Locus of Point Questions in Hindi

(B) माना बिंदु $P(x, x)$ है क्योंकि भुज और कोटि समान हैं।
दिया गया है कि $P$,$A(1, 0)$ और $B(0, 3)$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PA^2 = PB^2$ होगा।
$(x - 1)^2 + (x - 0)^2 = (x - 0)^2 + (x - 3)^2$
$(x - 1)^2 + x^2 = x^2 + (x - 3)^2$
$x^2 - 2x + 1 + x^2 = x^2 + x^2 - 6x + 9$
$-2x + 1 = -6x + 9$
$4x = 8$
$x = 2$
अतः,बिंदु $(2, 2)$ है।

(D) माना दिए गए बिंदु $P(a + b, b - a)$ और $Q(a - b, a + b)$ हैं। बिंदु $(x, y)$ $P$ और $Q$ से समान दूरी पर है,इसलिए $dist(P, (x, y))^2 = dist(Q, (x, y))^2$.
$(x - (a + b))^2 + (y - (b - a))^2 = (x - (a - b))^2 + (y - (a + b))^2$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$x^2 - 2x(a + b) + (a + b)^2 + y^2 - 2y(b - a) + (b - a)^2 = x^2 - 2x(a - b) + (a - b)^2 + y^2 - 2y(a + b) + (a + b)^2$
दोनों पक्षों से $x^2, y^2, (a + b)^2$ को हटाने पर:
$-2ax - 2bx + (b - a)^2 - 2by + 2ay = -2ax + 2bx + (a - b)^2 - 2ay - 2by$
चूंकि $(b - a)^2 = (a - b)^2$,ये पद भी कट जाएंगे:
$-2bx + 2ay = 2bx - 2ay$
$4ay = 4bx$
$bx - ay = 0$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) माना बिंदु $P(x, y)$ है। $P$ से $(2, 0)$ की दूरी,$P$ से $(0, 2)$ की दूरी के बराबर है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(x-2)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x-0)^2 + (y-2)^2}$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर: $(x-2)^2 + y^2 = x^2 + (y-2)^2$.
पदों का विस्तार करने पर: $x^2 - 4x + 4 + y^2 = x^2 + y^2 - 4y + 4$.
सरल करने पर: $-4x = -4y$,जिसका अर्थ है $x = y$.
विकल्पों की जाँच करने पर,बिंदु $(2, 2)$ शर्त $x = y$ को संतुष्ट करता है और $(2, 0)$ तथा $(0, 2)$ से समान दूरी पर है।

(A) चूंकि बिंदु $A(3, 4)$,$B(7, 7)$,और $C(a, b)$ संरेख हैं,इसलिए $AB$ की ढाल और $BC$ की ढाल बराबर होगी।
$AB$ की ढाल = $\frac{7 - 4}{7 - 3} = \frac{3}{4}$.
$BC$ की ढाल = $\frac{b - 7}{a - 7} = \frac{3}{4}$,जिसका अर्थ है $3a - 4b = -7$.
$AC = 10$ दिया गया है,इसलिए $(a - 3)^2 + (b - 4)^2 = 100$.
समीकरण को हल करने पर,हमें $a = 11$ और $b = 10$ प्राप्त होता है।
अतः सही विकल्प $(11, 10)$ है।

(D) माना बिंदु $P(x, y)$ है।
चूँकि $O$ मूलबिंदु $(0, 0)$ है,रेखाखंड $OP$ की ढाल $m = \frac{y - 0}{x - 0} = \frac{y}{x}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि ढाल $\sqrt{3}$ है,इसलिए $\frac{y}{x} = \sqrt{3}$।
दोनों पक्षों को $x$ से गुणा करने पर,हमें $y = \sqrt{3}x$ प्राप्त होता है।
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $\sqrt{3}x - y = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,अभीष्ट बिंदुपथ $\sqrt{3}x - y = 0$ है।

(A) माना गतिमान बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिए गए बिंदुओं के निर्देशांक $O(0, 0)$,$A(0, 4)$ और $B(6, 0)$ हैं।
$\Delta POA$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(4 - y) + 0(y - 0) + x(0 - 4)| = 2|x|$.
$\Delta POB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |0(0 - y) + 6(y - 0) + x(0 - 0)| = 3|y|$.
प्रश्न के अनुसार,$\Delta POA$ का क्षेत्रफल $= 2 \times \Delta POB$ का क्षेत्रफल।
अतः,$2|x| = 2 \times 3|y|$.
$|x| = 3|y|$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$x^2 = 9y^2$,जिसका अर्थ है $x^2 - 9y^2 = 0$.
इसे $(x - 3y)(x + 3y) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(A) मूल बिंदु $O$ का निर्देशांक $(0,0)$ है और बिंदु $A$ का $(3,4)$ है।
चूंकि रेखाखंड $OP$,$OA$ के समानांतर है और दोनों बिंदु $O$ से होकर गुजरते हैं,इसलिए बिंदु $O, A$ और $P$ संरेख होने चाहिए।
रेखा $OA$ की ढाल $m = \frac{4-0}{3-0} = \frac{4}{3}$ है।
चूंकि बिंदु $P(x,y)$,$O(0,0)$ से गुजरने वाली और $\frac{4}{3}$ ढाल वाली रेखा पर स्थित है,इसलिए बिंदु पथ का समीकरण $y - 0 = \frac{4}{3}(x - 0)$ होगा।
इसे सरल करने पर $3y = 4x$ या $4x - 3y = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना गतिमान बिंदु $P(h, k)$ है।
दिया गया है कि दूरी $PA = PB$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\sqrt{(h - a)^2 + (k - 0)^2} = \sqrt{(h - (-a))^2 + (k - 0)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(h - a)^2 + k^2 = (h + a)^2 + k^2$
$h^2 - 2ah + a^2 + k^2 = h^2 + 2ah + a^2 + k^2$
$-2ah = 2ah$
$4ah = 0$
चूंकि $a \neq 0$,इसलिए हमें $h = 0$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x = 0$ है,जो $y$-अक्ष है।
$y$-अक्ष $A(a, 0)$ और $B(-a, 0)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड का लंब समद्विभाजक है।

(B) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है कि $PA^2 - PB^2 = 2k^2$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करते हुए,$PA^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2$ और $PB^2 = (x + a)^2 + (y - 0)^2$ है।
इन मानों को दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$((x - a)^2 + y^2) - ((x + a)^2 + y^2) = 2k^2$
$(x^2 - 2ax + a^2 + y^2) - (x^2 + 2ax + a^2 + y^2) = 2k^2$
$-4ax = 2k^2$
$4ax + 2k^2 = 0$
$2$ से विभाजित करने पर,हमें $2ax + k^2 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई रेखा $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ है।
$x$-अंतःखंड के लिए $y = 0$ रखने पर,$x = \frac{p}{\cos \alpha}$ प्राप्त होता है। अतः बिंदु $A = (\frac{p}{\cos \alpha}, 0)$ है।
$y$-अंतःखंड के लिए $x = 0$ रखने पर,$y = \frac{p}{\sin \alpha}$ प्राप्त होता है। अतः बिंदु $B = (0, \frac{p}{\sin \alpha})$ है।
माना $(h, k)$ रेखाखंड $AB$ का मध्य-बिंदु है।
अतः $h = \frac{p}{2 \cos \alpha}$ और $k = \frac{p}{2 \sin \alpha}$ है।
इससे $\cos \alpha = \frac{p}{2h}$ और $\sin \alpha = \frac{p}{2k}$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$ का उपयोग करने पर,$(\frac{p}{2k})^2 + (\frac{p}{2h})^2 = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{p^2}{4k^2} + \frac{p^2}{4h^2} = 1 \Rightarrow \frac{1}{h^2} + \frac{1}{k^2} = \frac{4}{p^2}$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{4}{p^2}$ है।

(B) माना $P(x, y)$ है। $\Delta PAB$ का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 12$ द्वारा दिया जाता है।
$P(x, y)$,$A(2, 3)$,और $B(-4, 5)$ के मान रखने पर:
$\frac{1}{2} |x(3 - 5) + 2(5 - y) + (-4)(y - 3)| = 12$
$\frac{1}{2} |-2x + 10 - 2y - 4y + 12| = 12$
$|-2x - 6y + 22| = 24$
$|-x - 3y + 11| = 12$
इसका अर्थ है $-x - 3y + 11 = 12$ या $-x - 3y + 11 = -12$ है।
स्थिति $1$: $x + 3y + 1 = 0$.
स्थिति $2$: $x + 3y - 23 = 0$.
अतः,बिंदुपथ $(x + 3y + 1)(x + 3y - 23) = 0$ है।

(B) माना त्रिभुज का केंद्रक $(x, y)$ है।
दिए गए शीर्ष $(x_1, y_1) = (a \cos t, a \sin t)$,$(x_2, y_2) = (b \sin t, -b \cos t)$ और $(x_3, y_3) = (1, 0)$ हैं।
केंद्रक के निर्देशांक $x = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}$ और $y = \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3}$ द्वारा दिए जाते हैं।
अतः,$3x = a \cos t + b \sin t + 1$ और $3y = a \sin t - b \cos t$ है।
पुनर्व्यवस्थित करने पर,$3x - 1 = a \cos t + b \sin t$ और $3y = a \sin t - b \cos t$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3x - 1)^2 + (3y)^2 = (a \cos t + b \sin t)^2 + (a \sin t - b \cos t)^2$.
दाहिनी ओर का विस्तार करने पर:
$= a^2 \cos^2 t + b^2 \sin^2 t + 2ab \sin t \cos t + a^2 \sin^2 t + b^2 \cos^2 t - 2ab \sin t \cos t$.
$= a^2(\cos^2 t + \sin^2 t) + b^2(\sin^2 t + \cos^2 t) = a^2 + b^2$.
अतः,बिंदु पथ $(3x - 1)^2 + (3y)^2 = a^2 + b^2$ है।

(A) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है कि $PA = PB$,इसलिए $(PA)^2 = (PB)^2$ होगा।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $(x - (a + b))^2 + (y - (a - b))^2 = (x - (a - b))^2 + (y - (a + b))^2$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 2x(a + b) + (a + b)^2) + (y^2 - 2y(a - b) + (a - b)^2) = (x^2 - 2x(a - b) + (a - b)^2) + (y^2 - 2y(a + b) + (a + b)^2)$.
दोनों पक्षों से $x^2, y^2, (a + b)^2,$ और $(a - b)^2$ को हटाने पर:
$-2x(a + b) - 2y(a - b) = -2x(a - b) - 2y(a + b)$.
$-2$ से विभाजित करने पर:
$x(a + b) + y(a - b) = x(a - b) + y(a + b)$.
$ax + bx + ay - by = ax - bx + ay + by$.
$bx - by = -bx + by$.
$2bx - 2by = 0$.
$x - y = 0$.

(C) चूंकि $ABC$ आधार $BC$ वाला एक समद्विबाहु त्रिभुज है,इसलिए शीर्ष $A(x, y)$ को $BC$ के लंब समद्विभाजक पर स्थित होना चाहिए।
$BC$ का मध्य बिंदु $M = \left( \frac{1 - 2}{2}, \frac{3 + 7}{2} \right) = \left( -\frac{1}{2}, 5 \right)$ है।
$BC$ की ढाल $m_{BC} = \frac{7 - 3}{-2 - 1} = -\frac{4}{3}$ है।
लंब समद्विभाजक की ढाल $m_{\perp} = \frac{3}{4}$ है।
लंब समद्विभाजक का समीकरण $6x - 8y + 43 = 0$ प्राप्त होता है।
विकल्प $(C)$ की जाँच करने पर: $6(\frac{5}{6}) - 8(6) + 43 = 5 - 48 + 43 = 0$। अतः,यह बिंदु शीर्ष $A$ के लिए मान्य है।

(C) माना छड़ $AB$ है जिसकी लंबाई $l$ है। माना सिरे $A$ और $B$ क्रमशः $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर स्थित हैं,ताकि $A = (a, 0)$ और $B = (0, b)$ हो।
चूंकि छड़ की लंबाई $l$ है,इसलिए $a^2 + b^2 = l^2$ है।
माना $P(h, k)$ छड़ पर स्थित वह बिंदु है जो इसे $1 : 2$ के अनुपात में विभाजित करता है। विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर:
$h = \frac{1 \times 0 + 2 \times a}{1 + 2} = \frac{2a}{3} \Rightarrow a = \frac{3h}{2}$
$k = \frac{1 \times b + 2 \times 0}{1 + 2} = \frac{b}{3} \Rightarrow b = 3k$
इन मानों को $a^2 + b^2 = l^2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{3h}{2})^2 + (3k)^2 = l^2$
$\frac{9h^2}{4} + 9k^2 = l^2$
$9h^2 + 36k^2 = 4l^2$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $9x^2 + 36y^2 = 4l^2$ प्राप्त होता है।

(D) मान लीजिए कि तीसरा शीर्ष $C$ बिंदु $(x, y)$ है।
त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक $G$ इस प्रकार है:
$G = \left( \frac{2 - 2 + x}{3}, \frac{-3 + 1 + y}{3} \right) = \left( \frac{x}{3}, \frac{y - 2}{3} \right)$.
यह दिया गया है कि केंद्रक रेखा $2x + 3y = 1$ पर चलता है,इसलिए $G$ के निर्देशांक को इस समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2\left( \frac{x}{3} \right) + 3\left( \frac{y - 2}{3} \right) = 1$.
पूरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर:
$2x + 3(y - 2) = 3$
$2x + 3y - 6 = 3$
$2x + 3y = 9$.
अतः,शीर्ष $C$ का बिंदु पथ $2x + 3y = 9$ है।

(A) मान लीजिए कि दो लंबवत रेखाएं निर्देशांक अक्ष हैं। यदि $a$ और $b$ गतिमान रेखा द्वारा निर्देशांक अक्षों पर बनाए गए अंतःखंड हैं,तो रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ ..... $(i)$ है।
प्रश्न के अनुसार,अंतःखंडों के व्युत्क्रमों का योग स्थिर है,मान लीजिए $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{k}$,जहाँ $k$ एक स्थिरांक है।
$k$ से गुणा करने पर,हमें $\frac{k}{a} + \frac{k}{b} = 1$ ..... $(ii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(i)$ और समीकरण $(ii)$ की तुलना करने पर,हम देख सकते हैं कि रेखा हमेशा निश्चित बिंदु $(k, k)$ से होकर गुजरती है।

(A) माना मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा पर लंब का पाद $(x, y)$ है।
चूंकि रेखा $(h, k)$ और $(x, y)$ से होकर गुजरती है,इसकी ढाल $m = \frac{y - k}{x - h}$ है।
मूल बिंदु से $(x, y)$ तक के लंब रेखाखंड की ढाल $m' = \frac{y}{x}$ है।
चूंकि रेखाएं लंबवत हैं,उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा:
$\left(\frac{y - k}{x - h}\right) \times \left(\frac{y}{x}\right) = -1$
$y(y - k) = -x(x - h)$
$y^2 - ky = -x^2 + hx$
$x^2 + y^2 - hx - ky = 0$
अतः,अभीष्ट बिंदुपथ $x^2 + y^2 - hx - ky = 0$ है।

(C) दी गई रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है .....$(i)$
इस रेखा की ढाल $m_1 = -\frac{b}{a}$ है।
मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरने वाली लंब रेखा की ढाल $m_2 = \frac{a}{b}$ है।
लंब रेखा का समीकरण $y - 0 = \frac{a}{b}(x - 0)$ है,जो सरल होकर $\frac{x}{b} - \frac{y}{a} = 0$ हो जाता है .....$(ii)$
मान लीजिए $(x, y)$ लंब का पाद है। समीकरण $(i)$ और $(ii)$ का वर्ग करके जोड़ने पर:
$\left(\frac{x}{a} + \frac{y}{b}\right)^2 + \left(\frac{x}{b} - \frac{y}{a}\right)^2 = 1^2 + 0^2$
$x^2\left(\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2}\right) + y^2\left(\frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2}\right) = 1$
चूंकि $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{c^2}$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$(x^2 + y^2)\left(\frac{1}{c^2}\right) = 1$
अतः,बिंदुपथ $x^2 + y^2 = c^2$ है।

(B) माना कि दो लंबवत रेखाएँ निर्देशांक अक्ष $OX$ और $OY$ हैं।
माना कि $P(x, y)$ वह बिंदु है जिसका बिंदुपथ ज्ञात करना है।
चूँकि $P$ प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए $x > 0$ और $y > 0$ है।
$P(x, y)$ की $Y$-अक्ष $(OY)$ से दूरी $x$ है और $X$-अक्ष $(OX)$ से दूरी $y$ है।
प्रश्न के अनुसार,इन दूरियों का योग $2$ इकाई है:
$x + y = 2$
चूँकि बिंदु प्रथम चतुर्थांश में है,इसलिए बिंदुपथ रेखाखंड $x + y = 2$ है जहाँ $x > 0$ और $y > 0$ है।

(B) सरल रेखाओं $\frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} = 1$ और $\frac{x}{\beta} + \frac{y}{\alpha} = 1$ के प्रतिच्छेदन से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\left( \frac{x}{\alpha} + \frac{y}{\beta} - 1 \right) + \lambda \left( \frac{x}{\beta} + \frac{y}{\alpha} - 1 \right) = 0$ है।
यह रेखा अक्षों को $A \left( \frac{1 + \lambda}{\frac{1}{\alpha} + \frac{\lambda}{\beta}}, 0 \right)$ और $B \left( 0, \frac{1 + \lambda}{\frac{1}{\beta} + \frac{\lambda}{\alpha}} \right)$ पर काटती है।
माना $(h, k)$ $AB$ का मध्य बिंदु है।
तब $h = \frac{1 + \lambda}{2(\frac{1}{\alpha} + \frac{\lambda}{\beta})}$ और $k = \frac{1 + \lambda}{2(\frac{1}{\beta} + \frac{\lambda}{\alpha})}$।
इनसे $\lambda$ को विलुप्त करने पर,हमें $\alpha \beta (h + k) = 2hk(\alpha + \beta)$ प्राप्त होता है।
अतः $(h, k)$ का बिंदुपथ $\alpha \beta (x + y) = 2xy(\alpha + \beta)$ है।

(A) माना बिंदु $(x, y)$ है।
बिंदुओं $(x, y)$,$(1, 5)$ और $(3, -7)$ के साथ बनने वाले त्रिभुज का क्षेत्रफल:
$\frac{1}{2} |x(5 - (-7)) + 1(-7 - y) + 3(y - 5)| = 21$
$\frac{1}{2} |12x + 2y - 22| = 21$
$|6x + y - 11| = 21$
अतः,$6x + y - 11 = 21$ या $6x + y - 11 = -21$ है।
इसलिए,$6x + y - 32 = 0$ या $6x + y + 10 = 0$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के अनुसार,सही उत्तर $6x + y - 32 = 0$ है।

(B) माना $(1, 1)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - 1 = m(x - 1)$ है,जहाँ $m$ ढाल है।
$x$-अक्ष के प्रतिच्छेदन के लिए $(y = 0)$: $-1 = m(x - 1) \Rightarrow x = 1 - \frac{1}{m}$। अतः,$A = (1 - \frac{1}{m}, 0)$।
$y$-अक्ष के प्रतिच्छेदन के लिए $(x = 0)$: $y - 1 = m(-1) \Rightarrow y = 1 - m$। अतः,$B = (0, 1 - m)$।
माना $AB$ का मध्य-बिंदु $(h, k)$ है।
तब $h = \frac{1 - \frac{1}{m} + 0}{2} = \frac{m - 1}{2m}$ और $k = \frac{0 + 1 - m}{2} = \frac{1 - m}{2}$।
$k = \frac{1 - m}{2}$ से,हमें $m = 1 - 2k$ प्राप्त होता है।
$h$ के समीकरण में $m$ का मान रखने पर: $2h = \frac{(1 - 2k) - 1}{1 - 2k} = \frac{-2k}{1 - 2k}$।
$2h(1 - 2k) = -2k$ $\Rightarrow 2h - 4hk = -2k$ $\Rightarrow 2h + 2k - 4hk = 0$।
$2$ से विभाजित करने पर,$h + k - 2hk = 0$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x + y - 2xy = 0$ है।

(C) माना $\Delta ABC$ का केंद्रक $G(h, k)$ है।
दिया है $A = (2, 5)$ और $B = (4, -11)$। माना $C = (x, y)$ है।
केंद्रक के निर्देशांक $h = \frac{2 + 4 + x}{3}$ और $k = \frac{5 - 11 + y}{3}$ हैं।
अतः,$x = 3h - 6$ और $y = 3k + 6$।
चूंकि $C(x, y)$,$9x + 7y + 4 = 0$ पर स्थित है,$x$ और $y$ के मान रखने पर:
$9(3h - 6) + 7(3k + 6) + 4 = 0$
$27h - 54 + 21k + 42 + 4 = 0$
$27h + 21k - 8 = 0$
अतः बिंदुपथ $27x + 21y - 8 = 0$ है।
$3$ से भाग देने पर,$9x + 7y - \frac{8}{3} = 0$ प्राप्त होता है,जो $9x + 7y + 4 = 0$ के समांतर है।

(A) माना बिंदु $A$ के निर्देशांक $(a, 0)$ हैं।
चूंकि किरण $x$-अक्ष पर परावर्तित होती है,इसलिए आपतन कोण और परावर्तन कोण बराबर होते हैं।
आपतित किरण की ढाल $m_1 = \frac{2 - 0}{1 - a} = \frac{2}{1 - a}$ है।
परावर्तित किरण की ढाल $m_2 = \frac{3 - 0}{5 - a} = \frac{3}{5 - a}$ है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,$m_1 = -m_2$ होगा।
$\frac{2}{1 - a} = -\frac{3}{5 - a}$
$2(5 - a) = -3(1 - a)$
$10 - 2a = -3 + 3a$
$13 = 5a$
$a = \frac{13}{5}$.
अतः,बिंदु $A$ के निर्देशांक $(\frac{13}{5}, 0)$ हैं।

(B) माना निश्चित बिंदु $P$ $(x_1, y_1)$ है। $P$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ है,जिसे $mx - y + (y_1 - mx_1) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $(x_0, y_0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ पर लंब की दूरी $\frac{Ax_0 + By_0 + C}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है।
$(2, 0)$,$(0, 2)$ और $(1, 1)$ से लंबों का योग:
$\frac{2m - 0 + y_1 - mx_1}{\sqrt{m^2 + 1}} + \frac{0 - 2 + y_1 - mx_1}{\sqrt{m^2 + 1}} + \frac{m - 1 + y_1 - mx_1}{\sqrt{m^2 + 1}} = 0$
अंश को सरल करने पर:
$3m - 3mx_1 + 3y_1 - 3 = 0$
$3(m(1 - x_1) + (y_1 - 1)) = 0$
चूंकि रेखा चर है,यह समीकरण $m$ के सभी मानों के लिए सत्य होना चाहिए। अतः:
$1 - x_1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$
$y_1 - 1 = 0 \Rightarrow y_1 = 1$
अतः,$P$ के निर्देशांक $(1, 1)$ हैं।

(A) माना $(a, b)$ से गुजरने वाली रेखा $y - b = m(x - a)$ है,जहाँ $m$ ढाल है।
यह रेखा $mx - y + (b - ma) = 0$ के रूप में लिखी जा सकती है।
माना $(h, k)$ मूल बिंदु $(0, 0)$ से इस रेखा पर लंब का पाद है।
रेखा की ढाल $m = -h/k$ होगी।
इस मान को रेखा के समीकरण में रखने पर,बिंदुपथ $x^2 + y^2 - ax - by = 0$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया है: $x = \tan \theta + \sin \theta$ और $y = \tan \theta - \sin \theta$.
चरण $1$: $x + y$ और $x - y$ की गणना करें।
$x + y = 2 \tan \theta$
$x - y = 2 \sin \theta$
चरण $2$: $\tan \theta$ और $\sin \theta$ को $x$ और $y$ के पदों में व्यक्त करें।
$\tan \theta = \frac{x + y}{2}$
$\sin \theta = \frac{x - y}{2}$
चरण $3$: सर्वसमिका $\frac{1}{\sin^2 \theta} - \frac{1}{\tan^2 \theta} = 1$ का उपयोग करें।
चरण $4$: मान प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{4}{(x - y)^2} - \frac{4}{(x + y)^2} = 1$
$16xy = (x^2 - y^2)^2$.
अतः,बिंदुपथ $(x^2 - y^2)^2 = 16xy$ है।

(D) यदि किसी वक्र $f(x, y) = 0$ का समीकरण $x$ और $y$ को आपस में बदलने पर नहीं बदलता है,तो इसका अर्थ है कि $f(x, y) = f(y, x)$ है।
यह गुण यह दर्शाता है कि वक्र पर स्थित प्रत्येक बिंदु $(a, b)$ के लिए,बिंदु $(b, a)$ भी वक्र पर स्थित है।
बिंदुओं $(a, b)$ और $(b, a)$ का समूह रेखा $y = x$ के सापेक्ष एक-दूसरे के प्रतिबिंब हैं।
अतः,वक्र रेखा $y = x$ के सापेक्ष सममित है।

(A) माना $R$ के निर्देशांक $(x, 0)$ हैं।
दिया है $P = (1, 1)$ और $Q = (3, 2)$।
दूरी $PR + RQ = \sqrt{(x - 1)^2 + (0 - 1)^2} + \sqrt{(x - 3)^2 + (0 - 2)^2}$।
$PR + RQ = \sqrt{x^2 - 2x + 2} + \sqrt{x^2 - 6x + 13}$।
$PR + RQ$ के न्यूनतम मान के लिए,हम $x$ के सापेक्ष अवकलन को शून्य के बराबर रखते हैं:
$\frac{d}{dx}(\sqrt{x^2 - 2x + 2} + \sqrt{x^2 - 6x + 13}) = 0$।
$\frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x + 2}} + \frac{x - 3}{\sqrt{x^2 - 6x + 13}} = 0$।
$\frac{x - 1}{\sqrt{x^2 - 2x + 2}} = -\frac{x - 3}{\sqrt{x^2 - 6x + 13}}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$\frac{(x - 1)^2}{x^2 - 2x + 2} = \frac{(x - 3)^2}{x^2 - 6x + 13}$।
$(x^2 - 2x + 1)(x^2 - 6x + 13) = (x^2 - 6x + 9)(x^2 - 2x + 2)$।
दोनों पक्षों का विस्तार और सरलीकरण करने पर $3x^2 - 2x - 5 = 0$ प्राप्त होता है।
$(3x - 5)(x + 1) = 0$,जिससे $x = \frac{5}{3}$ या $x = -1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $R$,$x$-अक्ष पर $P$ और $Q$ के प्रक्षेपों के बीच स्थित है,इसलिए $x$ को $(1, 3)$ अंतराल में होना चाहिए।
अतः,$x = \frac{5}{3}$।
इसलिए,बिंदु $R = \left( \frac{5}{3}, 0 \right)$ है।

(C) दिया गया है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी में हैं,इसलिए $\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$.
इसका अर्थ है $\frac{1}{c} = \frac{2}{b} - \frac{1}{a}$.
इस मान को रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + (\frac{2}{b} - \frac{1}{a}) = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{1}{a}(x - 1) + \frac{1}{b}(y + 2) = 0$.
यह समीकरण सभी $a$ और $b$ के लिए सत्य हो,इसके लिए गुणांक शून्य होने चाहिए।
अतः,$x - 1 = 0 \implies x = 1$ और $y + 2 = 0 \implies y = -2$.
निश्चित बिंदु $(1, -2)$ है।

(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 12$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
$A(2, 3), B(-4, 5)$ और $P(x, y)$ का मान रखने पर:
$\frac{1}{2} |x(3 - 5) + 2(5 - y) + (-4)(y - 3)| = 12$
$|-2x - 6y + 22| = 24$
$|-x - 3y + 11| = 12$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1: -x - 3y + 11 = 12 \implies x + 3y + 1 = 0$
स्थिति $2: -x - 3y + 11 = -12 \implies x + 3y - 23 = 0$
अतः,बिंदुपथ $x + 3y + 1 = 0$ या $x + 3y - 23 = 0$ है।

(B) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है कि $PA = PB$,इसलिए $(PA)^2 = (PB)^2$ होगा।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $(x - (a + b))^2 + (y - (b - a))^2 = (x - (a - b))^2 + (y - (a + b))^2$.
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 2x(a + b) + (a + b)^2) + (y^2 - 2y(b - a) + (b - a)^2) = (x^2 - 2x(a - b) + (a - b)^2) + (y^2 - 2y(a + b) + (a + b)^2)$.
दोनों पक्षों से $x^2, y^2, (a+b)^2$ को हटाने पर:
$-2x(a + b) - 2y(b - a) + (b - a)^2 = -2x(a - b) - 2y(a + b) + (a - b)^2$.
चूंकि $(b - a)^2 = (a - b)^2$,ये पद भी कट जाएंगे:
$-2ax - 2bx - 2by + 2ay = -2ax + 2bx - 2ay - 2by$.
समीकरण को सरल करने पर:
$-2bx + 2ay = 2bx - 2ay$.
$4ay - 4bx = 0$.
$4$ से विभाजित करने पर,हमें $ay - bx = 0$ प्राप्त होता है,जो $bx - ay = 0$ के बराबर है।

(A) मान लीजिए कि स्थिर बिंदुओं के निर्देशांक $A (a, 0)$ और $B (-a, 0)$ हैं,और गतिमान बिंदु $C (h, k)$ है।
दी गई आकृति से,मान लीजिए कि $D$,$x$-अक्ष पर $C$ का प्रक्षेप है,इसलिए $D = (h, 0)$ है।
$\Delta ADC$ में,$\cot A = \frac{AD}{CD} = \frac{a - h}{k}$ है।
$\Delta BDC$ में,$\cot B = \frac{BD}{CD} = \frac{h - (-a)}{k} = \frac{h + a}{k}$ है।
दिया गया है कि $\cot A + \cot B = \lambda$,इसलिए:
$\frac{a - h}{k} + \frac{h + a}{k} = \lambda$
$\frac{2a}{k} = \lambda$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{2a}{y} = \lambda$ प्राप्त होता है,जो $y\lambda = 2a$ के रूप में सरल होता है।

(C) माना त्रिभुज का केंद्रक $(h, k)$ है।
तब,$h = \frac{\cos \alpha + \sin \alpha + 1}{3}$ और $k = \frac{\sin \alpha - \cos \alpha + 2}{3}$ है।
इसका अर्थ है $3h - 1 = \cos \alpha + \sin \alpha$ और $3k - 2 = \sin \alpha - \cos \alpha$ है।
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3h - 1)^2 + (3k - 2)^2 = (\cos \alpha + \sin \alpha)^2 + (\sin \alpha - \cos \alpha)^2$.
$(3h - 1)^2 + (3k - 2)^2 = (\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha + 2 \sin \alpha \cos \alpha) + (\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha - 2 \sin \alpha \cos \alpha) = 1 + 1 = 2$.
$9h^2 - 6h + 1 + 9k^2 - 12k + 4 = 2$.
$9(h^2 + k^2) - 6h - 12k + 3 = 0$.
$3$ से भाग देने पर,हमें $3(h^2 + k^2) - 2h - 4k + 1 = 0$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $3(x^2 + y^2) - 2x - 4y + 1 = 0$ है।

(A) मान लीजिए कि दो लंबवत रेखाएँ निर्देशांक अक्ष $X$ और $Y$ हैं। बिंदु $P(x, y)$ की $Y$-अक्ष से दूरी $|x|$ है और $X$-अक्ष से दूरी $|y|$ है।
दिया गया है कि दूरियों का योग $1$ है,इसलिए $|x| + |y| = 1$ है।
यदि बिंदु प्रथम चतुर्थांश में है,तो $x > 0, y > 0$,इसलिए $x + y = 1$ है।
यदि बिंदु द्वितीय चतुर्थांश में है,तो $x < 0, y > 0$,इसलिए $-x + y = 1$ है।
यदि बिंदु तृतीय चतुर्थांश में है,तो $x < 0, y < 0$,इसलिए $-x - y = 1$ है।
यदि बिंदु चतुर्थ चतुर्थांश में है,तो $x > 0, y < 0$,इसलिए $x - y = 1$ है।
ये चार समीकरण $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ और $(0, -1)$ शीर्षों वाले एक वर्ग की भुजाओं को दर्शाते हैं।

(D) माना $C = (h, k)$ है।
$\triangle CDA$ में,$\tan A = \frac{k}{a-h}$।
$\triangle CDB$ में,$\tan B = \frac{k}{h+a}$।
दिया गया है $\angle A - \angle B = \theta$,इसलिए $\tan(A - B) = \tan \theta$।
सूत्र $\tan(A - B) = \frac{\tan A - \tan B}{1 + \tan A \tan B} = \tan \theta$ का उपयोग करने पर,
$\frac{\frac{k}{a-h} - \frac{k}{h+a}}{1 + \frac{k}{a-h} \cdot \frac{k}{h+a}} = \tan \theta$।
$\frac{2kh}{a^2 - h^2 + k^2} = \tan \theta$।
$2kh = (a^2 - h^2 + k^2) \tan \theta$।
$2kh \cot \theta = a^2 - h^2 + k^2$।
$h^2 - k^2 + 2hk \cot \theta = a^2$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x^2 - y^2 + 2xy \cot \theta = a^2$ प्राप्त होता है।

(A) माना तीसरा शीर्ष $C(x_1, y_1)$ है।
त्रिभुज $ABC$ का केंद्रक $G$ इस प्रकार है:
$G = \left( \frac{x_1 + 2 - 2}{3}, \frac{y_1 - 3 + 1}{3} \right) = \left( \frac{x_1}{3}, \frac{y_1 - 2}{3} \right)$.
यह दिया गया है कि केंद्रक $G$ रेखा $2x + 3y = 1$ पर चलता है।
रेखा के समीकरण में $G$ के निर्देशांक प्रतिस्थापित करने पर:
$2\left( \frac{x_1}{3} \right) + 3\left( \frac{y_1 - 2}{3} \right) = 1$.
पूरे समीकरण को $3$ से गुणा करने पर:
$2x_1 + 3(y_1 - 2) = 3$.
$2x_1 + 3y_1 - 6 = 3$.
$2x_1 + 3y_1 = 9$.
अतः,शीर्ष $C(x_1, y_1)$ का बिंदु पथ $2x + 3y = 9$ है।

(C) दिया गया समीकरण $x(a + 2b) + y(a + 3b) = a + b$ है।
$a$ और $b$ के पदों को व्यवस्थित करने पर:
$x(a + 2b) + y(a + 3b) - (a + b) = 0$
$ax + 2bx + ay + 3by - a - b = 0$
$a(x + y - 1) + b(2x + 3y - 1) = 0$
$a$ और $b$ के सभी मानों के लिए इस समीकरण के सत्य होने हेतु,$a$ और $b$ के गुणांक स्वतंत्र रूप से शून्य होने चाहिए:
$x + y - 1 = 0 \implies x + y = 1$ $(i)$
$2x + 3y - 1 = 0 \implies 2x + 3y = 1$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ को $2$ से गुणा करने पर,हमें $2x + 2y = 2$ $(iii)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(ii)$ में से $(iii)$ को घटाने पर:
$(2x + 3y) - (2x + 2y) = 1 - 2$
$y = -1$
$y = -1$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$x - 1 = 1 \implies x = 2$
अतः,स्थिर बिंदु $(2, -1)$ है।

(D) माना रेखा के $x$-अक्ष और $y$-अक्ष पर अंतःखंड क्रमशः $a$ और $b$ हैं।
रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
यदि अंतःखंडों के व्युत्क्रमों का योग $1/p$ है,तो $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{p}$ होगा।
अतः $\frac{a+b}{ab} = \frac{1}{p} \Rightarrow ab = p(a+b)$।
समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ को $bx + ay = ab$ लिखा जा सकता है।
$bx + ay = p(a+b) = pa + pb$ रखने पर,
$a(x-p) + b(y-p) = 0$ प्राप्त होता है।
यह रेखा हमेशा $(p, p)$ बिंदु से होकर गुजरती है।

(D) माना रेखा $PQ$ की ढाल $m$ है। रेखा का समीकरण $y - 2 = m(x - 1)$ है।
रेखा $X$-अक्ष को $P$ पर मिलती है जहाँ $y=0$,अतः $P = (1 - \frac{2}{m}, 0)$.
रेखा $Y$-अक्ष को $Q$ पर मिलती है जहाँ $x=0$,अतः $Q = (0, 2 - m)$.
त्रिभुज $OPQ$ का क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} |(1 - \frac{2}{m})(2 - m)|$ है।
न्यूनतम क्षेत्रफल के लिए $m < 0$ होना चाहिए। $A = \frac{1}{2} |4 - (m + \frac{4}{m})|$।
$m = -k$ $(k > 0)$ रखने पर,$A = \frac{1}{2} (4 + k + \frac{4}{k})$।
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$k + \frac{4}{k} \geq 4$। समानता तब होती है जब $k = 2$।
अतः,ढाल $m = -2$ है।

(C) रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1 \quad \dots(1)$ है,जहाँ $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{c^2} \quad \dots(2)$.
माना $(h, k)$ मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $(1)$ पर लंब का पाद है।
लंब के पाद के गुणधर्म से,$h = \frac{a b^2}{a^2+b^2}$ और $k = \frac{a^2 b}{a^2+b^2}$।
अतः $h^2 + k^2 = \frac{a^2 b^2}{a^2+b^2}$।
समीकरण $(2)$ से,$\frac{a^2+b^2}{a^2b^2} = \frac{1}{c^2} \implies \frac{a^2b^2}{a^2+b^2} = c^2$।
इस प्रकार,$h^2 + k^2 = c^2$। अतः बिंदु पथ $x^2 + y^2 = c^2$ है।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं,इसलिए $2b = a + c$,जिसका अर्थ है $a - 2b + c = 0$।
रेखा के समीकरण $ax + by + c = 0$ में $c = 2b - a$ प्रतिस्थापित करने पर:
$ax + by + (2b - a) = 0$
$a(x - 1) + b(y + 2) = 0$
यह समीकरण सभी $a$ और $b$ के लिए सत्य होने हेतु,गुणांक शून्य होने चाहिए:
$x - 1 = 0 \implies x = 1$
$y + 2 = 0 \implies y = -2$
अतः,निश्चित बिंदु $(1, -2)$ है।

(A) माना $(x, y)$ बिंदु पथ पर कोई बिंदु है।
समान दूरी की शर्त के अनुसार,$(x, y)$ से $(a_1, b_1)$ की दूरी और $(x, y)$ से $(a_2, b_2)$ की दूरी बराबर है।
$(x - a_1)^2 + (y - b_1)^2 = (x - a_2)^2 + (y - b_2)^2$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$x^2 - 2a_1x + a_1^2 + y^2 - 2b_1y + b_1^2 = x^2 - 2a_2x + a_2^2 + y^2 - 2b_2y + b_2^2$
दोनों पक्षों से $x^2$ और $y^2$ को हटाने पर:
$-2a_1x - 2b_1y + a_1^2 + b_1^2 = -2a_2x - 2b_2y + a_2^2 + b_2^2$
पदों को $(a_1 - a_2)x + (b_1 - b_2)y + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$2(a_1 - a_2)x + 2(b_1 - b_2)y + (a_2^2 + b_2^2 - a_1^2 - b_1^2) = 0$
पूरे समीकरण को $2$ से विभाजित करने पर:
$(a_1 - a_2)x + (b_1 - b_2)y + \frac{1}{2}(a_2^2 + b_2^2 - a_1^2 - b_1^2) = 0$
इसे दिए गए समीकरण $(a_1 - a_2)x + (b_1 - b_2)y + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$c = \frac{1}{2}(a_2^2 + b_2^2 - a_1^2 - b_1^2)$

(B) मान लीजिए कि चर रेखा का समीकरण $ax + by + c = 0$ है।
एक बिंदु $(x_1, y_1)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ की लंबवत दूरी $d = \frac{ax_1 + by_1 + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि $A(2, 0)$,$B(0, 2)$ और $C(1, 1)$ से लंबवत दूरियों का बीजगणितीय योग शून्य है:
$\frac{2a + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \frac{2b + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} + \frac{a + b + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 0$
$\sqrt{a^2 + b^2}$ से गुणा करने पर:
$(2a + c) + (2b + c) + (a + b + c) = 0$
समान पदों को जोड़ने पर:
$3a + 3b + 3c = 0$
$3$ से भाग देने पर:
$a + b + c = 0$
इसका अर्थ है $c = -(a + b)$। इस मान को रेखा के समीकरण $ax + by + c = 0$ में रखने पर:
$ax + by - (a + b) = 0$
$a(x - 1) + b(y - 1) = 0$
यह समीकरण सभी $a$ और $b$ के लिए तभी सत्य है जब $x - 1 = 0$ और $y - 1 = 0$ हो,जिसका अर्थ है $x = 1$ और $y = 1$।
अतः,ऐसी सभी रेखाएँ निश्चित बिंदु $(1, 1)$ से होकर गुजरती हैं।

(C) दिया गया रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है और $a + b = 10$ है।
यह रेखा $x$-अक्ष को $A = (a, 0)$ पर और $y$-अक्ष को $B = (0, b)$ पर काटती है।
माना मध्यबिंदु $(x, y)$ है।
अतः $x = \frac{a + 0}{2} = \frac{a}{2} \implies a = 2x$.
और $y = \frac{0 + b}{2} = \frac{b}{2} \implies b = 2y$.
$a$ और $b$ का मान $a + b = 10$ में रखने पर:
$2x + 2y = 10$.
$2$ से भाग देने पर,हमें $x + y = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,मध्यबिंदु का बिंदुपथ $x + y = 5$ है।

(A) दिया गया है $A = (a, 0)$ और $B = (-a, 0)$।
मान लीजिए $P = (x, y)$ है।
शर्त $PA = nPB$ है।
$n = 1$ के लिए,हमारे पास $PA = PB$ है।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$PA^2 = PB^2$।
$(x - a)^2 + (y - 0)^2 = (x - (-a))^2 + (y - 0)^2$।
$(x - a)^2 + y^2 = (x + a)^2 + y^2$।
$x^2 - 2ax + a^2 + y^2 = x^2 + 2ax + a^2 + y^2$।
$-2ax = 2ax$।
$4ax = 0$।
चूंकि $a \neq 0$ है $(a \in (-\infty, 0))$,हमें $x = 0$ प्राप्त होता है।
समीकरण $x = 0$ $y$-अक्ष को दर्शाता है,जो एक सरल रेखा है।

(B) माना $(a, b)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $y - b = m(x - a)$ है।
बिंदु $A$ के लिए $(y = 0)$: $-b = m(x - a) \implies x = a - \frac{b}{m}$. अतः,$A = (a - \frac{b}{m}, 0)$.
बिंदु $B$ के लिए $(x = 0)$: $y - b = m(0 - a) \implies y = b - ma$. अतः,$B = (0, b - ma)$.
निर्देशांक अक्षों के समानांतर रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को $P(h, k)$ मानें।
तब $h = a - \frac{b}{m}$ और $k = b - ma$.
प्रथम समीकरण से,$\frac{b}{m} = a - h \implies m = \frac{b}{a - h}$.
$m$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर: $k = b - (\frac{b}{a - h})a$.
$k = \frac{b(a - h) - ab}{a - h} = \frac{ab - bh - ab}{a - h} = \frac{-bh}{a - h}$.
$k(a - h) = -bh \implies ak - kh = -bh \implies ak = kh - bh$.
$hka$ से भाग देने पर: $\frac{ak}{hka} = \frac{kh}{hka} - \frac{bh}{hka} \implies \frac{1}{h} = \frac{1}{a} - \frac{b}{ka}$.
व्यवस्थित करने पर $\frac{a}{h} + \frac{b}{k} = 1$ प्राप्त होता है। $(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1$ है।

(B) रेखाएँ $L_1: x - 2y = 0$ और $L_2: 3x - y = 0$ हैं।
बिंदु $(a, a^2)$ को कोण के अंदर स्थित होने के लिए,इसे रेखाओं द्वारा निर्मित असमिकाओं को संतुष्ट करना होगा।
चूंकि $x > 0$ दिया गया है,इसलिए $a > 0$ होगा।
बिंदु के $y = 3x$ के नीचे होने के लिए,$a^2 < 3a$ आवश्यक है,जिसका अर्थ है $a(a - 3) < 0$,अतः $0 < a < 3$।
बिंदु के $y = \frac{x}{2}$ के ऊपर होने के लिए,$a^2 > \frac{a}{2}$ आवश्यक है,जिसका अर्थ है $a(a - \frac{1}{2}) > 0$। चूंकि $a > 0$,इसलिए $a > \frac{1}{2}$ प्राप्त होता है।
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $\frac{1}{2} < a < 3$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि $P$ के निर्देशांक $(h, 0)$ और $Q$ के निर्देशांक $(0, k)$ हैं।
चूंकि आयत $OPRQ$ पूरा हो गया है,इसलिए $R$ के निर्देशांक $(h, k)$ हैं।
$P(h, 0)$ और $Q(0, k)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण अंतःखंड रूप में इस प्रकार है:
$\frac{x}{h} + \frac{y}{k} = 1$
चूंकि यह रेखा निश्चित बिंदु $(2, 3)$ से होकर गुजरती है,इसलिए हमारे पास है:
$\frac{2}{h} + \frac{3}{k} = 1$
$R(h, k)$ का बिंदुपथ ज्ञात करने के लिए,हम $h$ को $x$ से और $k$ को $y$ से प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1$
दोनों पक्षों को $xy$ से गुणा करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2y + 3x = xy$
अतः,$R$ का बिंदुपथ $3x + 2y = xy$ है।