधार '$O$' से $\frac{h}{3}$ की दूरी पर है।
ऐसे प्रश्नों के मानक संदर्भ में जहाँ पानी के दबाव का वितरण (त्रिकोणीय) माना जाता है,दबाव का केंद्र आधार '$O$' से $\frac{h}{3}$ की दूरी पर होता है।