Fundamental trigonometrical ratios and functions, Trigonometrical ratio of allied angles Questions in Gujarati

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\text{sech}(iz) = \sec(z)$.
$z = \pi$ મૂકતા,આપણને $\text{sech}(i\pi) = \sec(\pi)$ મળે છે.
કારણ કે $\sec(\pi) = \frac{1}{\cos(\pi)} = \frac{1}{-1} = -1$.
તેથી,કિંમત $-1$ છે.

(C) $\sin \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $\sin \theta = -\frac{1}{5}$ શક્ય છે.
$\cos \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે,તેથી $\cos \theta = 1$ શક્ય છે.
$\sec \theta$ નો વિસ્તાર $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ છે. કારણ કે $\frac{1}{2} < 1$,તેથી $\sec \theta = \frac{1}{2}$ વિધાન ખોટું છે.
$\tan \theta$ નો વિસ્તાર $(-\infty, \infty)$ છે,તેથી $\tan \theta = 20$ શક્ય છે.
તેથી,ખોટું વિધાન $C$ છે.

(B) કોઈપણ વાસ્તવિક ખૂણા $\theta$ માટે:
$1$. $\sin \theta$ અને $\cos \theta$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ છે. તેથી,$\sin \theta = \frac{5}{3} > 1$ શક્ય નથી.
$2$. $\sec \theta$ નો વિસ્તાર $(-\infty, -1] \cup [1, \infty)$ છે. તેથી,$\sec \theta = \frac{1}{2}$ શક્ય નથી કારણ કે $\frac{1}{2} < 1$.
$3$. $\cos \theta = \frac{1 + p^2}{1 - p^2}$ માટે,જો $p = 2$ લઈએ,તો $\cos \theta = \frac{5}{-3} = -1.66$,જે $-1$ કરતા નાનું છે,તેથી તે શક્ય નથી.
$4$. $\tan \theta$ નો વિસ્તાર $(-\infty, \infty)$ છે. તેથી,$\tan \theta = 1002$ શક્ય છે.

(A) અહીં $1$ અને $2$ રેડિયનમાં છે.
$1 \text{ રેડિયન} \approx 57.3^{\circ}$ હોવાથી,તે પ્રથમ ચરણમાં આવે છે,તેથી $\tan 1 > 0$.
$2 \text{ રેડિયન} \approx 114.6^{\circ}$ હોવાથી,તે બીજા ચરણમાં આવે છે,તેથી $\tan 2 < 0$.
તેથી,$\tan 1 > 0 > \tan 2$.
આમ,$\tan 1 > \tan 2$ સાચું છે.

(B) સાચો સંબંધ $\sin 1 > \sin 1^\circ$ છે.
અંતરાલ $[0, \frac{\pi}{2}]$ માં,વિધેય $f(x) = \sin x$ વધતું વિધેય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $1 \text{ રેડિયન} \approx 57.3^\circ$.
કારણ કે $57.3^\circ > 1^\circ$ અને સાઈન વિધેય પ્રથમ ચરણમાં વધતું હોવાથી,$\sin(57.3^\circ) > \sin(1^\circ)$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $\sin 1 > \sin 1^\circ$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(90^\circ - \theta) = \cot \theta$.
તેથી,$\tan 89^\circ = \tan(90^\circ - 1^\circ) = \cot 1^\circ$.
તે જ રીતે,$\tan 88^\circ = \cot 2^\circ$,વગેરે.
આ પદાવલિ $P = \tan 1^\circ \tan 2^\circ \dots \tan 44^\circ \tan 45^\circ \tan 46^\circ \dots \tan 88^\circ \tan 89^\circ$ છે.
બંને છેડાથી પદોની જોડી બનાવતા: $(\tan 1^\circ \tan 89^\circ) = (\tan 1^\circ \cot 1^\circ) = 1$.
$(\tan 2^\circ \tan 88^\circ) = (\tan 2^\circ \cot 2^\circ) = 1$.
આ રીતે $\tan 44^\circ \tan 46^\circ = 1$ સુધી ચાલુ રહે છે.
વચ્ચેનું પદ $\tan 45^\circ = 1$ છે.
તેથી,ગુણાકાર $1 \times 1 \times \dots \times 1 = 1$ થાય છે.

(C) આપેલ છે કે $\sin \theta = \frac{24}{25}$.
$\theta$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\cos \theta$ અને $\tan \theta$ ઋણ થશે.
$\cos^2 \theta = 1 - \sin^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,$\cos^2 \theta = 1 - (\frac{24}{25})^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{49}{625}$.
તેથી,$\cos \theta = -\frac{7}{25}$.
હવે,$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{24/25}{-7/25} = -\frac{24}{7}$.
વળી,$\sec \theta = \frac{1}{\cos \theta} = -\frac{25}{7}$.
તેથી,$\sec \theta + \tan \theta = -\frac{25}{7} - \frac{24}{7} = -\frac{49}{7} = -7$.

(C) આપેલ છે કે $5 \tan \theta = 4$,તેથી $\tan \theta = \frac{4}{5}$.
પદાવલિના અંશ અને છેદને $\cos \theta$ વડે ભાગતા:
$\frac{5 \sin \theta - 3 \cos \theta}{5 \sin \theta + 2 \cos \theta} = \frac{5 \frac{\sin \theta}{\cos \theta} - 3}{5 \frac{\sin \theta}{\cos \theta} + 2}$
$\tan \theta = \frac{4}{5}$ ની કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \frac{5(\frac{4}{5}) - 3}{5(\frac{4}{5}) + 2}$
$= \frac{4 - 3}{4 + 2} = \frac{1}{6}$.

(C) આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{20}{21}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta$.
$\sec^2 \theta = 1 + (\frac{20}{21})^2 = 1 + \frac{400}{441} = \frac{441 + 400}{441} = \frac{841}{441}$.
તેથી,$\sec \theta = \pm \sqrt{\frac{841}{441}} = \pm \frac{29}{21}$.
કારણ કે $\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}$,તેથી $\cos \theta = \pm \frac{21}{29}$.

(B) આપેલ છે કે $\sin x = -\frac{24}{25}$.
$\sin^2 x + \cos^2 x = 1$ હોવાથી,$\cos^2 x = 1 - \sin^2 x$.
$\cos^2 x = 1 - \left(-\frac{24}{25}\right)^2 = 1 - \frac{576}{625} = \frac{49}{625}$.
તેથી,$\cos x = \pm \frac{7}{25}$.
$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ હોવાથી,જો $\cos x = \frac{7}{25}$ હોય,તો $\tan x = -\frac{24}{7}$.
જો $\cos x = -\frac{7}{25}$ હોય,તો $\tan x = \frac{24}{7}$.
આપેલા વિકલ્પો મુજબ,સાચો જવાબ $-\frac{24}{7}$ છે.

(B) આપેલ છે કે $\tan \theta = -\frac{4}{3}.$
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 \theta = 1 + \tan^2 \theta = 1 + \left(-\frac{4}{3}\right)^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}.$
તેથી,$\cos^2 \theta = \frac{1}{\sec^2 \theta} = \frac{9}{25}.$
$\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin^2 \theta = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$ મળે છે.
તેથી,$\sin \theta = \pm \frac{4}{5}.$
$\tan \theta$ ઋણ હોવાથી,$\theta$ એ બીજા અથવા ચોથા ચરણમાં આવે છે. બીજા ચરણમાં $\sin \theta$ ધન $(4/5)$ હોય છે અને ચોથા ચરણમાં $\sin \theta$ ઋણ $(-4/5)$ હોય છે.
આમ,બંને કિંમતો શક્ય છે.

(C) આપેલ છે કે $\sin \theta = -\frac{1}{\sqrt{2}}$ અને $\tan \theta = 1$.
કાર્તેઝિયન યામ પદ્ધતિમાં,વિવિધ ચરણોમાં ત્રિકોણમિતીય વિધેયોની નિશાનીઓ નીચે મુજબ છે:
- $I$ ચરણ: બધા ધન
- $II$ ચરણ: $\sin$ ધન
- $III$ ચરણ: $\tan$ ધન
- $IV$ ચરણ: $\cos$ ધન
અહીં $\sin \theta$ ઋણ છે અને $\tan \theta$ ધન છે,તેથી $\theta$ એ $III$ ચરણમાં હોવું જોઈએ,જ્યાં $\sin$ અને $\cos$ બંને ઋણ હોય છે,જેનાથી $\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta}$ ધન બને છે.

(A) આપેલ છે કે $\sin (\alpha - \beta ) = \frac{1}{2}$. કારણ કે $\sin 30^\circ = \frac{1}{2}$,તેથી $\alpha - \beta = 30^\circ$ $(i)$.
આપેલ છે કે $\cos (\alpha + \beta ) = \frac{1}{2}$. કારણ કે $\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,તેથી $\alpha + \beta = 60^\circ$ $(ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ નો સરવાળો કરતા $2\alpha = 90^\circ$ મળે,તેથી $\alpha = 45^\circ$.
$\alpha = 45^\circ$ ને સમીકરણ $(ii)$ માં મૂકતા,$45^\circ + \beta = 60^\circ$ મળે,તેથી $\beta = 15^\circ$.
આમ,$\alpha = 45^\circ$ અને $\beta = 15^\circ$ છે.

(C) આપેલ છે કે $\tan \theta = -\frac{1}{\sqrt{10}}$.
$\theta$ ચોથા ચરણમાં હોવાથી,$\cos \theta$ ધન હોવું જોઈએ.
આપણે નિત્યસમ $1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$ નો ઉપયોગ કરીએ.
$\tan \theta$ ની કિંમત મૂકતા:
$1 + \left(-\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 = \sec^2 \theta$
$1 + \frac{1}{10} = \sec^2 \theta$
$\sec^2 \theta = \frac{11}{10}$
$\cos \theta = \frac{1}{\sec \theta}$ હોવાથી,$\cos^2 \theta = \frac{1}{\sec^2 \theta} = \frac{10}{11}$.
$\theta$ ચોથા ચરણમાં હોવાથી,$\cos \theta$ ધન છે,તેથી $\cos \theta = \sqrt{\frac{10}{11}}$.

(D) આપેલ છે કે $3\tan A + 4 = 0,$ તેથી $\tan A = -\frac{4}{3}$.
$A$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\tan A$ ઋણ છે,$\sin A$ ધન છે અને $\cos A$ ઋણ છે.
નિત્યસમ $\sec^2 A = 1 + \tan^2 A = 1 + (-\frac{4}{3})^2 = 1 + \frac{16}{9} = \frac{25}{9}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sec A = -\frac{5}{3}$ મળે છે.
તેથી,$\cos A = \frac{1}{\sec A} = -\frac{3}{5}$.
વળી,$\sin A = \tan A \times \cos A = (-\frac{4}{3}) \times (-\frac{3}{5}) = \frac{4}{5}$.
અને $\cot A = \frac{1}{\tan A} = -\frac{3}{4}$.
આ કિંમતોને $2\cot A - 5\cos A + \sin A$ માં મૂકતા:
$= 2(-\frac{3}{4}) - 5(-\frac{3}{5}) + \frac{4}{5}$
$= -\frac{3}{2} + 3 + \frac{4}{5}$
$= \frac{-15 + 30 + 8}{10} = \frac{23}{10}$.

(B) ધારો કે $E = \sqrt{\frac{1 - \sin \theta}{1 + \sin \theta}} + \sqrt{\frac{1 + \sin \theta}{1 - \sin \theta}}$.
પદાવલિનું સાદું રૂપ આપતા:
$E = \frac{(1 - \sin \theta) + (1 + \sin \theta)}{\sqrt{1 - \sin^2 \theta}}$
$E = \frac{2}{\sqrt{\cos^2 \theta}} = \frac{2}{|\cos \theta|}$.
$\theta$ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\cos \theta$ ઋણ છે.
તેથી,$|\cos \theta| = -\cos \theta$.
આમ,$E = \frac{2}{-\cos \theta} = -2 \sec \theta$.

(B) આપેલ છે કે $x = \sec \theta + \tan \theta$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\sec^2 \theta - \tan^2 \theta = 1$,જેને $(\sec \theta - \tan \theta)(\sec \theta + \tan \theta) = 1$ તરીકે લખી શકાય.
તેથી,$\frac{1}{x} = \frac{1}{\sec \theta + \tan \theta} = \sec \theta - \tan \theta$.
હવે,$x + \frac{1}{x} = (\sec \theta + \tan \theta) + (\sec \theta - \tan \theta)$.
$x + \frac{1}{x} = 2 \sec \theta$.

(A) આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{a}{b}.$
$\tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \frac{a}{b}$ હોવાથી,$\sin \theta = \pm \frac{a}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ અને $\cos \theta = \pm \frac{b}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ મળે.
હવે,પદાવલિ $E = \frac{\sin \theta}{\cos^8 \theta} + \frac{\cos \theta}{\sin^8 \theta}$ ધ્યાનમાં લો.
$\sin \theta$ અને $\cos \theta$ ની કિંમતો મૂકતા:
$E = \pm \frac{(a^2 + b^2)^4}{\sqrt{a^2 + b^2}} \left( \frac{a}{b^8} + \frac{b}{a^8} \right).$

(A) આપેલ પદાવલિ $\cos 1^\circ$ થી $\cos 179^\circ$ સુધીના પદોનો ગુણાકાર છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે આ ગુણાકારમાં $\cos 90^\circ$ એક અવયવ તરીકે આવે છે.
કારણ કે $\cos 90^\circ = 0$ થાય છે,તેથી આ ગુણાકારનું મૂલ્ય $0$ થશે.
તેથી,$\cos 1^\circ \cdot \cos 2^\circ \cdot \dots \cdot \cos 90^\circ \cdot \dots \cdot \cos 179^\circ = 0$.

(C) આપેલ પદાવલિ $S = \sum_{k=1}^{180} \cos k^\circ$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos(180^\circ - \theta) = -\cos \theta$.
તેથી,$\cos 179^\circ = -\cos 1^\circ$,$\cos 178^\circ = -\cos 2^\circ$,વગેરે.
પદોની જોડી બનાવતા: $(\cos 1^\circ + \cos 179^\circ) + (\cos 2^\circ + \cos 178^\circ) + \dots + (\cos 89^\circ + \cos 91^\circ) + \cos 90^\circ + \cos 180^\circ$.
દરેક જોડીનો સરવાળો $0$ થાય છે કારણ કે $\cos \theta + \cos(180^\circ - \theta) = 0$.
કારણ કે $\cos 90^\circ = 0$ અને $\cos 180^\circ = -1$,તેથી કુલ સરવાળો $0 + 0 + \dots + 0 + 0 + (-1) = -1$ થાય છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\sin 15^\circ + \cos 105^\circ $
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos(90^\circ + \theta) = -\sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 105^\circ = \cos(90^\circ + 15^\circ) = -\sin 15^\circ $
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin 15^\circ + (-\sin 15^\circ) = 0$

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{\pi}{10} = 18^\circ$ અને $\frac{3\pi}{10} = 54^\circ$.
તેથી,$\sin \left( \frac{\pi}{10} \right) \sin \left( \frac{3\pi}{10} \right) = \sin 18^\circ \sin 54^\circ$.
કારણ કે $\sin 54^\circ = \cos(90^\circ - 54^\circ) = \cos 36^\circ$,પદાવલિ $\sin 18^\circ \cos 36^\circ$ બને છે.
$\sin 18^\circ = \frac{\sqrt{5}-1}{4}$ અને $\cos 36^\circ = \frac{\sqrt{5}+1}{4}$ કિંમતો મૂકતા:
$\frac{\sqrt{5}-1}{4} \times \frac{\sqrt{5}+1}{4} = \frac{(\sqrt{5})^2 - 1^2}{16} = \frac{5-1}{16} = \frac{4}{16} = \frac{1}{4}$.

(C) આપેલ સમીકરણ: $x \sin 45^\circ \cos^2 60^\circ = \frac{\tan^2 60^\circ \csc 30^\circ}{\sec 45^\circ \cot^2 30^\circ}$
ત્રિકોણમિતીય કિંમતો મૂકતા: $\sin 45^\circ = \frac{1}{\sqrt{2}}$,$\cos 60^\circ = \frac{1}{2}$,$\tan 60^\circ = \sqrt{3}$,$\csc 30^\circ = 2$,$\sec 45^\circ = \sqrt{2}$,$\cot 30^\circ = \sqrt{3}$.
$x \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{1}{2} \right)^2 = \frac{(\sqrt{3})^2 \times 2}{\sqrt{2} \times (\sqrt{3})^2}$
$x \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right) \left( \frac{1}{4} \right) = \frac{3 \times 2}{\sqrt{2} \times 3}$
$\frac{x}{4\sqrt{2}} = \frac{6}{3\sqrt{2}}$
$\frac{x}{4\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}}$
$x = \frac{2 \times 4\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$
$x = 8$.

(B) આપણે નીચેના ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\sin (270^\circ + A) = -\cos A$
$\sin (270^\circ - A) = -\cos A$
$\cos (180^\circ + A) = -\cos A$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\cos A + (-\cos A) - (-\cos A) + (-\cos A)$
$= \cos A - \cos A + \cos A - \cos A$
$= 0$

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sin (\pi + \theta ) = -\sin \theta$ અને $\sin (\pi - \theta ) = \sin \theta$ થાય છે.
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin (\pi + \theta )\sin (\pi - \theta )\csc^2 \theta = (-\sin \theta )(\sin \theta )\left(\frac{1}{\sin^2 \theta}\right)$
$= -\sin^2 \theta \times \frac{1}{\sin^2 \theta}$
$= -1$.

(C) આપણે જાણીએ છીએ કે $\cot(90^\circ - A) = \tan A$.
આપેલ પદાવલિ: $\cot (45^\circ + \theta ) \cot (45^\circ - \theta )$.
નિત્યસમ $\cot(45^\circ + \theta) = \tan(90^\circ - (45^\circ + \theta)) = \tan(45^\circ - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા.
આ કિંમત પદાવલિમાં મૂકતા:
$\tan (45^\circ - \theta ) \cot (45^\circ - \theta ) = 1$ (કારણ કે $\tan A \cot A = 1$).
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(A) આપેલ પદાવલિ: $\tan A + \cot (180^\circ + A) + \cot (90^\circ + A) + \cot (360^\circ - A)$
ત્રિકોણમિતીય રિડક્શન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરતા:
$\cot (180^\circ + A) = \cot A$
$\cot (90^\circ + A) = -\tan A$
$\cot (360^\circ - A) = -\cot A$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \tan A + \cot A - \tan A - \cot A$
$= 0$

(D) આપેલ પદાવલિ: $\tan \theta \sin \left( \frac{\pi }{2} + \theta \right) \cos \left( \frac{\pi }{2} - \theta \right)$ છે.
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\sin \left( \frac{\pi }{2} + \theta \right) = \cos \theta$ અને $\cos \left( \frac{\pi }{2} - \theta \right) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \tan \theta \cdot \cos \theta \cdot \sin \theta$
$= \left( \frac{\sin \theta}{\cos \theta} \right) \cdot \cos \theta \cdot \sin \theta$
$= \sin \theta \cdot \sin \theta$
$= \sin^2 \theta$.

(B) આપેલ છે કે $x = y \cos \frac{2\pi}{3} = z \cos \frac{4\pi}{3}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\cos \frac{2\pi}{3} = -\frac{1}{2}$ અને $\cos \frac{4\pi}{3} = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$x = y(-\frac{1}{2}) = z(-\frac{1}{2})$.
આનો અર્થ એ થાય કે $x = -\frac{y}{2} = -\frac{z}{2}$.
ધારો કે $x = \lambda$,તો $y = -2\lambda$ અને $z = -2\lambda$.
હવે,$xy + yz + zx$ ની ગણતરી કરો:
$xy + yz + zx = (\lambda)(-2\lambda) + (-2\lambda)(-2\lambda) + (-2\lambda)(\lambda)$
$= -2\lambda^2 + 4\lambda^2 - 2\lambda^2$
$= 0$.

(D) આપેલ પદાવલિ: $S = \sin ^2\frac{\pi }{8} + \sin ^2\frac{3\pi }{8} + \sin ^2\frac{5\pi }{8} + \sin ^2\frac{7\pi }{8}$
નિત્યસમ $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \frac{5\pi }{8} = \sin(\pi - \frac{3\pi }{8}) = \sin \frac{3\pi }{8}$
$\sin \frac{7\pi }{8} = \sin(\pi - \frac{\pi }{8}) = \sin \frac{\pi }{8}$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$S = \sin ^2\frac{\pi }{8} + \sin ^2\frac{3\pi }{8} + \sin ^2\frac{3\pi }{8} + \sin ^2\frac{\pi }{8}$
$S = 2(\sin ^2\frac{\pi }{8} + \sin ^2\frac{3\pi }{8})$
$\sin^2 \theta + \sin^2(\frac{\pi}{2} - \theta) = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\sin \frac{3\pi}{8} = \cos \frac{\pi}{8}$ હોવાથી,
$S = 2(\sin ^2\frac{\pi }{8} + \cos ^2\frac{\pi }{8}) = 2(1) = 2$.

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\tan(-\theta) = -\tan(\theta)$.
તેથી,$\tan(-945^\circ) = -\tan(945^\circ)$.
કારણ કે $945^\circ = 2 \times 360^\circ + 225^\circ$,તેથી $\tan(945^\circ) = \tan(225^\circ)$.
હવે,$\tan(225^\circ) = \tan(180^\circ + 45^\circ) = \tan(45^\circ) = 1$.
તેથી,$\tan(-945^\circ) = -1$.

(C) આપેલ છે કે $A = \frac{5\pi}{4}$.
આપણે $\cos A - \sin A$ ની કિંમત શોધવાની છે.
$\cos\left(\frac{5\pi}{4}\right) - \sin\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \cos\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right) - \sin\left(\pi + \frac{\pi}{4}\right)$.
$\cos(\pi + \theta) = -\cos \theta$ અને $\sin(\pi + \theta) = -\sin \theta$ હોવાથી:
$= -\cos\left(\frac{\pi}{4}\right) - (-\sin\left(\frac{\pi}{4}\right))$
$= -\frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} = 0$.

(D) આપણે ત્રિકોણમિતીય ઘટાડાના સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\cos (270^\circ + \theta ) = \sin \theta$
$\cos (90^\circ - \theta ) = \sin \theta$
$\sin (270^\circ - \theta ) = -\cos \theta$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$\sin \theta \cdot \sin \theta - (-\cos \theta ) \cdot \cos \theta$
$= \sin^2 \theta + \cos^2 \theta$
$= 1$

(B) $\sin C - \sin D = 2 \cos \frac{C+D}{2} \sin \frac{C-D}{2}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sin 50^\circ - \sin 70^\circ + \sin 10^\circ$
$= 2 \cos \frac{50^\circ + 70^\circ}{2} \sin \frac{50^\circ - 70^\circ}{2} + \sin 10^\circ$
$= 2 \cos 60^\circ \sin(-10^\circ) + \sin 10^\circ$
$= -2 \cos 60^\circ \sin 10^\circ + \sin 10^\circ$
$= -2 \times \frac{1}{2} \times \sin 10^\circ + \sin 10^\circ$
$= -\sin 10^\circ + \sin 10^\circ = 0.$

(C) આપેલ પદાવલિ: $\frac{\sin 70^\circ + \cos 40^\circ}{\cos 70^\circ + \sin 40^\circ}$
નિત્યસમ $\cos \theta = \sin(90^\circ - \theta)$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\cos 40^\circ = \sin 50^\circ$ અને $\cos 70^\circ = \sin 20^\circ$
આ કિંમતો મૂકતા:
$= \frac{\sin 70^\circ + \sin 50^\circ}{\sin 20^\circ + \sin 40^\circ}$
સરવાળામાંથી ગુણાકારના સૂત્ર $\sin A + \sin B = 2 \sin(\frac{A+B}{2}) \cos(\frac{A-B}{2})$ નો ઉપયોગ કરતા:
અંશ: $\sin 70^\circ + \sin 50^\circ = 2 \sin 60^\circ \cos 10^\circ$
છેદ: $\sin 20^\circ + \sin 40^\circ = 2 \sin 30^\circ \cos(-10^\circ) = 2 \sin 30^\circ \cos 10^\circ$
$= \frac{2 \sin 60^\circ \cos 10^\circ}{2 \sin 30^\circ \cos 10^\circ}$
$= \frac{\sin 60^\circ}{\sin 30^\circ} = \frac{\sqrt{3}/2}{1/2} = \sqrt{3}$.

(A) અમે રિડક્શન સૂત્રોનો ઉપયોગ કરીએ છીએ:
$\sin 600^\circ = -\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 330^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$
$\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}$
$\sin 150^\circ = \frac{1}{2}$
આ કિંમતોને પદાવલિમાં મૂકતા:
$(- \frac{\sqrt{3}}{2})(\frac{\sqrt{3}}{2}) + (- \frac{1}{2})(\frac{1}{2}) = -\frac{3}{4} - \frac{1}{4} = -\frac{4}{4} = -1$.

(B) આપેલ પદાવલિ: $\frac{{\cot^2 15^\circ - 1}}{{\cot^2 15^\circ + 1}}$
$\cot 15^\circ = \frac{{\cos 15^\circ}}{{\sin 15^\circ}}$ મૂકતા:
$= \frac{{\frac{{\cos^2 15^\circ}}{{\sin^2 15^\circ}} - 1}}{{\frac{{\cos^2 15^\circ}}{{\sin^2 15^\circ}} + 1}}$
અંશ અને છેદનું સાદુંરૂપ આપતા:
$= \frac{{\cos^2 15^\circ - \sin^2 15^\circ}}{{\cos^2 15^\circ + \sin^2 15^\circ}}$
ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમ $\cos^2 \theta - \sin^2 \theta = \cos(2\theta)$ અને $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$= \cos(2 \times 15^\circ) = \cos 30^\circ$
$\cos 30^\circ = \frac{{\sqrt{3}}}{2}$ હોવાથી,અંતિમ જવાબ $\frac{{\sqrt{3}}}{2}$ છે.

(C) આપેલ છે કે,વર્તુળાકાર તારનો વ્યાસ $10 \, cm$ છે.
તેથી,તારની લંબાઈ (ચાપની લંબાઈ $s$) તારના પરિઘ જેટલી થાય: $s = \pi \times d = 10\pi \, cm$.
જે વર્તુળ પર તાર મૂકવામાં આવે છે તેનો વ્યાસ $1 \, m = 100 \, cm$ છે.
તેથી,આ વર્તુળની ત્રિજ્યા $r = \frac{100}{2} = 50 \, cm$ થાય.
$r$ ત્રિજ્યાવાળા વર્તુળના કેન્દ્ર આગળ $s$ લંબાઈના ચાપ દ્વારા આંતરાતો ખૂણો $\theta = \frac{s}{r}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
કિંમતો મૂકતા,$\theta = \frac{10\pi}{50} = \frac{\pi}{5} \, \text{રેડિયન}$.

(A) આપેલ છે કે $\tan \theta = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha}{\sin \alpha + \cos \alpha}$.
અંશ અને છેદને $\cos \alpha$ વડે ભાગતા,$\tan \theta = \frac{\tan \alpha - 1}{\tan \alpha + 1} = \tan(\alpha - \frac{\pi}{4})$.
તેથી,$\theta = \alpha - \frac{\pi}{4}$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = \theta + \frac{\pi}{4}$.
હવે,$\sin \alpha + \cos \alpha = \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) + \cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \cos \theta$.
તે જ રીતે,$\sin \alpha - \cos \alpha = \sin(\theta + \frac{\pi}{4}) - \cos(\theta + \frac{\pi}{4}) = \sqrt{2} \sin \theta$.

(B) આપેલ છે કે $x = \sin 130^\circ \cos 80^\circ$ અને $y = \sin 80^\circ \cos 130^\circ$.
$130^\circ$ એ બીજા ચરણમાં હોવાથી,$\sin 130^\circ = \sin 50^\circ = \cos 40^\circ > 0$ અને $\cos 130^\circ = -\sin 40^\circ < 0$.
વળી,$\cos 80^\circ > 0$ અને $\sin 80^\circ > 0$.
તેથી,$x = (\sin 130^\circ)(\cos 80^\circ) = (\text{ધન})(\text{ધન}) > 0$.
અને $y = (\sin 80^\circ)(\cos 130^\circ) = (\text{ધન})(\text{ઋણ}) < 0$.
$x > 0$ અને $y < 0$ હોવાથી,તેમનો ગુણાકાર $xy < 0$ થાય.
$z = 1 + xy$ આપેલ હોવાથી,$xy < 0$ હોવાથી $z < 1$ મળે.
આમ,$0 < z < 1$ સાચું છે.

(A) આપેલ છે કે $\sin (A + B) = 1$ અને $\cos (A - B) = \frac{\sqrt{3}}{2}$.
$\sin 90^\circ = 1$ હોવાથી,$A + B = 90^\circ$.
$\cos 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$ હોવાથી,$A - B = 30^\circ$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $(A + B) + (A - B) = 90^\circ + 30^\circ$ $\Rightarrow 2A = 120^\circ$ $\Rightarrow A = 60^\circ$.
$A = 60^\circ$ ને $A + B = 90^\circ$ માં મૂકતા,$60^\circ + B = 90^\circ \Rightarrow B = 30^\circ$.
આમ,$A$ અને $B$ ની સૌથી નાની ધન કિંમતો $60^\circ$ અને $30^\circ$ છે.

(A) ધારો કે $AC = BC = a$. $D$ એ $AC$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$CD = a/2$ થાય.
કાટકોણ ત્રિકોણ $\triangle BCD$ માં,$\angle C = 90^{\circ}$ છે.
ધારો કે $\angle DBC = \alpha$.
તેથી,$\tan \alpha = \frac{CD}{BC} = \frac{a/2}{a} = \frac{1}{2}$.
આમ,$\cot \alpha = \frac{1}{\tan \alpha} = 2$.

(B) આપેલ વિધેય $f(x) = \cos (x/3)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે મૂળભૂત કોસાઇન વિધેય $y = \cos(\theta)$ નો વિસ્તાર કોઈપણ વાસ્તવિક કિંમત $\theta$ માટે $[-1, 1]$ છે.
અહીં,$\theta = x/3$ છે. કારણ કે $x$ કોઈપણ વાસ્તવિક સંખ્યા હોઈ શકે છે,તેથી $x/3$ પણ તમામ વાસ્તવિક કિંમતો ધારણ કરે છે.
તેથી,$\cos(x/3)$ નો વિસ્તાર $[-1, 1]$ જ રહે છે.
આમ,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(C) અહીં કાર્તેઝિયન યામ $(x, y) = (-\sqrt{3}, -1)$ છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે $r = \sqrt{x^2 + y^2} = \sqrt{(-\sqrt{3})^2 + (-1)^2} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2$.
ખૂણા $\theta$ માટે,$\cos \theta = \frac{x}{r} = \frac{-\sqrt{3}}{2}$ અને $\sin \theta = \frac{y}{r} = \frac{-1}{2}$ છે.
અહીં $\sin \theta$ અને $\cos \theta$ બંને ઋણ હોવાથી,બિંદુ ત્રીજા ચરણમાં આવેલું છે.
સંદર્ભ ખૂણો $\alpha = \tan^{-1}\left|\frac{-1}{-\sqrt{3}}\right| = \tan^{-1}\left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right) = \frac{\pi}{6}$ છે.
ત્રીજા ચરણમાં,$\theta = -(\pi - \frac{\pi}{6}) = -\frac{5\pi}{6}$ થાય.
તેથી,ધ્રુવીય યામ $(2, -5\pi/6)$ છે.

(D) જો કોઈ વિધેય $f(x)$ કોઈ અંતરાલ પર કાં તો સંપૂર્ણપણે અ-વધતું અથવા અ-ઘટતું હોય,તો તેને એકસૂત્રી (monotonic) વિધેય કહેવાય છે.
ત્રિકોણમિતીય વિધેયો જેવા કે $\sin(x)$,$\cos(x)$,$\tan(x)$ વગેરે આવર્તનીય વિધેયો છે.
ઉદાહરણ તરીકે,$\sin(x)$ એ અંતરાલ $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ માં વધે છે અને અંતરાલ $(\frac{\pi}{2}, \frac{3\pi}{2})$ માં ઘટે છે.
આ વિધેયો તેમના મૂલ્યો વચ્ચે દોલન કરતા હોવાથી,તેઓ તેમના સમગ્ર પ્રદેશ $\mathbb{R}$ પર એકસૂત્રી હોતા નથી.
તેથી,ત્રિકોણમિતીય વિધેયો એકસૂત્રી હોય તે જરૂરી નથી.

(B) આપેલ છે કે $\sin \theta = \frac{1}{2}$,અને $\theta$ લઘુકોણ હોવાથી,$\theta = \frac{\pi}{6}$.
આપેલ છે કે $\cos \phi = \frac{1}{3}$,અને $\cos \frac{\pi}{3} = \frac{1}{2}$ તથા $\cos \frac{\pi}{2} = 0$ હોવાથી,$\frac{1}{3}$ એ $0$ અને $\frac{1}{2}$ ની વચ્ચે છે,તેથી $\frac{\pi}{3} < \phi < \frac{\pi}{2}$.
અસમતા $\frac{\pi}{3} < \phi < \frac{\pi}{2}$ માં $\theta = \frac{\pi}{6}$ ઉમેરતા,$\frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{3} < \theta + \phi < \frac{\pi}{6} + \frac{\pi}{2}$ મળે.
જેનું સાદું રૂપ $\frac{\pi}{2} < \theta + \phi < \frac{2\pi}{3}$ થાય છે.

(A) પ્રતીક $ \alpha $ એ alpha અક્ષર દર્શાવે છે. તેથી,સાચો વિકલ્પ $ A $ છે.

(D) ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan(x - \frac{\pi}{2}) = -\cot x$
$\cos(\frac{3\pi}{2} + x) = \sin x$
$\sin(\frac{7\pi}{2} - x) = -\cos x$
$\cos(x - \frac{\pi}{2}) = \sin x$
$\tan(\frac{3\pi}{2} + x) = -\cot x$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \frac{(-\cot x)(\sin x) - (-\cos x)^3}{(\sin x)(-\cot x)}$
$= \frac{-\cos x + \cos^3 x}{-\cos x}$
$= \frac{\cos x(\cos^2 x - 1)}{-\cos x}$
$= -(\cos^2 x - 1) = \sin^2 x$

(A) આપેલ છે કે $\cos(\alpha + \beta) = 0$.
$\cos(\theta) = 0$ નો અર્થ છે કે $\theta = \frac{\pi}{2} + n\pi$,તેથી આપણે મુખ્ય કિંમત $\alpha + \beta = \frac{\pi}{2}$ લઈએ છીએ.
આમ,$\beta = \frac{\pi}{2} - \alpha$.
હવે,$\sin(\alpha + 2\beta)$ પદમાં $\beta$ ની કિંમત મૂકતા:
$\sin(\alpha + 2(\frac{\pi}{2} - \alpha)) = \sin(\alpha + \pi - 2\alpha) = \sin(\pi - \alpha)$.
નિત્યસમ $\sin(\pi - \theta) = \sin \theta$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $\sin(\pi - \alpha) = \sin \alpha$ મળે છે.

(A) ત્રિકોણમિતીય નિત્યસમનો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) = \cot \alpha$
$\cos \left( \frac{3\pi}{2} - \alpha \right) = -\sin \alpha$
$\cos (2\pi - \alpha ) = \cos \alpha$
$\cos \left( \alpha - \frac{\pi}{2} \right) = \sin \alpha$
$\sin (\pi - \alpha ) = \sin \alpha$
$\cos (\pi + \alpha ) = -\cos \alpha$
$\sin \left( \alpha - \frac{\pi}{2} \right) = -\cos \alpha$
આ કિંમતો પદાવલિમાં મૂકતા:
$= \frac{(\cot \alpha )(-\sin \alpha )}{\cos \alpha } + (\sin \alpha )(\sin \alpha ) + (-\cos \alpha )(-\cos \alpha )$
$= \frac{(\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha })(-\sin \alpha )}{\cos \alpha } + \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha$
$= -1 + 1 = 0$