Locus of Point Questions in Gujarati

(A) ધારો કે $A$ અને $B$ ના યામ $A(a, 0)$ અને $B(-a, 0)$ છે અને ચલ બિંદુ $C(h, k)$ છે.
આકૃતિ પરથી,$\cot A = \frac{a - h}{k}$ અને $\cot B = \frac{a + h}{k}$ છે.
શરત મુજબ,$\cot A + \cot B = \lambda$.
કિંમતો મૂકતા,$\frac{a - h}{k} + \frac{a + h}{k} = \lambda$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{2a}{k} = \lambda$ થાય છે,જેનો અર્થ છે કે $k\lambda = 2a$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $y\lambda = 2a$ મળે છે.

(A) $t$ સેકન્ડ પછી બિંદુ $(x, y)$ છે.
આપેલ પ્રારંભિક સ્થાન $(1, 2)$ અને વેગ પરથી:
$x = 1 + 3t$
$y = 2 + 2t$
પ્રથમ સમીકરણ પરથી,$t = \frac{x - 1}{3}$.
આ કિંમત બીજા સમીકરણમાં મૂકતા:
$y = 2 + 2 \left( \frac{x - 1}{3} \right)$
$3y = 6 + 2x - 2$
$3y = 2x + 4$
$2x - 3y + 4 = 0$
આમ,બિંદુપથ $2x - 3y + 4 = 0$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $(x, y)$ છે. બિંદુ $(a_1, b_1)$ અને $(a_2, b_2)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી:
$(x - a_1)^2 + (y - b_1)^2 = (x - a_2)^2 + (y - b_2)^2$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 - 2a_1x + a_1^2 + y^2 - 2b_1y + b_1^2 = x^2 - 2a_2x + a_2^2 + y^2 - 2b_2y + b_2^2$
$x^2$ અને $y^2$ ને બંને બાજુથી દૂર કરતા:
$-2a_1x - 2b_1y + a_1^2 + b_1^2 = -2a_2x - 2b_2y + a_2^2 + b_2^2$
પદોને $(a_1 - a_2)x + (b_1 - b_2)y + c = 0$ સ્વરૂપમાં ગોઠવતા:
$2(a_1 - a_2)x + 2(b_1 - b_2)y + (a_2^2 + b_2^2 - a_1^2 - b_1^2) = 0$
$2$ વડે ભાગતા:
$(a_1 - a_2)x + (b_1 - b_2)y + \frac{1}{2}(a_2^2 + b_2^2 - a_1^2 - b_1^2) = 0$
આપેલ સમીકરણ સાથે સરખાવતા,$c = \frac{1}{2}(a_2^2 + b_2^2 - a_1^2 - b_1^2)$ મળે છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $B$ એ $(a, 0)$ છે.
આપાતકોણ અને પરાવર્તનકોણ સમાન હોવાથી,$AB$ નો ઢાળ એ પરાવર્તિત કિરણ $BC$ (જ્યાં $C = (5, 3)$) ના ઢાળના વિરોધી છે.
$AB$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{0 - 2}{a - 1} = \frac{-2}{a - 1}$ છે.
$BC$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{3 - 0}{5 - a} = \frac{3}{5 - a}$ છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,લંબ સાથેનો ખૂણો સમાન હોય છે,તેથી $\frac{2}{a - 1} = \frac{3}{5 - a}$ મળે.
$2(5 - a) = 3(a - 1)$ $\Rightarrow 10 - 2a = 3a - 3$ $\Rightarrow 5a = 13$ $\Rightarrow a = \frac{13}{5}$.
આમ,$B = (\frac{13}{5}, 0)$.
$AB$ નો ઢાળ $m = \frac{0 - 2}{\frac{13}{5} - 1} = \frac{-2}{\frac{8}{5}} = -\frac{5}{4}$ છે.
$AB$ રેખાનું સમીકરણ $y - 2 = -\frac{5}{4}(x - 1)$ છે.
$4(y - 2) = -5(x - 1)$ $\Rightarrow 4y - 8 = -5x + 5$ $\Rightarrow 5x + 4y = 13$.

(D) આપેલ છે કે $a, b, c$ હાર્મોનિક શ્રેણી $(HP)$ માં છે.
આનો અર્થ એ છે કે $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ એ સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ માં છે.
તેથી,$\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$.
$abc$ વડે ગુણતા,આપણને $2ac = bc + ab$ મળે છે.
હવે,આપેલ રેખાનું સમીકરણ $bcx + cay + ab = 0$ છે.
આખા સમીકરણને $abc$ વડે ભાગતા:
$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} + \frac{1}{c} = 0$.
$\frac{1}{b} = \frac{1}{2}(\frac{1}{a} + \frac{1}{c})$ હોવાથી,આપણે આને સમીકરણમાં મૂકીએ:
$\frac{1}{a}(x + \frac{y}{2}) + \frac{1}{c}(\frac{y}{2} + 1) = 0$.
બધા $a, c$ માટે આ સાચું હોવા માટે,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$x + \frac{y}{2} = 0 \implies 2x + y = 0$
$\frac{y}{2} + 1 = 0 \implies y = -2$.
$y = -2$ ને $2x + y = 0$ માં મૂકતા,આપણને $2x - 2 = 0$ મળે છે,તેથી $x = 1$.
નિશ્ચિત બિંદુ $(1, -2)$ છે.

(A) પ્રથમ,$x + 2y = 1$ અને $2x - y = 1$ રેખાઓનું છેદબિંદુ શોધો.
બીજા સમીકરણને $2$ વડે ગુણતા,$4x - 2y = 2$ મળે છે.
આને પ્રથમ સમીકરણમાં ઉમેરતા: $(x + 2y) + (4x - 2y) = 1 + 2$,જે $5x = 3$ આપે છે,તેથી $x = 3/5$.
$x = 3/5$ ને $x + 2y = 1$ માં મૂકતા,$3/5 + 2y = 1$ મળે છે,તેથી $2y = 2/5$,જે $y = 1/5$ આપે છે.
છેદબિંદુ $P(3/5, 1/5)$ છે.
ધારો કે ચલિત રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
તે $P(3/5, 1/5)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{3}{5a} + \frac{1}{5b} = 1$ મળે.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M(h, k)$ એ $h = a/2$ અને $k = b/2$ દ્વારા મળે છે,તેથી $a = 2h$ અને $b = 2k$.
આને સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{3}{5(2h)} + \frac{1}{5(2k)} = 1$.
આનું સાદું રૂપ $\frac{3}{10h} + \frac{1}{10k} = 1$ થાય છે,જે $3k + h = 10hk$ છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x + 3y = 10xy$ અથવા $x + 3y - 10xy = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે $(a, b)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{h} + \frac{y}{k} = 1$ છે.
તે $(a, b)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{a}{h} + \frac{b}{k} = 1$ મળે.
$A$ ના યામ $(h, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, k)$ છે.
$\triangle OAB$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(x, y)$ એ $x = \frac{h}{3}$ અને $y = \frac{k}{3}$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$h = 3x$ અને $k = 3y$.
આ કિંમતોને $\frac{a}{h} + \frac{b}{k} = 1$ માં મૂકતા,$\frac{a}{3x} + \frac{b}{3y} = 1$ મળે.
$3xy$ વડે ગુણતા,$ay + bx = 3xy$ અથવા $bx + ay - 3xy = 0$ મળે છે.

(D) ધારો કે $S = (x, y)$ એ બિંદુપથ પરનું બિંદુ છે.
આપેલા બિંદુઓ $P = (1, 0)$,$Q = (-1, 0)$,અને $R = (2, 0)$ છે.
આપેલ સંબંધ $SQ^2 + SR^2 = 2 SP^2$ છે.
યામો મૂકતા:
$((x + 1)^2 + y^2) + ((x - 2)^2 + y^2) = 2((x - 1)^2 + y^2)$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 + 2x + 1 + y^2) + (x^2 - 4x + 4 + y^2) = 2(x^2 - 2x + 1 + y^2)$
$2x^2 + 2y^2 - 2x + 5 = 2x^2 + 2y^2 - 4x + 2$
બંને બાજુથી $2x^2 + 2y^2$ બાદ કરતા:
$-2x + 5 = -4x + 2$
$2x = -3$
$x = -3/2$
આ $y$-અક્ષને સમાંતર એક સીધી રેખા દર્શાવે છે.

(A) ધારો કે રેખા $AB$ નો ઢાળ $m$ છે. $A(1, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AB$ નું સમીકરણ $y - 1 = m(x - 1)$ છે.
$AB$ એ $x-$ અક્ષને $B$ માં છેદે છે,તેથી $y = 0$ લેતા: $-1 = m(x - 1) \implies x - 1 = -\frac{1}{m} \implies x = 1 - \frac{1}{m}$. તેથી,$B = (1 - \frac{1}{m}, 0)$.
$AC \perp AB$ હોવાથી,$AC$ નો ઢાળ $-\frac{1}{m}$ છે. રેખા $AC$ નું સમીકરણ $y - 1 = -\frac{1}{m}(x - 1)$ છે.
$AC$ એ $y-$ અક્ષને $C$ માં મળે છે,તેથી $x = 0$ લેતા: $y - 1 = -\frac{1}{m}(-1) = \frac{1}{m} \implies y = 1 + \frac{1}{m}$. તેથી,$C = (0, 1 + \frac{1}{m})$.
ધારો કે $P(h, k)$ એ $BC$ નું મધ્યબિંદુ છે. તો $h = \frac{(1 - \frac{1}{m}) + 0}{2} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2m}$ અને $k = \frac{0 + (1 + \frac{1}{m})}{2} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2m}$.
બંને સમીકરણોનો સરવાળો કરતા: $h + k = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2m}) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2m}) = 1$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $x + y = 1$ મળે છે.

(A) ધારો કે $Q$ ના યામ $(h, 0)$ અને $R$ ના યામ $(0, k)$ છે.
રેખા $QR$ નું સમીકરણ $\frac{x}{h} + \frac{y}{k} = 1$ છે.
બિંદુ $P(a, b)$ આ રેખા પર હોવાથી,$\frac{a}{h} + \frac{b}{k} = 1$ થાય.
સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણ $OQSR$ માં,$S$ ના યામ $(h, k)$ થશે.
ધારો કે $S = (x, y)$,તેથી $h = x$ અને $k = y$.
આ કિંમતો મૂકતા,આપણને $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1$ મળે છે.

(D) ધારો કે $\Delta PQR$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
આપેલ છે કે $P = (2, 5)$ અને $Q = (4, -11)$.
ધારો કે $R = (x_0, y_0)$. બિંદુ $R$ એ રેખા $N: 9x + 7y + 4 = 0$ પર હોવાથી,$9x_0 + 7y_0 + 4 = 0$ થાય.
મધ્યકેન્દ્ર $(h, k)$ નીચે મુજબ મળે:
$h = \frac{2 + 4 + x_0}{3}$ $\Rightarrow 3h = 6 + x_0$ $\Rightarrow x_0 = 3h - 6$
$k = \frac{5 - 11 + y_0}{3}$ $\Rightarrow 3k = -6 + y_0$ $\Rightarrow y_0 = 3k + 6$
$x_0$ અને $y_0$ ની કિંમત રેખા $N$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$9(3h - 6) + 7(3k + 6) + 4 = 0$
$27h - 54 + 21k + 42 + 4 = 0$
$27h + 21k - 8 = 0$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $27x + 21y - 8 = 0$ મળે.
આને $3(9x + 7y) - 8 = 0$ અથવા $9x + 7y - \frac{8}{3} = 0$ તરીકે લખી શકાય.
રેખા $N$ અને બિંદુપથના $x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન હોવાથી,બિંદુપથ એ રેખા $N$ ને સમાંતર છે.

(A) ધારો કે $(h, k)$ એ રેખાઓ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ અને $ax + by = 1$ નું છેદબિંદુ છે.
તેથી,$\frac{h}{a} + \frac{k}{b} = 1$ અને $ah + bk = 1$.
આપેલ સંબંધ $a^2 + b^2 = ab$ ને $ab$ વડે ભાગતા,આપણને $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 1$ મળે છે.
છેદબિંદુના સમીકરણો પરથી,બિંદુપથ $x^2 + y^2 + xy - 1 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે. $P$ એ રેખા $2x - y + 5 = 0$ પર હોવાથી,$y = 2x + 5$ મળે. તેથી,$P = (x, 2x + 5)$.
$|PA - PB|$ મહત્તમ થાય તે માટે,બિંદુઓ $P, A$ અને $B$ સમરેખ હોવા જોઈએ.
આનો અર્થ એ છે કે $PA$ નો ઢાળ એ $AB$ ના ઢાળ જેટલો હોવો જોઈએ.
$AB$ નો ઢાળ $m = \frac{-4 - (-2)}{2 - 4} = \frac{-2}{-2} = 1$ છે.
$PA$ નો ઢાળ $\frac{(2x + 5) - (-2)}{x - 4} = \frac{2x + 7}{x - 4}$ છે.
ઢાળને સરખાવતા: $\frac{2x + 7}{x - 4} = 1$.
$2x + 7 = x - 4$.
$x = -11$.
$x = -11$ ને $y = 2x + 5$ માં મૂકતા,$y = 2(-11) + 5 = -22 + 5 = -17$ મળે.
આમ,બિંદુ $P$ એ $(-11, -17)$ છે.

(A) ધારો કે પાયાના શિરોબિંદુઓ $B(1, 3)$ અને $C(-2, 7)$ છે.
$BC$ નું મધ્યબિંદુ $M = \left( -\frac{1}{2}, 5 \right)$ છે.
$BC$ નો ઢાળ $m = -\frac{4}{3}$ છે.
લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ $y - 5 = \frac{3}{4}(x + \frac{1}{2})$ છે.
શિરોબિંદુ $A$ આ લંબદ્વિભાજક પર હોવું જોઈએ.

(A) રેખાઓ $L_1: x+y=0$,$L_2: x-y=0$,અને $L_3: lx+my=1$ છે.
$L_1$ અને $L_2$ પરસ્પર લંબ છે અને ઉગમબિંદુ $(0,0)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી આ ત્રિકોણ ઉગમબિંદુ પર કાટખૂણો ધરાવતો કાટકોણ ત્રિકોણ છે.
શિરોબિંદુઓ $O(0,0)$,$A = \left(\frac{1}{l+m}, \frac{1}{l+m}\right)$,અને $B = \left(\frac{1}{l-m}, \frac{1}{m-l}\right)$ છે.
કાટકોણ ત્રિકોણનું પરિકેન્દ્ર કર્ણ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોય છે.
ધારો કે પરિકેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
$h = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{l+m} + \frac{1}{l-m}\right) = \frac{l}{l^2-m^2}$
$k = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{l+m} + \frac{1}{m-l}\right) = -\frac{m}{l^2-m^2}$
હવે,$h^2 + k^2 = \frac{l^2+m^2}{(l^2-m^2)^2} = \frac{1}{(l^2-m^2)^2}$ (કારણ કે $l^2+m^2=1$).
વળી,$h^2 - k^2 = \frac{l^2-m^2}{(l^2-m^2)^2} = \frac{1}{l^2-m^2}$.
આમ,$h^2 + k^2 = (h^2 - k^2)^2$.
બિંદુપથ $x^2 + y^2 = (x^2 - y^2)^2$ છે.

(A) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\Delta PQR$ માટે: $P(x, y), Q(a, 2a), R(-a, -2a)$,
ક્ષેત્રફળ $= |2ax - ay|$.
$\Delta PST$ માટે: $P(x, y), S(a, 2a), T(2a, 3a)$,
ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |ay - ax - a^2|$.
બંને ક્ષેત્રફળ સરખાવતા: $|2ax - ay| = \frac{1}{2} |ay - ax - a^2|$.
ઉકેલતા,$3x - y = a$ મળે છે.

(B) ધારો કે ચોરસના શિરોબિંદુઓ $(\pm 1, \pm 1)$ પર છે. ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $2 \times 2 = 4$ ચોરસ એકમ છે.
વિકર્ણોનું છેદબિંદુ ઉગમબિંદુ $O(0, 0)$ છે.
બિંદુ $P(x, y)$ એ શિરોબિંદુ $V(1, 1)$ કરતા $O$ ની વધુ નજીક છે જો $PO < PV$ હોય,જેનો અર્થ છે $PO^2 < PV^2$.
$x^2 + y^2 < (x-1)^2 + (y-1)^2$
$x^2 + y^2 < x^2 - 2x + 1 + y^2 - 2y + 1$
$0 < -2x - 2y + 2 \implies x + y < 1$.
તે જ રીતે,ચારેય શિરોબિંદુઓને ધ્યાનમાં લેતા,આ પ્રદેશ અસમતા $|x| + |y| < 1$ દ્વારા વ્યાખ્યાયિત થાય છે.
આ પ્રદેશ એક ચોરસ છે જેના શિરોબિંદુઓ $(1, 0), (0, 1), (-1, 0), (0, -1)$ છે.
આ આંતરિક ચોરસની બાજુની લંબાઈ $\sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ છે.
આ પ્રદેશનું ક્ષેત્રફળ $(\sqrt{2})^2 = 2$ ચોરસ એકમ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે. રેખાઓ $L_1: 2x + y - 3 = 0$ અને $L_2: x - 2y + 1 = 0$ થી લંબ અંતર $d_1 = \frac{|2x + y - 3|}{\sqrt{5}}$ અને $d_2 = \frac{|x - 2y + 1|}{\sqrt{5}}$ છે.
આપેલ છે કે $d_1 + d_2 = 2$,તેથી $|2x + y - 3| + |x - 2y + 1| = 2\sqrt{5}$.
આ બિંદુપથ એક ચોરસ બનાવે છે. ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $\frac{2k^2}{a^2+b^2}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $k=2\sqrt{5}, a=2, b=1$.
ક્ષેત્રફળ $= \frac{2(2\sqrt{5})^2}{2^2+1^2} = \frac{2(20)}{5} = 8 \, sq \, units$.

(B) ધારો કે $AP$ નું પ્રથમ પદ $p$ અને સામાન્ય તફાવત $q$ છે.
તેથી,$a = p + q$,$b = p + 3q$,અને $c = p + 6q$ થાય.
રેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે.
$a, b, c$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(p + q)x + (p + 3q)y + (p + 6q) = 0$
$p$ અને $q$ ના પદોને અલગ કરતા:
$p(x + y + 1) + q(x + 3y + 6) = 0$
આ રેખા નિશ્ચિત બિંદુમાંથી પસાર થાય તે માટે:
$x + y + 1 = 0$ (સમીકરણ $1$)
$x + 3y + 6 = 0$ (સમીકરણ $2$)
સમીકરણ $2$ માંથી સમીકરણ $1$ બાદ કરતા:
$2y + 5 = 0 \Rightarrow y = -\frac{5}{2}$
$y = -\frac{5}{2}$ ને સમીકરણ $1$ માં મૂકતા:
$x - \frac{5}{2} + 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{3}{2}$
તેથી,નિશ્ચિત બિંદુ $\left( \frac{3}{2}, -\frac{5}{2} \right)$ છે.

(B) ધારો કે $A$ ના યામ $(1, 2)$ છે.
$B$ અને $C$ ને સમાવતી રેખા $L: x - y + \lambda = 0$ છે.
$A$ માંથી $BC$ પરનો વેધ એ $BC$ ને લંબ હોય છે.
$BC$ નો ઢાળ $m = 1$ છે.
તેથી,$A$ માંથી દોરેલા વેધનો ઢાળ $m' = -1$ થાય.
$A$ માંથી પસાર થતા વેધનું સમીકરણ $y - 2 = -1(x - 1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y - 2 = -x + 1$ અથવા $x + y = 3$ થાય છે.
ત્રિકોણનું લંબકેન્દ્ર હંમેશા તેના વેધ પર આવેલું હોય છે,અને $\lambda$ ની કોઈપણ કિંમત માટે $A$ માંથી દોરેલો વેધ નિશ્ચિત રહે છે,તેથી લંબકેન્દ્રનો બિંદુપથ $x + y = 3$ છે.

(D) રેખા $y = \sqrt{3}x$ છે. તેને પ્રાચલિત સ્વરૂપમાં $x = r \cos(\theta)$ અને $y = r \sin(\theta)$ તરીકે લખી શકાય,જ્યાં $\tan(\theta) = \sqrt{3}$,તેથી $\theta = 60^\circ$. આમ,$x = \frac{r}{2}$ અને $y = \frac{r\sqrt{3}}{2}$.
વક્રના સમીકરણ $x^3 + 3y^2 + 4x + 5y - 1 = 0$ માં કિંમતો મૂકતા:
$(\frac{r}{2})^3 + 3(\frac{r\sqrt{3}}{2})^2 + 4(\frac{r}{2}) + 5(\frac{r\sqrt{3}}{2}) - 1 = 0$
$\frac{r^3}{8} + \frac{9r^2}{4} + 2r + \frac{5\sqrt{3}r}{2} - 1 = 0$
$8$ વડે ગુણતા:
$r^3 + 18r^2 + (16 + 20\sqrt{3})r - 8 = 0$
ધારો કે બીજ $r_1, r_2, r_3$ છે,જે અંતર $OA, OB, OC$ દર્શાવે છે. બીજનો ગુણાકાર $-d/a$ મુજબ:
$OA \cdot OB \cdot OC = r_1 r_2 r_3 = 8$.

(B) ધારો કે ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ પરના લંબનો પાદ $P(h, k)$ છે.
લંબના પાદના યામ $h = \frac{a b^2}{a^2 + b^2}$ અને $k = \frac{a^2 b}{a^2 + b^2}$ થાય.
તેથી $h^2 + k^2 = \frac{a^2 b^2}{a^2 + b^2} = \frac{1}{\frac{1}{b^2} + \frac{1}{a^2}}.$
આપેલ છે કે $\frac{1}{a^2} + \frac{1}{b^2} = \frac{1}{2c^2},$
તેથી $h^2 + k^2 = 2c^2.$
આમ,બિંદુપથ $x^2 + y^2 = 2c^2$ છે.

(B) ધારો કે $(a, b)$ માંથી પસાર થતી ચલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{X} + \frac{y}{Y} = 1$ છે.
તે $(a, b)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{a}{X} + \frac{b}{Y} = 1$ મળે.
રેખા અક્ષોને $A(X, 0)$ અને $B(0, Y)$ માં મળે છે.
$A$ અને $B$ માંથી યામ અક્ષોને સમાંતર દોરેલી રેખાઓ $P(h, k)$ માં છેદે છે.
ભૂમિતિ પરથી,$h = X$ અને $k = Y$ મળે.
આ કિંમતોને $\frac{a}{X} + \frac{b}{Y} = 1$ માં મૂકતા,$\frac{a}{h} + \frac{b}{k} = 1$ મળે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{a}{x} + \frac{b}{y} = 1$ થાય.

(C) ધારો કે $P = (x, y)$.
આપેલ છે $A = (2, 3)$ અને $B = (-4, 5)$.
$\Delta PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 12$.
યામ મૂકતા: $\frac{1}{2} |x(3 - 5) + 2(5 - y) - 4(y - 3)| = 12$.
$\frac{1}{2} |-2x + 10 - 2y - 4y + 12| = 12$.
$|-2x - 6y + 22| = 24$.
$|-x - 3y + 11| = 12$.
આનો અર્થ છે $-x - 3y + 11 = 12$ અથવા $-x - 3y + 11 = -12$.
કિસ્સો $1$: $x + 3y + 1 = 0$.
કિસ્સો $2$: $x + 3y - 23 = 0$.
બિંદુપથનું સંયુક્ત સમીકરણ $(x + 3y + 1)(x + 3y - 23) = 0$ છે.
વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + 6xy + 9y^2 - 22x - 66y - 23 = 0$.

(A) ધારો કે બે પરસ્પર લંબ રેખાઓ યામ અક્ષો $x=0$ અને $y=0$ છે.
ધારો કે બિંદુ $(x, y)$ છે.
આ રેખાઓથી તેના અંતરનો સરવાળો $|x| + |y| = 3$ છે.
આ સમીકરણ $(3, 0), (0, 3), (-3, 0),$ અને $(0, -3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા ચોરસનું પ્રતિનિધિત્વ કરે છે.
આ ચોરસના વિકર્ણો અક્ષો પર આવેલા છે અને તેમની લંબાઈ $d_1 = 6$ અને $d_2 = 6$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times d_1 \times d_2 = \frac{1}{2} \times 6 \times 6 = 18 \text{ unit}^2$ છે.

(D) ધારો કે રેખા $AB$ નો ઢાળ $m$ છે. $AB$ એ બિંદુ $A(1, 1)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,તેનું સમીકરણ $y - 1 = m(x - 1)$ છે.
તે $x$-અક્ષને $B(1 - \frac{1}{m}, 0)$ બિંદુએ છેદે છે.
રેખા $AC$ એ $AB$ ને લંબ છે,તેથી તેનો ઢાળ $-\frac{1}{m}$ છે. તેનું સમીકરણ $y - 1 = -\frac{1}{m}(x - 1)$ છે.
તે $y$-અક્ષને $C(0, 1 + m)$ બિંદુએ છેદે છે.
ધારો કે $\Delta ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G(h, k)$ છે.
$h = \frac{1 + (1 - \frac{1}{m}) + 0}{3} = \frac{2 - \frac{1}{m}}{3} \implies 3h - 2 = -\frac{1}{m} \implies m = \frac{1}{2 - 3h}$.
$k = \frac{1 + 0 + (1 + m)}{3} = \frac{2 + m}{3} \implies 3k - 2 = m$.
બીજા સમીકરણમાં $m$ ની કિંમત મૂકતા: $3k - 2 = \frac{1}{2 - 3h}$.
$(3k - 2)(2 - 3h) = 1 \implies 6k - 9hk - 4 + 6h = 1$.
$9hk - 6h - 6k + 5 = 0$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $9xy - 6x - 6y + 5 = 0$ મળે છે.

(A) પદાવલિ $|PR + QR| + |PR - QR|$ એ $R$ થી $P$ અને $Q$ ના અંતરનો સરવાળો અને તેમના તફાવતનું નિરપેક્ષ મૂલ્ય દર્શાવે છે.
ત્રિકોણની અસમતા મુજબ,$|PR + QR| \ge |PQ|$.
વળી,$|PR - QR| \ge 0$,અને તેનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $0$ છે જ્યારે $R$ એ રેખાખંડ $PQ$ પર હોય.
આમ,આખી પદાવલિનું ન્યૂનતમ મૂલ્ય $|PQ|$ છે,જે ત્યારે મળે છે જ્યારે $R$ એ રેખાખંડ $PQ$ પર હોય.
ભૌમિતિક ન્યૂનતમીકરણની સમસ્યા મુજબ,$R$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$R = \left( \frac{2+6}{2}, \frac{3+0}{2} \right) = (4, 1.5)$.
તેથી,$\alpha = 4$ અને $\beta = 1.5$.
માટે,$\alpha - 2\beta = 4 - 2(1.5) = 4 - 3 = 1$.

(C) આપેલ રેખાઓ $L_1: 4x + 3y - 12 = 0$ અને $L_2: 3x + 4y - 12 = 0$ છે.
તેમના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $L_1 + \lambda L_2 = 0$ એટલે કે $(4x + 3y - 12) + \lambda(3x + 4y - 12) = 0$ છે.
તેને સાદું રૂપ આપતા,$x(4 + 3\lambda) + y(3 + 4\lambda) - 12(1 + \lambda) = 0$ મળે.
આ રેખા અક્ષોને $A\left(\frac{12(1 + \lambda)}{4 + 3\lambda}, 0\right)$ અને $B\left(0, \frac{12(1 + \lambda)}{3 + 4\lambda}\right)$ માં મળે છે.
ધારો કે $AB$ નું મધ્યબિંદુ $(h, k)$ છે. તેથી $h = \frac{6(1 + \lambda)}{4 + 3\lambda}$ અને $k = \frac{6(1 + \lambda)}{3 + 4\lambda}$.
આના પરથી,$\frac{1}{h} = \frac{4 + 3\lambda}{6(1 + \lambda)}$ અને $\frac{1}{k} = \frac{3 + 4\lambda}{6(1 + \lambda)}$.
બંનેનો સરવાળો કરતા,$\frac{1}{h} + \frac{1}{k} = \frac{7 + 7\lambda}{6(1 + \lambda)} = \frac{7}{6}$.
આમ,$\frac{h + k}{hk} = \frac{7}{6}$,જેનો અર્થ છે કે $6(h + k) = 7hk$.
તેથી બિંદુપથ $6(x + y) = 7xy$ છે.

(D) ધારો કે $Q$ નો એબ્સિસિસા $x$ છે.
$Q$ એ $x$-અક્ષ પર હોવાથી,તેના યામ $Q(x, 0)$ છે.
ધારો કે પરાવર્તિત કિરણ ધન $x$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે.
પરાવર્તિત કિરણ $QR$ નો ઢાળ $\tan \theta = \frac{7 - 0}{6 - x} = \frac{7}{6 - x}$ છે.
આપાત કિરણ $PQ$ ધન $x$-અક્ષ સાથે $(180^\circ - \theta)$ ખૂણો બનાવે છે.
આપાત કિરણ $PQ$ નો ઢાળ $\tan(180^\circ - \theta) = \frac{3 - 0}{1 - x} = \frac{3}{1 - x}$ છે.
કારણ કે $\tan(180^\circ - \theta) = -\tan \theta$,તેથી:
$\frac{3}{1 - x} = -\left(\frac{7}{6 - x}\right)$
$3(6 - x) = -7(1 - x)$
$18 - 3x = -7 + 7x$
$25 = 10x$
$x = \frac{25}{10} = \frac{5}{2}$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(\alpha, \beta)$ છે. $P$ એ રેખા $2x - 3y + 4 = 0$ પર હોવાથી,$2\alpha - 3\beta + 4 = 0$ થાય.
ધારો કે $(h, k)$ એ $\Delta PQR$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે. મધ્યકેન્દ્રના યામ નીચે મુજબ છે:
$h = \frac{\alpha + 1 + 3}{3}$ $\Rightarrow 3h = \alpha + 4$ $\Rightarrow \alpha = 3h - 4$
$k = \frac{\beta + 4 - 2}{3}$ $\Rightarrow 3k = \beta + 2$ $\Rightarrow \beta = 3k - 2$
આ કિંમતોને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(3h - 4) - 3(3k - 2) + 4 = 0$
$6h - 8 - 9k + 6 + 4 = 0$
$6h - 9k + 2 = 0$
મધ્યકેન્દ્ર $(h, k)$ નો બિંદુપથ $6x - 9y + 2 = 0$ છે.
ઢાળ-અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં લખતા: $9y = 6x + 2$ $\Rightarrow y = \frac{6}{9}x + \frac{2}{9}$ $\Rightarrow y = \frac{2}{3}x + \frac{2}{9}$.
આ રેખાનો ઢાળ $\frac{2}{3}$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(t, y)$ છે. બિંદુ રેખા $3x + 5y = 15$ પર હોવાથી,$3t + 5y = 15$,જે આપે છે $y = \frac{15 - 3t}{5}$.
બિંદુ યામ અક્ષોથી સમાન અંતરે હોવાથી,$|x| = |y|$,તેથી $|t| = |\frac{15 - 3t}{5}|$.
આનો અર્થ એ થાય કે $\frac{15 - 3t}{5} = t$ અથવા $\frac{15 - 3t}{5} = -t$.
કિસ્સો $1$: $15 - 3t = 5t$ $\Rightarrow 8t = 15$ $\Rightarrow t = \frac{15}{8}$. તેથી $y = \frac{15}{8}$. બિંદુ $P(\frac{15}{8}, \frac{15}{8})$ એ $1^{st}$ ચરણમાં છે.
કિસ્સો $2$: $15 - 3t = -5t$ $\Rightarrow 2t = -15$ $\Rightarrow t = -\frac{15}{2}$. તેથી $y = \frac{15}{2}$. બિંદુ $P(-\frac{15}{2}, \frac{15}{2})$ એ $2^{nd}$ ચરણમાં છે.
આમ,બિંદુઓ $1^{st}$ અને $2^{nd}$ ચરણમાં આવેલા છે.

(C) ધારો કે રેખા $x=2y$ પરનું બિંદુ $P(2\alpha, \alpha)$ છે.
ધારો કે $P$ માંથી $x-y=0$ રેખા પર દોરેલો લંબ તેને $Q(\beta, \beta)$ માં મળે છે.
$PQ$ નો ઢાળ $\frac{\alpha-\beta}{2\alpha-\beta}$ છે.
$PQ$ એ $x-y=0$ (ઢાળ $1$) ને લંબ હોવાથી,$PQ$ નો ઢાળ $-1$ થવો જોઈએ.
તેથી,$\frac{\alpha-\beta}{2\alpha-\beta} = -1 \implies \alpha-\beta = -2\alpha+\beta \implies 3\alpha = 2\beta \implies \beta = \frac{3\alpha}{2}$.
ધારો કે $(h, k)$ એ $PQ$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$h = \frac{2\alpha+\beta}{2} = \frac{2\alpha + \frac{3\alpha}{2}}{2} = \frac{7\alpha}{4}$.
$k = \frac{\alpha+\beta}{2} = \frac{\alpha + \frac{3\alpha}{2}}{2} = \frac{5\alpha}{4}$.
હવે,$\frac{h}{k} = \frac{7\alpha/4}{5\alpha/4} = \frac{7}{5}$.
$5h = 7k \implies 5x-7y=0$.

(N/A) આપેલી રેખાઓ $3x - 2y - 5 = 0$ $(1)$ અને $3x + 2y - 5 = 0$ $(2)$ છે.
ધારો કે $(h, k)$ એવું કોઈ બિંદુ છે જેનું રેખાઓ $(1)$ અને $(2)$ થી અંતર સમાન છે.
રેખા $(1)$ થી $(h, k)$ નું અંતર $\frac{|3h - 2k - 5|}{\sqrt{3^2 + (-2)^2}} = \frac{|3h - 2k - 5|}{\sqrt{13}}$ છે.
રેખા $(2)$ થી $(h, k)$ નું અંતર $\frac{|3h + 2k - 5|}{\sqrt{3^2 + 2^2}} = \frac{|3h + 2k - 5|}{\sqrt{13}}$ છે.
અંતર સમાન હોવાથી,$\frac{|3h - 2k - 5|}{\sqrt{13}} = \frac{|3h + 2k - 5|}{\sqrt{13}}$,જેનો અર્થ છે કે $|3h - 2k - 5| = |3h + 2k - 5|$.
આના બે કિસ્સાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $3h - 2k - 5 = 3h + 2k - 5 \implies -2k = 2k \implies 4k = 0 \implies k = 0$.
કિસ્સો $2$: $3h - 2k - 5 = -(3h + 2k - 5) \implies 3h - 2k - 5 = -3h - 2k + 5 \implies 6h = 10 \implies h = \frac{5}{3}$.
આમ,બિંદુ $(h, k)$ નો બિંદુપથ $y = 0$ અથવા $x = \frac{5}{3}$ છે,જે બંને સીધી રેખાઓ દર્શાવે છે.

(N/A) આપેલ રેખાઓના સમીકરણો:
$x + y - 5 = 0$ $(1)$
$3x - 2y + 7 = 0$ $(2)$
બિંદુ $P(x, y)$ થી રેખાઓ $(1)$ અને $(2)$ ના લંબ અંતર:
$d_{1} = \frac{|x + y - 5|}{\sqrt{2}}$
$d_{2} = \frac{|3x - 2y + 7|}{\sqrt{13}}$
આપેલ છે કે $d_{1} + d_{2} = 10$,તેથી:
$\frac{|x + y - 5|}{\sqrt{2}} + \frac{|3x - 2y + 7|}{\sqrt{13}} = 10$
માનાંકની અંદરની પદાવલિઓ ધન છે તેમ ધારતા:
$\sqrt{13}(x + y - 5) + \sqrt{2}(3x - 2y + 7) = 10\sqrt{26}$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(\sqrt{13} + 3\sqrt{2})x + (\sqrt{13} - 2\sqrt{2})y - (5\sqrt{13} - 7\sqrt{2} + 10\sqrt{26}) = 0$
આ સમીકરણ $Ax + By + C = 0$ સ્વરૂપનું છે,જે એક રેખા દર્શાવે છે. આમ,$P$ એક રેખા પર ગતિ કરે છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $A$ ના યામ $(a, 0)$ છે.
પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,બિંદુ $(1, 2)$ નું $x$-અક્ષ પરનું પ્રતિબિંબ $(1, -2)$ એ $A$ અને $(5, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખા પર આવેલું છે.
$(1, -2)$ અને $(5, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનો ઢાળ $m = \frac{3 - (-2)}{5 - 1} = \frac{5}{4}$ છે.
આ રેખાનું સમીકરણ $y - 3 = \frac{5}{4}(x - 5)$ છે.
$x$-અંતઃખંડ ($A$ બિંદુ) શોધવા માટે $y = 0$ મૂકતા:
$-3 = \frac{5}{4}(x - 5)$
$-12 = 5x - 25$
$5x = 13$
$x = \frac{13}{5}$.
આમ,બિંદુ $A$ ના યામ $\left(\frac{13}{5}, 0\right)$ છે.

(A) ધારો કે પેન્સિલને $C$ ની આસપાસ $\alpha$ ખૂણે ફેરવવામાં આવે છે. પેન્સિલનું નવું સ્થાન $A'B'$ છે.
$P$ થી પેન્સિલ પરના લંબ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$PC$ અને નવી પેન્સિલ રેખા વચ્ચેનો ખૂણો $\theta$ છે.
આપણને $PC = \sqrt{5}$ અને લંબ અંતર $d = 1$ આપેલ છે.
$P$,પેન્સિલ પરના લંબના બિંદુ અને $C$ દ્વારા બનતા કાટકોણ ત્રિકોણમાં,$\sin \theta = \frac{d}{PC} = \frac{1}{\sqrt{5}}$.
તેથી,$\tan \theta = \frac{1}{2}$.
શરૂઆતમાં,ખૂણો $\angle PCB = \phi = \tan^{-1}(2)$,તેથી $\tan \phi = 2$.
ભ્રમણનો ખૂણો $\alpha$ એ પ્રારંભિક ખૂણા $\phi$ અને નવા ખૂણા $\theta$ વચ્ચેનો તફાવત છે.
$\alpha = \phi - \theta$.
$\tan \alpha = \tan(\phi - \theta) = \frac{\tan \phi - \tan \theta}{1 + \tan \phi \tan \theta} = \frac{2 - 1/2}{1 + 2(1/2)} = \frac{3/2}{2} = \frac{3}{4}$.
તેથી,$\alpha = \tan^{-1}\left(\frac{3}{4}\right)$.

(C) આપેલ $A = (0,6)$ અને $B = (2t, 0)$.
$AB$ નું મધ્યબિંદુ $M = (t, 3)$ છે.
$AB$ નો ઢાળ $m_{AB} = -\frac{3}{t}$ છે.
$AB$ ના લંબદ્વિભાજકનો ઢાળ $m_{\perp} = \frac{t}{3}$ છે.
લંબદ્વિભાજકનું સમીકરણ $(y-3) = \frac{t}{3}(x-t)$ છે.
$C$ શોધવા માટે $x=0$ લેતા,$y = 3 - \frac{t^{2}}{3}$. તેથી $C = (0, 3 - \frac{t^{2}}{3})$.
ધારો કે $P(h, k)$ એ $MC$ નું મધ્યબિંદુ છે:
$h = \frac{t}{2} \Rightarrow t = 2h$.
$k = \frac{3 + (3 - \frac{t^{2}}{3})}{2} = 3 - \frac{t^{2}}{6}$.
$t = 2h$ મુકતા,$k = 3 - \frac{4h^{2}}{6} = 3 - \frac{2h^{2}}{3}$.
$3k = 9 - 2h^{2} \Rightarrow 2h^{2} + 3k - 9 = 0$.
તેથી બિંદુપથ $2x^{2} + 3y - 9 = 0$ છે.

(C) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 12$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
આપેલ બિંદુઓ $(5, 6), (3, 2)$ અને $(\alpha, \beta)$ મૂકતા:
$\frac{1}{2} |5(2 - \beta) + 3(\beta - 6) + \alpha(6 - 2)| = 12$
$|4\alpha - 2\beta - 8| = 24$
$|2\alpha - \beta - 4| = 12$
આથી બિંદુ $A$ ના બિંદુપથ માટે બે રેખાઓ મળે છે:
કિસ્સો $1$: $2\alpha - \beta - 16 = 0$
કિસ્સો $2$: $2\alpha - \beta + 8 = 0$
ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $ax + by + c = 0$ નું અંતર $\frac{|c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ છે.
રેખા $1$ માટે: $d_1 = \frac{16}{\sqrt{5}}$
રેખા $2$ માટે: $d_2 = \frac{8}{\sqrt{5}}$
ન્યૂનતમ અંતર $\frac{8}{\sqrt{5}}$ છે.

(D) અચળ ઝડપે લાગતો સમય ન્યૂનતમ કરવા માટે,કુલ અંતર $PR + RQ$ ન્યૂનતમ હોવું જોઈએ.
ધારો કે $Q'(0, -2)$ એ $x$-અક્ષ પર $Q(0, 2)$ નું પ્રતિબિંબ છે.
અંતર $RQ = RQ'$. તેથી,$PR + RQ = PR + RQ'$.
આ સરવાળો ત્યારે ન્યૂનતમ થાય છે જ્યારે $P, R,$ અને $Q'$ સમરેખ હોય.
બિંદુ $P(-3, 4)$ અને $Q'(0, -2)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ:
$y - (-2) = \frac{4 - (-2)}{-3 - 0}(x - 0)$
$y + 2 = -2x \implies 2x + y + 2 = 0$.
બિંદુ $R$ એ આ રેખાનું $x$-અક્ષ $(y=0)$ સાથેનું છેદબિંદુ છે:
$2x + 0 + 2 = 0 \implies x = -1$.
તેથી,$R = (-1, 0)$.
હવે,અંતરના વર્ગની ગણતરી કરો:
$PR^{2} = (-1 - (-3))^{2} + (0 - 4)^{2} = (2)^{2} + (-4)^{2} = 4 + 16 = 20$.
$RQ^{2} = (0 - (-1))^{2} + (2 - 0)^{2} = (1)^{2} + (2)^{2} = 1 + 4 = 5$.
અંતે,$50(PR^{2} + RQ^{2})$ ની ગણતરી કરો:
$50(20 + 5) = 50(25) = 1250$.

(D) $\triangle ABC$ સમদ্বિબાજુ ત્રિકોણ હોય તે માટે,ઓછામાં ઓછી બે બાજુઓ સમાન હોવી જોઈએ. ધારો કે નિશ્ચિત રેખાખંડ $BC$ ની લંબાઈ $a$ છે.
કિસ્સો $I$: $AB = AC$. $A$ નો બિંદુપથ એ $BC$ નો લંબદ્વિભાજક છે,જે એક સીધી રેખા છે.
કિસ્સો $II$: $AB = BC$. $BC$ નિશ્ચિત હોવાથી,$AB$ ની લંબાઈ $BC$ જેટલી જ રહેવી જોઈએ. તેથી,$A$ નો બિંદુપથ એ $B$ ને કેન્દ્ર અને $BC$ જેટલી ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
કિસ્સો $III$: $AC = BC$. તેવી જ રીતે,$A$ નો બિંદુપથ એ $C$ ને કેન્દ્ર અને $BC$ જેટલી ત્રિજ્યા ધરાવતું વર્તુળ છે.
તેથી,$A$ નો સંપૂર્ણ બિંદુપથ એ $BC$ નો લંબદ્વિભાજક અને $B$ તથા $C$ ને કેન્દ્ર ધરાવતા બે વર્તુળોનો યોગગણ છે (જેમાં $A, B, C$ સમરેખ હોય તેવા બિંદુઓ બાકાત છે).
આમ,સાચો વિકલ્પ $(d)$ છે.

(B) $n$ બાજુઓ ધરાવતો નિયમિત બહુકોણ સમતલને ત્યારે જ આવરી શકે જો તેનો અંતઃકોણ $360^{\circ}$ નો ભાજક હોય.
નિયમિત $n$-કોણનો અંતઃકોણ $\frac{(n-2) \times 180^{\circ}}{n}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$(1)$ સમબાજુ ત્રિકોણ $(n=3)$ માટે: અંતઃકોણ = $60^{\circ}$. $360^{\circ} / 60^{\circ} = 6$ હોવાથી,તે સમતલને આવરી શકે છે.
$(2)$ ચોરસ $(n=4)$ માટે: અંતઃકોણ = $90^{\circ}$. $360^{\circ} / 90^{\circ} = 4$ હોવાથી,તે સમતલને આવરી શકે છે.
$(3)$ નિયમિત પંચકોણ $(n=5)$ માટે: અંતઃકોણ = $108^{\circ}$. $360^{\circ} / 108^{\circ} = 3.33$ (પૂર્ણાંક નથી),તેથી તે સમતલને આવરી શકતું નથી.
$(4)$ નિયમિત ષટ્કોણ $(n=6)$ માટે: અંતઃકોણ = $120^{\circ}$. $360^{\circ} / 120^{\circ} = 3$ હોવાથી,તે સમતલને આવરી શકે છે.
આમ,સમતલને આવરી શકતા આકારો સમબાજુ ત્રિકોણ,ચોરસ અને નિયમિત ષટ્કોણ છે. આવા બરાબર ત્રણ આકારો છે.

(C) ધારો કે $t$ સમયે $k$-મી કીડીનું સ્થાન $x_k(t)$ છે.
આપેલ છે કે $x_k(0) = k^2$ અને $x_k(1) = (11-k)^2$.
ઝડપ સમાન હોવાથી,વેગ $v_k = x_k(1) - x_k(0) = (11-k)^2 - k^2 = 121 - 22k + k^2 - k^2 = 121 - 22k$.
આમ,$x_k(t) = k^2 + (121 - 22k)t$.
બે કીડીઓ $i$ અને $j$ (જ્યાં $i < j$) એક જ સ્થાને હોય જો $x_i(t) = x_j(t)$ હોય.
$i^2 + (121 - 22i)t = j^2 + (121 - 22j)t$
$i^2 - j^2 = (121 - 22j - 121 + 22i)t$
$(i-j)(i+j) = 22(i-j)t$
$i \neq j$ હોવાથી,આપણે $(i-j)$ વડે ભાગી શકીએ છીએ:
$t = \frac{i+j}{22}$.
$1 \le i < j \le 10$ હોવાથી,$i+j$ માટે શક્ય કિંમતો $1+2=3$ થી $9+10=19$ સુધીની છે.
આમ,$t \in \{\frac{3}{22}, \frac{4}{22}, \dots, \frac{19}{22}\}$.
અલગ-અલગ કિંમતોની સંખ્યા $19 - 3 + 1 = 17$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(r, \theta)$ છે. કાર્તેઝિયન યામમાં,$P = (r \cos \theta, r \sin \theta)$.
રેખા $OP$ ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થાય છે અને તેનું સમીકરણ $y = x \tan \theta$ છે.
રેખા $r \sin \theta = b$ એ કાર્તેઝિયન યામમાં $y = b$ ને સમાન છે.
ધારો કે $Q$ એ રેખા $OP$ અને રેખા $y = b$ નું છેદબિંદુ છે.
$Q$ એ $y = b$ પર હોવાથી,તેનો $y$-યામ $b$ છે. $Q$ એ $OP$ પર હોવાથી,ઉગમબિંદુથી તેનું ધ્રુવીય અંતર $OQ$ એ $OQ \sin \theta = b$ નું પાલન કરે છે,તેથી $OQ = \frac{b}{\sin \theta}$.
$PQ = d$ આપેલ હોવાથી,અંતર $OP = OQ \pm d = \frac{b}{\sin \theta} \pm d$.
આમ,$r = \frac{b}{\sin \theta} \pm d$.
$\sin \theta$ વડે ગુણતા,આપણને $r \sin \theta = b \pm d \sin \theta$ મળે છે,જેનું સાદું રૂપ $(r \mp d) \sin \theta = b$ થાય છે.
$d$ અચળ હોવાથી,બિંદુગણ $(r \pm d) \sin \theta = b$ છે.

(C) આપેલ બિંદુઓ $A(4,0)$ અને $B(0,12)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $C(x, y)$ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ નીચે મુજબ છે:
$\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$
કિંમતો મૂકતા:
$18 = \frac{1}{2} |4(12 - y) + 0(y - 0) + x(0 - 12)|$
$18 = \frac{1}{2} |48 - 4y - 12x|$
$36 = |48 - 4y - 12x|$
$4$ વડે ભાગતા:
$36 = 4 |12 - y - 3x|$
$9 = |-(3x + y - 12)|$
$9 = |3x + y - 12|$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(3x + y - 12)^2 = 81$
આમ,બિંદુપથ $(y + 3x - 12)^2 = 81$ છે.

(D) ધારો કે બંને મીણબત્તીઓની પ્રારંભિક લંબાઈ $L$ છે.
પ્રથમ મીણબત્તીનો બળવાનો દર પ્રતિ કલાક $\frac{L}{5}$ છે અને બીજી મીણબત્તીનો દર પ્રતિ કલાક $\frac{L}{3}$ છે.
ધારો કે $t$ કલાક પછી પ્રથમ મીણબત્તીની લંબાઈ બીજી મીણબત્તી કરતા $3$ ગણી થાય છે.
$t$ સમય પછી બાકી રહેલી લંબાઈ $L_1 = L - \frac{L}{5}t$ અને $L_2 = L - \frac{L}{3}t$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$L_1 = 3L_2$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા: $L - \frac{L}{5}t = 3(L - \frac{L}{3}t)$.
$L$ વડે ભાગતા: $1 - \frac{t}{5} = 3 - t$.
પદોને ગોઠવતા: $t - \frac{t}{5} = 3 - 1$.
$\frac{4t}{5} = 2$.
$t = \frac{10}{4} = 2.5 \, hr$.
મિનિટમાં ફેરવતા: $2.5 \times 60 = 150 \, min$.

(C) ધારો કે ટ્રેનની લંબાઈ $x\,m$ છે.
ટ્રેનને માણસને પસાર કરવામાં લાગતો સમય $9\,s$ છે.
તેથી,ટ્રેનની ઝડપ $v = \frac{x}{9}\,m/s$ છે.
ટ્રેનને પ્લેટફોર્મ પસાર કરવામાં લાગતો સમય $21\,s$ છે.
પ્લેટફોર્મ પસાર કરતી વખતે,કાપેલું કુલ અંતર એ ટ્રેનની લંબાઈ અને પ્લેટફોર્મની લંબાઈનો સરવાળો છે,જે $(x + 88)\,m$ છે.
સૂત્ર $\text{અંતર} = \text{ઝડપ} \times \text{સમય}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$x + 88 = v \times 21$
$v = \frac{x}{9}$ મૂકતા:
$x + 88 = \frac{x}{9} \times 21$
$x + 88 = \frac{7x}{3}$
$3(x + 88) = 7x$
$3x + 264 = 7x$
$4x = 264$
$x = 66\,m$.
આમ,ટ્રેનની લંબાઈ $66\,m$ છે.

(B) દેડકો $(0,0)$ થી શરૂઆત કરે છે અને દરેક કૂદકામાં $5$ એકમનું અંતર કાપીને $(0,1)$ સુધી પહોંચવાની જરૂર છે.
ધારો કે કૂદકો સદિશ $(x, y)$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે છે જેથી $x^2 + y^2 = 5^2 = 25$,જ્યાં $x, y \in \mathbb{Z}$.
શક્ય પૂર્ણાંક જોડીઓ $(x, y)$ એ $(\pm 3, \pm 4)$ અથવા $(\pm 4, \pm 3)$ અથવા $(\pm 5, 0)$ અથવા $(0, \pm 5)$ છે.
લઘુત્તમ કૂદકામાં $(0,1)$ સુધી પહોંચવા માટે:
$1$. પ્રથમ કૂદકો: $(0,0)$ થી $(4,3)$ સુધી ($5$ એકમ અંતર).
$2$. બીજો કૂદકો: $(4,3)$ થી $(0,6)$ સુધી ($5$ એકમ અંતર).
$3$. ત્રીજો કૂદકો: $(0,6)$ થી $(0,1)$ સુધી ($5$ એકમ અંતર).
આમ,જરૂરી લઘુત્તમ કૂદકાની સંખ્યા $3$ છે.

(B) ધારો કે ચોરસ $ABCD$ ને યામ સમતલમાં $A(0, 12), B(12, 12), C(12, 0), D(0, 0)$ તરીકે મૂકવામાં આવ્યો છે.
$M$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $M = (6, 12)$.
$N$ એ $CD$ નું મધ્યબિંદુ છે,તેથી $N = (6, 0)$.
$P$ એ $MN$ પર આવેલું છે,તેથી $P = (6, y)$ જ્યાં $y \in [0, 12]$.
$AP = r = \sqrt{(6-0)^2 + (y-12)^2} = \sqrt{36 + (12-y)^2}$.
$PC = s = \sqrt{(6-12)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{36 + y^2}$.
$r, s, 12$ બાજુઓ ધરાવતા ત્રિકોણને ધ્યાનમાં લો. નોંધો કે $BC = 12$. બિંદુ $P$ નું $BC$ બાજુ (જે $x=12$ રેખા પર છે) થી આડું અંતર $6$ છે.
તેથી,$\triangle PBC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{વેધ} = \frac{1}{2} \times BC \times P \text{ નું } BC \text{ થી અંતર} = \frac{1}{2} \times 12 \times 6 = 36$.

(B) ધારો કે $10$ વાગ્યા પછી $x$ મિનિટ થઈ છે.
$10$ વાગ્યે,કલાકનો કાંટો $12$ વાગ્યાની સ્થિતિથી $300^{\circ}$ પર હોય છે.
$x$ મિનિટમાં,મિનિટનો કાંટો $12$ વાગ્યાની સ્થિતિથી $6x^{\circ}$ ફરે છે.
કલાકનો કાંટો $x$ મિનિટમાં $\frac{x}{2}^{\circ}$ ફરે છે,તેથી તેની સ્થિતિ $12$ વાગ્યાથી $(300 + \frac{x}{2})^{\circ}$ થાય છે.
કાંટા ઊભી રેખા ($12-6$ રેખા) ની સાપેક્ષમાં સંમિત હોવા માટે,મિનિટના કાંટાનો $12$ વાગ્યાથી ખૂણો (ઘડિયાળની દિશામાં) અને કલાકના કાંટાનો $12$ વાગ્યાથી ખૂણો (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં) સમાન હોવા જોઈએ.
કલાકના કાંટાનો $12$ વાગ્યાથી ખૂણો (ઘડિયાળની વિરુદ્ધ દિશામાં) $360^{\circ} - (300 + \frac{x}{2})^{\circ} = (60 - \frac{x}{2})^{\circ}$ છે.
બંનેને સરખાવતા: $6x = 60 - \frac{x}{2}$.
$12x = 120 - x$ $\Rightarrow 13x = 120$ $\Rightarrow x = \frac{120}{13} \approx 9.2307\,\text{મિનિટ}$.
$0.2307 \times 60 \approx 13.84\,\text{સેકન્ડ}$,જે $14\,\text{સેકન્ડ}$ થાય છે.
આમ,સમય $10\,\text{કલાક } 9\,\text{મિનિટ } 14\,\text{સેકન્ડ}$ છે.