Locus of Point Questions in Gujarati

(C) આપેલ છે કે $A$,$X$-અક્ષ પર છે,ધારો કે $A \equiv (a, 0)$.
આપેલ છે કે $B$,$y=6x$ રેખા પર છે,ધારો કે $B \equiv (c, 6c)$.
ધારો કે $C(h, k)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
તેથી,$h = \frac{a+c}{2}$ અને $k = \frac{0+6c}{2} = 3c$.
$k = 3c$ પરથી,આપણને $c = \frac{k}{3}$ મળે છે.
$h$ ના સમીકરણમાં $c$ ની કિંમત મૂકતા: $h = \frac{a + k/3}{2}$ $\Rightarrow 2h = a + \frac{k}{3}$ $\Rightarrow a = 2h - \frac{k}{3}$.
રેખાખંડની લંબાઈ $AB = r$ આપેલ છે,તેથી $(AB)^2 = r^2$.
$(a-c)^2 + (0-6c)^2 = r^2$
$a = 2h - k/3$ અને $c = k/3$ મૂકતા:
$(2h - k/3 - k/3)^2 + (6(k/3))^2 = r^2$
$(2h - 2k/3)^2 + (2k)^2 = r^2$
$4(h - k/3)^2 + 4k^2 = r^2$
$(h - k/3)^2 + k^2 = \frac{r^2}{4}$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $(x - y/3)^2 + y^2 = \frac{r^2}{4}$ મળે છે.

(C) આપેલ રેખા $ax + by + c = 0$ છે.
$a, b,$ અને $c$ ત્રણ ક્રમિક એકી પૂર્ણાંકો હોવાથી,તેઓ સમાંતર શ્રેણીમાં છે.
તેથી,$b - a = c - b$,જેનો અર્થ છે કે $c = 2b - a$.
રેખાના સમીકરણમાં $c$ ની કિંમત મૂકતા: $ax + by + (2b - a) = 0$.
પદોને ગોઠવતા: $a(x - 1) + b(y + 2) = 0$.
આ રેખા હંમેશા નિશ્ચિત બિંદુ $(\alpha, \beta)$ માંથી પસાર થાય તે માટે:
$\alpha - 1 = 0 \Rightarrow \alpha = 1$ અને $\beta + 2 = 0 \Rightarrow \beta = -2$.
તેથી,$\alpha^2 + \beta^2 = 1^2 + (-2)^2 = 1 + 4 = 5$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $\operatorname{ar}(\triangle POB) = 2 \cdot \operatorname{ar}(\triangle POA)$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા.
$\triangle POB$ માટે શિરોબિંદુઓ $P(x, y), O(0, 0), B(0, 4)$ છે:
$\operatorname{ar}(\triangle POB) = \frac{1}{2} |x(0-4) + 0(4-y) + 0(y-0)| = 2|x|$.
$\triangle POA$ માટે શિરોબિંદુઓ $P(x, y), O(0, 0), A(6, 0)$ છે:
$\operatorname{ar}(\triangle POA) = \frac{1}{2} |x(0-0) + 0(0-y) + 6(y-0)| = 3|y|$.
આ કિંમતો શરતમાં મૂકતા:
$2|x| = 2 \cdot 3|y| \Rightarrow |x| = 3|y|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$x^2 = 9y^2$ મળે.
આમ,બિંદુપથ $x^2 - 9y^2 = 0$ છે.

(A) ધારો કે બે લંબ રેખાઓ યામ અક્ષો $OX$ અને $OY$ છે. સળિયાના અંત્યબિંદુઓ $y$-અક્ષ પર $A(0, a)$ અને $x$-અક્ષ પર $B(b, 0)$ છે.
સળિયાની લંબાઈ $AB = 2l$ છે. અંતર સૂત્ર મુજબ,$\sqrt{a^2+b^2} = 2l$,જેનો અર્થ છે કે $a^2+b^2 = 4l^2$.
ધારો કે $P(x, y)$ એ સળિયા $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $x = \frac{0+b}{2} = \frac{b}{2}$ અને $y = \frac{a+0}{2} = \frac{a}{2}$.
આના પરથી $b = 2x$ અને $a = 2y$ મળે છે.
આ કિંમતોને સમીકરણ $a^2+b^2 = 4l^2$ માં મૂકતા,આપણને $(2y)^2 + (2x)^2 = 4l^2$ મળે છે.
$4x^2 + 4y^2 = 4l^2$,જેનું સાદું રૂપ $x^2+y^2 = l^2$ થાય છે.
આમ,મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ $x^2+y^2 = l^2$ છે.

(B) ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $C = (h, k)$ છે.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $A = (2, -3)$ અને $B = (-2, 1)$ છે.
$\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G = \left(\frac{2 - 2 + h}{3}, \frac{-3 + 1 + k}{3}\right) = \left(\frac{h}{3}, \frac{k - 2}{3}\right)$ છે.
મધ્યકેન્દ્ર $G$ રેખા $2x + 3y = 1$ પર આવેલું હોવાથી,$2\left(\frac{h}{3}\right) + 3\left(\frac{k - 2}{3}\right) = 1$.
સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા,$2h + 3(k - 2) = 3$.
$2h + 3k - 6 = 3$,તેથી $2h + 3k = 9$.
આમ,શિરોબિંદુ $C$ નો બિંદુપથ $2x + 3y = 9$ છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(B) ધારો કે બે લંબ રેખાઓ $X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષ છે. ધારો કે $P(x, y)$ એ બિંદુપથ પરનું કોઈ બિંદુ છે.
બિંદુ $P(x, y)$ નું $X$-અક્ષથી અંતર $|y|$ છે અને $Y$-અક્ષથી અંતર $|x|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતરોનો સરવાળો $1$ છે.
તેથી,$|x| + |y| = 1$.
આ સમીકરણ એક ચોરસ દર્શાવે છે જેના શિરોબિંદુઓ $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ અને $(0, -1)$ છે.
તેથી,સાચો વિકલ્પ $B$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે. $A(1, 1)$ અને $B(-2, 3)$ આપેલ છે.
$\triangle PAB$ નું ક્ષેત્રફળ $= 9 \text{ ચોરસ એકમ}$.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x(1 - 3) + 1(3 - y) + (-2)(y - 1)| = 9$.
$|-2x - 3y + 5| = 18$.
તેથી,$-2x - 3y + 5 = 18$ અથવા $-2x - 3y + 5 = -18$.
કિસ્સો $1$: $2x + 3y + 13 = 0$.
કિસ્સો $2$: $2x + 3y - 23 = 0$.
આમ,બિંદુપથ $2x + 3y + 13 = 0$ અને $2x + 3y - 23 = 0$ છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે. ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(1, 2)$,$B(-2, 5)$ અને $P(x, y)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$.
કિંમતો મૂકતા: $8 = \frac{1}{2} |1(5 - y) + (-2)(y - 2) + x(2 - 5)|$.
$16 = |5 - y - 2y + 4 - 3x| = |9 - 3y - 3x|$.
$16 = |9 - 3(x + y)|$.
આ બે કિસ્સાઓ આપે છે:
કિસ્સો $1$: $9 - 3(x + y) = 16 \implies 3x + 3y + 7 = 0$.
કિસ્સો $2$: $9 - 3(x + y) = -16 \implies 3x + 3y - 25 = 0$.
આમ,બિંદુપથ $3x + 3y + 7 = 0$ અને $3x + 3y - 25 = 0$ છે.

(B) ધારો કે રેખાનું સમીકરણ જે અક્ષોને $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ માં છેદે છે તે $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખા $P(4, 2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{4}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ... $(i)$.
કાટકોણ $\triangle OAB$ માં,પરિવૃતનું કેન્દ્ર એ કર્ણ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. ધારો કે પરિવૃતનું કેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
તેથી $h = \frac{a}{2} \Rightarrow a = 2h$ અને $k = \frac{b}{2} \Rightarrow b = 2k$.
આ કિંમતોને સમીકરણ $(i)$ માં મૂકતા,$\frac{4}{2h} + \frac{2}{2k} = 1$ મળે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{2}{h} + \frac{1}{k} = 1$ થાય છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $2x^{-1} + y^{-1} = 1$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $(b)$ સાચો છે.

(D) ધારો કે $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ અક્ષો પરના બિંદુઓ છે,અને $P(h, k)$ એ રેખાખંડ $AB$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતું બિંદુ છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$P$ ના યામ:
$P(h, k) = \left(\frac{1 \cdot a + 2 \cdot 0}{2+1}, \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot b}{2+1}\right) = \left(\frac{a}{3}, \frac{2b}{3}\right)$
યામ સરખાવતા:
$h = \frac{a}{3} \Rightarrow a = 3h$
$k = \frac{2b}{3} \Rightarrow b = \frac{3k}{2}$
આપેલ છે કે $AB = 6$,તેથી:
$\sqrt{(a-0)^2 + (0-b)^2} = 6$
$a^2 + b^2 = 36$
$a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા:
$(3h)^2 + \left(\frac{3k}{2}\right)^2 = 36$
$9h^2 + \frac{9k^2}{4} = 36$
$9$ વડે ભાગતા:
$h^2 + \frac{k^2}{4} = 4$
$4h^2 + k^2 = 16$
આમ,$P$ નો બિંદુપથ $4x^2 + y^2 = 16$ છે.

(C) ધારો કે $A = (p, 0)$ અને $B = (0, q)$ એ બિંદુઓ છે જ્યાં રેખા અનુક્રમે $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષને છેદે છે.
ધારો કે $P(h, k)$ એ રેખાખંડ $\overline{AB}$ નું મધ્યબિંદુ છે.
આપેલ છે કે રેખાખંડ $\overline{AB}$ ની લંબાઈ $a$ છે.
$P(h, k)$ એ $\overline{AB}$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી:
$h = \frac{p+0}{2} \implies p = 2h$
$k = \frac{0+q}{2} \implies q = 2k$
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરીને રેખાખંડ $\overline{AB}$ ની લંબાઈ:
$\sqrt{(p-0)^2 + (0-q)^2} = a$
$\sqrt{p^2 + q^2} = a$
$p = 2h$ અને $q = 2k$ કિંમતો મૂકતા:
$\sqrt{(2h)^2 + (2k)^2} = a$
$\sqrt{4h^2 + 4k^2} = a$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$4h^2 + 4k^2 = a^2$
$h^2 + k^2 = \frac{a^2}{4}$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ:
$x^2 + y^2 = \frac{a^2}{4}$
આમ,સાચો વિકલ્પ $C$ છે.

(B) ધારો કે બિંદુઓ $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ છે. ચલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખા $(\alpha, \beta)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{\alpha}{a} + \frac{\beta}{b} = 1$ મળે.
$\triangle OAB$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(h, k)$ એ $h = \frac{a}{3}$ અને $k = \frac{b}{3}$ છે.
તેથી,$a = 3h$ અને $b = 3k$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા: $\frac{\alpha}{3h} + \frac{\beta}{3k} = 1$.
$3hk$ વડે ગુણતા,$\alpha k + \beta h = 3hk$ મળે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\beta x + \alpha y - 3xy = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે ઉગમબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y=mx$ છે,જે સમાંતર રેખાઓ $x-y+10=0$ અને $x-y+20=0$ ને અનુક્રમે $A$ અને $B$ બિંદુઓમાં છેદે છે.
બિંદુ $A$ માટે: $x-mx+10=0 \Rightarrow x=\frac{10}{m-1}, y=\frac{10m}{m-1}$.
તેથી,$OA = \frac{10\sqrt{1+m^2}}{|m-1|}$.
તે જ રીતે,બિંદુ $B$ માટે: $OB = \frac{20\sqrt{1+m^2}}{|m-1|}$.
ધારો કે $P(h, k)$ એ $y=mx$ પરનું બિંદુ છે,તેથી $m=\frac{k}{h}$ અને $OP = \sqrt{h^2+k^2}$.
$OA, OP, OB$ હરાત્મક શ્રેણીમાં હોવાથી,$\frac{2}{OP} = \frac{1}{OA} + \frac{1}{OB}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{2}{\sqrt{h^2+k^2}} = \frac{|m-1|}{\sqrt{1+m^2}} \cdot \frac{3}{20}$.
$m = \frac{k}{h}$ મૂકતા,આપણને $3(k-h) = 40$ મળે છે.
તેથી,બિંદુપથ $3x-3y+40=0$ છે.

(A) ચતુષ્કોણ $PABC$ નું ક્ષેત્રફળ એ $\triangle ABC$ અને $\triangle PAC$ ના ક્ષેત્રફળનો સરવાળો છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 3.5$ ચોરસ એકમ.
તેથી,$\triangle PAC$ નું ક્ષેત્રફળ $= 10 - 3.5 = 6.5$ ચોરસ એકમ.
$P(x,y)$ માટે,$\frac{1}{2} |4x - 3y - 11| = 6.5$
$|4x - 3y - 11| = 13$.
આ સમીકરણનું વર્ગ કરતાં $(4x - 3y - 11)^2 = 169$ મળે છે,જે વિકલ્પો સાથે સુસંગત છે.

(A) ધારો કે બિંદુઓના યામ $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$,અને $C(x_3, y_3)$ છે. ધારો કે $P(x, y)$ એ ચલ બિંદુ છે.
આપેલ શરત $PA^2 + PB^2 = 2PC^2$ છે.
અંતર સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $(x - x_1)^2 + (y - y_1)^2 + (x - x_2)^2 + (y - y_2)^2 = 2[(x - x_3)^2 + (y - y_3)^2]$.
પદોનું વિસ્તરણ કરતા: $(x^2 - 2xx_1 + x_1^2 + y^2 - 2yy_1 + y_1^2) + (x^2 - 2xx_2 + x_2^2 + y^2 - 2yy_2 + y_2^2) = 2(x^2 - 2xx_3 + x_3^2 + y^2 - 2yy_3 + y_3^2)$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા: $2x^2 + 2y^2 - 2x(x_1 + x_2) - 2y(y_1 + y_2) + x_1^2 + x_2^2 + y_1^2 + y_2^2 = 2x^2 + 2y^2 - 4xx_3 - 4yy_3 + 2x_3^2 + 2y_3^2$.
$x^2$ અને $y^2$ ના પદો ઉડી જાય છે,અને $x$ અને $y$ માં $Ax + By + C = 0$ સ્વરૂપનું સુરેખ સમીકરણ મળે છે.
તેથી,બિંદુ $P$ નો બિંદુપથ એક સીધી રેખા છે.

(A) ધારો કે $P(-1, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે. તે $P(-1, 2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$-\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ મળે.
ધારો કે $AB$ પરનું બિંદુ $Q(h, k)$ એવું છે કે $PA, PQ, PB$ હરાત્મક શ્રેણીમાં છે. હરાત્મક શ્રેણી માટેની શરત $\frac{2}{PQ} = \frac{1}{PA} + \frac{1}{PB}$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $y - 2 = m(x + 1)$ લો. $x$-અંતઃખંડ $A$ મેળવવા માટે $y=0$ મૂકતા: $-2 = m(x+1) \implies x = -1 - \frac{2}{m}$. તેથી $A = (-1 - \frac{2}{m}, 0)$.
$y$-અંતઃખંડ $B$ મેળવવા માટે $x=0$ મૂકતા: $y - 2 = m(1) \implies y = 2 + m$. તેથી $B = (0, 2 + m)$.
$PA = \sqrt{(-1 - \frac{2}{m} - (-1))^2 + (0 - 2)^2} = \sqrt{\frac{4}{m^2} + 4} = \frac{2}{|m|} \sqrt{1 + m^2}$.
$PB = \sqrt{(0 - (-1))^2 + (2 + m - 2)^2} = \sqrt{1 + m^2}$.
$Q(h, k)$ એ $AB$ પર હોવાથી,$k - 2 = m(h + 1) \implies m = \frac{k-2}{h+1}$.
અક્ષો પરના રેખાખંડો માટે હરાત્મક મધ્યકની ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરતા,$Q$ નો બિંદુપથ $2x - y + 4 = 0$ મળે છે.

(B) ધારો કે $P(x, y)$ એ બિંદુ છે જેનો બિંદુપથ $a x + b y + c = 0$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
$P$ એ $A(-2, 3)$ અને $B(6, -5)$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA = PB$ થાય,જેનો અર્થ છે કે $PA^2 = PB^2$.
$(x + 2)^2 + (y - 3)^2 = (x - 6)^2 + (y + 5)^2$
$x^2 + 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 12x + 36 + y^2 + 10y + 25$
$16x - 16y - 48 = 0$
$16$ વડે ભાગતા,આપણને $x - y - 3 = 0$ મળે છે.
$a x + b y + c = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 1$,$b = -1$,અને $c = -3$ મળે છે.
તેથી,$-3 < -1 < 1$ હોવાથી,ચડતો ક્રમ $c, b, a$ છે.

(A) ધારો કે બે લંબ રેખાઓ યામ અક્ષો $x = 0$ અને $y = 0$ છે.
બિંદુ $P(x, y)$ નું રેખા $x = 0$ થી અંતર $|x|$ છે અને રેખા $y = 0$ થી અંતર $|y|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$|x| + |y| = 1$.
આ સમીકરણ ચાર ચરણોમાં ચાર રેખાખંડો દર્શાવે છે:
$1$) $x + y = 1$ જ્યાં $x > 0, y > 0$
$2$) $-x + y = 1$ જ્યાં $x < 0, y > 0$
$3$) $-x - y = 1$ જ્યાં $x < 0, y < 0$
$4$) $x - y = 1$ જ્યાં $x > 0, y < 0$
આ ચાર રેખાખંડો $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ અને $(0, -1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ચોરસ બનાવે છે.
ચોરસ એ એક પ્રકારનો સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે. તેથી,$P$ નો બિંદુપથ એક સમબાજુ ચતુષ્કોણ છે.

(B) ધારો કે $P(h, k)$ એ બિંદુપથ પરનું કોઈપણ બિંદુ છે.
ધારો કે $A$ એ $X$-અક્ષ પર અને $B$ એ $Y$-અક્ષ પર છે.
ધારો કે $\theta$ એ રેખાખંડ $AB$ દ્વારા $X$-અક્ષ સાથે બનાવેલો ખૂણો છે.
આકૃતિની ભૂમિતિ પરથી,$\triangle PMA$ માં,આપણી પાસે $\sin \theta = \frac{k}{b}$ છે,જેનો અર્થ છે $k = b \sin \theta$.
$\triangle BNP$ માં,આપણી પાસે $\cos \theta = \frac{h}{a}$ છે,જેનો અર્થ છે $h = a \cos \theta$.
નિત્યસમ $\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરીને,આપણે કિંમતો મૂકીએ છીએ:
$(\frac{k}{b})^2 + (\frac{h}{a})^2 = 1$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથનું સમીકરણ $\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1$ મળે છે.

(B) ધારો કે $P(h, k)$ એ બિંદુ છે જેનો બિંદુપથ શોધવાનો છે.
બિંદુ $(5, 0)$ થી અંતર $\sqrt{13}$ આપેલ છે,તેથી $\sqrt{(h-5)^2 + (k-0)^2} = \sqrt{13}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(h-5)^2 + k^2 = 13$ $\Rightarrow h^2 - 10h + 25 + k^2 = 13$ $\Rightarrow h^2 + k^2 - 10h + 12 = 0$.
વળી,રેખા $2x - 3y + 4 = 0$ થી અંતર $2$ છે:
$\frac{|2h - 3k + 4|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = 2 \Rightarrow |2h - 3k + 4| = 2\sqrt{13}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા: $(2h - 3k + 4)^2 = 52$.
વિસ્તરણ કરતા: $4h^2 + 9k^2 + 16 - 12hk + 16h - 24k = 52$.
$4h^2 + 9k^2 - 12hk + 16h - 24k - 36 = 0$.
પ્રથમ શરત પરથી $h^2 = 10h - k^2 - 12$ મૂકતા:
$4(10h - k^2 - 12) + 9k^2 - 12hk + 16h - 24k - 36 = 0$.
$40h - 4k^2 - 48 + 9k^2 - 12hk + 16h - 24k - 36 = 0$.
$5k^2 - 12hk + 56h - 24k - 84 = 0$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,આપણને $12xy - 5y^2 - 56x + 24y + 84 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે $(4, 3)$ માંથી પસાર થતી રેખાનું સમીકરણ $y - 3 = m(x - 4)$ છે,જ્યાં રેખા પ્રથમ ચરણમાં કાપે તે માટે $m < 0$ હોવું જોઈએ.
$y = mx - 4m + 3$.
$x$-અંતઃખંડ $y = 0$ મૂકીને મળે છે: $0 = mx - 4m + 3 \implies x = 4 - \frac{3}{m}$.
$y$-અંતઃખંડ $x = 0$ મૂકીને મળે છે: $y = 3 - 4m$.
પ્રથમ ચરણમાં બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times (x\text{-અંતઃખંડ}) \times (y\text{-અંતઃખંડ}) = \frac{1}{2} (4 - \frac{3}{m})(3 - 4m) = \frac{1}{2} (12 - 16m - \frac{9}{m} + 12) = 12 - 8m - \frac{9}{2m}$.
ક્ષેત્રફળ ન્યૂનતમ કરવા માટે,$A$ નું $m$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરો: $\frac{dA}{dm} = -8 + \frac{9}{2m^2} = 0$.
$8 = \frac{9}{2m^2} \implies m^2 = \frac{9}{16} \implies m = -\frac{3}{4}$ (કારણ કે $m < 0$).
$m = -\frac{3}{4}$ ને રેખાના સમીકરણમાં મૂકતા: $y - 3 = -\frac{3}{4}(x - 4)$.
$4y - 12 = -3x + 12 \implies 3x + 4y = 24$.

(C) ધારો કે $X$ અને $Y$ અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $m$ અને $n$ છે. રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{m} + \frac{y}{n} = 1$ છે.
રેખા $(4, 5)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{4}{m} + \frac{5}{n} = 1$,જેનો અર્થ છે કે $\frac{4}{m} = 1 - \frac{5}{n} = \frac{n-5}{n}$,તેથી $m = \frac{4n}{n-5}$.
યામ અક્ષો સાથે બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2}mn = \frac{1}{2} \left( \frac{4n}{n-5} \right) n = \frac{2n^2}{n-5}$ છે.
ન્યૂનતમ ક્ષેત્રફળ શોધવા માટે,આપણે $A$ નું $n$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરીએ:
$\frac{dA}{dn} = 2 \left[ \frac{(n-5)(2n) - n^2(1)}{(n-5)^2} \right] = 2 \left[ \frac{2n^2 - 10n - n^2}{(n-5)^2} \right] = \frac{2n^2 - 20n}{(n-5)^2}$.
$\frac{dA}{dn} = 0$ લેતા,આપણને $2n(n-10) = 0$ મળે છે. ધન અંતઃખંડો માટે $n > 5$ હોવાથી,$n = 10$ મળે.
તેથી $m = \frac{4(10)}{10-5} = \frac{40}{5} = 8$.
અંતઃખંડોનો ગુણોત્તર $m : n = 8 : 10 = 4 : 5$ છે.

(D) $x-2y+3=0$ અને $2x-y-1=0$ ના છેદબિંદુમાંથી પસાર થતી રેખાઓનું સમીકરણ $(x-2y+3) + K(2x-y-1) = 0$ છે.
પદોને ગોઠવતા,$(1+2K)x - (2+K)y + (3-K) = 0$ મળે.
આને $\frac{(1+2K)}{K-3}x + \frac{-(2+K)}{K-3}y = 1$ તરીકે લખી શકાય.
$X$ અને $Y$ અક્ષ પરના અંતઃખંડો $A\left(\frac{K-3}{1+2K}, 0\right)$ અને $B\left(0, \frac{K-3}{-(2+K)}\right)$ છે.
ધારો કે $AB$ ને $-2:3$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરતું બિંદુ $(x, y)$ છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$x = \frac{-2(0) + 3(\frac{K-3}{1+2K})}{3-2} = \frac{3(K-3)}{1+2K}$ અને $y = \frac{-2(\frac{K-3}{-(2+K)}) + 3(0)}{3-2} = \frac{2(K-3)}{2+K}$.
$x = \frac{3K-9}{2K+1}$ પરથી,$x(2K+1) = 3K-9 \Rightarrow K(2x-3) = -9-x \Rightarrow K = \frac{x+9}{3-2x}$ મળે.
$y = \frac{2K-6}{K+2}$ પરથી,$y(K+2) = 2K-6 \Rightarrow K(y-2) = -6-2y \Rightarrow K = \frac{6+2y}{2-y}$ મળે.
$K$ માટેના બંને સમીકરણોને સરખાવતા: $\frac{x+9}{3-2x} = \frac{6+2y}{2-y}$.
$(x+9)(2-y) = (6+2y)(3-2x) \Rightarrow 2x - xy + 18 - 9y = 18 - 12x + 6y - 4xy$.
સાદુરૂપ આપતા,$14x + 3xy - 15y = 0$ મળે.

(D) આપેલા બિંદુઓ $A(3, 4), B(-3, 6), C(-5, 1), D(x, y)$ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |3(6 - 1) + (-3)(1 - 4) + (-5)(4 - 6)|$
$= \frac{1}{2} |3(5) + (-3)(-3) + (-5)(-2)| = \frac{1}{2} |15 + 9 + 10| = 17 \dots (1)$
$\triangle ACD$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |3(1 - y) + (-5)(y - 4) + x(4 - 1)|$
$= \frac{1}{2} |3 - 3y - 5y + 20 + 3x| = \frac{1}{2} |3x - 8y + 23| \dots (2)$
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \triangle ACD$ નું ક્ષેત્રફળ હોવાથી,$\frac{1}{2} |3x - 8y + 23| = 17$
$|3x - 8y + 23| = 34$
$3x - 8y + 23 = 34$ અથવા $3x - 8y + 23 = -34$
$3x - 8y - 11 = 0$ અથવા $3x - 8y + 57 = 0$
આમ,$D$ નો બિંદુપથ $(3x - 8y - 11)(3x - 8y + 57) = 0$ છે.

(C) આપેલ છે કે $P_1, P_2, \ldots, P_n$ એ રેખા $y=x$ પરના બિંદુઓ છે. $O$ એ ઉગમબિંદુ $(0,0)$ હોવાથી,કોઈપણ બિંદુ $P_k(x_k, x_k)$ માટે અંતર $OP_k = \sqrt{x_k^2 + x_k^2} = x_k \sqrt{2}$ થાય.
$OP_1 = 1$ આપેલ છે,તેથી $x_1 \sqrt{2} = 1$,એટલે કે $x_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}$.
પુનરાવર્તિત સંબંધ $OP_n = n(OP_{n-1})$ છે.
$n=2$ માટે,$OP_2 = 2(OP_1) = 2(1) = 2$.
$n=3$ માટે,$OP_3 = 3(OP_2) = 3(2) = 6$.
$n=4$ માટે,$OP_4 = 4(OP_3) = 4(6) = 24$.
સામાન્ય રીતે,$OP_n = n \times (n-1) \times \ldots \times 1 = n!$.
આપણને $P_n = (2520 \sqrt{2}, 2520 \sqrt{2})$ આપેલ છે.
તેથી,$OP_n = \sqrt{(2520 \sqrt{2})^2 + (2520 \sqrt{2})^2} = \sqrt{2 \times (2520^2 \times 2)} = \sqrt{4 \times 2520^2} = 2 \times 2520 = 5040$.
તેથી,$n! = 5040$.
$7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$ હોવાથી,$n=7$ મળે છે.

(B) આપેલ છે કે $L(p, q) = \frac{ap + bq + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$L\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right) = \frac{2a + b + 3c}{3\sqrt{a^2 + b^2}}$
$L\left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right) = \frac{a + 2b + 3c}{3\sqrt{a^2 + b^2}}$
$L(2, 2) = \frac{6a + 6b + 3c}{3\sqrt{a^2 + b^2}}$
સરવાળો કરતા:
$\frac{9a + 9b + 9c}{3\sqrt{a^2 + b^2}} = 0$
$a + b + c = 0$
આ દર્શાવે છે કે રેખા $ax + by + c = 0$ એ બિંદુ $(1, 1)$ માટે $a(1) + b(1) + c = 0$ નું પાલન કરે છે.
તેથી,રેખા હંમેશા $(1, 1)$ બિંદુમાંથી પસાર થાય છે.

(D) ધારો કે ચલ રેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે,જ્યાં $a^2 + b^2 \neq 0$.
બિંદુ $(x_1, y_1)$ થી રેખા $ax + by + c = 0$ પરનું લંબ અંતર $d = \frac{|ax_1 + by_1 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
લંબ અંતરોનો બૈજિક સરવાળો શૂન્ય હોવાથી,આપણે ચિહ્નિત અંતરો લઈએ છીએ:
$d_1 = \frac{2a + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$,$d_2 = \frac{2b + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$,અને $d_3 = \frac{a + b + c}{\sqrt{a^2 + b^2}}$.
આપેલ છે કે $d_1 + d_2 + d_3 = 0$,તેથી:
$\frac{2a + c + 2b + c + a + b + c}{\sqrt{a^2 + b^2}} = 0$
$3a + 3b + 3c = 0$
$a + b + c = 0$
$c = -(a + b)$ ને રેખાના સમીકરણ $ax + by + c = 0$ માં મૂકતા:
$ax + by - (a + b) = 0$
$a(x - 1) + b(y - 1) = 0$
આ સમીકરણ તમામ $a$ અને $b$ માટે સાચું હોવા માટે,$x - 1 = 0$ અને $y - 1 = 0$ હોવું જોઈએ.
આમ,નિશ્ચિત બિંદુ $(1, 1)$ છે.

(A) ધારો કે $A$ ના યામ $(a, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, b)$ છે.
આપેલ છે કે $AB = 15$,તેથી $\sqrt{a^2 + b^2} = 15$,જેનો અર્થ છે કે $a^2 + b^2 = 225$.
ધારો કે $P(x, y)$ એ $AB$ પરનું બિંદુ છે જેથી $\frac{AP}{PB} = \frac{2}{3}$.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા,$x = \frac{3a}{5}$ અને $y = \frac{2b}{5}$.
તેથી $a = \frac{5x}{3}$ અને $b = \frac{5y}{2}$.
આ કિંમતો $a^2 + b^2 = 225$ માં મૂકતા:
$(\frac{5x}{3})^2 + (\frac{5y}{2})^2 = 225$.
$\frac{25x^2}{9} + \frac{25y^2}{4} = 225$.
$25$ વડે ભાગતા,$\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{4} = 9$,અથવા $\frac{x^2}{81} + \frac{y^2}{36} = 1$.
આ એક ઉપવલય દર્શાવે છે જ્યાં $x = 9 \cos \theta$ અને $y = 6 \sin \theta$.

(B) ધારો કે રેખા $(L)$ યામ અક્ષોને $(a, 0)$ અને $(0, b)$ પર છેદે છે.
અક્ષો અને રેખા $(L)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $(\frac{a}{3}, \frac{b}{3})$ છે.
આપેલ છે કે આ બિંદુ $(x, y)$ વક્ર $3x + 2y - 3xy = 0$ પર છે,તેથી $x = \frac{a}{3}$ અને $y = \frac{b}{3}$,જેનો અર્થ છે $a = 3x$ અને $b = 3y$.
રેખા $(L)$ નું સમીકરણ $\frac{X}{a} + \frac{Y}{b} = 1$ છે.
$a = 3x$ અને $b = 3y$ મૂકતા,આપણને $\frac{X}{3x} + \frac{Y}{3y} = 1$ મળે,અથવા $\frac{X}{x} + \frac{Y}{y} = 3$.
વક્રના સમીકરણ પરથી,આ રેખાઓ $(2, 3)$ બિંદુએ સંગામી છે.

(C) ધારો કે $A$ ના યામ $(a, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, b)$ છે.
રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
રેખા $(3, 2)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{3}{a} + \frac{2}{b} = 1$.
બિંદુ $P(h, k)$ એ $AB$ નું $2: 3$ ગુણોત્તરમાં વિભાજન કરે છે.
વિભાજન સૂત્ર મુજબ: $h = \frac{3a}{5} \implies a = \frac{5h}{3}$ અને $k = \frac{2b}{5} \implies b = \frac{5k}{2}$.
કિંમતો મૂકતા: $\frac{3}{5h/3} + \frac{2}{5k/2} = 1 \implies \frac{9}{5h} + \frac{4}{5k} = 1 \implies 9k + 4h = 5hk$.
તેથી,$4x + 9y = 5xy$.

(A) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\triangle PAB$ માટે: $\frac{1}{2} |x - y + 1|$.
$\triangle PAC$ માટે: $|1 - y|$.
બંને ક્ષેત્રફળ સમાન લેતા: $\frac{1}{2} |x - y + 1| = |1 - y|
\implies |x - y + 1| = |2 - 2y|$.
આથી બે રેખાઓ મળે: $x + y - 1 = 0$ અને $x - 3y + 3 = 0$.
તેમનો ગુણાકાર કરતા: $(x + y - 1)(x - 3y + 3) = x^2 - 2xy - 3y^2 + 2x + 6y - 3 = 0$.

(B) રેખાઓના સમીકરણો:
$AB: x+y-2=0$
$BC: x-y+2=0$
$CA: y=0$
બિંદુ $P(x, y)$ માટે લંબ અંતરો:
$a = \frac{|x+y-2|}{\sqrt{2}}, b = \frac{|x-y+2|}{\sqrt{2}}, c = |y|$
$a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોવાથી,$2b = a+c$ થાય.
તેથી,$\sqrt{2}|x-y+2| = |x+y-2| + \sqrt{2}|y|$
જેથી,$\sqrt{2}|y| = |x-y+2| - |x+y-2|$ મળે છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$P(x, y)$ થી $(4, 3)$ સુધીનું અંતર એ $P(x, y)$ થી રેખા $x + 2y - 1 = 0$ ના લંબ અંતર જેટલું છે.
અંતરના સૂત્ર અને લંબ અંતરના સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$\sqrt{(x - 4)^2 + (y - 3)^2} = \frac{|x + 2y - 1|}{\sqrt{1^2 + 2^2}}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x - 4)^2 + (y - 3)^2 = \frac{(x + 2y - 1)^2}{5}$
$5(x^2 - 8x + 16 + y^2 - 6y + 9) = x^2 + 4y^2 + 1 + 4xy - 2x - 4y$
$5x^2 - 40x + 80 + 5y^2 - 30y + 45 = x^2 + 4y^2 + 4xy - 2x - 4y + 1$
$4x^2 + y^2 - 4xy - 38x - 26y + 124 = 0$

(D) ધારો કે $P = (x, y)$. ચતુષ્કોણ $PABC$ નું ક્ષેત્રફળ: $\text{Area}(PABC) = \frac{1}{2} |3x - 2y - 4|$.
ત્રિકોણ $PAB$ નું ક્ષેત્રફળ: $\text{Area}(\triangle PAB) = \frac{1}{2} |x + y - 3|$.
શરત મુજબ,$\text{Area}(PABC) = 2 \times \text{Area}(\triangle PAB)$.
તેથી,$|3x - 2y - 4| = 2|x + y - 3|$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(3x - 2y - 4)^2 = 4(x + y - 3)^2$.
સાદુરૂપ આપતા,$x^2 - 4xy + 8y - 4 = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $A(2, -3)$,$B(-2, 1)$ અને $C(x_0, y_0)$ છે.
ત્રીજું શિરોબિંદુ $C$ એ રેખા $2x + 3y = 9$ પર હોવાથી,$2x_0 + 3y_0 = 9$ થાય.
ધારો કે ત્રિકોણનું મધ્યકેન્દ્ર $G(h, k)$ છે.
મધ્યકેન્દ્રના યામ નીચે મુજબ છે:
$h = \frac{2 - 2 + x_0}{3} = \frac{x_0}{3} \implies x_0 = 3h$
$k = \frac{-3 + 1 + y_0}{3} = \frac{y_0 - 2}{3} \implies y_0 = 3k + 2$
$x_0$ અને $y_0$ ની કિંમત રેખાના સમીકરણ $2x_0 + 3y_0 = 9$ માં મૂકતા:
$2(3h) + 3(3k + 2) = 9$
$6h + 9k + 6 = 9$
$6h + 9k = 3$
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $2h + 3k = 1$ મળે છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $2x + 3y = 1$ મળે છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ શરત $PA^2 + 2PB^2 = 3PC^2$ છે.
$A(5, -3)$,$B(3, -2)$,અને $C(-1, 5)$ ના યામ મૂકતા:
$(x - 5)^2 + (y + 3)^2 + 2[(x - 3)^2 + (y + 2)^2] = 3[(x + 1)^2 + (y - 5)^2]$
પદોનું વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 10x + 25 + y^2 + 6y + 9) + 2(x^2 - 6x + 9 + y^2 + 4y + 4) = 3(x^2 + 2x + 1 + y^2 - 10y + 25)$
$3x^2 + 3y^2 - 22x + 14y + 60 = 3x^2 + 3y^2 + 6x - 30y + 78$
$-28x + 44y - 18 = 0$
$-2$ વડે ભાગતા:
$14x - 22y + 9 = 0$
વિકલ્પ $D$ $\left(2, \frac{37}{22}\right)$ ચકાસતા:
$14(2) - 22\left(\frac{37}{22}\right) + 9 = 28 - 37 + 9 = 0$.
આમ,બિંદુ $\left(2, \frac{37}{22}\right)$ એ બિંદુપથ પર આવેલું છે.

(D) ચતુષ્કોણ $ABCD$ ના શિરોબિંદુઓ $A(x, y)$,$B(2, 3)$,$C(5, -2)$,અને $D(1, -1)$ છે. ક્ષેત્રફળનું સૂત્ર વાપરતા: $\text{Area} = \frac{1}{2} |4x - y - 22| = 10$.
તેથી,$|4x - y - 22| = 20$.
આના પરથી બે રેખાઓ મળે: $4x - y - 22 = 20 \implies 4x - y - 42 = 0$ અને $4x - y - 22 = -20 \implies 4x - y - 2 = 0$.
આમ,$A$ નો બિંદુપથ $(4x - y - 42)(4x - y - 2) = 0$ છે.

(B) ધારો કે $C(0, y_1)$ અને $D(0, y_2)$ એ $Y$-અક્ષ પરના બિંદુઓ છે.
$C$ એ $D$ ની નીચે હોવાથી અને $CD=4$ હોવાથી,$y_2 - y_1 = 4$ મળે.
$A(-4, 0)$ અને $C(0, y_1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $AC$ નું સમીકરણ:
$y - 0 = \frac{y_1 - 0}{0 - (-4)}(x - (-4))$ $\Rightarrow y = \frac{y_1}{4}(x + 4)$ $\Rightarrow y_1 = \frac{4y}{x+4}$.
$B(4, 0)$ અને $D(0, y_2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $BD$ નું સમીકરણ:
$y - 0 = \frac{y_2 - 0}{0 - 4}(x - 4)$ $\Rightarrow y = \frac{y_2}{-4}(x - 4)$ $\Rightarrow y_2 = \frac{4y}{4-x}$.
$y_2 - y_1 = 4$ માં $y_1$ અને $y_2$ ની કિંમતો મૂકતા:
$\frac{4y}{4-x} - \frac{4y}{x+4} = 4$.
$4$ વડે ભાગતા:
$\frac{y}{4-x} - \frac{y}{x+4} = 1$.
$\frac{y(x+4) - y(4-x)}{(4-x)(x+4)} = 1$.
$\frac{xy + 4y - 4y + xy}{16 - x^2} = 1$.
$2xy = 16 - x^2$.
$x^2 + 2xy - 16 = 0$.

(C) ધારો કે $A$ ના યામ $(p, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, q)$ છે.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપનું સમીકરણ $\frac{x}{p} + \frac{y}{q} = 1$ છે.
રેખા $(3, 5)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{3}{p} + \frac{5}{q} = 1$ મળે.
$A(p, 0), O(0, 0), B(0, q)$ અને $C(x, y)$ દ્વારા બનતા લંબચોરસ માટે,બિંદુ $C$ ના યામ $(p, q)$ હોવા જોઈએ.
તેથી,$p = x$ અને $q = y$.
આ કિંમતો સમીકરણમાં મૂકતા,$\frac{3}{x} + \frac{5}{y} = 1$ મળે.
$xy$ વડે ગુણતા,$3y + 5x = xy$,એટલે કે $5x - xy + 3y = 0$ મળે.
આને આપેલ સ્વરૂપ $ax + 2hxy + by = 0$ સાથે સરખાવતા,$a = 5, b = 3$ અને $2h = -1$ મળે,એટલે કે $h = -\frac{1}{2}$.
તેથી,$a + b + h = 5 + 3 - \frac{1}{2} = 8 - \frac{1}{2} = \frac{15}{2}$.

(A) ધારો કે બે લંબ રેખાઓ $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ છે. ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે. $P$ નું $x$-અક્ષથી અંતર $|y|$ છે અને $y$-અક્ષથી અંતર $|x|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,આ અંતરોનો સરવાળો $1$ છે,તેથી $|x| + |y| = 1$.
આ સમીકરણ ચાર ચરણોમાં ચાર રેખાખંડો દર્શાવે છે:
$1$. પ્રથમ ચરણમાં $(x \geq 0, y \geq 0)$,$x + y = 1$.
$2$. બીજા ચરણમાં $(x \leq 0, y \geq 0)$,$-x + y = 1$.
$3$. ત્રીજા ચરણમાં $(x \leq 0, y \leq 0)$,$-x - y = 1$.
$4$. ચોથા ચરણમાં $(x \geq 0, y \leq 0)$,$x - y = 1$.
આ ચાર રેખાઓ $(1, 0), (0, 1), (-1, 0),$ અને $(0, -1)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ચોરસ બનાવે છે.

(B) ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$A(1, 0)$,$B(0, 2)$,અને $C(1, 2)$ માટે $\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ:
$\text{Area}(\triangle ABC) = \frac{1}{2} |1(2 - 2) + 0(2 - 0) + 1(0 - 2)| = 1$.
આપેલ છે કે $\text{Area}(\triangle PAB) = 2 \times \text{Area}(\triangle ABC) = 2$.
$P(x, y)$,$A(1, 0)$,અને $B(0, 2)$ માટે:
$\text{Area}(\triangle PAB) = \frac{1}{2} |x(0 - 2) + 1(2 - y) + 0(y - 0)| = \frac{1}{2} |-2x - y + 2|$.
તેથી,$\frac{1}{2} |-2x - y + 2| = 2 \Rightarrow |-2x - y + 2| = 4$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(-2x - y + 2)^2 = 16 \Rightarrow (2x + y - 2)^2 = 16$.
$4x^2 + 4xy + y^2 - 8x - 4y - 12 = 0$.

(B) ધારો કે $R(h, k)$ એ $OM$ નું મધ્યબિંદુ છે. ધારો કે $M$ ના યામ $(\alpha, \beta)$ છે.
$R$ એ $OM$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$\left(\frac{0+\alpha}{2}, \frac{0+\beta}{2}\right) = (h, k)$,જેનો અર્થ છે કે $\alpha = 2h$ અને $\beta = 2k$.
આમ,$M$ ના યામ $(2h, 2k)$ છે.
$OM$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{2k-0}{2h-0} = \frac{k}{h}$ છે.
રેખા $MQ$ (જે રેખા $L$ છે) નો ઢાળ $m_2 = \frac{2k-b}{2h-a}$ છે.
$OM \perp MQ$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$\frac{k}{h} \times \frac{2k-b}{2h-a} = -1$
$k(2k-b) = -h(2h-a)$
$2k^2 - bk = -2h^2 + ah$
$2h^2 + 2k^2 - ah - bk = 0$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $2x^2 + 2y^2 - ax - by = 0$ મળે છે.

(B) આપેલ રેખા $L$ નું સમીકરણ $x-y=0$ છે.
ચલ બિંદુ $P(\alpha, \beta)$ થી રેખા $x-y=0$ સુધીનું અંતર $b = \left|\frac{\alpha-\beta}{\sqrt{2}}\right|$ છે,જેનો અર્થ છે કે $b^2 = \frac{(\alpha-\beta)^2}{2}$,અથવા $(\alpha-\beta)^2 = 2b^2$ $\ldots(i)$.
$P(\alpha, \beta)$ અને $A(2,1)$ વચ્ચેનું અંતર $a^2 = (\alpha-2)^2 + (\beta-1)^2$ $\ldots(ii)$ છે.
ઉગમબિંદુ $(0,0)$ થી $A(2,1)$ નું અંતર $c = \sqrt{2^2+1^2} = \sqrt{5}$ છે,તેથી $c^2 = 5$.
આપેલ શરત $a = bc$ મુજબ,$a^2 = b^2c^2 = 5b^2$ $\ldots(iii)$.
$(i)$ અને $(ii)$ ને $(iii)$ માં મૂકતા,$(\alpha-2)^2 + (\beta-1)^2 = 5 \times \frac{(\alpha-\beta)^2}{2}$.
$2$ વડે ગુણતા,$2(\alpha^2 - 4\alpha + 4 + \beta^2 - 2\beta + 1) = 5(\alpha^2 + \beta^2 - 2\alpha\beta)$.
$2\alpha^2 - 8\alpha + 8 + 2\beta^2 - 4\beta + 2 = 5\alpha^2 + 5\beta^2 - 10\alpha\beta$.
પદોને ગોઠવતા,$3\alpha^2 + 3\beta^2 - 10\alpha\beta + 8\alpha + 4\beta - 10 = 0$.
$(\alpha, \beta)$ ને $(x, y)$ સાથે બદલતા,$P$ નો બિંદુપથ $3x^2 + 3y^2 - 10xy + 8x + 4y - 10 = 0$ મળે છે.

(C) ધારો કે રેખાના $x$-અક્ષ અને $y$-અક્ષ પરના અંતઃખંડો અનુક્રમે $a$ અને $1/a$ છે,જ્યાં $a \neq 0$.
રેખાનું અંતઃખંડ સ્વરૂપમાં સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{1/a} = 1$ છે,જેનું સાદું રૂપ $\frac{x}{a} + ay = 1$ થાય છે.
$a$ વડે ગુણતા,આપણને $x + a^2y = a$ અથવા $a^2y - a + x = 0$ મળે છે.
$a$ એ વાસ્તવિક સંખ્યા હોવાથી,$a$ માંના દ્વિઘાત સમીકરણના વાસ્તવિક બીજ હોવા માટે,વિવેચક $D$ એ $0$ કરતા મોટો અથવા તેના જેટલો હોવો જોઈએ.
અહીં,$D = (-1)^2 - 4(y)(x) \geq 0$.
$1 - 4xy \geq 0 \Rightarrow 4xy \leq 1$.
ચલ રેખા માટે,રેખા પરનું બિંદુ $P(x, y)$ એ $4xy < 1$ સંતોષવું જોઈએ (સીમા રેખાના કિસ્સાને બાદ કરતાં).

(A) આપેલ શિરોબિંદુઓ $A=(2,3)$ અને $B=(3,-5)$ છે. ધારો કે $C=(x, y)$.
ધારો કે $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
મધ્યકેન્દ્રના યામ નીચે મુજબ છે:
$h = \frac{2+3+x}{3} = \frac{5+x}{3} \Rightarrow x = 3h - 5$
$k = \frac{3-5+y}{3} = \frac{y-2}{3} \Rightarrow y = 3k + 2$
કારણ કે $C(x, y)$ એ રેખા $3x + 4y - 5 = 0$ પર છે,તેથી $x$ અને $y$ ની કિંમતો મૂકતા:
$3(3h - 5) + 4(3k + 2) - 5 = 0$
$9h - 15 + 12k + 8 - 5 = 0$
$9h + 12k - 12 = 0$
$3$ વડે ભાગતા,આપણને $3h + 4k - 4 = 0$ મળે છે.
આમ,મધ્યકેન્દ્ર $(x, y)$ નો બિંદુપથ $3x + 4y - 4 = 0$ છે.
આ રેખાને આપેલ રેખા $L \equiv 3x + 4y - 5 = 0$ સાથે સરખાવતા,આપણે જોઈ શકીએ છીએ કે $x$ અને $y$ ના સહગુણકો સમાન છે,જેનો અર્થ છે કે રેખાઓ સમાંતર છે.
તેથી,બિંદુપથ $L=0$ ને સમાંતર છે.

(B) ધારો કે ત્રીજો શિરોબિંદુ $C(x, y)$ છે. બિંદુઓ $A(1, -2)$,$B(-5, 3)$ અને $C(x, y)$ દ્વારા બનતા ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ:
$\Delta = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 15$
$\frac{1}{2} |1(3 - y) + (-5)(y + 2) + x(-2 - 3)| = 15$
$|3 - y - 5y - 10 - 5x| = 30$
$|-5x - 6y - 7| = 30$
$|5x + 6y + 7| = 30$
આથી $5x + 6y + 7 = 30$ અથવા $5x + 6y + 7 = -30$.
તેથી,$5x + 6y - 23 = 0$ અથવા $5x + 6y + 37 = 0$.
બિંદુઓનો બિંદુપથ આ બે રેખાઓનો યોગ છે,જે આ રીતે લખી શકાય:
$(5x + 6y - 23)(5x + 6y + 37) = 0$.

(B) ધારો કે $C(x, y)$ એ ચલ બિંદુ છે. ધારો કે $\angle CAB = \beta$ અને $\angle CBA = \gamma$.
$AC$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{y}{x+a} = \tan \beta$ છે.
$BC$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{y}{x-a}$ છે. $\angle CBA = \gamma$ હોવાથી,$BC$ નો ઢાળ $-\tan \gamma$ થાય.
તેથી,$\tan \gamma = \frac{y}{a-x}$.
આપેલ છે કે $\beta - \gamma = \alpha$,તેથી $\tan(\beta - \gamma) = \tan \alpha$.
સૂત્ર $\tan(\beta - \gamma) = \frac{\tan \beta - \tan \gamma}{1 + \tan \beta \tan \gamma}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan \alpha = \frac{\frac{y}{x+a} - \frac{y}{a-x}}{1 + (\frac{y}{x+a})(\frac{y}{a-x})} = \frac{-2xy}{a^2-x^2+y^2}$.
તેથી,$\tan \alpha = \frac{-2xy}{a^2-x^2+y^2}$.
ગોઠવતા: $(a^2-x^2+y^2) \tan \alpha = -2xy$.
$\cot \alpha$ વડે ગુણતા: $a^2-x^2+y^2+2xy \cot \alpha = 0$.

(D) ધારો કે પરસ્પર લંબ રેખાઓ યામ અક્ષો છે. સળિયાના છેડા $(a, 0)$ અને $(0, b)$ છે. સળિયાની લંબાઈ $l$ હોવાથી,$a^2+b^2=l^2$ થાય.
ધારો કે બિંદુ $(h, k)$ સળિયાને $1:2$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે. વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા:
$h = \frac{1 \cdot 0 + 2 \cdot a}{1+2} = \frac{2a}{3} \Rightarrow a = \frac{3h}{2}$
$k = \frac{1 \cdot b + 2 \cdot 0}{1+2} = \frac{b}{3} \Rightarrow b = 3k$
આ કિંમતોને $a^2+b^2=l^2$ માં મૂકતા:
$(\frac{3h}{2})^2 + (3k)^2 = l^2$
$\frac{9h^2}{4} + 9k^2 = l^2$
$9h^2 + 36k^2 = 4l^2$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $9x^2+36y^2=4l^2$ મળે છે.
આમ,વિકલ્પ $(d)$ સાચો છે.

(B) ધારો કે બે પરસ્પર લંબ રેખાઓ $X$-અક્ષ અને $Y$-અક્ષ છે. બિંદુ $(x, y)$ છે.
બિંદુ $(x, y)$ નું $X$-અક્ષથી અંતર $|y|$ છે અને $Y$-અક્ષથી અંતર $|x|$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$|x| + |y| = 3$.
આ સમીકરણ એક ચોરસ દર્શાવે છે જેના શિરોબિંદુઓ $(3, 0), (0, 3), (-3, 0),$ અને $(0, -3)$ છે.
આ ચોરસની બાજુની લંબાઈ $(3, 0)$ અને $(0, 3)$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $\sqrt{(3-0)^2 + (0-3)^2} = \sqrt{9 + 9} = \sqrt{18}$ છે.
ચોરસનું ક્ષેત્રફળ $(\text{બાજુ})^2 = (\sqrt{18})^2 = 18 \text{ ચોરસ એકમ}$ છે.