Definition of combinations, Condition combinations Questions in Hindi

(A) टीम में कम से कम $3$ लड़कियाँ होनी चाहिए। चूँकि केवल $4$ लड़कियाँ उपलब्ध हैं,इसलिए $5$ सदस्यों की टीम के लिए संभावित स्थितियाँ हैं:
स्थिति $1$: $3$ लड़कियाँ और $2$ लड़के।
तरीकों की संख्या = $^{4}C_{3} \times ^{7}C_{2} = 4 \times 21 = 84$.
स्थिति $2$: $4$ लड़कियाँ और $1$ लड़का।
तरीकों की संख्या = $^{4}C_{4} \times ^{7}C_{1} = 1 \times 7 = 7$.
कुल तरीकों की संख्या = $84 + 7 = 91$.

(A) $9$ लड़कों और $4$ लड़कियों में से $7$ सदस्यों की एक समिति बनाई जानी है।
चूँकि समिति में ठीक $3$ लड़कियाँ होनी चाहिए,इसलिए आवश्यक लड़कों की संख्या $7 - 3 = 4$ है।
$4$ लड़कियों में से $3$ लड़कियों को चुनने के तरीके $= ^{4}C_{3}$ हैं।
$9$ लड़कों में से $4$ लड़कों को चुनने के तरीके $= ^{9}C_{4}$ हैं।
कुल तरीके $= ^{4}C_{3} \times ^{9}C_{4}$।
$^{4}C_{3} = \frac{4!}{3!1!} = 4$।
$^{9}C_{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$।
कुल तरीके $= 4 \times 126 = 504$।

(A) $9$ लड़कों और $4$ लड़कियों में से कम से कम $3$ लड़कियों के साथ $7$ सदस्यों की समिति बनाने के लिए,हम निम्नलिखित स्थितियों पर विचार करते हैं:
स्थिति $1$: $3$ लड़कियाँ और $4$ लड़के।
तरीकों की संख्या $= ^{4}C_{3} \times ^{9}C_{4} = 4 \times 126 = 504$.
स्थिति $2$: $4$ लड़कियाँ और $3$ लड़के।
तरीकों की संख्या $= ^{4}C_{4} \times ^{9}C_{3} = 1 \times 84 = 84$.
कुल तरीकों की संख्या $= 504 + 84 = 588$.

(A) चूँकि समिति में अधिकतम $3$ लड़कियाँ होनी चाहिए,इसलिए संभावित स्थितियाँ हैं:
$(a)$ $3$ लड़कियाँ और $4$ लड़के: $^{4}C_{3} \times ^{9}C_{4} = 4 \times 126 = 504$
$(b)$ $2$ लड़कियाँ और $5$ लड़के: $^{4}C_{2} \times ^{9}C_{5} = 6 \times 126 = 756$
$(c)$ $1$ लड़की और $6$ लड़के: $^{4}C_{1} \times ^{9}C_{6} = 4 \times 84 = 336$
$(d)$ $0$ लड़कियाँ और $7$ लड़के: $^{4}C_{0} \times ^{9}C_{7} = 1 \times 36 = 36$
कुल तरीकों की संख्या $= 504 + 756 + 336 + 36 = 1632$.

(A) चरण $1$: $5$ उपलब्ध स्वरों में से $2$ अलग स्वर चुनें। चुनने के तरीके $^{5}C_{2} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ हैं।
चरण $2$: $21$ उपलब्ध व्यंजनों में से $2$ अलग व्यंजन चुनें। चुनने के तरीके $^{21}C_{2} = \frac{21 \times 20}{2 \times 1} = 210$ हैं।
चरण $3$: $2$ स्वरों और $2$ व्यंजनों के कुल संयोजन $10 \times 210 = 2100$ हैं।
चरण $4$: प्रत्येक संयोजन में $4$ अलग अक्षर होते हैं,जिन्हें $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। $4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
चरण $5$: बनाए जा सकने वाले शब्दों की कुल संख्या $2100 \times 24 = 50400$ है।

(A) प्रश्न पत्र में $12$ प्रश्न हैं: भाग $I$ ($5$ प्रश्न) और भाग $II$ ($7$ प्रश्न)।
एक छात्र को कुल $8$ प्रश्न चुनने हैं,जिसमें प्रत्येक भाग से कम से कम $3$ प्रश्न होने चाहिए। संभावित संयोजन इस प्रकार हैं:
$(a)$ भाग $I$ से $3$ प्रश्न और भाग $II$ से $5$ प्रश्न: $^{5}C_{3} \times ^{7}C_{5} = 10 \times 21 = 210$ तरीके।
$(b)$ भाग $I$ से $4$ प्रश्न और भाग $II$ से $4$ प्रश्न: $^{5}C_{4} \times ^{7}C_{4} = 5 \times 35 = 175$ तरीके।
$(c)$ भाग $I$ से $5$ प्रश्न और भाग $II$ से $3$ प्रश्न: $^{5}C_{5} \times ^{7}C_{3} = 1 \times 35 = 35$ तरीके।
कुल तरीके = $210 + 175 + 35 = 420$ तरीके।

(A) $52$ ताश के पत्तों में $4$ राजा और $48$ अन्य पत्ते होते हैं।
हमें $5$ पत्ते इस प्रकार चुनने हैं कि उनमें ठीक एक राजा हो।
सबसे पहले,$4$ राजाओं में से $1$ राजा चुनने के तरीके $^{4}C_{1}$ हैं।
इसके बाद,शेष $48$ पत्तों में से $4$ पत्ते चुनने के तरीके $^{48}C_{4}$ हैं।
गणना के मूलभूत सिद्धांत के अनुसार,संयोजनों की कुल संख्या $^{4}C_{1} \times ^{48}C_{4}$ होगी।

(A) कुल छात्र = $25$. चुने जाने वाले छात्र = $10$.
स्थिति $I$: तीनों विशिष्ट छात्र दल में शामिल होते हैं।
हमें शेष $25 - 3 = 22$ छात्रों में से $10 - 3 = 7$ छात्रों को चुनना है।
तरीकों की संख्या = $^{22}C_{7}$.
स्थिति $II$: तीनों विशिष्ट छात्र दल में शामिल नहीं होते हैं।
हमें शेष $25 - 3 = 22$ छात्रों में से $10$ छात्रों को चुनना है।
तरीकों की संख्या = $^{22}C_{10}$.
कुल तरीकों की संख्या = $^{22}C_{7} + ^{22}C_{10}$.

(A) $1$ से $20$ तक की संख्याओं में से $6$ अलग-अलग संख्याएँ चुनने के कुल तरीके संचय सूत्र $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दिए जाते हैं।
कुल तरीके $= ^{20}C_{6} = \frac{20!}{6! \times 14!} = \frac{20 \times 19 \times 18 \times 17 \times 16 \times 15}{6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 38760$.
चूंकि लॉटरी समिति द्वारा केवल एक विशिष्ट संयोजन निर्धारित किया गया है,इसलिए अनुकूल परिणाम $1$ है।
अतः,पुरस्कार जीतने की प्रायिकता $= \frac{\text{अनुकूल परिणाम}}{\text{कुल परिणाम}} = \frac{1}{38760}$ है।

(A) माना कि $3$-अंकीय संख्या $xyz$ है,जहाँ $x$ सैकड़ा का अंक,$y$ दहाई का अंक और $z$ इकाई का अंक है।
हमें शर्त दी गई है कि $x + y + z = 10$,जहाँ $1 \leq x \leq 9$ और $0 \leq y, z \leq 9$ है।
माना $T = x - 1$,तो $x = T + 1$ है। चूँकि $1 \leq x \leq 9$,इसलिए $0 \leq T \leq 8$ है।
समीकरण में रखने पर: $(T + 1) + y + z = 10 \implies T + y + z = 9$।
$T + y + z = 9$ के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{n+r-1}{r-1} = \binom{9+3-1}{3-1} = \binom{11}{2} = 55$ है।
हालाँकि,हमें उन स्थितियों को बाहर करना होगा जहाँ अंक $9$ से अधिक हो जाते हैं।
चूँकि $T \leq 8$,$y \leq 9$,और $z \leq 9$ है,इसलिए केवल $T=9$ वाली स्थिति को बाहर करना होगा (जिसका अर्थ है $x=10$,जो संभव नहीं है)।
यदि $T=9$ है,तो $y=0$ और $z=0$ होगा। यह $1$ स्थिति है।
अतः,कुल $3$-अंकीय संख्याएँ $55 - 1 = 54$ हैं।

(A) माना $I$ भारतीयों की संख्या है और $F$ विदेशियों की संख्या है। हमें दिया गया है कि $I \ge 2$ और $F = 2I$ है।
चूंकि $6$ भारतीय और $8$ विदेशी उपलब्ध हैं,इसलिए $I \le 6$ और $F \le 8$ होना चाहिए।
$F = 2I$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $2I \le 8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $I \le 4$।
अतः,$I$ के लिए संभावित मान $2, 3, 4$ हैं।

$I$ (भारतीय)	$F$ (विदेशी)	तरीकों की संख्या
$2$	$4$	${}^{6}C_{2} \times {}^{8}C_{4} = 15 \times 70 = 1050$
$3$	$6$	${}^{6}C_{3} \times {}^{8}C_{6} = 20 \times 28 = 560$
$4$	$8$	${}^{6}C_{4} \times {}^{8}C_{8} = 15 \times 1 = 15$

कुल तरीकों की संख्या $= 1050 + 560 + 15 = 1625$.

(C) कुल खिलाड़ी = $15$ ($6$ गेंदबाज,$7$ बल्लेबाज,$2$ विकेटकीपर)।
हमें $11$ खिलाड़ियों का चयन इस प्रकार करना है कि कम से कम $4$ गेंदबाज,$5$ बल्लेबाज और $1$ विकेटकीपर हों।
(गेंदबाज,बल्लेबाज,विकेटकीपर) के लिए संभावित स्थितियाँ:
$1$. $(4, 5, 2): {}^{6}C_{4} \times {}^{7}C_{5} \times {}^{2}C_{2} = 15 \times 21 \times 1 = 315$
$2$. $(4, 6, 1): {}^{6}C_{4} \times {}^{7}C_{6} \times {}^{2}C_{1} = 15 \times 7 \times 2 = 210$
$3$. $(5, 5, 1): {}^{6}C_{5} \times {}^{7}C_{5} \times {}^{2}C_{1} = 6 \times 21 \times 2 = 252$
कुल योग: $315 + 210 + 252 = 777$।
अतः,चयन के कुल तरीके $777$ हैं।

(B) कुल लड़के $n(B) = 10$ और कुल लड़कियाँ $n(G) = 5$ हैं।
बिना किसी प्रतिबंध के $3$ लड़कों और $3$ लड़कियों का समूह बनाने के कुल तरीके:
$= {}^{10}C_{3} \times {}^{5}C_{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 120 \times 10 = 1200$.
अब,उन तरीकों की संख्या ज्ञात करें जिनमें $B_{1}$ और $B_{2}$ दोनों समूह के सदस्य हैं। यदि $B_{1}$ और $B_{2}$ पहले से ही चुने गए हैं,तो हमें शेष $8$ लड़कों में से $1$ और लड़का और $5$ लड़कियों में से $3$ लड़कियाँ चुननी होंगी:
$= {}^{8}C_{1} \times {}^{5}C_{3} = 8 \times 10 = 80$.
उन तरीकों की संख्या जिनमें $B_{1}$ और $B_{2}$ दोनों एक ही समूह में नहीं हैं,कुल तरीकों में से प्रतिबंधित तरीकों को घटाने पर प्राप्त होती है:
$= 1200 - 80 = 1120$.

(A) हमारे पास $5$ लाल घन और $11$ नीले घन हैं। लाल घनों को $R$ मान लें। $5$ लाल घनों को एक पंक्ति में रखने पर $6$ रिक्त स्थान (सिरों सहित) बनते हैं जहाँ नीले घन रखे जा सकते हैं: $\_ R \_ R \_ R \_ R \_ R \_$.
मान लीजिए $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5, x_6$ इन $6$ स्थानों में नीले घनों की संख्या है।
हमें समीकरण मिलता है: $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 = 11$.
शर्त के अनुसार किन्हीं भी दो लाल घनों के बीच कम से कम $2$ नीले घन होने चाहिए,इसलिए $x_2, x_3, x_4, x_5 \geq 2$ और $x_1, x_6 \geq 0$.
मान लीजिए $x_2 = t_2 + 2, x_3 = t_3 + 2, x_4 = t_4 + 2, x_5 = t_5 + 2$,जहाँ $t_2, t_3, t_4, t_5 \geq 0$.
समीकरण में मान रखने पर: $x_1 + t_2 + t_3 + t_4 + t_5 + x_6 = 3$.
स्टार्स और बार्स सूत्र का उपयोग करते हुए,गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{n+k-1}{k-1}$ है,जहाँ $n=3$ और $k=6$.
तरीकों की संख्या $= \binom{3+6-1}{6-1} = \binom{8}{5} = \binom{8}{3} = 56$.

(A) लड़कों में से $3$ लड़कों और $g$ लड़कियों में से $2$ लड़कियों को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^{b}C_{3} \times {}^{g}C_{2} = 168$ द्वारा दी जाती है।
संयोजन का विस्तार करने पर: $\frac{b(b-1)(b-2)}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{g(g-1)}{2 \times 1} = 168$.
$b(b-1)(b-2) \times g(g-1) = 168 \times 12 = 2016$.
$b$ और $g$ के लिए पूर्णांक मानों की जाँच करने पर: यदि $b=8$ है,तो ${}^{8}C_{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{6} = 56$.
तब ${}^{g}C_{2} = \frac{168}{56} = 3$.
${}^{g}C_{2} = 3$ के लिए,$\frac{g(g-1)}{2} = 3$,जिससे $g(g-1) = 6$ प्राप्त होता है,जो $g=3$ देता है।
अतः,$b=8$ और $g=3$.
$b + 3g = 8 + 3(3) = 8 + 9 = 17$.

(C) दी गई असमिका: $\binom{n-1}{5} + \binom{n-1}{6} < \binom{n}{7}$.
पास्कल के सर्वसमिका $\binom{n}{r-1} + \binom{n}{r} = \binom{n+1}{r}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है $\binom{n-1}{5} + \binom{n-1}{6} = \binom{n}{6}$.
अतः,$\binom{n}{6} < \binom{n}{7}$.
सूत्र का विस्तार करने पर: $\frac{n!}{6!(n-6)!} < \frac{n!}{7!(n-7)!}$.
दोनों पक्षों को सरल करने पर:
$\frac{1}{n-6} < \frac{1}{7}$.
अतः,$n-6 > 7$,जिसका अर्थ है $n > 13$.
इस प्रकार,$n$ का न्यूनतम प्राकृत मान $14$ है।

(C) कुल पाठ्यक्रम = $12$,भाषा पाठ्यक्रम = $5$,अन्य पाठ्यक्रम = $7$.
हमें $5$ पाठ्यक्रम इस प्रकार चुनने हैं कि अधिकतम $2$ भाषा पाठ्यक्रम हों।
स्थिति $1$: $0$ भाषा पाठ्यक्रम और $5$ अन्य पाठ्यक्रम:
$^{5}C_{0} \times ^{7}C_{5} = 1 \times 21 = 21$.
स्थिति $2$: $1$ भाषा पाठ्यक्रम और $4$ अन्य पाठ्यक्रम:
$^{5}C_{1} \times ^{7}C_{4} = 5 \times 35 = 175$.
स्थिति $3$: $2$ भाषा पाठ्यक्रम और $3$ अन्य पाठ्यक्रम:
$^{5}C_{2} \times ^{7}C_{3} = 10 \times 35 = 350$.
कुल तरीके = $21 + 175 + 350 = 546$.

(A) हमारे पास $7$ लाल सेब $(RA)$,$5$ सफेद सेब $(WA)$ और $8$ संतरे $(O)$ हैं। हमें $5$ फल इस प्रकार चुनने हैं कि उनमें कम से कम $2$ संतरे,कम से कम $1$ लाल सेब और कम से कम $1$ सफेद सेब हो।
संभावित संयोजन $(O, RA, WA)$ इस प्रकार हैं:
$1. (2, 1, 2) \Rightarrow {}^{8}C_{2} \times {}^{7}C_{1} \times {}^{5}C_{2} = 28 \times 7 \times 10 = 1960$
$2. (2, 2, 1) \Rightarrow {}^{8}C_{2} \times {}^{7}C_{2} \times {}^{5}C_{1} = 28 \times 21 \times 5 = 2940$
$3. (3, 1, 1) \Rightarrow {}^{8}C_{3} \times {}^{7}C_{1} \times {}^{5}C_{1} = 56 \times 7 \times 5 = 1960$
कुल तरीकों की संख्या = $1960 + 2940 + 1960 = 6860$.

(B) दिया गया समीकरण $x+y+z=21$ है,जहाँ $x \geq 1, y \geq 3, z \geq 4$ है।
माना $x' = x-1, y' = y-3, z' = z-4$,जहाँ $x', y', z' \geq 0$ है।
समीकरण में मान रखने पर: $(x'+1) + (y'+3) + (z'+4) = 21$.
$x' + y' + z' + 8 = 21$.
$x' + y' + z' = 13$.
अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या का सूत्र $\binom{n+r-1}{r-1}$ है,जहाँ $n=13$ और $r=3$ है।
हलों की संख्या = $\binom{13+3-1}{3-1} = \binom{15}{2}$.
$\binom{15}{2} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 15 \times 7 = 105$.

(D) दिया गया है कि $\frac{{}^{2n}C_3}{{}^{n}C_3} = 10$.
सूत्र ${}^{n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{(2n)(2n-1)(2n-2)}{3 \times 2 \times 1}}{\frac{n(n-1)(n-2)}{3 \times 2 \times 1}} = 10$
$\frac{2n(2n-1)(2n-2)}{n(n-1)(n-2)} = 10$
$\frac{2(2n-1) \cdot 2(n-1)}{(n-1)(n-2)} = 10$
$\frac{4(2n-1)}{n-2} = 10$
$8n - 4 = 10n - 20$
$2n = 16 \Rightarrow n = 8$.
अब,$n = 8$ को अनुपात $(n^2 + 3n) : (n^2 - 3n + 4)$ में रखने पर:
$n^2 + 3n = 8^2 + 3(8) = 64 + 24 = 88$
$n^2 - 3n + 4 = 8^2 - 3(8) + 4 = 64 - 24 + 4 = 44$
अनुपात $= 88 : 44 = 2 : 1$.

(C) $UNIVERSE$ शब्द में $8$ अक्षर हैं: $U, N, I, V, E, R, S, E$.
भिन्न अक्षर $U, N, I, V, E, R, S$ हैं।
यहाँ $3$ स्वर $\{U, I, E\}$ और $4$ व्यंजन $\{N, V, R, S\}$ हैं।
$3$ में से $2$ स्वर और $4$ में से $2$ व्यंजन चुनने के तरीके = $\binom{3}{2} \times \binom{4}{2} = 3 \times 6 = 18$.
प्रत्येक चयन में $4$ भिन्न अक्षर होते हैं,जिन्हें $4! = 24$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल शब्दों की संख्या = $18 \times 24 = 432$.

(A) दिया गया है कि $n(A) = 5$ और $n(B) = 2$ है।
कार्तीय गुणन $A \times B$ में अवयवों की संख्या $n(A \times B) = n(A) \times n(B) = 5 \times 2 = 10$ है।
हमें $A \times B$ के उन उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें कम से कम $3$ और अधिक से अधिक $6$ अवयव हों।
यह संचय के योग की गणना करने के बराबर है: ${}^{10}C_3 + {}^{10}C_4 + {}^{10}C_5 + {}^{10}C_6$।
प्रत्येक पद की गणना:
${}^{10}C_3 = 120$
${}^{10}C_4 = 210$
${}^{10}C_5 = 252$
${}^{10}C_6 = 210$
इन मानों का योग: $120 + 210 + 252 + 210 = 792$।

(A) दिया गया समीकरण: $^{n-1}C_r = (k^2 - 8) ^nC_{r+1}$
सर्वसमिका $^{n}C_{r+1} = \frac{n}{r+1} ^{n-1}C_r$ का उपयोग करने पर:
$^{n-1}C_r = (k^2 - 8) \cdot \frac{n}{r+1} ^{n-1}C_r$
चूँकि $^{n-1}C_r \neq 0$,हमें प्राप्त होता है:
$1 = (k^2 - 8) \frac{n}{r+1} \Rightarrow \frac{r+1}{n} = k^2 - 8$
चूँकि $0 \leq r+1 \leq n$,इसलिए $0 < \frac{r+1}{n} \leq 1$ होता है।
अतः,$0 < k^2 - 8 \leq 1$.
$k^2 - 8 > 0$ को हल करने पर $k^2 > 8$ प्राप्त होता है,अर्थात $k > 2\sqrt{2}$ या $k < -2\sqrt{2}$।
$k^2 - 8 \leq 1$ को हल करने पर $k^2 \leq 9$ प्राप्त होता है,अर्थात $-3 \leq k \leq 3$।
इन दोनों को मिलाने पर,धनात्मक $k$ के लिए,हमें $2\sqrt{2} < k \leq 3$ प्राप्त होता है।

(D) यह प्रश्न $n = 8$ समान वस्तुओं को $4$ समान बक्सों में विभाजित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए है,जहाँ बक्से खाली रह सकते हैं। यह $8$ के अधिकतम $4$ भागों में विभाजन की संख्या ज्ञात करने के बराबर है,जिसे $p_4(8)$ के रूप में दर्शाया जाता है।
हम $8$ के अधिकतम $4$ भागों में विभाजन की सूची बनाते हैं:
$1$ भाग: $(8) \rightarrow 1$ तरीका
$2$ भाग: $(7,1), (6,2), (5,3), (4,4) \rightarrow 4$ तरीके
$3$ भाग: $(6,1,1), (5,2,1), (4,3,1), (4,2,2), (3,3,2) \rightarrow 5$ तरीके
$4$ भाग: $(5,1,1,1), (4,2,1,1), (3,3,1,1), (3,2,2,1), (2,2,2,2) \rightarrow 5$ तरीके
कुल तरीकों की संख्या = $1 + 4 + 5 + 5 = 15$.

(B) मान लीजिए $n_A, n_B, n_C$ क्रमशः खंड $A, B, C$ से चुने गए प्रश्नों की संख्या है। हमारे पास $n_A + n_B + n_C = 15$ है,जहाँ $n_A \ge 4, n_B \ge 4, n_C \ge 4$ और $n_A \le 8, n_B \le 6, n_C \le 6$ है।
संभावित संयोजन $(n_A, n_B, n_C)$ हैं:
$1$. $(7, 4, 4): \binom{8}{7} \binom{6}{4} \binom{6}{4} = 1800$
$2$. $(6, 5, 4): \binom{8}{6} \binom{6}{5} \binom{6}{4} = 2520$
$3$. $(6, 4, 5): \binom{8}{6} \binom{6}{4} \binom{6}{5} = 2520$
$4$. $(5, 6, 4): \binom{8}{5} \binom{6}{6} \binom{6}{4} = 840$
$5$. $(5, 4, 6): \binom{8}{5} \binom{6}{4} \binom{6}{6} = 840$
$6$. $(5, 5, 5): \binom{8}{5} \binom{6}{5} \binom{6}{5} = 2016$
$7$. $(4, 6, 5): \binom{8}{4} \binom{6}{6} \binom{6}{5} = 420$
$8$. $(4, 5, 6): \binom{8}{4} \binom{6}{5} \binom{6}{6} = 420$
कुल तरीके $= 1800 + 2520 + 2520 + 840 + 840 + 2016 + 420 + 420 = 11376$.

(D) माना तीन बच्चों को दिए गए सेबों की संख्या $x_1, x_2, x_3$ है।
हमें $x_1 + x_2 + x_3 = 21$ दिया गया है,जहाँ $x_i \ge 2$ है।
माना $y_i = x_i - 2$,इसलिए $y_i \ge 0$ है।
$x_i = y_i + 2$ प्रतिस्थापित करने पर,$(y_1 + 2) + (y_2 + 2) + (y_3 + 2) = 21$ प्राप्त होता है।
$y_1 + y_2 + y_3 + 6 = 21$,जो सरल होकर $y_1 + y_2 + y_3 = 15$ हो जाता है।
गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या का सूत्र $\binom{n+r-1}{r-1}$ है,जहाँ $n = 15$ और $r = 3$ है।
तरीकों की संख्या = $\binom{15+3-1}{3-1} = \binom{17}{2}$ है।
$\binom{17}{2} = \frac{17 \times 16}{2 \times 1} = 17 \times 8 = 136$।

(D) $MATHEMATICS$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $M, M, A, A, T, T, H, E, I, C, S$।
इसमें $8$ अलग-अलग अक्षर हैं: $\{M, A, T, H, E, I, C, S\}$।
हमें $5$ अक्षर चुनने हैं। स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
$(1)$ सभी $5$ अक्षर अलग हों:
$8$ अलग अक्षरों में से $5$ चुनने के तरीके: $^8C_5 = 56$।
$(2)$ $2$ अक्षर समान (एक जोड़ा) और $3$ अलग हों:
$3$ जोड़े हैं $(M, M)$,$(A, A)$,$(T, T)$। $1$ जोड़ा चुनने के तरीके $^3C_1$ हैं।
शेष $7$ अलग अक्षरों में से $3$ चुनने के तरीके $^7C_3$ हैं।
कुल तरीके = $^3C_1 \times ^7C_3 = 3 \times 35 = 105$।
$(3)$ $2$ जोड़े समान अक्षरों के और $1$ अलग अक्षर हो:
$3$ उपलब्ध जोड़ों में से $2$ जोड़े चुनने के तरीके $^3C_2$ हैं।
शेष $6$ अलग अक्षरों में से $1$ अक्षर चुनने के तरीके $^6C_1$ हैं।
कुल तरीके = $^3C_2 \times ^6C_1 = 3 \times 6 = 18$।
कुल तरीकों की संख्या = $56 + 105 + 18 = 179$।

(D) माना तीन अंकों की संख्या $N = 100a + 10b + c$ है,जहाँ $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ और $b, c \in \{0, 1, \dots, 9\}$ है।
हमें $a + b + c = 14$ के हलों की संख्या ज्ञात करनी है।
समावेशन-अपवर्जन (Inclusion-Exclusion) विधि का उपयोग करते हुए:
$a' = a - 1$ लेने पर,$a' + b + c = 13$,जहाँ $0 \leq a' \leq 8$,$0 \leq b \leq 9$,और $0 \leq c \leq 9$ है।
कुल हल = $\binom{15}{2} = 105$ है।
सीमा से बाहर के मामलों को घटाने पर:
$a' \geq 9$ के लिए: $\binom{6}{2} = 15$ है।
$b \geq 10$ के लिए: $\binom{5}{2} = 10$ है।
$c \geq 10$ के लिए: $\binom{5}{2} = 10$ है।
कुल हल = $105 - (15 + 10 + 10) = 70$ है।

(D) समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ में $5$ विषम संख्याएँ $\{1, 3, 5, 7, 9\}$ और $4$ सम संख्याएँ $\{2, 4, 6, 8\}$ हैं।
हम $S$ के $5$ तत्वों वाले उन उपसमुच्चयों की कुल संख्या ज्ञात कर रहे हैं,जिनमें विषम तत्वों की संख्या $k$ का मान $1, 2, 3, 4,$ या $5$ हो सकता है।
चूँकि $S$ में केवल $4$ सम संख्याएँ हैं,इसलिए $5$ तत्वों के किसी भी उपसमुच्चय में कम से कम $5 - 4 = 1$ विषम संख्या होनी चाहिए।
अतः,योग $N_1 + N_2 + N_3 + N_4 + N_5$ समुच्चय $S$ के $9$ तत्वों में से $5$ तत्वों को चुनने के कुल तरीकों को दर्शाता है।
यह संचय के सूत्र $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दिया जाता है।
$N_1 + N_2 + N_3 + N_4 + N_5 = \binom{9}{5} = \binom{9}{4} = \frac{9 \times 8 \times 7 \times 6}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 126$.

(B) $n$ वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को इस प्रकार चुनने के लिए कि कोई भी दो लगातार न हों,सूत्र $^{n-r+1}C_r$ है।
यहाँ,$n = 15$ और $r = 4$ है।
तरीकों की संख्या $= ^{15-4+1}C_4 = ^{12}C_4$ है।
मान की गणना:
$^{12}C_4 = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$।

(D) बिना किसी प्रतिबंध के $2, 3, 4$ आकार की टीमें $X, Y, Z$ बनाने के कुल तरीके $\binom{9}{2} \times \binom{7}{3} \times \binom{4}{4} = 36 \times 35 = 1260$ हैं।
मान लीजिए $A$ उन तरीकों का समूह है जहाँ $s_1 \in X$ और $B$ उन तरीकों का समूह है जहाँ $s_2 \in Y$ है।
हम कुल तरीकों में से उन तरीकों को घटाना चाहते हैं जहाँ ($s_1 \in X$ या $s_2 \in Y$) है।
Inclusion-Exclusion के सिद्धांत के अनुसार: $|A \cup B| = |A| + |B| - |A \cap B|$.
$|A|$ ($s_1 \in X$ वाले तरीके): $s_1$ को $X$ में निश्चित करें,शेष $8$ में से $1$ को $X$ के लिए और $7$ में से $3$ को $Y$ के लिए चुनें: $\binom{8}{1} \times \binom{7}{3} = 8 \times 35 = 280$.
$|B|$ ($s_2 \in Y$ वाले तरीके): $s_2$ को $Y$ में निश्चित करें,शेष $8$ में से $2$ को $X$ के लिए और $6$ में से $2$ को $Y$ के लिए चुनें: $\binom{8}{2} \times \binom{6}{2} = 28 \times 15 = 420$.
$|A \cap B|$ ($s_1 \in X$ और $s_2 \in Y$ वाले तरीके): $s_1$ को $X$ में और $s_2$ को $Y$ में निश्चित करें,शेष $7$ में से $1$ को $X$ के लिए और $6$ में से $2$ को $Y$ के लिए चुनें: $\binom{7}{1} \times \binom{6}{2} = 7 \times 15 = 105$.
$|A \cup B| = 280 + 420 - 105 = 595$.
कुल मान्य तरीके = $1260 - 595 = 665$.

(D) कुल $26$ अंग्रेजी वर्णमालाएँ हैं। हमें $5$ अक्षर चुनने हैं और उन्हें वर्णानुक्रम में व्यवस्थित करना है ताकि मध्य अक्षर $M$ हो।
चूँकि अक्षरों को वर्णानुक्रम में होना चाहिए,एक बार जब हम $5$ अक्षर चुन लेते हैं,तो उन्हें व्यवस्थित करने का केवल $1$ तरीका होता है।
मध्य अक्षर $M$ होने के लिए,हमें $M$ से पहले आने वाले $12$ अक्षरों ($A$ से $L$) में से $2$ अक्षर और $M$ के बाद आने वाले $13$ अक्षरों ($N$ से $Z$) में से $2$ अक्षर चुनने होंगे।
$12$ में से $2$ अक्षर चुनने के तरीके $^{12}C_2 = \frac{12 \times 11}{2} = 66$ हैं।
$13$ में से $2$ अक्षर चुनने के तरीके $^{13}C_2 = \frac{13 \times 12}{2} = 78$ हैं।
कुल तरीकों की संख्या $^{12}C_2 \times ^{13}C_2 = 66 \times 78 = 5148$ है।

(D) हम सर्वसमिका ${ }^{n} C_{r}+{ }^{n} C_{r-1}={ }^{n+1} C_{r}$ का उपयोग करते हैं।
सबसे पहले,पहले दो पदों को लें: ${ }^{15} C_4+{ }^{15} C_5 = { }^{16} C_5$.
अब,व्यंजक ${ }^{16} C_5+{ }^{16} C_6+{ }^{17} C_7+{ }^{18} C_8$ हो जाता है।
अगला,${ }^{16} C_5+{ }^{16} C_6 = { }^{17} C_6$.
अब,व्यंजक ${ }^{17} C_6+{ }^{17} C_7+{ }^{18} C_8$ हो जाता है।
अगला,${ }^{17} C_6+{ }^{17} C_7 = { }^{18} C_7$.
अब,व्यंजक ${ }^{18} C_7+{ }^{18} C_8$ हो जाता है।
अंत में,${ }^{18} C_7+{ }^{18} C_8 = { }^{19} C_8$.
दिया गया है ${ }^{19} C_8 = { }^{19} C_{r}$,हम जानते हैं कि ${ }^{n} C_{x} = { }^{n} C_{y}$ का अर्थ है $x = y$ या $x + y = n$.
यहाँ,$r = 8$ या $r = 19 - 8 = 11$।

(A) ${}^{n}C_{r}$ का अधिकतम मान $r = \frac{n}{2}$ पर होता है यदि $n$ सम है,और $r = \frac{n-1}{2}$ या $r = \frac{n+1}{2}$ पर होता है यदि $n$ विषम है।
${}^{10}C_{r}$ के लिए,$n=10$ (सम),इसलिए अधिकतम मान $r = \frac{10}{2} = 5$ पर है।
${}^{11}C_{r}$ के लिए,$n=11$ (विषम),इसलिए अधिकतम मान $r = 5$ और $r = 6$ पर है।
दोनों के लिए $r=5$ लेने पर,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{{}^{10}C_{5}}{{}^{11}C_{5}} = \frac{\frac{10!}{5!5!}}{\frac{11!}{5!6!}} = \frac{10!}{5!5!} \times \frac{5!6!}{11!} = \frac{10!}{11!} \times \frac{6!}{5!} = \frac{1}{11} \times 6 = \frac{6}{11}$.

(D) ${}^6C_r$ का अधिकतम मान $r = \frac{6}{2} = 3$ पर होता है।
मान ${}^6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ है।
दिया गया है कि ${}^6C_r$ के अधिकतम मान और ${}^nC_3$ के बीच का अंतर $16$ है,इसलिए $|20 - {}^nC_3| = 16$ है।
इसका अर्थ है ${}^nC_3 = 20 + 16 = 36$ या ${}^nC_3 = 20 - 16 = 4$।
स्थिति $1$: ${}^nC_3 = 36$ $\Rightarrow \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 36$ $\Rightarrow n(n-1)(n-2) = 216$। इसके लिए कोई पूर्णांक $n$ संभव नहीं है।
स्थिति $2$: ${}^nC_3 = 4$ $\Rightarrow \frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 4$ $\Rightarrow n(n-1)(n-2) = 24$।
मानों की जाँच करने पर,$n=4$ के लिए,$4 \times 3 \times 2 = 24$।
अतः,$n = 4$।

(C) हम पास्कल के सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: ${ }^{n} C_{r}+{ }^{n} C_{r-1}={ }^{n+1} C_{r}$।
दिया गया व्यंजक: ${ }^{11} C_4+{ }^{11} C_5+{ }^{12} C_6+{ }^{13} C_7={ }^{14} C_{r}$।
पहले दो पदों पर सर्वसमिका लागू करने पर: ${ }^{11} C_4+{ }^{11} C_5 = { }^{12} C_5$।
अब व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: ${ }^{12} C_5+{ }^{12} C_6+{ }^{13} C_7$।
पुनः सर्वसमिका लागू करने पर: ${ }^{12} C_5+{ }^{12} C_6 = { }^{13} C_6$।
अब व्यंजक इस प्रकार हो जाता है: ${ }^{13} C_6+{ }^{13} C_7$।
अंतिम बार सर्वसमिका लागू करने पर: ${ }^{13} C_6+{ }^{13} C_7 = { }^{14} C_7$।
इसे ${ }^{14} C_{r}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $r = 7$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया अनुपात $\frac{\frac{n!}{2!(n-2)!}}{\frac{n!}{4!(n-4)!}} = \frac{2}{1}$ है।
यह $\frac{n!}{2!(n-2)!} \times \frac{4!(n-4)!}{n!} = 2$ में सरल हो जाता है।
$n!$ को काटने और फैक्टोरियल का विस्तार करने पर,हमें मिलता है $\frac{4 \times 3 \times 2!}{2! \times (n-2)(n-3)(n-4)!} \times (n-4)! = 2$.
$\frac{12}{(n-2)(n-3)} = 2$.
$(n-2)(n-3) = 6$.
$n^2 - 5n + 6 = 6$.
$n^2 - 5n = 0$.
$n(n-5) = 0$.
चूंकि पद $\frac{n!}{4!(n-4)!}$ को परिभाषित होने के लिए $n \ge 4$ होना चाहिए,इसलिए $n = 5$ है।

(C) कुल चयनित छात्र $= 5$. कुल उपलब्ध छात्र $= n$.
$2$ विशेष छात्रों के चयन के तरीकों की संख्या $= {}^{n-2}C_3$.
$2$ विशेष छात्रों के चयन न होने के तरीकों की संख्या $= {}^{n-2}C_5$.
दी गई शर्त के अनुसार,$\frac{{}^{n-2}C_3}{{}^{n-2}C_5} = \frac{2}{3}$.
सूत्र ${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(n-2)!}{3!(n-5)!} \times \frac{5!(n-7)!}{(n-2)!} = \frac{2}{3}$
$\frac{20}{(n-5)(n-6)} = \frac{2}{3}$
$(n-5)(n-6) = 30$
$n^2 - 11n = 0$
अतः $n = 11$ प्राप्त होता है।

(A) $n$ गेंदों में से $4$ लाल गेंदें चुनने के तरीके ${}^{n}C_4$ हैं।
$n$ गेंदों में से $5$ हरी गेंदें चुनने के तरीके ${}^{n}C_5$ हैं।
दोनों चयनों का योग ${}^{n}C_4 + {}^{n}C_5$ है।
पास्कल के नियम ${}^{n}C_r + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ का उपयोग करने पर,हमें ${}^{n}C_4 + {}^{n}C_5 = {}^{n+1}C_5$ प्राप्त होता है।
हमें दिया गया है कि योग ${}^{n+1}C_4$ से अधिक है,इसलिए ${}^{n+1}C_5 > {}^{n+1}C_4$।
सूत्र ${}^{m}C_r = \frac{m!}{r!(m-r)!}$ का उपयोग करने पर,$\frac{(n+1)!}{5!(n-4)!} > \frac{(n+1)!}{4!(n-3)!}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर,$\frac{1}{5} > \frac{1}{n-3}$ प्राप्त होता है।
अतः $n-3 > 5$,जिसका अर्थ है $n > 8$।

(D) दिया गया समीकरण: ${ }^{n+4} C_{n+1}-{ }^{n+3} C_n=15(n+2)$.
गुणधर्म ${ }^n C_r = { }^n C_{n-r}$ का उपयोग करते हुए,${ }^{n+4} C_{n+1} = { }^{n+4} C_3$ और ${ }^{n+3} C_n = { }^{n+3} C_3$ प्राप्त होता है।
सरल करने पर: $\frac{(n+4)(n+3)(n+2)}{6} - \frac{(n+3)(n+2)(n+1)}{6} = 15(n+2)$.
दोनों पक्षों को $(n+2)$ से विभाजित करने पर: $\frac{(n+4)(n+3)}{6} - \frac{(n+3)(n+1)}{6} = 15$.
$6$ से गुणा करने पर: $(n^2+7n+12) - (n^2+4n+3) = 90$.
$3n + 9 = 90$.
$3n = 81$.
$n = 27$.

(D) कुल खिलाड़ी = $25$.
आवश्यक टीम का आकार = $11$.
हमेशा शामिल किए जाने वाले खिलाड़ी = $6$.
हमेशा बाहर रखे जाने वाले खिलाड़ी = $5$.
चयन के लिए उपलब्ध शेष खिलाड़ी = $25 - 6 - 5 = 14$.
टीम में शेष स्थान = $11 - 6 = 5$.
अतः,टीम बनाने के तरीकों की संख्या $14$ खिलाड़ियों में से $5$ खिलाड़ियों को चुनने के तरीके हैं,जो $^{14}C_{5}$ है।
विकल्पों को देखते हुए,यदि प्रश्न में कोई त्रुटि है और $^{14}C_{6}$ को सही उत्तर माना गया है,तो विकल्प $D$ सही है।

(A) माना बैठक में सदस्यों की संख्या $n$ है।
चूंकि प्रत्येक व्यक्ति अन्य सभी व्यक्तियों के साथ एक बार हाथ मिलाता है,इसलिए कुल हाथ मिलाने की संख्या ${}^{n}C_{2}$ द्वारा दी जाती है।
दिया गया है कि कुल हाथ मिलाने की संख्या $45$ है,इसलिए:
${}^{n}C_{2} = 45$
$\frac{n(n-1)}{2} = 45$
$n(n-1) = 90$
$n^2 - n - 90 = 0$
$(n - 10)(n + 9) = 0$
चूंकि सदस्यों की संख्या $n$ धनात्मक होनी चाहिए,इसलिए $n = 10$ है।
अतः,बैठक में उपस्थित सदस्यों की संख्या $10$ है।

(D) छात्र को कुल $11$ प्रश्नों में से $6$ प्रश्नों का चयन इस प्रकार करना है कि प्रत्येक खंड से कम से कम $2$ प्रश्न लिए जाएं।
संभावित स्थितियाँ इस प्रकार हैं:

$\text{खंड-}I$	$\text{खंड-}II$	$\text{तरीकों की संख्या}$
$2$	$4$	$^6C_2 \times ^5C_4 = 15 \times 5 = 75$
$3$	$3$	$^6C_3 \times ^5C_3 = 20 \times 10 = 200$
$4$	$2$	$^6C_4 \times ^5C_2 = 15 \times 10 = 150$

कुल तरीकों की संख्या = $75 + 200 + 150 = 425$.

(D) हमें $7$ व्यंजनों में से $3$ और $4$ स्वरों में से $2$ का चयन करना है।
अक्षरों के चयन के तरीकों की संख्या $= {}^{7}C_{3} \times {}^{4}C_{2}$.
$= \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 35 \times 6 = 210$.
इन $5$ चयनित अक्षरों को आपस में $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
शब्दों की संख्या $= 210 \times 5! = 210 \times 120 = 25200$.

(B) $5$ लड़कों में से $2$ और $7$ लड़कियों में से $3$ लड़कियों को चुनने के कुल तरीके $^5C_2 \times ^7C_3 = 10 \times 35 = 350$ हैं।
यदि दोनों लड़कियाँ $A$ और $B$ एक ही टीम में हैं,तो हमें $5$ लड़कों में से $2$ और शेष $5$ लड़कियों में से $1$ और लड़की का चयन करना होगा (क्योंकि $A$ और $B$ पहले से ही चयनित हैं)। ऐसे तरीकों की संख्या $^5C_2 \times ^5C_1 = 10 \times 5 = 50$ है।
उन टीमों की संख्या जहाँ $A$ और $B$ एक साथ नहीं हैं,कुल टीमों में से उन टीमों को घटाकर प्राप्त की जाती है जहाँ दोनों उपस्थित हैं।
आवश्यक तरीकों की संख्या $= 350 - 50 = 300$.

(D) स्थिति $I$: कोई लड़का शामिल नहीं है। $6$ लड़कियों में से $4$ लड़कियों का चयन ${}^6C_4 = 15$ तरीकों से किया जाता है। चयनित $4$ सदस्यों में से $1$ कप्तान का चयन ${}^4C_1 = 4$ तरीकों से किया जाता है। स्थिति $I$ के लिए कुल तरीके $= 15 \times 4 = 60$.
स्थिति $II$: ठीक एक लड़का शामिल है। $6$ लड़कियों में से $3$ लड़कियों और $4$ लड़कों में से $1$ लड़के का चयन ${}^6C_3 \times {}^4C_1 = 20 \times 4 = 80$ तरीकों से किया जाता है। चयनित $4$ सदस्यों में से $1$ कप्तान का चयन ${}^4C_1 = 4$ तरीकों से किया जाता है। स्थिति $II$ के लिए कुल तरीके $= 80 \times 4 = 320$.
कुल तरीके $= 60 + 320 = 380$.

(B) समिति को निम्नलिखित तरीकों से बनाया जा सकता है:
$(5 \text{ पुरुष})$,$(4 \text{ पुरुष}, 1 \text{ महिला})$,$(3 \text{ पुरुष}, 2 \text{ महिलाएं})$
$\therefore$ तरीकों की संख्या $= \binom{6}{5} + (\binom{6}{4} \times \binom{4}{1}) + (\binom{6}{3} \times \binom{4}{2})$
$= 6 + (15 \times 4) + (20 \times 6)$
$= 6 + 60 + 120 = 186$

(C) $8$ लड़कों और $5$ लड़कियों में से $5$ व्यक्तियों की एक समिति इस प्रकार बनानी है कि उसमें कम से कम $2$ लड़कियाँ और अधिक से अधिक $2$ लड़के हों।
चूँकि समिति का आकार $5$ है,इसलिए शर्तों को पूरा करने वाले (लड़कियों,लड़कों) के संभावित संयोजन इस प्रकार हैं:
$1$. $5$ लड़कियाँ और $0$ लड़के: $\binom{5}{5} \times \binom{8}{0} = 1 \times 1 = 1$
$2$. $4$ लड़कियाँ और $1$ लड़का: $\binom{5}{4} \times \binom{8}{1} = 5 \times 8 = 40$
$3$. $3$ लड़कियाँ और $2$ लड़के: $\binom{5}{3} \times \binom{8}{2} = 10 \times 28 = 280$
कुल तरीकों की संख्या = $1 + 40 + 280 = 321$.

(D) कुल कंचे = $5$ लाल + $4$ काले + $3$ सफेद = $12$ कंचे।
हमें $4$ कंचे इस प्रकार निकालने हैं कि अधिकतम $2$ लाल हों।
इसका अर्थ है कि हमारे पास $0$,$1$,या $2$ लाल कंचे हो सकते हैं।
गैर-लाल कंचों की संख्या $4 + 3 = 7$ है।
स्थिति $1$: $0$ लाल कंचे और $4$ गैर-लाल कंचे: ${}^5C_0 \times {}^7C_4 = 1 \times 35 = 35$।
स्थिति $2$: $1$ लाल कंचा और $3$ गैर-लाल कंचे: ${}^5C_1 \times {}^7C_3 = 5 \times 35 = 175$।
स्थिति $3$: $2$ लाल कंचे और $2$ गैर-लाल कंचे: ${}^5C_2 \times {}^7C_2 = 10 \times 21 = 210$।
कुल तरीके = $35 + 175 + 210 = 420$।

(C) दिया गया है,भाग $A$ में कुल प्रश्न $= 6$ और भाग $B$ में कुल प्रश्न $= 7$ हैं।
प्रत्येक भाग से कम से कम $4$ प्रश्न चुनकर $10$ प्रश्न चुनने के संभावित संयोजन हैं:
$1$. भाग $A$ से $4$ और भाग $B$ से $6$
$2$. भाग $A$ से $5$ और भाग $B$ से $5$
$3$. भाग $A$ से $6$ और भाग $B$ से $4$
कुल तरीके $= ({ }^{6}C_{4} \times { }^{7}C_{6}) + ({ }^{6}C_{5} \times { }^{7}C_{5}) + ({ }^{6}C_{6} \times { }^{7}C_{4})$
$= (15 \times 7) + (6 \times 21) + (1 \times 35)$
$= 105 + 126 + 35 = 266$