Concurrency of three lines Questions in Hindi

(D) दी गई रेखाएँ हैं:
$ax + by = 1$ ... $(i)$
$bx + ay = 1$ ... (ii)
समीकरण $(i)$ को $a$ से और (ii) को $b$ से गुणा करने पर:
$a^2x + aby = a$
$b^2x + aby = b$
दोनों को घटाने पर:
$(a^2 - b^2)x = a - b$
$x(a - b)(a + b) = a - b$
चूँकि $a \neq b$,हमें $x = \frac{1}{a + b}$ प्राप्त होता है।
इसी प्रकार,$y = \frac{1}{a + b}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{1}{a + b}, \frac{1}{a + b})$ है।
चूँकि $x$-निर्देशांक और $y$-निर्देशांक समान हैं,इसलिए यह बिंदु रेखा $x = y$ पर स्थित है।

(D) चरण $1$: पहले दो समीकरणों को हल करके संगामी बिंदु $(\alpha, \beta)$ ज्ञात करें:
$x+y=2$ $(i)$
$3x-4y=-1$ (ii)
$(i)$ को $4$ से गुणा करने पर: $4x+4y=8$ (iii)
(ii) और (iii) को जोड़ने पर: $7x=7 \implies x=1$.
$x=1$ को $(i)$ में रखने पर: $1+y=2 \implies y=1$.
अतः,संगामी बिंदु $(1, 1)$ है।
चरण $2$: तीसरी रेखा $5x+ky-7=0$ के $(1, 1)$ से गुजरने का उपयोग करके $k$ ज्ञात करें:
$5(1)+k(1)-7=0 \implies 5+k-7=0 \implies k=2$.
चरण $3$: $(1, 1)$ से गुजरने वाली और $kx+y-k=0$ (अर्थात $2x+y-2=0$) के लंबवत रेखा का समीकरण ज्ञात करें:
$2x+y-2=0$ की ढाल $m_1 = -2$ है।
अभीष्ट रेखा की ढाल $m_2 = \frac{-1}{m_1} = \frac{-1}{-2} = \frac{1}{2}$ होगी।
चरण $4$: बिंदु-ढाल रूप $y-y_1 = m_2(x-x_1)$ का उपयोग करने पर:
$y-1 = \frac{1}{2}(x-1) \implies 2y-2 = x-1 \implies x-2y = -1$.

(D) यदि रेखाएँ संगामी हैं,तो उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left| \begin{array}{ccc} 2 & -1 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & -k \end{array} \right| = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(-k - 2) + 1(-4k - 2) + 1(4 - 1) = 0$
$-2k - 4 - 4k - 2 + 3 = 0$
$-6k - 3 = 0$
$-6k = 3$
$k = -\frac{1}{2}$

(D) दी गई रेखाओं के समीकरण हैं:
$3x + 4y - 5 = 0$ ... $(i)$
$2x + 3y - 4 = 0$ ... $(ii)$
$px + 4y - 6 = 0$ ... $(iii)$
रेखाओं $(i)$ और $(ii)$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए:
समीकरण $(i)$ को $2$ से और $(ii)$ को $3$ से गुणा करने पर:
$6x + 8y - 10 = 0$ ... $(iv)$
$6x + 9y - 12 = 0$ ... $(v)$
समीकरण $(v)$ में से $(iv)$ को घटाने पर:
$y - 2 = 0 \Rightarrow y = 2$
$y = 2$ को समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$3x + 4(2) - 5 = 0$ $\Rightarrow 3x + 3 = 0$ $\Rightarrow x = -1$
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-1, 2)$ है।
चूंकि तीनों रेखाएँ संगामी हैं,बिंदु $(-1, 2)$ समीकरण $(iii)$ को संतुष्ट करेगा:
$p(-1) + 4(2) - 6 = 0$
$-p + 2 = 0 \Rightarrow p = 2$

(B) तीन रेखाएँ संगामी होती हैं यदि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य हो।
दी गई रेखाएँ $3x + y - 2 = 0$,$px + 2y - 3 = 0$ और $2x - y - 3 = 0$ हैं।
संगामी होने की शर्त है:
$\begin{vmatrix} 3 & 1 & -2 \\ p & 2 & -3 \\ 2 & -1 & -3 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$3(2(-3) - (-1)(-3)) - 1(p(-3) - 2(-3)) - 2(p(-1) - 2(2)) = 0$
$3(-6 - 3) - 1(-3p + 6) - 2(-p - 4) = 0$
$3(-9) + 3p - 6 + 2p + 8 = 0$
$-27 + 3p - 6 + 2p + 8 = 0$
$5p - 25 = 0$
$5p = 25$
$p = 5$
अतः,सही विकल्प $B$ है।

(D) रेखाओं के परिवार का दिया गया समीकरण: $ax + by + c = 0$ है।
प्रतिबंध $3a + 5b + 6c = 0$ से,हम लिख सकते हैं $c = -\frac{3a + 5b}{6}$।
इसे रेखा के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $ax + by - \frac{3a + 5b}{6} = 0$।
$6$ से गुणा करने पर: $6ax + 6by - 3a - 5b = 0$।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $a(6x - 3) + b(6y - 5) = 0$।
यह सभी $a$ और $b$ के लिए सत्य होने के लिए,$6x - 3 = 0$ और $6y - 5 = 0$ होना चाहिए।
हल करने पर $x = \frac{1}{2}$ और $y = \frac{5}{6}$ प्राप्त होता है।
अतः,निश्चित बिंदु $\left(\frac{1}{2}, \frac{5}{6}\right)$ है।

(B) तीन रेखाओं $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$,और $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ के संगामी होने के लिए,उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{ccc} 2 & 1 & -1 \\ 3 & 2 & -2 \\ k & 3 & -3 \end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$2[-6 + 6] - 1[-9 + 2k] - 1[9 - 2k] = 0$
$0 = 0$
अतः,'$k$' के किसी भी मान के लिए रेखाएँ संगामी हैं,इसलिए '$k$' के मानों की संख्या अनंत है।

(D) सबसे पहले,$L_1: 2x + 3y + 6 = 0$ और $L_2: 3x - y - 13 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
$L_2$ को $3$ से गुणा करने पर: $9x - 3y - 39 = 0$.
$L_1$ में जोड़ने पर: $(2x + 3y + 6) + (9x - 3y - 39) = 0$ $\Rightarrow 11x - 33 = 0$ $\Rightarrow x = 3$.
$x = 3$ को $L_2$ में रखने पर: $3(3) - y - 13 = 0$ $\Rightarrow 9 - y - 13 = 0$ $\Rightarrow y = -4$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(3, -4)$ है।
$3x - 4y + 5 = 0$ के समांतर रेखा का रूप $3x - 4y + k = 0$ होता है।
चूंकि यह रेखा $(3, -4)$ से गुजरती है,निर्देशांक रखने पर:
$3(3) - 4(-4) + k = 0$ $\Rightarrow 9 + 16 + k = 0$ $\Rightarrow 25 + k = 0$ $\Rightarrow k = -25$.
अतः,अभीष्ट समीकरण $3x - 4y - 25 = 0$ है।

(B) तीन रेखाएँ $a_1x+b_1y+c_1=0$,$a_2x+b_2y+c_2=0$,और $a_3x+b_3y+c_3=0$ संगामी होती हैं यदि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य हो: $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0$.
दी गई रेखाएँ $x+ay+a=0$,$bx+y+b=0$,और $cx+cy+1=0$ हैं।
संगामी होने की शर्त $\begin{vmatrix} 1 & a & a \\ b & 1 & b \\ c & c & 1 \end{vmatrix} = 0$ है।
सारणिक का विस्तार करने पर: $1(1-bc) - a(b-bc) + a(bc-c) = 0$.
$1 - bc - ab + abc + abc - ac = 0$,जो सरल होकर $ab+bc+ca - 2abc = 1$ हो जाता है।
मान लीजिए $S = \frac{a}{a-1} + \frac{b}{b-1} + \frac{c}{c-1}$.
$S = \frac{a(b-1)(c-1) + b(a-1)(c-1) + c(a-1)(b-1)}{(a-1)(b-1)(c-1)}$.
अंश का विस्तार करने पर: $a(bc-b-c+1) + b(ac-a-c+1) + c(ab-a-b+1) = 3abc - 2(ab+bc+ca) + (a+b+c)$.
हर का विस्तार करने पर: $(ab-a-b+1)(c-1) = abc - ab - ac + a - bc + b + c - 1 = abc - (ab+bc+ca) + (a+b+c) - 1$.
$ab+bc+ca = 1+2abc$ का उपयोग करने पर,अंश $3abc - 2(1+2abc) + (a+b+c) = -abc + (a+b+c) - 2$ हो जाता है।
हर $abc - (1+2abc) + (a+b+c) - 1 = -abc + (a+b+c) - 2$ हो जाता है।
अतः,$S = \frac{-abc + (a+b+c) - 2}{-abc + (a+b+c) - 2} = 1$.

(A) रेखाओं के संगामी होने के लिए,उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & -3 \\ 3 & 2 & -2 \\ k & -3 & -23 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$2(2(-23) - (-2)(-3)) - 1(3(-23) - (-2)(k)) - 3(3(-3) - 2(k)) = 0$
$2(-46 - 6) - 1(-69 + 2k) - 3(-9 - 2k) = 0$
$-104 + 96 + 4k = 0$
$4k = 8 \implies k = 2$
$k = 2$ को द्विघात समीकरण $6x^2 - 7x + k = 0$ में रखने पर:
$6x^2 - 7x + 2 = 0$
$(2x - 1)(3x - 2) = 0$
अतः मूल $x = 1/2$ और $x = 2/3$ हैं।

(A) दिया गया है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी में हैं,इसलिए $\frac{1}{b} = \frac{1}{2} (\frac{1}{a} + \frac{1}{c})$,जिसका अर्थ है $\frac{2}{b} = \frac{1}{a} + \frac{1}{c}$.
इसे पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $\frac{1}{a} - \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 0$ प्राप्त होता है।
रेखा का दिया गया समीकरण $\frac{x}{a} + \frac{y}{b} - \frac{2}{c} = 0$ है।
इसकी तुलना हरात्मक श्रेणी की शर्त से करने पर,हम रेखा के समीकरण को $\frac{1}{a}(x) + \frac{1}{b}(y) + \frac{1}{c}(-2) = 0$ के रूप में लिख सकते हैं।
यदि हम $x = 1$ और $y = -2$ रखते हैं,तो समीकरण $\frac{1}{a} - \frac{2}{b} + \frac{1}{c} = 0$ बन जाता है,जो हरात्मक श्रेणी की शर्त है।
अतः,रेखाएँ बिंदु $(1, -2)$ पर संगामी हैं।

(D) दिया गया है कि रेखाएँ $x+3y-9=0$,$4x+by-2=0$ और $2x-y-4=0$ संगामी हैं।
संगामी होने की शर्त यह है कि गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & 3 & -9 \\ 4 & b & -2 \\ 2 & -1 & -4 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(-4b - 2) - 3(-16 + 4) - 9(-4 - 2b) = 0$
$-4b - 2 + 36 + 36 + 18b = 0$
$14b + 70 = 0$ $\Rightarrow 14b = -70$ $\Rightarrow b = -5$
अब,$x+3y-9=0$ और $2x-y-4=0$ को हल करके संगामी बिंदु ज्ञात करते हैं:
$2x-y-4=0$ से,$y = 2x-4$ प्राप्त होता है।
$x+3y-9=0$ में मान रखने पर: $x + 3(2x-4) - 9 = 0$ $\Rightarrow x + 6x - 12 - 9 = 0$ $\Rightarrow 7x = 21$ $\Rightarrow x = 3$.
अतः $y = 2(3) - 4 = 2$. संगामी बिंदु $(3, 2)$ है।
अभीष्ट रेखा $(b, 0) = (-5, 0)$ और $(3, 2)$ से गुजरती है।
रेखा का समीकरण: $y - 0 = \frac{2-0}{3 - (-5)}(x - (-5))$
$y = \frac{2}{8}(x+5)$ $\Rightarrow y = \frac{1}{4}(x+5)$ $\Rightarrow 4y = x+5$ $\Rightarrow x - 4y + 5 = 0$.

(C) दी गई रेखाएँ $L_1: x+2ay+a=0$,$L_2: x+3by+b=0$,और $L_3: x+4cy+c=0$ हैं।
चूंकि ये रेखाएँ संगामी हैं,इसलिए उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{lll} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{array}\right|=0$.
पंक्ति संक्रियाओं $R_1 \rightarrow R_1-R_2$ और $R_2 \rightarrow R_2-R_3$ को लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc} 0 & 2a-3b & a-b \\ 0 & 3b-4c & b-c \\ 1 & 4c & c \end{array}\right|=0$.
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(2a-3b)(b-c) - (3b-4c)(a-b) = 0$.
$2ab - 2ac - 3b^2 + 3bc - (3ab - 3b^2 - 4ac + 4bc) = 0$.
$-ab - bc + 2ac = 0$.
$2ac = ab + bc$.
$abc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$.
यह स्थिति दर्शाती है कि $a, b, c$ हरात्मक श्रेणी में हैं।

(B) सबसे पहले,रेखाओं $x-y+2=0$ और $2x+y+3=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें। दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $(x-y+2) + (2x+y+3) = 0 \implies 3x+5=0 \implies x = -\frac{5}{3}$. $x$ का मान $x-y+2=0$ में रखने पर: $-\frac{5}{3} - y + 2 = 0 \implies y = 2 - \frac{5}{3} = \frac{1}{3}$. संगामी बिंदु $P(-\frac{5}{3}, \frac{1}{3})$ है।
रेखा $L_1$ के लिए,ढाल $m_1 = 2$: $y - \frac{1}{3} = 2(x + \frac{5}{3}) \implies y = 2x + \frac{11}{3} \implies 2x - y + \frac{11}{3} = 0$. अंतःखंड $x = -\frac{11}{6}$ और $y = \frac{11}{3}$ हैं। निरपेक्ष मानों का योग: $|-\frac{11}{6}| + |\frac{11}{3}| = \frac{11}{6} + \frac{22}{6} = 5.5$.
रेखा $L_2$ के लिए,ढाल $m_2 = -\frac{1}{2}$: $y - \frac{1}{3} = -\frac{1}{2}(x + \frac{5}{3}) \implies x + 2y + 1 = 0$. अंतःखंड $x = -1$ और $y = -\frac{1}{2}$ हैं। निरपेक्ष मानों का योग: $|-1| + |-\frac{1}{2}| = 1.5$.
कुल योग $5.5 + 1.5 = 7$ है।

(C) रेखाओं $a_1x + b_1y + c_1 = 0$,$a_2x + b_2y + c_2 = 0$,और $a_3x + b_3y + c_3 = 0$ के संगामी होने की शर्त यह है कि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c \end{vmatrix} = 0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(3bc - 4bc) - 1(2ac - 4ac) + 1(2ab - 3ab) = 0$
$-bc + 2ac - ab = 0$
$2ac = ab + bc$
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर (मान लीजिए $a, b, c \neq 0$):
$\frac{2ac}{abc} = \frac{ab}{abc} + \frac{bc}{abc}$
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
यह $a, b, c$ के हरात्मक श्रेणी में होने की शर्त है।

(D) समीकरणों की प्रणाली के सुसंगत होने के लिए,तीनों रेखाओं को एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करना चाहिए या संगामी होना चाहिए।
सबसे पहले,पहले दो समीकरणों को हल करें:
$2x + y = 5$ $(1)$
$x - 2y = -1$ $(2)$
समीकरण $(1)$ को $2$ से गुणा करें:
$4x + 2y = 10$ $(3)$
$(2)$ और $(3)$ को जोड़ने पर:
$5x = 9 \implies x = \frac{9}{5}$
$x$ का मान $(1)$ में रखने पर:
$2(\frac{9}{5}) + y = 5 \implies y = 5 - \frac{18}{5} = \frac{7}{5}$
चूंकि प्रणाली सुसंगत है,बिंदु $(\frac{9}{5}, \frac{7}{5})$ को तीसरे समीकरण $2x - 14y - a = 0$ को संतुष्ट करना चाहिए:
$2(\frac{9}{5}) - 14(\frac{7}{5}) - a = 0$
$\frac{18}{5} - \frac{98}{5} = a$
$a = -\frac{80}{5} = -16$

(A) मान लीजिए बिंदु $A(1, 2)$,$B(2, -1)$,$C(-1, 0)$ और $D(2, 0)$ हैं।
दो बिंदुओं $(x_1, y_1)$ और $(x_2, y_2)$ से गुजरने वाली रेखा का समीकरण $(y - y_1) = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}(x - x_1)$ होता है।
रेखा $AB$ के लिए जो $(1, 2)$ और $(2, -1)$ से गुजरती है:
$(y - 2) = \frac{-1 - 2}{2 - 1}(x - 1) \Rightarrow (y - 2) = -3(x - 1) \Rightarrow y - 2 = -3x + 3 \Rightarrow 3x + y = 5$.
रेखा $CD$ के लिए जो $(-1, 0)$ और $(2, 0)$ से गुजरती है:
चूंकि $y$-निर्देशांक दोनों बिंदुओं के लिए $0$ हैं,इसलिए रेखा $x$-अक्ष है,अर्थात $y = 0$.
प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए,$y = 0$ को समीकरण $3x + y = 5$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$3x + 0 = 5 \Rightarrow x = \frac{5}{3}$.
अतः,प्रतिच्छेदन बिंदु $(\frac{5}{3}, 0)$ है,जिसे सदिश रूप में $\frac{5}{3} \hat{i}$ लिखा जाता है।

(C) रेखाओं के समीकरण इस प्रकार हैं:
$x-y-2=0$ ...$(i)$
$x+y-4=0$ ...(ii)
$x+3y=6$ ...(iii)
समीकरण $(i)$ और (ii) को हल करने पर:
$(x-y-2) + (x+y-4) = 0$
$2x - 6 = 0$
$2x = 6 \implies x = 3$
$x=3$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$3 - y - 2 = 0$
$1 - y = 0 \implies y = 1$
अतः,$(i)$ और (ii) का प्रतिच्छेदन बिंदु $(3,1)$ है।
अब,जाँचें कि क्या $(3,1)$ समीकरण (iii) को संतुष्ट करता है:
$3 + 3(1) = 3 + 3 = 6$
चूँकि बिंदु $(3,1)$ तीनों समीकरणों को संतुष्ट करता है,इसलिए रेखाएँ $(3,1)$ पर संगामी हैं।

(D) सबसे पहले,रेखाओं $x + 3y - 1 = 0$ और $x - 2y + 4 = 0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें।
पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को घटाने पर: $(x + 3y - 1) - (x - 2y + 4) = 0$ $\Rightarrow 5y - 5 = 0$ $\Rightarrow y = 1$.
$y = 1$ को $x + 3y - 1 = 0$ में रखने पर,हमें $x + 3(1) - 1 = 0 \Rightarrow x = -2$ प्राप्त होता है।
प्रतिच्छेदन बिंदु $(-2, 1)$ है।
$3x + 2y = 0$ के लंबवत रेखा का समीकरण $2x - 3y + \lambda = 0$ के रूप में होता है।
चूंकि रेखा $(-2, 1)$ से गुजरती है,इसलिए निर्देशांकों को समीकरण में रखने पर:
$2(-2) - 3(1) + \lambda = 0$ $\Rightarrow -4 - 3 + \lambda = 0$ $\Rightarrow \lambda = 7$.
अतः,अभीष्ट रेखा का समीकरण $2x - 3y + 7 = 0$ है।

(A) रेखाएँ $px + qy + r = 0$,$x \sin \alpha + y \cos \alpha = r$,और $x \cos \alpha - y \sin \alpha = 0$ बिंदु $A$ पर संगामी हैं।
संगामी होने की शर्त के अनुसार सारणिक शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} p & q & r \\ \sin \alpha & \cos \alpha & -r \\ \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर: $p(0 - r \sin \alpha) - q(0 + r \cos \alpha) + r(-\sin^2 \alpha - \cos^2 \alpha) = 0$
$-pr \sin \alpha - qr \cos \alpha - r = 0$
चूंकि $r \neq 0$,$-r$ से विभाजित करने पर: $p \sin \alpha + q \cos \alpha + 1 = 0 \Rightarrow p \sin \alpha + q \cos \alpha = -1$ (समीकरण $1$).
रेखाओं के बीच का कोण $\pi / 3$ है।
ढाल $m_1 = -p/q$ और $m_2 = -\tan \alpha$ हैं।
$\tan(\pi / 3) = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1 m_2} \right|$ $\Rightarrow \sqrt{3} = \left| \frac{-p \cos \alpha + q \sin \alpha}{q \cos \alpha + p \sin \alpha} \right|$.
समीकरण $1$ का उपयोग करने पर,$q \cos \alpha + p \sin \alpha = -1$.
अतः,$| q \sin \alpha - p \cos \alpha | = \sqrt{3}$.
दोनों समीकरणों का वर्ग करके जोड़ने पर:
$p^2 + q^2 = 1 + 3 = 4$.

(B) दी गई रेखाओं के परिवार हैं:
$(x+y+1) + \lambda(5y-3) = 0$ $(i)$
$(2x-3y+3) + \mu(5x+6) = 0$ $(ii)$
प्रथम परिवार के लिए,संगामी बिंदु $x+y+1=0$ और $5y-3=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$5y-3=0$ से,हमें $y = \frac{3}{5}$ प्राप्त होता है।
$x+y+1=0$ में मान रखने पर,हमें $x = -\frac{3}{5} - 1 = -\frac{8}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,प्रथम बिंदु $P_1 = \left(-\frac{8}{5}, \frac{3}{5}\right)$ है।
दूसरे परिवार के लिए,संगामी बिंदु $2x-3y+3=0$ और $5x+6=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु है।
$5x+6=0$ से,हमें $x = -\frac{6}{5}$ प्राप्त होता है।
$2x-3y+3=0$ में मान रखने पर,हमें $3y = 2(-\frac{6}{5}) + 3 = -\frac{12}{5} + 3 = \frac{3}{5}$,अतः $y = \frac{1}{5}$ प्राप्त होता है।
अतः,दूसरा बिंदु $P_2 = \left(-\frac{6}{5}, \frac{1}{5}\right)$ है।
$P_1$ और $P_2$ के बीच की दूरी $\sqrt{\left(-\frac{6}{5} - (-\frac{8}{5})\right)^2 + (\frac{1}{5} - \frac{3}{5})^2}$ है।
$= \sqrt{(\frac{2}{5})^2 + (-\frac{2}{5})^2} = \sqrt{\frac{4}{25} + \frac{4}{25}} = \sqrt{\frac{8}{25}} = \frac{2\sqrt{2}}{5}$.
अतः,विकल्प $(b)$ सही है।

(D) दी गई शर्त $\alpha a + \beta b + \gamma c = 0$ है।
चूंकि $\gamma \neq 0$,हम $c = -\frac{\alpha}{\gamma} a - \frac{\beta}{\gamma} b$ लिख सकते हैं।
इसे रेखाओं के परिवार के समीकरण $ax + by + c = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$ax + by + (-\frac{\alpha}{\gamma} a - \frac{\beta}{\gamma} b) = 0$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$a(x - \frac{\alpha}{\gamma}) + b(y - \frac{\beta}{\gamma}) = 0$.
इस समीकरण के सभी स्वेच्छ $a$ और $b$ के लिए सत्य होने हेतु,$a$ और $b$ के गुणांक स्वतंत्र रूप से शून्य होने चाहिए।
अतः,$x - \frac{\alpha}{\gamma} = 0 \Rightarrow x = \frac{\alpha}{\gamma}$ और $y - \frac{\beta}{\gamma} = 0 \Rightarrow y = \frac{\beta}{\gamma}$.
इस प्रकार,संगामी बिंदु $\left(\frac{\alpha}{\gamma}, \frac{\beta}{\gamma}\right)$ है।

(C) दिया गया समीकरण $(a+2b)x + (a-b)y + (a+5b) = 0$ है।
$a$ और $b$ के आधार पर पदों को व्यवस्थित करने पर:
$a(x + y + 1) + b(2x - y + 5) = 0$।
$a$ और $b$ के सभी मानों के लिए इसे सत्य होने हेतु,गुणांक शून्य होने चाहिए:
$x + y + 1 = 0$ (समीकरण $1$)
$2x - y + 5 = 0$ (समीकरण $2$)
समीकरण $1$ और $2$ को जोड़ने पर:
$(x + y + 1) + (2x - y + 5) = 0$
$3x + 6 = 0 \implies x = -2$।
$x = -2$ को समीकरण $1$ में रखने पर:
$-2 + y + 1 = 0 \implies y = 1$।
अतः,निश्चित बिंदु $(-2, 1)$ है।

(B) रेखाओं $x-2y+1=0$ और $2x-3y-1=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(5, 3)$ है।
इस बिंदु को $3x-y+k=0$ में रखने पर,$3(5)-3+k=0 \implies k=-12$.
रेखाओं $3x-y-12=0$ और $mx-3y+6=0$ के बीच का कोण $45^{\circ}$ है।
$\tan(45^{\circ}) = |\frac{3-m/3}{1+3(m/3)}| = 1 \implies m=3$.
अतः $m-k = 3 - (-12) = 15$.

(B) रेखाओं $x-3y+3=0$ और $2x+y-8=0$ का प्रतिच्छेदन बिंदु $(a, b)$ है।
समीकरणों को हल करने पर: $x=3, y=2$,अतः $(a, b) = (3, 2)$.
चूंकि $(3, 2)$ रेखा $kx+y+k=0$ पर स्थित है,इसलिए $3k+2+k=0 \Rightarrow k = -\frac{1}{2}$.
रेखा $L$ का समीकरण $3x-2y-1=0$ है।
मूल बिंदु से लंबवत दूरी $p = \frac{1}{\sqrt{13}}$.
बिंदु $(2, 3)$ से $3x-2y-1=0$ की लंबवत दूरी $\frac{|3(2)-2(3)-1|}{\sqrt{13}} = \frac{1}{\sqrt{13}} = p$ है।

(D) रेखाओं के संगामी होने के लिए,उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 4 & 3 & -k \\ 2 & 1 & 3 \\ 3 & 2 & k \end{vmatrix} = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$4(k - 6) - 3(2k - 9) - k(4 - 3) = 0$
$4k - 24 - 6k + 27 - k = 0$
$-3k + 3 = 0 \Rightarrow k = 1$
$k = 1$ को समीकरणों में रखने पर:
$L_1: 4x + 3y - 1 = 0$
$L_2: 2x + y + 3 = 0$
इन दो समीकरणों को हल करने पर:
$L_1 - 2 \times L_2$ $\Rightarrow (4x + 3y - 1) - (4x + 2y + 6) = 0$ $\Rightarrow y - 7 = 0$ $\Rightarrow y = 7$
$y = 7$ को $L_2$ में रखने पर: $2x + 7 + 3 = 0$ $\Rightarrow 2x = -10$ $\Rightarrow x = -5$
संगामी बिंदु $(-5, 7)$ है।
$(-5, 7)$ से $3x + 4y + 2 = 0$ की लंबवत दूरी $d$:
$d = \left| \frac{3(-5) + 4(7) + 2}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \right| = \left| \frac{-15 + 28 + 2}{5} \right| = \left| \frac{15}{5} \right| = 3$.

(C) रेखाओं के संगामी होने के लिए,उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & 1 & -1 \\ k & 2 & 1 \\ 4 & 2k & 7\end{array}\right|=0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(14 - 2k) - 1(7k - 4) - 1(2k^2 - 8) = 0$
$14 - 2k - 7k + 4 - 2k^2 + 8 = 0$
$-2k^2 - 9k + 26 = 0$
$2k^2 + 9k - 26 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर:
$2k^2 + 13k - 4k - 26 = 0$
$k(2k + 13) - 2(2k + 13) = 0$
$(2k + 13)(k - 2) = 0$
अतः,$k = 2$ या $k = -\frac{13}{2}$.
यदि $k = 2$ है,तो रेखाएँ $x+y-1=0$,$2x+2y+1=0$ और $4x+4y+7=0$ होंगी। पहली दो रेखाएँ समांतर हैं,इसलिए वे संगामी नहीं हो सकतीं।
अतः,केवल सही मान $k = -\frac{13}{2}$ है।

(D) रेखाएँ $L_1, L_2, L_3$ संगामी हैं,अतः उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होगा:
$\begin{vmatrix} 2 & 1 & 3 \\ k & 2 & -3 \\ 3 & -2 & 1 \end{vmatrix} = 0$
$2(2 - 6) - 1(k + 9) + 3(-2k - 6) = 0$
$-8 - k - 9 - 6k - 18 = 0$
$-7k - 35 = 0 \Rightarrow k = -5$
अतः,$L_2 \equiv -5x + 2y - 3 = 0$,या $5x - 2y + 3 = 0$.
$L_2$ की ढाल $m_1 = \frac{5}{2}$ है।
रेखा $2x - 5y + 7 = 0$ की ढाल $m_2 = \frac{2}{5}$ है।
दो रेखाओं के बीच का कोण $\theta$ के लिए $\tan \theta = \left| \frac{m_1 - m_2}{1 + m_1m_2} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{\frac{5}{2} - \frac{2}{5}}{1 + (\frac{5}{2})(\frac{2}{5})} \right| = \left| \frac{\frac{21}{10}}{2} \right| = \frac{21}{20}$.
अतः,$\cos \theta = \frac{20}{29}$.

(B) दी गई रेखाएँ:
$L_1: 3x + 6y + 2 = 0$
$L_2: x + y + 1 = 0$
$L_3: 2x - y + 3 = 0$
जाँचें कि क्या बिंदु $P\left(\frac{-4}{3}, \frac{1}{3}\right)$ तीनों समीकरणों को संतुष्ट करता है:
$L_1$ के लिए: $3\left(\frac{-4}{3}\right) + 6\left(\frac{1}{3}\right) + 2 = -4 + 2 + 2 = 0$.
$L_2$ के लिए: $\left(\frac{-4}{3}\right) + \left(\frac{1}{3}\right) + 1 = -1 + 1 = 0$.
$L_3$ के लिए: $2\left(\frac{-4}{3}\right) - \left(\frac{1}{3}\right) + 3 = \frac{-8-1+9}{3} = 0$.
चूँकि बिंदु तीनों समीकरणों को संतुष्ट करता है,यह तीनों रेखाओं का संगामी बिंदु है।

(A) रेखाएँ $L_1: x-2y+3=0$ और $L_2: 2x+y+1=0$ एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। इन समीकरणों को हल करने पर:
$x-2y = -3$
$2x+y = -1 \implies y = -1-2x$
पहले समीकरण में $y$ का मान रखने पर: $x-2(-1-2x) = -3 \implies x+2+4x = -3 \implies 5x = -5 \implies x = -1$.
तब $y = -1-2(-1) = 1$. प्रतिच्छेद बिंदु $(-1, 1)$ है।
चूँकि रेखाएँ संगामी हैं,$(-1, 1)$ को $L_3: 3x+y+c=0$ को संतुष्ट करना चाहिए।
$3(-1)+1+c = 0 \implies -3+1+c = 0 \implies c = 2$.
अब,$L_1$ और $L_3$ की ढाल $m_1 = 1/2$ और $m_3 = -3$ है।
उनके बीच का न्यून कोण $\theta$ इस प्रकार है: $\tan \theta = \left| \frac{m_1-m_3}{1+m_1m_3} \right|$.
$\tan \theta = \left| \frac{1/2 - (-3)}{1 + (1/2)(-3)} \right| = \left| \frac{7/2}{1 - 3/2} \right| = \left| \frac{7/2}{-1/2} \right| = |-7| = 7$.

(A) यह दिया गया है कि रेखाएँ $x+3y-9=0$,$4x+5y-1=0$,और $px+qy+10=0$ संगामी हैं,इसलिए उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होगा:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 3 & -9 \\ 4 & 5 & -1 \\ p & q & 10 \end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(50 + q) - 3(40 + p) - 9(4q - 5p) = 0$
$50 + q - 120 - 3p - 36q + 45p = 0$
$42p - 35q - 70 = 0$
$7$ से विभाजित करने पर:
$6p - 5q - 10 = 0$
$\Rightarrow 6p - 5q = 10$
रेखा $5x + 6y + 10 = 0$ बिंदु $(q, -p)$ से होकर गुजरती है यदि $5(q) + 6(-p) + 10 = 0$ हो,जो $5q - 6p + 10 = 0$ या $6p - 5q = 10$ में सरल हो जाता है।
यह हमारी प्राप्त शर्त से मेल खाता है। अतः,रेखा $(q, -p)$ से होकर गुजरती है।

(C) तीन रेखाएँ त्रिभुज नहीं बनाती हैं यदि वे संगामी हों या उनमें से कोई भी दो रेखाएँ समांतर हों।
पहली दो रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करें:
$x+3y=5$ $(i)$
$5x+2y=12$ (ii)
$(i)$ को $5$ से गुणा करने पर: $5x+15y=25$ (iii)
(iii) में से (ii) घटाने पर: $13y=13 \Rightarrow y=1$.
$y=1$ को $(i)$ में रखने पर: $x+3(1)=5 \Rightarrow x=2$.
प्रतिच्छेदन बिंदु $(2, 1)$ है।
रेखाओं के संगामी होने के लिए,यह बिंदु तीसरी रेखा $3x-ky-1=0$ को संतुष्ट करना चाहिए:
$3(2)-k(1)-1=0$ $\Rightarrow 6-k-1=0$ $\Rightarrow k=5$.
हालाँकि,विकल्पों की जाँच करने पर,हमें उस स्थिति पर भी विचार करना चाहिए जहाँ रेखाएँ समांतर हों।
यदि $3x-ky-1=0$,$5x+2y-12=0$ के समांतर है,तो $\frac{3}{5} = \frac{-k}{2} \Rightarrow k=-\frac{6}{5}$.
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,सही मान $k=-\frac{6}{5}$ है।

(A) माना बिंदु $(x_1, y_1)$ से गुजरने वाली और $m$ ढाल वाली रेखा का समीकरण $y - y_1 - m(x - x_1) = 0$ है,जिसे $mx - y + (y_1 - mx_1) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
बिंदु $(x_0, y_0)$ से रेखा $Ax + By + C = 0$ पर लंबवत दूरी $\frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}}$ होती है। लंबों की लंबाइयों का बीजगणितीय योग लेने पर,हम चिन्हित दूरी $\frac{mx_0 - y_0 + y_1 - mx_1}{\sqrt{m^2 + 1}}$ का उपयोग करते हैं।
$(2, 0)$,$(0, 2)$ और $(1, 1)$ से लंबों का योग:
$\frac{(2m - 0 + y_1 - mx_1) + (0m - 2 + y_1 - mx_1) + (1m - 1 + y_1 - mx_1)}{\sqrt{m^2 + 1}} = 0$
अंश को सरल करने पर:
$(2m + y_1 - mx_1) + (y_1 - 2 - mx_1) + (m - 1 + y_1 - mx_1) = 0$
$m(2 + 1 - 3x_1) + (3y_1 - 3) = 0$
$m(3 - 3x_1) + 3(y_1 - 1) = 0$
चूंकि यह समीकरण किसी भी ढाल $m$ के लिए सत्य है,इसलिए $m$ के गुणांक और अचर पद को स्वतंत्र रूप से शून्य होना चाहिए:
$3 - 3x_1 = 0 \Rightarrow x_1 = 1$
$3(y_1 - 1) = 0 \Rightarrow y_1 = 1$
अतः,$(x_1, y_1) = (1, 1)$।
इसलिए,विकल्प $(A)$ सही है।

(C) रेखाएँ $x+2ay+a=0$,$x+3by+b=0$ और $x+4cy+c=0$ संगामी हैं यदि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य है:
$\left|\begin{array}{lll}1 & 2a & a \\ 1 & 3b & b \\ 1 & 4c & c\end{array}\right|=0$
पंक्ति संक्रियाओं $R_1 \rightarrow R_1-R_2$ और $R_2 \rightarrow R_2-R_3$ को लागू करने पर:
$\left|\begin{array}{ccc}0 & 2a-3b & a-b \\ 0 & 3b-4c & b-c \\ 1 & 4c & c\end{array}\right|=0$
प्रथम स्तंभ के अनुदिश विस्तार करने पर:
$(2a-3b)(b-c) - (3b-4c)(a-b) = 0$
$2ab - 2ac - 3b^2 + 3bc - (3ab - 3b^2 - 4ac + 4bc) = 0$
$-ab - bc + 2ac = 0$
$2ac = ab + bc$
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर:
$\frac{2}{b} = \frac{1}{c} + \frac{1}{a}$
यह $a, b, c$ के हरात्मक श्रेणी ($H$.$P$.) में होने की शर्त है।

(B) चूँकि रेखाएँ $2x - 3y + k = 0$,$3x - 4y - 13 = 0$ और $8x - 11y - 33 = 0$ संगामी हैं,इसलिए उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 2 & -3 & k \\ 3 & -4 & -13 \\ 8 & -11 & -33 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$2(132 - 143) + 3(-99 + 104) + k(-33 + 32) = 0$
$2(-11) + 3(5) - k = 0$
$-22 + 15 - k = 0$
$-7 - k = 0$
$k = -7$

(C) दिया गया समीकरण $6 a^2-3 b^2-c^2+7 a b-a c+4 b c=0$ है।
इसे $a$ में द्विघात समीकरण के रूप में व्यवस्थित करने पर: $6 a^2 + a(7b - c) - (3b^2 - 4bc + c^2) = 0$।
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर: $6 a^2 + a(7b - c) - (3b - c)(b - c) = 0$।
$(3a - b + c)(2a + 3b - c) = 0$।
इसका अर्थ है कि या तो $3a - b + c = 0$ या $2a + 3b - c = 0$।
स्थिति $1$: $3a - b + c = 0$। $ax + by + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 3, y = -1$ प्राप्त होता है।
स्थिति $2$: $2a + 3b - c = 0$। $ax + by + c = 0$ के साथ तुलना करने पर,हमें $x = 2, y = -3$ प्राप्त होता है।
अतः,रेखाएँ $(3, -1)$ या $(2, -3)$ पर संगामी हैं।

(C) $L = 0$ और $l = 0$ के प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली किसी भी रेखा का समीकरण $L + \lambda l = 0$ द्वारा दिया जाता है।
दी गई रेखाओं को प्रतिस्थापित करने पर:
$(2x + 3y - 5) + \lambda(4x - 5y + 7) = 0$
$(2 + 4\lambda)x + (3 - 5\lambda)y + (7\lambda - 5) = 0$ --- (समीकरण $1$)
रेखा $L_1$ बिंदुओं $(2, 3)$ और $(1, -1)$ को जोड़ने वाले रेखाखंड को $2:1$ के अनुपात में विभाजित करती है। विभाजन सूत्र का उपयोग करते हुए,विभाजन बिंदु $(x, y)$ है:
$x = \frac{2(1) + 1(2)}{2 + 1} = \frac{4}{3}$
$y = \frac{2(-1) + 1(3)}{2 + 1} = \frac{1}{3}$
चूंकि बिंदु $(\frac{4}{3}, \frac{1}{3})$ रेखा $L_1$ पर स्थित है,हम इसे समीकरण $1$ में प्रतिस्थापित करते हैं:
$(2 + 4\lambda)(\frac{4}{3}) + (3 - 5\lambda)(\frac{1}{3}) + (7\lambda - 5) = 0$
हर को हटाने के लिए $3$ से गुणा करने पर:
$4(2 + 4\lambda) + (3 - 5\lambda) + 3(7\lambda - 5) = 0$
$8 + 16\lambda + 3 - 5\lambda + 21\lambda - 15 = 0$
$32\lambda - 4 = 0 \Rightarrow \lambda = \frac{4}{32} = \frac{1}{8}$
$\lambda = \frac{1}{8}$ को समीकरण $1$ में वापस रखने पर:
$(2 + 4(\frac{1}{8}))x + (3 - 5(\frac{1}{8}))y + (7(\frac{1}{8}) - 5) = 0$
$2.5x + 2.375y - 4.125 = 0$
$\frac{5}{2}x + \frac{19}{8}y = \frac{33}{8}$
$ax + by = 1$ का रूप प्राप्त करने के लिए $\frac{8}{33}$ से गुणा करने पर:
$(\frac{5}{2} \times \frac{8}{33})x + (\frac{19}{8} \times \frac{8}{33})y = 1$
$\frac{20}{33}x + \frac{19}{33}y = 1$
इस प्रकार,$a = \frac{20}{33}$ और $b = \frac{19}{33}$ है।
अतः,$33(a - b) = 33(\frac{20}{33} - \frac{19}{33}) = 33(\frac{1}{33}) = 1$.

(A) दी गई रेखाएँ $x+y-1=0$,$2x-y-c=0$ और $bx+2by-c=0$ हैं। चूँकि इन रेखाओं का एक उभयनिष्ठ बिंदु है,इसलिए ये संगामी हैं। संगामी होने की शर्त यह है कि गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1 \\ 2 & -1 & -c \\ b & 2b & -c \end{array}\right| = 0$
सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(c + 2bc) - 1(-2c + bc) - 1(4b + b) = 0$
$c + 2bc + 2c - bc - 5b = 0$
$3c + bc - 5b = 0$
$c(b+3) = 5b$
$c = \frac{5b}{b+3}$
$c < 1$ के लिए:
$\frac{5b}{b+3} < 1 \Rightarrow \frac{5b}{b+3} - 1 < 0$
$\frac{5b - b - 3}{b+3} < 0 \Rightarrow \frac{4b - 3}{b+3} < 0$
वेवी कर्व विधि का उपयोग करने पर,असमिका $b \in \left(-3, \frac{3}{4}\right)$ के लिए सत्य है।

(D) शर्त $\begin{vmatrix} a_1 & b_1 & c_1 \\ a_2 & b_2 & c_2 \\ a_3 & b_3 & c_3 \end{vmatrix} = 0$ तीन रेखाओं $a_i x + b_i y + c_i = 0$ $(i = 1, 2, 3)$ के संगामी होने के लिए आवश्यक शर्त है।
यदि रेखाएँ समांतर नहीं हैं (अर्थात,$i \neq j$ के लिए $\frac{a_i}{a_j} \neq \frac{b_i}{b_j}$),तो सारणिक का मान शून्य होने का अर्थ है कि तीनों रेखाएँ एक सामान्य बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।
अतः,यदि $i \neq j$ के लिए $\frac{a_i}{a_j} \neq \frac{b_i}{b_j} \neq \frac{c_i}{c_j}$ है,तो रेखाएँ संगामी हैं।

(C) माना प्रतिच्छेदन बिंदु से गुजरने वाली रेखाओं के निकाय का समीकरण $(ax + 2by + 3b) + \lambda(bx - 2ay - 3a) = 0$ है।
चूँकि रेखा $x$-अक्ष के समांतर है,इसकी ढाल $0$ होनी चाहिए।
समीकरण को $(a + \lambda b)x + (2b - 2a\lambda)y + (3b - 3a\lambda) = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
रेखा के $x$-अक्ष के समांतर होने के लिए,$x$ का गुणांक $0$ होना चाहिए,अतः $a + \lambda b = 0$,जिससे $\lambda = -\frac{a}{b}$ प्राप्त होता है।
$\lambda = -\frac{a}{b}$ को समीकरण में रखने पर:
$(ax + 2by + 3b) - \frac{a}{b}(bx - 2ay - 3a) = 0$
$ax + 2by + 3b - ax + \frac{2a^2}{b}y + \frac{3a^2}{b} = 0$
$(2b + \frac{2a^2}{b})y = -(\frac{3a^2}{b} + 3b)$
$2(a^2 + b^2)y = -3(a^2 + b^2)$
चूँकि $(a, b) \neq (0, 0)$,इसलिए $a^2 + b^2 \neq 0$,अतः $y = -\frac{3}{2}$।
यह $x$-अक्ष के नीचे $\frac{3}{2}$ दूरी पर स्थित $x$-अक्ष के समांतर एक रेखा को दर्शाता है।

(A) तीन बिंदुओं $A(x_1, y_1)$,$B(x_2, y_2)$ और $C(x_3, y_3)$ के संरेख होने के लिए,उनके द्वारा निर्मित त्रिभुज का क्षेत्रफल शून्य होना चाहिए,या $AB$ की ढाल $BC$ की ढाल के बराबर होनी चाहिए।
सारणिक विधि का उपयोग करते हुए:
$\begin{vmatrix} 1 & 6 & 1 \\ 3 & -4 & 1 \\ x & y & 1 \end{vmatrix} = 0$
पहली पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$1(-4 - y) - 6(3 - x) + 1(3y - (-4x)) = 0$
$-4 - y - 18 + 6x + 3y + 4x = 0$
$10x + 2y - 22 = 0$
$2$ से विभाजित करने पर:
$5x + y - 11 = 0$

(A) दिया गया समीकरण $4a^2 + 12ab + 9b^2 - c^2 = 0$ है।
इसे $(2a + 3b)^2 - c^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सर्वसमिका $x^2 - y^2 = (x - y)(x + y)$ का उपयोग करने पर,$(2a + 3b - c)(2a + 3b + c) = 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $2a + 3b - c = 0$ या $2a + 3b + c = 0$,जिसे $c = \pm(2a + 3b)$ लिखा जा सकता है।
इस मान को रेखा के समीकरण $ax + by + c = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर,$ax + by \pm(2a + 3b) = 0$ प्राप्त होता है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,$a(x \pm 2) + b(y \pm 3) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि यह सभी $a$ और $b$ के लिए सत्य है,इसलिए गुणांक शून्य होने चाहिए: $x \pm 2 = 0$ और $y \pm 3 = 0$।
अतः,रेखाएं $(2, 3)$ या $(-2, -3)$ पर संगामी हैं।

(D) रेखाओं $x+2y-9=0$,$3x+5y-5=0$ और $ax+by-1=0$ के संगामी होने की शर्त यह है कि उनके गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\left|\begin{array}{ccc}1 & 2 & -9 \\ 3 & 5 & -5 \\ a & b & -1\end{array}\right|=0$
तीसरी पंक्ति के अनुदिश विस्तार करने पर:
$a(-10 + 45) - b(-5 + 27) + (-1)(5 - 6) = 0$
$35a - 22b + 1 = 0$
यह समीकरण दर्शाता है कि बिंदु $(a, b)$ समीकरण $35x - 22y + 1 = 0$ को संतुष्ट करता है। अतः,रेखा $35x - 22y + 1 = 0$ बिंदु $(a, b)$ से होकर गुजरती है।

(B) माना प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक $(\alpha, -\alpha)$ हैं क्योंकि यह $4^{th}$ चतुर्थांश में स्थित है और अक्षों से समान दूरी पर है।
चूँकि $(\alpha, -\alpha)$,$2ax + 4ay + c = 0$ पर स्थित है,इसलिए:
$2a(\alpha) + 4a(-\alpha) + c = 0$
$-2a\alpha + c = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{c}{2a} \quad (i)$
चूँकि $(\alpha, -\alpha)$,$7bx + 3by - d = 0$ पर स्थित है,इसलिए:
$7b(\alpha) + 3b(-\alpha) - d = 0$
$4b\alpha - d = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{d}{4b} \quad (ii)$
$(i)$ और $(ii)$ की तुलना करने पर:
$\frac{c}{2a} = \frac{d}{4b}$
$4bc = 2ad$
$\frac{ad}{bc} = \frac{4}{2} = \frac{2}{1}$
अतः,$ad : bc = 2 : 1$.

(D) दी गई रेखाएँ इस प्रकार हैं:
$x - (t + \alpha) = 0$
$y + 16 = 0$
$-\alpha x + y = 0$
चूँकि ये रेखाएँ संगामी हैं,इसलिए गुणांकों का सारणिक शून्य होना चाहिए:
$\begin{vmatrix} 1 & 0 & -(t+\alpha) \\ 0 & 1 & 16 \\ -\alpha & 1 & 0 \end{vmatrix} = 0$
प्रथम पंक्ति के अनुदिश सारणिक का विस्तार करने पर:
$1(0 - 16) - 0 + (-(t + \alpha))(0 - (-\alpha)) = 0$
$-16 - (t + \alpha)(\alpha) = 0$
$-16 - t\alpha - \alpha^2 = 0$
$\alpha^2 + t\alpha + 16 = 0$
$\alpha$ के वास्तविक होने के लिए,विविक्तकर $D$ का मान शून्य या उससे अधिक होना चाहिए:
$D = t^2 - 4(1)(16) \geq 0$
$t^2 - 64 \geq 0$
$t^2 \geq 64$
चूँकि $t$ धनात्मक होना चाहिए,इसलिए $t \geq 8$.
अतः,$t$ का न्यूनतम धनात्मक मान $8$ है।