Fundamental trigonometrical ratios and functions, Trigonometrical ratio of allied angles Questions in Gujarati

(B) ધારો કે બે બિંદુઓ $P = (\cos \alpha, \sin \alpha)$ અને $Q = (\cos (\pi+\alpha), \sin (\pi+\alpha))$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos (\pi+\alpha) = -\cos \alpha$ અને $\sin (\pi+\alpha) = -\sin \alpha$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $Q = (-\cos \alpha, -\sin \alpha)$ મળે છે.
આને $Q = -(\cos \alpha, \sin \alpha) = -P$ તરીકે લખી શકાય છે.
આમ,બિંદુઓ વિરુદ્ધ દિશા ધરાવે છે.

(C) આપેલ છે કે $\cot (A+B) = 0$.
$\cot \theta = 0$ ત્યારે થાય જ્યારે $\theta = (2n+1) \frac{\pi}{2}$,તેથી $A+B = \frac{\pi}{2}$ (સરળતા માટે $n=0$ લેતા).
આમ,$B = \frac{\pi}{2} - A$.
હવે,$B$ ની કિંમત $\sin (A+2B)$ માં મૂકતા:
$\sin (A + 2(\frac{\pi}{2} - A)) = \sin (A + \pi - 2A) = \sin (\pi - A)$.
નિત્યસમ $\sin (\pi - \theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin (\pi - A) = \sin A$ મળે છે.

(B) આપેલ છે $\sec x + \tan x = 3$ $(1)$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 x - \tan^2 x = 1$
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\sec x - \tan x)(\sec x + \tan x) = 1$
$(1)$ ની કિંમત મુકતા,$\sec x - \tan x = \frac{1}{3}$ $(2)$
$(1)$ અને $(2)$ નો સરવાળો કરતા,$2 \sec x = 3 + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$
તેથી,$\sec x = \frac{5}{3}$,જેનો અર્થ છે કે $\cos x = \frac{3}{5}$
$x \in (0, \frac{\pi}{2})$ હોવાથી,$\sin x$ ધન છે.
$\sin x = \sqrt{1 - \cos^2 x} = \sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} = \sqrt{\frac{16}{25}} = \frac{4}{5}$

(B) ત્રિકોણમિતીય વિધેયોના વિસ્તાર નીચે મુજબ છે:
$1$. $\sin \theta$ અને $\cos \theta$ માટે,કિંમત $[-1, 1]$ અંતરાલમાં હોવી જોઈએ.
$2$. $\sec \theta$ અને $\csc \theta$ માટે,કિંમત $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ માં હોવી જોઈએ.
$3$. $\tan \theta$ અને $\cot \theta$ માટે,કિંમત કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા $(R)$ હોઈ શકે છે.
વિકલ્પો તપાસતા:
- વિકલ્પ $A$: $\sec \theta = 23$ શક્ય છે કારણ કે $23 \in (-\infty, -1] \cup [1, \infty)$.
- વિકલ્પ $B$: $\cos \theta = \sqrt{2} \approx 1.414$. $1.414 > 1$ હોવાથી,આ કિંમત $[-1, 1]$ ની બહાર છે. તેથી,$\cos \theta = \sqrt{2}$ નો કોઈ ઉકેલ નથી.
- વિકલ્પ $C$: $\tan \theta = 2019$ શક્ય છે કારણ કે $\tan \theta$ નો વિસ્તાર $R$ છે.
- વિકલ્પ $D$: $\sin \theta = -\frac{1}{5} = -0.2$ શક્ય છે કારણ કે $-0.2 \in [-1, 1]$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(B) આપેલ સમીકરણ: $\sin x \cos x = \frac{1}{4}$.
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા: $2 \sin x \cos x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
નિત્યસમ $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin 2x = \frac{1}{2}$ મળે.
$x \in \left(0, \frac{\pi}{2}\right)$ હોવાથી,$2x \in (0, \pi)$ થાય.
$(0, \pi)$ માં $2x$ માટેના ઉકેલો $2x = \frac{\pi}{6}$ અને $2x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$ છે.
તેથી,$x = \frac{\pi}{12}$ અને $x = \frac{5\pi}{12}$ મળે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sin ^2(-160^{\circ})}{\sin ^2 70^{\circ}} + \frac{\sin (180^{\circ}-\theta)}{\sin \theta}$
$\sin(-\alpha) = -\sin(\alpha)$ હોવાથી,$\sin^2(-160^{\circ}) = (-\sin 160^{\circ})^2 = \sin^2 160^{\circ}$ થાય.
વળી,$\sin(180^{\circ}-\theta) = \sin \theta$ થાય.
તેથી,પદાવલિ $\frac{\sin^2 160^{\circ}}{\sin^2 70^{\circ}} + \frac{\sin \theta}{\sin \theta} = \frac{\sin^2(180^{\circ}-20^{\circ})}{\sin^2 70^{\circ}} + 1$ બને છે.
$\sin(180^{\circ}-\alpha) = \sin \alpha$ હોવાથી,$\sin 160^{\circ} = \sin 20^{\circ}$ થાય.
આમ,$\frac{\sin^2 20^{\circ}}{\sin^2 70^{\circ}} + 1 = \frac{\sin^2 20^{\circ}}{\cos^2 20^{\circ}} + 1 = \tan^2 20^{\circ} + 1 = \sec^2 20^{\circ}$ મળે.

(B) ધારો કે $A = 18^{\circ}$. તેથી $5A = 90^{\circ}$,જેનો અર્થ છે કે $2A = 90^{\circ} - 3A$.
બંને બાજુ સાઈન લેતા,$\sin 2A = \sin(90^{\circ} - 3A) = \cos 3A$.
ડબલ એંગલ અને ટ્રિપલ એંગલના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$2 \sin A \cos A = 4 \cos^3 A - 3 \cos A$.
$\cos 18^{\circ} \neq 0$ હોવાથી,આપણે $\cos A$ વડે ભાગી શકીએ:
$2 \sin A = 4 \cos^2 A - 3$.
$\cos^2 A = 1 - \sin^2 A$ મૂકતા:
$2 \sin A = 4(1 - \sin^2 A) - 3$.
$2 \sin A = 4 - 4 \sin^2 A - 3$.
$4 \sin^2 A + 2 \sin A - 1 = 0$.
$\sin A$ માટે દ્વિઘાત સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin A = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4(4)(-1)}}{2(4)} = \frac{-2 \pm \sqrt{20}}{8} = \frac{-2 \pm 2\sqrt{5}}{8} = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{4}$.
$18^{\circ}$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$\sin 18^{\circ} > 0$.
તેથી,$\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.

(D) આપેલ છે કે $\theta = \frac{17 \pi}{3} = 5 \pi + \frac{2 \pi}{3}$.
$\tan(n \pi + x) = \tan x$ અને $\cot(n \pi + x) = \cot x$ હોવાથી,$\tan \theta = \tan \frac{2 \pi}{3} = -\sqrt{3}$ અને $\cot \theta = \cot \frac{2 \pi}{3} = -\frac{1}{\sqrt{3}}$ મળે.
હવે,$(\tan \theta - \cot \theta) = -\sqrt{3} - (-\frac{1}{\sqrt{3}})$ ની ગણતરી કરતા,
$= -\sqrt{3} + \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{-3 + 1}{\sqrt{3}} = \frac{-2}{\sqrt{3}}$.

(A) આપેલ પદાવલિ $\cos 1^{\circ} \cdot \cos 2^{\circ} \cdot \cos 3^{\circ} \dots \cos 90^{\circ} \dots \cos 179^{\circ}$ છે.
$\cos 90^{\circ} = 0$ હોવાથી,આખા ગુણાકારનું મૂલ્ય $0$ થશે કારણ કે કોઈપણ સંખ્યાનો $0$ સાથેનો ગુણાકાર $0$ થાય છે.
તેથી,$\cos 1^{\circ} \cdot \cos 2^{\circ} \cdot \cos 3^{\circ} \dots \cos 179^{\circ} = 0$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$.
આપેલ પદાવલિ $P = \tan 1^{\circ} \tan 2^{\circ} \tan 3^{\circ} \cdots \tan 44^{\circ} \tan 45^{\circ} \tan 46^{\circ} \cdots \tan 88^{\circ} \tan 89^{\circ}$ છે.
આપણે લખી શકીએ કે $\tan 89^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 1^{\circ}) = \cot 1^{\circ}$,$\tan 88^{\circ} = \cot 2^{\circ}$,વગેરે.
તેથી,$P = (\tan 1^{\circ} \cot 1^{\circ}) \times (\tan 2^{\circ} \cot 2^{\circ}) \times \cdots \times (\tan 44^{\circ} \cot 44^{\circ}) \times \tan 45^{\circ}$.
કારણ કે $\tan \theta \times \cot \theta = 1$ અને $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $P = 1 \times 1 \times \cdots \times 1 \times 1 = 1$.

(A) આપેલ છે $\sec \theta = \frac{13}{12}$,તેથી $\cos \theta = \frac{12}{13}$.
$\theta$ એ $4^{\text{th}}$ ચરણમાં હોવાથી,$\sin \theta$ ઋણ છે.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\sin \theta = -\sqrt{1 - (\frac{12}{13})^2} = -\frac{5}{13}$.
હવે,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = -\frac{5}{12}$ અને $\operatorname{cosec} \theta = -\frac{13}{5}$.
કિંમતો મૂકતા: $\tan \theta \times \operatorname{cosec} \theta \times \sin \theta \times \cos \theta = (-\frac{5}{12}) \times (-\frac{13}{5}) \times (-\frac{5}{13}) \times (\frac{12}{13}) = -\frac{5}{13}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^{2} \theta = 1 + \tan^{2} \theta$.
$\tan \theta = 2$ ની કિંમત મૂકતા,$\sec^{2} \theta = 1 + (2)^{2} = 1 + 4 = 5$ મળે.
$\theta$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$\sec \theta$ ઋણ હોય.
તેથી,$\sec \theta = -\sqrt{5}$.

(D) $(a) \sin 120^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$(b) \cos 930^{\circ} = \cos(2 \times 360^{\circ} + 210^{\circ}) = \cos 210^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 30^{\circ}) = -\cos 30^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$(c) \tan 840^{\circ} = \tan(2 \times 360^{\circ} + 120^{\circ}) = \tan 120^{\circ} = \tan(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\tan 60^{\circ} = -\sqrt{3}$
$(d) \cot(-1110^{\circ}) = -\cot(1110^{\circ}) = -\cot(3 \times 360^{\circ} + 30^{\circ}) = -\cot 30^{\circ} = -\sqrt{3}$
મૂલ્યોની સરખામણી કરતા,$(c)$ અને $(d)$ બંને $-\sqrt{3}$ છે.

(A) $\sin 690^{\circ} \times \sec 240^{\circ}$
$= \sin (2 \times 360^{\circ} - 30^{\circ}) \times \sec (180^{\circ} + 60^{\circ})$
$= \sin (-30^{\circ}) \times (-\sec 60^{\circ})$
$= (-\sin 30^{\circ}) \times (-2)$
$= (-\frac{1}{2}) \times (-2) = 1$

(C) આપેલ છે કે $a = \sin 175^{\circ} + \cos 175^{\circ}$.
સંબંધિત ખૂણાઓના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 175^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 5^{\circ}) = \sin 5^{\circ}$
$\cos 175^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 5^{\circ}) = -\cos 5^{\circ}$
તેથી,$a = \sin 5^{\circ} - \cos 5^{\circ}$.
અંતરાલ $0^{\circ} < \theta < 45^{\circ}$ માં,આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin \theta < \cos \theta$.
કારણ કે $5^{\circ}$ આ અંતરાલમાં છે,તેથી $\sin 5^{\circ} < \cos 5^{\circ}$.
આમ,$\sin 5^{\circ} - \cos 5^{\circ} < 0$,જેનો અર્થ છે કે $a < 0$.

(A) આપેલ છે કે $A$ અને $B$ પૂરક ખૂણાઓ છે,તેથી $A + B = 180^{\circ}$.
આનો અર્થ એ છે કે $B = 180^{\circ} - A$,તેથી $\frac{B}{2} = 90^{\circ} - \frac{A}{2}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin^{2} \frac{A}{2} + \sin^{2} (90^{\circ} - \frac{A}{2})$.
નિત્યસમ $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
$\sin^{2} \frac{A}{2} + \cos^{2} \frac{A}{2}$.
કારણ કે $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$,તેથી જવાબ $1$ છે.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
$\tan \frac{2 \pi}{3} = \tan(\pi - \frac{\pi}{3}) = -\tan \frac{\pi}{3} = -\sqrt{3}$.
$\tan \frac{4 \pi}{3} = \tan(\pi + \frac{\pi}{3}) = \tan \frac{\pi}{3} = \sqrt{3}$.
$\tan \frac{8 \pi}{3} = \tan(2 \pi + \frac{2 \pi}{3}) = \tan \frac{2 \pi}{3} = -\sqrt{3}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sqrt{3} + 2(-\sqrt{3}) + 4(\sqrt{3}) + 8(-\sqrt{3})$
$= \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{3} - 8 \sqrt{3}$
$= (1 - 2 + 4 - 8) \sqrt{3}$
$= -5 \sqrt{3}$.

(A) $\sec 2 \theta - \tan 2 \theta = \frac{1}{\cos 2 \theta} - \frac{\sin 2 \theta}{\cos 2 \theta} = \frac{1 - \sin 2 \theta}{\cos 2 \theta}$
$\frac{(\cos \theta - \sin \theta)^2}{\cos^2 \theta - \sin^2 \theta} = \frac{(\cos \theta - \sin \theta)^2}{(\cos \theta - \sin \theta)(\cos \theta + \sin \theta)}$
$= \frac{\cos \theta - \sin \theta}{\cos \theta + \sin \theta} = \frac{1 - \tan \theta}{1 + \tan \theta} = \frac{\tan \frac{\pi}{4} - \tan \theta}{1 + \tan \frac{\pi}{4} \tan \theta}$
$= \tan \left(\frac{\pi}{4} - \theta\right)$

(C) આપેલ છે કે $\sin A - \sin B = 0$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\sin A = \sin B$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $A, B \in (0, \pi)$ માટે,$\sin A = \sin B$ નો અર્થ $A = B$ અથવા $A = \pi - B$ થાય છે.
શરત $A = \pi - B$ એ $A + B = \pi$ ને સમાન છે,જેનો અર્થ છે કે ખૂણાઓ પૂરક છે.
પ્રશ્નમાં આપેલ છે કે ખૂણાઓ પૂરક નથી,તેથી $A = B$ હોવું જોઈએ.

(B) આપણી પાસે છે,$\frac{1-2(\cos 60^{\circ}-\cos 80^{\circ})}{2 \sin 10^{\circ}}$
$= \frac{1-2(\frac{1}{2}-\cos 80^{\circ})}{2 \sin 10^{\circ}}$
$= \frac{1-1+2 \cos 80^{\circ}}{2 \sin 10^{\circ}}$
$= \frac{2 \cos 80^{\circ}}{2 \sin 10^{\circ}}$
$= \frac{\cos(90^{\circ}-10^{\circ})}{\sin 10^{\circ}}$
$= \frac{\sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}} = 1$

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$.
આપેલ પદાવલિ: $\sin^{2} 51^{\circ} + \sin^{2} 39^{\circ}$.
આપણે $39^{\circ}$ ને $(90^{\circ} - 51^{\circ})$ તરીકે લખી શકીએ.
તેથી,$\sin^{2} 39^{\circ} = \sin^{2}(90^{\circ} - 51^{\circ}) = \cos^{2} 51^{\circ}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $\sin^{2} 51^{\circ} + \cos^{2} 51^{\circ}$.
નિત્યસમ $\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1$ મળે છે.

(C) રેડિયનને અંશમાં ફેરવવા માટેનું સૂત્ર: $\text{અંશ} = \text{રેડિયન} \times \frac{180^{\circ}}{\pi}$.
આપેલ ખૂણો $\frac{\pi}{32}$ રેડિયન છે.
$\text{અંશ માપ} = \frac{\pi}{32} \times \frac{180^{\circ}}{\pi} = \frac{180}{32}^{\circ} = \frac{45}{8}^{\circ} = 5 \frac{5}{8}^{\circ}$.
હવે,અપૂર્ણાંક ભાગને મિનિટમાં ફેરવતા: $5^{\circ} + (\frac{5}{8} \times 60)^{\prime} = 5^{\circ} + (\frac{300}{8})^{\prime} = 5^{\circ} + 37.5^{\prime} = 5^{\circ} 37^{\prime} + 0.5^{\prime}$.
બાકીના અપૂર્ણાંક ભાગને સેકન્ડમાં ફેરવતા: $0.5^{\prime} = (0.5 \times 60)^{\prime \prime} = 30^{\prime \prime}$.
આમ,અંતિમ માપ $5^{\circ} 37^{\prime} 30^{\prime \prime}$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\cos 1200^{\circ} + \tan 1485^{\circ}$
$\cos(n \times 360^{\circ} + \theta) = \cos \theta$ અને $\tan(n \times 360^{\circ} + \theta) = \tan \theta$ ના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 1200^{\circ} = \cos(3 \times 360^{\circ} + 120^{\circ}) = \cos 120^{\circ}$
$\tan 1485^{\circ} = \tan(4 \times 360^{\circ} + 45^{\circ}) = \tan 45^{\circ}$
હવે,કિંમતો મેળવતા:
$\cos 120^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 60^{\circ}) = -\cos 60^{\circ} = -\frac{1}{2}$
$\tan 45^{\circ} = 1$
તેથી,$\cos 1200^{\circ} + \tan 1485^{\circ} = -\frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{2}$

(A) દરેક વિકલ્પનું મૂલ્યાંકન કરીએ:
$A$: $\cos 5 \pi = -1$ અને $\cos 4 \pi = 1$. કારણ કે $-1 \neq 1$,આ વિધાન ખોટું છે.
$B$: $\sin 2 \pi = 0$ અને $\sin (-2 \pi) = 0$. આ સાચું છે.
$C$: $\sin 4 \pi = 0$ અને $\sin 6 \pi = 0$. આ સાચું છે.
$D$: $\tan 45^{\circ} = 1$ અને $\tan (-315^{\circ}) = \tan (-315^{\circ} + 360^{\circ}) = \tan 45^{\circ} = 1$. આ સાચું છે.
તેથી,ખોટું વિધાન $A$ છે.

(D) આપેલ વિધેય $y = \tan x$.
$II$ ચરણમાં,ખૂણો $x$ એ $\frac{\pi}{2}$ થી $\pi$ ની વચ્ચે હોય છે.
જેમ $x$ એ $\frac{\pi}{2}^+$ ની નજીક જાય છે,તેમ $\tan x$ એ $-\infty$ ની નજીક જાય છે.
જેમ $x$ એ $\pi^-$ ની નજીક જાય છે,તેમ $\tan x$ એ $0$ ની નજીક જાય છે.
આમ,$x$ વધતા વિધેયની કિંમત $-\infty$ થી $0$ સુધી વધે છે,તેથી $II$ ચરણમાં $y = \tan x$ એ $-\infty$ થી $0$ સુધી વધે છે.

(B) આપેલ પદાવલિ $\frac{\sin 70^{\circ}+\cos 40^{\circ}}{\cos 70^{\circ}+\sin 40^{\circ}}$ છે.
નિત્યસમ $\cos \theta = \sin(90^{\circ}-\theta)$ અને $\sin \theta = \cos(90^{\circ}-\theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{\sin 70^{\circ}+\sin 50^{\circ}}{\cos 70^{\circ}+\cos 50^{\circ}}$
સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રો $\sin C + \sin D = 2 \sin(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ અને $\cos C + \cos D = 2 \cos(\frac{C+D}{2}) \cos(\frac{C-D}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2 \sin 60^{\circ} \cos 10^{\circ}}{2 \cos 60^{\circ} \cos 10^{\circ}}$
$= \frac{\sin 60^{\circ}}{\cos 60^{\circ}} = \tan 60^{\circ} = \sqrt{3}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $(\sin \theta + \cos \theta)(\tan \theta + \cot \theta)$
$= (\sin \theta + \cos \theta) \left( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta} \right)$
$= (\sin \theta + \cos \theta) \left( \frac{\sin^2 \theta + \cos^2 \theta}{\sin \theta \cos \theta} \right)$
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી:
$= (\sin \theta + \cos \theta) \left( \frac{1}{\sin \theta \cos \theta} \right)$
$= \frac{\sin \theta}{\sin \theta \cos \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin \theta \cos \theta}$
$= \frac{1}{\cos \theta} + \frac{1}{\sin \theta}$
$= \sec \theta + \operatorname{cosec} \theta$

(C) $\sin \theta$ અને $\cos \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે. $\sec \theta$ નો વિસ્તાર $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ છે. $\tan \theta$ નો વિસ્તાર $(-\infty, \infty)$ છે.
$(a)$ $\sin \theta = \frac{a^{2}+b^{2}}{a^{2}-b^{2}}$ માટે,જો આપણે $a=2, b=1$ લઈએ,તો $\sin \theta = \frac{5}{3} > 1$ થાય,જે શક્ય નથી.
$(b)$ $\sec \theta = \frac{4}{5} = 0.8$ માટે,જે શક્ય નથી કારણ કે $|\sec \theta| \geq 1$.
$(c)$ $\tan \theta = 45$ માટે,આ શક્ય છે કારણ કે $\tan \theta$ નો વિસ્તાર તમામ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ છે.
$(d)$ $\cos \theta = \frac{7}{3} > 1$ માટે,જે શક્ય નથી.
તેથી,વિકલ્પ $(c)$ સાચો છે.

(C) ધારો કે $x = 67 \frac{1}{2}^{\circ} = 67.5^{\circ}$. આપણે $\tan 67.5^{\circ} + \cot 67.5^{\circ}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નિત્યસમ $\tan \theta + \cot \theta = \frac{2}{\sin 2\theta}$ નો ઉપયોગ કરતા.
અહીં,$\theta = 67.5^{\circ}$,તેથી $2\theta = 135^{\circ}$.
આમ,$\tan 67.5^{\circ} + \cot 67.5^{\circ} = \frac{2}{\sin 135^{\circ}}$.
કારણ કે $\sin 135^{\circ} = \sin 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
તેથી,કિંમત $\frac{2}{1/\sqrt{2}} = 2 \sqrt{2}$ થાય.

(B) આપણી પાસે છે,$\sin ^{2} 17.5^{\circ} + \sin ^{2} 72.5^{\circ}$
કારણ કે $\sin(90^{\circ} - \theta) = \cos \theta$,તેથી $\sin(72.5^{\circ}) = \sin(90^{\circ} - 17.5^{\circ}) = \cos(17.5^{\circ})$.
તેથી,$\sin ^{2} 17.5^{\circ} + \sin ^{2} 72.5^{\circ} = \sin ^{2} 17.5^{\circ} + \cos ^{2} 17.5^{\circ}$.
નિત્યસમ $\sin ^{2} \theta + \cos ^{2} \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $1$ મળે છે.
કારણ કે $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી $\tan ^{2} 45^{\circ} = 1^{2} = 1$.
આમ,આ પદાવલિ $\tan ^{2} 45^{\circ}$ ને સમાન છે.

(B) આપણને આપેલ પદાવલિ: $\tan 1^{\circ} \tan 2^{\circ} \tan 3^{\circ} \ldots \tan 89^{\circ}$ છે.
ગુણધર્મ $\tan(90^{\circ} - \theta) = \cot \theta$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે $46^{\circ}$ થી $89^{\circ}$ સુધીના પદોને આ રીતે લખી શકીએ:
$\tan 89^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 1^{\circ}) = \cot 1^{\circ}$
$\tan 88^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 2^{\circ}) = \cot 2^{\circ}$
$\dots$
$\tan 46^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 44^{\circ}) = \cot 44^{\circ}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$= (\tan 1^{\circ} \cot 1^{\circ}) \times (\tan 2^{\circ} \cot 2^{\circ}) \times \dots \times (\tan 44^{\circ} \cot 44^{\circ}) \times \tan 45^{\circ}$.
કારણ કે $\tan \theta \cot \theta = 1$ અને $\tan 45^{\circ} = 1$,તેથી પદાવલિ:
$= 1 \times 1 \times \dots \times 1 \times 1 = 1$ થાય.

(B) આપેલ પદ: $\tan \left(1^{\circ}\right)+\tan \left(89^{\circ}\right)$
કારણ કે $\tan \left(90^{\circ}-\theta\right)=\cot \theta$,તેથી $\tan \left(89^{\circ}\right)=\tan \left(90^{\circ}-1^{\circ}\right)=\cot \left(1^{\circ}\right)$
તેથી,પદ આ મુજબ થશે: $\tan \left(1^{\circ}\right)+\cot \left(1^{\circ}\right)$
$= \frac{\sin \left(1^{\circ}\right)}{\cos \left(1^{\circ}\right)}+\frac{\cos \left(1^{\circ}\right)}{\sin \left(1^{\circ}\right)}$
$= \frac{\sin^2 \left(1^{\circ}\right)+\cos^2 \left(1^{\circ}\right)}{\sin \left(1^{\circ}\right) \cos \left(1^{\circ}\right)}$
$= \frac{1}{\sin \left(1^{\circ}\right) \cos \left(1^{\circ}\right)}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$= \frac{2}{2 \sin \left(1^{\circ}\right) \cos \left(1^{\circ}\right)}$
નિત્યસમ $\sin \left(2\theta\right)=2 \sin \theta \cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{2}{\sin \left(2^{\circ}\right)}$

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosech} x = \frac{1}{\sinh x}$.
આપેલ છે કે $\operatorname{cosech} x = \frac{4}{5}$,તેથી $\sinh x = \frac{5}{4}$.
નિત્યસમ $\cosh^2 x - \sinh^2 x = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cosh^2 x = 1 + \sinh^2 x$.
$\sinh x$ ની કિંમત મૂકતા: $\cosh^2 x = 1 + (\frac{5}{4})^2 = 1 + \frac{25}{16} = \frac{16 + 25}{16} = \frac{41}{16}$.
બધા વાસ્તવિક $x$ માટે $\cosh x > 0$ હોવાથી,આપણે ધન વર્ગમૂળ લઈએ છીએ: $\cosh x = \sqrt{\frac{41}{16}}$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin(180^{\circ} + \theta) = -\sin \theta$ અને $\sin(540^{\circ} + \theta) = -\sin \theta$.
પગલું $1$: $\sin 210^{\circ} = \sin(180^{\circ} + 30^{\circ}) = -\sin 30^{\circ} = -\frac{1}{2}$.
પગલું $2$: $\sin 585^{\circ} = \sin(540^{\circ} + 45^{\circ}) = -\sin 45^{\circ} = -\frac{1}{\sqrt{2}}$.
પગલું $3$: કિંમતોનો ગુણાકાર કરતા: $(-\frac{1}{2}) \times (-\frac{1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(C) $\operatorname{cosec} 15^{\circ} + \sec 15^{\circ} = \frac{1}{\sin 15^{\circ}} + \frac{1}{\cos 15^{\circ}}$
$= \frac{\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ}}{\sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$= \frac{2(\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ})}{2 \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}} = \frac{2(\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ})}{\sin 30^{\circ}}$
$\sin 30^{\circ} = \frac{1}{2}$ હોવાથી:
$= 4(\cos 15^{\circ} + \sin 15^{\circ})$
$\sin 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4}$ અને $\cos 15^{\circ} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$ લેતા:
$= 4 \left( \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4} + \frac{\sqrt{6} - \sqrt{2}}{4} \right)$
$= 4 \left( \frac{2\sqrt{6}}{4} \right) = 2\sqrt{6}$

(A) આપેલ છે $x = \tan 15^{\circ} = 2 - \sqrt{3} \approx 0.268$.
$y = \operatorname{cosec} 75^{\circ} = \sqrt{6} - \sqrt{2} \approx 1.035$.
$z = 4 \sin 18^{\circ} = \sqrt{5} - 1 \approx 1.236$.
કિંમતોની સરખામણી કરતા: $0.268 < 1.035 < 1.236$,જે દર્શાવે છે કે $x < y < z$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sin \theta}{1-\cot \theta} + \frac{\cos \theta}{1-\tan \theta}$
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$ અને $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ મૂકતા:
$= \frac{\sin \theta}{1-\frac{\cos \theta}{\sin \theta}} + \frac{\cos \theta}{1-\frac{\sin \theta}{\cos \theta}}$
$= \frac{\sin^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta} + \frac{\cos^2 \theta}{\cos \theta - \sin \theta}$
$= \frac{\sin^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta} - \frac{\cos^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta}$
$= \frac{\sin^2 \theta - \cos^2 \theta}{\sin \theta - \cos \theta}$
નિત્યસમ $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \frac{(\sin \theta - \cos \theta)(\sin \theta + \cos \theta)}{\sin \theta - \cos \theta}$
$= \sin \theta + \cos \theta$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે હાઇપરબોલિક વિધેયો નીચે મુજબ સંબંધિત છે:
$\sinh x = \frac{1}{\operatorname{cosech} x}$
આપેલ છે કે $\operatorname{cosech} x = \frac{4}{5}$,તેથી આ કિંમત સૂત્રમાં મૂકતા:
$\sinh x = \frac{1}{4/5} = \frac{5}{4}$

(C) $\tanh x = \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}$ ની કિંમત મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\frac{1+\tanh x}{1-\tanh x} = \frac{1 + \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}}{1 - \frac{e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}}$
$= \frac{\frac{e^x + e^{-x} + e^x - e^{-x}}{e^x + e^{-x}}}{\frac{e^x + e^{-x} - (e^x - e^{-x})}{e^x + e^{-x}}}$
$= \frac{2e^x}{2e^{-x}}$
$= e^{2x}$

(D) આપેલ પદાવલિ: $f(x) = 1 + \sec ^2 x \sin ^2 x$
કારણ કે $\sec x = \frac{1}{\cos x}$,તેથી $\sec ^2 x = \frac{1}{\cos ^2 x}$ થાય.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા: $f(x) = 1 + \frac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x}$
કારણ કે $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$,તેથી $\tan ^2 x = \frac{\sin ^2 x}{\cos ^2 x}$ થાય.
તેથી,$f(x) = 1 + \tan ^2 x$
નિત્યસમ $1 + \tan ^2 x = \sec ^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $f(x) = \sec ^2 x$ મળે છે.

(A) દરેક પદનું મૂલ્ય તે કયા ચરણમાં છે તેના આધારે નક્કી કરીએ:
$I. \sin(-292^{\circ}) = \sin(68^{\circ})$. $68^{\circ}$ પ્રથમ ચરણમાં હોવાથી,$\sin(68^{\circ}) > 0$.
$II. \tan(-190^{\circ}) = -\tan(190^{\circ}) = -\tan(180^{\circ} + 10^{\circ}) = -\tan(10^{\circ})$. $\tan(10^{\circ}) > 0$ હોવાથી,આ મૂલ્ય ઋણ છે.
$III. \cos(-207^{\circ}) = \cos(207^{\circ}) = \cos(180^{\circ} + 27^{\circ}) = -\cos(27^{\circ})$. $\cos(27^{\circ}) > 0$ હોવાથી,આ મૂલ્ય ઋણ છે.
$IV. \cot(-222^{\circ}) = -\cot(222^{\circ}) = -\cot(180^{\circ} + 42^{\circ}) = -\cot(42^{\circ})$. $\cot(42^{\circ}) > 0$ હોવાથી,આ મૂલ્ય ઋણ છે.
આમ,$II, III$ અને $IV$ ઋણ છે.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\sin ^2\left(\frac{2 \pi}{3}\right)+\cos ^2\left(\frac{5 \pi}{6}\right)-\tan ^2\left(\frac{3 \pi}{4}\right)$
સંબંધિત ખૂણાઓનો ઉપયોગ કરતા: $\sin(\pi-x) = \sin x$,$\cos(\pi-x) = -\cos x$,$\tan(\pi-x) = -\tan x$
$= \sin ^2\left(\pi-\frac{\pi}{3}\right)+\cos ^2\left(\pi-\frac{\pi}{6}\right)-\tan ^2\left(\pi-\frac{\pi}{4}\right)$
$= \sin ^2\left(\frac{\pi}{3}\right)+\left(-\cos \frac{\pi}{6}\right)^2-\left(-\tan \frac{\pi}{4}\right)^2$
$= \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2-(-1)^2$
$= \frac{3}{4}+\frac{3}{4}-1$
$= \frac{6}{4}-1 = \frac{3}{2}-1 = \frac{1}{2}$

(D) $\frac{1}{1+\sin \theta} + \frac{1}{1-\sin \theta} = \frac{(1-\sin \theta) + (1+\sin \theta)}{(1+\sin \theta)(1-\sin \theta)}$
$= \frac{2}{1-\sin^2 \theta}$
$= \frac{2}{\cos^2 \theta}$
$= 2 \sec^2 \theta$

(D) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\cos x}{1+\sin x} + \tan x$
પ્રથમ પદના અંશ અને છેદને $(1-\sin x)$ વડે ગુણતા:
$\frac{\cos x(1-\sin x)}{(1+\sin x)(1-\sin x)} + \tan x$
નિત્યસમ $(1+\sin x)(1-\sin x) = 1-\sin^2 x = \cos^2 x$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\cos x(1-\sin x)}{\cos^2 x} + \tan x$
અપૂર્ણાંકનું સાદું રૂપ આપતા:
$\frac{1-\sin x}{\cos x} + \tan x$
અપૂર્ણાંકને અલગ કરતા:
$\frac{1}{\cos x} - \frac{\sin x}{\cos x} + \tan x$
કારણ કે $\frac{1}{\cos x} = \sec x$ અને $\frac{\sin x}{\cos x} = \tan x$:
$\sec x - \tan x + \tan x = \sec x$

(B) આપણે ગુણધર્મ $\cos^2 \theta = \cos^2(180^{\circ} \pm \theta) = \cos^2(360^{\circ} \pm \theta)$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$\cos 135^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} \implies \cos^2 135^{\circ} = \cos^2 45^{\circ}$.
$\cos 225^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 45^{\circ}) = -\cos 45^{\circ} \implies \cos^2 225^{\circ} = \cos^2 45^{\circ}$.
$\cos 315^{\circ} = \cos(360^{\circ} - 45^{\circ}) = \cos 45^{\circ} \implies \cos^2 315^{\circ} = \cos^2 45^{\circ}$.
આમ,પદાવલિ નીચે મુજબ થાય છે:
$\cos^2 45^{\circ} + \cos^2 45^{\circ} + \cos^2 45^{\circ} + \cos^2 45^{\circ} = 4 \cos^2 45^{\circ}$.
કારણ કે $\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$,તેથી $\cos^2 45^{\circ} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$4 \times \frac{1}{2} = 2$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot 30^{\circ} = \sqrt{3}$ અને $\sec 45^{\circ} = \sqrt{2}$ થાય છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$1 + (\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2$
$= 1 + 3 - 2$
$= 4 - 2$
$= 2$

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sin x}{1+\cos x} + \frac{1+\cos x}{\sin x}$
છેદ સમાન કરતા: $\frac{\sin^2 x + (1+\cos x)^2}{\sin x(1+\cos x)}$
$= \frac{\sin^2 x + 1 + 2\cos x + \cos^2 x}{\sin x(1+\cos x)}$
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ હોવાથી: $\frac{1 + 1 + 2\cos x}{\sin x(1+\cos x)}$
$= \frac{2 + 2\cos x}{\sin x(1+\cos x)} = \frac{2(1+\cos x)}{\sin x(1+\cos x)}$
$= \frac{2}{\sin x} = 2 \operatorname{cosec} x$