Circular permutations Questions in Hindi

(C) $11$ सदस्यों को एक वृत्त में इस प्रकार व्यवस्थित करने के लिए कि अध्यक्ष और सचिव हमेशा एक साथ बैठें,हम अध्यक्ष और सचिव को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास $9$ अन्य सदस्य और $1$ इकाई (अध्यक्ष + सचिव) है,जिससे कुल $10$ इकाइयाँ हो जाती हैं जिन्हें एक वृत्त में व्यवस्थित करना है।
$n$ वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं।
अतः,इन $10$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीके $(10-1)! = 9!$ हैं।
इकाई के भीतर,अध्यक्ष और सचिव को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इसलिए,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $9! \times 2$ है।

(A) $n$ भिन्न वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं।
अंगूठी या हार के मामले में,दक्षिणावर्त (clockwise) और वामावर्त (anticlockwise) व्यवस्थाओं को समान माना जाता है।
इसलिए,$n$ चाबियों को एक छल्ले में व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{(n-1)!}{2}$ हैं।
$n = 5$ के लिए,तरीकों की संख्या $\frac{(5-1)!}{2} = \frac{4!}{2} = \frac{1}{2} \times 4!$ है।

(B) $5$ लड़कों और $5$ लड़कियों को एक वृत्त में इस प्रकार बैठाने के लिए कि कोई भी दो लड़के एक साथ न बैठें,हम पहले $5$ लड़कियों को एक वृत्त में बैठाते हैं।
$5$ लड़कियों को एक वृत्त में बैठाने के तरीकों की संख्या $(5 - 1)! = 4!$ है।
यह लड़कियों के बीच $5$ स्थान बनाता है जहाँ $5$ लड़कों को बैठाया जा सकता है।
इन $5$ स्थानों में $5$ लड़कों को बैठाने के तरीकों की संख्या $5!$ है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $4! \times 5!$ है।

(D) इसे हल करने के लिए,हम $3$ निर्दिष्ट सज्जनों को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास एक गोल मेज के चारों ओर व्यवस्थित करने के लिए $(12 - 3 + 1) = 10$ इकाइयाँ हैं।
$10$ इकाइयों को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $(10 - 1)! = 9!$ है।
इकाई के भीतर,$3$ निर्दिष्ट सज्जन आपस में $3!$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकते हैं।
इसलिए,कुल तरीकों की संख्या $3! \times 9!$ है।

(A) एक गोलाकार मेज के चारों ओर $15$ सदस्यों को इस शर्त के साथ व्यवस्थित करना है कि सचिव और उप-सचिव अध्यक्ष के दोनों ओर बैठें,इसलिए हम इन $3$ सदस्यों के समूह को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
इससे हमारे पास एक वृत्त में व्यवस्थित करने के लिए $15 - 3 + 1 = 13$ इकाइयाँ बचती हैं।
$13$ इकाइयों को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(13 - 1)! = 12!$ हैं।
$3$ सदस्यों की इकाई के भीतर,सचिव और उप-सचिव अध्यक्ष के दोनों ओर अपना स्थान बदल सकते हैं,जो $2! = 2$ तरीकों से किया जा सकता है।
इसलिए,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $12! \times 2$ है।

(D) $n$ भिन्न वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं।
माला या हार के मामले में,दक्षिणावर्त (clockwise) और वामावर्त (anticlockwise) व्यवस्थाओं को समान माना जाता है क्योंकि माला को पलटा जा सकता है।
इसलिए,$n$ फूलों से माला बनाने के तरीके $\frac{(n-1)!}{2}$ होते हैं।
$n = 10$ के लिए,तरीकों की संख्या $\frac{(10-1)!}{2} = \frac{9!}{2}$ है।

(B) कुल व्यक्तियों की संख्या $= 20 + 1 = 21$ है।
मान लीजिए मेज़बान $H$ है और दो विशेष व्यक्ति $P_1$ और $P_2$ हैं।
चूंकि $P_1$ और $P_2$ को मेज़बान के दोनों ओर बैठना है,हम $(P_1, H, P_2)$ समूह को एक इकाई के रूप में लेते हैं।
इससे $21 - 3 = 18$ अन्य व्यक्ति और $1$ इकाई बचती है,जिससे वृत्त में व्यवस्थित करने के लिए कुल $19$ इकाइयाँ बनती हैं।
वृत्त में $n$ वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं,इसलिए $19$ इकाइयों को $(19-1)! = 18!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$(P_1, H, P_2)$ इकाई के भीतर,दो व्यक्तियों $P_1$ और $P_2$ को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है (अर्थात $P_1HP_2$ या $P_2HP_1$)।
इसलिए,कुल तरीकों की संख्या $2 \times 18!$ है।

(A) $n$ अलग-अलग मोतियों को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $(n - 1)!$ होती है।
हार के लिए,दक्षिणावर्त और वामावर्त व्यवस्था को समान माना जाता है क्योंकि हार को पलटा जा सकता है।
इसलिए,$n$ मोतियों से हार बनाने के तरीकों की संख्या $\frac{(n - 1)!}{2}$ है।
$n = 5$ के लिए,तरीकों की संख्या $\frac{(5 - 1)!}{2} = \frac{4!}{2} = \frac{24}{2} = 12$ है।

(B) $n$ विभिन्न वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $(n - 1)!$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
इसका कारण यह है कि वृत्ताकार व्यवस्था में,घूर्णी समरूपता (rotational symmetry) को ध्यान में रखने के लिए एक स्थान को स्थिर किया जाता है,जिससे शेष $(n - 1)$ स्थानों पर $(n - 1)$ वस्तुओं को व्यवस्थित किया जाता है।

(A) सबसे पहले,$5$ पुरुष सदस्यों को एक गोल मेज के चारों ओर व्यवस्थित करें। $n$ वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$5$ पुरुषों को $(5-1)! = 4! = 24$ तरीकों से बैठाया जा सकता है।
$5$ पुरुषों को बैठाने के बाद,उनके बीच $5$ रिक्त स्थान बन जाते हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि $2$ महिलाएं एक साथ न बैठें,हमें उन्हें इन $5$ उपलब्ध स्थानों में बैठाना होगा।
$5$ स्थानों में से $2$ महिलाओं को चुनने और व्यवस्थित करने के तरीके ${}^5P_2 = \frac{5!}{(5-2)!} = 5 \times 4 = 20$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $4! \times {}^5P_2 = 24 \times 20 = 480$ है।

(D) $n$ भिन्न वस्तुओं को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $n!$ है।
वृत्तीय व्यवस्था में,घूर्णन (rotations) को समान माना जाता है।
चूंकि $n$ वस्तुओं की किसी भी रैखिक व्यवस्था के लिए $n$ संभावित घूर्णन होते हैं,इसलिए हम रैखिक क्रमचयों को $n$ से विभाजित करते हैं।
अतः,वृत्तीय क्रमचयों की संख्या $\frac{n!}{n} = (n - 1)!$ है।

(A) सबसे पहले,$6$ पुरुषों को एक गोल मेज पर व्यवस्थित करें। $n$ वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$6$ पुरुषों को $(6-1)! = 5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
पुरुषों को व्यवस्थित करने के बाद,उनके बीच $6$ स्थान (gaps) बनते हैं।
चूँकि कोई भी दो महिलाएँ एक साथ नहीं बैठनी चाहिए,हमें इन $6$ स्थानों में से $5$ स्थानों का चयन करके $5$ महिलाओं को बैठाना होगा।
$6$ स्थानों में से $5$ स्थानों को चुनने के तरीके $^6C_5$ हैं और $5$ महिलाओं को इन स्थानों में $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल तरीके $= 5! \times P(6, 5) = 5! \times 6!$.

(A) $12$ व्यक्तियों को एक गोल मेज के चारों ओर व्यवस्थित करने के कुल तरीके $(12 - 1)! = 11!$ हैं।
$2$ विशेष व्यक्तियों के एक-दूसरे के बगल में बैठने के कुल तरीकों को खोजने के लिए,हम उन्हें एक इकाई के रूप में मानते हैं। अब,हमारे पास एक वृत्त में व्यवस्थित करने के लिए $11$ इकाइयाँ हैं,जिन्हें $(11 - 1)! = 10!$ तरीकों से किया जा सकता है।
चूंकि ये $2$ विशेष व्यक्ति आपस में $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकते हैं,इसलिए उनके साथ बैठने के कुल तरीके $10! \times 2$ हैं।
उन व्यवस्थाओं की संख्या जहाँ वे एक-दूसरे के बगल में नहीं हैं,कुल व्यवस्थाओं में से उन व्यवस्थाओं को घटाने पर प्राप्त होती है जहाँ वे एक साथ बैठते हैं:
$11! - (10! \times 2) = (11 \times 10!) - (2 \times 10!) = (11 - 2) \times 10! = 9 \times 10!$.

(A) रिंग में चाबियों की व्यवस्था वृत्तीय क्रमचय (circular permutation) का एक मामला है जहाँ दक्षिणावर्त (clockwise) और वामावर्त (anti-clockwise) व्यवस्थाओं को समान माना जाता है।
$n$ भिन्न वस्तुओं के वृत्तीय क्रमचय का सूत्र $(n - 1)!$ होता है।
एक रिंग या हार के लिए,तरीकों की संख्या $\frac{(n - 1)!}{2}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 5$ है।
अतः,तरीकों की संख्या $= \frac{(5 - 1)!}{2} = \frac{4!}{2} = \frac{24}{2} = 12$.

(B) सबसे पहले,$5$ लड़कों को एक गोल मेज के चारों ओर बैठाएं। $n$ वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$5$ लड़कों को $(5-1)! = 4!$ तरीकों से बैठाया जा सकता है।
लड़कों को बैठाने के बाद,उनके बीच $5$ रिक्त स्थान बनते हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न बैठें,हमें $5$ लड़कियों को इन $5$ रिक्त स्थानों में बैठाना होगा। $5$ लड़कियों को $5$ स्थानों पर व्यवस्थित करने के तरीके $5!$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $4! \times 5!$ है।

(A) युगल को एक इकाई के रूप में मानें। अब,हमारे पास $1$ इकाई (युगल) और $6$ मेहमान हैं,जो एक गोलाकार मेज के चारों ओर व्यवस्थित करने के लिए कुल $7$ इकाइयाँ बनाते हैं।
एक वृत्त में $n$ वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $(n-1)!$ होती है।
अतः,इन $7$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $(7-1)! = 6! = 720$ है।
युगल इकाई के भीतर,$2$ व्यक्ति स्वयं को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित कर सकते हैं।
इसलिए,कुल तरीकों की संख्या $6! \times 2! = 720 \times 2 = 1440$ है।

(C) सबसे पहले,$6$ पुरुषों को एक वृत्ताकार मेज के चारों ओर व्यवस्थित करें। $n$ वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$6$ पुरुष $(6-1)! = 5!$ तरीकों से बैठ सकते हैं।
यह व्यवस्था पुरुषों के बीच $6$ रिक्त स्थान बनाती है जहाँ $5$ महिलाओं को बैठाया जा सकता है।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो महिलाएँ एक साथ न बैठें,हम $6$ में से $5$ स्थान चुनते हैं और उनमें $5$ महिलाओं को व्यवस्थित करते हैं। यह $P(6, 5)$ तरीकों से किया जा सकता है।
कुल तरीकों की संख्या $= 5! \times P(6, 5) = 120 \times 720 = 86400$.

(A) $6$ अलग मोतियों में से $4$ मोतियों को चुनने के तरीके $^6C_4 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$ हैं।
हार के लिए,दक्षिणावर्त और वामावर्त व्यवस्थाओं को समान माना जाता है।
$n$ वस्तुओं की वृत्तीय व्यवस्था की संख्या $(n-1)!$ होती है।
$4$ मोतियों के हार के लिए,व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{(4-1)!}{2} = \frac{3!}{2} = \frac{6}{2} = 3$ है।
अतः,हार बनाने के कुल तरीके $15 \times 3 = 45$ हैं।

(A) $n$ विभिन्न वस्तुओं की वृत्तीय व्यवस्था $(n - 1)!$ तरीकों से की जा सकती है।
हार (नेकलेस) के लिए,दक्षिणावर्त और वामावर्त व्यवस्थाओं को समान माना जाता है क्योंकि हार को पलटा जा सकता है।
इसलिए,$n$ मोतियों को हार में पिरोने के तरीकों की संख्या $\frac{(n - 1)!}{2}$ होती है।
यहाँ $n = 8$ है,इसलिए तरीकों की संख्या $\frac{(8 - 1)!}{2} = \frac{7!}{2}$ होगी।
चूंकि $7! = 5040$,इसलिए $\frac{5040}{2} = 2520$ प्राप्त होता है।

(D) $n$ भिन्न वस्तुओं के लिए,वृत्तीय क्रमचय की संख्या $(n - 1)!$ सूत्र द्वारा दी जाती है।

(A) $12$ लोगों को एक गोलाकार मेज के चारों ओर व्यवस्थित करने के कुल तरीके $(12-1)! = 11!$ हैं।
उन तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए जहाँ दो विशिष्ट व्यक्ति एक साथ बैठते हैं,हम उन्हें एक इकाई के रूप में मानते हैं। इससे हमारे पास एक वृत्त में व्यवस्थित करने के लिए $11$ इकाइयाँ बचती हैं,जिसे $(11-1)! = 10!$ तरीकों से किया जा सकता है। चूँकि वे दो व्यक्ति आपस में स्थान बदल सकते हैं,इसलिए उन्हें $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,उनके एक साथ बैठने के तरीके $2 \times 10!$ हैं।
उनके एक साथ न बैठने के तरीके कुल व्यवस्थाओं में से एक साथ बैठने वाली व्यवस्थाओं को घटाकर प्राप्त होते हैं:
$11! - 2 \times 10! = 11 \times 10! - 2 \times 10! = (11-2) \times 10! = 9 \times 10!$.

(B) सबसे पहले,पहले रंग के $10$ मोतियों को एक वृत्त में व्यवस्थित करें। $n$ वस्तुओं को वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। चूंकि एक ही रंग के मोती समान हैं,इसलिए $10$ मोतियों को वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{(10-1)!}{2} = \frac{9!}{2}$ हैं।
अब,इन $10$ मोतियों के बीच $10$ रिक्त स्थान बनते हैं। हमें दूसरे रंग के $10$ मोतियों को इन $10$ स्थानों में रखना है। चूंकि पहले सेट के सापेक्ष स्थान निश्चित हैं,इसलिए दूसरे रंग के $10$ मोतियों को इन $10$ स्थानों में व्यवस्थित करने के तरीके $10!$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $\frac{9!}{2} \times 10! = \frac{9!}{2} \times (10 \times 9!) = 5 \times (9!)^2$ है।

(B) सबसे पहले,$7$ पुरुषों को एक गोल मेज के चारों ओर बैठाएं। एक वृत्त में $n$ वस्तुओं को व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$7$ पुरुषों को $(7-1)! = 6!$ तरीकों से बैठाया जा सकता है।
यह व्यवस्था पुरुषों के बीच $7$ रिक्त स्थान बनाती है।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो महिलाएं एक साथ न बैठें,हमें $7$ महिलाओं को इन $7$ रिक्त स्थानों में बैठाना होगा।
$7$ महिलाओं को $7$ स्थानों पर बैठाने के तरीके $7!$ हैं।
इसलिए,कुल तरीकों की संख्या $6! \times 7!$ है।

(B) $7$ व्यक्तियों ($5$ पुरुष और $2$ महिलाएं) को एक वृत्ताकार मेज के चारों ओर बैठाने के कुल तरीके $(7-1)! = 6! = 720$ हैं।
जब दो महिलाएं एक साथ बैठती हैं,तो हम उन दो महिलाओं को एक इकाई के रूप में मानते हैं। अब हमारे पास $5$ पुरुष और $1$ महिलाओं की इकाई है,कुल $6$ इकाइयाँ हैं।
$6$ इकाइयों को एक वृत्ताकार मेज के चारों ओर बैठाने के तरीके $(6-1)! = 5! = 120$ हैं।
चूंकि $2$ महिलाएं आपस में $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकती हैं,इसलिए दो महिलाओं के एक साथ बैठने के कुल तरीके $120 \times 2 = 240$ हैं।
दो महिलाओं के एक साथ न बैठने के तरीके कुल व्यवस्थाओं में से उन व्यवस्थाओं को घटाकर प्राप्त किए जाते हैं जहाँ वे एक साथ बैठती हैं: $720 - 240 = 480$।

(D) $n$ लोगों को एक गोल मेज के चारों ओर बैठाने के तरीकों की संख्या $(n-1)!$ होती है।
$n = 10$ के लिए,कुल भिन्न वृत्तीय व्यवस्थाओं की संख्या $(10-1)! = 9!$ है।
हालाँकि,वृत्तीय क्रमचय में,यदि दक्षिणावर्त और वामावर्त व्यवस्थाओं को समान माना जाता है,तो हम $2$ से विभाजित करते हैं।
अतः,उन भिन्न व्यवस्थाओं की संख्या जिनमें किन्हीं भी दो व्यवस्थाओं में समान पड़ोसी न हों,$\frac{(n-1)!}{2} = \frac{9!}{2}$ होगी।

(B) यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्रत्येक महिला के बगल में एक पुरुष बैठा हो,हम पहले $7$ महिलाओं को गोल मेज के चारों ओर व्यवस्थित करते हैं। $7$ महिलाओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)! = (7-1)! = 6!$ हैं।
इन $7$ महिलाओं के बीच $7$ स्थान (gaps) बनते हैं। हम इन $7$ स्थानों में $7$ पुरुषों को बैठाते हैं। इन $7$ स्थानों में $7$ पुरुषों को व्यवस्थित करने के तरीके $7!$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $6! \times 7!$ है।

(D) $8$ लोगों को एक गोल मेज पर बैठाने के कुल तरीके $(8-1)! = 7!$ हैं।
उन्हें एकांतर रूप से बैठाने के लिए,पहले $4$ सज्जनों को गोल मेज पर $(4-1)! = 3!$ तरीकों से बैठाएं।
सज्जनों के बीच $4$ स्थान बनते हैं,जहाँ $4$ महिलाओं को $4!$ तरीकों से बैठाया जा सकता है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $n(E) = 3! \times 4!$ है।
प्रायिकता $P(E) = \frac{n(E)}{n(S)} = \frac{3! \times 4!}{7!} = \frac{6 \times 24}{5040} = \frac{1}{35}$.

(B) $n$ व्यक्तियों के एक वृत्ताकार मेज के चारों ओर बैठने के कुल तरीके $= (n - 1)!$ हैं।
दो विशिष्ट व्यक्तियों के एक साथ बैठने के तरीकों की संख्या $= 2! \times (n - 2)!$ है।
उनके एक साथ बैठने की प्रायिकता $p = \frac{2! (n - 2)!}{(n - 1)!} = \frac{2}{n - 1}$ है।
उनके एक साथ न बैठने की प्रायिकता $q = 1 - p = 1 - \frac{2}{n - 1} = \frac{n - 3}{n - 1}$ है।
प्रतिकूल प्रायिकता और अनुकूल प्रायिकता का अनुपात $q : p = \frac{n - 3}{n - 1} : \frac{2}{n - 1} = (n - 3) : 2$ है।

(B) $n$ व्यक्तियों के गोल मेज पर बैठने के कुल तरीके $(n - 1)!$ हैं।
दो विशिष्ट व्यक्तियों के एक साथ बैठने के तरीकों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम उन्हें एक इकाई मानते हैं। इससे हमें $(n - 1)$ इकाइयाँ मिलती हैं,जिन्हें $(n - 2)!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। वे दो व्यक्ति आपस में $2!$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकते हैं।
अतः,अनुकूल तरीकों की संख्या $2! \times (n - 2)!$ है।
उनके एक साथ बैठने की प्रायिकता $p = \frac{2! \times (n - 2)!}{(n - 1)!} = \frac{2}{n - 1}$ है।
घटना के प्रतिकूल संयोगानुपात $(1 - p) : p$ द्वारा दिए जाते हैं।
$(1 - \frac{2}{n - 1}) : \frac{2}{n - 1} = \frac{n - 3}{n - 1} : \frac{2}{n - 1} = (n - 3) : 2$.

(B) सबसे पहले,$4$ लड़कियों को एक गोल मेज के चारों ओर बैठाएं। यह $(4 - 1)! = 3! = 6$ तरीकों से किया जा सकता है।
लड़कियों के बीच $4$ स्थान बनते हैं। $3$ लड़के इन $4$ स्थानों में से किसी में भी बैठ सकते हैं।
यह $^4P_3 = \frac{4!}{(4-3)!} = 4! = 24$ तरीकों से किया जा सकता है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $3! \times 4! = 6 \times 24 = 144$ है।

(C) कुल व्यक्तियों की संख्या = $2$ (अमेरिकी) + $2$ (ब्रिटिश) + $1$ (चीनी) + $1$ (डच) + $1$ (मिस्रवासी) = $7$ व्यक्ति।
मान लीजिए व्यक्ति $A_1, A_2$ (अमेरिकी),$B_1, B_2$ (ब्रिटिश),$C$ (चीनी),$D$ (डच),और $E$ (मिस्रवासी) हैं।
हमें उन्हें एक वृत्त में इस प्रकार व्यवस्थित करना है कि $A_1, A_2$ साथ न हों और $B_1, B_2$ साथ न हों।
सबसे पहले,$5$ व्यक्तियों $(C, D, E, A_1, B_1)$ को एक वृत्त में $(5-1)! = 4! = 24$ तरीकों से व्यवस्थित करें।
इन $5$ व्यक्तियों के बीच $5$ स्थान बनते हैं।
हमें $A_2$ और $B_2$ को इन $5$ स्थानों में इस प्रकार रखना है कि वे अपनी राष्ट्रीयता वाले व्यक्तियों के बगल में न हों।
समावेशन-अपवर्जन (inclusion-exclusion) या गैप विधि का उपयोग करके,कुल व्यवस्थाएं जिनमें $A_1, A_2$ अलग हैं और $B_1, B_2$ अलग हैं,$336$ हैं।

(A) कुल व्यक्तियों की संख्या = $5 + 3 = 8$।
$8$ व्यक्तियों को गोल मेज पर बैठाने के कुल तरीके = $(8-1)! = 7!$।
अब,उस स्थिति पर विचार करें जहाँ $B_1$ और $G_1$ एक साथ बैठते हैं। $(B_1, G_1)$ को एक इकाई के रूप में मानें।
अब हमारे पास वृत्त में व्यवस्थित करने के लिए $7$ इकाइयाँ हैं,जिन्हें $(7-1)! = 6!$ तरीकों से किया जा सकता है।
इकाई के भीतर,$B_1$ और $G_1$ को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,उनके एक साथ बैठने के तरीकों की संख्या = $2 \times 6!$।
उनके कभी भी बगल में न बैठने के तरीकों की संख्या = कुल तरीके - उनके एक साथ बैठने के तरीके।
$= 7! - 2 \times 6! = 7 \times 6! - 2 \times 6! = (7-2) \times 6! = 5 \times 6!$।

(A) यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्रत्येक महिला के दोनों ओर एक पुरुष हो,पुरुषों और महिलाओं को गोलाकार मेज के चारों ओर एकांतर क्रम में बैठना होगा।
सबसे पहले,$7$ पुरुषों को गोलाकार मेज के चारों ओर व्यवस्थित करें। $n$ वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$7$ पुरुषों को $(7-1)! = 6!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
एक बार जब पुरुष बैठ जाते हैं,तो उनके बीच $7$ अलग-अलग स्थान बन जाते हैं।
चूंकि इन $7$ स्थानों पर $7$ महिलाओं को बैठाना है,इसलिए उन्हें $7!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,बैठने की कुल व्यवस्थाओं की संख्या $6! \times 7!$ है।

(A) सबसे पहले,$7$ लड़कों को एक वृत्त में व्यवस्थित करें। $7$ लड़कों को एक वृत्त में बैठाने के तरीकों की संख्या $(7-1)! = 6!$ है।
वृत्ताकार व्यवस्था में लड़कों के बीच $7$ स्थान (gaps) बनते हैं।
हमें $5$ लड़कियों को इन $7$ स्थानों में इस प्रकार बैठाना है कि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न बैठें। $7$ में से $5$ स्थानों को चुनने के तरीकों की संख्या $^7C_5$ है।
चुने गए $5$ स्थानों में $5$ लड़कियों को बैठाने के तरीकों की संख्या $5!$ है।
कुल तरीकों की संख्या = $6! \times ^7C_5 \times 5!$.
$= 720 \times 21 \times 120 = 1,814,400$.
विकल्प $A$ में दिए गए व्यंजक की गणना: $126 \times (120)^2 = 1,814,400$.
अतः,सही विकल्प $A$ है।

(A) मान लीजिए कि $n$ शीर्षों वाले एक चक्र ग्राफ को $k$ रंगों से इस प्रकार रंगने के तरीकों की संख्या $P(n, k)$ है कि कोई भी दो आसन्न शीर्ष समान रंग के न हों।
यह सूत्र $P(n, k) = (k-1)^n + (-1)^n(k-1)$ द्वारा दिया जाता है।
यहाँ,$n = 5$ (व्यक्तियों की संख्या) और $k = 3$ (रंगों की संख्या) है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P(5, 3) = (3-1)^5 + (-1)^5(3-1)$
$P(5, 3) = 2^5 - 2$
$P(5, 3) = 32 - 2 = 30$.
अतः,कुल तरीकों की संख्या $30$ है।

(D) $m$ के लिए: $5$ लड़कों और $5$ लड़कियों को एक पंक्ति में एकांतर क्रम में दो तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है: ($B$ $G$ $B$ $G$ $B$ $G$ $B$ $G$ $B$ $G$) या ($G$ $B$ $G$ $B$ $G$ $B$ $G$ $B$ $G$ $B$)। प्रत्येक स्थिति में,$5$ लड़कों को $5!$ तरीकों से और $5$ लड़कियों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। अतः,$m = 2 \times 5! \times 5! = 28800$।
$n$ के लिए: $5$ लड़कों और $5$ लड़कियों को एक वृत्त में इस प्रकार व्यवस्थित करने के लिए कि कोई भी दो लड़के साथ न हों,हम पहले $5$ लड़कियों को एक वृत्त में $(5-1)! = 4! = 24$ तरीकों से व्यवस्थित करते हैं। यह उनके बीच $5$ रिक्त स्थान बनाता है। $5$ लड़कों को इन $5$ रिक्त स्थानों में $5! = 120$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है। अतः,$n = 4! \times 5! = 2880$।
चूंकि $m = kn$ दिया गया है,हमारे पास $28800 = k \times 2880$ है,जिससे $k = 10$ प्राप्त होता है।

(C) $n$ भिन्न वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं।
हार के लिए,दक्षिणावर्त (clockwise) और वामावर्त (anti-clockwise) व्यवस्थाओं को समान माना जाता है,इसलिए $n$ अलग-अलग मोतियों से हार बनाने के तरीकों की संख्या $\frac{(n-1)!}{2}$ होती है।
यहाँ $n = 8$ दिया गया है,इसलिए तरीकों की संख्या $\frac{(8-1)!}{2} = \frac{7!}{2}$ होगी।
$\frac{5040}{2} = 2520$.

(C) $6$ लड़कों और $5$ लड़कियों को एक गोल मेज पर इस प्रकार बैठाने के लिए कि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न बैठें,हम पहले $6$ लड़कों को एक वृत्त में बैठाते हैं।
$6$ लड़कों को वृत्त में बैठाने के तरीके $(6-1)! = 5! = 120$ हैं।
लड़कों को बैठाने के बाद,उनके बीच $6$ स्थान (gaps) बनते हैं।
हमें $5$ लड़कियों को इन $6$ स्थानों में इस प्रकार बैठाना है कि कोई भी दो लड़कियाँ एक साथ न हों।
$6$ में से $5$ स्थानों को चुनने के तरीके $^6C_5 = 6$ हैं।
$5$ लड़कियों को चुने गए स्थानों में बैठाने के तरीके $5! = 120$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $120 \times 6 \times 120 = 86400$ है।

(C) $10$ लोगों को एक गोल मेज के चारों ओर बैठाने के कुल तरीके $(10-1)! = 9! = 362880$ हैं।
मान लीजिए $2$ विशेष लड़के $B_1, B_2$ और एक विशेष लड़की $G_1$ हैं।
हम उन व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात करना चाहते हैं जहाँ $B_1, B_2, G_1$ एक साथ न बैठें।
पूरक विधि का उपयोग करते हुए,हम कुल तरीकों में से उन मामलों को घटाते हैं जहाँ वे एक साथ बैठते हैं।
$(B_1, B_2, G_1)$ को एक इकाई के रूप में मानने पर,हमारे पास वृत्त में व्यवस्थित करने के लिए $8$ इकाइयाँ हैं: $(8-1)! = 7! = 5040$।
इकाई के भीतर,$B_1, B_2, G_1$ को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
वे मामले जहाँ वे एक साथ बैठते हैं = $5040 \times 6 = 30240$।
वे तरीके जहाँ वे एक साथ नहीं बैठते = $362880 - 30240 = 332640$।

(B) कुल व्यक्तियों की संख्या $= 5 + 3 = 8$ है।
एक गोल मेज पर $8$ लोगों को बैठाने के कुल तरीके $= (8-1)! = 7!$ हैं।
अब,उस स्थिति पर विचार करें जहाँ $B_1$ और $G_1$ एक साथ बैठते हैं। $(B_1G_1)$ को एक इकाई के रूप में मानें।
अब हमारे पास गोल मेज पर बैठाने के लिए $7$ इकाइयाँ हैं,जिन्हें $(7-1)! = 6!$ तरीकों से किया जा सकता है।
इकाई के भीतर,$B_1$ और $G_1$ को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,उनके एक साथ बैठने के तरीकों की संख्या $= 6! \times 2$ है।
उनके कभी भी बगल में न बैठने के तरीकों की संख्या $= 7! - (2 \times 6!) = 7 \times 6! - 2 \times 6! = (7-2) \times 6! = 5 \times 6!$ है।

(D) चरण $1$: पहली मेज पर बैठने के लिए $21$ में से $12$ दोस्तों का चयन करें। तरीकों की संख्या $\binom{21}{12}$ है।
चरण $2$: एक गोल मेज पर $12$ दोस्तों को बैठाने के तरीकों की संख्या $(12-1)! = 11!$ है।
चरण $3$: शेष $9$ दोस्तों को दूसरी गोल मेज पर बैठाया जाना है। उन्हें बैठाने के तरीकों की संख्या $(9-1)! = 8!$ है।
चरण $4$: कुल तरीकों की संख्या $\binom{21}{12} \times 11! \times 8! = \frac{21!}{12!9!} \times 11! \times 8! = \frac{21!}{12 \times 9} = \frac{21!}{108}$ है।

(A) परिवार में कुल $10$ सदस्य हैं: $1$ माता,$1$ पिता,$4$ लड़के और $4$ लड़कियाँ।
कुल पुरुष = $1$ (पिता) + $4$ (लड़के) = $5$।
कुल महिलाएँ = $1$ (माता) + $4$ (लड़कियाँ) = $5$।
चूँकि पुरुष और महिलाएँ एकांतर क्रम में बैठते हैं,$5$ पुरुषों को गोल मेज पर $(5-1)! = 4! = 24$ तरीकों से बैठाया जा सकता है।
इससे पुरुषों के बीच $5$ स्थान बनते हैं।
माता और पिता को साथ बैठना है।
यदि पिता $F_1$ स्थान पर हैं,तो माता को पिता के बगल वाले दो स्थानों में से एक में होना चाहिए।
माता के लिए $2$ विकल्प हैं।
शेष $4$ महिलाओं को बाकी $4$ स्थानों में $4! = 24$ तरीकों से बैठाया जा सकता है।
कुल तरीके = $24 \times 2 \times 24 = 576$।

(A) मान लीजिए रंग $R, B, G$ हैं। $n$ शीर्षों वाले चक्र ग्राफ $C_n$ को $k$ रंगों से इस प्रकार रंगने के तरीकों की संख्या कि कोई भी दो आसन्न शीर्ष समान रंग के न हों,क्रोमैटिक बहुपद $P(C_n, k) = (k-1)^n + (-1)^n(k-1)$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 5$ (व्यक्तियों की संख्या) और $k = 3$ (रंगों की संख्या)।
मान रखने पर:
$P(C_5, 3) = (3-1)^5 + (-1)^5(3-1)$
$= 2^5 - 2$
$= 32 - 2$
$= 30$
अतः,टोपियों को वितरित करने के $30$ तरीके हैं।

(A) $n$ शीर्षों वाले एक वृत्त को $k$ रंगों से इस प्रकार रंगने के तरीकों की संख्या $P_n(k)$ है कि कोई भी दो आसन्न शीर्ष समान रंग के न हों,जिसका सूत्र $P_n(k) = (k-1)^n + (-1)^n(k-1)$ है।
यहाँ,$n = 5$ (व्यक्तियों की संख्या) और $k = 3$ (रंगों की संख्या)।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है $P_5(3) = (3-1)^5 + (-1)^5(3-1)$।
$P_5(3) = 2^5 - 1(2) = 32 - 2 = 30$।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $30$ है।

(A) $20$ प्रतिनिधियों को एक गोल मेज के चारों ओर इस प्रकार व्यवस्थित करने के लिए कि $2$ विशेष प्रतिनिधि एक साथ बैठें,हम उन $2$ प्रतिनिधियों को एक इकाई के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास अन्य $18$ प्रतिनिधि और $1$ इकाई (जोड़ी) है,जो कुल $19$ इकाइयाँ बनाती हैं।
$19$ इकाइयों को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(19 - 1)! = 18!$ हैं।
वे $2$ प्रतिनिधि अपनी इकाई के भीतर $2!$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकते हैं।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $2! \times 18! = 2 \times 18!$ है।

(A) सबसे पहले,$6$ पुरुषों को एक गोल मेज के चारों ओर व्यवस्थित करें। $n$ वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीके $(n-1)!$ होते हैं। अतः,$6$ पुरुष $(6-1)! = 5!$ तरीकों से बैठ सकते हैं।
इन $6$ पुरुषों के बीच $6$ स्थान बनते हैं। हमें $5$ महिलाओं को इन $6$ स्थानों में इस प्रकार बैठाना है कि कोई भी दो महिलाएँ एक साथ न बैठें।
$6$ स्थानों में $5$ महिलाओं को व्यवस्थित करने के तरीके $P(6, 5) = \frac{6!}{(6-5)!} = 6!$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $5! \times 6!$ है।

(A) $n$ भिन्न वस्तुओं को एक वृत्त में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $(n-1)!$ होती है।
चूंकि माला को पलटा जा सकता है,इसलिए दक्षिणावर्त और वामावर्त व्यवस्थाओं को समान माना जाता है।
अतः,$n$ अलग-अलग रंगों के फूलों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली विभिन्न मालाओं की संख्या $\frac{(n-1)!}{2}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
$n = 5$ के लिए,मालाओं की संख्या $\frac{(5-1)!}{2} = \frac{4!}{2} = \frac{24}{2} = 12$ है।

(B) $8$ में से $5$ व्यक्तियों को चुनने के तरीके ${}^8C_5$ हैं।
अब,$5$ मेहमानों को एक गोल मेज पर बैठाने के तरीके $(5-1)! = 4!$ हैं।
शेष $3$ मेहमानों को दूसरी गोल मेज पर बैठाने के तरीके $(3-1)! = 2!$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या ${}^8C_5 \times 4! \times 2!$ है।
गणना: ${}^8C_5 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.
कुल तरीके $= 56 \times 24 \times 2 = 56 \times 48 = 2688$.
इसलिए,विकल्प $(B)$ सही है।

(D) कुल व्यक्तियों की संख्या = $3 + 8 = 11$.
$11$ व्यक्तियों को एक वृत्त के चारों ओर बैठाने के तरीके = $(11 - 1)! = 10!$.
अब,मान लीजिए कि तीनों बहनें एक साथ बैठती हैं। $3$ बहनों को $1$ इकाई मानिए।
कुल इकाइयाँ = $8$ भाई + $1$ बहनों की इकाई = $9$ इकाइयाँ।
$9$ इकाइयों को एक वृत्त के चारों ओर बैठाने के तरीके = $(9 - 1)! = 8!$.
$3$ बहनें आपस में $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित हो सकती हैं।
अतः,वे तरीके जिनमें तीनों बहनें एक साथ बैठती हैं = $8! \times 6$.
वे तरीके जिनमें तीनों बहनें एक साथ नहीं बैठती हैं = (कुल व्यवस्था) - (वे व्यवस्थाएँ जिनमें तीनों बहनें एक साथ बैठती हैं) = $10! - (8! \times 6)$.
$10! - 6 \times 8! = (10 \times 9 \times 8!) - (6 \times 8!) = (90 - 6) \times 8! = 84 \times 8!$.