यदि S_1, S_2, S_3, dots, S_m उन m A.P. के n प | vedclass

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Question

(A) $A.P.$ के $n$ पदों का योग $S = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ द्वारा दिया जाता है।$k$-वें $A.P.$ के लिए,प्रथम पद $a_k = k$ और सार्व अंतर $d_k = 2k -

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$\frac{1}{2}mn(mn + 1)$

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(A) $A.P.$ के $n$ पदों का योग $S = \frac{n}{2}[2a + (n - 1)d]$ द्वारा दिया जाता है।$k$-वें $A.P.$ के लिए,प्रथम पद $a_k = k$ और सार्व अंतर $d_k = 2k - 1$ है।अतः,$S_k = \frac{n}{2}[2k + (n - 1)(2k - 1)] = \frac{n}{2}[2kn - n + 1]$।अब,$\sum_{k=1}^{m} S_k = \sum_{k=1}^{m} \frac{n}{2}[2kn - n + 1] = \frac{n}{2} [2n \sum_{k=1}^{m} k - \sum_{k=1}^{m} (n - 1)]$।$= \frac{n}{2} [2n \frac{m(m+1)}{2} - m(n-1)] = \frac{n}{2} [nm(m+1) - m(n-1)]$।$= \frac{nm}{2} [n(m+1) - (n-1)] = \frac{nm}{2} [nm + n - n + 1] = \frac{1}{2}mn(mn + 1)$।

यदि $S_1, S_2, S_3, \dots, S_m$ उन $m$ $A.P.$ के $n$ पदों का योग है जिनके प्रथम पद $1, 2, 3, \dots, m$ और सार्व अंतर क्रमशः $1, 3, 5, \dots, 2m - 1$ हैं,तो $S_1 + S_2 + S_3 + \dots + S_m = $

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