Concurrency of three lines Questions in Hindi

(B) दी गई रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $(3x - 4y + 1) + k(5x + y - 1) = 0$ है।
इसे सरल करने पर $(3 + 5k)x + (k - 4)y + (1 - k) = 0$ प्राप्त होता है।
अक्षों पर अंतःखंड $x$-अंतःखंड $= \frac{k - 1}{3 + 5k}$ और $y$-अंतःखंड $= \frac{k - 1}{k - 4}$ हैं।
चूंकि अंतःखंड समान हैं,इसलिए $\frac{k - 1}{3 + 5k} = \frac{k - 1}{k - 4}$।
इसका अर्थ है या तो $k - 1 = 0$ या $\frac{1}{3 + 5k} = \frac{1}{k - 4}$।
यदि $k = 1$ है,तो समीकरण $8x - 3y = 0$ प्राप्त होता है,जो मूल बिंदु से गुजरती है।
यदि $k - 4 = 3 + 5k$ है,तो $4k = -7$,अर्थात $k = -7/4$।
$k = -7/4$ को समीकरण में रखने पर: $4(3x - 4y + 1) - 7(5x + y - 1) = 0$।
$12x - 16y + 4 - 35x - 7y + 7 = 0$।
$-23x - 23y + 11 = 0$,जिसे सरल करने पर $23x + 23y = 11$ प्राप्त होता है।

(B) तीन बिंदुओं $(x_1, y_1)$,$(x_2, y_2)$ और $(x_3, y_3)$ के संरेख होने के लिए,उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए।
वैकल्पिक रूप से,बिंदुओं के किन्हीं दो युग्मों के बीच की ढाल (slope) समान होनी चाहिए।
माना बिंदु $A(a, 0)$,$B(0, b)$ और $C(1, 1)$ हैं।
$AB$ की ढाल $= \frac{b - 0}{0 - a} = -\frac{b}{a}$.
$BC$ की ढाल $= \frac{1 - b}{1 - 0} = 1 - b$.
ढालों की तुलना करने पर: $-\frac{b}{a} = 1 - b$.
$-b = a(1 - b) \implies -b = a - ab$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $ab = a + b$.
दोनों पक्षों को $ab$ से विभाजित करने पर: $1 = \frac{a}{ab} + \frac{b}{ab}$.
अतः,$1 = \frac{1}{b} + \frac{1}{a}$ या $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = 1$.

(A) रेखाओं $ax + by + c = 0$ और $a'x + b'y + c' = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के परिवार का समीकरण $(ax + by + c) + \lambda(a'x + b'y + c') = 0$ है।
इसे $x(a + \lambda a') + y(b + \lambda b') + (c + \lambda c') = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि रेखा $y$-अक्ष के समानांतर है,इसलिए $y$ का गुणांक शून्य होना चाहिए।
अतः,$b + \lambda b' = 0$,जिसका अर्थ है $\lambda = -\frac{b}{b'}$.
इस $\lambda$ का मान समीकरण में रखने पर:
$x(a - \frac{b}{b'}a') + y(b - \frac{b}{b'}b') + (c - \frac{b}{b'}c') = 0$.
$b'$ से गुणा करने पर:
$x(ab' - a'b) + y(bb' - bb') + (cb' - bc') = 0$.
$x(ab' - a'b) + (cb' - bc') = 0$.

(B) दिया गया समीकरण $(2 \cos \theta + 3 \sin \theta) x + (3 \cos \theta - 5 \sin \theta) y - (5 \cos \theta - 2 \sin \theta) = 0$ है।
$\cos \theta$ और $\sin \theta$ के पदों को समूहित करने पर:
$\cos \theta (2x + 3y - 5) + \sin \theta (3x - 5y + 2) = 0$.
$\theta$ के सभी मानों के लिए इस समीकरण को सत्य होने के लिए,$\cos \theta$ और $\sin \theta$ के गुणांक स्वतंत्र रूप से शून्य होने चाहिए:
$2x + 3y - 5 = 0$ (समीकरण $1$)
$3x - 5y + 2 = 0$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ को $5$ से और समीकरण $2$ को $3$ से गुणा करने पर:
$10x + 15y - 25 = 0$
$9x - 15y + 6 = 0$
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर:
$19x - 19 = 0 \implies x = 1$.
$x = 1$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$2(1) + 3y - 5 = 0 \implies 3y = 3 \implies y = 1$.
अतः,निश्चित बिंदु $(1, 1)$ है।

(A) तीन रेखाएँ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$,और $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ संगामी होती हैं यदि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य हो:
$\begin{vmatrix} a & 2 & 1 \\ b & 3 & 1 \\ c & 4 & 1 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$a(3 - 4) - 2(b - c) + 1(4b - 3c) = 0$
$-a - 2b + 2c + 4b - 3c = 0$
$-a + 2b - c = 0$
$2b = a + c$
यह स्थिति दर्शाती है कि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं।

(A) चरण $1$: $y = x + 7$ और $x + 2y + 1 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।
$y = x + 7$ को $x + 2y + 1 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x + 2(x + 7) + 1 = 0$
$x + 2x + 14 + 1 = 0$
$3x = -15$
$x = -5$.
अतः $y = -5 + 7 = 2$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-5, 2)$ है।
चरण $2$: $5x - 2y + 7 = 0$ के लंबवत रेखा की ढाल ज्ञात कीजिए।
$5x - 2y + 7 = 0$ की ढाल $m_1 = -\frac{5}{-2} = \frac{5}{2}$ है।
लंबवत रेखा की ढाल $m_2 = -\frac{1}{m_1} = -\frac{2}{5}$ होगी।
चरण $3$: बिंदु $(-5, 2)$ और ढाल $m = -\frac{2}{5}$ का उपयोग करके रेखा का समीकरण $y - y_1 = m(x - x_1)$ प्राप्त कीजिए।
$y - 2 = -\frac{2}{5}(x + 5)$
$5(y - 2) = -2(x + 5)$
$5y - 10 = -2x - 10$
$2x + 5y = 0$.

(A) दो रेखाओं $L_1: x + y - 2 = 0$ और $L_2: 2x - y + 1 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $L_1 + \lambda L_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(x + y - 2) + \lambda(2x - y + 1) = 0$.
चूंकि रेखा मूल बिंदु $(0, 0)$ से गुजरती है,हम समीकरण में $x = 0$ और $y = 0$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(0 + 0 - 2) + \lambda(0 - 0 + 1) = 0$
$-2 + \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 2$.
अब $\lambda = 2$ को समीकरण में रखने पर:
$(x + y - 2) + 2(2x - y + 1) = 0$
$x + y - 2 + 4x - 2y + 2 = 0$
$5x - y = 0$.

(A) मान लीजिए चौथे चतुर्थांश में प्रतिच्छेदन बिंदु $(\alpha, -\alpha)$ है,जहाँ $\alpha > 0$ है।
चूँकि यह बिंदु दोनों रेखाओं $4ax + 2ay + c = 0$ और $5bx + 2by + d = 0$ पर स्थित है,हम निर्देशांक प्रतिस्थापित करते हैं:
पहली रेखा के लिए: $4a(\alpha) + 2a(-\alpha) + c = 0$ $\Rightarrow 2a\alpha + c = 0$ $\Rightarrow \alpha = -\frac{c}{2a}$।
दूसरी रेखा के लिए: $5b(\alpha) + 2b(-\alpha) + d = 0$ $\Rightarrow 3b\alpha + d = 0$ $\Rightarrow \alpha = -\frac{d}{3b}$।
$\alpha$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$-\frac{c}{2a} = -\frac{d}{3b}$।
वज्र-गुणन करने पर $3bc = 2ad$ प्राप्त होता है,जिसे $3bc - 2ad = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।

(B) दिया गया समीकरण $(2 + k)x + (1 + k)y = 5 + 7k$ है।
$k$ को अलग करने के लिए पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$2x + kx + y + ky = 5 + 7k$
$(2x + y - 5) + k(x + y - 7) = 0$
यह रेखाओं $2x + y - 5 = 0$ और $x + y - 7 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का एक परिवार है।
इन दो समीकरणों को हल करने पर:
$2x + y = 5$
$x + y = 7$
पहले समीकरण में से दूसरा घटाने पर: $(2x - x) + (y - y) = 5 - 7$,जिससे $x = -2$ प्राप्त होता है।
$x = -2$ को $x + y = 7$ में रखने पर: $-2 + y = 7$,अतः $y = 9$।
इस प्रकार,सभी रेखाएँ बिंदु $(-2, 9)$ से होकर गुजरती हैं।

(D) रेखा का दिया गया समीकरण $ax + by + c = 0$ है।
हमें शर्त $3a + 2b + 4c = 0$ दी गई है।
इस शर्त को $4$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{3}{4}a + \frac{2}{4}b + c = 0$ प्राप्त होता है,जो सरल होकर $\frac{3}{4}a + \frac{1}{2}b + c = 0$ हो जाता है।
इसकी तुलना समीकरण $ax + by + c = 0$ से करने पर,हम देख सकते हैं कि $a, b, c$ के सभी मानों के लिए रेखाएँ एक निश्चित बिंदु $(x, y) = (3/4, 1/2)$ से होकर गुजरती हैं।
अतः,रेखाएँ बिंदु $(3/4, 1/2)$ पर संगामी हैं।

(C) रैखिक समीकरण निकाय $a_1 x + b_1 y = c_1$ और $a_2 x + b_2 y = c_2$ का कोई हल न होने की शर्त $\frac{a_1}{a_2} = \frac{b_1}{b_2} \neq \frac{c_1}{c_2}$ है।
दिए गए समीकरण $a^2 x + (2 - a) y = 4 + a^2$ और $a x + (2 a - 1) y = a^5 - 2$ हैं।
शर्त लागू करने पर: $\frac{a^2}{a} = \frac{2 - a}{2a - 1} \neq \frac{4 + a^2}{a^5 - 2}$।
$\frac{a^2}{a} = \frac{2 - a}{2a - 1}$ से ($a \neq 0$ मानते हुए): $a = \frac{2 - a}{2a - 1} \implies 2a^2 - a = 2 - a \implies 2a^2 = 2 \implies a^2 = 1 \implies a = 1$ या $a = -1$।
स्थिति $1$: यदि $a = 1$ है,तो अनुपात $\frac{1}{1} = \frac{1}{1} \neq \frac{5}{-1}$ है,जो सत्य है।
स्थिति $2$: यदि $a = -1$ है,तो अनुपात $\frac{1}{-1} = \frac{3}{-3} \neq \frac{5}{-3}$ है,जो सत्य है।
यदि $a = 0$ है,तो समीकरण $2y = 4$ और $-y = -2$ बन जाते हैं,जिससे $y = 2$ प्राप्त होता है,अतः $a=0$ हल नहीं है।
इसलिए,$a$ के $2$ मानों के लिए समीकरण निकाय का कोई हल नहीं है।

(C) मान लीजिए कि $H.P.$ का $k$-वां पद $x_k$ है। परिभाषा के अनुसार,$\frac{1}{x_k}$ एक $A.P.$ का $k$-वां पद है।
मान लीजिए $a_k = \frac{1}{x_k} = a + (k-1)d$,जहाँ $a$ प्रथम पद है और $d$ सार्व अंतर है।
बिंदुओं के निर्देशांक $P(a_p, p)$,$Q(a_q, q)$,और $R(a_r, r)$ हैं।
रेखाखंड $PQ$ की ढाल $m_{PQ} = \frac{q - p}{a_q - a_p} = \frac{q - p}{(a + (q-1)d) - (a + (p-1)d)} = \frac{q - p}{(q - p)d} = \frac{1}{d}$ है।
रेखाखंड $QR$ की ढाल $m_{QR} = \frac{r - q}{a_r - a_q} = \frac{r - q}{(a + (r-1)d) - (a + (q-1)d)} = \frac{r - q}{(r - q)d} = \frac{1}{d}$ है।
चूंकि ढाल $m_{PQ} = m_{QR} = \frac{1}{d}$ समान है,इसलिए बिंदु $P, Q,$ और $R$ एक ही रेखा पर स्थित हैं।
अतः,बिंदु $P, Q, R$ संरेख हैं।

(D) रेखाओं के संगामी होने के लिए,गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$D = \begin{vmatrix} a & am & 1 \\ b & b(m+1) & 1 \\ c & c(m+2) & 1 \end{vmatrix} = 0$
स्तंभ संक्रिया $C_2 \to C_2 - mC_1$ लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} a & 0 & 1 \\ b & b & 1 \\ c & 2c & 1 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$a(b - 2c) - 0 + 1(2bc - bc) = 0$
$ab - 2ac + bc = 0$
$b(a + c) = 2ac$
$b = \frac{2ac}{a + c}$
यह दर्शाता है कि $a, b, c$ सभी $m \neq 0$ के लिए $H.P.$ में हैं।

(A) $x^2 + 8x - 20 = 0$ के लिए,मूल $x = 2, -10$ हैं। अतः,$(x_1, y_1) = (2, -10)$ है।
$4x^2 + 32x - 57 = 0$ के लिए,मूल $x = \frac{3}{2}, -\frac{19}{2}$ हैं। अतः,$(x_2, y_2) = (\frac{3}{2}, -\frac{19}{2})$ है।
$9x^2 + 72x - 112 = 0$ के लिए,मूल $x = \frac{4}{3}, -\frac{28}{3}$ हैं। अतः,$(x_3, y_3) = (\frac{4}{3}, -\frac{28}{3})$ है।
संरेखता की जाँच करने के लिए,$A(2, -10)$ और $B(\frac{3}{2}, -\frac{19}{2})$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करते हैं।
ढाल $m = \frac{-\frac{19}{2} - (-10)}{\frac{3}{2} - 2} = -1$ है।
समीकरण: $y + 10 = -1(x - 2) \implies x + y = -8$ है।
अब,जाँचें कि क्या $C(\frac{4}{3}, -\frac{28}{3})$ समीकरण $x + y = -8$ को संतुष्ट करता है:
$\frac{4}{3} + (-\frac{28}{3}) = -\frac{24}{3} = -8$ है।
चूँकि बिंदु $C$ समीकरण को संतुष्ट करता है,इसलिए बिंदु संरेख हैं।

(A) रेखाओं के संगामी होने के लिए,गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & 1 & -1 \\ m - 1 & m^2 - 7 & -5 \\ m - 2 & 2m - 5 & 0 \end{vmatrix} = 0$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$-(m - 2) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ m^2 - 7 & -5 \end{vmatrix} + (2m - 5) \begin{vmatrix} 1 & -1 \\ m - 1 & -5 \end{vmatrix} = 0$
$-(m - 2)(-5 + m^2 - 7) + (2m - 5)(-5 + m - 1) = 0$
$-(m - 2)(m^2 - 12) + (2m - 5)(m - 6) = 0$
$-m^3 + 8m^2 - 5m + 6 = 0 \implies m^3 - 8m^2 + 5m - 6 = 0$
$m=3$ के लिए जाँच करने पर,रेखाएँ $x+y-1=0$,$2x+2y-5=0$ और $x+y=0$ प्राप्त होती हैं। यहाँ $x+y-1=0$ और $x+y=0$ समांतर रेखाएँ हैं,इसलिए वे कभी प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। अतः,$m$ का कोई मान संभव नहीं है।

(B) तीन रेखाओं के संगामी होने के लिए,उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left| \begin{array}{ccc} a & 1 & 1 \\ 1 & b & 1 \\ 1 & 1 & c \end{array} \right| = 0$
स्तंभ संक्रियाएँ $C_2 \to C_2 - C_1$ और $C_3 \to C_3 - C_1$ लागू करने पर:
$\left| \begin{array}{ccc} a & 1-a & 1-a \\ 1 & b-1 & 0 \\ 1 & 0 & c-1 \end{array} \right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$a(b-1)(c-1) - (1-a)(c-1) - (1-a)(b-1) = 0$
पूरे समीकरण को $(1-a)(1-b)(1-c)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{a(b-1)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(c-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} - \frac{(1-a)(b-1)}{(1-a)(1-b)(1-c)} = 0$
$-\frac{a}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 0$
चूँकि $-\frac{a}{1-a} = \frac{1-a-1}{1-a} = \frac{1}{1-a} - 1$,इस मान को समीकरण में रखने पर:
$(\frac{1}{1-a} - 1) + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 0$
$\frac{1}{1-a} + \frac{1}{1-b} + \frac{1}{1-c} = 1$

(A) दिए गए समीकरण:
$2x + 3y = -1$ $(1)$
$3x + y = 2$ $(2)$
$\lambda x + 2y = \mu$ $(3)$
सबसे पहले,समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करके प्रतिच्छेदन बिंदु $(x, y)$ ज्ञात करें।
समीकरण $(2)$ से,$y = 2 - 3x$ प्राप्त होता है।
इस मान को समीकरण $(1)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2x + 3(2 - 3x) = -1$
$2x + 6 - 9x = -1$
$-7x = -7 \Rightarrow x = 1$।
अब,$y$ का मान ज्ञात करें:
$y = 2 - 3(1) = -1$।
चूंकि निकाय संगत है,इसलिए बिंदु $(1, -1)$ तीसरे समीकरण $(3)$ को संतुष्ट करेगा:
$\lambda(1) + 2(-1) = \mu$
$\lambda - 2 = \mu$
$\lambda - \mu = 2$।

(C) दी गई रेखाएँ संगामी होती हैं यदि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य हो:
$\begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(3bc - 4bc) - 1(2ac - 4ac) + 1(2ab - 3ab) = 0$
$-bc + 2ac - ab = 0$
$2ac = ab + bc$
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $a, b, c \neq 0$):
$\frac{2ac}{abc} = \frac{ab}{abc} + \frac{bc}{abc}$
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
यह शर्त दर्शाती है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

(B) दी गई रेखाएँ $y = x + 9\alpha$ और $3\alpha x + 2y + 9 = 0$ हैं।
पहले समीकरण से $y$ का मान दूसरे समीकरण में रखने पर:
$3\alpha x + 2(x + 9\alpha) + 9 = 0$
$x(3\alpha + 2) = -18\alpha - 9$
$x = \frac{-18\alpha - 9}{3\alpha + 2} = -6 + \frac{3}{3\alpha + 2}$
$x$ के पूर्णांक होने के लिए,$(3\alpha + 2)$ को $3$ का विभाजक होना चाहिए।
$3$ के विभाजक $\pm 1, \pm 3$ हैं।
केवल $\alpha = -1$ के लिए $x$ एक पूर्णांक प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha$ का $1$ पूर्णांक मान संभव है।

(C) दी गई रेखाएँ संगामी होंगी यदि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य हो:
$\left|\begin{array}{lll} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{array}\right| = 0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(3bc - 4bc) - 1(2ac - 4ac) + 1(2ab - 3ab) = 0$
$-bc + 2ac - ab = 0$
$2ac = ab + bc$
$2ac = b(a + c)$
$b = \frac{2ac}{a + c}$
यह स्थिति दर्शाती है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी $(H.P.)$ में हैं।

(C) माना बिंदु $A\left( 0, \frac{8}{3} \right)$,$B(1, 3)$ और $C(82, 30)$ हैं।
$AB$ की ढाल = $\frac{3 - \frac{8}{3}}{1 - 0} = \frac{\frac{9-8}{3}}{1} = \frac{1}{3}$.
$BC$ की ढाल = $\frac{30 - 3}{82 - 1} = \frac{27}{81} = \frac{1}{3}$.
चूंकि $AB$ की ढाल और $BC$ की ढाल समान है और वे एक उभयनिष्ठ बिंदु $B$ साझा करते हैं,इसलिए बिंदु $A$,$B$ और $C$ संरेख हैं,जिसका अर्थ है कि वे एक सीधी रेखा पर स्थित हैं।

(C) दी गई रेखाएँ हैं:
$L_1: x + 2ay + a = 0$ $(1)$
$L_2: x + 3by + b = 0$ $(2)$
$L_3: x + 4ay + a = 0$ $(3)$
चूँकि रेखाएँ संगामी हैं,वे एक उभयनिष्ठ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
समीकरण $(3)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$(x + 4ay + a) - (x + 2ay + a) = 0$
$2ay = 0$
चूँकि रेखाएँ भिन्न हैं,$a \neq 0$,इसलिए $y = 0$ है।
समीकरण $(1)$ में $y = 0$ रखने पर:
$x + 2a(0) + a = 0 \Rightarrow x = -a$.
संगामी बिंदु $(-a, 0)$ है।
चूँकि यह बिंदु रेखा $(2)$ पर स्थित होना चाहिए:
$-a + 3b(0) + b = 0$
$-a + b = 0 \Rightarrow b = a$.
बिंदु $(a, b)$ समीकरण $y = x$ को संतुष्ट करता है,जो एक सरल रेखा को दर्शाता है।

(C) दी गई रेखाएँ हैं:
$ax + 2by + 3b = 0$ $(1)$
$bx - 2ay - 3a = 0$ $(2)$
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$(1)$ को $a$ से और $(2)$ को $b$ से गुणा करें:
$a^2x + 2aby + 3ab = 0$
$b^2x - 2aby - 3ab = 0$
इन समीकरणों को जोड़ने पर: $(a^2 + b^2)x = 0$। चूँकि $(a, b) \neq (0, 0)$,इसलिए $a^2 + b^2 \neq 0$,अतः $x = 0$।
$(1)$ में $x = 0$ रखने पर: $2by = -3b$। अतः $y = -3/2$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, -3/2)$ है।
$x-$ अक्ष के समांतर रेखा का समीकरण $y = k$ होता है। चूँकि यह $(0, -3/2)$ से गुजरती है,इसलिए समीकरण $y = -3/2$ है।
यह रेखा $x-$ अक्ष के नीचे $3/2$ की दूरी पर स्थित है।

(A) रेखा का समीकरण $px + qy + r = 0$ और शर्त $3p + 2q + 4r = 0$ दी गई है।
शर्त से,हम लिख सकते हैं $r = -\frac{3p + 2q}{4}$।
इसे रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$px + qy - \frac{3p + 2q}{4} = 0$
$4px + 4qy - 3p - 2q = 0$
$p$ और $q$ के पदों को व्यवस्थित करने पर:
$p(4x - 3) + q(4y - 2) = 0$
सभी $p$ और $q$ के लिए इसे सत्य होने हेतु,गुणांक शून्य होने चाहिए:
$4x - 3 = 0 \implies x = \frac{3}{4}$
$4y - 2 = 0 \implies y = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$
अतः,सभी रेखाएँ एक निश्चित बिंदु $\left( \frac{3}{4}, \frac{1}{2} \right)$ से होकर गुजरती हैं,जिसका अर्थ है कि वे इस बिंदु पर संगामी हैं।

(B) त्रिभुज के शीर्षों $(3, -1), (1, 3)$ और $(2, 4)$ के लिए केंद्रक $C = (\frac{3+1+2}{3}, \frac{-1+3+4}{3}) = (2, 2).$
रेखाओं $x + 3y - 1 = 0$ और $3x - y + 1 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $P = (-\frac{1}{5}, \frac{2}{5}).$
$C(2, 2)$ और $P(-\frac{1}{5}, \frac{2}{5})$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $8x - 11y + 6 = 0$ है।
इस समीकरण में $(-9, -6)$ बिंदु रखने पर: $8(-9) - 11(-6) + 6 = -72 + 66 + 6 = 0.$
अतः,रेखा $(-9, -6)$ से गुजरती है।

यह दर्शाने के लिए कि बिंदु $(3,0), (-2,-2)$ और $(8,2)$ संरेख हैं,यह दिखाना पर्याप्त है कि बिंदुओं $(3,0)$ और $(-2,-2)$ से होकर जाने वाली रेखा बिंदु $(8,2)$ से भी होकर गुजरती है।
बिंदुओं $(3,0)$ और $(-2,-2)$ से होकर जाने वाली रेखा का समीकरण:
$(y - 0) = \frac{-2 - 0}{-2 - 3}(x - 3)$
$y = \frac{-2}{-5}(x - 3)$
$y = \frac{2}{5}(x - 3)$
$5y = 2x - 6$
$2x - 5y = 6$
अब,हम जाँचते हैं कि क्या बिंदु $(8,2)$ इस समीकरण को संतुष्ट करता है:
$L.H.S. = 2(8) - 5(2) = 16 - 10 = 6$
चूँकि $L.H.S. = R.H.S. = 6$ है,इसलिए बिंदु $(8,2)$ उस रेखा पर स्थित है जो $(3,0)$ और $(-2,-2)$ से होकर गुजरती है।
अतः,बिंदु $(3,0), (-2,-2)$ और $(8,2)$ संरेख हैं।

(B) तीन रेखाएँ संगामी होती हैं यदि वे एक उभयनिष्ठ बिंदु से होकर गुजरती हैं,जिसका अर्थ है कि किन्हीं दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु तीसरी रेखा पर स्थित होता है।
दी गई रेखाएँ हैं:
$2x + y - 3 = 0$ $(1)$
$5x + ky - 3 = 0$ $(2)$
$3x - y - 2 = 0$ $(3)$
$(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(2x + y - 3) + (3x - y - 2) = 0$
$5x - 5 = 0 \implies x = 1$
$x = 1$ को $(1)$ में रखने पर:
$2(1) + y - 3 = 0 \implies y = 1$
प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।
चूँकि रेखाएँ संगामी हैं,बिंदु $(1, 1)$ समीकरण $(2)$ को संतुष्ट करेगा:
$5(1) + k(1) - 3 = 0$
$5 + k - 3 = 0$
$k + 2 = 0 \implies k = -2$

(N/A) $y-$ अक्ष के समांतर किसी भी रेखा का समीकरण $x=a$ $(1)$ के रूप में होता है।
दी गई दो रेखाएँ $x-7y+5=0$ $(2)$ और $3x+y=0$ $(3)$ हैं।
समीकरण $(3)$ से,हमें $y = -3x$ प्राप्त होता है।
$y = -3x$ को समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$x - 7(-3x) + 5 = 0$
$x + 21x + 5 = 0$
$22x = -5$
$x = -\frac{5}{22}$.
चूँकि रेखा $x=a$ प्रतिच्छेदन बिंदु से होकर गुजरती है,इसलिए $a$ का मान प्रतिच्छेदन बिंदु का $x-$ निर्देशांक होगा।
अतः,अभीष्ट रेखा का समीकरण $x = -\frac{5}{22}$ या $22x + 5 = 0$ है।

(A) दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
$3x + y - 2 = 0$ ...... $(1)$
$px + 2y - 3 = 0$ ...... $(2)$
$2x - y - 3 = 0$ ...... $(3)$
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,समीकरण $(1)$ और $(3)$ को हल करें:
समीकरण $(1)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$(3x + y - 2) + (2x - y - 3) = 0$
$5x - 5 = 0$
$x = 1$
$x = 1$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$3(1) + y - 2 = 0$
$3 + y - 2 = 0$
$y + 1 = 0$
$y = -1$
प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, -1)$ है।
चूँकि तीनों रेखाएँ संगामी हैं,बिंदु $(1, -1)$ समीकरण $(2)$ को संतुष्ट करेगा:
$p(1) + 2(-1) - 3 = 0$
$p - 2 - 3 = 0$
$p - 5 = 0$
$p = 5$
अतः,$p$ का अभीष्ट मान $5$ है।

(A) दी गई रेखाओं के समीकरण:
$y=m_{1}x+c_{1}$ ... $(1)$
$y=m_{2}x+c_{2}$ ... $(2)$
$y=m_{3}x+c_{3}$ ... $(3)$
समीकरण $(1)$ को $(2)$ से घटाने पर:
$0 = (m_{2}-m_{1})x + (c_{2}-c_{1})$
$(m_{1}-m_{2})x = c_{2}-c_{1}$
$x = \frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}$
$x$ का यह मान $(1)$ में रखने पर:
$y = m_{1}\left(\frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right) + c_{1}$
$y = \frac{m_{1}c_{2}-m_{2}c_{1}}{m_{1}-m_{2}}$
अतः,रेखाओं $(1)$ और $(2)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $\left(\frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}, \frac{m_{1}c_{2}-m_{2}c_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right)$ है।
चूँकि रेखाएँ संगामी हैं,यह बिंदु समीकरण $(3)$ को संतुष्ट करेगा:
$\frac{m_{1}c_{2}-m_{2}c_{1}}{m_{1}-m_{2}} = m_{3}\left(\frac{c_{2}-c_{1}}{m_{1}-m_{2}}\right) + c_{3}$
$m_{1}c_{2}-m_{2}c_{1} = m_{3}(c_{2}-c_{1}) + c_{3}(m_{1}-m_{2})$
$m_{1}(c_{2}-c_{3}) + m_{2}(c_{3}-c_{1}) + m_{3}(c_{1}-c_{2}) = 0$.

(D) तीन रेखाएँ त्रिभुज नहीं बनाती हैं यदि वे संगामी हों या उनमें से कोई भी दो रेखाएँ समांतर हों।
स्थिति-$1$: रेखाएँ संगामी हैं।
संगामी होने की शर्त यह है कि गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 2 & -1 & 3 \\ 6 & 3 & 1 \\ \alpha & 2 & -2 \end{vmatrix} = 0$
$2(-6 - 2) - (-1)(-12 - \alpha) + 3(12 - 3\alpha) = 0$
$-16 - 12 - \alpha + 36 - 9\alpha = 0$
$8 - 10\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{4}{5}$.
स्थिति-$2$: दो रेखाएँ समांतर हैं।
रेखा $L_1: 2x - y + 3 = 0$ (ढाल $m_1 = 2$)
रेखा $L_2: 6x + 3y + 1 = 0$ (ढाल $m_2 = -2$)
रेखा $L_3: \alpha x + 2y - 2 = 0$ (ढाल $m_3 = -\frac{\alpha}{2}$)
$L_3$,$L_1$ के समांतर है यदि $-\frac{\alpha}{2} = 2 \Rightarrow \alpha = -4$.
$L_3$,$L_2$ के समांतर है यदि $-\frac{\alpha}{2} = -2 \Rightarrow \alpha = 4$.
$\alpha$ के मान $\frac{4}{5}, 4, -4$ हैं।
वर्गों का योग $p = (\frac{4}{5})^2 + (4)^2 + (-4)^2 = \frac{16}{25} + 16 + 16 = 32.64$.
$p$ से छोटा या उसके बराबर का महत्तम पूर्णांक $[32.64] = 32$ है।

(B) रेखाएँ $L_1: x+3y-5=0$,$L_2: 3x-ky-1=0$,और $L_3: 5x+2y-12=0$ हैं।
$(A)$ संगामी होने के लिए,रेखाओं को एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करना चाहिए। $L_1$ और $L_3$ को हल करने पर: $x+3y=5$ और $5x+2y=12$। $L_1$ को $5$ से गुणा करने पर: $5x+15y=25$। $L_3$ को घटाने पर: $13y=13 \Rightarrow y=1$। अतः $x=2$। प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 1)$ है। $L_2$ में मान रखने पर: $3(2)-k(1)-1=0 \Rightarrow 6-k-1=0 \Rightarrow k=5$। अतः,$(A) \rightarrow (s)$।
$(B)$ रेखाओं के समानांतर होने के लिए:
$L_1 \parallel L_2: \frac{1}{3} = \frac{3}{-k} \Rightarrow k=-9$।
$L_2 \parallel L_3: \frac{3}{5} = \frac{-k}{2} \Rightarrow k=-\frac{6}{5}$।
$L_1 \parallel L_3$ संभव नहीं है क्योंकि ढाल $-1/3$ और $-5/2$ हैं। अतः,$(B) \rightarrow (p, q)$।
$(C)$ रेखाएँ त्रिभुज बनाती हैं यदि वे संगामी न हों और कोई भी दो रेखाएँ समानांतर न हों। यह तब होता है जब $k \neq 5, -9, -\frac{6}{5}$। विकल्पों में से,केवल $k=\frac{5}{6}$ इस शर्त को पूरा करता है। अतः,$(C) \rightarrow (r)$।
$(D)$ रेखाएँ त्रिभुज नहीं बनाती हैं यदि वे संगामी हों या समानांतर हों। यह तब होता है जब $k=5, -9, -\frac{6}{5}$। अतः,$(D) \rightarrow (p, q, s)$।

(A) तीन रेखाएँ $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$,और $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ संगामी होती हैं यदि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य हो:
$\begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
पंक्ति संक्रियाओं $R_2 \to R_2 - R_1$ और $R_3 \to R_3 - R_1$ को लागू करने पर:
$\begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 0 & 3b-2a & b-a \\ 0 & 4c-2a & c-a \end{vmatrix} = 0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(3b-2a)(c-a) - (b-a)(4c-2a) = 0$
$3bc - 3ab - 2ac + 2a^2 - (4bc - 2ab - 4ac + 2a^2) = 0$
$3bc - 3ab - 2ac + 2a^2 - 4bc + 2ab + 4ac - 2a^2 = 0$
$-bc - ab + 2ac = 0$
$2ac = ab + bc$
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2ac}{abc} = \frac{ab}{abc} + \frac{bc}{abc}$
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
यह दर्शाता है कि $\frac{1}{a}, \frac{1}{b}, \frac{1}{c}$ समांतर श्रेणी में हैं,जिसका अर्थ है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी में हैं।

(A) अभीष्ट रेखा $3x - y = 5$ और $x + 3y = 1$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरती है।
समीकरणों को हल करने पर:
$3(3x - y) = 3(5) \Rightarrow 9x - 3y = 15$
$x + 3y = 1$ को जोड़ने पर,$10x = 16 \Rightarrow x = \frac{8}{5}$।
$x = \frac{8}{5}$ को $3x - y = 5$ में रखने पर: $y = \frac{24}{5} - 5 = -\frac{1}{5}$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{8}{5}, -\frac{1}{5})$ है।
समान अंतःखंड वाली रेखा का समीकरण $x + y = a$ है।
बिंदु $(\frac{8}{5}, -\frac{1}{5})$ रखने पर:
$\frac{8}{5} - \frac{1}{5} = a \Rightarrow a = \frac{7}{5}$।
अतः,$x + y = \frac{7}{5} \Rightarrow 5x + 5y - 7 = 0$।

(B) दी गई रेखाएँ $L_1: x - 2y + 8 = 0$ और $L_2: 3x - y + 4 = 0$ हैं।
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$L_2$ को $2$ से गुणा करें: $6x - 2y + 8 = 0$।
इसमें से $L_1$ घटाने पर: $5x = 0$,अतः $x = 0$।
$x = 0$ को $L_2$ में रखने पर: $y = 4$।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(0, 4)$ है। मूल बिंदु $(0, 0)$ और $(0, 4)$ से गुजरने वाली रेखा $x = 0$ है।

(NONE) चरण $1$: रेखाओं $x + 2y + 6 = 0$ और $2x - y = 2$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
दूसरे समीकरण से,$y = 2x - 2$.
इसे पहले समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $x + 2(2x - 2) + 6 = 0$.
$x + 4x - 4 + 6 = 0 \implies 5x + 2 = 0 \implies x = -\frac{2}{5}$.
अतः $y = 2(-\frac{2}{5}) - 2 = -\frac{14}{5}$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-\frac{2}{5}, -\frac{14}{5})$ है।
चरण $2$: $y$-अंतःखंड $c = 5$ वाली रेखा का समीकरण $y = mx + 5$ है।
चूंकि रेखा $(-\frac{2}{5}, -\frac{14}{5})$ से गुजरती है:
$-\frac{14}{5} = m(-\frac{2}{5}) + 5 \implies m = \frac{39}{2}$.
चरण $3$: समीकरण $y = \frac{39}{2}x + 5 \implies 39x - 2y + 10 = 0$ है।

(A) तीन रेखाओं $a_1 x + b_1 y + c_1 = 0$,$a_2 x + b_2 y + c_2 = 0$ और $a_3 x + b_3 y + c_3 = 0$ के संगामी होने के लिए,उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} k & 2 & 2 \\ 2 & k & 3 \\ 3 & 3 & k \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$k(k^2 - 9) - 2(2k - 9) + 2(6 - 3k) = 0$
$k^3 - 9k - 4k + 18 + 12 - 6k = 0$
$k^3 - 19k + 30 = 0$
गुणनखंड करने पर,$(k - 2)$ एक गुणनखंड प्राप्त होता है:
$(k - 2)(k^2 + 2k - 15) = 0$
$(k - 2)(k + 5)(k - 3) = 0$
अतः $k$ के संभावित मान $k_1 = 2$,$k_2 = -5$ और $k_3 = 3$ हैं।
योग $\sum k_i = 2 + (-5) + 3 = 0$ है।

(B) रेखाओं के संगामी होने के लिए,गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{ccc} 4 & 3 & -1 \\ 1 & -1 & 5 \\ k & 5 & -3 \end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$4((-1)(-3) - (5)(5)) - 3((1)(-3) - (5)(k)) - 1((1)(5) - (-1)(k)) = 0$
$4(3 - 25) - 3(-3 - 5k) - 1(5 + k) = 0$
$4(-22) + 9 + 15k - 5 - k = 0$
$-88 + 4 + 14k = 0$
$-84 + 14k = 0$
$14k = 84$
$k = 6$

(C) दिए गए बिंदु $A(1, 2)$,$B(2, 4)$ और $C(4, 8)$ हैं।
यह जांचने के लिए कि क्या वे संरेख (collinear) हैं,हम इन बिंदुओं द्वारा निर्मित रेखाखंडों के ढाल (slope) की गणना करते हैं।
$AB$ का ढाल $= \frac{4 - 2}{2 - 1} = \frac{2}{1} = 2$.
$BC$ का ढाल $= \frac{8 - 4}{4 - 2} = \frac{4}{2} = 2$.
चूंकि $AB$ का ढाल $BC$ के ढाल के बराबर है और वे एक सामान्य बिंदु $B$ साझा करते हैं,इसलिए बिंदु $A$,$B$ और $C$ एक ही सीधी रेखा पर स्थित हैं।
अतः,ये बिंदु एक सीधी रेखा बनाते हैं।

(B) दी गई रेखाएँ हैं:
$x+3y-6=0$
$2x+y-4=0$
$kx-3y+1=0$
ये रेखाएँ संगामी होंगी यदि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य हो:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -6 \\ 2 & 1 & -4 \\ k & -3 & 1 \end{array}\right| = 0$
प्रथम पंक्ति $(R_1)$ के सापेक्ष विस्तार करने पर:
$1(1-12) - 3(2+4k) - 6(-6-k) = 0$
$-11 - 6 - 12k + 36 + 6k = 0$
$-6k + 19 = 0$
$6k = 19$
$k = \frac{19}{6}$

(C) प्रतिबंध $PQ+PR=QR$ यह दर्शाता है कि बिंदु $P$ को रेखाखंड $QR$ पर स्थित होना चाहिए।
सबसे पहले,हम $Q(3,4)$ और $R(1,2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण ज्ञात करते हैं।
ढाल $m = \frac{2-4}{1-3} = \frac{-2}{-2} = 1$ है।
रेखा $QR$ का समीकरण $y - 2 = 1(x - 1)$ है,जो सरल होकर $x - y + 1 = 0$ हो जाता है।
चूंकि $P$ रेखा $2x - y - 1 = 0$ और रेखा $x - y + 1 = 0$ दोनों पर स्थित है,इसलिए हम समीकरणों के निकाय को हल करते हैं:
$2x - y = 1$
$x - y = -1$
पहले समीकरण में से दूसरा समीकरण घटाने पर $(2x - x) - (y - y) = 1 - (-1)$ प्राप्त होता है,जिससे $x = 2$ मिलता है।
$x = 2$ को $x - y = -1$ में रखने पर,हमें $2 - y = -1$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $y = 3$।
अतः,बिंदु $P$ $(2,3)$ है।

(D) दी गई रेखाएँ हैं:
$x+2y-3=0$ $\dots(i)$
$3x+4y-7=0$ $\dots(ii)$
$2x+3y-4=0$ $\dots(iii)$
$4x+5y-6=0$ $\dots(iv)$
समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को हल करने पर:
$(i)$ से,$x = 3-2y$. $(ii)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3(3-2y) + 4y - 7 = 0$
$9 - 6y + 4y - 7 = 0$
$-2y + 2 = 0 \implies y = 1$.
अतः $x = 3 - 2(1) = 1$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $P(1, 1)$ है।
अब,जाँचें कि क्या $P(1, 1)$ समीकरण $(iii)$ को संतुष्ट करता है:
$2(1) + 3(1) - 4 = 2 + 3 - 4 = 1 \neq 0$.
चूँकि पहली दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु तीसरी रेखा पर स्थित नहीं है,इसलिए रेखाएँ संगामी नहीं हैं।

(C) रेखा का दिया गया समीकरण $(a+2b)x + (a-3b)y = a-b$ है।
$a$ और $b$ के गुणांकों को अलग करने पर:
$ax + 2bx + ay - 3by = a - b$
$a(x + y - 1) + b(2x - 3y + 1) = 0$
चूँकि यह समीकरण $a$ और $b$ के सभी मानों के लिए सत्य है,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए:
$x + y - 1 = 0$ $(i)$
$2x - 3y + 1 = 0$ (ii)
$(i)$ से,$y = 1 - x$। इसे (ii) में रखने पर:
$2x - 3(1 - x) + 1 = 0$
$5x - 2 = 0 \Rightarrow x = \frac{2}{5}$
$x = \frac{2}{5}$ को $(i)$ में रखने पर:
$y = 1 - \frac{2}{5} = \frac{3}{5}$
अतः,निश्चित बिंदु $\left(\frac{2}{5}, \frac{3}{5}\right)$ है।

(A) $L_1: 2x - y + 2 = 0$ और $L_2: x + y + 4 = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं का परिवार $L_1 + \lambda L_2 = 0$ द्वारा दिया जाता है।
$(2x - y + 2) + \lambda(x + y + 4) = 0$.
चूंकि रेखा बिंदु $(5, -2)$ से गुजरती है,हम $x = 5$ और $y = -2$ प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2(5) - (-2) + 2) + \lambda(5 - 2 + 4) = 0$.
$14 + 7\lambda = 0$.
$\lambda = -2$.
$\lambda = -2$ को समीकरण में रखने पर:
$(2x - y + 2) - 2(x + y + 4) = 0$.
$-3y - 6 = 0$.
$y + 2 = 0$.

(A) दी गई रेखाओं के समीकरण:
$x-3y+2=0$ ...$(i)$
$2x+5y-7=0$ ...(ii)
समीकरणों $(i)$ और (ii) को हल करने पर:
$(i)$ से,$x = 3y-2$. इसे (ii) में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(3y-2) + 5y - 7 = 0$
$6y - 4 + 5y - 7 = 0$
$11y = 11 \Rightarrow y = 1$
$y=1$ को $(i)$ में रखने पर: $x - 3(1) + 2 = 0 \Rightarrow x = 1$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(1, 1)$ है।
$3x+2y+5=0$ के लंबवत रेखा का समीकरण $2x-3y+\lambda=0$ के रूप में होगा।
चूंकि यह रेखा $(1, 1)$ से गुजरती है:
$2(1) - 3(1) + \lambda = 0$
$2 - 3 + \lambda = 0 \Rightarrow \lambda = 1$.
अतः,अभीष्ट रेखा का समीकरण $2x-3y+1=0$ है।