क्रमागत पूर्णांकों की एक A.P. का प्रथम पद {p^ | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $A.P.$ क्रमागत पूर्णांकों की है,इसलिए सार्व अंतर $d = 1$ है।प्रथम पद $a = {p^2} + 1$ है।पदों की संख्या $n = 2p + 1$ है।$A.P.$ के $n

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${p^3} + {(p + 1)^3}$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि $A.P.$ क्रमागत पूर्णांकों की है,इसलिए सार्व अंतर $d = 1$ है।प्रथम पद $a = {p^2} + 1$ है।पदों की संख्या $n = 2p + 1$ है।$A.P.$ के $n$ पदों का योग $S_n = \frac{n}{2} \{ 2a + (n - 1)d \}$ होता है।मान रखने पर:$S_{2p+1} = \frac{2p+1}{2} \{ 2({p^2} + 1) + (2p + 1 - 1)(1) \}$$S_{2p+1} = \frac{2p+1}{2} \{ 2{p^2} + 2 + 2p \}$$S_{2p+1} = (2p + 1)({p^2} + p + 1)$इस व्यंजक का विस्तार करने पर:$(2p + 1)({p^2} + p + 1) = 2{p^3} + 3{p^2} + 3p + 1$अब,${p^3} + {(p + 1)^3}$ व्यंजक पर विचार करें:${p^3} + ({p^3} + 3{p^2} + 3p + 1) = 2{p^3} + 3{p^2} + 3p + 1$.अतः,योग ${p^3} + {(p + 1)^3}$ है।

क्रमागत पूर्णांकों की एक $A.P.$ का प्रथम पद ${p^2} + 1$ है। इस श्रेणी के $(2p + 1)$ पदों के योग को किस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है?

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