Fundamental trigonometrical ratios and functions, Trigonometrical ratio of allied angles Questions in Gujarati

(A) આપેલ પદાવલિ: $\cos \theta(\operatorname{cosec} \theta - \sec \theta) - \cot \theta$
$= \cos \theta \left( \frac{1}{\sin \theta} - \frac{1}{\cos \theta} \right) - \cot \theta$
$= \frac{\cos \theta}{\sin \theta} - \frac{\cos \theta}{\cos \theta} - \cot \theta$
$= \cot \theta - 1 - \cot \theta$
$= -1$

(C) બિંદુ $(-5, 12)$ નો $x$-યામ ઋણ અને $y$-યામ ધન છે,જેનો અર્થ છે કે તે બીજા ચરણમાં આવેલું છે.
બીજા ચરણમાં,$\sin \theta$ અને $\operatorname{cosec} \theta$ ધન છે,જ્યારે $\cos \theta, \sec \theta, \tan \theta$ અને $\cot \theta$ ઋણ છે.
માનાંક વિધેયની વ્યાખ્યા મુજબ,જો $x < 0$ હોય તો $|x| = -x$.
અહીં $\tan \theta < 0$ હોવાથી,$|\tan \theta| = -\tan \theta$ થાય.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(C) સંબંધિત ખૂણાઓના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin(\pi+x) = -\sin x$
$\cos(\frac{\pi}{2}+x) = -\sin x$
$\tan(\frac{3\pi}{2}-x) = \cot x$
$\cot(2\pi-x) = -\cot x$
$\sin(2\pi-x) = -\sin x$
$\cos(2\pi+x) = \cos x$
$\operatorname{cosec}(-x) = -\operatorname{cosec} x$
$\sin(\frac{3\pi}{2}+x) = -\cos x$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \frac{(-\sin x)(-\sin x)(\cot x)(-\cot x)}{(-\sin x)(\cos x)(-\operatorname{cosec} x)(-\cos x)} = 1$
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) આપેલ છે કે $\theta$ ત્રીજા ચરણમાં છે,જ્યાં $\tan \theta$ ધન હોય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$.
$\cos \theta = -\frac{3}{5}$ મૂકતા,$\sin^2 \theta + (-\frac{3}{5})^2 = 1$.
$\sin^2 \theta + \frac{9}{25} = 1 \implies \sin^2 \theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$.
$\theta$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,$\sin \theta$ ઋણ હશે,તેથી $\sin \theta = -\frac{4}{5}$.
હવે,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{-4/5}{-3/5} = \frac{4}{3}$.
તેથી,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tanh \left(\frac{x}{2}\right) = \frac{e^{x/2} - e^{-x/2}}{e^{x/2} + e^{-x/2}}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1 + \tanh \left(\frac{x}{2}\right)}{1 - \tanh \left(\frac{x}{2}\right)} = \frac{1 + \frac{e^{x/2} - e^{-x/2}}{e^{x/2} + e^{-x/2}}}{1 - \frac{e^{x/2} - e^{-x/2}}{e^{x/2} + e^{-x/2}}}$
$= \frac{\frac{e^{x/2} + e^{-x/2} + e^{x/2} - e^{-x/2}}{e^{x/2} + e^{-x/2}}}{\frac{e^{x/2} + e^{-x/2} - (e^{x/2} - e^{-x/2})}{e^{x/2} + e^{-x/2}}}$
$= \frac{2e^{x/2}}{2e^{-x/2}}$
$= e^{x/2 - (-x/2)} = e^x$.

(B) આપેલ છે $\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta = \frac{1}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta = \frac{1}{\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta} = 3$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $2 \operatorname{cosec} \theta = \frac{10}{3} \Rightarrow \sin \theta = \frac{3}{5}$.
બંને સમીકરણોની બાદબાકી કરતા: $2 \cot \theta = -\frac{8}{3}$ $\Rightarrow \cot \theta = -\frac{4}{3}$ $\Rightarrow \cos \theta = -\frac{4}{5}$.
અહીં $\sin \theta > 0$ અને $\cos \theta < 0$ હોવાથી,$\theta$ એ $2^{\text{nd}}$ ચરણમાં છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$,તેથી $\cos^2(\pi - \theta) = \cos^2 \theta$.
વળી,$\cos(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin \theta$,તેથી $\cos^2(\frac{\pi}{2} - \theta) = \sin^2 \theta$.
આપેલ પદાવલિ: $E = \cos^2(\frac{7\pi}{8}) + \cos^2(\frac{5\pi}{8}) + \cos^2(\frac{3\pi}{8}) + \cos^2(\frac{\pi}{8})$.
અહીં $\frac{7\pi}{8} = \pi - \frac{\pi}{8}$,તેથી $\cos^2(\frac{7\pi}{8}) = \cos^2(\frac{\pi}{8})$.
અહીં $\frac{5\pi}{8} = \pi - \frac{3\pi}{8}$,તેથી $\cos^2(\frac{5\pi}{8}) = \cos^2(\frac{3\pi}{8})$.
તેથી,$E = 2\cos^2(\frac{\pi}{8}) + 2\cos^2(\frac{3\pi}{8})$.
કારણ કે $\frac{3\pi}{8} = \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{8}$,તેથી $\cos^2(\frac{3\pi}{8}) = \sin^2(\frac{\pi}{8})$.
આ કિંમત $E$ માં મૂકતા: $E = 2\cos^2(\frac{\pi}{8}) + 2\sin^2(\frac{\pi}{8})$.
$E = 2(\cos^2(\frac{\pi}{8}) + \sin^2(\frac{\pi}{8}))$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $E = 2(1) = 2$ મળે છે.

(D) આપેલ સમીકરણ: $\sin(270^{\circ}-x^{\circ})=\cos 292^{\circ}$.
સંબંધિત ખૂણાના સૂત્ર $\sin(270^{\circ}-\theta) = -\cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$-\cos x^{\circ} = \cos 292^{\circ}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(180^{\circ}+\theta) = -\cos \theta$,તેથી:
$-\cos x^{\circ} = \cos(180^{\circ}+x^{\circ})$.
હવે,$\cos(180^{\circ}+x^{\circ}) = \cos 292^{\circ}$ ને સરખાવતા:
$180+x = 292 \implies x = 292-180 = 112$.
આમ,$x = 112$.

(A) આપેલ છે કે,$\theta$ પ્રથમ ચરણમાં છે અને $5 \tan \theta = 4$.
પદાવલિના અંશ અને છેદને $\cos \theta$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$\frac{5 \tan \theta - 3}{\tan \theta + 2}$
$\tan \theta = \frac{4}{5}$ મૂકતા:
$\frac{5(\frac{4}{5}) - 3}{\frac{4}{5} + 2} = \frac{4 - 3}{\frac{4 + 10}{5}} = \frac{1}{\frac{14}{5}} = \frac{5}{14}$.

(B) સંબંધિત ખૂણાઓ માટે ત્રિકોણમિતીય વિધેયોની કિંમતોનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 120^{\circ} = \sin(180^{\circ} - 60^{\circ}) = \sin 60^{\circ} = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 150^{\circ} = \cos(180^{\circ} - 30^{\circ}) = -\cos 30^{\circ} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 240^{\circ} = \cos(180^{\circ} + 60^{\circ}) = -\cos 60^{\circ} = -\frac{1}{2}$
$\sin 330^{\circ} = \sin(360^{\circ} - 30^{\circ}) = -\sin 30^{\circ} = -\frac{1}{2}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right) \left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right) - \left(-\frac{1}{2}\right) \left(-\frac{1}{2}\right)$
$= -\frac{3}{4} - \frac{1}{4}$
$= -\frac{4}{4} = -1$

(C) ધારો કે $x \cos \theta = y \cos \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) = z \cos \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) = \lambda$ (જ્યાં $\lambda \neq 0$).
તેથી,$\frac{1}{x} = \frac{\cos \theta}{\lambda}$,$\frac{1}{y} = \frac{\cos \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right)}{\lambda}$,અને $\frac{1}{z} = \frac{\cos \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right)}{\lambda}$.
આ ત્રણેયનો સરવાળો કરતા,$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{\lambda} \left[ \cos \theta + \cos \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) + \cos \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) \right]$.
પ્રથમ અને ત્રીજા પદ માટે નિત્યસમ $\cos A + \cos B = 2 \cos \left(\frac{A+B}{2}\right) \cos \left(\frac{A-B}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \theta + \cos \left(\theta + \frac{4 \pi}{3}\right) = 2 \cos \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) \cos \left(-\frac{2 \pi}{3}\right) = 2 \cos \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) \left(-\frac{1}{2}\right) = -\cos \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right)$.
આ કિંમત સરવાળામાં મૂકતા:
$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} + \frac{1}{z} = \frac{1}{\lambda} \left[ -\cos \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) + \cos \left(\theta + \frac{2 \pi}{3}\right) \right] = \frac{1}{\lambda} (0) = 0$.

(B) સરવાળા-ગુણાકારના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા: $\cos A + \cos B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \cos \left( \frac{A-B}{2} \right)$ અને $\sin A - \sin B = 2 \cos \left( \frac{A+B}{2} \right) \sin \left( \frac{A-B}{2} \right)$.
આ સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\cos 10^{\circ} + \cos 80^{\circ}}{\sin 80^{\circ} - \sin 10^{\circ}} = \frac{2 \cos \left( \frac{80^{\circ} + 10^{\circ}}{2} \right) \cos \left( \frac{80^{\circ} - 10^{\circ}}{2} \right)}{2 \cos \left( \frac{80^{\circ} + 10^{\circ}}{2} \right) \sin \left( \frac{80^{\circ} - 10^{\circ}}{2} \right)}$
$= \frac{\cos 45^{\circ} \cos 35^{\circ}}{\cos 45^{\circ} \sin 35^{\circ}}$
$= \cot 35^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 35^{\circ}) = \tan 55^{\circ}$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $E = \frac{1}{\cos 290^{\circ}} + \frac{1}{\sqrt{3} \sin 250^{\circ}}$
સંલગ્ન ખૂણાઓનો ઉપયોગ કરતા: $\cos 290^{\circ} = \cos(270^{\circ} + 20^{\circ}) = \sin 20^{\circ}$ અને $\sin 250^{\circ} = \sin(270^{\circ} - 20^{\circ}) = -\cos 20^{\circ}$.
તેથી,$E = \frac{1}{\sin 20^{\circ}} - \frac{1}{\sqrt{3} \cos 20^{\circ}}$
$E = \frac{\sqrt{3} \cos 20^{\circ} - \sin 20^{\circ}}{\sqrt{3} \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ}}$
અંશ અને છેદને $2$ વડે ગુણતા:
$E = \frac{2(\frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} - \frac{1}{2} \sin 20^{\circ})}{\frac{\sqrt{3}}{2} (2 \sin 20^{\circ} \cos 20^{\circ})}$
$E = \frac{2(\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ})}{\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 40^{\circ}}$
$E = \frac{2 \sin(60^{\circ} - 20^{\circ})}{\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 40^{\circ}} = \frac{2 \sin 40^{\circ}}{\frac{\sqrt{3}}{2} \sin 40^{\circ}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$

(B) આપેલ પદાવલિ: $\left[1-\cos \left(\frac{\pi}{2}+\alpha\right)+\sin \left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)\right]^2+\left[1-\sin \left(\frac{3 \pi}{2}-\alpha\right)-\cos \left(\frac{3 \pi}{2}+\alpha\right)\right]^2=a+b \sin ^2\left(\frac{\pi}{4}+\alpha\right)$.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા: $\cos(\frac{\pi}{2}+\alpha) = -\sin \alpha$,$\sin(\frac{3\pi}{2}+\alpha) = -\cos \alpha$,$\sin(\frac{3\pi}{2}-\alpha) = -\cos \alpha$,અને $\cos(\frac{3\pi}{2}+\alpha) = \sin \alpha$.
પદાવલિ આ મુજબ બનશે: $(1+\sin \alpha-\cos \alpha)^2+(1+\cos \alpha-\sin \alpha)^2 = a+b \sin ^2(\frac{\pi}{4}+\alpha)$.
બંને કૌંસનું વિસ્તરણ કરતા: $(1+\sin^2 \alpha+\cos^2 \alpha+2\sin \alpha-2\sin \alpha \cos \alpha-2\cos \alpha) + (1+\cos^2 \alpha+\sin^2 \alpha+2\cos \alpha-2\sin \alpha \cos \alpha-2\sin \alpha) = a+b \sin^2(\frac{\pi}{4}+\alpha)$.
સાદુરૂપ આપતા: $4-4\sin \alpha \cos \alpha = a+b(\sin \frac{\pi}{4} \cos \alpha+\cos \frac{\pi}{4} \sin \alpha)^2$.
$4-4\sin \alpha \cos \alpha = a+\frac{b}{2}(\cos \alpha+\sin \alpha)^2 = a+\frac{b}{2}(1+2\sin \alpha \cos \alpha) = (a+\frac{b}{2}) + b\sin \alpha \cos \alpha$.
સહગુણકોની સરખામણી કરતા: $b = -4$ અને $a+\frac{b}{2} = 4$ $\Rightarrow a-2 = 4$ $\Rightarrow a = 6$.
આમ,$a^2+b^2 = 6^2+(-4)^2 = 36+16 = 52$.

(A) આપણી પાસે પદાવલિ $\operatorname{cosec} 750^{\circ} - 2 \cot 765^{\circ}$ છે.
ત્રિકોણમિતીય વિધેયોની આવર્તકતાનો ઉપયોગ કરતા,$\operatorname{cosec}(n \times 360^{\circ} + \theta) = \operatorname{cosec} \theta$ અને $\cot(n \times 360^{\circ} + \theta) = \cot \theta$.
$\operatorname{cosec} 750^{\circ} = \operatorname{cosec}(2 \times 360^{\circ} + 30^{\circ}) = \operatorname{cosec} 30^{\circ} = 2$.
$\cot 765^{\circ} = \cot(2 \times 360^{\circ} + 45^{\circ}) = \cot 45^{\circ} = 1$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મુકતા:
$2 - 2(1) = 2 - 2 = 0$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપણે $S = \sin \frac{\pi}{5} + \sin \frac{2\pi}{5} + \sin \frac{3\pi}{5} + \sin \frac{4\pi}{5}$ ની કિંમત શોધવાની છે.
નોંધો કે $\sin \frac{4\pi}{5} = \sin \frac{\pi}{5}$ અને $\sin \frac{3\pi}{5} = \sin \frac{2\pi}{5}$ થાય છે.
તેથી,$S = 2(\sin \frac{\pi}{5} + \sin \frac{2\pi}{5})$.
$\sin \frac{\pi}{5} = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}}}{4}$ અને $\sin \frac{2\pi}{5} = \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}$ કિંમતોનો ઉપયોગ કરતા,
$S = \frac{\sqrt{10 - 2\sqrt{5}} + \sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{2}$ મળે.
આમ,$S = \sqrt{5 + 2\sqrt{5}}$.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta}{\sin \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right)}$.
$\sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને છેદનું વિસ્તરણ કરતા:
$\sin \left(\theta + \frac{\pi}{6}\right) = \sin \theta \cos \frac{\pi}{6} + \cos \theta \sin \frac{\pi}{6}$.
$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$ હોવાથી,છેદ:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \sin \theta + \frac{1}{2} \cos \theta = \frac{1}{2} (\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta)$ થશે.
આ કિંમત મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta}{\frac{1}{2} (\sqrt{3} \sin \theta + \cos \theta)} = \frac{1}{1/2} = 2$.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(D) આપણી પાસે પદાવલિ છે: $\tan \left(-\frac{23 \pi}{3}\right)-\cot \left(\theta-\frac{13 \pi}{3}\right)$
$\tan(-x) = -\tan(x)$ હોવાથી,$\tan \left(-\frac{23 \pi}{3}\right) = -\tan \left(\frac{23 \pi}{3}\right) = -\tan \left(8 \pi - \frac{\pi}{3}\right) = -(-\tan \frac{\pi}{3}) = \sqrt{3}$.
બીજા પદ માટે,$\cot \left(\theta-\frac{13 \pi}{3}\right) = \cot \left(\theta - (4 \pi + \frac{\pi}{3})\right) = \cot \left(\theta - \frac{\pi}{3}\right) = -\cot \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા: $\sqrt{3} - (-\cot \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)) = \sqrt{3} + \cot \left(\frac{\pi}{3} - \theta\right)$.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $D$ છે.

(A) ધારો કે $x = \cot \theta$. પદાવલિ $2x^2 - x - 3$ બને છે.
$2x^2 - x - 3$ ના અવયવો પાડવા માટે,આપણે એવી બે સંખ્યાઓ શોધીએ જેનો ગુણાકાર $2 \times (-3) = -6$ અને સરવાળો $-1$ થાય.
આ સંખ્યાઓ $-3$ અને $2$ છે.
$2x^2 - 3x + 2x - 3 = x(2x - 3) + 1(2x - 3) = (2x - 3)(x + 1)$.
$x = \cot \theta$ પાછું મૂકતા,આપણને $(2 \cot \theta - 3)(\cot \theta + 1)$ મળે છે.

(C) આપેલ પદાવલિ: $\tan x + \frac{\cos x}{1 + \sin x}$
$= \frac{\sin x}{\cos x} + \frac{\cos x}{1 + \sin x}$
$= \frac{\sin x(1 + \sin x) + \cos^2 x}{\cos x(1 + \sin x)}$
$= \frac{\sin x + \sin^2 x + \cos^2 x}{\cos x(1 + \sin x)}$
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ હોવાથી,આપણને મળે:
$= \frac{\sin x + 1}{\cos x(1 + \sin x)}$
$= \frac{1}{\cos x} = \sec x$

(A) આપણી પાસે $\sin \left(\frac{5 \pi}{3}\right) + \sec \left(\frac{13 \pi}{3}\right)$ છે.
પ્રથમ,$\sin \left(\frac{5 \pi}{3}\right) = \sin \left(2 \pi - \frac{\pi}{3}\right) = -\sin \left(\frac{\pi}{3}\right) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ ને સરળ બનાવો.
ત્યારબાદ,$\sec \left(\frac{13 \pi}{3}\right) = \sec \left(4 \pi + \frac{\pi}{3}\right) = \sec \left(\frac{\pi}{3}\right) = 2$ ને સરળ બનાવો.
આ કિંમતોનો સરવાળો કરતા,આપણને $-\frac{\sqrt{3}}{2} + 2 = 2 - \frac{\sqrt{3}}{2}$ મળે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $A$ છે.

(B) આપેલ અસમતા $\sqrt{3} \cos \theta + \sin \theta > 0$ છે.
આખી અસમતાને $2$ વડે ભાગતા:
$\frac{\sqrt{3}}{2} \cos \theta + \frac{1}{2} \sin \theta > 0$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\cos \frac{\pi}{6} \cos \theta + \sin \frac{\pi}{6} \sin \theta > 0$.
નિત્યસમ $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos(\theta - \frac{\pi}{6}) > 0$.
$\cos x > 0$ માટે,$x$ એ એક આવર્તનમાં $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ અંતરાલમાં હોવું જોઈએ.
તેથી,$-\frac{\pi}{2} < \theta - \frac{\pi}{6} < \frac{\pi}{2}$.
બધા ભાગોમાં $\frac{\pi}{6}$ ઉમેરતા:
$-\frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6} < \theta < \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{6}$.
$-\frac{\pi}{3} < \theta < \frac{2\pi}{3}$.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tanh(y) = \frac{e^y - e^{-y}}{e^y + e^{-y}}$.
$y = \log x$ મૂકતા,આપણને મળે છે:
$\tanh(\log x) = \frac{e^{\log x} - e^{-\log x}}{e^{\log x} + e^{-\log x}}$
કારણ કે $e^{\log x} = x$ અને $e^{-\log x} = \frac{1}{x}$,પદાવલિ નીચે મુજબ થાય છે:
$\tanh(\log x) = \frac{x - \frac{1}{x}}{x + \frac{1}{x}}$
અંશ અને છેદને $x$ વડે ગુણતા,આપણને મળે છે:
$\tanh(\log x) = \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$

(D) ધારો કે $x = \operatorname{Tanh}^{-1}(\sin \theta)$.
તેથી $\tanh x = \sin \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\operatorname{sech}^2 x = 1 - \tanh^2 x = 1 - \sin^2 \theta = \cos^2 \theta$.
તેથી,$\operatorname{sech} x = \cos \theta$,જેનો અર્થ છે કે $\cosh x = \sec \theta$.
આથી,$x = \operatorname{Cosh}^{-1}(\sec \theta)$.
તેથી,$\operatorname{Tanh}^{-1}(\sin \theta) = \operatorname{Cosh}^{-1}(\sec \theta)$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે,$\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 18^{\circ} = \sqrt{1 - \sin^2 18^{\circ}}$
$= \sqrt{1 - \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)^2}$
$= \sqrt{1 - \frac{5+1-2\sqrt{5}}{16}}$
$= \sqrt{\frac{16 - 6 + 2\sqrt{5}}{16}}$
$= \sqrt{\frac{10 + 2\sqrt{5}}{16}}$
$= \frac{\sqrt{10 + 2\sqrt{5}}}{4}$
$= \frac{\sqrt{2(5 + \sqrt{5})}}{4} = \frac{\sqrt{5+\sqrt{5}}}{2\sqrt{2}}$.

(B) આપેલ છે કે $\tan A = \frac{-60}{11}$. $\tan A$ ઋણ હોવાથી,$A$ એ $2^{\text{nd}}$ અથવા $4^{\text{th}}$ ચરણમાં છે. $A$ એ $4^{\text{th}}$ ચરણમાં નથી,તેથી $A$ એ $2^{\text{nd}}$ ચરણમાં હોવું જોઈએ.
$2^{\text{nd}}$ ચરણમાં,$\operatorname{cosec} A$ ધન છે. $60, 11, 61$ બાજુઓવાળા ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\operatorname{cosec} A = \frac{61}{60}$ મળે છે.
આપેલ છે કે $\sec B = \frac{41}{9}$. $\sec B$ ધન હોવાથી,$B$ એ $1^{\text{st}}$ અથવા $4^{\text{th}}$ ચરણમાં છે. $B$ એ $1^{\text{st}}$ ચરણમાં નથી,તેથી $B$ એ $4^{\text{th}}$ ચરણમાં હોવું જોઈએ.
$4^{\text{th}}$ ચરણમાં,$\cot B$ ઋણ છે. $40, 9, 41$ બાજુઓવાળા ત્રિકોણનો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\cot B = -\frac{9}{40}$ મળે છે.
હવે,$K = \operatorname{cosec} A + \cot B = \frac{61}{60} - \frac{9}{40}$.
સામાન્ય છેદ $(120)$ શોધતા: $K = \frac{122 - 27}{120} = \frac{95}{120} = \frac{19}{24}$.
તેથી,$24K = 24 \times \frac{19}{24} = 19$.

(B) આપેલ છે $\cot \theta = -\frac{2}{3}$.
$\cot \theta < 0$ હોવાથી અને $\theta$ એ $4^{\text{th}}$ ચરણમાં ન હોવાથી,$\theta$ એ $2^{\text{nd}}$ ચરણમાં હોવું જોઈએ.
$2^{\text{nd}}$ ચરણમાં,$\sin \theta > 0$ અને $\cos \theta < 0$ હોય છે.
$\cot \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta} = -\frac{2}{3}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos \theta = -2k$ અને $\sin \theta = 3k$ લેતા.
$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ હોવાથી,$(3k)^2 + (-2k)^2 = 1 \implies 13k^2 = 1 \implies k = \frac{1}{\sqrt{13}}$.
તેથી,$\sin \theta = \frac{3}{\sqrt{13}}$,$\cos \theta = -\frac{2}{\sqrt{13}}$,અને $\tan \theta = -\frac{3}{2}$.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{(5 \sin \theta + \cos \theta)^2}{\tan \theta + \cot \theta} = \frac{(\frac{15}{\sqrt{13}} - \frac{2}{\sqrt{13}})^2}{-\frac{3}{2} - \frac{2}{3}} = \frac{(\frac{13}{\sqrt{13}})^2}{-\frac{9+4}{6}} = \frac{13}{-\frac{13}{6}} = -6$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{1}{\sin 250^{\circ}}+\frac{\sqrt{3}}{\cos 290^{\circ}}$
$= \frac{1}{\sin(270^{\circ}-20^{\circ})} + \frac{\sqrt{3}}{\cos(270^{\circ}+20^{\circ})}$
$= -\frac{1}{\cos 20^{\circ}} + \frac{\sqrt{3}}{\sin 20^{\circ}}$
$= \frac{-\sin 20^{\circ} + \sqrt{3} \cos 20^{\circ}}{\cos 20^{\circ} \sin 20^{\circ}}$
$= \frac{2 \left( -\frac{1}{2} \sin 20^{\circ} + \frac{\sqrt{3}}{2} \cos 20^{\circ} \right)}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}}$
$= \frac{2 (\sin 60^{\circ} \cos 20^{\circ} - \cos 60^{\circ} \sin 20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}}$
$= \frac{2 \sin(60^{\circ}-20^{\circ})}{\frac{1}{2} \sin 40^{\circ}}$
$= \frac{4 \sin 40^{\circ}}{\sin 40^{\circ}} = 4$
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે કે $\sin A = \frac{-7}{25}$. કારણ કે $\sin A < 0$ અને $A$ એ $3^{\text{rd}}$ ચરણમાં નથી,તેથી $A$ એ $4^{\text{th}}$ ચરણમાં હોવું જોઈએ.
$4^{\text{th}}$ ચરણમાં,$\cos A > 0$. તેથી,$\cos A = \sqrt{1 - \sin^2 A} = \sqrt{1 - (\frac{-7}{25})^2} = \sqrt{1 - \frac{49}{625}} = \sqrt{\frac{576}{625}} = \frac{24}{25}$.
તેથી,$\tan A = \frac{\sin A}{\cos A} = \frac{-7/25}{24/25} = \frac{-7}{24}$.
આપેલ છે કે $\cos B = \frac{8}{17}$. કારણ કે $\cos B > 0$ અને $B$ એ $1^{\text{st}}$ ચરણમાં નથી,તેથી $B$ એ $4^{\text{th}}$ ચરણમાં હોવું જોઈએ.
$4^{\text{th}}$ ચરણમાં,$\sin B < 0$. તેથી,$\sin B = -\sqrt{1 - \cos^2 B} = -\sqrt{1 - (\frac{8}{17})^2} = -\sqrt{1 - \frac{64}{289}} = -\sqrt{\frac{225}{289}} = \frac{-15}{17}$.
તેથી,$\cot B = \frac{\cos B}{\sin B} = \frac{8/17}{-15/17} = \frac{-8}{15}$.
હવે,$8 \tan A - 5 \cot B = 8(\frac{-7}{24}) - 5(\frac{-8}{15}) = \frac{-7}{3} + \frac{8}{3} = \frac{1}{3}$.

(B) $\triangle ACB$ એ $C$ આગળ કાટખૂણો ધરાવતો ત્રિકોણ છે.
પાયથાગોરસના પ્રમેય મુજબ,$AB^2 = AC^2 + BC^2$.
$AC^2 = AB^2 - BC^2 = 29^2 - 21^2 = 841 - 441 = 400$.
તેથી,$AC = \sqrt{400} = 20$ એકમ.
$\cos \theta = \frac{BC}{AB} = \frac{21}{29}$ અને $\sin \theta = \frac{AC}{AB} = \frac{20}{29}$.
$\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \left(\frac{21}{29}\right)^2 - \left(\frac{20}{29}\right)^2 = \frac{441 - 400}{841} = \frac{41}{841}$.

(D) આપણને આપેલ છે કે $\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta = 2017$ $(i)$.
નિત્યસમ $\operatorname{cosec}^2 \theta - \cot^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,$(\operatorname{cosec} \theta - \cot \theta)(\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta) = 1$.
તેથી,$\operatorname{cosec} \theta + \cot \theta = \frac{1}{2017}$ (ii).
$(i)$ અને (ii) નો સરવાળો કરતા:
$2 \operatorname{cosec} \theta = 2017 + \frac{1}{2017} > 0$,જેનો અર્થ છે કે $\operatorname{cosec} \theta > 0$.
કારણ કે $\operatorname{cosec} \theta > 0$,$\theta$ એ $I$ અથવા $II$ ચરણમાં હોવું જોઈએ.
(ii) માંથી $(i)$ બાદ કરતા:
$2 \cot \theta = \frac{1}{2017} - 2017 < 0$,જેનો અર્થ છે કે $\cot \theta < 0$.
કારણ કે $\cot \theta < 0$,$\theta$ એ $II$ અથવા $IV$ ચરણમાં હોવું જોઈએ.
બંને શરતો સંતોષાય તે માટે,$\theta$ એ $II$ ચરણમાં આવેલું છે.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$.
આપેલ પદાવલિ $E = \tan 1^\circ \tan 2^\circ \tan 3^\circ \dots \tan 44^\circ \tan 45^\circ \tan 46^\circ \dots \tan 88^\circ \tan 89^\circ$ છે.
આપણે પદોને આ રીતે જોડી શકીએ:
$(\tan 1^\circ \tan 89^\circ) \times (\tan 2^\circ \tan 88^\circ) \times \dots \times (\tan 44^\circ \tan 46^\circ) \times \tan 45^\circ$.
કારણ કે $\tan 89^\circ = \tan(90^\circ - 1^\circ) = \cot 1^\circ$,તેથી $\tan 1^\circ \tan 89^\circ = \tan 1^\circ \cot 1^\circ = 1$.
તે જ રીતે,$1$ થી $44$ સુધીના દરેક $k$ માટે $\tan k^\circ \tan(90^\circ - k^\circ) = 1$ થાય.
આમ,$E = 1 \times 1 \times \dots \times 1 \times \tan 45^\circ = 1 \times 1 = 1$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\left(\frac{\sin 35^{\circ}}{\cos 55^{\circ}}\right)^2+\left(\frac{\cos 55^{\circ}}{\sin 35^{\circ}}\right)^2-2 \cos 30^{\circ}$
કારણ કે $\cos 55^{\circ} = \cos(90^{\circ}-35^{\circ}) = \sin 35^{\circ}$,તેથી આપણે આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકીએ:
$= \left(\frac{\sin 35^{\circ}}{\sin 35^{\circ}}\right)^2 + \left(\frac{\sin 35^{\circ}}{\sin 35^{\circ}}\right)^2 - 2 \cos 30^{\circ}$
$= (1)^2 + (1)^2 - 2 \left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$
$= 1 + 1 - \sqrt{3}$
$= 2 - \sqrt{3}$

(B) સૂત્ર $\cos C - \cos D = -2 \sin \left(\frac{C+D}{2}\right) \sin \left(\frac{C-D}{2}\right)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 36^{\circ} - \cos 72^{\circ} = -2 \sin \left(\frac{36^{\circ}+72^{\circ}}{2}\right) \sin \left(\frac{36^{\circ}-72^{\circ}}{2}\right)$
$= -2 \sin 54^{\circ} \sin (-18^{\circ})$
$= 2 \sin 54^{\circ} \sin 18^{\circ}$
$\sin 54^{\circ} = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ અને $\sin 18^{\circ} = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ ની કિંમતો મૂકતા:
$= 2 \times \left(\frac{\sqrt{5}+1}{4}\right) \times \left(\frac{\sqrt{5}-1}{4}\right)$
$= 2 \times \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{16} = 2 \times \frac{5-1}{16} = 2 \times \frac{4}{16} = 2 \times \frac{1}{4} = \frac{1}{2}$

(D) આપેલ પદાવલિ: $E = \sin ^4 \frac{\pi}{8} + \cos ^4 \frac{3 \pi}{8} - \sin ^4 \frac{3 \pi}{8} + \sin ^4 \frac{5 \pi}{8} + \cos ^4 \frac{7 \pi}{8} - \sin ^4 \frac{7 \pi}{8}$
$\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ અને $\cos(\pi - \theta) = -\cos \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin^4 \frac{5 \pi}{8} = \sin^4 \frac{3 \pi}{8}$
$\cos^4 \frac{7 \pi}{8} = \cos^4 \frac{\pi}{8}$
$\sin^4 \frac{7 \pi}{8} = \sin^4 \frac{\pi}{8}$
કિંમતો મૂકતા:
$E = \cos ^4 \frac{3 \pi}{8} + \cos ^4 \frac{\pi}{8}$
$\cos^2 \theta = \frac{1 + \cos 2 \theta}{2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$E = \frac{3}{4}$

(C) આપેલ છે $\sin A = -\frac{60}{61}$. $A$ એ $4^{\text{th}}$ ચરણમાં નથી અને $\sin A < 0$ હોવાથી,$A$ એ $3^{\text{rd}}$ ચરણમાં હોવું જોઈએ. $3^{\text{rd}}$ ચરણમાં $\cot A > 0$ હોય છે. $\cos A = -\sqrt{1 - \sin^2 A} = -\frac{11}{61}$. તેથી,$\cot A = \frac{\cos A}{\sin A} = \frac{11}{60}$.
આપેલ છે $\cot B = -\frac{40}{9}$. $B$ એ $4^{\text{th}}$ ચરણમાં નથી અને $\cot B < 0$ હોવાથી,$B$ એ $2^{\text{nd}}$ ચરણમાં હોવું જોઈએ. $2^{\text{nd}}$ ચરણમાં $\sec B < 0$ હોય છે. $\sec B = -\sqrt{1 + \tan^2 B} = -\frac{41}{40}$.
હવે,$6 \cot A + 4 \sec B = 6(\frac{11}{60}) + 4(-\frac{41}{40}) = \frac{11}{10} - \frac{41}{10} = -\frac{30}{10} = -3$.

(D) આપેલ છે કે $y = \log_e \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right)$.
$e^y = \tan \left(\frac{\pi}{4} + \frac{x}{2}\right) = \frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\tanh \left(\frac{y}{2}\right) = \frac{e^y - 1}{e^y + 1}$.
$e^y$ ની કિંમત મૂકતા:
$\tanh \left(\frac{y}{2}\right) = \frac{\frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}} - 1}{\frac{1 + \tan \frac{x}{2}}{1 - \tan \frac{x}{2}} + 1} = \frac{(1 + \tan \frac{x}{2}) - (1 - \tan \frac{x}{2})}{(1 + \tan \frac{x}{2}) + (1 - \tan \frac{x}{2})} = \frac{2 \tan \frac{x}{2}}{2} = \tan \frac{x}{2}$.
આમ,વિકલ્પ $D$ સાચો છે.

(B) આપેલ છે કે $\cosh x = \frac{\sqrt{14}}{3}$.
નિત્યસમ $\sinh^2 x = \cosh^2 x - 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sinh^2 x = \left(\frac{\sqrt{14}}{3}\right)^2 - 1 = \frac{14}{9} - 1 = \frac{5}{9}$.
$\sinh x = \cos \theta$ હોવાથી,$\cos \theta = \frac{\sqrt{5}}{3}$.
હવે,$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta = 1 - \frac{5}{9} = \frac{4}{9}$.
તેથી,$\sin \theta = \pm \frac{2}{3}$.
આપેલ છે કે $-\pi < \theta < -\frac{\pi}{2}$,જે બીજા ચરણમાં આવે છે.
બીજા ચરણમાં $\sin \theta$ ધન હોય છે.
તેથી,$\sin \theta = \frac{2}{3}$.

(B) આપેલ છે,ચાપની લંબાઈ $l = 44 \text{ cm}$.
વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = 12 \text{ cm}$.
કેન્દ્ર આગળ ચાપ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $\theta$ રેડિયનમાં $\theta = \frac{l}{r}$ દ્વારા મળે છે.
$\theta = \frac{44}{12} = \frac{11}{3} \text{ રેડિયન}$.
ખૂણાને રેડિયનમાંથી અંશમાં ફેરવવા માટે,આપણે $\frac{180}{\pi}$ વડે ગુણીએ છીએ.
$\theta_{\text{deg}} = \frac{11}{3} \times \frac{180}{\pi} = \frac{11 \times 60}{\pi} = \left(\frac{660}{\pi}\right)^{\circ}$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tanh \theta = \frac{\sinh \theta}{\cosh \theta}$.
$\theta = \frac{x}{2}$ મૂકતા,આપણને $\tanh \frac{x}{2} = \frac{\sinh \frac{x}{2}}{\cosh \frac{x}{2}}$ મળે છે.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{1+\tanh \frac{x}{2}}{1-\tanh \frac{x}{2}} = \frac{1+\frac{\sinh \frac{x}{2}}{\cosh \frac{x}{2}}}{1-\frac{\sinh \frac{x}{2}}{\cosh \frac{x}{2}}}$
$= \frac{\cosh \frac{x}{2} + \sinh \frac{x}{2}}{\cosh \frac{x}{2} - \sinh \frac{x}{2}}$
વ્યાખ્યા $\cosh \theta = \frac{e^{\theta} + e^{-\theta}}{2}$ અને $\sinh \theta = \frac{e^{\theta} - e^{-\theta}}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cosh \frac{x}{2} + \sinh \frac{x}{2} = e^{x/2}$
$\cosh \frac{x}{2} - \sinh \frac{x}{2} = e^{-x/2}$
તેથી,પદાવલિ $\frac{e^{x/2}}{e^{-x/2}} = e^{x/2 - (-x/2)} = e^x$ થાય છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $(1+\cos \frac{\pi}{6})(1+\cos \frac{\pi}{3})(1+\cos \frac{2\pi}{3})(1+\cos \frac{7\pi}{6})$
ત્રિકોણમિતીય વિધેયોની કિંમતોનો ઉપયોગ કરતા:
$\cos \frac{\pi}{6} = \frac{\sqrt{3}}{2}$,$\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$,$\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$,$\cos \frac{7\pi}{6} = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
આ કિંમતો મૂકતા:
$= (1 + \frac{\sqrt{3}}{2})(1 + \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{2})(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})$
નિત્યસમ $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= [(1 + \frac{\sqrt{3}}{2})(1 - \frac{\sqrt{3}}{2})] \times [(1 + \frac{1}{2})(1 - \frac{1}{2})]$
$= (1^2 - (\frac{\sqrt{3}}{2})^2) \times (1^2 - (\frac{1}{2})^2)$
$= (1 - \frac{3}{4}) \times (1 - \frac{1}{4})$
$= \frac{1}{4} \times \frac{3}{4} = \frac{3}{16}$

(C) આપેલ છે કે $\frac{\cos A}{3} = \frac{1}{5} \implies \cos A = \frac{3}{5}$.
અહીં $-\frac{\pi}{2} < A < 0$ હોવાથી,$A$ ચોથા ચરણમાં છે,તેથી $\sin A$ ઋણ થશે.
$\sin A = -\sqrt{1 - \cos^2 A} = -\sqrt{1 - (\frac{3}{5})^2} = -\frac{4}{5}$.
તે જ રીતે,$\frac{\cos B}{4} = \frac{1}{5} \implies \cos B = \frac{4}{5}$.
અહીં $-\frac{\pi}{2} < B < 0$ હોવાથી,$B$ ચોથા ચરણમાં છે,તેથી $\sin B$ ઋણ થશે.
$\sin B = -\sqrt{1 - \cos^2 B} = -\sqrt{1 - (\frac{4}{5})^2} = -\frac{3}{5}$.
હવે,$2 \sin A + 4 \sin B = 2(-\frac{4}{5}) + 4(-\frac{3}{5}) = -\frac{8}{5} - \frac{12}{5} = -\frac{20}{5} = -4$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot \theta = \tan(90^{\circ} - \theta)$.
આ નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\cot 54^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 54^{\circ}) = \tan 36^{\circ}$.
$\cot 70^{\circ} = \tan(90^{\circ} - 70^{\circ}) = \tan 20^{\circ}$.
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$\frac{\tan 36^{\circ}}{\tan 36^{\circ}} + \frac{\tan 20^{\circ}}{\tan 20^{\circ}} = 1 + 1 = 2$.

(D) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos 55^{\circ} = \sin(90^{\circ} - 55^{\circ}) = \sin 35^{\circ}$.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા,આપણને $\frac{\sin 55^{\circ} - \sin 35^{\circ}}{\sin 10^{\circ}}$ મળે છે.
$\sin C - \sin D = 2 \cos\left(\frac{C+D}{2}\right) \sin\left(\frac{C-D}{2}\right)$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 55^{\circ} - \sin 35^{\circ} = 2 \cos 45^{\circ} \sin 10^{\circ}$.
હવે,પદાવલિ $\frac{2 \cos 45^{\circ} \sin 10^{\circ}}{\sin 10^{\circ}} = 2 \cos 45^{\circ}$ બને છે.
$\cos 45^{\circ} = \frac{1}{\sqrt{2}}$ હોવાથી,કિંમત $2 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ થાય છે.