Locus of Point Questions in Hindi

(A) माना $A$ और $B$ के निर्देशांक $A(a, 0)$ और $B(-a, 0)$ हैं और चर बिंदु $C(h, k)$ है।
आकृति से,$\cot A = \frac{a - h}{k}$ और $\cot B = \frac{a + h}{k}$ है।
शर्त के अनुसार,$\cot A + \cot B = \lambda$ है।
मान रखने पर,$\frac{a - h}{k} + \frac{a + h}{k} = \lambda$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{2a}{k} = \lambda$ में सरल हो जाता है,जिसका अर्थ है $k\lambda = 2a$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $y\lambda = 2a$ है।

(A) $t$ सेकंड के बाद बिंदु $(x, y)$ है।
प्रारंभिक स्थिति $(1, 2)$ और वेग के आधार पर:
$x = 1 + 3t$
$y = 2 + 2t$
पहले समीकरण से,$t = \frac{x - 1}{3}$.
इस मान को दूसरे समीकरण में रखने पर:
$y = 2 + 2 \left( \frac{x - 1}{3} \right)$
$3y = 6 + 2x - 2$
$3y = 2x + 4$
$2x - 3y + 4 = 0$
अतः,बिंदुपथ $2x - 3y + 4 = 0$ है।

(A) माना बिंदु $(x, y)$ है। चूँकि बिंदु $(a_1, b_1)$ और $(a_2, b_2)$ से समान दूरी पर है,इसलिए:
$(x - a_1)^2 + (y - b_1)^2 = (x - a_2)^2 + (y - b_2)^2$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$x^2 - 2a_1x + a_1^2 + y^2 - 2b_1y + b_1^2 = x^2 - 2a_2x + a_2^2 + y^2 - 2b_2y + b_2^2$
दोनों पक्षों से $x^2$ और $y^2$ को हटाने पर:
$-2a_1x - 2b_1y + a_1^2 + b_1^2 = -2a_2x - 2b_2y + a_2^2 + b_2^2$
पदों को $(a_1 - a_2)x + (b_1 - b_2)y + c = 0$ के रूप में व्यवस्थित करने पर:
$2(a_1 - a_2)x + 2(b_1 - b_2)y + (a_2^2 + b_2^2 - a_1^2 - b_1^2) = 0$
$2$ से भाग देने पर:
$(a_1 - a_2)x + (b_1 - b_2)y + \frac{1}{2}(a_2^2 + b_2^2 - a_1^2 - b_1^2) = 0$
दिए गए समीकरण के साथ तुलना करने पर,$c = \frac{1}{2}(a_2^2 + b_2^2 - a_1^2 - b_1^2)$ प्राप्त होता है।

(A) माना बिंदु $B$ $(a, 0)$ है।
चूँकि आपतन कोण परावर्तन कोण के बराबर होता है,$AB$ की ढाल परावर्तित किरण $BC$ (जहाँ $C = (5, 3)$) की ढाल की ऋणात्मक होती है।
$AB$ की ढाल $m_1 = \frac{0 - 2}{a - 1} = \frac{-2}{a - 1}$ है।
$BC$ की ढाल $m_2 = \frac{3 - 0}{5 - a} = \frac{3}{5 - a}$ है।
परावर्तन के नियम के अनुसार,अभिलंब के साथ बना कोण समान होता है,जिससे $\frac{2}{a - 1} = \frac{3}{5 - a}$ प्राप्त होता है।
$2(5 - a) = 3(a - 1)$ $\Rightarrow 10 - 2a = 3a - 3$ $\Rightarrow 5a = 13$ $\Rightarrow a = \frac{13}{5}$।
अतः,$B = (\frac{13}{5}, 0)$।
$AB$ की ढाल $m = \frac{0 - 2}{\frac{13}{5} - 1} = \frac{-2}{\frac{8}{5}} = -\frac{5}{4}$ है।
रेखा $AB$ का समीकरण $y - 2 = -\frac{5}{4}(x - 1)$ है।
$4(y - 2) = -5(x - 1)$ $\Rightarrow 4y - 8 = -5x + 5$ $\Rightarrow 5x + 4y = 13$।

(D) दिया गया है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी $(HP)$ में हैं।
इसका अर्थ है कि $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ समांतर श्रेणी $(AP)$ में हैं।
इसलिए,$\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$।
$abc$ से गुणा करने पर,हमें $2ac = bc + ab$ प्राप्त होता है।
अब,दी गई रेखा का समीकरण $bcx + cay + ab = 0$ है।
पूरे समीकरण को $abc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{1}{c} = 0$।
चूंकि $\frac{1}{b} = \frac{1}{2}(\frac{1}{a} + \frac{1}{c})$,हम इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$\frac{1}{a}(x + \frac{y}{2}) + \frac{1}{c}(\frac{y}{2} + 1) = 0$।
सभी $a, c$ के लिए यह सत्य होने हेतु,गुणांक शून्य होने चाहिए:
$x + \frac{y}{2} = 0 \implies 2x + y = 0$
$\frac{y}{2} + 1 = 0 \implies y = -2$।
$y = -2$ को $2x + y = 0$ में रखने पर,हमें $2x - 2 = 0$ प्राप्त होता है,अतः $x = 1$।
निश्चित बिंदु $(1, -2)$ है।

(A) सबसे पहले,$x + 2y = 1$ और $2x - y = 1$ रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
दूसरे समीकरण को $2$ से गुणा करने पर,$4x - 2y = 2$ प्राप्त होता है।
इसे पहले समीकरण में जोड़ने पर: $(x + 2y) + (4x - 2y) = 1 + 2$,जिससे $5x = 3$ प्राप्त होता है,अतः $x = 3/5$।
$x = 3/5$ को $x + 2y = 1$ में रखने पर,$3/5 + 2y = 1$ प्राप्त होता है,जिससे $2y = 2/5$,अर्थात $y = 1/5$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $P(3/5, 1/5)$ है।
माना चर रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि यह $P(3/5, 1/5)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{3}{5a} + \frac{1}{5b} = 1$ है।
$AB$ का मध्य बिंदु $M(h, k)$,$h = a/2$ और $k = b/2$ द्वारा दिया जाता है,इसलिए $a = 2h$ और $b = 2k$।
इन्हें समीकरण में रखने पर: $\frac{3}{5(2h)} + \frac{1}{5(2k)} = 1$।
यह सरल होकर $\frac{3}{10h} + \frac{1}{10k} = 1$ हो जाता है,जो $3k + h = 10hk$ है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $x + 3y = 10xy$ या $x + 3y - 10xy = 0$ है।

(A) माना $(a, b)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $\frac{x}{h} + \frac{y}{k} = 1$ है।
चूंकि यह $(a, b)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{a}{h} + \frac{b}{k} = 1$ है।
$A$ के निर्देशांक $(h, 0)$ और $B$ के $(0, k)$ हैं।
$\triangle OAB$ का केंद्रक $(x, y)$,$x = \frac{h}{3}$ और $y = \frac{k}{3}$ द्वारा दिया जाता है।
अतः,$h = 3x$ और $k = 3y$ है।
इन मानों को $\frac{a}{h} + \frac{b}{k} = 1$ में रखने पर,$\frac{a}{3x} + \frac{b}{3y} = 1$ प्राप्त होता है।
$3xy$ से गुणा करने पर,$ay + bx = 3xy$ या $bx + ay - 3xy = 0$ प्राप्त होता है।

(D) माना $S = (x, y)$ बिंदुपथ पर एक बिंदु है।
दिए गए बिंदु $P = (1, 0)$,$Q = (-1, 0)$,और $R = (2, 0)$ हैं।
दिया गया संबंध $SQ^2 + SR^2 = 2 SP^2$ है।
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$((x + 1)^2 + y^2) + ((x - 2)^2 + y^2) = 2((x - 1)^2 + y^2)$
पदों का विस्तार करने पर:
$(x^2 + 2x + 1 + y^2) + (x^2 - 4x + 4 + y^2) = 2(x^2 - 2x + 1 + y^2)$
$2x^2 + 2y^2 - 2x + 5 = 2x^2 + 2y^2 - 4x + 2$
दोनों पक्षों से $2x^2 + 2y^2$ घटाने पर:
$-2x + 5 = -4x + 2$
$2x = -3$
$x = -3/2$
यह $y$-अक्ष के समांतर एक सीधी रेखा को दर्शाता है।

(A) माना रेखा $AB$ की ढाल $m$ है। $A(1, 1)$ से गुजरने वाली रेखा $AB$ का समीकरण $y - 1 = m(x - 1)$ है।
चूंकि $AB$,$x-$ अक्ष को $B$ पर काटती है,$y = 0$ रखने पर: $-1 = m(x - 1) \implies x - 1 = -\frac{1}{m} \implies x = 1 - \frac{1}{m}$। अतः,$B = (1 - \frac{1}{m}, 0)$।
चूंकि $AC \perp AB$,$AC$ की ढाल $-\frac{1}{m}$ है। रेखा $AC$ का समीकरण $y - 1 = -\frac{1}{m}(x - 1)$ है।
चूंकि $AC$,$y-$ अक्ष को $C$ पर मिलती है,$x = 0$ रखने पर: $y - 1 = -\frac{1}{m}(-1) = \frac{1}{m} \implies y = 1 + \frac{1}{m}$। अतः,$C = (0, 1 + \frac{1}{m})$।
माना $P(h, k)$ $BC$ का मध्य-बिंदु है। तब $h = \frac{(1 - \frac{1}{m}) + 0}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2m}$ और $k = \frac{0 + (1 + \frac{1}{m})}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2m}$।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $h + k = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2m}) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2m}) = 1$।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $x + y = 1$ है।

(A) माना $Q$ के निर्देशांक $(h, 0)$ और $R$ के $(0, k)$ हैं।
रेखा $QR$ का समीकरण $\frac{x}{h} + \frac{y}{k} = 1$ है।
चूँकि $P(a, b)$ इस रेखा पर स्थित है,इसलिए $\frac{a}{h} + \frac{b}{k} = 1$ होगा।
समांतर चतुर्भुज $OQSR$ में,$S$ के निर्देशांक $(h, k)$ होंगे।
माना $S = (x, y)$,तो $h = x$ और $k = y$ होगा।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1$ प्राप्त होता है।

(D) माना $\Delta PQR$ का केंद्रक $(h, k)$ है।
दिया है $P = (2, 5)$ और $Q = (4, -11)$।
माना $R = (x_0, y_0)$। चूंकि $R$ रेखा $N: 9x + 7y + 4 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $9x_0 + 7y_0 + 4 = 0$ है।
केंद्रक $(h, k)$ इस प्रकार है:
$h = \frac{2 + 4 + x_0}{3}$ $\Rightarrow 3h = 6 + x_0$ $\Rightarrow x_0 = 3h - 6$
$k = \frac{5 - 11 + y_0}{3}$ $\Rightarrow 3k = -6 + y_0$ $\Rightarrow y_0 = 3k + 6$
$x_0$ और $y_0$ के मानों को रेखा $N$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$9(3h - 6) + 7(3k + 6) + 4 = 0$
$27h - 54 + 21k + 42 + 4 = 0$
$27h + 21k - 8 = 0$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $27x + 21y - 8 = 0$ प्राप्त होता है।
इसे $3(9x + 7y) - 8 = 0$ या $9x + 7y - \frac{8}{3} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $x$ और $y$ के गुणांक रेखा $N$ के समान हैं,इसलिए बिंदुपथ रेखा $N$ के समांतर है।

(A) माना $(h, k)$ रेखाओं $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ और $ax + by = 1$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
अतः,$\frac{h}{a} + \frac{k}{b} = 1$ और $ah + bk = 1$.
दिए गए संबंध $a^2 + b^2 = ab$ को $ab$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन समीकरणों से,बिंदुपथ $x^2 + y^2 + xy - 1 = 0$ प्राप्त होता है।

(B) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं। चूँकि $P$ रेखा $2x - y + 5 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $y = 2x + 5$ होगा। अतः,$P = (x, 2x + 5)$।
$|PA - PB|$ के अधिकतम होने के लिए,बिंदु $P, A$ और $B$ संरेख (collinear) होने चाहिए।
इसका अर्थ है कि $PA$ की ढाल (slope),$AB$ की ढाल के बराबर होनी चाहिए।
$AB$ की ढाल $m = \frac{-4 - (-2)}{2 - 4} = \frac{-2}{-2} = 1$ है।
$PA$ की ढाल $\frac{(2x + 5) - (-2)}{x - 4} = \frac{2x + 7}{x - 4}$ है।
ढालों को बराबर रखने पर: $\frac{2x + 7}{x - 4} = 1$।
$2x + 7 = x - 4$।
$x = -11$।
$x = -11$ को $y = 2x + 5$ में रखने पर,$y = 2(-11) + 5 = -22 + 5 = -17$ प्राप्त होता है।
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $(-11, -17)$ हैं।

(A) माना आधार के शीर्ष $B(1, 3)$ और $C(-2, 7)$ हैं।
$BC$ का मध्यबिंदु $M = \left( -\frac{1}{2}, 5 \right)$ है।
$BC$ की ढाल $m = -\frac{4}{3}$ है।
लंब समद्विभाजक का समीकरण $y - 5 = \frac{3}{4}(x + \frac{1}{2})$ है।
शीर्ष $A$ को इस लंब समद्विभाजक पर स्थित होना चाहिए।

(A) रेखाएँ $L_1: x+y=0$,$L_2: x-y=0$,और $L_3: lx+my=1$ हैं।
चूंकि $L_1$ और $L_2$ परस्पर लंबवत हैं और मूल बिंदु $(0,0)$ से गुजरती हैं,इसलिए यह त्रिभुज मूल बिंदु पर समकोण वाला एक समकोण त्रिभुज है।
शीर्ष $O(0,0)$,$A = \left(\frac{1}{l+m}, \frac{1}{l+m}\right)$,और $B = \left(\frac{1}{l-m}, \frac{1}{m-l}\right)$ हैं।
समकोण त्रिभुज का परिकेंद्र कर्ण $AB$ का मध्य बिंदु होता है।
माना परिकेंद्र $(h, k)$ है।
$h = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{l+m} + \frac{1}{l-m}\right) = \frac{l}{l^2-m^2}$
$k = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{l+m} + \frac{1}{m-l}\right) = -\frac{m}{l^2-m^2}$
अब,$h^2 + k^2 = \frac{l^2+m^2}{(l^2-m^2)^2} = \frac{1}{(l^2-m^2)^2}$ (चूंकि $l^2+m^2=1$)।
साथ ही,$h^2 - k^2 = \frac{l^2-m^2}{(l^2-m^2)^2} = \frac{1}{l^2-m^2}$।
अतः,$h^2 + k^2 = (h^2 - k^2)^2$।
बिंदुपथ $x^2 + y^2 = (x^2 - y^2)^2$ है।

(A) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ सूत्र द्वारा ज्ञात किया जाता है।
$\Delta PQR$ के लिए: $P(x, y), Q(a, 2a), R(-a, -2a)$,
क्षेत्रफल $= |2ax - ay|$.
$\Delta PST$ के लिए: $P(x, y), S(a, 2a), T(2a, 3a)$,
क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |ay - ax - a^2|$.
दोनों क्षेत्रफलों को बराबर करने पर: $|2ax - ay| = \frac{1}{2} |ay - ax - a^2|$.
हल करने पर,$3x - y = a$ प्राप्त होता है।

(B) मान लीजिए कि वर्ग के शीर्ष $(\pm 1, \pm 1)$ पर हैं। वर्ग का क्षेत्रफल $2 \times 2 = 4$ वर्ग इकाई है।
विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु मूल बिंदु $O(0, 0)$ है।
एक बिंदु $P(x, y)$ किसी शीर्ष $V(1, 1)$ की तुलना में $O$ के अधिक निकट है यदि $PO < PV$,जिसका अर्थ है $PO^2 < PV^2$।
$x^2 + y^2 < (x-1)^2 + (y-1)^2$
$x^2 + y^2 < x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1$
$0 < -2x - 2y + 2 \implies x + y < 1$।
इसी प्रकार,चारों शीर्षों पर विचार करने पर,यह क्षेत्र असमिका $|x| + |y| < 1$ द्वारा परिभाषित होता है।
यह क्षेत्र एक वर्ग है जिसके शीर्ष $(1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1)$ हैं।
इस आंतरिक वर्ग की भुजा की लंबाई $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ है।
इस क्षेत्र का क्षेत्रफल $(\sqrt{2})^2 = 2$ वर्ग इकाई है।

(B) माना बिंदु $P(x, y)$ है। रेखाओं $L_1: 2x + y - 3 = 0$ और $L_2: x - 2y + 1 = 0$ से लंबवत दूरियाँ $d_1 = \frac{|2x + y - 3|}{\sqrt{5}}$ और $d_2 = \frac{|x - 2y + 1|}{\sqrt{5}}$ हैं।
दिया है $d_1 + d_2 = 2$,अतः $|2x + y - 3| + |x - 2y + 1| = 2\sqrt{5}$.
यह बिंदुपथ एक वर्ग बनाता है। वर्ग का क्षेत्रफल $\frac{2k^2}{a^2+b^2}$ सूत्र से प्राप्त होता है,जहाँ $k=2\sqrt{5}, a=2, b=1$.
क्षेत्रफल $= \frac{2(2\sqrt{5})^2}{2^2+1^2} = \frac{2(20)}{5} = 8 \, sq \, units$.

(B) माना $AP$ का प्रथम पद $p$ और सार्व अंतर $q$ है।
तब,$a = p + q$,$b = p + 3q$,और $c = p + 6q$ है।
रेखा का समीकरण $ax + by + c = 0$ है।
$a, b, c$ के मान रखने पर:
$(p + q)x + (p + 3q)y + (p + 6q) = 0$
$p$ और $q$ के पदों को व्यवस्थित करने पर:
$p(x + y + 1) + q(x + 3y + 6) = 0$
यह रेखा एक निश्चित बिंदु से गुजरेगी यदि:
$x + y + 1 = 0$ (समीकरण $1$)
$x + 3y + 6 = 0$ (समीकरण $2$)
समीकरण $2$ में से समीकरण $1$ घटाने पर:
$2y + 5 = 0 \Rightarrow y = -\frac{5}{2}$
$y = -\frac{5}{2}$ का मान समीकरण $1$ में रखने पर:
$x - \frac{5}{2} + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$
अतः,निश्चित बिंदु $\left( \frac{3}{2}, -\frac{5}{2} \right)$ है।

(B) माना $A$ के निर्देशांक $(1, 2)$ हैं।
$B$ और $C$ को समाहित करने वाली रेखा $L: x - y + \lambda = 0$ है।
$A$ से $BC$ पर डाला गया शीर्षलंब $BC$ के लंबवत होता है।
$BC$ की ढाल $m = 1$ है।
अतः,$A$ से शीर्षलंब की ढाल $m' = -1$ होगी।
$A$ से गुजरने वाले शीर्षलंब का समीकरण $y - 2 = -1(x - 1)$ है,जो सरल होकर $y - 2 = -x + 1$ या $x + y = 3$ हो जाता है।
चूंकि त्रिभुज का लंबकेंद्र हमेशा उसके शीर्षलंब पर स्थित होता है,और $\lambda$ के किसी भी मान के लिए $A$ से शीर्षलंब स्थिर रहता है,इसलिए लंबकेंद्र का बिंदुपथ $x + y = 3$ है।

(D) रेखा $y = \sqrt{3}x$ है। इसे प्राचलिक रूप में $x = r \cos(\theta)$ और $y = r \sin(\theta)$ के रूप में लिखा जा सकता है,जहाँ $\tan(\theta) = \sqrt{3}$,अतः $\theta = 60^\circ$। इस प्रकार,$x = \frac{r}{2}$ और $y = \frac{r\sqrt{3}}{2}$।
वक्र के समीकरण $x^3 + 3y^2 + 4x + 5y - 1 = 0$ में मान रखने पर:
$(\frac{r}{2})^3 + 3(\frac{r\sqrt{3}}{2})^2 + 4(\frac{r}{2}) + 5(\frac{r\sqrt{3}}{2}) - 1 = 0$
$\frac{r^3}{8} + \frac{9r^2}{4} + 2r + \frac{5\sqrt{3}r}{2} - 1 = 0$
$8$ से गुणा करने पर:
$r^3 + 18r^2 + (16 + 20\sqrt{3})r - 8 = 0$
माना मूल $r_1, r_2, r_3$ हैं,जो दूरियों $OA, OB, OC$ को दर्शाते हैं। मूलों का गुणनफल $-d/a$ के अनुसार:
$OA \cdot OB \cdot OC = r_1 r_2 r_3 = 8$.

(B) माना मूल बिंदु $(0,0)$ से रेखा $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ पर लंब का पाद $P(h, k)$ है।
लंब के पाद के निर्देशांक $h = \frac{a b^2}{a^2 + b^2}$ और $k = \frac{a^2 b}{a^2 + b^2}$ होते हैं।
अतः $h^2 + k^2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2} = \frac{1}{\frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2}}.$
दिया गया है कि $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{2c^2},$
इसलिए $h^2 + k^2 = 2c^2.$
अतः,बिंदुपथ $x^2 + y^2 = 2c^2$ है।

(B) माना $(a, b)$ से गुजरने वाली चर रेखा का समीकरण $\frac{x}{X} + \frac{y}{Y} = 1$ है।
चूंकि यह $(a, b)$ से गुजरती है,इसलिए $\frac{a}{X} + \frac{b}{Y} = 1$ है।
रेखा अक्षों को $A(X, 0)$ और $B(0, Y)$ पर मिलती है।
$A$ और $B$ से निर्देशांक अक्षों के समानांतर खींची गई रेखाएं बिंदु $P(h, k)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
ज्यामिति से,$h = X$ और $k = Y$ है।
इन मानों को $\frac{a}{X} + \frac{b}{Y} = 1$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{a}{h} + \frac{b}{k} = 1$ प्राप्त होता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1$ है।

(C) माना $P = (x, y)$.
दिया है $A = (2, 3)$ और $B = (-4, 5)$.
$\Delta PAB$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 12$.
निर्देशांक रखने पर: $\frac{1}{2} |x(3 - 5) + 2(5 - y) - 4(y - 3)| = 12$.
$\frac{1}{2} |-2x + 10 - 2y - 4y + 12| = 12$.
$|-2x - 6y + 22| = 24$.
$|-x - 3y + 11| = 12$.
इसका अर्थ है $-x - 3y + 11 = 12$ या $-x - 3y + 11 = -12$.
स्थिति $1$: $x + 3y + 1 = 0$.
स्थिति $2$: $x + 3y - 23 = 0$.
बिंदु पथ का संयुक्त समीकरण $(x + 3y + 1)(x + 3y - 23) = 0$ है।
विस्तार करने पर: $x^2 + 6xy + 9y^2 - 22x - 66y - 23 = 0$.

(A) मान लीजिए कि दो परस्पर लंबवत रेखाएं निर्देशांक अक्ष $x=0$ और $y=0$ हैं।
मान लीजिए बिंदु $(x, y)$ है।
इन रेखाओं से इसकी दूरियों का योग $|x| + |y| = 3$ है।
यह समीकरण $(3, 0), (0, 3), (-3, 0),$ और $(0, -3)$ शीर्षों वाले एक वर्ग को दर्शाता है।
इस वर्ग के विकर्ण अक्षों पर स्थित हैं और उनकी लंबाई $d_1 = 6$ और $d_2 = 6$ है।
वर्ग का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18 \text{ unit}^2$ है।

(D) माना रेखा $AB$ की ढाल $m$ है। चूंकि $AB$ बिंदु $A(1, 1)$ से गुजरती है,इसका समीकरण $y - 1 = m(x - 1)$ है।
यह $x$-अक्ष को $B(1 - \frac{1}{m}, 0)$ पर काटती है।
रेखा $AC$,$AB$ के लंबवत है,इसलिए इसकी ढाल $-\frac{1}{m}$ है। इसका समीकरण $y - 1 = -\frac{1}{m}(x - 1)$ है।
यह $y$-अक्ष को $C(0, 1 + m)$ पर काटती है।
माना $\Delta ABC$ का केंद्रक $G(h, k)$ है।
$h = \frac{1 + (1 - \frac{1}{m}) + 0}{3} = \frac{2 - \frac{1}{m}}{3} \implies 3h - 2 = -\frac{1}{m} \implies m = \frac{1}{2 - 3h}$.
$k = \frac{1 + 0 + (1 + m)}{3} = \frac{2 + m}{3} \implies 3k - 2 = m$.
दूसरे समीकरण में $m$ का मान प्रतिस्थापित करने पर: $3k - 2 = \frac{1}{2 - 3h}$.
$(3k - 2)(2 - 3h) = 1 \implies 6k - 9hk - 4 + 6h = 1$.
$9hk - 6h - 6k + 5 = 0$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से बदलने पर,बिंदुपथ $9xy - 6x - 6y + 5 = 0$ है।

(A) व्यंजक $|PR + QR| + |PR - QR|$ बिंदु $R$ से $P$ और $Q$ की दूरियों का योग और उनके अंतर का निरपेक्ष मान दर्शाता है।
त्रिभुज असमिका के अनुसार,$|PR + QR| \ge |PQ|$.
साथ ही,$|PR - QR| \ge 0$,और इसका न्यूनतम मान $0$ होता है जब $R$ रेखाखंड $PQ$ पर स्थित हो।
अतः,पूरे व्यंजक का न्यूनतम मान $|PQ|$ है,जो तब प्राप्त होता है जब $R$ रेखाखंड $PQ$ पर स्थित हो।
ज्यामितीय न्यूनीकरण समस्या के अनुसार,$R$ रेखाखंड $PQ$ का मध्य-बिंदु है।
$R = \left( \frac{2+6}{2}, \frac{3+0}{2} \right) = (4, 1.5)$.
इसलिए,$\alpha = 4$ और $\beta = 1.5$.
अतः,$\alpha - 2\beta = 4 - 2(1.5) = 4 - 3 = 1$.

(C) दी गई रेखाएँ $L_1: 4x + 3y - 12 = 0$ और $L_2: 3x + 4y - 12 = 0$ हैं।
उनके प्रतिच्छेदन से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $L_1 + \lambda L_2 = 0$ है,जो $(4x + 3y - 12) + \lambda(3x + 4y - 12) = 0$ है।
इसे सरल करने पर,$x(4 + 3\lambda) + y(3 + 4\lambda) - 12(1 + \lambda) = 0$ प्राप्त होता है।
यह रेखा अक्षों को $A\left(\frac{12(1 + \lambda)}{4 + 3\lambda}, 0\right)$ और $B\left(0, \frac{12(1 + \lambda)}{3 + 4\lambda}\right)$ पर काटती है।
माना $AB$ का मध्य-बिंदु $(h, k)$ है। अतः $h = \frac{6(1 + \lambda)}{4 + 3\lambda}$ और $k = \frac{6(1 + \lambda)}{3 + 4\lambda}$।
इससे,$\frac{1}{h} = \frac{4 + 3\lambda}{6(1 + \lambda)}$ और $\frac{1}{k} = \frac{3 + 4\lambda}{6(1 + \lambda)}$।
दोनों को जोड़ने पर,$\frac{1}{h} + \frac{1}{k} = \frac{7 + 7\lambda}{6(1 + \lambda)} = \frac{7}{6}$।
अतः,$\frac{h + k}{hk} = \frac{7}{6}$,जिसका अर्थ है $6(h + k) = 7hk$।
बिंदुपथ $6(x + y) = 7xy$ है।

(D) माना $Q$ का भुज $x$ है।
चूंकि $Q$,$x$-अक्ष पर स्थित है,इसलिए इसके निर्देशांक $Q(x, 0)$ हैं।
माना परावर्तित किरण धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाती है।
परावर्तित किरण $QR$ की ढाल $\tan \theta = \frac{7 - 0}{6 - x} = \frac{7}{6 - x}$ है।
आपतित किरण $PQ$ धनात्मक $x$-अक्ष के साथ $(180^\circ - \theta)$ कोण बनाती है।
आपतित किरण $PQ$ की ढाल $\tan(180^\circ - \theta) = \frac{3 - 0}{1 - x} = \frac{3}{1 - x}$ है।
चूंकि $\tan(180^\circ - \theta) = -\tan \theta$,इसलिए:
$\frac{3}{1 - x} = -\left(\frac{7}{6 - x}\right)$
$3(6 - x) = -7(1 - x)$
$18 - 3x = -7 + 7x$
$25 = 10x$
$x = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.

(C) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(\alpha, \beta)$ हैं। चूँकि $P$ रेखा $2x - 3y + 4 = 0$ पर स्थित है,इसलिए $2\alpha - 3\beta + 4 = 0$ है।
माना $(h, k)$ $\Delta PQR$ का केंद्रक है। केंद्रक के निर्देशांक इस प्रकार हैं:
$h = \frac{\alpha + 1 + 3}{3}$ $\Rightarrow 3h = \alpha + 4$ $\Rightarrow \alpha = 3h - 4$
$k = \frac{\beta + 4 - 2}{3}$ $\Rightarrow 3k = \beta + 2$ $\Rightarrow \beta = 3k - 2$
इन मानों को रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(3h - 4) - 3(3k - 2) + 4 = 0$
$6h - 8 - 9k + 6 + 4 = 0$
$6h - 9k + 2 = 0$
केंद्रक $(h, k)$ का बिंदुपथ $6x - 9y + 2 = 0$ है।
ढाल-अंतःखंड रूप में लिखने पर: $9y = 6x + 2$ $\Rightarrow y = \frac{6}{9}x + \frac{2}{9}$ $\Rightarrow y = \frac{2}{3}x + \frac{2}{9}$।
इस रेखा की ढाल $\frac{2}{3}$ है।

(D) माना बिंदु $P(t, y)$ है। चूंकि बिंदु रेखा $3x + 5y = 15$ पर स्थित है,इसलिए $3t + 5y = 15$,जिससे $y = \frac{15 - 3t}{5}$ प्राप्त होता है।
चूंकि बिंदु निर्देशांक अक्षों से समान दूरी पर है,इसलिए $|x| = |y|$,अतः $|t| = |\frac{15 - 3t}{5}|$.
इसका अर्थ है $\frac{15 - 3t}{5} = t$ या $\frac{15 - 3t}{5} = -t$.
स्थिति $1$: $15 - 3t = 5t$ $\Rightarrow 8t = 15$ $\Rightarrow t = \frac{15}{8}$. अतः $y = \frac{15}{8}$. बिंदु $P(\frac{15}{8}, \frac{15}{8})$ $1^{st}$ चतुर्थांश में स्थित है।
स्थिति $2$: $15 - 3t = -5t$ $\Rightarrow 2t = -15$ $\Rightarrow t = -\frac{15}{2}$. अतः $y = \frac{15}{2}$. बिंदु $P(-\frac{15}{2}, \frac{15}{2})$ $2^{nd}$ चतुर्थांश में स्थित है।
अतः,बिंदु $1^{st}$ और $2^{nd}$ चतुर्थांश में स्थित हैं।

(C) माना रेखा $x=2y$ पर एक बिंदु $P(2\alpha, \alpha)$ है।
माना $P$ से रेखा $x-y=0$ पर खींचा गया लंब उसे $Q(\beta, \beta)$ पर मिलता है।
$PQ$ की ढाल $\frac{\alpha-\beta}{2\alpha-\beta}$ है।
चूंकि $PQ$,रेखा $x-y=0$ (ढाल $1$) के लंबवत है,इसलिए $PQ$ की ढाल $-1$ होनी चाहिए।
अतः,$\frac{\alpha-\beta}{2\alpha-\beta} = -1 \implies \alpha-\beta = -2\alpha+\beta \implies 3\alpha = 2\beta \implies \beta = \frac{3\alpha}{2}$.
माना $(h, k)$ $PQ$ का मध्य-बिंदु है।
$h = \frac{2\alpha+\beta}{2} = \frac{2\alpha + \frac{3\alpha}{2}}{2} = \frac{7\alpha}{4}$.
$k = \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\alpha + \frac{3\alpha}{2}}{2} = \frac{5\alpha}{4}$.
अब,$\frac{h}{k} = \frac{7\alpha/4}{5\alpha/4} = \frac{7}{5}$.
$5h = 7k \implies 5x-7y=0$.

(N/A) दी गई रेखाएँ $3x - 2y - 5 = 0$ $(1)$ और $3x + 2y - 5 = 0$ $(2)$ हैं।
मान लीजिए $(h, k)$ कोई ऐसा बिंदु है जिसकी रेखाओं $(1)$ और $(2)$ से दूरियाँ समान हैं।
रेखा $(1)$ से $(h, k)$ की दूरी $\frac{|3h - 2k - 5|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} = \frac{|3h - 2k - 5|}{\sqrt{13}}$ है।
रेखा $(2)$ से $(h, k)$ की दूरी $\frac{|3h + 2k - 5|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{|3h + 2k - 5|}{\sqrt{13}}$ है।
चूँकि दूरियाँ समान हैं,हमारे पास $\frac{|3h - 2k - 5|}{\sqrt{13}} = \frac{|3h + 2k - 5|}{\sqrt{13}}$ है,जिसका अर्थ है $|3h - 2k - 5| = |3h + 2k - 5|$।
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
स्थिति $1$: $3h - 2k - 5 = 3h + 2k - 5 \implies -2k = 2k \implies 4k = 0 \implies k = 0$।
स्थिति $2$: $3h - 2k - 5 = -(3h + 2k - 5) \implies 3h - 2k - 5 = -3h - 2k + 5 \implies 6h = 10 \implies h = \frac{5}{3}$।
अतः,बिंदु $(h, k)$ का बिंदुपथ $y = 0$ या $x = \frac{5}{3}$ है,जो दोनों सीधी रेखाओं को दर्शाते हैं।

(N/A) दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
$x + y - 5 = 0$ $(1)$
$3x - 2y + 7 = 0$ $(2)$
बिंदु $P(x, y)$ से रेखाओं $(1)$ और $(2)$ की लंबवत दूरियाँ हैं:
$d_{1} = \frac{|x + y - 5|}{\sqrt{2}}$
$d_{2} = \frac{|3x - 2y + 7|}{\sqrt{13}}$
दिया गया है कि $d_{1} + d_{2} = 10$,इसलिए:
$\frac{|x + y - 5|}{\sqrt{2}} + \frac{|3x - 2y + 7|}{\sqrt{13}} = 10$
यह मानते हुए कि मापांक के अंदर के व्यंजक धनात्मक हैं:
$\sqrt{13}(x + y - 5) + \sqrt{2}(3x - 2y + 7) = 10\sqrt{26}$
पदों का विस्तार करने पर:
$(\sqrt{13} + 3\sqrt{2})x + (\sqrt{13} - 2\sqrt{2})y - (5\sqrt{13} - 7\sqrt{2} + 10\sqrt{26}) = 0$
यह $Ax + By + C = 0$ के रूप का है,जो एक रेखा को दर्शाता है। अतः,$P$ एक रेखा पर चलता है।

(A) माना बिंदु $A$ के निर्देशांक $(a, 0)$ हैं।
परावर्तन के नियम के अनुसार,बिंदु $(1, 2)$ का $x$-अक्ष पर प्रतिबिंब $(1, -2)$ उस रेखा पर स्थित होता है जो $A$ और $(5, 3)$ से गुजरती है।
$(1, -2)$ और $(5, 3)$ से गुजरने वाली रेखा की ढाल $m = \frac{3 - (-2)}{5 - 1} = \frac{5}{4}$ है।
इस रेखा का समीकरण $y - 3 = \frac{5}{4}(x - 5)$ है।
$x$-अन्तःखंड ($A$ बिंदु) ज्ञात करने के लिए $y = 0$ रखने पर:
$-3 = \frac{5}{4}(x - 5)$
$-12 = 5x - 25$
$5x = 13$
$x = \frac{13}{5}$.
अतः,बिंदु $A$ के निर्देशांक $\left(\frac{13}{5}, 0\right)$ हैं।

(A) मान लीजिए पेंसिल को $C$ के परितः $\alpha$ कोण से घुमाया जाता है। पेंसिल की नई स्थिति $A'B'$ है।
$P$ से पेंसिल पर डाले गए लंब द्वारा बने समकोण त्रिभुज में,$PC$ और नई पेंसिल रेखा के बीच का कोण $\theta$ है।
हमें $PC = \sqrt{5}$ और लंबवत दूरी $d = 1$ दी गई है।
$P$,पेंसिल पर लंब के बिंदु और $C$ द्वारा बने समकोण त्रिभुज में,$\sin \theta = \frac{d}{PC} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
अतः,$\tan \theta = \frac{1}{2}$.
प्रारंभ में,कोण $\angle PCB = \phi = \tan^{-1}(2)$,इसलिए $\tan \phi = 2$.
घूर्णन का कोण $\alpha$ प्रारंभिक कोण $\phi$ और नए कोण $\theta$ के बीच का अंतर है।
$\alpha = \phi - \theta$.
$\tan \alpha = \tan(\phi - \theta) = \frac{\tan \phi - \tan \theta}{1 + \tan \phi \tan \theta} = \frac{2 - 1/2}{1 + 2(1/2)} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$.
अतः,$\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(C) दिया गया है $A = (0,6)$ और $B = (2t, 0)$.
$AB$ का मध्य-बिंदु $M = (t, 3)$ है।
$AB$ की ढाल $m_{AB} = -\frac{3}{t}$ है।
$AB$ के लंब समद्विभाजक की ढाल $m_{\perp} = \frac{t}{3}$ है।
लंब समद्विभाजक का समीकरण $(y-3) = \frac{t}{3}(x-t)$ है।
$C$ ज्ञात करने के लिए $x=0$ रखने पर,$y = 3 - \frac{t^{2}}{3}$. अतः $C = (0, 3 - \frac{t^{2}}{3})$.
मान लीजिए $P(h, k)$,$MC$ का मध्य-बिंदु है:
$h = \frac{t}{2} \Rightarrow t = 2h$.
$k = \frac{3 + (3 - \frac{t^{2}}{3})}{2} = 3 - \frac{t^{2}}{6}$.
$t = 2h$ रखने पर,$k = 3 - \frac{4h^{2}}{6} = 3 - \frac{2h^{2}}{3}$.
$3k = 9 - 2h^{2} \Rightarrow 2h^{2} + 3k - 9 = 0$.
अतः बिंदुपथ $2x^{2} + 3y - 9 = 0$ है।

(C) त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 12$ सूत्र द्वारा दिया जाता है।
दिए गए बिंदुओं $(5, 6), (3, 2)$ और $(\alpha, \beta)$ को प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{1}{2} |5(2 - \beta) + 3(\beta - 6) + \alpha(6 - 2)| = 12$
$|4\alpha - 2\beta - 8| = 24$
$|2\alpha - \beta - 4| = 12$
यह बिंदु $A$ के बिंदुपथ के लिए दो रेखाएं देता है:
स्थिति $1$: $2\alpha - \beta - 16 = 0$
स्थिति $2$: $2\alpha - \beta + 8 = 0$
मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $ax + by + c = 0$ की दूरी $\frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ होती है।
रेखा $1$ के लिए: $d_1 = \frac{16}{\sqrt{5}}$
रेखा $2$ के लिए: $d_2 = \frac{8}{\sqrt{5}}$
न्यूनतम दूरी $\frac{8}{\sqrt{5}}$ है।

(D) समान गति पर लिए गए समय को न्यूनतम करने के लिए,कुल दूरी $PR + RQ$ न्यूनतम होनी चाहिए।
मान लीजिए $Q'(0, -2)$,$x$-अक्ष पर $Q(0, 2)$ का प्रतिबिंब है।
दूरी $RQ = RQ'$ है। अतः,$PR + RQ = PR + RQ'$।
यह योग तब न्यूनतम होता है जब $P, R,$ और $Q'$ संरेख (collinear) हों।
बिंदु $P(-3, 4)$ और $Q'(0, -2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण:
$y - (-2) = \frac{4 - (-2)}{-3 - 0}(x - 0)$
$y + 2 = -2x \implies 2x + y + 2 = 0$।
बिंदु $R$ इस रेखा का $x$-अक्ष $(y=0)$ के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु है:
$2x + 0 + 2 = 0 \implies x = -1$।
अतः,$R = (-1, 0)$।
अब,दूरियों के वर्गों की गणना करें:
$PR^{2} = (-1 - (-3))^{2} + (0 - 4)^{2} = (2)^{2} + (-4)^{2} = 4 + 16 = 20$।
$RQ^{2} = (0 - (-1))^{2} + (2 - 0)^{2} = (1)^{2} + (2)^{2} = 1 + 4 = 5$।
अंत में,$50(PR^{2} + RQ^{2})$ की गणना करें:
$50(20 + 5) = 50(25) = 1250$।

(D) $\triangle ABC$ के समद्विबाहु होने के लिए,कम से कम दो भुजाएँ बराबर होनी चाहिए। मान लीजिए निश्चित रेखाखंड $BC$ की लंबाई $a$ है।
स्थिति $I$: $AB = AC$. $A$ का बिंदुपथ $BC$ का लंब समद्विभाजक है,जो एक सीधी रेखा है।
स्थिति $II$: $AB = BC$. चूँकि $BC$ निश्चित है,$AB$ की लंबाई $BC$ के बराबर होनी चाहिए। अतः,$A$ का बिंदुपथ $B$ को केंद्र मानकर $BC$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
स्थिति $III$: $AC = BC$. इसी प्रकार,$A$ का बिंदुपथ $C$ को केंद्र मानकर $BC$ त्रिज्या वाला एक वृत्त है।
अतः,$A$ का पूर्ण बिंदुपथ $BC$ का लंब समद्विभाजक और $B$ तथा $C$ को केंद्र मानकर खींचे गए दो वृत्तों का संघ है (उन बिंदुओं को छोड़कर जहाँ $A, B, C$ संरेख हैं)।
अतः,सही विकल्प $(d)$ है।

(B) $n$ भुजाओं वाला एक नियमित बहुभुज समतल को तभी ढक सकता है जब उसका आंतरिक कोण $360^{\circ}$ का विभाजक हो।
एक नियमित $n$-भुज का आंतरिक कोण $\frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n}$ द्वारा दिया जाता है।
$(1)$ समबाहु त्रिभुज $(n=3)$ के लिए: आंतरिक कोण = $60^{\circ}$। चूंकि $360^{\circ} / 60^{\circ} = 6$,यह समतल को ढक सकता है।
$(2)$ वर्ग $(n=4)$ के लिए: आंतरिक कोण = $90^{\circ}$। चूंकि $360^{\circ} / 90^{\circ} = 4$,यह समतल को ढक सकता है।
$(3)$ नियमित पंचभुज $(n=5)$ के लिए: आंतरिक कोण = $108^{\circ}$। चूंकि $360^{\circ} / 108^{\circ} = 3.33$ (पूर्णांक नहीं है),यह समतल को नहीं ढक सकता।
$(4)$ नियमित षट्भुज $(n=6)$ के लिए: आंतरिक कोण = $120^{\circ}$। चूंकि $360^{\circ} / 120^{\circ} = 3$,यह समतल को ढक सकता है।
अतः,समतल को ढकने वाले आकार समबाहु त्रिभुज,वर्ग और नियमित षट्भुज हैं। ऐसे ठीक तीन आकार हैं।

(C) मान लीजिए कि समय $t$ पर $k$-वीं चींटी की स्थिति $x_k(t)$ है।
दिया गया है $x_k(0) = k^2$ और $x_k(1) = (11-k)^2$।
चूँकि गति समान है,वेग $v_k = x_k(1) - x_k(0) = (11-k)^2 - k^2 = 121 - 22k + k^2 - k^2 = 121 - 22k$ है।
अतः,$x_k(t) = k^2 + (121 - 22k)t$।
दो चींटियाँ $i$ और $j$ (जहाँ $i < j$) एक ही स्थान पर होती हैं यदि $x_i(t) = x_j(t)$ हो।
$i^2 + (121 - 22i)t = j^2 + (121 - 22j)t$
$i^2 - j^2 = (121 - 22j - 121 + 22i)t$
$(i-j)(i+j) = 22(i-j)t$
चूँकि $i \neq j$,हम $(i-j)$ से विभाजित कर सकते हैं:
$t = \frac{i+j}{22}$।
चूँकि $1 \le i < j \le 10$,$i+j$ के लिए संभावित मान $1+2=3$ से $9+10=19$ तक हैं।
अतः,$t \in \{\frac{3}{22}, \frac{4}{22}, \dots, \frac{19}{22}\}$।
अलग-अलग मानों की संख्या $19 - 3 + 1 = 17$ है।

(B) मान लीजिए बिंदु $P$ के निर्देशांक $(r, \theta)$ हैं। कार्तीय निर्देशांक में,$P = (r \cos \theta, r \sin \theta)$ है।
रेखा $OP$ मूलबिंदु से होकर गुजरती है और इसका समीकरण $y = x \tan \theta$ है।
रेखा $r \sin \theta = b$ कार्तीय निर्देशांक में $y = b$ के बराबर है।
मान लीजिए $Q$ रेखा $OP$ और रेखा $y = b$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
चूंकि $Q$,$y = b$ पर स्थित है,इसलिए इसका $y$-निर्देशांक $b$ है। चूंकि $Q$,$OP$ पर स्थित है,इसलिए मूलबिंदु से इसकी ध्रुवीय दूरी $OQ$ समीकरण $OQ \sin \theta = b$ को संतुष्ट करती है,अतः $OQ = \frac{b}{\sin \theta}$ है।
$PQ = d$ दिया गया है,इसलिए दूरी $OP = OQ \pm d = \frac{b}{\sin \theta} \pm d$ है।
अतः,$r = \frac{b}{\sin \theta} \pm d$ है।
$\sin \theta$ से गुणा करने पर,हमें $r \sin \theta = b \pm d \sin \theta$ प्राप्त होता है,जिसे सरल करने पर $(r \mp d) \sin \theta = b$ मिलता है।
चूंकि $d$ एक स्थिरांक है,इसलिए बिंदुपथ $(r \pm d) \sin \theta = b$ है।

(C) दिए गए बिंदु $A(4,0)$ और $B(0,12)$ हैं।
मान लीजिए बिंदु $C(x, y)$ है।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल इस प्रकार है:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
मान रखने पर:
$18 = \frac{1}{2} |4(12 - y) + 0(y - 0) + x(0 - 12)|$
$18 = \frac{1}{2} |48 - 4y - 12x|$
$36 = |48 - 4y - 12x|$
$4$ से विभाजित करने पर:
$36 = 4 |12 - y - 3x|$
$9 = |-(3x + y - 12)|$
$9 = |3x + y - 12|$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(3x + y - 12)^2 = 81$
अतः,बिंदुपथ $(y + 3x - 12)^2 = 81$ है।

(D) माना दोनों मोमबत्तियों की प्रारंभिक लंबाई $L$ है।
पहली मोमबत्ती के जलने की दर प्रति घंटा $\frac{L}{5}$ है और दूसरी मोमबत्ती की दर प्रति घंटा $\frac{L}{3}$ है।
माना $t$ घंटे बाद पहली मोमबत्ती की लंबाई दूसरी मोमबत्ती की लंबाई से $3$ गुना हो जाती है।
$t$ समय के बाद शेष लंबाई $L_1 = L - \frac{L}{5}t$ और $L_2 = L - \frac{L}{3}t$ है।
प्रश्न के अनुसार,$L_1 = 3L_2$.
मान रखने पर: $L - \frac{L}{5}t = 3(L - \frac{L}{3}t)$.
$L$ से विभाजित करने पर: $1 - \frac{t}{5} = 3 - t$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $t - \frac{t}{5} = 3 - 1$.
$\frac{4t}{5} = 2$.
$t = \frac{10}{4} = 2.5 \, hr$.
मिनट में बदलने पर: $2.5 \times 60 = 150 \, min$.

(C) माना ट्रेन की लंबाई $x\,m$ है।
ट्रेन द्वारा व्यक्ति को पार करने में लिया गया समय $9\,s$ है।
इसलिए,ट्रेन की गति $v = \frac{x}{9}\,m/s$ है।
ट्रेन द्वारा प्लेटफॉर्म को पार करने में लिया गया समय $21\,s$ है।
प्लेटफॉर्म को पार करते समय,तय की गई कुल दूरी ट्रेन की लंबाई और प्लेटफॉर्म की लंबाई का योग है,जो $(x + 88)\,m$ है।
सूत्र $\text{दूरी} = \text{गति} \times \text{समय}$ का उपयोग करते हुए:
$x + 88 = v \times 21$
$v = \frac{x}{9}$ रखने पर:
$x + 88 = \frac{x}{9} \times 21$
$x + 88 = \frac{7x}{3}$
$3(x + 88) = 7x$
$3x + 264 = 7x$
$4x = 264$
$x = 66\,m$.
अतः,ट्रेन की लंबाई $66\,m$ है।

(B) मेंढक $(0,0)$ से शुरू होता है और प्रत्येक कूद में $5$ इकाई की दूरी तय करके $(0,1)$ तक पहुँचने की आवश्यकता है।
मान लीजिए कि कूद को एक सदिश $(x, y)$ द्वारा दर्शाया गया है ताकि $x^2 + y^2 = 5^2 = 25$,जहाँ $x, y \in \mathbb{Z}$।
संभावित पूर्णांक जोड़े $(x, y)$ $(\pm 3, \pm 4)$ या $(\pm 4, \pm 3)$ या $(\pm 5, 0)$ या $(0, \pm 5)$ हैं।
न्यूनतम कूद में $(0,1)$ तक पहुँचने के लिए:
$1$. पहली कूद: $(0,0)$ से $(4,3)$ तक ($5$ इकाई दूरी)।
$2$. दूसरी कूद: $(4,3)$ से $(0,6)$ तक ($5$ इकाई दूरी)।
$3$. तीसरी कूद: $(0,6)$ से $(0,1)$ तक ($5$ इकाई दूरी)।
अतः,आवश्यक न्यूनतम कूद की संख्या $3$ है।

(B) मान लीजिए कि वर्ग $ABCD$ को निर्देशांक तल में $A(0, 12), B(12, 12), C(12, 0), D(0, 0)$ के रूप में रखा गया है।
$M, AB$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $M = (6, 12)$ है।
$N, CD$ का मध्य बिंदु है,इसलिए $N = (6, 0)$ है।
$P, MN$ पर स्थित है,इसलिए $P = (6, y)$ जहाँ $y \in [0, 12]$ है।
$AP = r = \sqrt{(6-0)^2 + (y-12)^2} = \sqrt{36 + (12-y)^2}$ है।
$PC = s = \sqrt{(6-12)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{36 + y^2}$ है।
$r, s, 12$ भुजाओं वाले त्रिभुज पर विचार करें। ध्यान दें कि $BC = 12$ है। बिंदु $P$ की $BC$ भुजा (जो $x=12$ रेखा पर स्थित है) से क्षैतिज दूरी $6$ है।
अतः,$\triangle PBC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊंचाई} = \frac{1}{2} \times BC \times P \text{ की } BC \text{ से दूरी} = \frac{1}{2} \times 12 \times 6 = 36$ है।

(B) मान लीजिए $10$ बजे के बाद $x$ मिनट बीत चुके हैं।
$10$ बजे,घंटे की सुई $12$ बजे की स्थिति से $300^{\circ}$ पर होती है।
$x$ मिनट में,मिनट की सुई $12$ बजे की स्थिति से $6x^{\circ}$ चलती है।
घंटे की सुई $x$ मिनट में $\frac{x}{2}^{\circ}$ चलती है,इसलिए उसकी स्थिति $12$ बजे से $(300 + \frac{x}{2})^{\circ}$ होती है।
सुइयों के ऊर्ध्वाधर रेखा ($12-6$ रेखा) के सापेक्ष सममित होने के लिए,मिनट की सुई का $12$ बजे से कोण (घड़ी की दिशा में) और घंटे की सुई का $12$ बजे से कोण (घड़ी की विपरीत दिशा में) बराबर होना चाहिए।
घंटे की सुई का $12$ बजे से कोण (घड़ी की विपरीत दिशा में) $360^{\circ} - (300 + \frac{x}{2})^{\circ} = (60 - \frac{x}{2})^{\circ}$ है।
दोनों को बराबर रखने पर: $6x = 60 - \frac{x}{2}$.
$12x = 120 - x$ $\Rightarrow 13x = 120$ $\Rightarrow x = \frac{120}{13} \approx 9.2307\,\text{मिनट}$.
$0.2307 \times 60 \approx 13.84\,\text{सेकंड}$,जो $14\,\text{सेकंड}$ के बराबर है।
अतः,समय $10\,\text{घंटे } 9\,\text{मिनट } 14\,\text{सेकंड}$ है।