Bernoulli's Theorem and Applications of Bernoulli's Theory Questions in Hindi

(B) बर्नौली का समीकरण बहते हुए तरल के लिए ऊर्जा संरक्षण का नियम है,जो किसी बिंदु पर दाब,वेग और गुरुत्वीय विभव के बीच संबंध बताता है।
यह समीकरण इस प्रकार है:
$\frac{P}{\rho g} + h + \frac{v^2}{2g} = \text{स्थिरांक}$
इस समीकरण में:
$1$. $\frac{P}{\rho g}$ को प्रेशर हेड (दाब शीर्ष) के रूप में जाना जाता है।
$2$. $h$ पोटेंशियल हेड (विभव शीर्ष) है।
$3$. $\frac{v^2}{2g}$ वेलोसिटी हेड (वेग शीर्ष) है।
अतः,प्रेशर हेड $\frac{P}{\rho g}$ है।

(A) क्षैतिज प्रवाह के लिए बर्नौली प्रमेय के अनुसार:
$P_A + \frac{1}{2}\rho v_A^2 = P_B + \frac{1}{2}\rho v_B^2$
$P_A - P_B = \frac{1}{2}\rho (v_B^2 - v_A^2)$
चूंकि दबाव का अंतर मैनोमीटर की ऊँचाई $h = 5\, cm$ द्वारा मापा जाता है,इसलिए $P_A - P_B = \rho gh$।
अतः,$\frac{1}{2}\rho (v_B^2 - v_A^2) = \rho gh \implies v_B^2 - v_A^2 = 2gh$।
दिया है $g = 10\, m/s^2 = 1000\, cm/s^2$ और $h = 5\, cm$,इसलिए $v_B^2 - v_A^2 = 2 \times 1000 \times 5 = 10000\, cm^2/s^2$।
सांतत्य समीकरण के अनुसार,$A_A v_A = A_B v_B$।
$A_A = 6\, mm^2$ और $A_B = 10\, mm^2$ दिया है,इसलिए $6 v_A = 10 v_B \implies v_B = 0.6 v_A$।
बर्नौली समीकरण में $v_B$ का मान रखने पर:
$v_A^2 - v_B^2 = 2gh$ (यहाँ $A$ पर वेग अधिक है)
$v_A^2 - (0.6 v_A)^2 = 10000$
$v_A^2 (1 - 0.36) = 10000$
$0.64 v_A^2 = 10000 \implies v_A^2 = 15625$
$v_A = 125\, cm/s$।
प्रवाह की दर $Q = A_A v_A = 0.06\, cm^2 \times 125\, cm/s = 7.5\, cc/s$।

(C) बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,क्षैतिज प्रवाह के लिए,दाबांतर $\Delta P$ को निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया जाता है:
$\Delta P = P_{lower} - P_{upper} = \frac{1}{2} \rho (v_{upper}^2 - v_{lower}^2)$
दिया गया है:
घनत्व $\rho = 1.2 \, kg \, m^{-3}$
पंख के ऊपर वेग $v_{upper} = 150 \, m \, s^{-1}$
पंख के नीचे वेग $v_{lower} = 100 \, m \, s^{-1}$
मान रखने पर:
$\Delta P = \frac{1}{2} \times 1.2 \times (150^2 - 100^2)$
$\Delta P = 0.6 \times (22500 - 10000)$
$\Delta P = 0.6 \times 12500$
$\Delta P = 7500 \, N \, m^{-2}$

(A) क्षैतिज प्रवाह के लिए $Bernoulli$ के प्रमेय के अनुसार:
${P_1} + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = {P_2} + \frac{1}{2}\rho v_2^2$
${P_1} - {P_2} = \frac{1}{2}\rho (v_2^2 - v_1^2) \, ... (i)$
दिया गया है: ${P_1} - {P_2} = 3 \times 10^5 \, N \, m^{-2}$,$\rho = 1000 \, kg \, m^{-3}$,और $\frac{A}{A'} = 5$.
सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,$A v_1 = A' v_2$,इसलिए $\frac{v_2}{v_1} = \frac{A}{A'} = 5$,जिसका अर्थ है $v_2 = 5v_1$.
$v_2 = 5v_1$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$3 \times 10^5 = \frac{1}{2} \times 1000 \times ((5v_1)^2 - v_1^2)$
$3 \times 10^5 = 500 \times (25v_1^2 - v_1^2)$
$3 \times 10^5 = 500 \times 24v_1^2$
$3000 = 120v_1^2$
$v_1^2 = \frac{3000}{120} = 25$
$v_1 = 5 \, m \, s^{-1}$.

(B) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,$A_1 v_1 = A_2 v_2$,जहाँ $A_1 = 10^{-4}\,m^2$ और $v_1 = 1.0\,ms^{-1}$ है।
अतः,$A_2 v_2 = A_1 v_1 = 10^{-4} \times 1 = 10^{-4}\,m^3s^{-1} \dots (1)$.
स्थिर दबाव के तहत सुव्यवस्थित प्रवाह के लिए बर्नौली के समीकरण का उपयोग करने पर: $P + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1 = P + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2$.
चूंकि दबाव स्थिर है,इसलिए $\frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1 = \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2$ प्राप्त होता है।
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर $v_2^2 - v_1^2 = 2g(h_1 - h_2) = 2gh$ मिलता है,जहाँ $h = 0.15\,m$ है।
$v_2 = \sqrt{v_1^2 + 2gh} = \sqrt{1^2 + 2 \times 10 \times 0.15} = \sqrt{1 + 3} = \sqrt{4} = 2\,ms^{-1}$.
समीकरण $(1)$ में $v_2$ का मान रखने पर: $A_2 \times 2 = 10^{-4}$.
इसलिए,$A_2 = \frac{10^{-4}}{2} = 0.5 \times 10^{-4} = 5 \times 10^{-5}\,m^2$.

(B) क्षैतिज प्रवाह के लिए बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,दो बिंदुओं के बीच दबाव का अंतर वेग में परिवर्तन से संबंधित है। दो ऊर्ध्वाधर नलियों में पानी के स्तर के बीच ऊंचाई का अंतर $h = 5.1 \, mm = 0.51 \, cm$ है।
समीकरण $V_Y^2 = V_X^2 + 2gh$ का उपयोग करते हुए:
यहाँ $V_X = 2 \, cm/s$,$g = 1000 \, cm/s^2$,और $h = 0.51 \, cm$ दिया गया है।
$V_Y^2 = (2)^2 + 2 \times 1000 \times 0.51$
$V_Y^2 = 4 + 1020 = 1024$
$V_Y = \sqrt{1024} = 32 \, cm/s$.

(D) बर्नौली के प्रमेय के अनुसार,पंख की निचली और ऊपरी सतहों के बीच दबाव का अंतर $\Delta P$ इस प्रकार है:
$\Delta P = P_{lower} - P_{upper} = \frac{1}{2} \rho (v_{upper}^2 - v_{lower}^2)$
दिया गया है:
हवा का घनत्व $\rho = 1.3\, kg/m^3$
पंख के नीचे की गति $v_{lower} = 90\, m/s$
पंख के ऊपर की गति $v_{upper} = 120\, m/s$
मान रखने पर:
$\Delta P = \frac{1}{2} \times 1.3 \times (120^2 - 90^2)$
$\Delta P = 0.65 \times (14400 - 8100)$
$\Delta P = 0.65 \times 6300$
$\Delta P = 4095\, N/m^2$
अतः,दबाव का अंतर $4095\, N/m^2$ है।

(A) बर्नौली का प्रमेय बताता है कि एक असंपीड्य,अश्यान और धारा रेखीय प्रवाह वाले तरल के लिए,प्रति इकाई आयतन में दाब ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है।
हवाई जहाज के पंख का आकार इस तरह से डिज़ाइन किया जाता है कि पंख के ऊपर हवा का वेग पंख के नीचे की हवा के वेग से अधिक हो।
बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,उच्च वेग का अर्थ है कम दबाव।
यह दबाव का अंतर ऊपर की ओर एक बल पैदा करता है जिसे डायनेमिक लिफ्ट कहा जाता है,जो हवाई जहाज को उड़ने में मदद करता है।

(B) दिया गया है: $A_1 = 30\, cm^2 = 30 \times 10^{-4}\, m^2$,$A_2 = 15\, cm^2 = 15 \times 10^{-4}\, m^2$,$\Delta P = P_1 - P_2 = 600\, N/m^2$,$\rho = 1000\, kg/m^3$.
सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,$A_1 v_1 = A_2 v_2$,इसलिए $v_2 = (A_1/A_2) v_1 = (30/15) v_1 = 2 v_1$.
क्षैतिज प्रवाह के लिए बर्नौली के समीकरण का उपयोग करने पर: $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$.
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2) = \frac{1}{2} \rho ((2v_1)^2 - v_1^2) = \frac{1}{2} \rho (3v_1^2)$.
$600 = \frac{1}{2} \times 1000 \times 3 v_1^2 = 1500 v_1^2$.
$v_1^2 = 600 / 1500 = 6/15 = 0.4 = 4/10$.
$v_1 = \sqrt{4/10} = 2/\sqrt{10}\, m/s$.
प्रवाह की दर $Q = A_1 v_1 = (30 \times 10^{-4}) \times (2/\sqrt{10}) = 60 \times 10^{-4} / \sqrt{10} = \frac{6}{\sqrt{10}} \times 10^{-3}\, m^3/s$.

(A) समतल उड़ान में एक हवाई जहाज के लिए,लिफ्ट बल $F$ को हवाई जहाज के वजन $W = mg$ को संतुलित करना चाहिए।
अतः,$F = mg = (3 \times 10^4 \, kg) \times (10 \, m/s^2) = 3 \times 10^5 \, N$.
पंखों की ऊपरी और निचली सतहों के बीच दबाव का अंतर $\Delta P$,लिफ्ट बल और पंख के क्षेत्रफल $A$ के अनुपात द्वारा दिया जाता है।
$\Delta P = \frac{F}{A} = \frac{3 \times 10^5 \, N}{120 \, m^2}$.
$\Delta P = \frac{300000}{120} \, Pa = 2500 \, Pa$.
चूंकि $1 \, kPa = 1000 \, Pa$,इसलिए $\Delta P = 2.5 \, kPa$ है।

(B) सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार,आयतन प्रवाह दर स्थिर है: $A_1v_1 = A_2v_2$। अतः,विकल्प $(A)$ सही है।
क्षैतिज नली के लिए बर्नौली के सिद्धांत को लागू करने पर $(h_1 = h_2)$:
$P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2$
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2}\rho(v_2^2 - v_1^2)$
चूंकि दबाव का अंतर मैनोमीटर में ऊंचाई के अंतर $h$ द्वारा दिया जाता है,$P_1 - P_2 = \rho gh$।
इसलिए,$\rho gh = \frac{1}{2}\rho(v_2^2 - v_1^2)$,जो सरल होकर $v_2^2 - v_1^2 = 2gh$ देता है। अतः,विकल्प $(C)$ सही है।
विकल्प $(B)$ कहता है कि $v_2 - v_1 = \sqrt{2gh}$,जो गणितीय रूप से गलत है क्योंकि $\sqrt{v_2^2 - v_1^2} \neq v_2 - v_1$।
विकल्प $(D)$ गलत है क्योंकि वास्तविक द्रव प्रवाह में श्यानता (viscosity) के कारण ऊर्जा का ह्रास होता है,और एक आदर्श द्रव में भी,प्रति इकाई द्रव्यमान कुल ऊर्जा (बर्नौली स्थिरांक) संरक्षित रहती है,लेकिन दबाव ऊर्जा और गतिज ऊर्जा के बीच वितरण बदल जाता है। हालाँकि,इस विशिष्ट प्रश्न के संदर्भ में,विकल्प $(B)$ सबसे स्पष्ट रूप से गलत गणितीय कथन है।

(C) बर्नौली के प्रमेय का उपयोग करते हुए:
$P_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} + \rho gh_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} + \rho gh_{2}$
चूंकि पंख क्षैतिज है,$h_{1} = h_{2}$,इसलिए समीकरण सरल होकर निम्न हो जाता है:
$P_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2}$
दबाव का अंतर $\Delta P = P_{2} - P_{1}$ ज्ञात करने के लिए:
$\Delta P = \frac{1}{2} \rho (v_{1}^{2} - v_{2}^{2})$
यहाँ $\rho = 1.3\, kg/m^3$,$v_{1} = 120\, m/s$ (ऊपरी सतह),और $v_{2} = 90\, m/s$ (निचली सतह) दिया गया है:
$\Delta P = \frac{1}{2} \times 1.3 \times (120^{2} - 90^{2})$
$\Delta P = 0.65 \times (14400 - 8100)$
$\Delta P = 0.65 \times 6300 = 4095\, N/m^2$.

(B) बर्नौली का सिद्धांत बहते हुए तरल पदार्थ के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय से व्युत्पन्न होता है।
यह बताता है कि एक असंपीड्य,अश्यान और स्थिर प्रवाह वाले तरल के लिए,धारा रेखा के साथ प्रति इकाई आयतन में दाब ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है।
इसलिए,यह ऊर्जा संरक्षण के नियम पर आधारित है।

(A) बर्नौली का प्रमेय बताता है कि एक असंपीड्य,अश्यान तरल के स्थिर प्रवाह के लिए,तरल की गति में वृद्धि होने पर उसके दबाव में कमी आती है या तरल की स्थितिज ऊर्जा में कमी होती है।
सेंट स्प्रेयर में,जब हवा को नोजल के माध्यम से उच्च वेग से पंप किया जाता है,तो बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार वहां कम दबाव का क्षेत्र बन जाता है।
पात्र और नोजल के बीच इस दबाव के अंतर के कारण,तरल इत्र नली के माध्यम से ऊपर की ओर धकेला जाता है और हवा की धारा के साथ बाहर छिड़क दिया जाता है।

(C) बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,एक असंपीड्य,अश्यान तरल के धारा रेखीय प्रवाह के लिए,प्रति इकाई आयतन में दाब ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है $(P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{constant})$.
मानव परिसंचरण तंत्र में,उम्र बढ़ने या प्लाक जमा होने के कारण जब धमनियां संकरी हो जाती हैं,तो रक्त प्रवाह का वेग $(v)$ बदल जाता है। हालांकि रक्त की श्यानता के कारण यह संबंध जटिल है,लेकिन बर्नौली का सिद्धांत यह बताता है कि वाहिका के अनुप्रस्थ काट के क्षेत्रफल में कमी आने से दबाव में परिवर्तन होता है। विशेष रूप से,धमनियों के संकरा होने से प्रवाह के प्रति प्रतिरोध बढ़ जाता है और वाहिका के भीतर का दबाव तरल यांत्रिकी के सिद्धांतों द्वारा नियंत्रित होता है,जो मुख्य रूप से बर्नौली के सिद्धांत पर आधारित है।

(B) हवाई जहाज के पंख की लिफ्ट बर्नौली के सिद्धांत पर आधारित है।
हवाई जहाज के पंख को एयरफ़ोइल नामक एक विशेष आकार के साथ डिज़ाइन किया गया है।
इस आकार के कारण,पंख के ऊपर हवा का वेग पंख के नीचे की हवा के वेग से अधिक होता है।
बर्नौली के प्रमेय के अनुसार,जहाँ तरल का वेग अधिक होता है,वहाँ दबाव कम होता है।
इसलिए,पंख के नीचे का दबाव पंख के ऊपर के दबाव से अधिक होता है,जो ऊपर की ओर एक बल पैदा करता है जिसे लिफ्ट कहा जाता है।

(D) बर्नौली के प्रमेय के अनुसार,एक आदर्श तरल के धारा रेखीय प्रवाह के लिए,प्रति इकाई आयतन दाब ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग एक धारा रेखा के साथ स्थिर रहता है।
समीकरण $P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{constant}$ है।
यदि हम क्षैतिज प्रवाह $(h = \text{constant})$ पर विचार करें,तो $P + \frac{1}{2}\rho v^2 = \text{constant}$ होता है।
इसका अर्थ है कि यदि दबाव $P$ बढ़ता है,तो योग को स्थिर रखने के लिए वेग $v$ को कम होना चाहिए,और इसके विपरीत। अतः,अभिकथन सही है।
कारण बताता है कि प्रति इकाई द्रव्यमान कुल ऊर्जा स्थिर रहती है। बर्नौली का प्रमेय बताता है कि एक आदर्श तरल के लिए प्रति इकाई आयतन (या द्रव्यमान) कुल ऊर्जा स्थिर होती है। इसलिए,कारण भी सही है और यह अभिकथन के लिए भौतिक आधार प्रदान करता है।

(A) सांतत्य समीकरण $(A_1v_1 = A_2v_2)$ के अनुसार,जब पानी एक संकरी पाइप (छोटा क्षेत्रफल $A_1$) से चौड़ी पाइप (बड़ा क्षेत्रफल $A_2$) में बहता है,तो वेग $v$ कम हो जाता है क्योंकि $v \propto 1/A$ होता है।
बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,$P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{स्थिरांक}$.
एक क्षैतिज पाइप के लिए $(h = \text{स्थिरांक})$,जैसे-जैसे वेग $v$ घटता है,योग को स्थिर रखने के लिए दबाव $P$ बढ़ना चाहिए।
इसलिए,जब पानी संकरी पाइप से चौड़ी पाइप में बहता है तो दबाव बढ़ जाता है।
अतः,अभिकथन और कारण दोनों सही हैं और कारण,अभिकथन की सही व्याख्या है।

(C) पानी के प्रवाह की दर स्थिर है,इसलिए $A_{A} V_{A} = A_{B} V_{B}$।
दिया गया है $A_{A} = 40 \; cm^{2}$ और $A_{B} = 20 \; cm^{2}$,इसलिए $40 V_{A} = 20 V_{B}$,जिसका अर्थ है $V_{B} = 2 V_{A}$।
क्षैतिज नली के लिए बरनौली प्रमेय का उपयोग करने पर: $P_{A} + \frac{1}{2} \rho V_{A}^{2} = P_{B} + \frac{1}{2} \rho V_{B}^{2}$।
पुनर्व्यवस्थित करने पर $P_{A} - P_{B} = \frac{1}{2} \rho (V_{B}^{2} - V_{A}^{2})$ प्राप्त होता है।
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर ($P_{A} - P_{B} = 700 \; Pa$,$\rho = 1000 \; kg/m^{3}$):
$700 = \frac{1}{2} \times 1000 \times ((2 V_{A})^{2} - V_{A}^{2})$
$700 = 500 \times (4 V_{A}^{2} - V_{A}^{2})$
$700 = 500 \times 3 V_{A}^{2}$
$V_{A}^{2} = \frac{700}{1500} = \frac{7}{15} \; m^{2}/s^{2}$
$V_{A} = \sqrt{\frac{7}{15}} \approx 0.683 \; m/s = 68.3 \; cm/s$।
प्रवाह की दर $Q = A_{A} V_{A} = 40 \; cm^{2} \times 68.3 \; cm/s \approx 2732 \; cm^{3}/s$। दिए गए विकल्पों के अनुसार,सबसे निकटतम मान $2720 \; cm^{3}/s$ है।

(C) क्षैतिज वेंचुरी मीटर के लिए बर्नौली के समीकरण का उपयोग करते हुए: $P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho v_1^2 \left[ \left( \frac{A}{a} \right)^2 - 1 \right]$।
दिया गया है: दबाव में गिरावट $\Delta P = 24 \; Pa$,रक्त का घनत्व $\rho = 1.06 \times 10^3 \; kg/m^3$,$A = 8 \; mm^2$,$a = 4 \; mm^2$।
क्षेत्रफलों का अनुपात $\frac{A}{a} = \frac{8}{4} = 2$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$24 = \frac{1}{2} \times 1060 \times v_1^2 \times (2^2 - 1)$
$24 = 530 \times v_1^2 \times 3$
$24 = 1590 \times v_1^2$
$v_1^2 = \frac{24}{1590} \approx 0.01509$
$v_1 = \sqrt{0.01509} \approx 0.123 \; m/s$।

(N/A) बोइंग विमान का वजन दबाव के अंतर के कारण उत्पन्न ऊपर की ओर लगने वाले बल द्वारा संतुलित होता है।
$\Delta P \times A = m \times g$
$\Delta P = \frac{3.3 \times 10^{5} \; kg \times 9.8 \; m/s^{2}}{500 \; m^{2}} = 6.468 \times 10^{3} \; N/m^{2} \approx 6.5 \times 10^{3} \; N/m^{2}$.
$(b)$ ऊंचाई के छोटे अंतर को नजरअंदाज करते हुए,बर्नौली के सिद्धांत से दबाव का अंतर:
$\Delta P = \frac{\rho}{2} (v_{2}^{2} - v_{1}^{2}) = \frac{\rho}{2} (v_{2} - v_{1})(v_{2} + v_{1})$
यहाँ औसत गति $v_{av} = \frac{v_{1} + v_{2}}{2} = 960 \; km/h = 266.7 \; m/s$ है।
$\frac{v_{2} - v_{1}}{v_{av}} = \frac{\Delta P}{\rho \cdot v_{av}^{2}} = \frac{6.5 \times 10^{3}}{1.2 \times (266.7)^{2}} \approx 0.076 \approx 0.08$.
पंख के ऊपर की गति नीचे की गति से लगभग $8\%$ अधिक होनी चाहिए।

(N/A) नहीं।
बर्नौली के समीकरण का उपयोग नदी के रैपिड (तेज बहाव) से बहते पानी के प्रवाह का वर्णन करने के लिए नहीं किया जा सकता है क्योंकि पानी का प्रवाह अशांत (turbulent) होता है। बर्नौली का सिद्धांत इस धारणा पर आधारित है कि प्रवाह स्थिर (steady),असंपीड्य (incompressible) और श्यानताहीन (non-viscous) होना चाहिए। नदी के रैपिड में,पानी का प्रवाह अत्यधिक अनियमित,अराजक और अशांत होता है,जो इन मूलभूत धारणाओं का उल्लंघन करता है।

(N/A) नहीं,बर्नौली के समीकरण को लागू करते समय गेज दबाव या निरपेक्ष दबाव का उपयोग करने से कोई फर्क नहीं पड़ता है। बर्नौली का समीकरण $P_1 + \frac{1}{2}\rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2}\rho v_2^2 + \rho gh_2$ है। यदि हम गेज दबाव का उपयोग करते हैं,तो हम $P$ को $P_{gauge} = P_{abs} - P_{atm}$ से प्रतिस्थापित करते हैं। इस मान को समीकरण में रखने पर,वायुमंडलीय दबाव $P_{atm}$ समीकरण के दोनों पक्षों में आता है और एक-दूसरे को निरस्त कर देता है। इसलिए,यदि दोनों बिंदुओं पर वायुमंडलीय दबाव समान है,तो दबाव के पैमाने का चयन परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।

(A) दिया गया है:
पंख की ऊपरी सतह पर हवा की गति,$V_{1} = 70 \; m s^{-1}$
पंख की निचली सतह पर हवा की गति,$V_{2} = 63 \; m s^{-1}$
पंख का क्षेत्रफल,$A = 2.5 \; m^{2}$
हवा का घनत्व,$\rho = 1.3 \; kg m^{-3}$
बर्नौली के प्रमेय के अनुसार,निचली और ऊपरी सतहों के बीच दबाव का अंतर इस प्रकार है:
$P_{2} - P_{1} = \frac{1}{2} \rho (V_{1}^{2} - V_{2}^{2})$
पंख पर लगने वाला लिफ्ट बल इस दबाव अंतर के कारण होता है:
$Lift = (P_{2} - P_{1}) \times A$
$Lift = \frac{1}{2} \rho (V_{1}^{2} - V_{2}^{2}) A$
मान रखने पर:
$Lift = \frac{1}{2} \times 1.3 \times (70^{2} - 63^{2}) \times 2.5$
$Lift = 0.65 \times (4900 - 3969) \times 2.5$
$Lift = 0.65 \times 931 \times 2.5$
$Lift = 1512.875 \; N$
दो सार्थक अंकों तक पूर्णांकित करने पर,लिफ्ट बल लगभग $1.51 \times 10^{3} \; N$ है।

(A) सांतत्य समीकरण के अनुसार, $A_1 V_1 = A_2 V_2$, जहाँ $A$ अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल है और $V$ द्रव का वेग है।
पाइप के संकीर्ण भाग (वेंचुरीमीटर) में, अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A_2$ चौड़े भाग के क्षेत्रफल $A_1$ से कम होता है।
इसलिए, संकीर्ण भाग में द्रव का वेग $V_2$ चौड़े भाग के वेग $V_1$ से अधिक होना चाहिए $(V_2 > V_1)$।
बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार, एक असंपीड्य और अश्यान द्रव के क्षैतिज प्रवाह के लिए, प्रति इकाई आयतन दाब ऊर्जा और गतिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है। इसका अर्थ है कि जहाँ द्रव का वेग अधिक होता है, वहाँ दाब कम होना चाहिए।
चूंकि $V_2 > V_1$, इसलिए संकीर्ण भाग पर दाब $P_2$ चौड़े भाग के दाब $P_1$ से कम होना चाहिए $(P_2 < P_1)$।
दाब का संबंध ऊर्ध्वाधर नलियों में द्रव स्तंभ की ऊँचाई $(h)$ से $P = \rho gh$ के द्वारा होता है। अतः, कम दाब का अर्थ है द्रव का निचला स्तर।
परिणामस्वरूप, संकीर्ण भाग से जुड़ी नली में द्रव का स्तर चौड़े भाग से जुड़ी नली के स्तर से नीचे होना चाहिए।
चित्रों की तुलना करने पर, चित्र $(a)$ संकीर्ण भाग में ऊँचा स्तर दिखाता है, जो बर्नौली के सिद्धांत के विपरीत है। इसलिए, चित्र $(a)$ गलत है।

(D) विमान के पंखों का कुल क्षेत्रफल,$A = 2 \times 25 = 50 \; m^{2}$ है।
निचले पंख पर हवा की गति,$V_{1} = 180 \; km/h = 180 \times \frac{5}{18} = 50 \; m/s$ है।
ऊपरी पंख पर हवा की गति,$V_{2} = 234 \; km/h = 234 \times \frac{5}{18} = 65 \; m/s$ है।
हवा का घनत्व,$\rho = 1 \; kg \; m^{-3}$ है।
बर्नौली के समीकरण का उपयोग करते हुए,निचली और ऊपरी सतहों के बीच दबाव का अंतर $(P_{1} - P_{2})$ है:
$P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2} \rho (V_{2}^{2} - V_{1}^{2})$.
ऊपर की ओर लगने वाला लिफ्ट बल $F$,$(P_{1} - P_{2}) A$ द्वारा दिया जाता है:
$F = \frac{1}{2} \rho (V_{2}^{2} - V_{1}^{2}) A$.
मान रखने पर:
$F = \frac{1}{2} \times 1 \times (65^{2} - 50^{2}) \times 50$.
$F = 25 \times (4225 - 2500) = 25 \times 1725 = 43125 \; N$.
चूंकि विमान समतल उड़ान में है,लिफ्ट बल विमान के वजन को संतुलित करता है:
$F = mg \implies m = \frac{F}{g}$.
$m = \frac{43125}{9.8} \approx 4400.51 \; kg$.
निकटतम मान लेने पर,विमान का द्रव्यमान $4400 \; kg$ है।

(C) प्रति इकाई समय में पानी की स्थितिज ऊर्जा टर्बाइन के लिए पावर इनपुट है।
पावर इनपुट $P_{in} = \frac{mgh}{t} = \rho V g h$,जहाँ $\rho$ पानी का घनत्व $(10^{3}\; kg/m^{3})$,$V$ आयतन प्रवाह दर $(100\; m^{3}/s)$,$g$ गुरुत्वीय त्वरण $(9.8\; m/s^{2})$ और $h$ ऊँचाई $(300\; m)$ है।
$P_{in} = 10^{3} \times 100 \times 9.8 \times 300 = 294 \times 10^{6}\; W = 294\; MW$.
उपलब्ध विद्युत शक्ति आउटपुट पावर है,जो दक्षता और इनपुट पावर का गुणनफल है।
$P_{out} = \eta \times P_{in} = 0.60 \times 294\; MW$.
$P_{out} = 176.4\; MW$.

(N/A) मान लीजिए कि एक असंपीड्य,श्यानता-रहित तरल एक परिवर्तित अनुप्रस्थ काट और ऊंचाई वाले पाइप से बह रहा है।
इनलेट पर (बिंदु $B$):
- अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $= A_1$
- तरल की गति $= v_1$
- दबाव $= P_1$
आउटलेट पर (बिंदु $D$):
- अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $= A_2$
- तरल की गति $= v_2$
- दबाव $= P_2$
एक छोटे समय अंतराल $\Delta t$ में,इनलेट पर तरल $v_1 \Delta t$ की दूरी तय करता है। प्रवेश करने वाले तरल का आयतन $\Delta V = A_1 v_1 \Delta t$ है। इनलेट पर दबाव बल द्वारा किया गया कार्य $W_1 = F_1 \times (v_1 \Delta t) = P_1 A_1 v_1 \Delta t = P_1 \Delta V$ है।
इसी प्रकार,आउटलेट पर,दबाव के विरुद्ध तरल द्वारा किया गया कार्य $W_2 = P_2 A_2 v_2 \Delta t = P_2 \Delta V$ है। दबाव द्वारा किया गया कुल कार्य $W = W_1 - W_2 = (P_1 - P_2) \Delta V$ है।
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,यह कुल कार्य इनलेट से आउटलेट तक जाने वाले तरल द्रव्यमान $\Delta m = \rho \Delta V$ की गतिज ऊर्जा में परिवर्तन और स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन के योग के बराबर होता है:
$W = \Delta K + \Delta U$
$(P_1 - P_2) \Delta V = \frac{1}{2} \Delta m (v_2^2 - v_1^2) + \Delta m g (h_2 - h_1)$
$\Delta V$ से विभाजित करने और $\Delta m / \Delta V = \rho$ प्रतिस्थापित करने पर:
$P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2) + \rho g (h_2 - h_1)$
पुनर्व्यवस्थित करने पर बर्नौली का समीकरण प्राप्त होता है:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2$
अतः,$P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{स्थिरांक}$।

(N/A) बर्नौली का सिद्धांत बहते हुए द्रव के लिए ऊर्जा संरक्षण के नियम पर आधारित है।
मान लीजिए कि एक द्रव बदलते अनुप्रस्थ काट और ऊंचाई वाले पाइप से बह रहा है।
मान लीजिए कि इनलेट पर दबाव,क्षेत्रफल,वेग और ऊंचाई $P_1, A_1, v_1, h_1$ हैं और आउटलेट पर संबंधित मान $P_2, A_2, v_2, h_2$ हैं।
सांतत्य समीकरण के अनुसार,$\Delta t$ समय में एक सिरे से प्रवेश करने वाले द्रव का आयतन दूसरे सिरे से बाहर निकलने वाले आयतन के बराबर होता है: $\Delta V = A_1 v_1 \Delta t = A_2 v_2 \Delta t$.
इनलेट पर दबाव द्वारा किया गया कार्य: $W_1 = F_1 \Delta x_1 = P_1 A_1 (v_1 \Delta t) = P_1 \Delta V$.
आउटलेट पर दबाव द्वारा किया गया कार्य: $W_2 = -F_2 \Delta x_2 = -P_2 A_2 (v_2 \Delta t) = -P_2 \Delta V$ (ऋणात्मक क्योंकि यह प्रवाह का विरोध करता है)।
दबाव द्वारा किया गया कुल कार्य: $W = (P_1 - P_2) \Delta V$.
गतिज ऊर्जा में परिवर्तन: $\Delta K = \frac{1}{2} m (v_2^2 - v_1^2) = \frac{1}{2} (\rho \Delta V) (v_2^2 - v_1^2)$.
स्थितिज ऊर्जा में परिवर्तन: $\Delta U = mg(h_2 - h_1) = (\rho \Delta V) g (h_2 - h_1)$.
कार्य-ऊर्जा प्रमेय के अनुसार,$W = \Delta K + \Delta U$.
$(P_1 - P_2) \Delta V = \frac{1}{2} \rho \Delta V (v_2^2 - v_1^2) + \rho \Delta V g (h_2 - h_1)$.
$\Delta V$ से विभाजित करने और पदों को व्यवस्थित करने पर:
$P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2$.
अतः,$P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho g h = \text{नियतांक}$।

(N/A) $(i)$ बर्नौली का प्रमेय ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है,जिसमें यह माना जाता है कि घर्षण के कारण कोई ऊर्जा नष्ट नहीं होती है। लेकिन वास्तव में,जब तरल पदार्थ बहते हैं,तो आंतरिक घर्षण (श्यानता) के कारण ऊर्जा का ह्रास होता है। तरल की विभिन्न परतों के बीच कार्य करने वाले श्यान बल ऊर्जा की हानि का कारण बनते हैं।
$(ii)$ यह प्रमेय मानता है कि तरल असंपीड्य (incompressible) है। व्यवहार में,तरल की प्रत्यास्थ ऊर्जा को ध्यान में नहीं रखा जाता है,जो संपीड्य तरल पदार्थों के लिए प्रमेय की प्रयोज्यता को सीमित करता है।
$(iii)$ यह प्रमेय स्थिर और धारा रेखीय प्रवाह की धारणा पर आधारित है। यह अशांत (turbulent) प्रवाह को ध्यान में नहीं रखता है,जहाँ किसी बिंदु पर वेग और दबाव समय के साथ बेतरतीब ढंग से बदलते रहते हैं।

(N/A) बर्नौली का समीकरण इस प्रकार है:
$P_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} + \rho g h_{1} = P_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2} + \rho g h_{2}$
जब तरल स्थिर होता है,तो प्रत्येक बिंदु पर उसका वेग शून्य होता है। इसलिए,हम समीकरण में $v_{1} = 0$ और $v_{2} = 0$ रखते हैं:
$P_{1} + \rho g h_{1} = P_{2} + \rho g h_{2}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P_{1} - P_{2} = \rho g(h_{2} - h_{1})$
यह स्थिर तरल में हाइड्रोस्टेटिक दबाव के परिवर्तन को दर्शाता है।

(N/A) नहीं,बर्नौली का समीकरण अस्थिर नहीं है। इसे विशेष रूप से तरल के स्थिर (steady),असंपीड्य (incompressible),श्यानता-रहित (non-viscous) और अघूर्णी (irrotational) प्रवाह के लिए व्युत्पन्न किया गया है।
$1$. स्थिर प्रवाह: तरल में किसी भी बिंदु पर वेग,दबाव और घनत्व समय के सापेक्ष स्थिर रहते हैं।
$2$. असंपीड्य: तरल का घनत्व स्थिर रहता है।
$3$. श्यानता-रहित: तरल में कोई आंतरिक घर्षण या श्यानता नहीं होती है।
$4$. अघूर्णी: तरल के कण अपनी धुरी पर नहीं घूमते हैं।
चूंकि इस व्युत्पत्ति में यह माना गया है कि प्रवाह के पैरामीटर समय के साथ नहीं बदलते हैं,इसलिए यह समीकरण केवल स्थिर प्रवाह स्थितियों पर ही लागू होता है।

(N/A) बर्नौली का समीकरण इस धारणा पर आधारित है कि प्रवाह स्थिर (steady) और धारा रेखीय (streamline) है,जहाँ किसी भी बिंदु पर वेग और दबाव समय के साथ स्थिर रहते हैं। अशांत प्रवाह में,किसी भी बिंदु पर वेग $(v)$ और दबाव $(P)$ अनियमित रूप से उतार-चढ़ाव करते हैं और समय के साथ लगातार बदलते रहते हैं। इसलिए,अशांत प्रवाह में बर्नौली के समीकरण के व्युत्पन्न के लिए आवश्यक शर्तें पूरी नहीं होती हैं।

(N/A) बर्नौली का समीकरण एक आदर्श तरल की धारणा पर आधारित है। इसकी सीमाएँ निम्नलिखित हैं:
$1$. यह केवल असंपीड्य (incompressible),श्यानता-रहित (non-viscous) और धारा-रेखीय (steady) प्रवाह के लिए मान्य है।
$2$. यह तरल की परतों के बीच श्यानता या घर्षण के कारण होने वाली ऊर्जा की हानि को ध्यान में नहीं रखता है।
$3$. यह तरल प्रवाह के दौरान ऊष्मा के रूप में नष्ट होने वाली ऊर्जा की उपेक्षा करता है।
बर्नौली के समीकरण के उपयोग निम्नलिखित हैं:
$1$. इसका उपयोग बहिःस्राव के वेग (Torricelli's Law) की गणना करने के लिए किया जाता है।
$2$. यह वेंचुरी मीटर के कार्य सिद्धांत को समझाता है,जिसका उपयोग तरल के प्रवाह की दर को मापने के लिए किया जाता है।
$3$. यह हवाई जहाज के पंखों पर लगने वाले वायुगतिकीय उत्थापन (aerodynamic lift) को समझाता है।
$4$. इसका उपयोग एटमाइज़र और बुनसेन बर्नर के डिज़ाइन में किया जाता है।

(N/A) वेंचुरी-मीटर एक उपकरण है जिसका उपयोग असंपीड्य तरल (incompressible fluid) के प्रवाह की गति को मापने के लिए किया जाता है।
बनावट:
इसमें एक नली होती है जिसका व्यास चौड़ा होता है और बीच में एक छोटा संकुचित भाग होता है,जिसे 'थ्रोट' (throat) कहा जाता है,जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। इससे एक $U$-आकार की नली वाला मैनोमीटर जुड़ा होता है,जिसका एक सिरा नली के चौड़े भाग पर और दूसरा सिरा थ्रोट पर होता है।
कार्यप्रणाली:
मैनोमीटर में $\rho_{m}$ घनत्व वाला तरल भरा होता है। मान लीजिए कि बहने वाले तरल का घनत्व $\rho$ है।
बिंदु $1$ पर,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $A$ है और तरल का वेग $v_{1}$ है। बिंदु $2$ (थ्रोट) पर,अनुप्रस्थ काट का क्षेत्रफल $a$ है और तरल का वेग $v_{2}$ है।
सांतत्य समीकरण (equation of continuity) के अनुसार:
$A v_{1} = a v_{2}$
$\therefore v_{2} = \frac{A v_{1}}{a}$
बिंदु $1$ और $2$ पर बर्नौली का समीकरण लागू करने पर (क्षैतिज प्रवाह मानते हुए,$h_{1} = h_{2}$):
$P_{1} + \frac{1}{2} \rho v_{1}^{2} = P_{2} + \frac{1}{2} \rho v_{2}^{2}$
$\therefore P_{1} - P_{2} = \frac{1}{2} \rho (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$
मैनोमीटर रीडिंग से,दबाव का अंतर इस प्रकार दिया जाता है:
$P_{1} - P_{2} = \rho_{m} g h$
दबाव के अंतर के लिए दोनों समीकरणों की तुलना करने पर:
$\rho_{m} g h = \frac{1}{2} \rho (v_{2}^{2} - v_{1}^{2})$
$v_{2} = \frac{A v_{1}}{a}$ का मान प्रतिस्थापित करने पर प्रवाह वेग $v_{1}$ की गणना की जा सकती है।

(N/A) ऑटोमोबाइल का कार्बोरेटर एक वेंचुरी चैनल (नोजल) का उपयोग करता है,जिससे हवा बहुत तेज गति से बहती है।
बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,जैसे-जैसे वेंचुरी की संकरी गर्दन में हवा की गति बढ़ती है,दबाव कम हो जाता है।
इस संकरी गर्दन पर कम दबाव ईंधन कक्ष से पेट्रोल को हवा की धारा में खींचता है,जिससे इंजन में दहन के लिए आवश्यक हवा-ईंधन का सही मिश्रण तैयार होता है।
बन्सेन बर्नर,एटमाइज़र,परफ्यूम स्प्रेयर और कीटनाशक स्प्रेयर जैसे उपकरण भी इसी सिद्धांत पर काम करते हैं।
स्प्रे पंप में,पिस्टन हवा को तरल कंटेनर से जुड़ी नली के खुले सिरे पर उच्च गति से धकेलता है। यह नली के शीर्ष पर कम दबाव का क्षेत्र बनाता है,जिससे तरल ऊपर उठता है और हवा की धारा के साथ बाहर स्प्रे हो जाता है।

(N/A) बर्नौली का सिद्धांत बताता है कि एक असंपीड्य, अश्यान और धारा रेखीय प्रवाह के लिए, प्रति इकाई आयतन में दाब ऊर्जा, गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग स्थिर रहता है।
मानव परिसंचरण तंत्र में, धमनियों की आंतरिक दीवारों पर प्लाक (वसा) जमा होने के कारण वे संकुचित हो सकती हैं।
सांतत्य समीकरण $(A_1v_1 = A_2v_2)$ के अनुसार, जब धमनी का अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल $(A)$ कम हो जाता है, तो रक्त प्रवाह का वेग $(v)$ बढ़ जाता है।
बर्नौली के सिद्धांत $(P + \frac{1}{2}\rho v^2 + \rho gh = \text{constant})$ को लागू करने पर, जैसे ही संकुचित क्षेत्र में रक्त का वेग बढ़ता है, आंतरिक द्रव दाब $(P)$ कम हो जाता है।
यदि आंतरिक दाब काफी कम हो जाता है, तो आसपास के ऊतकों का बाहरी दाब धमनी को पिचकने (collapse) के लिए मजबूर कर सकता है।
हृदय तब इस संकुचन के माध्यम से रक्त को धकेलने के लिए अतिरिक्त दबाव डालता है। जैसे ही रक्त इस संकीर्ण मार्ग से तेजी से गुजरता है, उच्च वेग के कारण दाब फिर से गिर जाता है।
संकुचन और दाब में गिरावट का यह चक्र धमनी के पूर्ण अवरोध का कारण बन सकता है, जिसके परिणामस्वरूप दिल का दौरा (हार्ट अटैक) पड़ता है।

(N/A) $(i)$ बिना स्पिन के गति करती गेंद:
जब कोई गेंद बिना स्पिन किए किसी तरल में गति करती है,तो तरल की स्ट्रीमलाइन गेंद के ऊपर और नीचे सममित होती हैं। गेंद के ऊपर और नीचे के संगत बिंदुओं पर तरल का वेग समान होता है,जिसके परिणामस्वरूप बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार शून्य दाबांतर होता है। इसलिए,हवा गेंद पर कोई शुद्ध ऊपर या नीचे का बल नहीं लगाती है।
$(ii)$ स्पिन के साथ गति करती गेंद:
जब कोई गेंद घूमती है,तो वह श्यानता के कारण हवा को अपनी सतह के साथ खींचती है। यदि सतह खुरदरी है,तो अधिक हवा खिंचती है।
मान लीजिए कि एक गेंद हवा में गति करते समय दक्षिणावर्त (clockwise) घूम रही है। जिस तरफ घूर्णन हवा के प्रवाह की दिशा में होता है,वहां हवा का वेग बढ़ जाता है। विपरीत दिशा में,जहां घूर्णन हवा के प्रवाह का विरोध करता है,वहां हवा का वेग कम हो जाता है।
बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,उच्च तरल वेग वाले क्षेत्रों में दबाव कम होता है,और कम तरल वेग वाले क्षेत्रों में दबाव अधिक होता है।
परिणामस्वरूप,गेंद के ऊपर स्ट्रीमलाइन की भीड़ उच्च वेग और कम दबाव का संकेत देती है,जबकि गेंद के नीचे विरल स्ट्रीमलाइन कम वेग और उच्च दबाव का संकेत देती हैं। यह दाबांतर गेंद पर ऊपर की ओर एक शुद्ध बल पैदा करता है,जिससे वह अपने सीधे पथ से विचलित हो जाती है। इस घटना को मैग्नस प्रभाव (Magnus effect) कहा जाता है।

(N/A) एरोफॉयल एक विशेष आकार की ठोस वस्तु है जिसे इस तरह से डिज़ाइन किया गया है कि जब यह हवा जैसे तरल पदार्थ में क्षैतिज रूप से गति करती है,तो यह ऊपर की ओर एक गतिशील लिफ्ट (dynamic lift) उत्पन्न करती है।
हवाई जहाज के पंख का अनुप्रस्थ काट (cross-section) एक एरोफॉयल जैसा होता है,जो इसके चारों ओर बहने वाली हवा की स्ट्रीमलाइन्स को प्रभावित करता है।
जब एरोफॉयल हवा के विपरीत दिशा में गति करता है,तो प्रवाह की दिशा के सापेक्ष इसके झुकाव के कारण पंख के ऊपर की स्ट्रीमलाइन्स नीचे की तुलना में अधिक घनी हो जाती हैं।
बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,चूंकि पंख के ऊपर स्ट्रीमलाइन्स एक-दूसरे के करीब होती हैं,इसलिए ऊपरी सतह पर प्रवाह की गति निचली सतह की तुलना में अधिक होती है।
प्रवाह की गति में यह अंतर दबाव का अंतर पैदा करता है (नीचे अधिक दबाव और ऊपर कम दबाव),जो गतिशील लिफ्ट नामक एक ऊपर की ओर बल उत्पन्न करता है,जो हवाई जहाज के वजन को संतुलित करने में मदद करता है।

(N/A) एयरफ़ोइल एक विशिष्ट आकार की ठोस वस्तु है। हवा में इसकी क्षैतिज गति के कारण इस पर ऊपर की दिशा में एक बल कार्य करता है।
हवाई जहाज के पंख का अनुप्रस्थ काट (cross-section) एक एयरफ़ोइल जैसा होता है। इसके चारों ओर की धारा-रेखाएँ (streamlines) चित्र में दर्शाई गई हैं।
जब एयरफ़ोइल हवा के विरुद्ध गति करता है,तो पंख के झुकाव (orientation) के कारण पंख के ऊपर की धारा-रेखाएँ नीचे की तुलना में अधिक घनी हो जाती हैं। इसलिए,पंख के ऊपर हवा की गति नीचे की गति से अधिक होती है।
बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार,जैसे-जैसे हवा की गति बढ़ती है,दबाव कम हो जाता है। परिणामस्वरूप,एयरफ़ोइल के नीचे का वायु दाब ऊपर के वायु दाब से अधिक हो जाता है।
दबाव में इस अंतर के कारण पंखों पर ऊपर की ओर एक बल कार्य करता है,जिसे डायनेमिक लिफ्ट कहा जाता है,जो हवाई जहाज के वजन को संतुलित करता है।

(N/A) बर्नौली का सिद्धांत बताता है कि एक असंपीड्य (incompressible),श्यानताहीन (non-viscous) और धारा रेखीय प्रवाह वाले तरल के लिए,दाब ऊर्जा,प्रति इकाई आयतन गतिज ऊर्जा और प्रति इकाई आयतन स्थितिज ऊर्जा का योग धारा रेखा के अनुदिश नियत रहता है।
इसका गणितीय सूत्र है:
$P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{constant}$
जहाँ:
$P$ = तरल का दाब
$\rho$ = तरल का घनत्व
$v$ = तरल का वेग
$g$ = गुरुत्वीय त्वरण
$h$ = संदर्भ स्तर से तरल की ऊँचाई

(B) बर्नौली का समीकरण तरल प्रवाह की प्रकृति के बारे में कई प्रमुख मान्यताओं पर आधारित है।
$1$. तरल असंपीड़्य होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि पूरे प्रवाह के दौरान इसका घनत्व स्थिर रहता है।
$2$. तरल अश्यान (आदर्श) होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि श्यानता के कारण कोई आंतरिक घर्षण या ऊर्जा की हानि नहीं होती है।
$3$. प्रवाह स्थिर होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि किसी भी बिंदु पर वेग समय के साथ नहीं बदलता है।
$4$. प्रवाह अघूर्णी होना चाहिए।
इसलिए,बर्नौली का समीकरण असंपीड़्य और अश्यान तरल पर लागू होता है।

(N/A) बर्नौली के समीकरण की सीमाएँ निम्नलिखित हैं:
$(i)$ तरल श्यानता-रहित (non-viscous) होना चाहिए (अर्थात,आंतरिक घर्षण नगण्य होना चाहिए)।
$(ii)$ तरल असंपीड्य (incompressible) होना चाहिए (अर्थात,तरल का घनत्व स्थिर रहना चाहिए)।
$(iii)$ तरल का प्रवाह धारा-रेखीय (streamline) होना चाहिए,विक्षुब्ध (turbulent) नहीं।
$(iv)$ तरल का प्रवाह अघूर्णी (irrotational) होना चाहिए (अर्थात,तरल कणों का उनके केंद्रों के परितः कोई नेट कोणीय वेग नहीं होना चाहिए)।

(N/A) बर्नौली के समीकरण की सीमाएँ निम्नलिखित हैं:
$1$. यह समीकरण केवल असंपीड्य (incompressible) तरल पदार्थों के लिए मान्य है,जिसका अर्थ है कि तरल का घनत्व स्थिर रहता है।
$2$. यह मानता है कि प्रवाह स्थिर (steady) है,जिसका अर्थ है कि किसी भी बिंदु पर वेग,दबाव और घनत्व समय के साथ नहीं बदलते हैं।
$3$. यह केवल अश्यान (non-viscous/ideal) तरल पदार्थों पर लागू होता है,जहाँ आंतरिक घर्षण या श्यानता की उपेक्षा की जाती है।
$4$. यह मानता है कि प्रवाह अघूर्णी (irrotational) है,जिसका अर्थ है कि तरल कणों का कोई शुद्ध कोणीय वेग नहीं है।
$5$. यह प्रवाह के दौरान घर्षण या विक्षोभ (turbulence) के कारण होने वाली ऊर्जा की हानि को ध्यान में नहीं रखता है।

(N/A) वेंचुरी मीटर एक उपकरण है जिसका उपयोग पाइप के माध्यम से बहने वाले असंपीड्य (incompressible) तरल के प्रवाह की दर को मापने के लिए किया जाता है।
यह बर्नौली के प्रमेय के सिद्धांत पर कार्य करता है।
इसमें पाइप में एक संकुचन या 'थ्रोट' (throat) होता है,जो पाइप के चौड़े हिस्से और संकीर्ण थ्रोट के बीच दबाव का अंतर पैदा करता है।
मैनोमीटर का उपयोग करके इस दबाव के अंतर को मापकर,तरल के वेग और आयतन प्रवाह दर (volume flow rate) की गणना की जा सकती है।

(A) वेंचुरी-मीटर में,मान लीजिए $A_1$ चौड़े भाग का क्षेत्रफल है और $a_2$ संकीर्ण भाग (गले) का क्षेत्रफल है। मान लीजिए $v_1$ चौड़े भाग में द्रव का वेग है और $v_2$ गले में वेग है।
सांतत्य समीकरण के अनुसार,$A_1 v_1 = a_2 v_2$,जिसका अर्थ है $v_2 = \frac{A_1}{a_2} v_1$.
दोनों खंडों पर बर्नौली का समीकरण लागू करने पर: $P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2$.
दाब का अंतर $P_1 - P_2 = \rho gh$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $h$ मैनोमीटर में द्रव स्तंभ की ऊँचाई का अंतर है।
$v_2$ का मान रखने पर: $P_1 - P_2 = \frac{1}{2} \rho (v_2^2 - v_1^2) = \frac{1}{2} \rho [(\frac{A_1}{a_2} v_1)^2 - v_1^2]$.
$v_1$ के लिए हल करने पर: $2gh = v_1^2 [(\frac{A_1}{a_2})^2 - 1] = v_1^2 [\frac{A_1^2 - a_2^2}{a_2^2}]$.
अतः,$v_1 = \frac{a_2}{\sqrt{A_1^2 - a_2^2}} \sqrt{2gh}$.

(D) एक आदर्श तरल के धारा रेखीय प्रवाह में,बर्नौली के सिद्धांत के अनुसार प्रति इकाई द्रव्यमान (या प्रति इकाई आयतन) कुल ऊर्जा संरक्षित रहती है।
इसमें उपस्थित तीन प्रकार की ऊर्जाएँ निम्नलिखित हैं:
$(1)$ गतिज ऊर्जा: तरल कणों की गति के कारण।
$(2)$ स्थितिज ऊर्जा: गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में तरल की ऊँचाई या स्थिति के कारण।
$(3)$ दाब ऊर्जा: तरल को गति प्रदान करने के लिए दाब बलों द्वारा किए गए कार्य के कारण।

(B) बर्नौली का समीकरण तरल प्रवाह के लिए कार्य-ऊर्जा प्रमेय से प्राप्त किया जाता है।
यह बताता है कि एक असंपीड्य,अश्यान और धारा रेखीय प्रवाह के लिए,प्रति इकाई आयतन में दाब ऊर्जा,गतिज ऊर्जा और स्थितिज ऊर्जा का योग धारा रेखा के साथ स्थिर रहता है।
इसलिए,यह ऊर्जा संरक्षण के सिद्धांत पर आधारित है।