Locus of Point Questions in Hindi

(A) रेखा का समीकरण $x \cos \theta + y \sin \theta = 7$ है।
$x$-अंतःखंड $x = \frac{7}{\cos \theta}$ है,अतः बिंदु $A = \left(\frac{7}{\cos \theta}, 0\right)$ है।
$y$-अंतःखंड $y = \frac{7}{\sin \theta}$ है,अतः बिंदु $B = \left(0, \frac{7}{\sin \theta}\right)$ है।
माना $M(h, k)$ रेखाखंड $AB$ का मध्य-बिंदु है।
$h = \frac{7}{2 \cos \theta}$ और $k = \frac{7}{2 \sin \theta}$ है।
बिंदु $\left(\alpha, \frac{7 \sqrt{3}}{3}\right)$ वक्र पर स्थित है,इसलिए $k = \frac{7 \sqrt{3}}{3}$ है।
$\frac{7}{2 \sin \theta} = \frac{7 \sqrt{3}}{3} \implies \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{3}$ है।
अतः,$\alpha = \frac{7}{2 \cos(\pi/3)} = \frac{7}{2(1/2)} = 7$ है।

(A) माना शीर्ष $A(2,1)$,$B(0,0)$ और $C(t,4)$ हैं,जहाँ $t \in [0,4]$ है। परिमाप $P(t) = AB + BC + AC$ है। चूँकि $AB = \sqrt{5}$ स्थिर है,हमें $f(t) = BC + AC = \sqrt{t^2 + 16} + \sqrt{(t-2)^2 + 9}$ का अधिकतम/न्यूनतम मान ज्ञात करना है।
न्यूनतम मान के लिए,$B(0,0)$ का रेखा $y=4$ के सापेक्ष प्रतिबिंब $B'(0,8)$ लें। न्यूनतम मान तब प्राप्त होता है जब $A, C, B'$ संरेख हों। रेखा $AB'$ का समीकरण $y = -\frac{7}{2}x + 8$ है। $y=4$ रखने पर,$t = \frac{8}{7}$ प्राप्त होता है। अतः,$\beta = \frac{8}{7}$ है।
अधिकतम मान के लिए,अंतराल $[0,4]$ के अंत बिंदुओं की जाँच करने पर,$f(4)$ पर अधिकतम मान प्राप्त होता है। अतः,$\alpha = 4$ है।
इस प्रकार,$6\alpha + 21\beta = 6(4) + 21(\frac{8}{7}) = 24 + 24 = 48$।

(A) शीर्षों $P(x,y)$,$A(-1,1)$ और $B(2,3)$ वाले $\triangle PAB$ का क्षेत्रफल सारणिक सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{1}{2} |x(1-3) + (-1)(3-y) + 2(y-1)| = 10$
$\frac{1}{2} |-2x - 3 + y + 2y - 2| = 10$
$|-2x + 3y - 5| = 20$
चूंकि $P$ रेखा $AB$ के ऊपर है,हम $-2x + 3y - 5 = 20$ लेते हैं,जो $-2x + 3y = 25$ देता है।
हमें बिंदुपथ $ax + by = 15$ के रूप में चाहिए। समीकरण $-2x + 3y = 25$ को $\frac{25}{15} = \frac{5}{3}$ से विभाजित करने पर:
$-\frac{2x}{5/3} + \frac{3y}{5/3} = 15$
$-\frac{6}{5}x + \frac{9}{5}y = 15$
इसकी तुलना $ax + by = 15$ से करने पर,हमें $a = -\frac{6}{5}$ और $b = \frac{9}{5}$ प्राप्त होता है।
अब,$5a + 2b = 5(-\frac{6}{5}) + 2(\frac{9}{5}) = -6 + \frac{18}{5} = \frac{-30+18}{5} = -\frac{12}{5}$।

(D) माना रेखाएँ $L_1: (1+p)x - py + p(1+p) = 0$,$L_2: (1+q)x - qy + q(1+q) = 0$,और $L_3: y = 0$ हैं।
त्रिभुज के शीर्ष इस प्रकार हैं:
$A = (-p, 0)$,$B = (-q, 0)$,और $C = (pq, (1+p)(1+q))$।
$C$ से गुजरने वाले शीर्षलंब का समीकरण $x = pq$ है।
$B(-q, 0)$ से गुजरने वाले शीर्षलंब का समीकरण $px + (1+p)y + pq = 0$ प्राप्त होता है।
इन दोनों समीकरणों को हल करने पर,हमें $y = -pq$ प्राप्त होता है।
अतः,लंबकेंद्र $(h, k) = (pq, -pq)$ है।
इसलिए,$k = -h$,जो रेखा $y = -x$ को दर्शाता है।

(B) प्रक्षेप पथ $y = \frac{x^2}{2}$ दिया गया है।
$t=0$ पर,कण $(0, 0)$ पर $v = 1 \text{ m/s}$ की गति से है।
$y = \frac{x^2}{2}$ का $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$\frac{dy}{dt} = x \frac{dx}{dt}$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $v_y = x v_x$।
पुनः $t$ के सापेक्ष अवकलन करने पर,$a_y = v_x^2 + x a_x$ प्राप्त होता है।
$(A)$ यदि $a_x = 1 \text{ m/s}^2$ और कण मूल बिंदु $(x=0)$ पर है,तो $a_y = v_x^2 + (0)(1) = v_x^2$। गति $1 \text{ m/s}$ होने के कारण और मूल बिंदु पर $v_y = x v_x = 0$ होने के कारण,$v_x = 1 \text{ m/s}$ प्राप्त होता है। अतः,$a_y = 1^2 = 1 \text{ m/s}^2$। यह सही है।
$(B)$ यदि $a_x = 0$,तो $v_x$ स्थिर रहता है। $v_x(0) = 1 \text{ m/s}$ होने के कारण,प्रत्येक $t$ के लिए $v_x = 1 \text{ m/s}$। अतः $a_y = v_x^2 + x a_x = 1^2 + x(0) = 1 \text{ m/s}^2$। यह सही है।
$(C)$ $t=0$ पर,$x=0$। $v_y = x v_x$ होने के कारण,$v_y = 0 \cdot v_x = 0$। अतः वेग सदिश $\vec{v} = v_x \hat{i} + 0 \hat{j}$ है,जो $x$-दिशा में है। यह सही है।
$(D)$ यदि $a_x = 0$,तो $v_x = 1 \text{ m/s}$ और $a_x = 0$। $a_y = v_x^2 + x a_x$ से,$a_y = 1^2 + 0 = 1 \text{ m/s}^2$। $a_y$ स्थिर होने के कारण,$v_y = a_y t = 1 \cdot t = t$। $t=1 \text{ s}$ पर,$v_y = 1 \text{ m/s}$। $x$-अक्ष के साथ कोण $\theta$,$\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{1}{1} = 1$ द्वारा प्राप्त होता है,इसलिए $\theta = 45^{\circ}$। यह सही है।
अतः,सभी कथन $(A), (B), (C), (D)$ सही हैं।

(B) माना $A$ के निर्देशांक $(a, a+2)$ और $B$ के निर्देशांक $(b, -2)$ हैं।
बिंदु $P(h, k)$,$AB$ को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करता है।
विभाजन सूत्र का उपयोग करने पर: $h = \frac{2b+a}{3}$ और $k = \frac{2(-2)+1(a+2)}{3} = \frac{a-2}{3}$.
$k = \frac{a-2}{3}$ से,$a = 3k+2$ प्राप्त होता है।
$h = \frac{2b+a}{3}$ से,$2b = 3h-a = 3h-3k-2$,इसलिए $b = \frac{3h-3k-2}{2}$.
छड़ की लंबाई $AB = 8$ है,इसलिए $AB^2 = 64$.
$(b-a)^2 + (-2-(a+2))^2 = 64$
$(\frac{3h-3k-2}{2} - (3k+2))^2 + (-4-a)^2 = 64$
$(\frac{3h-9k-6}{2})^2 + (-4-(3k+2))^2 = 64$
$\frac{9(h-3k-2)^2}{4} + (3k+6)^2 = 64$
$9(h^2+9k^2+4-6hk-4h+12k) + 4(9k^2+36k+36) = 256$
$9(h^2+9k^2-6hk-4h+12k+4+4k^2+16k+16) = 256$
$9(h^2+13k^2-6hk-4h+28k+20) = 256$
$9(h^2+13k^2-6hk-4h+28k) + 180 = 256$
$9(h^2+13k^2-6hk-4h+28k) - 76 = 0$.
$9(x^2+\alpha y^2+\beta xy+\gamma x+28y)-76=0$ से तुलना करने पर,$\alpha=13$,$\beta=-6$,$\gamma=-4$ प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha-\beta-\gamma = 13 - (-6) - (-4) = 13+6+4 = 23$.

(A) बिंदु $(1, 2)$ से गुजरने वाली रेखा $PQ$ का समीकरण $y - 2 = m(x - 1)$ है।
$x$-अंतःखंड (बिंदु $P$) $(1 - \frac{2}{m}, 0)$ है और $y$-अंतःखंड (बिंदु $Q$) $(0, 2 - m)$ है।
चूंकि क्षेत्रफल धनात्मक होना चाहिए,हम अंतःखंडों के परिमाण पर विचार करते हैं। प्रथम चतुर्थांश में त्रिभुज बनाने के लिए $m$ ऋणात्मक होना चाहिए। मान लीजिए $m = -k$ जहाँ $k > 0$ है।
अंतःखंड $P = (1 + \frac{2}{k}, 0)$ और $Q = (0, 2 + k)$ हैं।
क्षेत्रफल $A = \frac{1}{2} \times (1 + \frac{2}{k}) \times (2 + k) = \frac{1}{2} (4 + k + \frac{4}{k}) = 2 + \frac{k}{2} + \frac{2}{k}$ है।
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$\frac{k}{2} + \frac{2}{k} \ge 2 \sqrt{\frac{k}{2} \times \frac{2}{k}} = 2$ है।
समानता तब होती है जब $\frac{k}{2} = \frac{2}{k} \implies k^2 = 4 \implies k = 2$ है।
चूंकि $m = -k$ है,इसलिए ढाल $m = -2$ है।

(A) दिया गया है,$2a + b + 3c = 0$ ... $(i)$
और रेखा का समीकरण $ax + by + c = 0$ है।
$c$ को विलुप्त करने के लिए,रेखा के समीकरण को $3$ से गुणा करें:
$3ax + 3by + 3c = 0$ ... $(ii)$
समीकरण $(ii)$ में से समीकरण $(i)$ को घटाने पर:
$(3ax + 3by + 3c) - (2a + b + 3c) = 0$
$(3x - 2)a + (3y - 1)b = 0$
चूँकि यह सभी $a$ और $b$ के लिए सत्य है,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$
$3y - 1 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{3}$
अतः,रेखा निश्चित बिंदु $\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$ से होकर गुजरती है।

(B) माना $\triangle OAB$ के शीर्ष $O(0, 0)$,$A(\cos \theta, \sin \theta)$ और $B(\sin \theta, -\cos \theta)$ हैं।
माना $\triangle OAB$ का केंद्रक $(h, k)$ है।
त्रिभुज के केंद्रक का सूत्र $(h, k) = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ होता है।
दिए गए निर्देशांकों को रखने पर:
$h = \frac{0 + \cos \theta + \sin \theta}{3} \Rightarrow 3h = \cos \theta + \sin \theta$ ... $(i)$
$k = \frac{0 + \sin \theta - \cos \theta}{3} \Rightarrow 3k = \sin \theta - \cos \theta$ ... (ii)
बिंदुपथ ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(i)$ और (ii) का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3h)^{2} + (3k)^{2} = (\cos \theta + \sin \theta)^{2} + (\sin \theta - \cos \theta)^{2}$
$9h^{2} + 9k^{2} = (\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta + 2\sin \theta \cos \theta) + (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta - 2\sin \theta \cos \theta)$
$9h^{2} + 9k^{2} = 1 + 1 = 2$
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,अभीष्ट बिंदुपथ $9x^{2} + 9y^{2} = 2$ है।

(D) माना अक्षों के बीच कटे रेखाखंड के अंत्य बिंदु $A(a, 0)$ और $B(0, b)$ हैं।
माना $AB$ का मध्य-बिंदु $P(x, y)$ है।
अतः,$x = \frac{a+0}{2} \Rightarrow a = 2x$ और $y = \frac{0+b}{2} \Rightarrow b = 2y$ है।
दिया गया है कि $a+b=4$ है।
दिए गए समीकरण में $a$ और $b$ के मान प्रतिस्थापित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$2x + 2y = 4$
$2$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x + y = 2$
अतः,मध्य-बिंदु का बिंदु पथ $x+y=2$ है।

(B) दिया गया है कि $p, x_1, x_2, \ldots, x_n$ एक समांतर श्रेणी है जिसका सार्व अंतर $a$ है,अतः $x_k = p + ka$। इस प्रकार,$x_1 = p+a$ और $x_n = p+na$। $x_1, \ldots, x_n$ का समांतर माध्य $\alpha = \frac{x_1 + x_n}{2} = \frac{2p + a(n+1)}{2} \quad (i)$ है।
इसी प्रकार,$q, y_1, \ldots, y_n$ के लिए सार्व अंतर $b$ है,अतः $\beta = \frac{y_1 + y_n}{2} = \frac{2q + b(n+1)}{2} \quad (ii)$ है।
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ से,$\frac{2(\alpha - p)}{a} = n+1$ और $\frac{2(\beta - q)}{b} = n+1$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{2(\alpha - p)}{a} = \frac{2(\beta - q)}{b}$,जो सरल होकर $b(\alpha - p) = a(\beta - q)$ हो जाता है।
इस प्रकार,$P(\alpha, \beta)$ का बिंदुपथ $b(x-p) = a(y-q)$ है।

(D) दिया गया है,$x = \tan \theta + \sin \theta$ और $y = \tan \theta - \sin \theta$.
समीकरणों को जोड़ने और घटाने पर:
$\tan \theta = \frac{x + y}{2}$ और $\sin \theta = \frac{x - y}{2}$.
अब,गुणनफल $xy$ लेने पर:
$xy = (\tan \theta + \sin \theta)(\tan \theta - \sin \theta) = \tan^2 \theta - \sin^2 \theta$.
$\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$ का उपयोग करने पर:
$xy = \sin^2 \theta \left(\frac{1}{\cos^2 \theta} - 1\right) = \sin^2 \theta \cdot \tan^2 \theta$.
साथ ही,$x^2 - y^2 = 4 \tan \theta \sin \theta$.
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x^2 - y^2)^2 = 16 \tan^2 \theta \sin^2 \theta$.
अतः,$(x^2 - y^2)^2 = 16xy$.

(C) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं। $\triangle PAB$ का क्षेत्रफल सारणिक सूत्र द्वारा दिया जाता है:
$\frac{1}{2} |x(3-5) + 2(5-y) + (-4)(y-3)| = 12$
$\frac{1}{2} |-2x + 10 - 2y - 4y + 12| = 12$
$|-2x - 6y + 22| = 24$
$|x + 3y - 11| = 12$
इसका अर्थ है कि $x + 3y - 11 = 12$ या $x + 3y - 11 = -12$।
अतः,बिंदुपथ $(x + 3y - 23)(x + 3y + 1) = 0$ है।
इसका विस्तार करने पर: $x^2 + 3xy + x + 3xy + 9y^2 + 3y - 23x - 69y - 23 = 0$
$x^2 + 6xy + 9y^2 - 22x - 66y - 23 = 0$।

(A) मान लीजिए $P$ एक बिंदु $(x, y)$ है जो निर्देशांक अक्षों से समान दूरी पर है।
इसका अर्थ है $|x| = |y|$,इसलिए बिंदु को रेखाओं $y = x$ या $y = -x$ पर स्थित होना चाहिए।
स्थिति $1$: $3x + 5y = 15$ और $y = x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु।
समीकरण में $y = x$ रखने पर: $3x + 5x = 15$ $\Rightarrow 8x = 15$ $\Rightarrow x = \frac{15}{8}$.
अतः,$y = \frac{15}{8}$। बिंदु $(\frac{15}{8}, \frac{15}{8})$ है,जो $1^{\text{st}}$ चतुर्थांश में है।
स्थिति $2$: $3x + 5y = 15$ और $y = -x$ का प्रतिच्छेदन बिंदु।
समीकरण में $y = -x$ रखने पर: $3x + 5(-x) = 15$ $\Rightarrow 3x - 5x = 15$ $\Rightarrow -2x = 15$ $\Rightarrow x = -\frac{15}{2}$.
अतः,$y = -(-\frac{15}{2}) = \frac{15}{2}$। बिंदु $(-\frac{15}{2}, \frac{15}{2})$ है,जो $2^{\text{nd}}$ चतुर्थांश में है।
अतः,बिंदु $1^{\text{st}}$ या $2^{\text{nd}}$ चतुर्थांश में स्थित है।

(A) माना तीसरा शीर्ष $B(x, y)$ है। कर्ण के सिरे $A(0, a)$ और $C(a, 0)$ हैं।
चूंकि $\triangle ABC$,$B$ पर एक समकोण त्रिभुज है,इसलिए $\angle ABC = 90^{\circ}$ है।
$AB$ की ढाल $m_1 = \frac{y-a}{x-0} = \frac{y-a}{x}$ है।
$BC$ की ढाल $m_2 = \frac{y-0}{x-a} = \frac{y}{x-a}$ है।
चूंकि $AB \perp BC$,इसलिए उनकी ढाल का गुणनफल $-1$ होगा:
$\left(\frac{y-a}{x}\right) \times \left(\frac{y}{x-a}\right) = -1$
$y(y-a) = -x(x-a)$
$y^2 - ay = -x^2 + ax$
$x^2 + y^2 - ax - ay = 0$.

(C) मान लीजिए निर्देशांक $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,$x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक समान सार्व अनुपात $r$ के साथ $GP$ में हैं।
मान लीजिए $x_1 = a, x_2 = ar, x_3 = ar^2$ और $y_1 = b, y_2 = br, y_3 = br^2$ है।
अतः,बिंदु $A(a, b), B(ar, br)$ और $C(ar^2, br^2)$ हैं।
$AB$ की ढाल $= \frac{br - b}{ar - a} = \frac{b(r - 1)}{a(r - 1)} = \frac{b}{a}$ है।
$BC$ की ढाल $= \frac{br^2 - br}{ar^2 - ar} = \frac{br(r - 1)}{ar(r - 1)} = \frac{b}{a}$ है।
चूंकि $AB$ की ढाल $= BC$ की ढाल है,इसलिए बिंदु $A, B$ और $C$ संरेख हैं।
अतः,बिंदु $A, B$ और $C$ एक सीधी रेखा पर स्थित हैं।

(B) रेखा $X$-अक्ष की ऋणात्मक दिशा के साथ $60^{\circ}$ का कोण बनाती है। इसलिए,यह $X$-अक्ष की धनात्मक दिशा के साथ $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ का कोण बनाती है।
रेखा की ढाल $m = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ है।
रेखाखंड $OP$ इस रेखा पर लंब है,इसलिए $OP$ की ढाल $m' = -\frac{1}{m} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ है।
माना $P = (x, y)$ है। $OP$,$X$-अक्ष के साथ $\theta$ कोण बनाता है जहाँ $\tan(\theta) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,इसलिए $\theta = 30^{\circ}$ या $210^{\circ}$ है।
ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग करते हुए,$x = r \cos(\theta)$ और $y = r \sin(\theta)$ जहाँ $r = 4$ है।
$\theta = 30^{\circ}$ के लिए,$P = (4 \cos(30^{\circ}), 4 \sin(30^{\circ})) = (2\sqrt{3}, 2)$ है।
$\theta = 210^{\circ}$ के लिए,$P = (-2\sqrt{3}, -2)$ है।
विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही उत्तर $(2\sqrt{3}, 2)$ है।

(A) माना $H(h, k)$ $\triangle ABC$ का लंबकेंद्र है। लंबकेंद्र शीर्षलंबों का प्रतिच्छेदन बिंदु होता है। चूँकि $B$ और $C$ रेखा $y=x+\alpha$ पर स्थित हैं,रेखा $BC$ की प्रवणता $1$ है। $A(1, 2)$ से $BC$ पर खींचा गया शीर्षलंब $BC$ के लंबवत होगा। अतः,शीर्षलंब $AD$ की प्रवणता $-1$ होगी। $A(1, 2)$ से गुजरने वाली और $-1$ प्रवणता वाली शीर्षलंब $AD$ का समीकरण $y-2 = -1(x-1)$ है,जो सरल होकर $y-2 = -x+1$ या $x+y-3=0$ हो जाता है। चूँकि लंबकेंद्र $H(h, k)$ इस शीर्षलंब पर स्थित है,इसलिए इसका बिंदुपथ $x+y-3=0$ है।

(D) माना $\triangle OAB$ के शीर्षों के निर्देशांक $O(0,0)$,$A(a, 0)$,और $B(0, b)$ हैं।
चूँकि छड़ $AB$ की लंबाई $4$ है,इसलिए $a^2 + b^2 = 4^2 = 16$ है।
माना $(x, y)$ $\triangle OAB$ का केंद्रक है।
तब,$x = \frac{0+a+0}{3} = \frac{a}{3} \implies a = 3x$।
और $y = \frac{0+0+b}{3} = \frac{b}{3} \implies b = 3y$।
इन्हें समीकरण $a^2 + b^2 = 16$ में प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(3x)^2 + (3y)^2 = 16$ प्राप्त होता है।
$9x^2 + 9y^2 = 16$।
$x^2 + y^2 = \frac{16}{9}$।
अतः,केंद्रक का बिंदुपथ $x^2 + y^2 = \frac{16}{9}$ है।

(C) माना बिंदु $P(x, y)$ है जो बिंदुओं $A(2, 3)$ और $B(4, 5)$ से समान दूरी पर है।
दूरी सूत्र के अनुसार,$PA = PB$,इसलिए $PA^2 = PB^2$ होगा।
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = (x-4)^2 + (y-5)^2$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 8x + 16 + y^2 - 10y + 25$
दोनों पक्षों से $x^2$ और $y^2$ को हटाने पर:
$-4x - 6y + 13 = -8x - 10y + 41$
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$8x - 4x + 10y - 6y = 41 - 13$
$4x + 4y = 28$
$4$ से भाग देने पर:
$x + y = 7$

(B) त्रिभुज के शीर्ष $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ होने पर केंद्रक $(x, y) = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ होता है।
दिए गए शीर्ष $(1, 0)$,$(a \cos t, a \sin t)$ और $(b \sin t, -b \cos t)$ हैं।
अतः,$x = \frac{1 + a \cos t + b \sin t}{3} \Rightarrow 3x - 1 = a \cos t + b \sin t$ ...$(i)$
और $y = \frac{0 + a \sin t - b \cos t}{3} \Rightarrow 3y = a \sin t - b \cos t$ ...(ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) का वर्ग करके जोड़ने पर:
$(3x - 1)^2 + (3y)^2 = (a \cos t + b \sin t)^2 + (a \sin t - b \cos t)^2$
$9x^2 - 6x + 1 + 9y^2 = a^2 + b^2$
$9x^2 + 9y^2 - 6x = a^2 + b^2 - 1$
अतः,$k = a^2 + b^2 - 1$.

(D) दिए गए बिंदु $A(2,3), B(3,-6), C(5,-7)$ हैं।
मान लीजिए बिंदु $P(x, y)$ है। शर्त $PA^2+PB^2=2PC^2$ के अनुसार:
$(x-2)^2+(y-3)^2+(x-3)^2+(y+6)^2 = 2[(x-5)^2+(y+7)^2]$
$(x^2-4x+4+y^2-6y+9) + (x^2-6x+9+y^2+12y+36) = 2[x^2-10x+25+y^2+14y+49]$
$2x^2+2y^2-10x+6y+58 = 2x^2+2y^2-20x+28y+148$
$-10x+6y+58 = -20x+28y+148$
$10x-22y = 90$
$5x-11y = 45$
विकल्पों की जाँच करने पर:
$(-13, -10)$ के लिए: $5(-13) - 11(-10) = -65 + 110 = 45$.
अतः,बिंदु $(-13, -10)$ $P$ के बिंदुपथ पर स्थित है।

(A) माना शीर्ष $C$ के निर्देशांक $(h,k)$ हैं।
$A(2,3)$,$B(3,-5)$ और $C(h,k)$ शीर्षों वाले $\triangle ABC$ का केंद्रक $G(x,y)$ इस प्रकार है:
$x = \frac{2+3+h}{3} = \frac{5+h}{3} \implies h = 3x-5$
$y = \frac{3-5+k}{3} = \frac{k-2}{3} \implies k = 3y+2$
चूंकि केंद्रक $G(x,y)$ रेखा $2x+y-2=0$ पर स्थित है,इसलिए $x = \frac{h+5}{3}$ और $y = \frac{k-2}{3}$ को समीकरण में रखने पर:
$2(\frac{h+5}{3}) + (\frac{k-2}{3}) - 2 = 0$
$3$ से गुणा करने पर:
$2(h+5) + (k-2) - 6 = 0$
$2h + 10 + k - 2 - 6 = 0$
$2h + k + 2 = 0$
$(h,k)$ को $(x,y)$ से बदलने पर,$C$ का बिंदु पथ $2x+y+2=0$ है।

(B) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं। $\triangle PAB$ का क्षेत्रफल,जिसके शीर्ष $P(x, y)$,$A(4, 5)$ और $B(-2, 3)$ हैं,सूत्र द्वारा दिया जाता है: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 7$.
निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{1}{2} |x(5 - 3) + 4(3 - y) + (-2)(y - 5)| = 7$.
$\frac{1}{2} |2x + 12 - 4y - 2y + 10| = 7$.
$|2x - 6y + 22| = 14$.
$2$ से विभाजित करने पर: $|x - 3y + 11| = 7$.
यह दो स्थितियाँ दर्शाता है: $x - 3y + 11 = 7$ या $x - 3y + 11 = -7$.
ये समीकरण दो समांतर रेखाओं को निरूपित करते हैं: $x - 3y + 4 = 0$ और $x - 3y + 18 = 0$.
अतः,बिंदुपथ समांतर रेखाओं का एक युग्म है।

(D) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दिया गया है $A = (a, 0)$ और $B = (-a, 0)$।
दूरी $PA$ का वर्ग $PA^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2$ है।
दूरी $PB$ का वर्ग $PB^2 = (x + a)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + 2ax + a^2 + y^2$ है।
प्रश्न के अनुसार,$PA^2 - PB^2 = a^2$ है।
व्यंजकों को प्रतिस्थापित करने पर:
$(x^2 - 2ax + a^2 + y^2) - (x^2 + 2ax + a^2 + y^2) = a^2$।
समीकरण को सरल करने पर:
$-2ax - 2ax = a^2$।
$-4ax = a^2$।
चूंकि $a \neq 0$,$-a$ से विभाजित करने पर:
$4x = -a$,या $x = -\frac{a}{4}$।
यह $y$-अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा का समीकरण है।

(D) माना $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
चूंकि $P$,$A, B, C$ से समान दूरी पर है,इसलिए $PA^2 = PB^2$ और $PB^2 = PC^2$ होगा।
$PA^2 = PB^2$ से:
$(x-1)^2 + (y-3)^2 = (x+3)^2 + (y-5)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + 6x + 9 + y^2 - 10y + 25$
$8x - 4y + 24 = 0 \Rightarrow 2x - y + 6 = 0$ ... $(i)$
$PB^2 = PC^2$ से:
$(x+3)^2 + (y-5)^2 = (x-5)^2 + (y+1)^2$
$16x - 12y + 8 = 0 \Rightarrow 4x - 3y + 2 = 0$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को हल करने पर:
$x = -8$ और $y = -10$ प्राप्त होता है।
अतः,$P$ के निर्देशांक $(-8, -10)$ हैं।
$PA = \sqrt{(-8-1)^2 + (-10-3)^2} = \sqrt{81 + 169} = \sqrt{250} = 5 \sqrt{10}$.

(C) माना रेखा $L$,$P(-5, -4)$ से गुजरती है और इसकी ढाल $m = \tan \theta$ है। रेखा का प्राचलिक समीकरण $\frac{x+5}{\cos \theta} = \frac{y+4}{\sin \theta} = r$ है। अतः,$x = -5 + r \cos \theta$ और $y = -4 + r \sin \theta$।
रेखा $x-y-5=0$ पर स्थित बिंदु $Q$ के लिए: $(-5 + PQ \cos \theta) - (-4 + PQ \sin \theta) - 5 = 0$ $\Rightarrow PQ(\cos \theta - \sin \theta) = 6$ $\Rightarrow \frac{6}{PQ} = \cos \theta - \sin \theta$।
$3$ से गुणा करने पर,$\frac{18}{PQ} = 3 \cos \theta - 3 \sin \theta$ ... $(i)$।
रेखा $x+3y+2=0$ पर स्थित बिंदु $R$ के लिए: $(-5 + PR \cos \theta) + 3(-4 + PR \sin \theta) + 2 = 0$ $\Rightarrow PR(\cos \theta + 3 \sin \theta) = 15$ $\Rightarrow \frac{15}{PR} = \cos \theta + 3 \sin \theta$ ... $(ii)$।
दी गई शर्त $\frac{18}{PQ} + \frac{15}{PR} = 2$ में $(i)$ और $(ii)$ का मान रखने पर: $(3 \cos \theta - 3 \sin \theta) + (\cos \theta + 3 \sin \theta) = 2$ $\Rightarrow 4 \cos \theta = 2$ $\Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$।
अतः,$\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$।
ढाल $m = \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \pm \sqrt{3}$।

(D) दी गई रेखा $L \equiv x-y-4=0$ है। रेखा $L$ की ढाल $m_1 = 1$ है।
चूंकि रेखा $PQ$,$L$ के समांतर है,इसलिए इसकी ढाल भी $m_1 = 1$ होगी।
बिंदु $P(2, 1)$ से गुजरने वाली रेखा $PQ$ का समीकरण $y-1 = 1(x-2)$ अर्थात $y = x-1$ है।
माना $Q$ के निर्देशांक $(x, x-1)$ हैं। दूरी $PQ = 2\sqrt{3}$ है।
दूरी सूत्र का उपयोग करने पर: $\sqrt{(x-2)^2 + ((x-1)-1)^2} = 2\sqrt{3}$.
$\sqrt{(x-2)^2 + (x-2)^2} = 2\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{2(x-2)^2} = 2\sqrt{3}$.
$|x-2|\sqrt{2} = 2\sqrt{3} \Rightarrow |x-2| = \sqrt{6}$.
अतः,$x-2 = \sqrt{6}$ या $x-2 = -\sqrt{6}$.
$x = 2+\sqrt{6}$ या $x = 2-\sqrt{6}$.
चूंकि $Q$ तीसरे चतुर्थांश में है,दोनों निर्देशांक ऋणात्मक होने चाहिए। $x = 2-\sqrt{6}$ के लिए,$y = 1-\sqrt{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,$Q = (2-\sqrt{6}, 1-\sqrt{6})$.
$L$ के लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -1/m_1 = -1$ है।
$Q$ से गुजरने वाली और $-1$ ढाल वाली रेखा का समीकरण:
$y-(1-\sqrt{6}) = -1(x-(2-\sqrt{6}))$.
$y-1+\sqrt{6} = -x+2-\sqrt{6}$.
$x+y = 3-2\sqrt{6}$.

(B) माना बिंदु $P(h, k)$ रेखा $3x + 5y = 15$ पर स्थित है।
चूँकि $P$ निर्देशांक अक्षों से समान दूरी पर है,इसलिए $|h| = |k|$,जिसका अर्थ है $h = k$ या $h = -k$।
स्थिति $1$: यदि $h = k$ है,तो $3h + 5h = 15$ $\Rightarrow 8h = 15$ $\Rightarrow h = \frac{15}{8}$। अतः,$P = (\frac{15}{8}, \frac{15}{8})$,जो प्रथम चतुर्थांश में स्थित है।
स्थिति $2$: यदि $h = -k$ है,तो $3h + 5(-h) = 15$ $\Rightarrow -2h = 15$ $\Rightarrow h = -\frac{15}{2}$। अतः,$k = \frac{15}{2}$,और $P = (-\frac{15}{2}, \frac{15}{2})$,जो द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।
अतः,$P$ प्रथम या द्वितीय चतुर्थांश में स्थित है।

(D) बिंदु $(1,1)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - 1 = m(x - 1)$ है।
चूंकि रेखा धनात्मक अक्षों को $A$ और $B$ पर काटती है,$A$ के लिए $y=0$ और $B$ के लिए $x=0$ रखने पर:
$A$ के लिए,$0 - 1 = m(x - 1) \implies x - 1 = -\frac{1}{m} \implies x = 1 - \frac{1}{m}$. अतः,$A = (1 - \frac{1}{m}, 0)$.
$B$ के लिए,$y - 1 = m(0 - 1) \implies y - 1 = -m \implies y = 1 - m$. अतः,$B = (0, 1 - m)$.
चूंकि $A$ और $B$ धनात्मक अक्षों पर हैं,$1 - \frac{1}{m} > 0$ और $1 - m > 0$ है। $m < 0$ है,इसलिए मान लें $m = -k$ जहाँ $k > 0$ है।
तब $OA = 1 + \frac{1}{k}$ और $OB = 1 + k$ होगा।
$OA + OB = 2 + k + \frac{1}{k}$.
$AM$-$GM$ असमिका के अनुसार,$k + \frac{1}{k} \ge 2\sqrt{k \cdot \frac{1}{k}} = 2$.
अतः न्यूनतम मान $2 + 2 = 4$ है।

(D) माना रेखा $L$ बिंदु $P(1, 5)$ से गुजरती है। माना रेखा $L$,$L_1: 5x - y - 4 = 0$ को $A(x_1, y_1)$ पर और $L_2: 3x + 4y - 4 = 0$ को $B(x_2, y_2)$ पर काटती है।
चूंकि $P(1, 5)$,$AB$ का मध्य-बिंदु है,इसलिए $x_1 + x_2 = 2$ और $y_1 + y_2 = 10$ है।
$A$,$L_1$ पर स्थित है,इसलिए $5x_1 - y_1 - 4 = 0 \implies y_1 = 5x_1 - 4$।
$B$,$L_2$ पर स्थित है,इसलिए $3x_2 + 4y_2 - 4 = 0 \implies y_2 = 1 - \frac{3}{4}x_2$।
$x_2 = 2 - x_1$ और $y_2 = 10 - y_1$ को $B$ के समीकरण में रखने पर:
$3(2 - x_1) + 4(10 - y_1) - 4 = 0 \implies 3x_1 + 4y_1 = 42$।
समीकरणों $y_1 = 5x_1 - 4$ और $3x_1 + 4y_1 = 42$ को हल करने पर $x_1 = \frac{58}{23}$ और $y_1 = \frac{198}{23}$ प्राप्त होता है।
रेखा $L$ की ढाल $m = \frac{5 - \frac{198}{23}}{1 - \frac{58}{23}} = \frac{83}{35}$ है।
$L$ का समीकरण $y - 5 = \frac{83}{35}(x - 1) \implies 83x - 35y + 92 = 0$।

(B) माना परावर्तन बिंदु $B$ के निर्देशांक $(0, y)$ हैं। परावर्तन के नियम के अनुसार,आपतन कोण = परावर्तन कोण।
$B$ पर अभिलंब (normal) क्षैतिज रेखा $y = y_B$ है। रेखा $AB$ की ढाल $m_1 = \frac{y-3}{0-2} = \frac{y-3}{-2}$ है।
रेखा $BC$ की ढाल $m_2 = \frac{10-y}{5-0} = \frac{10-y}{5}$ है।
चूंकि अभिलंब के सापेक्ष आपतन कोण और परावर्तन कोण समान हैं,इसलिए ढाल एक-दूसरे के ऋणात्मक होने चाहिए: $m_1 = -m_2$।
$\frac{y-3}{-2} = -\left(\frac{10-y}{5}\right)$
$\frac{y-3}{-2} = \frac{y-10}{5}$
$5(y-3) = -2(y-10)$
$5y - 15 = -2y + 20$
$7y = 35$
$y = 5$
अतः,$B$ के निर्देशांक $(0, 5)$ हैं।

(C) मान लीजिए $LM$,$PQ$ का $R$ पर लंब समद्विभाजक है।
$PQ$ का मध्य-बिंदु $R$ है:
$R = \left(\frac{1+k}{2}, \frac{4+3}{2}\right) = \left(\frac{k+1}{2}, \frac{7}{2}\right)$
$PQ$ की ढाल:
$m_{PQ} = \frac{3-4}{k-1} = \frac{-1}{k-1}$
चूंकि $LM$,$PQ$ पर लंब है,इसलिए $LM$ की ढाल $(m_{LM})$:
$m_{LM} = -\frac{1}{m_{PQ}} = -\frac{1}{-1/(k-1)} = k-1$
$LM$ रेखा का समीकरण,जिसकी ढाल $(k-1)$ और $y$-अंतःखंड $-4$ है:
$y = (k-1)x - 4$
चूंकि लंब समद्विभाजक मध्य-बिंदु $R\left(\frac{k+1}{2}, \frac{7}{2}\right)$ से गुजरता है,यह समीकरण को संतुष्ट करेगा:
$\frac{7}{2} = (k-1)\left(\frac{k+1}{2}\right) - 4$
दोनों पक्षों को $2$ से गुणा करने पर:
$7 = (k-1)(k+1) - 8$
$7 = k^2 - 1 - 8$
$7 = k^2 - 9$
$k^2 = 16$
$k = \pm 4$
अतः,$k$ का एक संभावित मान $-4$ है।

(A) माना बिंदु $M$ $(a, a)$ है क्योंकि यह रेखा $y=x$ पर स्थित है।
$PM + QM$ के योग को न्यूनतम करने के लिए,जहाँ $P(0,1)$ और $Q(2,0)$ रेखा $y=x$ के एक ही ओर हैं,हम बिंदु $P$ का रेखा $y=x$ में प्रतिबिंब लेते हैं जिससे $P'(1,0)$ प्राप्त होता है।
न्यूनतम दूरी $PM + QM$,$P'Q$ दूरी के बराबर होती है जब $P', M, Q$ संरेख हों।
$P'(1,0)$ और $Q(2,0)$ से गुजरने वाली रेखा $x$-अक्ष $(y=0)$ है।
$M$ को $y=x$ पर स्थित होना चाहिए। $y=x$ और $y=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(0,0)$ है।

(A) माना बिंदु $P$ $(x, y)$ है।
रेखा $2x - 3y + 1 = 0$ से $P$ की दूरी $\frac{|2x - 3y + 1|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = 2$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$|2x - 3y + 1| = 2\sqrt{13}$।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(2x - 3y + 1)^2 = 52$।
$4x^2 + 9y^2 + 1 - 12xy + 4x - 6y = 52$।
$4x^2 - 12xy + 9y^2 + 4x - 6y - 51 = 0$ (समीकरण $1$)।
बिंदु $(5, 6)$ से $P$ की दूरी $\sqrt{13}$ है,इसलिए $(x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 13$।
$x^2 + y^2 - 10x - 12y + 48 = 0$ (समीकरण $2$)।
इन समीकरणों को हल करने पर,बिंदुपथ $4x^2 + 12xy - 5y^2 - 44x - 42y + 243 = 0$ प्राप्त होता है।

(A) मान लीजिए $P$ के निर्देशांक $(a, 0)$ और $Q$ के $(0, b)$ हैं।
चूंकि रेखा $(2, 3)$ से गुजरती है,रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि $(2, 3)$ रेखा पर स्थित है,इसलिए $\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$ है।
चूंकि $OPRQ$ एक आयत है जिसमें $O(0,0)$,$P(a,0)$,और $Q(0,b)$ हैं,इसलिए $R$ के निर्देशांक $(a, b)$ होंगे।
मान लीजिए $R = (x, y)$,तो $x = a$ और $y = b$ है।
समीकरण $\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$ में $a = x$ और $b = y$ रखने पर,हमें $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1$ प्राप्त होता है।
$xy$ से गुणा करने पर,$2y + 3x = xy$ या $3x + 2y = xy$ प्राप्त होता है।

(C) माना बिंदु $P$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ द्वारा दिया जाता है।
$\triangle PAB$ के लिए: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |2x - y - 2|$.
$\triangle PAC$ के लिए: क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} |x + y - 1|$.
चूंकि दोनों क्षेत्रफल बराबर हैं,इसलिए $|2x - y - 2| = |x + y - 1|$.
अतः $2x - y - 2 = x + y - 1$ या $2x - y - 2 = -(x + y - 1)$.
सरल करने पर,$(x - 2y - 1)(x - 1) = 0$,अर्थात $x^2 - 2xy - 2x + 2y + 1 = 0$।

(B) निर्देशांक अक्षों से समान दूरी पर स्थित बिंदु $(x, y)$ का बिंदुपथ $|x| = |y|$ द्वारा दिया जाता है,जिसका अर्थ है $y = x$ या $y = -x$।
ये दोनों रेखाएँ मूल बिंदु $(0, 0)$ पर प्रतिच्छेद करती हैं।
रेखा $y = 3$,$y = x$ को $(3, 3)$ पर और $y = -x$ को $(-3, 3)$ पर काटती है।
ये तीन रेखाएँ $(0, 0)$,$(3, 3)$ और $(-3, 3)$ शीर्षों वाला एक त्रिभुज बनाती हैं।
इस त्रिभुज का आधार रेखा $y = 3$ पर स्थित है और इसकी लंबाई $(-3, 3)$ और $(3, 3)$ के बीच की दूरी है,जो $|3 - (-3)| = 6$ है।
त्रिभुज की ऊँचाई मूल बिंदु $(0, 0)$ से रेखा $y = 3$ तक की लंबवत दूरी है,जो $3$ है।
त्रिभुज का क्षेत्रफल $\frac{1}{2} \times \text{आधार} \times \text{ऊँचाई} = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9$ है।

(A) माना $P = (h, k)$,$A = (1, 0)$,और $B = (0, 1)$ है।
$AP$ की ढाल $m_1 = \frac{k}{h-1}$ है।
$BP$ की ढाल $m_2 = \frac{k-1}{h}$ है।
$AP$ और $BP$ के बीच का कोण $\theta = 45^{\circ}$ है।
सूत्र $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ का उपयोग करने पर:
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{\frac{k}{h-1} - \frac{k-1}{h}}{1 + \left(\frac{k}{h-1}\right)\left(\frac{k-1}{h}\right)} \right|$
$1 = \left| \frac{h + k - 1}{h^2 + k^2 - h - k} \right|$
इससे दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं: $h^2 + k^2 - 2h - 2k + 1 = 0$ या $h^2 + k^2 - 1 = 0$।
अतः,बिंदु पथ $(x^2 + y^2 - 1)(x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1) = 0$ है।

(B) माना $P(x, y)$ एक बिंदु है जो $A(2, 3)$ और $B(4, 5)$ से समान दूरी पर है।
समान दूरी की परिभाषा के अनुसार,$PA = PB$,जिसका अर्थ है $PA^2 = PB^2$.
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = (x-4)^2 + (y-5)^2$
दोनों पक्षों का विस्तार करने पर:
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = (x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 10y + 25)$
दोनों पक्षों से $x^2$ और $y^2$ को हटाने पर:
$-4x - 6y + 13 = -8x - 10y + 41$
पदों को एक तरफ व्यवस्थित करने पर:
$4x + 4y = 28$
$4$ से भाग देने पर,हमें प्राप्त होता है:
$x + y = 7$

(D) माना $C$ एक चर बिंदु है और $A, B$ दो निश्चित बिंदु हैं।
$\triangle ABC$ का क्षेत्रफल $= \frac{1}{2} \times AB \times \text{ऊंचाई}$.
चूंकि $AB$ निश्चित है,इसलिए निश्चित क्षेत्रफल के लिए ऊंचाई समान रहनी चाहिए।
यह केवल तभी संभव है जब बिंदु $C$,रेखाखंड $AB$ के समांतर एक रेखा पर गति करे।
चूंकि बिंदु $C$,रेखा $AB$ के दोनों ओर समान दूरी पर हो सकता है,इसलिए $C$ का बिंदु पथ दो समांतर रेखाओं का एक युग्म है,जो $AB$ के दोनों ओर स्थित हैं।

(B) दी गई रेखा का समीकरण: $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ ...$(i)$
माना $P(h, k)$ निर्देशांक अक्षों द्वारा अंतःखंडित रेखा के भाग का मध्यबिंदु है।
जब $x = 0$,रेखा $y$-अक्ष को $y = \frac{p}{\sin \alpha}$ पर मिलती है। अतः,बिंदु $B$ $(0, \frac{p}{\sin \alpha})$ है।
जब $y = 0$,रेखा $x$-अक्ष को $x = \frac{p}{\cos \alpha}$ पर मिलती है। अतः,बिंदु $A$ $(\frac{p}{\cos \alpha}, 0)$ है।
मध्यबिंदु $P(h, k) = (\frac{p}{2 \cos \alpha}, \frac{p}{2 \sin \alpha})$ है।
अतः,$h = \frac{p}{2 \cos \alpha} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{p}{2h}$ और $k = \frac{p}{2 \sin \alpha} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{p}{2k}$.
सर्वसमिका $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ का उपयोग करने पर:
$(\frac{p}{2h})^2 + (\frac{p}{2k})^2 = 1$
$\frac{p^2}{4h^2} + \frac{p^2}{4k^2} = 1$
$\frac{1}{h^2} + \frac{1}{k^2} = \frac{4}{p^2}$.
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{4}{p^2}$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया है कि $P$ और $Q$ त्रिभुज की भुजाओं $AB$ और $BC$ के मध्य बिंदु हैं,जिसके शीर्ष $A(1, 3)$,$B(3, 7)$ और $C(7, 15)$ हैं।
$P$ के निर्देशांक = $\left(\frac{1+3}{2}, \frac{3+7}{2}\right) = (2, 5)$.
$Q$ के निर्देशांक = $\left(\frac{3+7}{2}, \frac{7+15}{2}\right) = (5, 11)$.
मान लीजिए $R$ के निर्देशांक $(x, y)$ हैं।
दी गई शर्त $AC^2 + QR^2 = PR^2$ है,जिसका अर्थ है $PR^2 - QR^2 = AC^2$.
$AC^2 = (7-1)^2 + (15-3)^2 = 6^2 + 12^2 = 36 + 144 = 180$.
$PR^2 - QR^2 = [(x-2)^2 + (y-5)^2] - [(x-5)^2 + (y-11)^2] = 180$.
$(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25) - (x^2 - 10x + 25 + y^2 - 22y + 121) = 180$.
$(6x + 12y - 117) = 180$.
$6x + 12y = 297$.

(B) दी गई रेखा $x \cos \theta + y \sin \theta = 1$ है।
निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,हम क्रमशः $y = 0$ और $x = 0$ रखते हैं।
$y = 0$ के लिए,$x = \frac{1}{\cos \theta}$,अतः बिंदु $A = (\frac{1}{\cos \theta}, 0)$ है।
$x = 0$ के लिए,$y = \frac{1}{\sin \theta}$,अतः बिंदु $B = (0, \frac{1}{\sin \theta})$ है।
माना $(h, k)$ $AB$ का मध्य-बिंदु है। तब $h = \frac{1}{2 \cos \theta}$ और $k = \frac{1}{2 \sin \theta}$ है।
इसका अर्थ है $\cos \theta = \frac{1}{2h}$ और $\sin \theta = \frac{1}{2k}$।
सर्वसमिका $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $(\frac{1}{2h})^2 + (\frac{1}{2k})^2 = 1$ प्राप्त होता है।
$\frac{1}{4h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$,जो सरल होकर $\frac{1}{h^2} + \frac{1}{k^2} = 4$ हो जाता है।
$(h, k)$ को $(x, y)$ से प्रतिस्थापित करने पर,बिंदुपथ $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = 4$ है।

(C) मान लीजिए कि $P(x, y)$ वह बिंदु है।
दिया गया है $BP^2 - AP^2 = 121$।
बिंदुओं $A(2, 5)$ और $B(5, 11)$ के निर्देशांक रखने पर:
$((x - 5)^2 + (y - 11)^2) - ((x - 2)^2 + (y - 5)^2) = 121$
$(x^2 - 10x + 25 + y^2 - 22y + 121) - (x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25) = 121$
$(x^2 + y^2 - 10x - 22y + 146) - (x^2 + y^2 - 4x - 10y + 29) = 121$
$-6x - 12y + 117 = 121$
$-6x - 12y = 4$
$12y = -6x - 4$
$y = -\frac{6}{12}x - \frac{4}{12}$
$y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}$
यह समीकरण $y = mx + c$ के रूप में है,जहाँ ढाल $m = -\frac{1}{2}$ है।

(A) दिया गया समीकरण $xy-4x-4y+16=0$ है।
गुणनखंड करने पर,$x(y-4)-4(y-4)=0$,जिसका अर्थ है $(x-4)(y-4)=0$।
अतः,दो रेखाएँ $L_1: x=4$ और $L_2: y=4$ हैं।
तीसरी रेखा $L_3: x+y=5$ है।
त्रिभुज के शीर्ष इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु हैं:
$A = L_1 \cap L_2 = (4, 4)$
$B = L_1 \cap L_3 = (4, 1)$
$C = L_2 \cap L_3 = (1, 4)$
भुजाओं की लंबाई:
$c = AB = 3$
$a = BC = 3\sqrt{2}$
$b = CA = 3$
अंतःकेंद्र $I(x, y) = \left(\frac{ax_A+bx_B+cx_C}{a+b+c}, \frac{ay_A+by_B+cy_C}{a+b+c}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
मान रखने पर:
$x = \frac{3\sqrt{2}(4) + 3(4) + 3(1)}{3\sqrt{2}+3+3} = \frac{4\sqrt{2}+5}{\sqrt{2}+2}$
$y = \frac{3\sqrt{2}(4) + 3(1) + 3(4)}{3\sqrt{2}+3+3} = \frac{4\sqrt{2}+5}{\sqrt{2}+2}$
चूँकि $x=y$,अंतःकेंद्र का बिंदुपथ $x-y=0$ है।

(A) मान लीजिए $A$ के निर्देशांक $(a, 0)$ और $B$ के निर्देशांक $(0, b)$ हैं।
अतः,बिंदु $P$ के निर्देशांक $(a, b)$ हैं।
अंतःखंड रूप में चर रेखा का समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ है।
चूंकि यह रेखा $(l, m)$ से होकर गुजरती है,इसलिए $\frac{l}{a} + \frac{m}{b} = 1$ है।
$P(a, b)$ का बिंदुपथ ज्ञात करने के लिए $a$ को $x$ और $b$ को $y$ से प्रतिस्थापित करने पर,हमें $\frac{l}{x} + \frac{m}{y} = 1$ प्राप्त होता है।

(A) माना $Q = (3, 0)$ और $R = (0, 4)$ है। बिंदु $P(x, y)$ जो $Q$ और $R$ से समान दूरी पर है,का बिंदुपथ $PQ = PR$ द्वारा दिया जाता है।
$\sqrt{(x-3)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x-0)^2 + (y-4)^2}$
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर:
$(x-3)^2 + y^2 = x^2 + (y-4)^2$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 = x^2 + y^2 - 8y + 16$
$-6x + 8y - 7 = 0 \Rightarrow 6x - 8y + 7 = 0$.
माना $A = (\alpha, \frac{6\alpha + 7}{8})$ और $B = (\beta, \frac{6\beta + 7}{8})$ है।
बिंदु $A$ के लिए,$4\alpha = 3(\frac{6\alpha + 7}{8})$ $\Rightarrow 32\alpha = 18\alpha + 21$ $\Rightarrow 14\alpha = 21$ $\Rightarrow \alpha = \frac{3}{2}$।
अतः,$A = (\frac{3}{2}, 2)$।
बिंदु $B$ के लिए,$\beta = \frac{6\beta + 7}{8}$ $\Rightarrow 8\beta = 6\beta + 7$ $\Rightarrow 2\beta = 7$ $\Rightarrow \beta = \frac{7}{2}$।
अतः,$B = (\frac{7}{2}, \frac{7}{2})$।
दूरी $AB = \sqrt{(\frac{7}{2} - \frac{3}{2})^2 + (\frac{7}{2} - 2)^2} = \sqrt{(2)^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{4 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$।