Bernoulli's Theorem and Applications of Bernoulli's Theory Questions in Hindi

(C) सही उत्तर $C$ है। एक जेट विमान अपने पंखों द्वारा उत्पन्न एयरोडायनामिक लिफ्ट के कारण उड़ता है। जैसे ही विमान उच्च गति से आगे बढ़ता है,पंखों का आकार हवा को नीचे की सतह की तुलना में ऊपरी सतह पर तेजी से प्रवाहित होने के लिए मजबूर करता है। बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,यह दबाव में अंतर पैदा करता है,जिसके परिणामस्वरूप ऊपर की ओर एक बल उत्पन्न होता है जिसे लिफ्ट कहा जाता है। यह लिफ्ट बल विमान पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल (वजन) की भरपाई करता है,जिससे यह हवा में बना रहता है।

(D) हवाई जहाज के पंख पर लगने वाले लिफ्ट बल को बर्नौली के सिद्धांत द्वारा समझाया जा सकता है।
पंख के आकार (एरोफ़ोइल) के कारण,ऊपरी सतह पर हवा की गति निचली सतह की तुलना में अधिक होती है।
बर्नौली के प्रमेय के अनुसार,जहाँ तरल की गति अधिक होती है,वहाँ दबाव कम होता है।
इस प्रकार,ऊपरी सतह पर दबाव निचली सतह के दबाव से कम होता है।
यह दबाव का अंतर ऊपर की ओर एक बल पैदा करता है जिसे लिफ्ट कहा जाता है,जो हवाई जहाज के वजन को संतुलित करता है।

(A) $v$ वेग से गतिमान $m$ द्रव्यमान की गतिज ऊर्जा $K = \frac{1}{2}mv^2$ द्वारा दी जाती है।
गतिज ऊर्जा प्रदान करने की दर शक्ति है,$P = \frac{dK}{dt} = \frac{1}{2}v^2 \frac{dm}{dt}$।
समय $t$ में पाइप से बहने वाला द्रव्यमान $m = \text{आयतन} \times \text{घनत्व} = (A \times l) \times \rho$ है,जहाँ $l$ तरल स्तंभ की लंबाई है।
अतः,द्रव्यमान प्रवाह की दर $\frac{dm}{dt} = A \times \frac{dl}{dt} \times \rho = A v \rho$ है।
इस मान को शक्ति समीकरण में रखने पर: $P = \frac{1}{2}v^2 (A v \rho) = \frac{1}{2}A \rho v^3$।

(A) वेग शीर्ष $(h)$ को सूत्र $h = \frac{v^2}{2g}$ द्वारा परिभाषित किया जाता है।
दिया गया है:
वेग $(v)$ = $5 \ m/s$
गुरुत्वीय त्वरण $(g)$ = $10 \ m/s^2$
सूत्र में मान रखने पर:
$h = \frac{(5)^2}{2 \times 10}$
$h = \frac{25}{20}$
$h = 1.25 \ m$
अतः,तेल का वेग शीर्ष $1.25 \ m$ है।

(D) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,$A_1v_1 = A_2v_2$ होता है। चूँकि नलियों $A$ और $C$ के अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल समान है $(r_A = r_C = 2 \ cm)$,इसलिए $A$ और $C$ पर तरल का वेग समान होगा $(v_A = v_C)$।
क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के प्रमेय के अनुसार,$P + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{नियतांक}$।
चूँकि $A$ और $C$ पर वेग समान हैं,इसलिए वहाँ दबाव भी समान होगा $(P_A = P_C)$।
चूँकि दबाव तरल स्तंभ की ऊँचाई के सीधे आनुपातिक होता है $(P = \rho gh)$,इसलिए नलियों $A$ और $C$ में तरल की ऊँचाई समान होगी।

(B) असंपीड्य,श्यानता-रहित द्रव के क्षैतिज प्रवाह के लिए बर्नौली के प्रमेय के अनुसार:
$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$
जब नल बंद होता है,तो वेग $v_1 = 0$ होता है,इसलिए दबाव $P_1 = 3.5 \times 10^5 \ N/m^2$ है।
जब नल खोला जाता है,तो दबाव $P_2 = 3.0 \times 10^5 \ N/m^2$ और वेग $v_2 = v$ है।
पानी का घनत्व $\rho = 10^3 \ kg/m^3$ मानते हुए:
$P_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v^2$
$\frac{1}{2}\rho v^2 = P_1 - P_2$
$v^2 = \frac{2(P_1 - P_2)}{\rho}$
$v^2 = \frac{2(3.5 \times 10^5 - 3.0 \times 10^5)}{10^3}$
$v^2 = \frac{2(0.5 \times 10^5)}{10^3} = \frac{1.0 \times 10^5}{10^3} = 100$
$v = \sqrt{100} = 10 \ m/s$.

(A) बर्नौली के प्रमेय के अनुसार,निचली सतह $(P_2)$ और ऊपरी सतह $(P_1)$ के बीच दबाव का अंतर $\Delta P$ इस प्रकार दिया जाता है:
$\Delta P = P_2 - P_1 = \frac{1}{2} \rho (v_1^2 - v_2^2)$
यहाँ,$\rho = 1.3 \ kg/m^3$,$v_1 = 120 \ m/s$ (ऊपरी सतह की गति),और $v_2 = 90 \ m/s$ (निचली सतह की गति)।
मान रखने पर:
$\Delta P = \frac{1}{2} \times 1.3 \times (120^2 - 90^2)$
$\Delta P = 0.65 \times (14400 - 8100)$
$\Delta P = 0.65 \times 6300$
$\Delta P = 4095 \ Pa$.

(A) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार, $A_1v_1 = A_2v_2$ होता है। एक क्षैतिज पाइप के लिए, जैसे-जैसे अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ घटता है, प्रवाह दर को स्थिर रखने के लिए द्रव का वेग $v$ बढ़ना चाहिए।
क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार, $P + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{स्थिरांक}$ होता है।
जैसे-जैसे संकीर्ण भाग में वेग $v$ बढ़ता है, योग को स्थिर रखने के लिए दाब $P$ को कम होना चाहिए।
अतः, सबसे संकीर्ण भाग पर, पानी का वेग अधिकतम और दाब न्यूनतम होता है।

(A) बर्नौली का समीकरण बताता है कि एक असंपीड्य,अश्यान और स्थिर द्रव प्रवाह के लिए,प्रति इकाई आयतन में दाब ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग धारा-रेखा के साथ स्थिर रहता है।
हवाई जहाज के पंख की डायनेमिक लिफ्ट इस सिद्धांत का एक उत्कृष्ट अनुप्रयोग है।
जैसे-जैसे पंख हवा में आगे बढ़ता है,पंख के आकार के कारण पंख के ऊपर हवा का वेग पंख के नीचे की हवा के वेग से अधिक हो जाता है।
बर्नौली के समीकरण के अनुसार,जहाँ द्रव का वेग अधिक होता है,वहाँ दाब कम होता है।
इसलिए,पंख के नीचे का दाब पंख के ऊपर के दाब से अधिक होता है,जो ऊपर की ओर एक बल उत्पन्न करता है जिसे डायनेमिक लिफ्ट कहा जाता है।

(A) एटमाइज़र बर्नौली के प्रमेय के सिद्धांत पर कार्य करता है।
जब रबर के बल्ब को दबाया जाता है,तो हवा एक संकरी नली से उच्च वेग के साथ बाहर निकलती है।
बर्नौली के प्रमेय के अनुसार,जैसे-जैसे तरल (हवा) का वेग बढ़ता है,उसका दबाव कम हो जाता है।
यह ऊर्ध्वाधर नली के ऊपरी हिस्से में कम दबाव का क्षेत्र बनाता है,जिससे तरल नली में ऊपर चढ़ जाता है और उच्च वेग वाली हवा की धारा के कारण महीन फुहार (mist) के रूप में बाहर निकल जाता है।

(B) बर्नौली के प्रमेय के अनुसार,जब दाहिने पलड़े के नीचे हवा फूँकी जाती है,तो उस क्षेत्र में हवा का वेग बढ़ जाता है।
जैसे-जैसे हवा का वेग बढ़ता है,उस क्षेत्र में दबाव कम हो जाता है।
दाहिने पलड़े के नीचे दबाव कम होने के कारण,ऊपर से कार्य करने वाला वायुमंडलीय दबाव अपेक्षाकृत अधिक हो जाता है।
परिणामस्वरूप,दाहिना पलड़ा नीचे की ओर एक शुद्ध बल का अनुभव करता है और नीचे चला जाता है।

(C) स्थायी,असंपीड्य और अश्यान प्रवाह के लिए बर्नौली का समीकरण $\frac{P}{\rho g} + h + \frac{v^2}{2g} = \text{constant}$ है।
इस समीकरण में:
$1$. पद $\frac{P}{\rho g}$ दाब हेड (pressure head) को दर्शाता है।
$2$. पद $h$ गुरुत्वीय हेड (gravitational head) को दर्शाता है।
$3$. पद $\frac{v^2}{2g}$ वेग हेड (velocity head) को दर्शाता है।
अतः,सही क्रम दाब हेड,गुरुत्वीय हेड और वेग हेड है।

(A) वेग शीर्ष का सूत्र $\frac{v^2}{2g} = h_{water}$ है।
सबसे पहले,$Hg$ के दबाव शीर्ष को पानी के शीर्ष में परिवर्तित करते हैं।
$h_{water} = h_{Hg} \times \frac{\rho_{Hg}}{\rho_{water}} = 40 \ cm \times 13.6 = 544 \ cm$.
अब,$v = \sqrt{2gh}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,जहाँ $g = 1000 \ cm/s^2$ (दिए गए समाधान के अनुसार):
$v = \sqrt{2 \times 1000 \times 40} = \sqrt{80000} = \sqrt{8 \times 10^4} = 282.84 \ cm/s$.
अतः,गति लगभग $282.8 \ cm/s$ है।

(B) . पंख की ऊपरी सतह उसकी निचली सतह की तुलना में अधिक घुमावदार होती है; इसलिए,पंखों के ऊपर हवा की गति पंखों के नीचे की हवा की गति से अधिक होती है।
बर्नौली के प्रमेय के अनुसार,पंखों के ऊपर का दबाव पंखों के नीचे के दबाव से कम हो जाता है।
पंखों के दोनों तरफ दबाव के इस अंतर के कारण,हवाई जहाज पर एक ऊर्ध्वाधर लिफ्ट (उत्तोलन बल) कार्य करता है।
जब यह लिफ्ट हवाई जहाज पर लगने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को दूर करने के लिए पर्याप्त होती है,तो हवाई जहाज ऊपर उठ जाता है और उड़ान में बना रहता है।

(D) सांतत्य समीकरण (continuity equation) के अनुसार,$A v = \text{नियतांक}$। चूंकि अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ समान है,इसलिए द्रव का वेग सभी बिंदुओं पर समान रहता है,अतः $v_A = v_B$।
बिंदु $A$ और $B$ के बीच बर्नौली प्रमेय लागू करने पर:
$P_A + \frac{1}{2} \rho v_A^2 + \rho g h_A = P_B + \frac{1}{2} \rho v_B^2 + \rho g h_B$
चूंकि $v_A = v_B$,गतिज ऊर्जा के पद कट जाएंगे:
$P_A + \rho g h_A = P_B + \rho g h_B$
$P_B - P_A = \rho g (h_A - h_B)$
चूंकि बिंदु $B$,बिंदु $A$ से निचले स्तर पर है $(h_A > h_B)$,इसलिए पद $(h_A - h_B)$ धनात्मक है।
अतः,$P_B > P_A$।

(B) बिंदु $A$ (छेद) और $B$ (गैसोलीन की सतह) पर बर्नौली के प्रमेय के अनुसार:
$P_B + \rho gh = P_A + \frac{1}{2}\rho v_A^2$
दिया गया है:
$P_B = 3.10 \ atm = 3.10 \times 1.013 \times 10^5 \ Pa$
$P_A = 1.00 \ atm = 1.013 \times 10^5 \ Pa$
$h = 53.0 \ m$
$\rho = 660 \ kg \ m^{-3}$
$g = 9.8 \ m \ s^{-2}$
मान रखने पर:
$3.10 \times 1.013 \times 10^5 + 660 \times 9.8 \times 53.0 = 1.013 \times 10^5 + \frac{1}{2} \times 660 \times v_A^2$
$(3.10 - 1.00) \times 1.013 \times 10^5 + 342888 = 330 \times v_A^2$
$2.10 \times 1.013 \times 10^5 + 342888 = 330 \times v_A^2$
$212730 + 342888 = 330 \times v_A^2$
$555618 = 330 \times v_A^2$
$v_A^2 = \frac{555618}{330} \approx 1683.69$
$v_A = \sqrt{1683.69} \approx 41.0 \ m \ s^{-1}$

(B) बर्नौली के प्रमेय के अनुसार,पानी की धारा की गतिज ऊर्जा फुहार के शीर्ष पर स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है।
माना $v = 2.45 \ m/s$ पानी की धारा का वेग है।
अधिकतम ऊँचाई $H$ जहाँ तक पानी धारा के स्तर से ऊपर उठ सकता है,वह $H = \frac{v^2}{2g}$ द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,$H = \frac{(2.45)^2}{2 \times 9.8} = \frac{6.0025}{19.6} = 0.30625 \ m = 30.625 \ cm$।
पानी की सतह से ऊपर फुहार की ऊँचाई $h_{jet} = H - h_{above}$ है,जहाँ $h_{above} = 10.6 \ cm$ है।
अतः,$h_{jet} = 30.625 \ cm - 10.6 \ cm = 20.025 \ cm \approx 20.0 \ cm$।

(A) बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,गतिमान तरल के लिए,जहाँ तरल की गति अधिक होती है,वहाँ दबाव कम होता है।
हवाई जहाज के पंख को एक एयरफ़ोइल आकार के साथ डिज़ाइन किया गया है,जो ऊपर की ओर घुमावदार और नीचे की ओर सपाट होता है।
जब हवा पंख के ऊपर से बहती है,तो घुमावदार ऊपरी सतह पर चलने वाली हवा नीचे की सपाट सतह पर चलने वाली हवा की तुलना में तेज़ गति से चलती है।
गति में इस अंतर के कारण,ऊपरी सतह पर दबाव नीचे की सतह पर दबाव से कम हो जाता है।
यह दबाव अंतर ऊपर की ओर एक बल बनाता है जिसे लिफ्ट कहा जाता है।
दिए गए विकल्पों में से,विकल्प $A$ में दिखाया गया आकार एक मानक एयरफ़ोइल क्रॉस-सेक्शन है जो यह लिफ्ट उत्पन्न करता है।
इसलिए,सही विकल्प $A$ है।

(A) बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,एक असंपीड्य,अश्यान तरल के धारा रेखीय प्रवाह के लिए,प्रति इकाई आयतन दाब ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है।
मान लीजिए कि नली के मुख पर दाब $P_0$ है और पानी का वेग $v$ है। नली के अंदर पानी स्थिर हो जाता है,इसलिए ऊर्ध्वाधर नली के शीर्ष पर वेग $0$ है।
नली के मुख (बिंदु $1$) और नली में पानी के स्तंभ के शीर्ष (बिंदु $2$) के बीच बर्नौली का समीकरण लागू करने पर:
$P_1 + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g h_2$
यहाँ,$P_1 = P_2 = P_{atm}$ (वायुमंडलीय दाब),$v_1 = v$,$v_2 = 0$,और $h_2 - h_1 = h$ (पानी के स्तर से ऊपर पानी के स्तंभ की ऊँचाई)।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$P_{atm} + \frac{1}{2}\rho v^2 + 0 = P_{atm} + 0 + \rho g h$
$\frac{1}{2}\rho v^2 = \rho g h$
$h = \frac{v^2}{2g}$
अतः,नली में पानी $\frac{v^2}{2g}$ ऊँचाई तक ऊपर चढ़ता है।

(D) क्षैतिज प्रवाह के लिए बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,कुल दबाव $P_1$ (नल बंद होने पर स्थिर दबाव) नल खुलने पर स्थिर दबाव $P_2$ और गतिशील दबाव $\frac{1}{2}\rho v^2$ के योग के बराबर होता है।
$P_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v^2$
वेग $v$ के लिए सूत्र:
$v = \sqrt{\frac{2(P_1 - P_2)}{\rho}}$
यहाँ $P_1 = 4.5 \times 10^5 \text{ Pa}$,$P_2 = 4 \times 10^5 \text{ Pa}$,और पानी का घनत्व $\rho = 10^3 \text{ kg/m}^3$ है।
$v = \sqrt{\frac{2(4.5 \times 10^5 - 4 \times 10^5)}{10^3}}$
$v = \sqrt{\frac{2(0.5 \times 10^5)}{10^3}} = \sqrt{\frac{10^5}{10^3}} = \sqrt{100} = 10 \text{ m/s}$.

(C) दिया गया समीकरण $P + \frac{1}{2}\rho V^2 + \rho gh = K$ (स्थिरांक) है।
विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,एक समीकरण में प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
इसलिए,$K$ की विमाएँ $P$,$\frac{1}{2}\rho V^2$ और $\rho gh$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
चूंकि $K$ की विमाएँ $P$ की विमाओं के बराबर हैं,इसलिए अनुपात $K/P$ एक विमाहीन राशि है।
दिए गए विकल्पों में से,कोण एक विमाहीन राशि है।
अतः,$K/P$ की विमाएँ कोण की विमाओं के समान हैं।

(A) माना $A$ टैंक का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है और $a$ छिद्र का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है।
माना $V$ वह वेग है जिससे टैंक में पानी का स्तर घट रहा है और $v$ छिद्र से बाहर निकलने वाले द्रव का वेग (efflux velocity) है।
सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,$av = AV$,इसलिए $V = \frac{av}{A}$।
पानी की ऊपरी सतह (बिंदु $1$) और छिद्र (बिंदु $2$) के बीच बर्नौली प्रमेय लागू करने पर:
$P_0 + \rho g h_1 + \frac{1}{2} \rho V^2 = P_0 + \rho g h_2 + \frac{1}{2} \rho v^2$
यहाँ,$h_1 = 3 \ m$ और $h_2 = 0.525 \ m$ है। छिद्र के ऊपर पानी के स्तंभ की प्रभावी ऊँचाई $h = h_1 - h_2 = 3 - 0.525 = 2.475 \ m$ है।
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{2} \rho v^2 - \frac{1}{2} \rho V^2 = \rho g h$
$v^2 - V^2 = 2gh$
$V = \frac{a}{A}v$ प्रतिस्थापित करने पर:
$v^2 - (\frac{a}{A})^2 v^2 = 2gh$
$v^2 [1 - (\frac{a}{A})^2] = 2gh$
दिया गया है कि $\frac{a}{A} = 0.1$,$g = 10 \ m/s^2$,और $h = 2.475 \ m$:
$v^2 [1 - (0.1)^2] = 2 \times 10 \times 2.475$
$v^2 [1 - 0.01] = 49.5$
$v^2 [0.99] = 49.5$
$v^2 = \frac{49.5}{0.99} = 50 \ m^2/s^2$.

$(A)$ सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार, $A_1v_1 = A_2v_2$ होता है। जब नली का अनुप्रस्थ काट $A$ घटता है, तो प्रवाह की दर को स्थिर रखने के लिए पानी का वेग $v$ बढ़ जाता है।
क्षैतिज प्रवाह के लिए बर्नौली के प्रमेय के अनुसार, $P + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{स्थिरांक}$ होता है।
जैसे-जैसे संकीर्ण भाग में वेग $v$ बढ़ता है, समीकरण को संतुष्ट करने के लिए दबाव $P$ को कम होना चाहिए।
इसलिए, चौड़े भाग में दबाव स्थिर रहता है, जैसे-जैसे नली संकीर्ण होती है, दबाव गिरता है, और फिर संकीर्ण भाग में निचले मान पर स्थिर रहता है। यह उस ग्राफ के अनुरूप है जहाँ अनुप्रस्थ काट घटने पर दबाव $p$ घटता है।

(C) विमीय समांगता के सिद्धांत के अनुसार,एक समीकरण में प्रत्येक पद की विमाएँ समान होनी चाहिए।
दिए गए समीकरण $p + \frac{1}{2} \rho v^{2} + h \rho g = k$ में,$k$ की विमाएँ दाब $p$ की विमाओं के बराबर होनी चाहिए।
$[p] = \frac{\text{बल}}{\text{क्षेत्रफल}} = \frac{[MLT^{-2}]}{[L^{2}]} = [ML^{-1}T^{-2}]$.
अन्य पदों की जाँच करने पर:
$[\frac{1}{2} \rho v^{2}] = [ML^{-3}][L^{2}T^{-2}] = [ML^{-1}T^{-2}]$.
$[h \rho g] = [L][ML^{-3}][LT^{-2}] = [ML^{-1}T^{-2}]$.
चूँकि $[k] = [ML^{-1}T^{-2}]$,जो कि दाब,ऊर्जा घनत्व और प्रत्यास्थता गुणांक (प्रतिबल/विकृति) का विमीय सूत्र है,इसलिए सही विकल्प प्रत्यास्थता गुणांक है।

(A) वेलोसिटी हेड का सूत्र $h = \frac{v^2}{2g}$ होता है।
यहाँ,वेग $v = 5 \ m/s$ और गुरुत्वीय त्वरण $g = 10 \ m/s^2$ दिया गया है।
सूत्र में मान रखने पर:
$h = \frac{(5)^2}{2 \times 10} = \frac{25}{20} = 1.25 \ m$.
अतः,वेलोसिटी हेड $1.25 \ m$ होगा।

(B) बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,क्षैतिज प्रवाह के लिए कुल दाब ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है: $P_1 + 0 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v^2$.
यहाँ,$P_1 = 3.5 \times 10^5 \, N/m^2$ (नल बंद होने पर दाब) और $P_2 = 3.0 \times 10^5 \, N/m^2$ (नल खुला होने पर दाब) है।
पानी का घनत्व $\rho = 10^3 \, kg/m^3$ है।
समीकरण को व्यवस्थित करने पर: $\frac{1}{2} \rho v^2 = P_1 - P_2$.
$v^2 = \frac{2(P_1 - P_2)}{\rho}$.
मान रखने पर: $v^2 = \frac{2(3.5 \times 10^5 - 3.0 \times 10^5)}{10^3} = \frac{2(0.5 \times 10^5)}{10^3} = \frac{10^5}{10^3} = 100$.
अतः,$v = \sqrt{100} = 10 \, m/s$.

$(A)$ सांतत्य समीकरण (Equation of continuity) के अनुसार, $A_1v_1 = A_2v_2$ होता है। चूंकि पाइप के संकीर्ण भाग में अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ घटता है, इसलिए द्रव का वेग $v$ बढ़ना चाहिए $(v_2 > v_1)$।
बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार, क्षैतिज पाइप के लिए, $P + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{स्थिरांक}$ होता है।
चूंकि संकीर्ण भाग में वेग $v$ बढ़ता है, इसलिए योग को स्थिर रखने के लिए दाब $P$ को कम होना चाहिए।
अतः, जैसे-जैसे द्रव चौड़े भाग से संकीर्ण भाग की ओर जाता है, दाब घटता है।
यह विकल्प $A$ में दर्शाए गए ग्राफ के अनुरूप है।

(A) बर्नोली के सिद्धांत के अनुसार,पंख के ऊपर और नीचे के बीच दाबांतर $\Delta P$ निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$\Delta P = P_{bottom} - P_{top} = \frac{1}{2} \rho (v_{top}^2 - v_{bottom}^2)$
दिया गया है:
हवा का घनत्व $\rho = 1.3\, kg/m^3$
पंख के ऊपर हवा की गति $v_{top} = 120\, m/s$
पंख के नीचे हवा की गति $v_{bottom} = 90\, m/s$
मान रखने पर:
$\Delta P = \frac{1}{2} \times 1.3 \times [(120)^2 - (90)^2]$
$\Delta P = 0.65 \times [14400 - 8100]$
$\Delta P = 0.65 \times 6300$
$\Delta P = 4095\, Pa$.

(C) छत के ठीक ऊपर और ठीक नीचे बर्नौली के प्रमेय को लागू करने पर:
$P + \frac{1}{2}\rho v^2 = P_0 + 0$
यहाँ,$P$ छत के ठीक ऊपर का दबाव है,$P_0$ घर के अंदर का वायुमंडलीय दबाव है,और $v = 40 \ m/s$ हवा की गति है।
दबाव का अंतर $\Delta P = P_0 - P = \frac{1}{2}\rho v^2$ है।
छत पर लगाया गया बल $F = \Delta P \cdot A = \frac{1}{2}\rho A v^2$ है।
दिए गए मानों को रखने पर:
$F = \frac{1}{2} \times 1.2 \ kg/m^3 \times 250 \ m^2 \times (40 \ m/s)^2$
$F = 0.6 \times 250 \times 1600 = 2.4 \times 10^5 \ N$.
चूंकि घर के अंदर का दबाव $(P_0)$ छत के ठीक ऊपर के दबाव $(P)$ से अधिक है,इसलिए शुद्ध बल ऊपर की दिशा में कार्य करेगा।

(B) वर्णित घटना मैग्नस प्रभाव है,जो बर्नौली के सिद्धांत का एक अनुप्रयोग है।
जब कोई गेंद स्पिन के साथ हवा में चलती है,तो गेंद की सतह के सापेक्ष हवा का वेग बदल जाता है।
यदि गेंद आगे बढ़ते समय (बाएं से दाएं) घड़ी की विपरीत दिशा में स्पिन करती है,तो गेंद की ऊपरी सतह पर हवा का वेग निचली सतह की तुलना में कम होता है।
बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,जहां हवा का वेग अधिक होता है,वहां दबाव कम होता है और जहां हवा का वेग कम होता है,वहां दबाव अधिक होता है।
इसलिए,निचली सतह पर दबाव ऊपरी सतह के दबाव से अधिक हो जाता है,जिससे ऊपर की ओर एक बल (लिफ्ट) उत्पन्न होता है जिसे मैग्नस बल कहा जाता है।
यह ऊपर की ओर लगने वाला बल गेंद को अधिक समय तक हवा में रहने में मदद करता है,जिसके परिणामस्वरूप अधिकतम उड़ान प्राप्त होती है।
अतः,इस प्रभाव को प्राप्त करने के लिए घड़ी की विपरीत दिशा में स्पिन आवश्यक है।

(B) दिया गया है:
$A_1 = 0.02 \ m^2$,$V_1 = 2 \ m/s$,$P_1 = 4 \times 10^4 \ N/m^2$,$A_2 = 0.01 \ m^2$,$\rho = 1000 \ kg/m^3$.
सांतत्य समीकरण $A_1 V_1 = A_2 V_2$ का उपयोग करने पर:
$0.02 \times 2 = 0.01 \times V_2 \implies V_2 = 4 \ m/s$.
क्षैतिज नली के लिए बर्नौली के समीकरण का उपयोग करने पर $(h_1 = h_2)$:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2$
$P_2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho (V_1^2 - V_2^2)$
$P_2 = 4 \times 10^4 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2^2 - 4^2)$
$P_2 = 40000 + 500 \times (4 - 16)$
$P_2 = 40000 - 6000 = 34000 \ N/m^2 = 3.4 \times 10^4 \ N/m^2$.

(B) बर्नौली का समीकरण $P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{constant}$ द्वारा दिया जाता है।
यह समीकरण तरल के प्रति इकाई आयतन में दाब ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग दर्शाता है।
चूंकि एक आदर्श,असंपीड्य और अश्यान तरल के लिए धारा-रेखा के अनुदिश तरल की कुल ऊर्जा स्थिर रहती है,इसलिए बर्नौली का प्रमेय ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत का एक सीधा अनुप्रयोग है।

(C) सांतत्य समीकरण के अनुसार,$A_1 v_1 = A_2 v_2$। दिया गया है $A_1 = 10^{-2} \ m^2$,$v_1 = 2 \ m/s$,और $A_2 = 0.5 \times 10^{-2} \ m^2$।
चूंकि $A_2 = 0.5 A_1$,इसलिए वेग $v_2 = 2 v_1 = 4 \ m/s$ होगा।
क्षैतिज पाइप के लिए बर्नौली के समीकरण का उपयोग करने पर $(h_1 = h_2)$: $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$।
मान रखने पर ($P_1 = 8000 \ Pa$,$\rho = 1000 \ kg/m^3$):
$8000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2 = P_2 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (4)^2$।
$8000 + 2000 = P_2 + 8000$।
$P_2 = 10000 - 8000 = 2000 \ Pa$।

(C) बर्नौली का सिद्धांत एक आदर्श तरल प्रवाह के लिए निम्नलिखित धारणाओं पर आधारित है:
$1$. तरल असंपीड्य है (घनत्व स्थिर है)।
$2$. प्रवाह स्थिर है (किसी भी बिंदु पर वेग समय के साथ नहीं बदलता है)।
$3$. प्रवाह अश्यान है (श्यानता के कारण कोई आंतरिक घर्षण या ऊर्जा की हानि नहीं होती है)।
$4$. प्रवाह अघूर्णी है।
चूंकि बर्नौली का सिद्धांत यह मानता है कि तरल अश्यान है,इसलिए यह कथन कि तरल 'श्यान' है,इसकी वैधता के लिए कोई धारणा नहीं है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) साइफन के काम करने के लिए दबाव का अंतर होना आवश्यक है,जिसके लिए $h_3 > 0$ होना चाहिए। अतः,कथन $A$ सही है।
द्रव की मुक्त सतह ($h=0$ पर) और निकास बिंदु $3$ के बीच बर्नौली का समीकरण लागू करने पर:
$P_0 + 0 = P_0 + \frac{1}{2}\rho v^2 - \rho g h_3$
$\frac{1}{2}\rho v^2 = \rho g h_3$
अब,मुक्त सतह और बिंदु $2$ (बिंदु $3$ से $h_3$ ऊंचाई पर) के बीच बर्नौली का समीकरण लागू करने पर:
$P_0 + 0 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho g h_3$
$\frac{1}{2}\rho v^2 = \rho g h_3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P_0 = P_2 + \rho g h_3 + \rho g h_3 = P_2 + 2\rho g h_3$
$P_2 = P_0 - 2\rho g h_3$
इसलिए,विकल्प $B$ में दिया गया कथन गलत है। बिंदु $3$ वायुमंडल के संपर्क में है,इसलिए इसका दबाव $P_0$ है,जो कथन $C$ को सही बनाता है। अतः,गलत कथन $B$ है।

(D) सांतत्य समीकरण के अनुसार,$A_X v_X = A_Y v_Y$। चूंकि $X$ पर अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $Y$ से अधिक है $(A_X > A_Y)$,इसलिए $X$ पर पानी का वेग $Y$ की तुलना में कम होना चाहिए $(v_X < v_Y)$।
क्षैतिज नली के लिए बरनौली के प्रमेय के अनुसार,$P_X + \frac{1}{2} \rho v_X^2 = P_Y + \frac{1}{2} \rho v_Y^2$। चूंकि $v_Y > v_X$,इसलिए $Y$ पर प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा $X$ की तुलना में अधिक है। योग को स्थिर रखने के लिए,$X$ पर दबाव $Y$ पर दबाव से अधिक होना चाहिए $(P_X > P_Y)$।
इसलिए,$P$ पर मैनोमीटर ($X$ पर दबाव मापता है) $Q$ पर मैनोमीटर ($Y$ पर दबाव मापता है) की तुलना में अधिक दबाव दिखाएगा।

(D) सांतत्य समीकरण का उपयोग करते हुए,$A_1 V_1 = A_2 V_2 = Q$.
दिया है $A_1 = 5 \text{ cm}^2$,$A_2 = 2 \text{ cm}^2$,और $Q = 500 \text{ cm}^3/\text{s}$.
$V_1 = \frac{Q}{A_1} = \frac{500}{5} = 100 \text{ cm/s} = 1 \text{ m/s}$.
$V_2 = \frac{Q}{A_2} = \frac{500}{2} = 250 \text{ cm/s} = 2.5 \text{ m/s}$.
बर्नौली के समीकरण का उपयोग करते हुए: $P_1 + \frac{1}{2} \rho_w V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho_w V_2^2$.
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho_w (V_2^2 - V_1^2)$.
दाब का अंतर पारे के स्तंभ द्वारा संतुलित होता है: $P_1 - P_2 = h(\rho_m - \rho_w)g$.
$h = \frac{\frac{1}{2} \rho_w (V_2^2 - V_1^2)}{(\rho_m - \rho_w)g}$.
$\rho_w = 1000 \text{ kg/m}^3$,$\rho_m = 13600 \text{ kg/m}^3$,$g = 10 \text{ m/s}^2$,$V_1 = 1 \text{ m/s}$,$V_2 = 2.5 \text{ m/s}$ रखने पर.
$h = \frac{0.5 \times 1000 \times (2.5^2 - 1^2)}{(13600 - 1000) \times 10} = \frac{500 \times (6.25 - 1)}{126000} = \frac{2625}{126000} \text{ m} \approx 2.08 \text{ cm}$.
अतः सही उत्तर $D$ है।

(D) माना $H$ तल से पानी के स्तर की ऊँचाई है,$h$ तल से छेद की ऊँचाई है,$A$ अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल है,$M$ पिस्टन पर कुल द्रव्यमान $(M = 5\ kg + 45\ kg = 50\ kg)$ है,और $\rho$ पानी का घनत्व $(10^3\ kg/m^3)$ है।
पानी की ऊपरी सतह और छेद के बीच बर्नौली का समीकरण लागू करने पर:
$P_{atm} + \frac{Mg}{A} + \rho gH = P_{atm} + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh$
$\frac{1}{2}\rho v^2 = \rho g(H - h) + \frac{Mg}{A}$
दिया गया है $H = 7\ m$,$h = 1\ m$,$M = 50\ kg$,$A = 1\ m^2$,$g = 10\ m/s^2$,$\rho = 10^3\ kg/m^3$:
$\frac{1}{2} \times 10^3 \times v^2 = 10^3 \times 10 \times (7 - 1) + \frac{50 \times 10}{1}$
$500 v^2 = 60000 + 500$
$500 v^2 = 60500$
$v^2 = 121$
$v = 11\ m/s$

(B) मान लीजिए पाइप में गैस का वेग $v$ है।
पिटोट ट्यूब के मुख (स्थिर बिंदु $A$) और मुक्त प्रवाह में एक बिंदु $B$ पर बर्नौली प्रमेय लागू करने पर:
$P_A = P_B + \frac{1}{2} \rho v^2$
यहाँ,$P_A$ स्थिर दबाव है और $P_B$ गैस का स्थैतिक दबाव है।
दबाव का अंतर $\Delta h$ ऊंचाई के द्रव स्तंभ द्वारा मापा जाता है:
$P_A - P_B = \Delta h \rho_0 g$
इसे बर्नौली समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} \rho v^2 = \Delta h \rho_0 g$
$v^2 = \frac{2 \Delta h \rho_0 g}{\rho}$
$v = \sqrt{\frac{2 \Delta h \rho_0 g}{\rho}}$
आयतन प्रवाह दर $Q$,अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $S$ और वेग $v$ का गुणनफल है:
$Q = S v = S \sqrt{\frac{2 \Delta h \rho_0 g}{\rho}}$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(B) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार, $A_1 v_1 = A_2 v_2$ होता है। चूंकि बिंदु $2$ पर अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $(A_2)$ बिंदु $1$ के क्षेत्रफल $(A_1)$ से कम है, इसलिए बिंदु $2$ पर पानी की गति $(v_2)$ बिंदु $1$ की गति $(v_1)$ से अधिक होनी चाहिए।
बरनौली के सिद्धांत के अनुसार, $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2$ होता है। चूंकि बिंदु $2$ अधिक ऊँचाई पर है $(h_2 > h_1)$ और इसकी गति भी अधिक है $(v_2 > v_1)$, इसलिए समीकरण को संतुष्ट करने के लिए बिंदु $2$ पर दबाव $(P_2)$ को बिंदु $1$ के दबाव $(P_1)$ से कम होना चाहिए। अतः, बिंदु $2$ पर पानी की गति अधिक और दबाव कम होता है।

(C) माना कि छेद से बाहर निकलने वाले द्रव की गति $v$ है। सांतत्य समीकरण के अनुसार,इंटरफेस (क्षेत्रफल $A$) पर द्रव की गति $v_1 = \frac{av}{A}$ है और ऊपरी सतह (क्षेत्रफल $4A$) पर गति $v_2 = \frac{av}{4A}$ है।
ऊपरी सतह और छेद के बीच बर्नौली का समीकरण लागू करने पर:
$P_0 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho g(2h) = P_0 + \frac{1}{2}(2\rho)v^2$
$\frac{1}{2}\rho(\frac{av}{4A})^2 + 2\rho gh = \rho v^2$
$\frac{1}{32}\frac{a^2v^2}{A^2} + 2gh = v^2 \implies v^2(1 - \frac{a^2}{32A^2}) = 2gh$ (यह केवल एक द्रव के लिए है)।
दो द्रवों के लिए,ऊपरी सतह और इंटरफेस के बीच,तथा इंटरफेस और छेद के बीच बर्नौली का समीकरण लागू करने पर:
$P_0 + \frac{1}{2}\rho(\frac{av}{4A})^2 + \rho gh = P_1 + \frac{1}{2}(2\rho)(\frac{av}{A})^2$
$P_1 + \frac{1}{2}(2\rho)(\frac{av}{A})^2 + \rho gh = P_0 + \frac{1}{2}(2\rho)v^2$
इन समीकरणों को जोड़ने पर $P_1$ विलुप्त हो जाता है:
$P_0 + \frac{1}{2}\rho(\frac{av}{4A})^2 + 2\rho gh = P_0 + \rho v^2 + \rho(\frac{av}{A})^2 - \frac{1}{2}\rho(\frac{av}{A})^2$
$2gh = v^2(1 + \frac{a^2}{2A^2} - \frac{a^2}{32A^2}) = v^2(1 + \frac{15a^2}{32A^2})$.
दिए गए विकल्पों को देखते हुए,सही व्युत्पत्ति $v = \sqrt{\frac{2gh}{1 - \frac{17a^2}{32A^2}}}$ है।

(D) बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार, क्षैतिज प्रवाह के लिए, जहां द्रव की गति अधिक होती है वहां दबाव कम होता है।
दी गई व्यवस्था में, हवा बाएं से दाएं एक अलग अनुप्रस्थ काट वाले ट्यूब से होकर बहती है।
$1$. बिंदु $a$ पर, हवा वायुमंडल के लिए खुली है, इसलिए दबाव वायुमंडलीय दबाव $(P_{atm})$ है।
$2$. जैसे ही हवा ट्यूब में प्रवेश करती है, यह अलग-अलग क्षेत्रों वाले खंडों से गुजरती है। हवा की गति सबसे संकरे खंड (बिंदु $c$) में सबसे अधिक है, जिसका अर्थ है कि बिंदु $c$ पर दबाव सबसे कम है।
$3$. सक्शन पंप और प्रवाह के कारण बिंदु $b$ और $d$ पर दबाव वायुमंडलीय दबाव से कम है, लेकिन $c$ पर दबाव से अधिक है क्योंकि $b$ और $d$ पर अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $c$ से बड़ा है।
$4$. चूंकि मैनोमीटर में द्रव की ऊंचाई $h$ द्रव की सतह पर हवा द्वारा लगाए गए दबाव के व्युत्क्रमानुपाती होती है $(P_{atm} - P_{tube} = \rho gh)$, ट्यूब में दबाव जितना कम होगा, द्रव स्तंभ उतना ही ऊंचा होगा।
$5$. दबावों की तुलना करने पर: $P_c < P_b = P_d < P_a$.
$6$. इसलिए, ऊंचाइयों का क्रम: $h_c > h_b = h_d > h_a$ है। दिए गए विकल्पों के आधार पर, सही विकल्प $D$ है।

(B) बर्नौली का सिद्धांत बताता है कि एक असंपीड्य,अश्यान और स्थिर तरल प्रवाह के लिए,प्रति इकाई आयतन में दबाव ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है।
$1$. घूमती हुई गेंद का घुमावदार पथ (मैग्नस प्रभाव) बर्नौली के सिद्धांत द्वारा समझाया जाता है।
$2$. पेंट स्प्रेयर (एटमाइज़र) का कार्य बर्नौली के सिद्धांत पर आधारित है।
$3$. तूफान के दौरान टिन की छतों का उड़ जाना छत के ऊपर तेज हवाओं द्वारा उत्पन्न दबाव के अंतर के कारण होता है,जो बर्नौली के सिद्धांत का सीधा अनुप्रयोग है।
$4$. 'जेट प्रवाह द्वारा लिफ्ट' एक सामान्य शब्द है जो अक्सर प्रणोदन (propulsion) या संवेग हस्तांतरण से जुड़ा होता है,न कि मानक द्रव गतिकी के संदर्भ में बर्नौली के सिद्धांत का सीधा अनुप्रयोग। इसलिए,यह सही विकल्प है।

(C) बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,क्षैतिज प्रवाह के लिए,$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$ होता है।
मान लीजिए $P_1$ और $v_1$ निचली सतह पर दबाव और गति हैं,और $P_2$ और $v_2$ ऊपरी सतह पर दबाव और गति हैं।
दिया गया है कि $v_1 = v$ और $v_2 = 2v$ है।
दबाव का अंतर $\Delta P = P_1 - P_2 = \frac{1}{2}\rho(v_2^2 - v_1^2)$ है।
मान रखने पर: $\Delta P = \frac{1}{2}\rho((2v)^2 - v^2) = \frac{1}{2}\rho(4v^2 - v^2) = \frac{1}{2}\rho(3v^2) = \frac{3}{2}\rho v^2$ प्राप्त होता है।
डायनेमिक लिफ्ट $L$ इस दबाव अंतर के कारण लगने वाला बल है: $L = \Delta P \times A$।
अतः,$L = \frac{3}{2}\rho v^2 A$ होगा।

(A) क्षैतिज नली के लिए बर्नौली प्रमेय के अनुसार:
$P_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2}$
$P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2} \rho (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$
यहाँ $P_{1} - P_{2} = h \rho g$,जहाँ $h = 0.8\,m$ है।
सांतत्य समीकरण के अनुसार,$Q = A_{1}v_{1} = A_{2}v_{2}$,इसलिए $v_{1} = Q/A_{1}$ और $v_{2} = Q/A_{2}$।
इन मानों को बर्नौली समीकरण में रखने पर:
$h \rho g = \frac{1}{2} \rho \left[ \frac{Q^{2}}{A_{2}^{2}} - \frac{Q^{2}}{A_{1}^{2}} \right]$
$2gh = Q^{2} \left[ \frac{A_{1}^{2} - A_{2}^{2}}{A_{1}^{2} A_{2}^{2}} \right]$
$Q = A_{1} A_{2} \sqrt{\frac{2gh}{A_{1}^{2} - A_{2}^{2}}}$
व्यास $d_{1} = 0.3\,m$ और $d_{2} = 0.1\,m$ हैं,इसलिए त्रिज्या $r_{1} = 0.15\,m$ और $r_{2} = 0.05\,m$ होगी।
क्षेत्रफल $A_{1} = \pi (0.15)^{2} = 0.0225\pi\,m^{2}$ और $A_{2} = \pi (0.05)^{2} = 0.0025\pi\,m^{2}$ होगा।
गणना करने पर $Q \approx 0.032\,m^{3}/s = 32\,ltr/s$ प्राप्त होता है।

(B) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,$A_1 v_1 = A_2 v_2$.
दिया गया है $A_1 = 4.0\,cm^2$,$v_1 = 5.0\,m/s$,और $A_2 = 8.0\,cm^2$.
$v_2 = (A_1 v_1) / A_2 = (4.0 \times 5.0) / 8.0 = 2.5\,m/s$.
बर्नौली प्रमेय के अनुसार,$P_1 + \rho g h_1 + 1/2 \rho v_1^2 = P_2 + \rho g h_2 + 1/2 \rho v_2^2$.
$P_2$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर: $P_2 = P_1 + \rho g(h_1 - h_2) + 1/2 \rho(v_1^2 - v_2^2)$.
यहाँ,$h_1 - h_2 = 10\,m$,$\rho = 1000\,kg/m^3$,$g = 10\,m/s^2$.
$P_2 = 1.5 \times 10^5 + (1000 \times 10 \times 10) + 0.5 \times 1000 \times (5^2 - 2.5^2)$.
$P_2 = 1.5 \times 10^5 + 1.0 \times 10^5 + 500 \times (25 - 6.25)$.
$P_2 = 2.5 \times 10^5 + 9375 = 2.59375 \times 10^5\,Pa \approx 2.7 \times 10^5\,Pa$.

(A) क्षैतिज पाइप के दो बिंदुओं के लिए बर्नौली का समीकरण लागू करने पर:
$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$
दिया गया है कि $P_1 = P$,$v_1 = v$,और $v_2 = 2v$:
$P + \frac{1}{2}\rho v^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho (2v)^2$
$P + \frac{1}{2}\rho v^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho (4v^2)$
$P + \frac{1}{2}\rho v^2 = P_2 + 2\rho v^2$
$P_2 = P + \frac{1}{2}\rho v^2 - 2\rho v^2$
$P_2 = P - \frac{3}{2}\rho v^2$

(A) बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,एक असंपीड्य और अश्यान तरल के धारा रेखीय प्रवाह के लिए,प्रति इकाई आयतन में दाब ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है।
मान लीजिए बिंदु $1$ नली के क्षैतिज भाग के मुख पर है जहाँ पानी का वेग $V$ है,और बिंदु $2$ ऊर्ध्वाधर स्तंभ के शीर्ष पर है जहाँ पानी स्थिर हो जाता है $(V_2 = 0)$।
बिंदु $1$ और बिंदु $2$ के बीच बर्नौली का समीकरण लागू करने पर:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho V^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2 + \rho g h_2$
यहाँ,स्टैग्नेशन बिंदु (जहाँ वेग शून्य हो जाता है) पर दाब,हाइड्रोस्टेटिक दाब के बराबर होता है:
$\frac{1}{2} \rho V^2 = \rho g h$
$h$ के लिए हल करने पर:
$h = \frac{V^2}{2g}$

(A) बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,एक क्षैतिज पाइप के लिए,दबाव ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है: $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$.
जब नल बंद होता है,तो पानी का वेग $v_1 = 0$ होता है। मान लीजिए दबाव $P_1 = 3.5 \times 10^5 \, N/m^2$ है।
जब नल खुला होता है,तो दबाव $P_2 = 3 \times 10^5 \, N/m^2$ होता है और वेग $v_2 = v$ होता है।
समीकरण में मान रखने पर: $3.5 \times 10^5 + 0 = 3 \times 10^5 + \frac{1}{2} \times 10^3 \times v^2$.
$(3.5 - 3) \times 10^5 = \frac{1}{2} \times 10^3 \times v^2$.
$0.5 \times 10^5 = 500 \times v^2$.
$50000 = 500 \times v^2$.
$v^2 = 100$.
$v = 10 \, m/s$.

(A) समतल उड़ान के लिए,हवाई जहाज पर कार्य करने वाला कुल ऊर्ध्वाधर बल शून्य होना चाहिए। इसका अर्थ है कि दबाव के अंतर द्वारा उत्पन्न ऊपर की ओर लगने वाला लिफ्ट बल हवाई जहाज के वजन को संतुलित करता है।
$F_{\text{lift}} = mg$
चूंकि $F_{\text{lift}} = \Delta P \times A$,जहां $\Delta P$ दबाव का अंतर है और $A$ पंखों का कुल क्षेत्रफल है,इसलिए:
$\Delta P \times A = mg$
$\Delta P = \frac{mg}{A}$
दिए गए मानों को रखने पर: $m = 3 \times 10^4\,kg$,$g = 10\,m/s^2$,और $A = 120\,m^2$:
$\Delta P = \frac{3 \times 10^4 \times 10}{120} = \frac{30 \times 10^4}{120} = \frac{300000}{120} = 2500\,Pa$
चूंकि $1\,kPa = 1000\,Pa$,हमें प्राप्त होता है:
$\Delta P = 2.5\,kPa$