Locus of Point Questions in Gujarati

(A) રેખાનું સમીકરણ $x \cos \theta + y \sin \theta = 7$ છે.
$x$-અંતઃખંડ $x = \frac{7}{\cos \theta}$ છે,તેથી બિંદુ $A = \left(\frac{7}{\cos \theta}, 0\right)$.
$y$-અંતઃખંડ $y = \frac{7}{\sin \theta}$ છે,તેથી બિંદુ $B = \left(0, \frac{7}{\sin \theta}\right)$.
ધારો કે $M(h, k)$ એ રેખાખંડ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે.
$h = \frac{7}{2 \cos \theta}$ અને $k = \frac{7}{2 \sin \theta}$.
બિંદુ $\left(\alpha, \frac{7 \sqrt{3}}{3}\right)$ વક્ર પર છે,તેથી $k = \frac{7 \sqrt{3}}{3}$.
$\frac{7}{2 \sin \theta} = \frac{7 \sqrt{3}}{3} \implies \sin \theta = \frac{\sqrt{3}}{2} \implies \theta = \frac{\pi}{3}$.
તેથી,$\alpha = \frac{7}{2 \cos(\pi/3)} = \frac{7}{2(1/2)} = 7$.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુઓ $A(2,1)$,$B(0,0)$ અને $C(t,4)$ છે,જ્યાં $t \in [0,4]$. પરિમિતિ $P(t) = AB + BC + AC$. $AB = \sqrt{5}$ અચળ હોવાથી,આપણે $f(t) = BC + AC = \sqrt{t^2 + 16} + \sqrt{(t-2)^2 + 9}$ નું મહત્તમ/ન્યૂનતમ મૂલ્ય શોધવું પડશે.
ન્યૂનતમ મૂલ્ય માટે,$B(0,0)$ નું $y=4$ રેખાની સાપેક્ષમાં પ્રતિબિંબ $B'(0,8)$ લો. ન્યૂનતમ મૂલ્ય ત્યારે મળે જ્યારે $A, C, B'$ સમરેખ હોય. $AB'$ રેખાનું સમીકરણ $y = -\frac{7}{2}x + 8$ છે. $y=4$ મૂકતા,$t = \frac{8}{7}$ મળે. તેથી,$\beta = \frac{8}{7}$.
મહત્તમ મૂલ્ય માટે,અંતરાલ $[0,4]$ ના અંત્યબિંદુઓ તપાસતા,$f(4)$ પર મહત્તમ મૂલ્ય મળે છે. તેથી,$\alpha = 4$.
આમ,$6\alpha + 21\beta = 6(4) + 21(\frac{8}{7}) = 24 + 24 = 48$.

(A) શિરોબિંદુઓ $P(x,y)$,$A(-1,1)$ અને $B(2,3)$ ધરાવતા $\triangle PAB$ નું ક્ષેત્રફળ નિશ્ચાયક સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{1}{2} |x(1-3) + (-1)(3-y) + 2(y-1)| = 10$
$\frac{1}{2} |-2x - 3 + y + 2y - 2| = 10$
$|-2x + 3y - 5| = 20$
કારણ કે $P$ એ રેખા $AB$ ની ઉપર છે,આપણે $-2x + 3y - 5 = 20$ લઈએ,જે $-2x + 3y = 25$ આપે છે.
આપણને બિંદુપથ $ax + by = 15$ સ્વરૂપમાં જોઈએ છે. સમીકરણ $-2x + 3y = 25$ ને $\frac{25}{15} = \frac{5}{3}$ વડે ભાગતા:
$-\frac{2x}{5/3} + \frac{3y}{5/3} = 15$
$-\frac{6}{5}x + \frac{9}{5}y = 15$
આને $ax + by = 15$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = -\frac{6}{5}$ અને $b = \frac{9}{5}$ મળે છે.
હવે,$5a + 2b = 5(-\frac{6}{5}) + 2(\frac{9}{5}) = -6 + \frac{18}{5} = \frac{-30+18}{5} = -\frac{12}{5}$.

(D) ધારો કે રેખાઓ $L_1: (1+p)x - py + p(1+p) = 0$,$L_2: (1+q)x - qy + q(1+q) = 0$,અને $L_3: y = 0$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ નીચે મુજબ છે:
$A = (-p, 0)$,$B = (-q, 0)$,અને $C = (pq, (1+p)(1+q))$.
$C$ માંથી પસાર થતા વેધનું સમીકરણ $x = pq$ છે.
$B(-q, 0)$ માંથી પસાર થતા વેધનું સમીકરણ $px + (1+p)y + pq = 0$ મળે છે.
આ બંને સમીકરણો ઉકેલતા,આપણને $y = -pq$ મળે છે.
આમ,લંબકેન્દ્ર $(h, k) = (pq, -pq)$ છે.
તેથી,$k = -h$,જે રેખા $y = -x$ દર્શાવે છે.

(B) ગતિપથ $y = \frac{x^2}{2}$ આપેલ છે.
$t=0$ સમયે,કણ $(0, 0)$ પર $v = 1 \text{ m/s}$ ની ઝડપે છે.
$y = \frac{x^2}{2}$ નું $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$\frac{dy}{dt} = x \frac{dx}{dt}$ મળે,જેનો અર્થ છે $v_y = x v_x$.
ફરીથી $t$ ની સાપેક્ષમાં વિકલન કરતા,$a_y = v_x^2 + x a_x$ મળે.
$(A)$ જો $a_x = 1 \text{ m/s}^2$ અને કણ ઉગમબિંદુ $(x=0)$ પર હોય,તો $a_y = v_x^2 + (0)(1) = v_x^2$. ઝડપ $1 \text{ m/s}$ હોવાથી અને ઉગમબિંદુ પર $v_y = x v_x = 0$ હોવાથી,$v_x = 1 \text{ m/s}$ મળે. આમ,$a_y = 1^2 = 1 \text{ m/s}^2$. આ સાચું છે.
$(B)$ જો $a_x = 0$,તો $v_x$ અચળ રહે. $v_x(0) = 1 \text{ m/s}$ હોવાથી,દરેક $t$ માટે $v_x = 1 \text{ m/s}$. તેથી $a_y = v_x^2 + x a_x = 1^2 + x(0) = 1 \text{ m/s}^2$. આ સાચું છે.
$(C)$ $t=0$ સમયે,$x=0$. $v_y = x v_x$ હોવાથી,$v_y = 0 \cdot v_x = 0$. તેથી વેગ સદિશ $\vec{v} = v_x \hat{i} + 0 \hat{j}$ છે,જે $x$-દિશામાં છે. આ સાચું છે.
$(D)$ જો $a_x = 0$,તો $v_x = 1 \text{ m/s}$ અને $a_x = 0$. $a_y = v_x^2 + x a_x$ પરથી,$a_y = 1^2 + 0 = 1 \text{ m/s}^2$. $a_y$ અચળ હોવાથી,$v_y = a_y t = 1 \cdot t = t$. $t=1 \text{ s}$ સમયે,$v_y = 1 \text{ m/s}$. $x$-અક્ષ સાથેનો ખૂણો $\theta$ એ $\tan \theta = \frac{v_y}{v_x} = \frac{1}{1} = 1$ દ્વારા મળે છે,તેથી $\theta = 45^{\circ}$. આ સાચું છે.
તેથી,તમામ વિધાનો $(A), (B), (C), (D)$ સાચા છે.

(B) ધારો કે $A$ ના યામ $(a, a+2)$ અને $B$ ના યામ $(b, -2)$ છે.
બિંદુ $P(h, k)$ એ $AB$ ને $2:1$ ના ગુણોત્તરમાં વિભાજિત કરે છે.
વિભાજન સૂત્રનો ઉપયોગ કરતા: $h = \frac{2b+a}{3}$ અને $k = \frac{2(-2)+1(a+2)}{3} = \frac{a-2}{3}$.
$k = \frac{a-2}{3}$ પરથી,$a = 3k+2$ મળે.
$h = \frac{2b+a}{3}$ પરથી,$2b = 3h-a = 3h-3k-2$,તેથી $b = \frac{3h-3k-2}{2}$.
સળિયાની લંબાઈ $AB = 8$ છે,તેથી $AB^2 = 64$.
$(b-a)^2 + (-2-(a+2))^2 = 64$
$(\frac{3h-3k-2}{2} - (3k+2))^2 + (-4-a)^2 = 64$
$(\frac{3h-9k-6}{2})^2 + (-4-(3k+2))^2 = 64$
$\frac{9(h-3k-2)^2}{4} + (3k+6)^2 = 64$
$9(h^2+9k^2+4-6hk-4h+12k) + 4(9k^2+36k+36) = 256$
$9(h^2+9k^2-6hk-4h+12k+4+4k^2+16k+16) = 256$
$9(h^2+13k^2-6hk-4h+28k+20) = 256$
$9(h^2+13k^2-6hk-4h+28k) + 180 = 256$
$9(h^2+13k^2-6hk-4h+28k) - 76 = 0$.
$9(x^2+\alpha y^2+\beta xy+\gamma x+28y)-76=0$ સાથે સરખાવતા,$\alpha=13$,$\beta=-6$,$\gamma=-4$ મળે.
તેથી,$\alpha-\beta-\gamma = 13 - (-6) - (-4) = 13+6+4 = 23$.

(A) બિંદુ $(1, 2)$ માંથી પસાર થતી રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $y - 2 = m(x - 1)$ છે.
$x$-અંતઃખંડ (બિંદુ $P$) $(1 - \frac{2}{m}, 0)$ છે અને $y$-અંતઃખંડ (બિંદુ $Q$) $(0, 2 - m)$ છે.
ક્ષેત્રફળ ધન હોવું જોઈએ,તેથી આપણે અંતઃખંડોના મૂલ્યને ધ્યાનમાં લઈએ છીએ. પ્રથમ ચરણમાં ત્રિકોણ બનાવવા માટે $m$ ઋણ હોવો જોઈએ. ધારો કે $m = -k$ જ્યાં $k > 0$.
અંતઃખંડો $P = (1 + \frac{2}{k}, 0)$ અને $Q = (0, 2 + k)$ છે.
ક્ષેત્રફળ $A = \frac{1}{2} \times (1 + \frac{2}{k}) \times (2 + k) = \frac{1}{2} (4 + k + \frac{4}{k}) = 2 + \frac{k}{2} + \frac{2}{k}$.
$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$\frac{k}{2} + \frac{2}{k} \ge 2 \sqrt{\frac{k}{2} \times \frac{2}{k}} = 2$.
સમાનતા ત્યારે મળે છે જ્યારે $\frac{k}{2} = \frac{2}{k} \implies k^2 = 4 \implies k = 2$.
તેથી $m = -k$ હોવાથી,ઢાળ $m = -2$ થાય.

(A) આપેલ છે,$2a + b + 3c = 0$ ... $(i)$
અને રેખાનું સમીકરણ $ax + by + c = 0$ છે.
$c$ નો લોપ કરવા માટે,રેખાના સમીકરણને $3$ વડે ગુણતા:
$3ax + 3by + 3c = 0$ ... $(ii)$
સમીકરણ $(ii)$ માંથી સમીકરણ $(i)$ બાદ કરતા:
$(3ax + 3by + 3c) - (2a + b + 3c) = 0$
$(3x - 2)a + (3y - 1)b = 0$
આ સમીકરણ તમામ $a$ અને $b$ માટે સાચું હોવાથી,સહગુણકો શૂન્ય હોવા જોઈએ:
$3x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$
$3y - 1 = 0 \Rightarrow y = \frac{1}{3}$
તેથી,રેખા નિશ્ચિત બિંદુ $\left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right)$ માંથી પસાર થાય છે.

(B) ધારો કે $\triangle OAB$ ના શિરોબિંદુઓ $O(0, 0)$,$A(\cos \theta, \sin \theta)$ અને $B(\sin \theta, -\cos \theta)$ છે.
ધારો કે $\triangle OAB$ નું મધ્યકેન્દ્ર $(h, k)$ છે.
ત્રિકોણના મધ્યકેન્દ્રનું સૂત્ર $(h, k) = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ છે.
આપેલ યામો મૂકતા:
$h = \frac{0 + \cos \theta + \sin \theta}{3} \Rightarrow 3h = \cos \theta + \sin \theta$ ... $(i)$
$k = \frac{0 + \sin \theta - \cos \theta}{3} \Rightarrow 3k = \sin \theta - \cos \theta$ ... (ii)
બિંદુપથ શોધવા માટે,સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3h)^{2} + (3k)^{2} = (\cos \theta + \sin \theta)^{2} + (\sin \theta - \cos \theta)^{2}$
$9h^{2} + 9k^{2} = (\cos^{2} \theta + \sin^{2} \theta + 2\sin \theta \cos \theta) + (\sin^{2} \theta + \cos^{2} \theta - 2\sin \theta \cos \theta)$
$9h^{2} + 9k^{2} = 1 + 1 = 2$
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $9x^{2} + 9y^{2} = 2$ મળે છે.

(D) ધારો કે અક્ષો વચ્ચે કપાયેલા રેખાખંડના અંત્યબિંદુઓ $A(a, 0)$ અને $B(0, b)$ છે.
ધારો કે $AB$ નું મધ્યબિંદુ $P(x, y)$ છે.
તેથી,$x = \frac{a+0}{2} \Rightarrow a = 2x$ અને $y = \frac{0+b}{2} \Rightarrow b = 2y$.
આપેલ છે કે $a+b=4$.
આપેલ સમીકરણમાં $a$ અને $b$ ની કિંમતો મૂકતા,આપણને મળે છે:
$2x + 2y = 4$
$2$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x + y = 2$
આમ,મધ્યબિંદુનો બિંદુપથ $x+y=2$ છે.

(B) આપેલ છે કે $p, x_1, x_2, \ldots, x_n$ એ $a$ સામાન્ય તફાવત ધરાવતી સમાંતર શ્રેણી છે,તેથી $x_k = p + ka$. આમ,$x_1 = p+a$ અને $x_n = p+na$. $x_1, \ldots, x_n$ નો સમાંતર મધ્યક $\alpha = \frac{x_1 + x_n}{2} = \frac{2p + a(n+1)}{2} \quad (i)$.
તે જ રીતે,$q, y_1, \ldots, y_n$ માટે સામાન્ય તફાવત $b$ છે,તેથી $\beta = \frac{y_1 + y_n}{2} = \frac{2q + b(n+1)}{2} \quad (ii)$.
સમીકરણ $(i)$ અને $(ii)$ પરથી,$\frac{2(\alpha - p)}{a} = n+1$ અને $\frac{2(\beta - q)}{b} = n+1$.
તેથી,$\frac{2(\alpha - p)}{a} = \frac{2(\beta - q)}{b}$,જેનું સાદું રૂપ $b(\alpha - p) = a(\beta - q)$ થાય છે.
આમ,$P(\alpha, \beta)$ નો બિંદુપથ $b(x-p) = a(y-q)$ છે.

(D) આપેલ છે કે,$x = \tan \theta + \sin \theta$ અને $y = \tan \theta - \sin \theta$.
સમીકરણોનો સરવાળો અને બાદબાકી કરતા:
$\tan \theta = \frac{x + y}{2}$ અને $\sin \theta = \frac{x - y}{2}$.
હવે,ગુણાકાર $xy$ લેતા:
$xy = (\tan \theta + \sin \theta)(\tan \theta - \sin \theta) = \tan^2 \theta - \sin^2 \theta$.
$\tan^2 \theta = \frac{\sin^2 \theta}{\cos^2 \theta}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$xy = \sin^2 \theta \left(\frac{1}{\cos^2 \theta} - 1\right) = \sin^2 \theta \cdot \tan^2 \theta$.
વળી,$x^2 - y^2 = 4 \tan \theta \sin \theta$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x^2 - y^2)^2 = 16 \tan^2 \theta \sin^2 \theta$.
તેથી,$(x^2 - y^2)^2 = 16xy$.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે. $\triangle PAB$ નું ક્ષેત્રફળ નિશ્ચાયક સૂત્ર દ્વારા મળે છે:
$\frac{1}{2} |x(3-5) + 2(5-y) + (-4)(y-3)| = 12$
$\frac{1}{2} |-2x + 10 - 2y - 4y + 12| = 12$
$|-2x - 6y + 22| = 24$
$|x + 3y - 11| = 12$
આનો અર્થ એ છે કે $x + 3y - 11 = 12$ અથવા $x + 3y - 11 = -12$.
આમ,બિંદુપથ $(x + 3y - 23)(x + 3y + 1) = 0$ છે.
આનું વિસ્તરણ કરતા: $x^2 + 3xy + x + 3xy + 9y^2 + 3y - 23x - 69y - 23 = 0$
$x^2 + 6xy + 9y^2 - 22x - 66y - 23 = 0$.

(A) ધારો કે $P$ એ એક બિંદુ $(x, y)$ છે જે યામ અક્ષોથી સમાન અંતરે છે.
આનો અર્થ એ છે કે $|x| = |y|$,તેથી બિંદુ $y = x$ અથવા $y = -x$ રેખાઓ પર હોવું જોઈએ.
કિસ્સો $1$: $3x + 5y = 15$ અને $y = x$ નું છેદબિંદુ.
સમીકરણમાં $y = x$ મૂકતા: $3x + 5x = 15$ $\Rightarrow 8x = 15$ $\Rightarrow x = \frac{15}{8}$.
આમ,$y = \frac{15}{8}$. બિંદુ $(\frac{15}{8}, \frac{15}{8})$ છે,જે $1^{\text{st}}$ ચરણમાં છે.
કિસ્સો $2$: $3x + 5y = 15$ અને $y = -x$ નું છેદબિંદુ.
સમીકરણમાં $y = -x$ મૂકતા: $3x + 5(-x) = 15$ $\Rightarrow 3x - 5x = 15$ $\Rightarrow -2x = 15$ $\Rightarrow x = -\frac{15}{2}$.
આમ,$y = -(-\frac{15}{2}) = \frac{15}{2}$. બિંદુ $(-\frac{15}{2}, \frac{15}{2})$ છે,જે $2^{\text{nd}}$ ચરણમાં છે.
તેથી,બિંદુ $1^{\text{st}}$ અથવા $2^{\text{nd}}$ ચરણમાં આવેલું છે.

(A) ધારો કે ત્રીજું શિરોબિંદુ $B(x, y)$ છે. કર્ણના અંત્યબિંદુઓ $A(0, a)$ અને $C(a, 0)$ છે.
$\triangle ABC$ એ $B$ આગળ કાટકોણ ત્રિકોણ હોવાથી,$\angle ABC = 90^{\circ}$ થાય.
$AB$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{y-a}{x-0} = \frac{y-a}{x}$ છે.
$BC$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{y-0}{x-a} = \frac{y}{x-a}$ છે.
$AB \perp BC$ હોવાથી,તેમના ઢાળનો ગુણાકાર $-1$ થાય:
$\left(\frac{y-a}{x}\right) \times \left(\frac{y}{x-a}\right) = -1$
$y(y-a) = -x(x-a)$
$y^2 - ay = -x^2 + ax$
$x^2 + y^2 - ax - ay = 0$.

(C) ધારો કે યામ $A(x_1, y_1), B(x_2, y_2)$ અને $C(x_3, y_3)$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$x$-યામ અને $y$-યામ સમાન સામાન્ય ગુણોત્તર $r$ સાથે $GP$ માં છે.
ધારો કે $x_1 = a, x_2 = ar, x_3 = ar^2$ અને $y_1 = b, y_2 = br, y_3 = br^2$.
આમ,બિંદુઓ $A(a, b), B(ar, br)$ અને $C(ar^2, br^2)$ છે.
$AB$ નો ઢાળ $= \frac{br - b}{ar - a} = \frac{b(r - 1)}{a(r - 1)} = \frac{b}{a}$.
$BC$ નો ઢાળ $= \frac{br^2 - br}{ar^2 - ar} = \frac{br(r - 1)}{ar(r - 1)} = \frac{b}{a}$.
$AB$ નો ઢાળ $= BC$ નો ઢાળ હોવાથી,બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ સમરેખ છે.
તેથી,બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ એક સીધી રેખા પર આવેલા છે.

(B) રેખા $X$-અક્ષની ઋણ દિશા સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. તેથી,તે $X$-અક્ષની ધન દિશા સાથે $180^{\circ} - 60^{\circ} = 120^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે.
રેખાનો ઢાળ $m = \tan(120^{\circ}) = -\sqrt{3}$ છે.
રેખાખંડ $OP$ આ રેખાને લંબ છે,તેથી $OP$ નો ઢાળ $m' = -\frac{1}{m} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ થાય.
ધારો કે $P = (x, y)$. $OP$ એ $X$-અક્ષ સાથે $\theta$ ખૂણો બનાવે છે જ્યાં $\tan(\theta) = \frac{1}{\sqrt{3}}$,તેથી $\theta = 30^{\circ}$ અથવા $210^{\circ}$ મળે.
ધ્રુવીય યામનો ઉપયોગ કરતા,$x = r \cos(\theta)$ અને $y = r \sin(\theta)$ જ્યાં $r = 4$.
$\theta = 30^{\circ}$ માટે,$P = (4 \cos(30^{\circ}), 4 \sin(30^{\circ})) = (2\sqrt{3}, 2)$.
$\theta = 210^{\circ}$ માટે,$P = (-2\sqrt{3}, -2)$.
વિકલ્પો સાથે સરખાવતા,સાચો જવાબ $(2\sqrt{3}, 2)$ છે.

(A) ધારો કે $H(h, k)$ એ $\triangle ABC$ નું લંબકેન્દ્ર છે. લંબકેન્દ્ર એ વેધનું છેદબિંદુ છે. $B$ અને $C$ એ $y=x+\alpha$ રેખા પર આવેલા હોવાથી,રેખા $BC$ નો ઢાળ $1$ છે. $A(1, 2)$ માંથી $BC$ પર દોરેલો વેધ $BC$ ને લંબ હોય. તેથી,વેધ $AD$ નો ઢાળ $-1$ થાય. $A(1, 2)$ માંથી પસાર થતી અને $-1$ ઢાળ ધરાવતી વેધ $AD$ નું સમીકરણ $y-2 = -1(x-1)$ છે,જેનું સાદું રૂપ $y-2 = -x+1$ એટલે કે $x+y-3=0$ થાય. લંબકેન્દ્ર $H(h, k)$ આ વેધ પર આવેલું હોવાથી,તેનો બિંદુપથ $x+y-3=0$ છે.

(D) ધારો કે $\triangle OAB$ ના શિરોબિંદુઓના યામ $O(0,0)$,$A(a, 0)$,અને $B(0, b)$ છે.
સળિયા $AB$ ની લંબાઈ $4$ હોવાથી,$a^2 + b^2 = 4^2 = 16$ થાય.
ધારો કે $(x, y)$ એ $\triangle OAB$ નું મધ્યકેન્દ્ર છે.
તેથી,$x = \frac{0+a+0}{3} = \frac{a}{3} \implies a = 3x$.
અને $y = \frac{0+0+b}{3} = \frac{b}{3} \implies b = 3y$.
આ કિંમતોને $a^2 + b^2 = 16$ માં મૂકતા,આપણને $(3x)^2 + (3y)^2 = 16$ મળે.
$9x^2 + 9y^2 = 16$.
$x^2 + y^2 = \frac{16}{9}$.
આમ,મધ્યકેન્દ્રનો બિંદુપથ $x^2 + y^2 = \frac{16}{9}$ છે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે જે બિંદુઓ $A(2, 3)$ અને $B(4, 5)$ થી સમાન અંતરે છે.
અંતરના સૂત્ર મુજબ,$PA = PB$,તેથી $PA^2 = PB^2$.
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = (x-4)^2 + (y-5)^2$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$x^2 - 4x + 4 + y^2 - 6y + 9 = x^2 - 8x + 16 + y^2 - 10y + 25$
બંને બાજુથી $x^2$ અને $y^2$ દૂર કરતા:
$-4x - 6y + 13 = -8x - 10y + 41$
પદોને ગોઠવતા:
$8x - 4x + 10y - 6y = 41 - 13$
$4x + 4y = 28$
$4$ વડે ભાગતા:
$x + y = 7$

(B) ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ $(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$ હોય તો મધ્યકેન્દ્ર $(x, y) = (\frac{x_1 + x_2 + x_3}{3}, \frac{y_1 + y_2 + y_3}{3})$ થાય.
આપેલ શિરોબિંદુઓ $(1, 0)$,$(a \cos t, a \sin t)$ અને $(b \sin t, -b \cos t)$ છે.
તેથી,$x = \frac{1 + a \cos t + b \sin t}{3} \Rightarrow 3x - 1 = a \cos t + b \sin t$ ...$(i)$
અને $y = \frac{0 + a \sin t - b \cos t}{3} \Rightarrow 3y = a \sin t - b \cos t$ ...(ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) નો વર્ગ કરીને સરવાળો કરતા:
$(3x - 1)^2 + (3y)^2 = (a \cos t + b \sin t)^2 + (a \sin t - b \cos t)^2$
$9x^2 - 6x + 1 + 9y^2 = a^2 + b^2$
$9x^2 + 9y^2 - 6x = a^2 + b^2 - 1$
આમ,$k = a^2 + b^2 - 1$.

(D) આપેલ બિંદુઓ $A(2,3), B(3,-6), C(5,-7)$ છે.
ધારો કે બિંદુ $P(x, y)$ છે. શરત $PA^2+PB^2=2PC^2$ મુજબ:
$(x-2)^2+(y-3)^2+(x-3)^2+(y+6)^2 = 2[(x-5)^2+(y+7)^2]$
$(x^2-4x+4+y^2-6y+9) + (x^2-6x+9+y^2+12y+36) = 2[x^2-10x+25+y^2+14y+49]$
$2x^2+2y^2-10x+6y+58 = 2x^2+2y^2-20x+28y+148$
$-10x+6y+58 = -20x+28y+148$
$10x-22y = 90$
$5x-11y = 45$
વિકલ્પો તપાસતા:
$(-13, -10)$ માટે: $5(-13) - 11(-10) = -65 + 110 = 45$.
આમ,બિંદુ $(-13, -10)$ એ $P$ ના બિંદુગણ પર આવેલું છે.

(A) ધારો કે શિરોબિંદુ $C$ ના યામ $(h,k)$ છે.
$A(2,3)$,$B(3,-5)$ અને $C(h,k)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતા $\triangle ABC$ નું મધ્યકેન્દ્ર $G(x,y)$ નીચે મુજબ મળે:
$x = \frac{2+3+h}{3} = \frac{5+h}{3} \implies h = 3x-5$
$y = \frac{3-5+k}{3} = \frac{k-2}{3} \implies k = 3y+2$
મધ્યકેન્દ્ર $G(x,y)$ રેખા $2x+y-2=0$ પર હોવાથી,$x = \frac{h+5}{3}$ અને $y = \frac{k-2}{3}$ ને સમીકરણમાં મૂકતા:
$2(\frac{h+5}{3}) + (\frac{k-2}{3}) - 2 = 0$
$3$ વડે ગુણતા:
$2(h+5) + (k-2) - 6 = 0$
$2h + 10 + k - 2 - 6 = 0$
$2h + k + 2 = 0$
$(h,k)$ ને $(x,y)$ વડે બદલતા,$C$ નો બિંદુપથ $2x+y+2=0$ મળે છે.

(B) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે. $\triangle PAB$ નું ક્ષેત્રફળ,જેના શિરોબિંદુઓ $P(x, y)$,$A(4, 5)$ અને $B(-2, 3)$ છે,તે સૂત્ર દ્વારા મળે છે: $\text{Area} = \frac{1}{2} |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)| = 7$.
યામો મૂકતા: $\frac{1}{2} |x(5 - 3) + 4(3 - y) + (-2)(y - 5)| = 7$.
$\frac{1}{2} |2x + 12 - 4y - 2y + 10| = 7$.
$|2x - 6y + 22| = 14$.
$2$ વડે ભાગતા: $|x - 3y + 11| = 7$.
આ બે કિસ્સાઓ સૂચવે છે: $x - 3y + 11 = 7$ અથવા $x - 3y + 11 = -7$.
આ સમીકરણો બે સમાંતર રેખાઓ દર્શાવે છે: $x - 3y + 4 = 0$ અને $x - 3y + 18 = 0$.
આમ,બિંદુપથ એ સમાંતર રેખાઓની જોડી છે.

(D) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ છે કે $A = (a, 0)$ અને $B = (-a, 0)$.
અંતર $PA$ નો વર્ગ $PA^2 = (x - a)^2 + (y - 0)^2 = x^2 - 2ax + a^2 + y^2$ છે.
અંતર $PB$ નો વર્ગ $PB^2 = (x + a)^2 + (y - 0)^2 = x^2 + 2ax + a^2 + y^2$ છે.
પ્રશ્ન મુજબ,$PA^2 - PB^2 = a^2$.
સમીકરણમાં કિંમતો મૂકતા:
$(x^2 - 2ax + a^2 + y^2) - (x^2 + 2ax + a^2 + y^2) = a^2$.
સમીકરણનું સાદું રૂપ આપતા:
$-2ax - 2ax = a^2$.
$-4ax = a^2$.
$a \neq 0$ હોવાથી,$-a$ વડે ભાગતા:
$4x = -a$,અથવા $x = -\frac{a}{4}$.
આ $y$-અક્ષને સમાંતર એક સીધી રેખાનું સમીકરણ છે.

(D) ધારો કે $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
$P$ એ $A, B, C$ થી સમાન અંતરે હોવાથી,$PA^2 = PB^2$ અને $PB^2 = PC^2$ થાય.
$PA^2 = PB^2$ પરથી:
$(x-1)^2 + (y-3)^2 = (x+3)^2 + (y-5)^2$
$x^2 - 2x + 1 + y^2 - 6y + 9 = x^2 + 6x + 9 + y^2 - 10y + 25$
$8x - 4y + 24 = 0 \Rightarrow 2x - y + 6 = 0$ ... $(i)$
$PB^2 = PC^2$ પરથી:
$(x+3)^2 + (y-5)^2 = (x-5)^2 + (y+1)^2$
$16x - 12y + 8 = 0 \Rightarrow 4x - 3y + 2 = 0$ ... (ii)
સમીકરણ $(i)$ અને (ii) ઉકેલતા:
$x = -8$ અને $y = -10$ મળે.
આમ,$P$ ના યામ $(-8, -10)$ છે.
$PA = \sqrt{(-8-1)^2 + (-10-3)^2} = \sqrt{81 + 169} = \sqrt{250} = 5 \sqrt{10}$.

(C) ધારો કે રેખા $L$ એ $P(-5, -4)$ માંથી પસાર થાય છે અને તેનો ઢાળ $m = \tan \theta$ છે. રેખાનું પ્રચલિત સમીકરણ $\frac{x+5}{\cos \theta} = \frac{y+4}{\sin \theta} = r$ છે. તેથી,$x = -5 + r \cos \theta$ અને $y = -4 + r \sin \theta$.
રેખા $x-y-5=0$ પરના બિંદુ $Q$ માટે: $(-5 + PQ \cos \theta) - (-4 + PQ \sin \theta) - 5 = 0$ $\Rightarrow PQ(\cos \theta - \sin \theta) = 6$ $\Rightarrow \frac{6}{PQ} = \cos \theta - \sin \theta$.
$3$ વડે ગુણતા,$\frac{18}{PQ} = 3 \cos \theta - 3 \sin \theta$ ... $(i)$.
રેખા $x+3y+2=0$ પરના બિંદુ $R$ માટે: $(-5 + PR \cos \theta) + 3(-4 + PR \sin \theta) + 2 = 0$ $\Rightarrow PR(\cos \theta + 3 \sin \theta) = 15$ $\Rightarrow \frac{15}{PR} = \cos \theta + 3 \sin \theta$ ... $(ii)$.
આપેલ શરત $\frac{18}{PQ} + \frac{15}{PR} = 2$ માં $(i)$ અને $(ii)$ મૂકતા: $(3 \cos \theta - 3 \sin \theta) + (\cos \theta + 3 \sin \theta) = 2$ $\Rightarrow 4 \cos \theta = 2$ $\Rightarrow \cos \theta = \frac{1}{2}$.
તેથી,$\sin \theta = \pm \frac{\sqrt{3}}{2}$.
ઢાળ $m = \tan \theta = \frac{\sin \theta}{\cos \theta} = \pm \sqrt{3}$.

(D) આપેલ રેખા $L \equiv x-y-4=0$ છે. રેખા $L$ નો ઢાળ $m_1 = 1$ છે.
રેખા $PQ$ એ $L$ ને સમાંતર હોવાથી,તેનો ઢાળ પણ $m_1 = 1$ થશે.
બિંદુ $P(2, 1)$ માંથી પસાર થતી રેખા $PQ$ નું સમીકરણ $y-1 = 1(x-2)$ એટલે કે $y = x-1$ છે.
ધારો કે $Q$ એ $(x, x-1)$ છે. અંતર $PQ = 2\sqrt{3}$ છે.
અંતરના સૂત્ર મુજબ: $\sqrt{(x-2)^2 + ((x-1)-1)^2} = 2\sqrt{3}$.
$\sqrt{(x-2)^2 + (x-2)^2} = 2\sqrt{3} \Rightarrow \sqrt{2(x-2)^2} = 2\sqrt{3}$.
$|x-2|\sqrt{2} = 2\sqrt{3} \Rightarrow |x-2| = \sqrt{6}$.
તેથી,$x-2 = \sqrt{6}$ અથવા $x-2 = -\sqrt{6}$.
$x = 2+\sqrt{6}$ અથવા $x = 2-\sqrt{6}$.
$Q$ ત્રીજા ચરણમાં હોવાથી,બંને યામ ઋણ હોવા જોઈએ. $x = 2-\sqrt{6}$ માટે,$y = 1-\sqrt{6}$ મળે છે.
આમ,$Q = (2-\sqrt{6}, 1-\sqrt{6})$.
$L$ ને લંબ રેખાનો ઢાળ $m_2 = -1/m_1 = -1$ છે.
$Q$ માંથી પસાર થતી અને $-1$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ:
$y-(1-\sqrt{6}) = -1(x-(2-\sqrt{6}))$.
$y-1+\sqrt{6} = -x+2-\sqrt{6}$.
$x+y = 3-2\sqrt{6}$.

(B) ધારો કે બિંદુ $P(h, k)$ રેખા $3x + 5y = 15$ પર છે.
બિંદુ $P$ યામ અક્ષોથી સમાન અંતરે હોવાથી,$|h| = |k|$,જેનો અર્થ છે કે $h = k$ અથવા $h = -k$.
કિસ્સો $1$: જો $h = k$ હોય,તો $3h + 5h = 15$ $\Rightarrow 8h = 15$ $\Rightarrow h = \frac{15}{8}$. આમ,$P = (\frac{15}{8}, \frac{15}{8})$,જે પ્રથમ ચરણમાં છે.
કિસ્સો $2$: જો $h = -k$ હોય,તો $3h + 5(-h) = 15$ $\Rightarrow -2h = 15$ $\Rightarrow h = -\frac{15}{2}$. આમ,$k = \frac{15}{2}$,અને $P = (-\frac{15}{2}, \frac{15}{2})$,જે બીજા ચરણમાં છે.
તેથી,$P$ પ્રથમ અથવા બીજા ચરણમાં આવેલું છે.

(D) બિંદુ $(1,1)$ માંથી પસાર થતી અને $m$ ઢાળ ધરાવતી રેખાનું સમીકરણ $y - 1 = m(x - 1)$ છે.
રેખા ધન અક્ષોને $A$ અને $B$ માં છેદે છે,તેથી $A$ શોધવા માટે $y=0$ અને $B$ શોધવા માટે $x=0$ લેતા.
$A$ માટે,$0 - 1 = m(x - 1) \implies x - 1 = -\frac{1}{m} \implies x = 1 - \frac{1}{m}$. તેથી,$A = (1 - \frac{1}{m}, 0)$.
$B$ માટે,$y - 1 = m(0 - 1) \implies y - 1 = -m \implies y = 1 - m$. તેથી,$B = (0, 1 - m)$.
$A$ અને $B$ ધન અક્ષો પર હોવાથી,$1 - \frac{1}{m} > 0$ અને $1 - m > 0$. $m < 0$ હોવાથી,ધારો કે $m = -k$ જ્યાં $k > 0$.
તો $OA = 1 + \frac{1}{k}$ અને $OB = 1 + k$.
$OA + OB = 2 + k + \frac{1}{k}$.
$AM$-$GM$ અસમતા મુજબ,$k + \frac{1}{k} \ge 2\sqrt{k \cdot \frac{1}{k}} = 2$.
તેથી ન્યૂનતમ કિંમત $2 + 2 = 4$ થાય.

(D) ધારો કે રેખા $L$ બિંદુ $P(1, 5)$ માંથી પસાર થાય છે. ધારો કે રેખા $L$ એ $L_1: 5x - y - 4 = 0$ ને $A(x_1, y_1)$ માં અને $L_2: 3x + 4y - 4 = 0$ ને $B(x_2, y_2)$ માં છેદે છે.
$P(1, 5)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ હોવાથી,$x_1 + x_2 = 2$ અને $y_1 + y_2 = 10$ મળે.
$A$ એ $L_1$ પર હોવાથી,$5x_1 - y_1 - 4 = 0$,તેથી $y_1 = 5x_1 - 4$.
$B$ એ $L_2$ પર હોવાથી,$3x_2 + 4y_2 - 4 = 0$,તેથી $y_2 = 1 - \frac{3}{4}x_2$.
$x_2 = 2 - x_1$ અને $y_2 = 10 - y_1$ ને $B$ ના સમીકરણમાં મૂકતા:
$3(2 - x_1) + 4(10 - y_1) - 4 = 0 \implies 3x_1 + 4y_1 = 42$.
હવે $y_1 = 5x_1 - 4$ અને $3x_1 + 4y_1 = 42$ ને ઉકેલતા $x_1 = \frac{58}{23}$ અને $y_1 = \frac{198}{23}$ મળે.
રેખા $L$ નો ઢાળ $m = \frac{5 - \frac{198}{23}}{1 - \frac{58}{23}} = \frac{83}{35}$.
$L$ નું સમીકરણ $y - 5 = \frac{83}{35}(x - 1) \implies 83x - 35y + 92 = 0$.

(B) ધારો કે પરાવર્તન બિંદુ $B$ એ $(0, y)$ છે. પરાવર્તનના નિયમ મુજબ,આપાતકોણ = પરાવર્તનકોણ.
$B$ પરનો લંબ એ સમક્ષિતિજ રેખા $y = y_B$ છે. રેખા $AB$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{y-3}{0-2} = \frac{y-3}{-2}$ છે.
રેખા $BC$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{10-y}{5-0} = \frac{10-y}{5}$ છે.
લંબની સાપેક્ષમાં આપાતકોણ અને પરાવર્તનકોણ સમાન હોવાથી,ઢાળ એકબીજાના વિરોધી હોવા જોઈએ: $m_1 = -m_2$.
$\frac{y-3}{-2} = -\left(\frac{10-y}{5}\right)$
$\frac{y-3}{-2} = \frac{y-10}{5}$
$5(y-3) = -2(y-10)$
$5y - 15 = -2y + 20$
$7y = 35$
$y = 5$
આમ,$B$ ના યામ $(0, 5)$ છે.

(C) ધારો કે $LM$ એ $PQ$ નો $R$ આગળનો લંબદ્વિભાજક છે.
$PQ$ નું મધ્યબિંદુ $R$ નીચે મુજબ છે:
$R = \left(\frac{1+k}{2}, \frac{4+3}{2}\right) = \left(\frac{k+1}{2}, \frac{7}{2}\right)$
$PQ$ નો ઢાળ:
$m_{PQ} = \frac{3-4}{k-1} = \frac{-1}{k-1}$
$LM$ એ $PQ$ ને લંબ હોવાથી,$LM$ નો ઢાળ $(m_{LM})$:
$m_{LM} = -\frac{1}{m_{PQ}} = -\frac{1}{-1/(k-1)} = k-1$
$LM$ રેખાનું સમીકરણ,જેનો ઢાળ $(k-1)$ અને $y$-અંતઃખંડ $-4$ છે:
$y = (k-1)x - 4$
લંબદ્વિભાજક મધ્યબિંદુ $R\left(\frac{k+1}{2}, \frac{7}{2}\right)$ માંથી પસાર થાય છે,તેથી તે સમીકરણનું સમાધાન કરશે:
$\frac{7}{2} = (k-1)\left(\frac{k+1}{2}\right) - 4$
બંને બાજુ $2$ વડે ગુણતા:
$7 = (k-1)(k+1) - 8$
$7 = k^2 - 1 - 8$
$7 = k^2 - 9$
$k^2 = 16$
$k = \pm 4$
આમ,$k$ ની એક શક્ય કિંમત $-4$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $M$ એ $(a, a)$ છે કારણ કે તે $y=x$ રેખા પર આવેલું છે.
$PM + QM$ ના સરવાળાને ન્યૂનતમ કરવા માટે,જ્યાં $P(0,1)$ અને $Q(2,0)$ એ $y=x$ રેખાની એક જ બાજુએ છે,આપણે બિંદુ $P$ નું $y=x$ રેખા પર પ્રતિબિંબ લેતા $P'(1,0)$ મળે છે.
ન્યૂનતમ અંતર $PM + QM$ એ $P'Q$ અંતર જેટલું થાય છે જ્યારે $P', M, Q$ સમરેખ હોય.
$P'(1,0)$ અને $Q(2,0)$ માંથી પસાર થતી રેખા $x$-અક્ષ $(y=0)$ છે.
$M$ એ $y=x$ પર હોવું જોઈએ. $y=x$ અને $y=0$ નું છેદબિંદુ $(0,0)$ છે.

(A) ધારો કે બિંદુ $P$ એ $(x, y)$ છે.
રેખા $2x - 3y + 1 = 0$ થી $P$ નું અંતર $\frac{|2x - 3y + 1|}{\sqrt{2^2 + (-3)^2}} = 2$ દ્વારા મળે છે.
તેથી,$|2x - 3y + 1| = 2\sqrt{13}$.
બંને બાજુ વર્ગ કરતા,$(2x - 3y + 1)^2 = 52$.
$4x^2 + 9y^2 + 1 - 12xy + 4x - 6y = 52$.
$4x^2 - 12xy + 9y^2 + 4x - 6y - 51 = 0$ (સમીકરણ $1$).
બિંદુ $(5, 6)$ થી $P$ નું અંતર $\sqrt{13}$ છે,તેથી $(x - 5)^2 + (y - 6)^2 = 13$.
$x^2 + y^2 - 10x - 12y + 48 = 0$ (સમીકરણ $2$).
આ સમીકરણો ઉકેલતા,બિંદુપથ $4x^2 + 12xy - 5y^2 - 44x - 42y + 243 = 0$ મળે છે.

(A) ધારો કે $P$ ના યામ $(a, 0)$ અને $Q$ ના યામ $(0, b)$ છે.
રેખા $(2, 3)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
$(2, 3)$ બિંદુ રેખા પર હોવાથી,$\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$ મળે.
$OPRQ$ એ $O(0,0)$,$P(a,0)$,અને $Q(0,b)$ સાથેનો લંબચોરસ હોવાથી,$R$ ના યામ $(a, b)$ થાય.
ધારો કે $R = (x, y)$,તેથી $x = a$ અને $y = b$.
સમીકરણ $\frac{2}{a} + \frac{3}{b} = 1$ માં $a = x$ અને $b = y$ મૂકતા,આપણને $\frac{2}{x} + \frac{3}{y} = 1$ મળે.
$xy$ વડે ગુણતા,$2y + 3x = xy$ અથવા $3x + 2y = xy$ મળે.

(C) ધારો કે બિંદુ $P$ ના યામ $(x, y)$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} |x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)|$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે.
$\triangle PAB$ માટે: ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |2x - y - 2|$.
$\triangle PAC$ માટે: ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} |x + y - 1|$.
બંને ક્ષેત્રફળ સમાન હોવાથી,$|2x - y - 2| = |x + y - 1|$.
આથી $2x - y - 2 = x + y - 1$ અથવા $2x - y - 2 = -(x + y - 1)$.
સાદુરૂપ આપતા,$(x - 2y - 1)(x - 1) = 0$,એટલે કે $x^2 - 2xy - 2x + 2y + 1 = 0$.

(B) યામ અક્ષોથી સમાન અંતરે આવેલા બિંદુ $(x, y)$ નો બિંદુપથ $|x| = |y|$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,જેનો અર્થ $y = x$ અથવા $y = -x$ થાય છે.
આ બંને રેખાઓ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ પર છેદે છે.
રેખા $y = 3$ એ $y = x$ ને $(3, 3)$ પર અને $y = -x$ ને $(-3, 3)$ પર છેદે છે.
આ ત્રણ રેખાઓ $(0, 0)$,$(3, 3)$ અને $(-3, 3)$ શિરોબિંદુઓ ધરાવતો ત્રિકોણ બનાવે છે.
આ ત્રિકોણનો પાયો રેખા $y = 3$ પર છે અને તેની લંબાઈ $(-3, 3)$ અને $(3, 3)$ વચ્ચેનું અંતર છે,જે $|3 - (-3)| = 6$ છે.
ત્રિકોણની ઊંચાઈ ઉગમબિંદુ $(0, 0)$ થી રેખા $y = 3$ સુધીનું લંબ અંતર છે,જે $3$ છે.
ત્રિકોણનું ક્ષેત્રફળ $\frac{1}{2} \times \text{પાયો} \times \text{ઊંચાઈ} = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9$ થાય છે.

(A) ધારો કે $P = (h, k)$,$A = (1, 0)$,અને $B = (0, 1)$.
$AP$ નો ઢાળ $m_1 = \frac{k}{h-1}$ છે.
$BP$ નો ઢાળ $m_2 = \frac{k-1}{h}$ છે.
$AP$ અને $BP$ વચ્ચેનો ખૂણો $\theta = 45^{\circ}$ છે.
સૂત્ર $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\tan 45^{\circ} = \left| \frac{\frac{k}{h-1} - \frac{k-1}{h}}{1 + \left(\frac{k}{h-1}\right)\left(\frac{k-1}{h}\right)} \right|$
$1 = \left| \frac{h + k - 1}{h^2 + k^2 - h - k} \right|$
આના પરથી બે કિસ્સા મળે: $h^2 + k^2 - 2h - 2k + 1 = 0$ અથવા $h^2 + k^2 - 1 = 0$.
તેથી,બિંદુપથ $(x^2 + y^2 - 1)(x^2 + y^2 - 2x - 2y + 1) = 0$ છે.

(B) ધારો કે $P(x, y)$ એ $A(2, 3)$ અને $B(4, 5)$ થી સમાન અંતરે આવેલું બિંદુ છે.
સમાન અંતરની વ્યાખ્યા મુજબ,$PA = PB$,જેનો અર્થ છે કે $PA^2 = PB^2$.
$(x-2)^2 + (y-3)^2 = (x-4)^2 + (y-5)^2$
બંને બાજુ વિસ્તરણ કરતા:
$(x^2 - 4x + 4) + (y^2 - 6y + 9) = (x^2 - 8x + 16) + (y^2 - 10y + 25)$
બંને બાજુથી $x^2$ અને $y^2$ દૂર કરતા:
$-4x - 6y + 13 = -8x - 10y + 41$
પદોને એક બાજુ ગોઠવતા:
$4x + 4y = 28$
$4$ વડે ભાગતા,આપણને મળે છે:
$x + y = 7$

(D) ધારો કે $C$ એ ચલ બિંદુ છે અને $A, B$ એ બે નિશ્ચિત બિંદુઓ છે.
$\triangle ABC$ નું ક્ષેત્રફળ $= \frac{1}{2} \times AB \times \text{વેધ}$.
$AB$ નિશ્ચિત હોવાથી,નિશ્ચિત ક્ષેત્રફળ માટે વેધ સમાન રહેવો જોઈએ.
આ ત્યારે જ શક્ય છે જો બિંદુ $C$ એ રેખાખંડ $AB$ ને સમાંતર રેખા પર ગતિ કરે.
બિંદુ $C$ એ રેખા $AB$ ની બંને બાજુએ સમાન અંતરે હોઈ શકે છે,તેથી $C$ નો બિંદુપથ એ બે સમાંતર રેખાઓની જોડી છે,જે $AB$ ની બંને બાજુએ એક-એક આવેલી છે.

(B) આપેલ રેખાનું સમીકરણ: $x \cos \alpha + y \sin \alpha = p$ ...$(i)$
ધારો કે $P(h, k)$ એ યામ અક્ષો દ્વારા કપાયેલા રેખાખંડનું મધ્યબિંદુ છે.
જ્યારે $x = 0$,ત્યારે રેખા $y$-અક્ષને $y = \frac{p}{\sin \alpha}$ પર મળે છે. તેથી,બિંદુ $B$ એ $(0, \frac{p}{\sin \alpha})$ છે.
જ્યારે $y = 0$,ત્યારે રેખા $x$-અક્ષને $x = \frac{p}{\cos \alpha}$ પર મળે છે. તેથી,બિંદુ $A$ એ $(\frac{p}{\cos \alpha}, 0)$ છે.
મધ્યબિંદુ $P(h, k) = (\frac{p}{2 \cos \alpha}, \frac{p}{2 \sin \alpha})$ છે.
તેથી,$h = \frac{p}{2 \cos \alpha} \Rightarrow \cos \alpha = \frac{p}{2h}$ અને $k = \frac{p}{2 \sin \alpha} \Rightarrow \sin \alpha = \frac{p}{2k}$.
નિત્યસમ $\cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1$ નો ઉપયોગ કરતા:
$(\frac{p}{2h})^2 + (\frac{p}{2k})^2 = 1$
$\frac{p^2}{4h^2} + \frac{p^2}{4k^2} = 1$
$\frac{1}{h^2} + \frac{1}{k^2} = \frac{4}{p^2}$.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = \frac{4}{p^2}$ મળે છે.

(A) આપેલ છે કે,$P$ અને $Q$ એ ત્રિકોણની બાજુઓ $AB$ અને $BC$ ના મધ્યબિંદુઓ છે,જેના શિરોબિંદુઓ $A(1, 3)$,$B(3, 7)$ અને $C(7, 15)$ છે.
$P$ ના યામ = $\left(\frac{1+3}{2}, \frac{3+7}{2}\right) = (2, 5)$.
$Q$ ના યામ = $\left(\frac{3+7}{2}, \frac{7+15}{2}\right) = (5, 11)$.
ધારો કે $R$ ના યામ $(x, y)$ છે.
આપેલ શરત $AC^2 + QR^2 = PR^2$ છે,જેનો અર્થ $PR^2 - QR^2 = AC^2$ થાય છે.
$AC^2 = (7-1)^2 + (15-3)^2 = 6^2 + 12^2 = 36 + 144 = 180$.
$PR^2 - QR^2 = [(x-2)^2 + (y-5)^2] - [(x-5)^2 + (y-11)^2] = 180$.
$(x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25) - (x^2 - 10x + 25 + y^2 - 22y + 121) = 180$.
$(6x + 12y - 117) = 180$.
$6x + 12y = 297$.

(B) આપેલ રેખા $x \cos \theta + y \sin \theta = 1$ છે.
યામ અક્ષો સાથેના છેદબિંદુઓ મેળવવા માટે,આપણે અનુક્રમે $y = 0$ અને $x = 0$ લઈએ.
$y = 0$ માટે,$x = \frac{1}{\cos \theta}$,તેથી બિંદુ $A = (\frac{1}{\cos \theta}, 0)$.
$x = 0$ માટે,$y = \frac{1}{\sin \theta}$,તેથી બિંદુ $B = (0, \frac{1}{\sin \theta})$.
ધારો કે $(h, k)$ એ $AB$ નું મધ્યબિંદુ છે. તેથી $h = \frac{1}{2 \cos \theta}$ અને $k = \frac{1}{2 \sin \theta}$.
આનો અર્થ એ છે કે $\cos \theta = \frac{1}{2h}$ અને $\sin \theta = \frac{1}{2k}$.
નિત્યસમ $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને $(\frac{1}{2h})^2 + (\frac{1}{2k})^2 = 1$ મળે.
$\frac{1}{4h^2} + \frac{1}{4k^2} = 1$,જેનું સાદું રૂપ $\frac{1}{h^2} + \frac{1}{k^2} = 4$ થાય છે.
$(h, k)$ ને $(x, y)$ વડે બદલતા,બિંદુપથ $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{y^2} = 4$ મળે છે.

(C) ધારો કે $P(x, y)$ એ બિંદુ છે.
આપેલ છે કે $BP^2 - AP^2 = 121$.
બિંદુઓ $A(2, 5)$ અને $B(5, 11)$ ની કિંમતો મૂકતા:
$((x - 5)^2 + (y - 11)^2) - ((x - 2)^2 + (y - 5)^2) = 121$
$(x^2 - 10x + 25 + y^2 - 22y + 121) - (x^2 - 4x + 4 + y^2 - 10y + 25) = 121$
$(x^2 + y^2 - 10x - 22y + 146) - (x^2 + y^2 - 4x - 10y + 29) = 121$
$-6x - 12y + 117 = 121$
$-6x - 12y = 4$
$12y = -6x - 4$
$y = -\frac{6}{12}x - \frac{4}{12}$
$y = -\frac{1}{2}x - \frac{1}{3}$
આ સમીકરણ $y = mx + c$ સ્વરૂપમાં છે,જ્યાં ઢાળ $m = -\frac{1}{2}$ છે.

(A) આપેલ સમીકરણ $xy-4x-4y+16=0$ છે.
અવયવ પાડતા,$x(y-4)-4(y-4)=0$,જેનો અર્થ છે $(x-4)(y-4)=0$.
આમ,બે રેખાઓ $L_1: x=4$ અને $L_2: y=4$ છે.
ત્રીજી રેખા $L_3: x+y=5$ છે.
ત્રિકોણના શિરોબિંદુઓ આ રેખાઓના છેદબિંદુઓ છે:
$A = L_1 \cap L_2 = (4, 4)$
$B = L_1 \cap L_3 = (4, 1)$
$C = L_2 \cap L_3 = (1, 4)$
બાજુઓની લંબાઈ:
$c = AB = 3$
$a = BC = 3\sqrt{2}$
$b = CA = 3$
અંતઃકેન્દ્ર $I(x, y) = \left(\frac{ax_A+bx_B+cx_C}{a+b+c}, \frac{ay_A+by_B+cy_C}{a+b+c}\right)$.
કિંમતો મૂકતા:
$x = \frac{3\sqrt{2}(4) + 3(4) + 3(1)}{3\sqrt{2}+3+3} = \frac{4\sqrt{2}+5}{\sqrt{2}+2}$
$y = \frac{3\sqrt{2}(4) + 3(1) + 3(4)}{3\sqrt{2}+3+3} = \frac{4\sqrt{2}+5}{\sqrt{2}+2}$
તેથી $x=y$,એટલે કે અંતઃકેન્દ્રનો બિંદુપથ $x-y=0$ છે.

(A) ધારો કે $A$ ના યામ $(a, 0)$ અને $B$ ના યામ $(0, b)$ છે.
તેથી,બિંદુ $P$ ના યામ $(a, b)$ થાય.
આંતરછેદ સ્વરૂપમાં ચલ રેખાનું સમીકરણ $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$ છે.
આ રેખા $(l, m)$ માંથી પસાર થતી હોવાથી,$\frac{l}{a} + \frac{m}{b} = 1$ મળે.
$P(a, b)$ નો બિંદુપથ શોધવા માટે $a$ ને $x$ અને $b$ ને $y$ વડે બદલતા,આપણને $\frac{l}{x} + \frac{m}{y} = 1$ મળે છે.

(A) ધારો કે $Q = (3, 0)$ અને $R = (0, 4)$. બિંદુ $P(x, y)$ જે $Q$ અને $R$ થી સમાન અંતરે છે તેનો બિંદુપથ $PQ = PR$ દ્વારા મળે છે.
$\sqrt{(x-3)^2 + (y-0)^2} = \sqrt{(x-0)^2 + (y-4)^2}$
બંને બાજુ વર્ગ કરતા:
$(x-3)^2 + y^2 = x^2 + (y-4)^2$
$x^2 - 6x + 9 + y^2 = x^2 + y^2 - 8y + 16$
$-6x + 8y - 7 = 0 \Rightarrow 6x - 8y + 7 = 0$.
ધારો કે $A = (\alpha, \frac{6\alpha + 7}{8})$ અને $B = (\beta, \frac{6\beta + 7}{8})$.
બિંદુ $A$ માટે,$4\alpha = 3(\frac{6\alpha + 7}{8})$ $\Rightarrow 32\alpha = 18\alpha + 21$ $\Rightarrow 14\alpha = 21$ $\Rightarrow \alpha = \frac{3}{2}$.
તેથી,$A = (\frac{3}{2}, 2)$.
બિંદુ $B$ માટે,$\beta = \frac{6\beta + 7}{8}$ $\Rightarrow 8\beta = 6\beta + 7$ $\Rightarrow 2\beta = 7$ $\Rightarrow \beta = \frac{7}{2}$.
તેથી,$B = (\frac{7}{2}, \frac{7}{2})$.
અંતર $AB = \sqrt{(\frac{7}{2} - \frac{3}{2})^2 + (\frac{7}{2} - 2)^2} = \sqrt{(2)^2 + (\frac{3}{2})^2} = \sqrt{4 + \frac{9}{4}} = \sqrt{\frac{25}{4}} = \frac{5}{2}$.