Fundamental trigonometrical ratios and functions, Trigonometrical ratio of allied angles Questions in Gujarati

(B) પ્રથમ,દરેક ત્રિકોણમિતીય પદને રિડક્શન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીને સરળ બનાવો:
$ \sin(3\pi - \alpha) = \sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha $
$ \cos(3\pi + \alpha) = -\cos \alpha $
$ \sin(\frac{3\pi}{2} - \alpha) = -\cos \alpha $
$ \cos(\frac{5\pi}{2} - \alpha) = \cos(\frac{\pi}{2} - \alpha) = \sin \alpha $
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$ [1 - \sin \alpha - \cos \alpha] [1 - (-\cos \alpha) + \sin \alpha ] $
$ = [1 - (\sin \alpha + \cos \alpha)] [1 + (\sin \alpha + \cos \alpha)] $
$ (a - b)(a + b) = a^2 - b^2 $ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$ = 1^2 - (\sin \alpha + \cos \alpha)^2 $
$ = 1 - (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha) $
$ = 1 - (1 + \sin 2\alpha) $
$ = - \sin 2\alpha $

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે વિધેય $f(x) = sin\ x$ એ અંતરાલ $[0^{\circ}, 90^{\circ}]$ માં વધતું વિધેય છે.
$90^{\circ}$ થી મોટા ખૂણાઓ માટે,આપણે નિત્યસમ $sin\ \theta = sin(180^{\circ} - \theta)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
તેથી,$sin\ 95^{\circ} = sin(180^{\circ} - 95^{\circ}) = sin\ 85^{\circ}$.
હવે આપણે $sin\ 85^{\circ}$,$sin\ 63^{\circ}$ અને $sin\ 1^{\circ}$ ની સરખામણી કરીએ.
કારણ કે $85^{\circ} > 63^{\circ} > 1^{\circ}$ અને સાઈન વિધેય પ્રથમ ચરણમાં વધતું હોવાથી,આપણને $sin\ 85^{\circ} > sin\ 63^{\circ} > sin\ 1^{\circ}$ મળે છે.
તેથી,$sin\ 95^{\circ} > sin\ 63^{\circ} > sin\ 1^{\circ}$.

(D) આપેલ છે કે $\sin \left( x + \frac{4\pi}{9} \right) = a$.
આપણે $\cos \left( x + \frac{7\pi}{9} \right)$ શોધવાનું છે.
નોંધો કે $\frac{7\pi}{9} = \frac{4\pi}{9} + \frac{\pi}{3}$.
તેથી,$\cos \left( x + \frac{7\pi}{9} \right) = \cos \left( \left( x + \frac{4\pi}{9} \right) + \frac{\pi}{3} \right)$.
સૂત્ર $\cos(A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \left( \left( x + \frac{4\pi}{9} \right) + \frac{\pi}{3} \right) = \cos \left( x + \frac{4\pi}{9} \right) \cos \frac{\pi}{3} - \sin \left( x + \frac{4\pi}{9} \right) \sin \frac{\pi}{3}$.
અંતરાલ $\frac{\pi}{9} < x < \frac{\pi}{3}$ માટે,$\cos \left( x + \frac{4\pi}{9} \right) = -\sqrt{1 - a^2}$ થશે.
કિંમતો મૂકતા:
$-\sqrt{1 - a^2} \cdot \frac{1}{2} - a \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{-\sqrt{1 - a^2} - a\sqrt{3}}{2}$.

(D) આપેલ પદાવલિ $E = \frac{\sin 81^o + \cos 81^o}{\sin 81^o - \cos 81^o}$ છે.
અંશ અને છેદને $\cos 81^o$ વડે ભાગતા:
$E = \frac{\tan 81^o + 1}{\tan 81^o - 1}$.
અંશ અને છેદને $-1$ વડે ગુણતા:
$E = \frac{1 + \tan 81^o}{1 - \tan 81^o}$.
$\tan(A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $A = 45^o$ અને $B = 81^o$:
$E = \tan(45^o + 81^o) = \tan 126^o$.
વૈકલ્પિક રીતે,$\sin 81^o = \cos 9^o$ અને $\cos 81^o = \sin 9^o$ હોવાથી:
$E = \frac{\cos 9^o + \sin 9^o}{\cos 9^o - \sin 9^o} = \frac{1 + \tan 9^o}{1 - \tan 9^o} = \tan(45^o + 9^o) = \tan 54^o$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta + \cos \theta = \sqrt{2} \sin(\theta + 45^{\circ})$.
$A$ માટે,$\theta = 45^{\circ}$,તેથી $A = \sqrt{2} \sin(45^{\circ} + 45^{\circ}) = \sqrt{2} \sin 90^{\circ} = \sqrt{2}(1) = \sqrt{2}$.
$B$ માટે,$\theta = 44^{\circ}$,તેથી $B = \sqrt{2} \sin(44^{\circ} + 45^{\circ}) = \sqrt{2} \sin 89^{\circ}$.
કારણ કે $\sin 89^{\circ} < \sin 90^{\circ}$,તેથી $\sqrt{2} \sin 89^{\circ} < \sqrt{2} \sin 90^{\circ}$.
તેથી,$B < A$ અથવા $A > B$.

(A) ધારો કે પદાવલિ $E = \sqrt{\frac{1 - \sin \alpha}{1 + \sin \alpha}} - \sqrt{\frac{1 + \sin \alpha}{1 - \sin \alpha}}$ છે.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$E = \frac{|1 - \sin \alpha| - |1 + \sin \alpha|}{\sqrt{\cos^2 \alpha}}$
$E = \frac{(1 - \sin \alpha) - (1 + \sin \alpha)}{|\cos \alpha|}$
$E = \frac{-2 \sin \alpha}{|\cos \alpha|}$.
બીજા ચરણમાં $\cos \alpha < 0$ હોવાથી,$|\cos \alpha| = -\cos \alpha$ થાય.
$E = \frac{-2 \sin \alpha}{-\cos \alpha} = 2 \tan \alpha$.

(A) ચક્રીય ચતુષ્કોણમાં,સામસામેના ખૂણાઓનો સરવાળો $180^{\circ}$ થાય છે. તેથી,$A + C = 180^{\circ}$ અને $B + D = 180^{\circ}$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(180^{\circ} + A) = -\cos A$
$\cos(180^{\circ} - B) = -\cos B$
$\cos(180^{\circ} - C) = -\cos C$
$\sin(90^{\circ} - D) = \cos D$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$-\cos A - \cos B - \cos C - \cos D = -(\cos A + \cos C) - (\cos B + \cos D)$
કારણ કે $C = 180^{\circ} - A$,તેથી $\cos C = \cos(180^{\circ} - A) = -\cos A$,એટલે કે $\cos A + \cos C = 0$.
તે જ રીતે,$D = 180^{\circ} - B$,તેથી $\cos D = \cos(180^{\circ} - B) = -\cos B$,એટલે કે $\cos B + \cos D = 0$.
તેથી,પદાવલિની કિંમત $-(0) - (0) = 0$ થાય છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$.
$\sin \frac{7\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{\pi}{8}) = \sin \frac{\pi}{8}$
$\sin \frac{5\pi}{8} = \sin(\pi - \frac{3\pi}{8}) = \sin \frac{3\pi}{8}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\text{પદાવલિ} = \sin ^2 \frac{\pi}{8} + \sin ^2 \frac{3\pi}{8} + \sin ^2 \frac{3\pi}{8} + \sin ^2 \frac{\pi}{8}$
$= 2(\sin ^2 \frac{\pi}{8} + \sin ^2 \frac{3\pi}{8})$
કારણ કે $\sin \frac{3\pi}{8} = \sin(\frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}) = \cos \frac{\pi}{8}$,તેથી:
$= 2(\sin ^2 \frac{\pi}{8} + \cos ^2 \frac{\pi}{8})$
નિત્યસમ $\sin ^2 \theta + \cos ^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= 2(1) = 2$

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ radian} \approx 57.295^\circ$.
$\sin 1 \text{ rad} = \sin 57.295^\circ \approx 0.841$
$\sin 2 \text{ rad} = \sin 114.591^\circ = \sin(180^\circ - 114.591^\circ) = \sin 65.409^\circ \approx 0.909$
$\sin 3 \text{ rad} = \sin 171.887^\circ = \sin(180^\circ - 171.887^\circ) = \sin 8.113^\circ \approx 0.141$
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $0.141 < 0.841 < 0.909$.
તેથી,$\sin 3 < \sin 1 < \sin 2$.

(C) $\cos 255^o + \sin 195^o$ ધ્યાનમાં લો.
રિડક્શન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 255^o = \cos(270^o - 15^o) = -\sin 15^o$.
$\sin 195^o = \sin(180^o + 15^o) = -\sin 15^o$.
તેથી,પદાવલિ નીચે મુજબ થશે:
$-\sin 15^o - \sin 15^o = -2 \sin 15^o$.
$\sin 15^o = \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}}$ કિંમત મૂકતા:
$-2 \left( \frac{\sqrt{3} - 1}{2\sqrt{2}} \right) = -\frac{\sqrt{3} - 1}{\sqrt{2}}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $180^{\circ} = \pi \text{ રેડિયન}$.
પ્રથમ,$40^{\circ} 20^{\prime}$ ને અંશમાં ફેરવો:
$20^{\prime} = (\frac{20}{60})^{\circ} = (\frac{1}{3})^{\circ}$.
તેથી,$40^{\circ} 20^{\prime} = (40 + \frac{1}{3})^{\circ} = (\frac{120+1}{3})^{\circ} = (\frac{121}{3})^{\circ}$.
હવે,અંશને $\frac{\pi}{180}$ વડે ગુણીને રેડિયનમાં ફેરવો:
$\text{રેડિયન માપ} = (\frac{121}{3}) \times \frac{\pi}{180} = \frac{121 \pi}{540} \text{ રેડિયન}$.
તેથી,$40^{\circ} 20^{\prime} = \frac{121 \pi}{540} \text{ રેડિયન}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\pi \text{ રેડિયન} = 180^{\circ}$.
તેથી,$6 \text{ રેડિયન} = \frac{180}{\pi} \times 6 \text{ અંશ} = \frac{1080 \times 7}{22} \text{ અંશ} \approx 343.6363^{\circ}$.
દશાંશ ભાગને મિનિટમાં ફેરવતા: $0.6363^{\circ} = 0.6363 \times 60^{\prime} = 38.1818^{\prime} = 38^{\prime} + 0.1818^{\prime}$.
બાકીના દશાંશ ભાગને સેકન્ડમાં ફેરવતા: $0.1818^{\prime} = 0.1818 \times 60^{\prime \prime} \approx 10.9^{\prime \prime} \approx 11^{\prime \prime}$.
આમ,$6 \text{ રેડિયન} \approx 343^{\circ} 38^{\prime} 11^{\prime \prime}$.

(B) ધારો કે $r_{1}$ અને $r_{2}$ એ બે વર્તુળોની ત્રિજ્યાઓ છે અને $l$ એ બંને કિસ્સામાં ચાપની લંબાઈ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે ચાપની લંબાઈનું સૂત્ર $l = r \theta$ છે,જ્યાં $\theta$ રેડિયનમાં છે.
આપેલ છે કે $\theta_{1} = 65^{\circ}$ અને $\theta_{2} = 110^{\circ}$.
ચાપની લંબાઈ સમાન હોવાથી,$l = r_{1} \theta_{1} = r_{2} \theta_{2}$.
તેથી,$\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{\theta_{2}}{\theta_{1}}$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{110^{\circ}}{65^{\circ}} = \frac{110}{65} = \frac{22}{13}$.
આમ,તેમની ત્રિજ્યાઓનો ગુણોત્તર $22: 13$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $180^{\circ} = \pi \text{ રેડિયન}$.
તેથી,$1^{\circ} = \frac{\pi}{180} \text{ રેડિયન}$.
$25^{\circ}$ ને રેડિયનમાં ફેરવવા માટે,આપણે $\frac{\pi}{180}$ વડે ગુણાકાર કરીશું:
$25^{\circ} = 25 \times \frac{\pi}{180} \text{ રેડિયન}$.
અંશ અને છેદને $5$ વડે ભાગતા:
$25^{\circ} = \frac{5 \pi}{36} \text{ રેડિયન}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1^{\circ} = 60^{\prime}$,તેથી $30^{\prime} = (\frac{30}{60})^{\circ} = 0.5^{\circ}$.
આમ,$-47^{\circ} 30^{\prime} = -(47 + 0.5)^{\circ} = -47.5^{\circ} = -\frac{95}{2}^{\circ}$.
કારણ કે $180^{\circ} = \pi \text{ રેડિયન}$,તેથી $1^{\circ} = \frac{\pi}{180} \text{ રેડિયન}$.
તેથી,$-\frac{95}{2}^{\circ} = (-\frac{95}{2}) \times \frac{\pi}{180} \text{ રેડિયન}$.
પદને સાદું રૂપ આપતા: $(-\frac{95}{360}) \pi = -\frac{19}{72} \pi \text{ રેડિયન}$.
આમ,$-47^{\circ} 30^{\prime} = -\frac{19}{72} \pi \text{ રેડિયન}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $180^{\circ} = \pi \text{ રેડિયન}$.
અંશને રેડિયનમાં ફેરવવા માટે,આપણે આ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: $\text{રેડિયન માપ} = \text{અંશ માપ} \times \frac{\pi}{180^{\circ}}$.
તેથી,$240^{\circ} = 240 \times \frac{\pi}{180} \text{ રેડિયન}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા: $\frac{240}{180} \pi = \frac{4}{3} \pi \text{ રેડિયન}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $180^{\circ} = \pi \text{ રેડિયન}$.
અંશ માપને રેડિયનમાં ફેરવવા માટે,આપણે અંશ માપને $\frac{\pi}{180}$ વડે ગુણીએ છીએ.
$\therefore 520^{\circ} = 520 \times \frac{\pi}{180} \text{ રેડિયન}$.
$= \frac{520}{180} \pi \text{ રેડિયન}$.
$= \frac{52}{18} \pi \text{ રેડિયન} = \frac{26 \pi}{9} \text{ રેડિયન}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\pi \text{ રેડિયન} = 180^{\circ}$.
$\therefore \frac{11}{16} \text{ રેડિયન} = \frac{180}{\pi} \times \frac{11}{16} \text{ અંશ}$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા: $\frac{180 \times 7}{22} \times \frac{11}{16} = \frac{315}{8} \text{ અંશ}$.
$= 39 \frac{3}{8} \text{ અંશ} = 39^{\circ} + \frac{3}{8} \times 60^{\prime} \quad [\because 1^{\circ} = 60^{\prime}]$.
$= 39^{\circ} + 22.5^{\prime} = 39^{\circ} + 22^{\prime} + 0.5 \times 60^{\prime \prime} \quad [\because 1^{\prime} = 60^{\prime \prime}]$.
$= 39^{\circ} 22^{\prime} 30^{\prime \prime}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\pi \text{ રેડિયન} = 180^{\circ}$.
$-4 \text{ રેડિયન} = \frac{180}{\pi} \times (-4) \text{ અંશ}$.
$\pi = \frac{22}{7}$ લેતા:
$= \frac{180 \times 7 \times (-4)}{22} \text{ અંશ} = \frac{-2520}{11} \text{ અંશ} = -229 \frac{1}{11} \text{ અંશ}$.
$= -229^{\circ} + \left( \frac{1}{11} \times 60 \right) \text{ મિનિટ} \quad [\because 1^{\circ} = 60^{\prime}]$.
$= -229^{\circ} + 5 \frac{5}{11} \text{ મિનિટ} = -229^{\circ} 5^{\prime} + \left( \frac{5}{11} \times 60 \right) \text{ સેકન્ડ} \quad [\because 1^{\prime} = 60^{\prime \prime}]$.
$= -229^{\circ} 5^{\prime} + 27.27^{\prime \prime} \approx -229^{\circ} 5^{\prime} 27^{\prime \prime}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ રેડિયન} = \left( \frac{180}{\pi} \right)^{\circ}$.
તેથી,$\frac{5 \pi}{3}$ રેડિયનને અંશમાં ફેરવવા માટે,આપણે તેને $\frac{180}{\pi}$ વડે ગુણીશું:
$\text{અંશ માપ} = \frac{5 \pi}{3} \times \left( \frac{180}{\pi} \right)^{\circ}$
$= \frac{5}{3} \times 180^{\circ}$
$= 5 \times 60^{\circ}$
$= 300^{\circ}$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\pi \text{ રેડિયન} = 180^{\circ}$.
રેડિયનને અંશમાં ફેરવવા માટે,આપણે $\frac{180}{\pi}$ વડે ગુણાકાર કરીએ છીએ.
$\frac{7 \pi}{6} \text{ રેડિયન} = \frac{7 \pi}{6} \times \frac{180}{\pi}^{\circ}$.
$= \frac{7}{6} \times 180^{\circ}$.
$= 7 \times 30^{\circ} = 210^{\circ}$.

(B) પૈડા દ્વારા $1$ મિનિટમાં કરવામાં આવતા પરિભ્રમણની સંખ્યા $= 360$.
$1$ મિનિટ $= 60$ સેકન્ડ હોવાથી,$1$ સેકન્ડમાં પૈડા દ્વારા કરવામાં આવતા પરિભ્રમણની સંખ્યા $= \frac{360}{60} = 6$.
એક પૂર્ણ પરિભ્રમણમાં,પૈડું $2 \pi$ રેડિયન જેટલો ખૂણો ફરે છે.
તેથી,$6$ પૂર્ણ પરિભ્રમણમાં,તે $6 \times 2 \pi = 12 \pi$ રેડિયન જેટલો ખૂણો ફરશે.
આમ,એક સેકન્ડમાં,પૈડું $12 \pi$ રેડિયન જેટલો ખૂણો ફરે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળમાં,જો $l$ લંબાઈનો ચાપ કેન્દ્ર આગળ $\theta$ રેડિયનનો ખૂણો આંતરે,તો $\theta = \frac{l}{r}$.
અહીં $r = 100 \, cm$ અને $l = 22 \, cm$ આપેલ છે,તેથી:
$\theta = \frac{22}{100} \, \text{રેડિયન}$.
રેડિયનને અંશમાં ફેરવવા માટે,આપણે $1 \, \text{રેડિયન} = \frac{180^{\circ}}{\pi}$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\theta = \frac{22}{100} \times \frac{180}{\pi} \, \text{અંશ}$.
$\pi = \frac{22}{7}$ મુકતા:
$\theta = \frac{22}{100} \times 180 \times \frac{7}{22} = \frac{180 \times 7}{100} = \frac{1260}{100} = 12.6^{\circ}$.
$0.6^{\circ}$ ને મિનિટમાં ફેરવતા:
$0.6^{\circ} = 0.6 \times 60^{\prime} = 36^{\prime}$.
આમ,માંગેલ ખૂણો $12^{\circ} 36^{\prime}$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r$ એકમ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળમાં,જો $l$ એકમ લંબાઈનો ચાપ કેન્દ્ર પર $\theta$ રેડિયનનો ખૂણો આંતરે,તો $\theta = \frac{l}{r}$ થાય.
અહીં લોલકની લંબાઈ $r = 75 \, cm$ અને ચાપની લંબાઈ $l = 10 \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\theta = \frac{10}{75} \, {\text{રેડિયન}}$.
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા,$\theta = \frac{2}{15} \, {\text{રેડિયન}}$ મળે છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r$ એકમ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળમાં,જો $l$ એકમ લંબાઈનો ચાપ કેન્દ્ર આગળ $\theta$ રેડિયનનો ખૂણો આંતરે,તો $\theta = \frac{l}{r}$ થાય.
અહીં લોલકની લંબાઈ $r = 75\, cm$ અને ચાપની લંબાઈ $l = 15\, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\theta = \frac{15}{75} \text{ radian}$.
$\theta = \frac{1}{5} \text{ radian}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $r$ ત્રિજ્યા ધરાવતા વર્તુળમાં,જો $l$ લંબાઈનો ચાપ કેન્દ્ર પર $\theta$ રેડિયનનો ખૂણો આંતરે,તો $\theta = \frac{l}{r}$ થાય.
અહીં લોલકની લંબાઈ $r = 75 \, cm$ અને ચાપની લંબાઈ $l = 21 \, cm$ આપેલ છે.
સૂત્રમાં કિંમતો મૂકતા:
$\theta = \frac{21}{75} \, \text{રેડિયન}$.
અંશ અને છેદને $3$ વડે ભાગતા:
$\theta = \frac{7}{25} \, \text{રેડિયન}$.

આપેલ છે $\cos x = -\frac{3}{5}$.
$\sec x = \frac{1}{\cos x}$ હોવાથી,$\sec x = -\frac{5}{3}$ મળે.
નિત્યસમ $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^2 x = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
તેથી,$\sin x = \pm \frac{4}{5}$.
$x$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$\sin x$ ઋણ હોય,તેથી $\sin x = -\frac{4}{5}$.
પરિણામે,$\csc x = \frac{1}{\sin x} = -\frac{5}{4}$.
હવે,$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-4/5}{-3/5} = \frac{4}{3}$.
અંતે,$\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{3}{4}$.

(A) આપેલ છે કે $\cot x = -\frac{5}{12}$. $x$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\tan x = \frac{1}{\cot x} = -\frac{12}{5}$.
નિત્યસમ $\sec^2 x = 1 + \tan^2 x = 1 + (-\frac{12}{5})^2 = 1 + \frac{144}{25} = \frac{169}{25}$ નો ઉપયોગ કરતા.
$x$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\sec x$ ઋણ હશે,તેથી $\sec x = -\frac{13}{5}$.
પરિણામે,$\cos x = \frac{1}{\sec x} = -\frac{5}{13}$.
હવે,$\sin x = \tan x \cdot \cos x = (-\frac{12}{5}) \cdot (-\frac{5}{13}) = \frac{12}{13}$.
અંતે,$\csc x = \frac{1}{\sin x} = \frac{13}{12}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin x$ નું મૂલ્ય $2 \pi$ ના અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે.
તેથી,આપણે લખી શકીએ:
$\sin \frac{31 \pi}{3} = \sin \left( 10 \pi + \frac{\pi}{3} \right)$
કારણ કે $\sin(2n \pi + \theta) = \sin \theta$ કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે,આપણી પાસે છે:
$\sin \left( 10 \pi + \frac{\pi}{3} \right) = \sin \frac{\pi}{3}$
અંતે,મૂલ્ય છે:
$\sin \frac{\pi}{3} = \frac{\sqrt{3}}{2}$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(x)$ ની કિંમત $2\pi$ અથવા $360^{\circ}$ ના અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે.
તેથી,$\cos \left(-1710^{\circ}\right) = \cos \left(-1710^{\circ} + n \times 360^{\circ}\right)$.
$-1710^{\circ}$ સાથે સુસંગત સૌથી નાનો ધન ખૂણો શોધવા માટે,આપણે $360^{\circ}$ ના ગુણાંક ઉમેરીએ છીએ:
$-1710^{\circ} + 5 \times 360^{\circ} = -1710^{\circ} + 1800^{\circ} = 90^{\circ}$.
આમ,$\cos \left(-1710^{\circ}\right) = \cos(90^{\circ})$.
કારણ કે $\cos(90^{\circ}) = 0$,તેથી કિંમત $0$ છે.

આપેલ છે $\cos x = -\frac{1}{2}$.
$\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{(-1/2)} = -2$.
નિત્યસમ $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - (-1/2)^2 = 1 - 1/4 = 3/4$.
$x$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$\sin x$ ઋણ હશે.
$\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\csc x = \frac{1}{\sin x} = -\frac{2}{\sqrt{3}}$.
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-\sqrt{3}/2}{-1/2} = \sqrt{3}$.
$\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

આપેલ છે $\sin x = \frac{3}{5}$.
$\csc x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{\left(\frac{3}{5}\right)} = \frac{5}{3}$.
નિત્યસમ $\sin^{2} x + \cos^{2} x = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos^{2} x = 1 - \sin^{2} x = 1 - \left(\frac{3}{5}\right)^{2} = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
$x$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\cos x$ ઋણ થશે:
$\cos x = -\frac{4}{5}$.
$\sec x = \frac{1}{\cos x} = \frac{1}{(-\frac{4}{5})} = -\frac{5}{4}$.
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{(\frac{3}{5})}{(-\frac{4}{5})} = -\frac{3}{4}$.
$\cot x = \frac{1}{\tan x} = -\frac{4}{3}$.

આપેલ છે $\cot x = \frac{3}{4}$.
$\tan x = \frac{1}{\cot x} = \frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$.
નિત્યસમ $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 + (4/3)^2 = \sec^2 x$
$1 + \frac{16}{9} = \sec^2 x$
$\frac{25}{9} = \sec^2 x$
$\sec x = \pm \frac{5}{3}$.
$x$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$\sec x$ ઋણ થશે:
$\sec x = -\frac{5}{3}$.
$\cos x = \frac{1}{\sec x} = -\frac{3}{5}$.
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ હોવાથી,$\sin x = \tan x \cdot \cos x$:
$\sin x = \left(\frac{4}{3}\right) \cdot \left(-\frac{3}{5}\right) = -\frac{4}{5}$.
$\csc x = \frac{1}{\sin x} = -\frac{5}{4}$.

(N/A) આપેલ છે $\sec x = \frac{13}{5}$.
$\cos x = \frac{1}{\sec x}$ હોવાથી,$\cos x = \frac{5}{13}$ મળે.
નિત્યસમ $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin^2 x = 1 - \cos^2 x = 1 - (\frac{5}{13})^2 = 1 - \frac{25}{169} = \frac{144}{169}$ મળે.
તેથી,$\sin x = \pm \frac{12}{13}$.
$x$ ચોથા ચરણમાં હોવાથી,$\sin x$ ઋણ હોય,તેથી $\sin x = -\frac{12}{13}$.
હવે,$\csc x = \frac{1}{\sin x} = -\frac{13}{12}$.
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-12/13}{5/13} = -\frac{12}{5}$.
$\cot x = \frac{1}{\tan x} = -\frac{5}{12}$.

આપેલ છે $\tan x = -\frac{5}{12}$.
$\cot x = \frac{1}{\tan x} = \frac{1}{(-\frac{5}{12})} = -\frac{12}{5}$.
નિત્યસમ $1 + \tan^2 x = \sec^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$1 + (-\frac{5}{12})^2 = \sec^2 x$
$1 + \frac{25}{144} = \sec^2 x$
$\frac{169}{144} = \sec^2 x$
$\sec x = \pm \frac{13}{12}$.
$x$ એ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\sec x$ ઋણ થશે.
$\therefore \sec x = -\frac{13}{12}$.
$\cos x = \frac{1}{\sec x} = \frac{1}{(-\frac{13}{12})} = -\frac{12}{13}$.
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ હોવાથી:
$\sin x = \tan x \times \cos x = (-\frac{5}{12}) \times (-\frac{12}{13}) = \frac{5}{13}$.
$\csc x = \frac{1}{\sin x} = \frac{1}{(\frac{5}{13})} = \frac{13}{5}$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin x$ ની કિંમતો $360^{\circ}$ ના અંતરાલ પછી પુનરાવર્તિત થાય છે.
$\sin 765^{\circ} = \sin (2 \times 360^{\circ} + 45^{\circ})$
$\sin (n \times 360^{\circ} + \theta) = \sin \theta$ હોવાથી,
$\sin 765^{\circ} = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય વિધેય $\csc(x)$ નું આવર્તમાન $360^{\circ}$ છે.
તેથી,$\csc(-1410^{\circ}) = \csc(-1410^{\circ} + n \times 360^{\circ})$.
$n = 4$ માટે,$-1410^{\circ} + 4 \times 360^{\circ} = -1410^{\circ} + 1440^{\circ} = 30^{\circ}$ મળે છે.
આમ,$\csc(-1410^{\circ}) = \csc(30^{\circ})$.
$\csc(30^{\circ}) = \frac{1}{\sin(30^{\circ})} = \frac{1}{1/2} = 2$ થાય છે.

(A) ટેન્જેન્ટ વિધેય $\tan x$ નો આવર્તમાન $\pi$ છે.
આપણે $\frac{19 \pi}{3}$ ને $6 \pi + \frac{\pi}{3}$ તરીકે લખી શકીએ છીએ.
$\tan(n \pi + \theta) = \tan \theta$ ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,જ્યાં $n \in \mathbb{Z}$:
$\tan \frac{19 \pi}{3} = \tan \left(6 \pi + \frac{\pi}{3}\right) = \tan \frac{\pi}{3}$.
કારણ કે $\tan \frac{\pi}{3} = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$,તેથી કિંમત $\sqrt{3}$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે સાઈન વિધેયનું આવર્તમાન $2\pi$ છે. તેથી,કોઈપણ પૂર્ણાંક $n$ માટે $\sin(x + 2n\pi) = \sin(x)$ થાય.
$\sin \left(-\frac{11 \pi}{3}\right) = \sin \left(-\frac{11 \pi}{3} + 4\pi\right)$
$= \sin \left(\frac{-11\pi + 12\pi}{3}\right)$
$= \sin \left(\frac{\pi}{3}\right)$
$= \frac{\sqrt{3}}{2}$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે ત્રિકોણમિતીય વિધેય $\cot(x)$ નું આવર્તમાન $\pi$ છે.
$\therefore \cot \left(-\frac{15 \pi}{4}\right) = \cot \left(-\frac{15 \pi}{4} + 4 \pi\right)$
$= \cot \left(\frac{-15 \pi + 16 \pi}{4}\right)$
$= \cot \left(\frac{\pi}{4}\right)$
$= 1$

(N/A) આપણી પાસે $L.H.S. = 3 \sin \frac{\pi}{6} \sec \frac{\pi}{3} - 4 \sin \frac{5 \pi}{6} \cot \frac{\pi}{4}$ છે.
કિંમતો મૂકતા $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$,$\sec \frac{\pi}{3} = 2$,$\sin \frac{5 \pi}{6} = \sin(\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$,અને $\cot \frac{\pi}{4} = 1$:
$L.H.S. = 3 \times \frac{1}{2} \times 2 - 4 \times \frac{1}{2} \times 1$
$L.H.S. = 3 - 2 = 1$
આમ,$L.H.S. = R.H.S. = 1$,તેથી સાબિત થાય છે.

(N/A) આપણે $L.H.S$ થી શરૂઆત કરીએ: $\sin ^{2} \frac{\pi}{6}+\cos ^{2} \frac{\pi}{3}-\tan ^{2} \frac{\pi}{4}$
પ્રમાણિત ત્રિકોણમિતીય મૂલ્યો મૂકતા: $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$,$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,અને $\tan \frac{\pi}{4} = 1$
$= (\frac{1}{2})^{2} + (\frac{1}{2})^{2} - (1)^{2}$
$= \frac{1}{4} + \frac{1}{4} - 1$
$= \frac{2}{4} - 1 = \frac{1}{2} - 1 = -\frac{1}{2}$
$= R.H.S$
આમ,નિત્યસમ સાબિત થાય છે.

$L.H.S. = 2 \sin ^{2} \frac{\pi}{6} + \csc ^{2} \frac{7 \pi}{6} \cos ^{2} \frac{\pi}{3}$
$= 2 \left( \frac{1}{2} \right)^{2} + \csc ^{2} \left( \pi + \frac{\pi}{6} \right) \left( \frac{1}{2} \right)^{2}$
$= 2 \times \frac{1}{4} + \left( -\csc \frac{\pi}{6} \right)^{2} \left( \frac{1}{4} \right)$
$= \frac{1}{2} + (-2)^{2} \left( \frac{1}{4} \right)$
$= \frac{1}{2} + \frac{4}{4} = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2}$
$= R.H.S.$

(N/A) $L.H.S. = \cot ^{2} \frac{\pi}{6} + \csc \frac{5 \pi}{6} + 3 \tan ^{2} \frac{\pi}{6}$
$= (\sqrt{3})^{2} + \csc \left(\pi - \frac{\pi}{6}\right) + 3 \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^{2}$
$= 3 + \csc \frac{\pi}{6} + 3 \times \frac{1}{3}$
$= 3 + 2 + 1 = 6$
$= R.H.S.$

(N/A) $L.H.S. = 2 \sin ^{2} \frac{3 \pi}{4} + 2 \cos ^{2} \frac{\pi}{4} + 2 \sec ^{2} \frac{\pi}{3}$
$= 2 \left\{ \sin \left( \pi - \frac{\pi}{4} \right) \right\}^{2} + 2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2} + 2 (2)^{2}$
$= 2 \left( \sin \frac{\pi}{4} \right)^{2} + 2 \times \frac{1}{2} + 2(4)$
$= 2 \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2} + 1 + 8$
$= 2 \left( \frac{1}{2} \right) + 1 + 8$
$= 1 + 1 + 8 = 10$
$= R.H.S.$

(N/A) અમે $L.H.S.$ થી શરૂ કરીએ છીએ: $\frac{\cos (\pi+x) \cos (-x)}{\sin (\pi-x) \cos (\frac{\pi}{2}+x)}$
સંબંધિત ખૂણાઓના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos (\pi+x) = -\cos x$
$\cos (-x) = \cos x$
$\sin (\pi-x) = \sin x$
$\cos (\frac{\pi}{2}+x) = -\sin x$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \frac{(-\cos x)(\cos x)}{(\sin x)(-\sin x)}$
$= \frac{-\cos^{2} x}{-\sin^{2} x}$
$= \frac{\cos^{2} x}{\sin^{2} x}$
$= \cot^{2} x = R.H.S.$

(N/A) $L.H.S. = \cos \left(\frac{3 \pi}{2}+x\right) \cos (2 \pi+x) \left[\cot \left(\frac{3 \pi}{2}-x\right)+\cot (2 \pi+x)\right]$
સંબંધિત ખૂણાઓના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \left(\frac{3 \pi}{2}+x\right) = \sin x$
$\cos (2 \pi+x) = \cos x$
$\cot \left(\frac{3 \pi}{2}-x\right) = \tan x$
$\cot (2 \pi+x) = \cot x$
આ કિંમતો મૂકતા:
$= \sin x \cos x [\tan x + \cot x]$
$= \sin x \cos x \left(\frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{\sin x}\right)$
$= \sin x \cos x \left[\frac{\sin^2 x + \cos^2 x}{\sin x \cos x}\right]$
$= \sin^2 x + \cos^2 x = 1 = R.H.S.$

(B) ધારો કે $\angle A = \theta$.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $\text{ar}(\triangle ABC) = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \theta$ છે.
$\triangle ADE$ નું ક્ષેત્રફળ $\text{ar}(\triangle ADE) = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot \sin \theta$ છે.
તેથી,ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર:
$\frac{\text{ar}(\triangle ABC)}{\text{ar}(\triangle ADE)} = \frac{\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin \theta}{\frac{1}{2} \cdot AD \cdot AE \cdot \sin \theta} = \frac{AB}{AD} \times \frac{AC}{AE}$.
આપેલ છે કે $AD : AB = 3 : 5$,તેથી $\frac{AB}{AD} = \frac{5}{3}$.
આપેલ છે કે $AE : AC = 2 : 3$,તેથી $\frac{AC}{AE} = \frac{3}{2}$.
આમ,ગુણોત્તર $\frac{5}{3} \times \frac{3}{2} = \frac{5}{2} = 2.5$ છે.
કિંમત $2.5$ એ અંતરાલ $\left(2, \frac{5}{2}\right]$ માં આવે છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) આપેલ છે કે $\sin x = -\frac{3}{5}$ અને $\pi < x < \frac{3\pi}{2}$ (જે ત્રીજું ચરણ છે).
ત્રીજા ચરણમાં $\tan x$ ધન છે અને $\cos x$ ઋણ છે.
$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^2 x = 1 - (-\frac{3}{5})^2 = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$\cos x = -\frac{4}{5}$.
હવે,$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4}$.
તેથી,$\tan^2 x = (\frac{3}{4})^2 = \frac{9}{16}$.
આ કિંમતોને $80(\tan^2 x - \cos x)$ માં મૂકતા:
$80(\frac{9}{16} - (-\frac{4}{5})) = 80(\frac{9}{16} + \frac{4}{5})$.
$= 80(\frac{45 + 64}{80}) = 45 + 64 = 109$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 36^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ અને $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{3(\frac{\sqrt{5}+1}{4}) + 5(\frac{\sqrt{5}-1}{4})}{5(\frac{\sqrt{5}+1}{4}) - 3(\frac{\sqrt{5}-1}{4})} = \frac{3\sqrt{5}+3+5\sqrt{5}-5}{5\sqrt{5}+5-3\sqrt{5}+3} = \frac{8\sqrt{5}-2}{2\sqrt{5}+8} = \frac{4\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+4}$.
છેદનું સંમેયીકરણ કરતા:
$\frac{4\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}+4} \times \frac{4-\sqrt{5}}{4-\sqrt{5}} = \frac{16\sqrt{5}-20-4+\sqrt{5}}{16-5} = \frac{17\sqrt{5}-24}{11}$.
આને $\frac{a\sqrt{5}-b}{c}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a=17, b=24, c=11$ મળે છે.
અહીં $\gcd(17, 11)=1$ હોવાથી,આ કિંમતો યોગ્ય છે.
તેથી,$a+b+c = 17+24+11 = 52$.