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Question

(A) माना प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।दिया गया है कि प्रथम $n$ पदों का योग $S_n$ प्रथम $m$ पदों के योग $S_m$ के बराबर है:$\frac{n}{2}[2a + (n

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(A) माना प्रथम पद $a$ है और सार्व अंतर $d$ है।दिया गया है कि प्रथम $n$ पदों का योग $S_n$ प्रथम $m$ पदों के योग $S_m$ के बराबर है:$\frac{n}{2}[2a + (n - 1)d] = \frac{m}{2}[2a + (m - 1)d]$$n[2a + (n - 1)d] = m[2a + (m - 1)d]$$2an + n(n - 1)d = 2am + m(m - 1)d$$2a(n - m) + d(n^2 - n - m^2 + m) = 0$$2a(n - m) + d[(n^2 - m^2) - (n - m)] = 0$$2a(n - m) + d[(n - m)(n + m) - (n - m)] = 0$चूंकि $m 
e n$,हम $(n - m)$ से विभाजित कर सकते हैं:$2a + d(n + m - 1) = 0$अब,प्रथम $(m + n)$ पदों का योग है:$S_{m+n} = \frac{m + n}{2}[2a + (m + n - 1)d]$$2a + (m + n - 1)d = 0$ प्रतिस्थापित करने पर:$S_{m+n} = \frac{m + n}{2} 	imes 0 = 0$

यदि एक $A.P.$ के प्रथम $n$ पदों का योगफल उसके प्रथम $m$ पदों के योगफल के बराबर है,$(m \ne n)$,तो उसके प्रथम $(m + n)$ पदों का योगफल होगा

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