Definition of combinations, Condition combinations Questions in Hindi

(A) प्रत्येक शहर को दूसरे प्रत्येक शहर से जोड़ने के लिए,हमें $10$ में से $2$ शहरों का चयन करना होगा।
यह एक संचय (combination) की समस्या है जहाँ हमें $^{10}C_2$ की गणना करनी है।
$^{10}C_2 = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.
अतः,सरकार को $45$ सड़कों का निर्माण करने की आवश्यकता है।

(B) एक पंक्ति में $n$ वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को इस प्रकार चुनने के लिए कि कोई भी दो लगातार न हों,सूत्र $^{n-r+1}C_r$ है।
यहाँ,$n = 10$ और $r = 4$ है।
मान रखने पर,हमें $^{10-4+1}C_4 = ^7C_4$ प्राप्त होता है।
चूँकि $^7C_4 = ^7C_3$,हम गणना करते हैं:
$^7C_3 = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.

(C) मान लीजिए कि $4$ लड़कों को प्राप्त सेबों की संख्या क्रमशः $x_1, x_2, x_3, x_4$ है।
हमें समीकरण $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 25$ दिया गया है,जहाँ $x_i \ge 4$ है।
मान लीजिए $y_i = x_i - 4$,जहाँ $y_i \ge 0$ है।
समीकरण में $x_i = y_i + 4$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(y_1 + 4) + (y_2 + 4) + (y_3 + 4) + (y_4 + 4) = 25$
$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 9$
स्टार्स और बार्स सूत्र का उपयोग करते हुए,गैर-ऋणात्मक पूर्णांक समाधानों की संख्या $^{n+r-1}C_{r-1}$ है,जहाँ $n = 9$ और $r = 4$ है।
तरीकों की संख्या = $^{9+4-1}C_{4-1} = ^{12}C_3$.

(C) प्रत्येक प्रकार का कम से कम एक फल चुनने के लिए,हमें प्रत्येक समूह से कम से कम एक फल चुनना होगा।
$5$ सेबों के लिए,कम से कम एक चुनने के तरीकों की संख्या $5$ है।
$4$ आमों के लिए,कम से कम एक चुनने के तरीकों की संख्या $4$ है।
$3$ संतरों के लिए,कम से कम एक चुनने के तरीकों की संख्या $3$ है।
अन्य $2$ किस्मों के लिए,जिनमें से प्रत्येक का $1$ फल है,कम से कम एक चुनने के तरीकों की संख्या $1$ है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $5 \times 4 \times 3 \times 1 \times 1 = 60$ है।

(D) $10$ सफेद,$9$ हरे और $7$ नीले गेंदों में से एक या अधिक गेंदों का चयन करने के लिए,हम प्रत्येक रंग के लिए विकल्पों पर विचार करते हैं।
सफेद गेंदों के लिए,हम $0, 1, 2, \dots, 10$ गेंदें चुन सकते हैं,जो $(10 + 1) = 11$ विकल्प देता है।
हरे गेंदों के लिए,हम $0, 1, 2, \dots, 9$ गेंदें चुन सकते हैं,जो $(9 + 1) = 10$ विकल्प देता है।
नीले गेंदों के लिए,हम $0, 1, 2, \dots, 7$ गेंदें चुन सकते हैं,जो $(7 + 1) = 8$ विकल्प देता है।
गेंदों की किसी भी संख्या का चयन करने के कुल तरीके (शून्य गेंदों का चयन सहित) $11 \times 10 \times 8 = 880$ हैं।
चूंकि हमें कम से कम एक गेंद चुननी है,इसलिए हम उस स्थिति को घटाते हैं जहां तीनों रंगों में से शून्य गेंदें चुनी गई हैं।
आवश्यक तरीकों की संख्या $= 880 - 1 = 879$.

(B) सख्ती से बढ़ते अंकों वाली पाँच अंकों की संख्या $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ के समुच्चय से $5$ अलग-अलग अंकों को चुनकर निर्धारित की जाती है। ऐसी कुल संख्याएँ $\binom{9}{5} = 126$ हैं।
$1$. $1$ से शुरू होने वाली संख्याएँ: हम $\{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ में से $4$ और अंक चुनते हैं। कुल = $\binom{8}{4} = 70$.
$2$. $2$ से शुरू होने वाली संख्याएँ:
- $23$ से शुरू होने वाली: हम $\{4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ में से $3$ और अंक चुनते हैं। कुल = $\binom{6}{3} = 20$.
- $24$ से शुरू होने वाली:
- $245$ से शुरू होने वाली: हम $\{6, 7, 8, 9\}$ में से $2$ और अंक चुनते हैं। कुल = $\binom{4}{2} = 6$.
- $246$ से शुरू होने वाली:
- $24678$ ($96^{\text{वीं}}$ संख्या)
- $24679$ ($97^{\text{वीं}}$ संख्या)
अतः,$97^{\text{वीं}}$ संख्या $24679$ है। इस संख्या में $5$ अंक नहीं है।

(B) कम से कम एक उम्मीदवार के चयन के तरीकों की संख्या $\sum_{k=1}^{n} {^{2n+1}C_k} = 63$ द्वारा दी गई है।
हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{2n+1} {^{2n+1}C_k} = 2^{2n+1}$।
चूंकि ${^{2n+1}C_k} = {^{2n+1}C_{2n+1-k}}$,इसलिए $\sum_{k=0}^{n} {^{2n+1}C_k} = \sum_{k=n+1}^{2n+1} {^{2n+1}C_k} = \frac{2^{2n+1}}{2} = 2^{2n}$।
अतः,$\sum_{k=1}^{n} {^{2n+1}C_k} = (\sum_{k=0}^{n} {^{2n+1}C_k}) - {^{2n+1}C_0} = 2^{2n} - 1$।
दिया गया है कि $2^{2n} - 1 = 63$,इसलिए $2^{2n} = 64 = 2^6$।
अतः,$2n = 6$,जिसका अर्थ है $n = 3$।
चुने जा सकने वाले उम्मीदवारों की अधिकतम संख्या $n = 3$ है।

(D) मान लीजिए $x_i$ खिलाड़ी $A_i$ को दिए गए सिक्कों की संख्या है। कुल सिक्के $\sum_{i=1}^{11} x_i = 100$ हैं।
दी गई शर्तें: $i=3, 4, \dots, 11$ के लिए $x_i \ge i+1$,$x_1 \ge 6$ और $x_2 \ge 5$ है।
न्यूनतम सिक्कों का योग $= 6+5+4+5+6+7+8+9+10+11+12 = 83$ है।
शेष सिक्के $= 100 - 83 = 17$ हैं।
स्टार्स और बार्स विधि का उपयोग करते हुए,$17$ सिक्कों को $11$ खिलाड़ियों में वितरित करने के तरीके $= ^{17+11-1}C_{11-1} = ^{27}C_{10}$ हैं।

(B) $n$ वस्तुओं के संभावित जोड़ों की संख्या $^nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$ है।
प्रत्येक जोड़े का कुल वजन $2w$ है।
इसलिए,सभी जोड़ों के वजन का योग $\frac{n(n-1)}{2} \times 2w = n(n-1)w = 120$ --- $(1)$.
$n$ वस्तुओं के संभावित त्रिकों की संख्या $^nC_3 = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$ है।
प्रत्येक त्रिक का कुल वजन $3w$ है।
इसलिए,सभी त्रिकों के वजन का योग $\frac{n(n-1)(n-2)}{6} \times 3w = \frac{n(n-1)(n-2)w}{2} = 480$ --- $(2)$.
समीकरण $(2)$ को समीकरण $(1)$ से विभाजित करने पर:
$\frac{\frac{n(n-1)(n-2)w}{2}}{n(n-1)w} = \frac{480}{120}$
$\frac{n-2}{2} = 4$
$n-2 = 8$
$n = 10$.

(B) मान लीजिए कुल कर्मचारियों की संख्या $n = 10$ है।
हमें $r$ आकार की एक ऐसी टीम बनानी है जिसमें कम से कम $3$ कर्मचारी शामिल हों और कम से कम $3$ कर्मचारी बाहर हों।
इसका मतलब है कि टीम में कर्मचारियों की संख्या $r$ को $3 \le r \le 10 - 3$ यानी $3 \le r \le 7$ को संतुष्ट करना चाहिए।
ऐसी टीम बनाने के तरीकों की संख्या $\sum_{r=3}^{7} {^{10}C_r}$ है।
हम जानते हैं कि $\sum_{r=0}^{10} {^{10}C_r} = 2^{10} = 1024$ होता है।
आवश्यक योग $2^{10} - ({^{10}C_0} + {^{10}C_1} + {^{10}C_2} + {^{10}C_8} + {^{10}C_9} + {^{10}C_{10}})$ है।
मानों की गणना करने पर: ${^{10}C_0} = 1$,${^{10}C_1} = 10$,${^{10}C_2} = 45$ है।
चूंकि ${^{10}C_8} = 45$,${^{10}C_9} = 10$,और ${^{10}C_{10}} = 1$ है।
बाहर रखे गए पदों का योग $(1 + 10 + 45 + 45 + 10 + 1) = 112$ है।
अतः,तरीकों की संख्या $1024 - 112 = 912$ है।

(A) दिया गया है: $^nC_{r-2} = 36$,$^nC_{r-1} = 84$ और $^nC_r = 126$।
गुणधर्म $\frac{^nC_k}{^nC_{k-1}} = \frac{n-k+1}{k}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{^nC_{r-1}}{^nC_{r-2}} = \frac{84}{36} = \frac{7}{3}$ $\Rightarrow \frac{n-r+2}{r-1} = \frac{7}{3}$ $\Rightarrow 3n - 10r = -13$ ....$(1)$
$\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{126}{84} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow \frac{n-r+1}{r} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow 2n - 5r = -2$ ....$(2)$
समीकरण $(1)$ और $(2)$ को हल करने पर,हमें $n = 9$ और $r = 4$ प्राप्त होता है।
अतः,$^nC_{2r} = ^9C_{2(4)} = ^9C_8 = 9$।

(B) जब एक पासे को तीन बार उछाला जाता है,तो कुल परिणामों की संख्या $6^3 = 216$ होती है।
मान लीजिए परिणाम $x_1, x_2, x_3$ हैं ताकि $1 \le x_1 < x_2 < x_3 \le 6$ हो।
यह शर्त कि प्रत्येक संख्या पिछली संख्या से बड़ी हो,को पूरा करने के लिए हमें $\{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ के समुच्चय से $3$ अलग-अलग संख्याएँ चुननी होंगी।
$3$ अलग-अलग संख्याएँ चुनने के तरीकों की संख्या $^6C_3$ द्वारा दी जाती है।
$^6C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$.
एक बार $3$ अलग-अलग संख्याएँ चुन लेने के बाद,उन्हें बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करने का केवल $1$ तरीका होता है।
इसलिए,अनुकूल परिणामों की संख्या $20$ है।
प्रायिकता $\frac{20}{216}$ है।

(A) एक पंक्ति में व्यवस्थित $n$ वस्तुओं में से $3$ वस्तुओं को इस प्रकार चुनने के लिए कि कोई भी दो क्रमिक न हों,हम गैप विधि का उपयोग करते हैं।
मान लीजिए कि $n-3$ वस्तुएं जिन्हें नहीं चुना गया है,उन्हें $X$ द्वारा दर्शाया गया है।
$X \_ X \_ X \_ \dots \_ X$
यहाँ $n-3$ वस्तुएं हैं,जो $(n-3) + 1 = n-2$ उपलब्ध गैप बनाती हैं (सिरों सहित)।
हमें चुनी गई वस्तुओं को रखने के लिए इन $n-2$ गैप में से $3$ गैप चुनने की आवश्यकता है।
ऐसा करने के तरीकों की संख्या ${}^{n-2}C_3$ द्वारा दी जाती है।

(D) दी गई व्यंजक $S = ^{20}C_1 + 3 ^{20}C_2 + 3 ^{20}C_3 + ^{20}C_4$ है।
हम गुणांकों को इस प्रकार लिख सकते हैं:
$S = (^{20}C_1 + ^{20}C_2) + 2(^{20}C_2 + ^{20}C_3) + (^{20}C_3 + ^{20}C_4)$।
पास्कल के सर्वसमिका $^{n}C_{r} + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_{r}$ का उपयोग करने पर:
$S = ^{21}C_2 + 2(^{21}C_3) + ^{21}C_4$।
आगे,$S = (^{21}C_2 + ^{21}C_3) + (^{21}C_3 + ^{21}C_4)$।
सर्वसमिका का पुनः उपयोग करने पर:
$S = ^{22}C_3 + ^{22}C_4 = ^{23}C_4$।

(B) $6$ विवाहित जोड़े हैं,इसलिए कुल $12$ व्यक्ति हैं।
हमें $12$ में से $6$ व्यक्तियों को इस प्रकार चुनना है कि कोई भी दो व्यक्ति एक जोड़ा न हों।
सबसे पहले,हम $6$ जोड़ों में से $6$ जोड़ों का चयन करते हैं,जिसे $\binom{6}{6} = 1$ तरीके से किया जा सकता है।
इन $6$ चयनित जोड़ों में से प्रत्येक से हमें समिति के लिए ठीक एक व्यक्ति को चुनना होगा।
चूंकि प्रत्येक जोड़े में $2$ व्यक्ति होते हैं,इसलिए $6$ स्थानों के लिए हमारे पास प्रत्येक के लिए $2$ विकल्प हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $\binom{6}{6} \times 2^6 = 1 \times 64 = 64$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $^{69}C_{3r-1} - ^{69}C_{r^2} = ^{69}C_{r^2-1} - ^{69}C_{3r}$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $^{69}C_{3r-1} + ^{69}C_{3r} = ^{69}C_{r^2} + ^{69}C_{r^2-1}$
सर्वसमिका $^{n}C_{r} + ^{n}C_{r-1} = ^{n+1}C_{r}$ का उपयोग करने पर:
$^{70}C_{3r} = ^{70}C_{r^2}$
इसका अर्थ है कि या तो $3r = r^2$ या $3r + r^2 = 70$ है।
स्थिति $1$: $r^2 - 3r = 0$ $\Rightarrow r(r-3) = 0$ $\Rightarrow r = 0$ या $r = 3$।
स्थिति $2$: $r^2 + 3r - 70 = 0$ $\Rightarrow (r+10)(r-7) = 0$ $\Rightarrow r = -10$ या $r = 7$।
चूंकि $nCr$,$n \ge r \ge 0$ के लिए परिभाषित है,हम मानों की जांच करते हैं:
$r=0$ के लिए: $^{69}C_{-1}$ अपरिभाषित है।
$r=-10$ के लिए: $^{69}C_{-31}$ अपरिभाषित है।
$r=3$ के लिए: $^{69}C_{8} - ^{69}C_{9} = ^{69}C_{8} - ^{69}C_{9}$ (मान्य)।
$r=7$ के लिए: $^{69}C_{20} - ^{69}C_{49} = ^{69}C_{48} - ^{69}C_{21}$ (मान्य,क्योंकि $^{69}C_{49} = ^{69}C_{20}$ और $^{69}C_{48} = ^{69}C_{21}$)।
अतः,$r$ के मान्य मान $3$ और $7$ हैं।
मानों की संख्या $2$ है।

(B) माना $S$ एक समुच्चय है जिसमें $N = 2n + 1$ अवयव हैं। हमें अधिकतम $n$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करनी है,जो इस योग द्वारा दी जाती है:
$S = \sum_{r=0}^{n} \binom{2n+1}{r} = \binom{2n+1}{0} + \binom{2n+1}{1} + \dots + \binom{2n+1}{n}$.
हम जानते हैं कि कुल उपसमुच्चयों की संख्या $\sum_{r=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{r} = 2^{2n+1}$ है।
संचय के गुणधर्म के अनुसार,$\binom{N}{r} = \binom{N}{N-r}$.
अतः,$\binom{2n+1}{0} = \binom{2n+1}{2n+1}$,$\binom{2n+1}{1} = \binom{2n+1}{2n}$,...,$\binom{2n+1}{n} = \binom{2n+1}{n+1}$.
माना $X = \sum_{r=0}^{n} \binom{2n+1}{r}$.
इन दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2X = \sum_{r=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{r} = 2^{2n+1}$.
इसलिए,$X = \frac{2^{2n+1}}{2} = 2^{2n}$.

(B) फलन $f(x) = ^{9-x}C_{x-1}$ को परिभाषित होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. $9-x \geq 0 \Rightarrow x \leq 9$
$2$. $x-1 \geq 0 \Rightarrow x \geq 1$
$3$. $9-x \geq x-1 \Rightarrow 10 \geq 2x \Rightarrow x \leq 5$
इन्हें संयोजित करने पर,हमें $1 \leq x \leq 5$ प्राप्त होता है। चूँकि संचय (combination) के लिए $x$ का पूर्णांक होना आवश्यक है,इसलिए $x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$।
अतः,प्रांत में $m = 5$ अवयव हैं।
अब,प्रत्येक $x$ के लिए $f(x)$ के मान ज्ञात करते हैं:
$f(1) = ^8C_0 = 1$
$f(2) = ^7C_1 = 7$
$f(3) = ^6C_2 = 15$
$f(4) = ^5C_3 = 10$
$f(5) = ^4C_4 = 1$
परिसर भिन्न मानों का समुच्चय है: $\{1, 7, 15, 10\}$।
अतः,परिसर में $n = 4$ अवयव हैं।
$m=5$ और $n=4$ की तुलना करने पर,हम पाते हैं कि $m = n + 1$।

(B) हमें $2$ महिलाओं $(L)$,$2$ वृद्ध पुरुषों $(O)$ और $4$ युवा पुरुषों $(Y)$ में से $4$ व्यक्तियों का चयन करना है,जिसमें शर्तें हैं: $L \ge 1$,$O \ge 1$,और $Y \le 2$.
$4$ का योग बनाने वाले संभावित संयोजन $(L, O, Y)$ इस प्रकार हैं:
$1. (1, 1, 2) \implies ^2C_1 \times ^2C_1 \times ^4C_2 = 2 \times 2 \times 6 = 24$
$2. (1, 2, 1) \implies ^2C_1 \times ^2C_2 \times ^4C_1 = 2 \times 1 \times 4 = 8$
$3. (2, 1, 1) \implies ^2C_2 \times ^2C_1 \times ^4C_1 = 1 \times 2 \times 4 = 8$
$4. (2, 2, 0) \implies ^2C_2 \times ^2C_2 \times ^4C_0 = 1 \times 1 \times 1 = 1$
कुल तरीकों की संख्या $= 24 + 8 + 8 + 1 = 41$.

(C) माना कि $8$ प्रश्नों को आवंटित अंक $x_1, x_2, \dots, x_8$ हैं।
हमें दिया गया है कि $x_1 + x_2 + \dots + x_8 = 30$,जहाँ प्रत्येक $i = 1, 2, \dots, 8$ के लिए $x_i \ge 2$ है।
माना $x_i = y_i + 2$,जहाँ $y_i \ge 0$ है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(y_1 + 2) + (y_2 + 2) + \dots + (y_8 + 2) = 30$
$y_1 + y_2 + \dots + y_8 + 16 = 30$
$y_1 + y_2 + \dots + y_8 = 14$।
इस समीकरण के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या का सूत्र $^{n+r-1}C_{r-1}$ है,जहाँ $n=14$ और $r=8$ है।
तरीकों की संख्या $= ^{14+8-1}C_{8-1} = ^{21}C_7$।

(C) समुच्चय $A = \{a_1, a_2, \dots, a_{20}\}$ में $20$ भिन्न अवयव हैं।
$5$-अवयवों वाले उपसमुच्चयों की कुल संख्या $^{20}C_5$ है।
$a_4$ को समाहित करने वाले $5$-अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या शेष $19$ अवयवों में से $4$ अवयवों को चुनने के बराबर है,जो $^{19}C_4$ है।
प्रश्न के अनुसार,$^{20}C_5 = k \times ^{19}C_4$ है।
सूत्र $^nC_r = \frac{n}{r} \times ^{n-1}C_{r-1}$ का उपयोग करने पर,$^{20}C_5 = \frac{20}{5} \times ^{19}C_4$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = \frac{20}{5} = 4$।

(C) $5$ में से $2$ लड़कियों और $7$ में से $3$ लड़कों को बिना किसी प्रतिबंध के चुनने के कुल तरीके $^5C_2 \times ^7C_3 = 10 \times 35 = 350$ हैं।
यदि दोनों विशिष्ट लड़के $A$ और $B$ टीम में हैं,तो हमें शेष $5$ लड़कों में से $1$ और लड़का और $5$ लड़कियों में से $2$ लड़कियाँ चुननी होंगी। ऐसी टीमों की संख्या $^5C_1 \times ^5C_2 = 5 \times 10 = 50$ है।
अतः,उन टीमों की संख्या जिनमें $A$ और $B$ एक साथ नहीं हैं,$350 - 50 = 300$ है।

(B) दिया गया व्यंजक संचयों के गुणनफल का योग है:
$^{20}C_r ^{20}C_0 + ^{20}C_{r-1} ^{20}C_1 + ... + ^{20}C_0 ^{20}C_r = ^{40}C_r$
यह वेंडरमोंड की सर्वसमिका (Vandermonde's Identity) पर आधारित है,जो कहती है कि $\sum_{k=0}^{r} {^nC_k} {^mC_{r-k}} = ^{n+m}C_r$.
यहाँ,$n=20$ और $m=20$ है,इसलिए योग $^{40}C_r$ है।
$^{40}C_r$ का मान तब अधिकतम होता है जब $r = \frac{n+m}{2} = \frac{40}{2} = 20$ हो।

(A) हमें $\{1, 2, \dots, 10\}$ सेट से $3$ अलग-अलग गेंदें इस तरह चुननी हैं कि उनके लेबल $n_1 < n_2 < n_3$ को संतुष्ट करें।
चूंकि क्रम सख्ती से बढ़ रहा है,$10$ उपलब्ध गेंदों में से $3$ अलग-अलग गेंदों के किसी भी चयन को $n_1 < n_2 < n_3$ की शर्त को पूरा करने के लिए केवल एक ही तरीके से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इसलिए,तरीकों की संख्या संयोजन सूत्र $^{10}C_3$ द्वारा दी जाती है।
$^{10}C_3 = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 120$.

(B) दिया गया है कि $^nC_4, ^nC_5,$ और $^nC_6$ समांतर श्रेणी $(A.P.)$ में हैं।
अतः,$2(^nC_5) = ^nC_4 + ^nC_6$
सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$2 \times \frac{n!}{5!(n-5)!} = \frac{n!}{4!(n-4)!} + \frac{n!}{6!(n-6)!}$
समीकरण को हल करने पर,हमें $n^2 - 81n + 338 = 0$ प्राप्त होता है।
$(n-14)(n-67) = 0$
अतः,$n = 14$ या $n = 67$। विकल्पों के अनुसार,$n = 14$ सही उत्तर है।

(C) कुल उपलब्ध सदस्य $8$ पुरुष और $5$ महिलाएँ हैं,इसलिए कुल व्यक्ति = $13$ हैं। हमें $11$ सदस्यों का चयन करना है।
$m$ के लिए (कम से कम $6$ पुरुष):
संभावित स्थितियाँ ($6$ पुरुष,$5$ महिलाएँ),($7$ पुरुष,$4$ महिलाएँ),($8$ पुरुष,$3$ महिलाएँ) हैं।
$m = \binom{8}{6} \times \binom{5}{5} + \binom{8}{7} \times \binom{5}{4} + \binom{8}{8} \times \binom{5}{3} = (28 \times 1) + (8 \times 5) + (1 \times 10) = 28 + 40 + 10 = 78$.
$n$ के लिए (कम से कम $3$ महिलाएँ):
संभावित स्थितियाँ ($8$ पुरुष,$3$ महिलाएँ),($7$ पुरुष,$4$ महिलाएँ),($6$ पुरुष,$5$ महिलाएँ) हैं।
$n = \binom{5}{3} \times \binom{8}{8} + \binom{5}{4} \times \binom{8}{7} + \binom{5}{5} \times \binom{8}{6} = (10 \times 1) + (5 \times 8) + (1 \times 28) = 10 + 40 + 28 = 78$.
अतः,$m = n = 78$.

(A) मान लीजिए $10$ समान वस्तुएं $I$ हैं और $21$ भिन्न वस्तुएं $D_1, D_2, ..., D_{21}$ हैं।
$10$ वस्तुओं का चयन करने के लिए,हम $21$ भिन्न वस्तुओं में से $k$ वस्तुएं और $10$ समान वस्तुओं में से $(10-k)$ वस्तुएं चुन सकते हैं,जहाँ $0 \le k \le 10$.
समान वस्तुओं के लिए चयन का केवल $1$ तरीका है।
कुल तरीके = $\sum_{k=0}^{10} \binom{21}{k} = \binom{21}{0} + \binom{21}{1} + ... + \binom{21}{10}$.
हम जानते हैं कि $\sum_{k=0}^{21} \binom{21}{k} = 2^{21}$.
चूंकि $\binom{21}{k} = \binom{21}{21-k}$,इसलिए $\sum_{k=0}^{10} \binom{21}{k} = \sum_{k=11}^{21} \binom{21}{k}$ है।
मान लीजिए $S = \sum_{k=0}^{10} \binom{21}{k}$. तब $S + S = 2^{21}$,जिससे $S = 2^{20}$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $6 \cdot ^{35}C_{r} = (k^{2} - 3) \cdot ^{36}C_{r+1}$.
सर्वसमिका $^{36}C_{r+1} = \frac{36}{r+1} \cdot ^{35}C_{r}$ का उपयोग करने पर:
$6 \cdot ^{35}C_{r} = (k^{2} - 3) \cdot \frac{36}{r+1} \cdot ^{35}C_{r}$.
दोनों पक्षों को $^{35}C_{r}$ से विभाजित करने पर:
$6 = (k^{2} - 3) \cdot \frac{36}{r+1} \Rightarrow k^{2} - 3 = \frac{r+1}{6}$.
अतः,$k^{2} = \frac{r+19}{6}$.
चूँकि $k$ एक पूर्णांक है,$k^{2}$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए और $0 \le r \le 35$ है।
$r=5$ के लिए,$k^{2} = 4 \Rightarrow k = \pm 2$.
$r=35$ के लिए,$k^{2} = 9 \Rightarrow k = \pm 3$.
इस प्रकार,कुल $4$ क्रमित युग्म प्राप्त होते हैं।

(D) कुल कंचों की संख्या $= 5 + 4 + 3 = 12$.
$12$ कंचों में से $4$ कंचे चुनने के कुल तरीके $= ^{12}C_{4} = 495$.
हमें उन तरीकों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें अधिकतम $3$ लाल कंचे हों।
यह इसके बराबर है: (कुल तरीके) - (वे तरीके जिनमें सभी $4$ कंचे लाल हों)।
$5$ लाल कंचों में से $4$ लाल कंचे चुनने के तरीके $= ^{5}C_{4} = 5$.
अतः,अधिकतम $3$ लाल कंचे होने के तरीकों की संख्या $= 495 - 5 = 490$.

(A) हम जानते हैं कि $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1$ होता है।
अतः,$\frac{12!}{10! \times 2!} = \frac{12 \times 11 \times 10!}{10! \times (2 \times 1)}$।
अंश और हर से $10!$ को काटने पर,हमें $\frac{12 \times 11}{2}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $6 \times 11 = 66$ प्राप्त होता है।

(A) दी गई व्यंजक $\frac{n!}{r!(n-r)!}$ में $n=5$ और $r=2$ रखने पर।
$\frac{5!}{2!(5-2)!}$ प्राप्त होता है।
इसका सरलीकरण $\frac{5!}{2! \times 3!}$ है।
क्रमगुणित (factorial) का विस्तार करने पर,$\frac{5 \times 4 \times 3!}{2 \times 1 \times 3!}$ मिलता है।
अंश और हर से $3!$ को काटने पर,$\frac{5 \times 4}{2 \times 1} = \frac{20}{2} = 10$ प्राप्त होता है।

(A) हम जानते हैं कि $n! = n \times (n-1) \times (n-2) \times \dots \times 1$ होता है।
अतः,$\frac{8!}{6! \times 2!} = \frac{8 \times 7 \times 6!}{6! \times (2 \times 1)}$।
अंश और हर से $6!$ को काटने पर,हमें $\frac{8 \times 7}{2}$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $\frac{56}{2} = 28$ प्राप्त होता है।

(A) हम संचय का गुणधर्म जानते हैं: यदि $^{n}C_{r} = ^{n}C_{k}$ है,तो या तो $r = k$ या $n = r + k$ होता है।
दिया गया है $^{n}C_{9} = ^{n}C_{8}$,चूँकि $9 \neq 8$,इसलिए $n = 9 + 8 = 17$ होगा।
अब,हमें $^{n}C_{17}$ ज्ञात करना है,जो $^{17}C_{17}$ है।
सूत्र $^{n}C_{n} = 1$ का उपयोग करने पर,हमें $^{17}C_{17} = 1$ प्राप्त होता है।

(A) कुल व्यक्तियों की संख्या $2 + 3 = 5$ है। हमें $5$ में से $3$ व्यक्तियों का चयन करना है। चूँकि क्रम मायने नहीं रखता,इसलिए हम संचय (combinations) का उपयोग करेंगे।
कुल तरीके $= ^{5}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$.
$1$ पुरुष और $2$ महिलाओं वाली समिति बनाने के लिए:
$2$ पुरुषों में से $1$ पुरुष को $^{2}C_{1}$ तरीकों से चुना जा सकता है।
$3$ महिलाओं में से $2$ महिलाओं को $^{3}C_{2}$ तरीकों से चुना जा सकता है।
तरीकों की संख्या $= ^{2}C_{1} \times ^{3}C_{2} = 2 \times 3 = 6$.

(A) $52$ पत्तों में से $4$ पत्ते चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र $^{52}C_{4}$ द्वारा दी जाती है।
$^{52}C_{4} = \frac{52!}{4!48!} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 270725$.
$4$ पत्ते इस प्रकार चुनने के लिए कि प्रत्येक अलग सूट का हो,हमें $4$ सूटों में से प्रत्येक से $1$ पत्ता चुनना होगा।
प्रत्येक सूट में $13$ पत्ते होते हैं। प्रत्येक सूट से $1$ पत्ता चुनने के तरीके $^{13}C_{1} \times ^{13}C_{1} \times ^{13}C_{1} \times ^{13}C_{1} = 13 \times 13 \times 13 \times 13 = 13^{4} = 28561$ हैं।
अतः,कुल तरीके $270725$ हैं और अलग-अलग सूट से $4$ पत्ते चुनने के तरीके $13^{4}$ हैं।

(B) $52$ पत्तों में से $4$ पत्ते चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
$52$ में से $4$ पत्ते चुनने के लिए,$^{52}C_{4} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 270725$ है।
ताश की गड्डी में $12$ फेस कार्ड होते हैं।
$12$ में से $4$ फेस कार्ड चुनने के तरीकों की संख्या $^{12}C_{4} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 495$ है।

(A) $52$ पत्तों में से $4$ पत्ते चुनने के कुल तरीके संचय के सूत्र $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दिए जाते हैं।
कुल तरीके $= ^{52}C_{4} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 270725$.
एक गड्डी में $26$ लाल और $26$ काले पत्ते होते हैं।
$26$ लाल पत्तों में से $2$ और $26$ काले पत्तों में से $2$ पत्ते चुनने के तरीके $= ^{26}C_{2} \times ^{26}C_{2}$ हैं।
$^{26}C_{2} = \frac{26 \times 25}{2 \times 1} = 325$.
अतः,आवश्यक तरीकों की संख्या $= 325 \times 325 = 105625$.

(A) $52$ में से $4$ पत्ते चुनने के कुल तरीके संचय के सूत्र $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दिए जाते हैं।
कुल तरीके $= ^{52}C_{4} = \frac{52 \times 51 \times 50 \times 49}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 270725$.
पत्तों के एक ही रंग के होने के लिए,उन्हें या तो सभी लाल या सभी काले होना चाहिए।
$26$ लाल पत्ते और $26$ काले पत्ते हैं।
$4$ लाल पत्ते चुनने के तरीके $= ^{26}C_{4} = \frac{26 \times 25 \times 24 \times 23}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 14950$.
$4$ काले पत्ते चुनने के तरीके $= ^{26}C_{4} = 14950$.
एक ही रंग के पत्तों के लिए कुल तरीके $= 14950 + 14950 = 29900$.

(A) हम जानते हैं कि यदि $^{n}C_{a} = ^{n}C_{b}$ है,तो या तो $a = b$ या $n = a + b$ होता है।
यहाँ $^{n}C_{8} = ^{n}C_{2}$ दिया गया है,चूँकि $8 \neq 2$,इसलिए $n = 8 + 2 = 10$ होगा।
अब,हमें $^{n}C_{2} = ^{10}C_{2}$ का मान ज्ञात करना है।
$^{10}C_{2} = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.

(A) दिया गया है $\frac{^{2n}C_{3}}{^{n}C_{3}} = \frac{12}{1}$.
सूत्र $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(2n)!}{3!(2n-3)!} \times \frac{3!(n-3)!}{n!} = 12$.
क्रमगुणित (factorial) को सरल करने पर:
$\frac{(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)!}{(2n-3)!} \times \frac{(n-3)!}{n(n-1)(n-2)(n-3)!} = 12$.
$\frac{(2n)(2n-1)(2(n-1))}{n(n-1)(n-2)} = 12$.
$\frac{2(2n-1)(2)}{n-2} = 12$.
$\frac{4(2n-1)}{n-2} = 12$.
$\frac{2n-1}{n-2} = 3$.
$2n - 1 = 3(n - 2)$.
$2n - 1 = 3n - 6$.
$n = 5$.

(B) दिया गया है $\frac{^{2n}C_{3}}{^{n}C_{3}} = \frac{11}{1}$।
सूत्र $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(2n)!}{3!(2n-3)!} \times \frac{3!(n-3)!}{n!} = 11$
$\Rightarrow \frac{(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)!}{(2n-3)!} \times \frac{(n-3)!}{n(n-1)(n-2)(n-3)!} = 11$
$\Rightarrow \frac{(2n)(2n-1) \cdot 2(n-1)}{n(n-1)(n-2)} = 11$
$\Rightarrow \frac{2(2n-1) \cdot 2}{n-2} = 11$
$\Rightarrow \frac{4(2n-1)}{n-2} = 11$
$\Rightarrow 8n - 4 = 11n - 22$
$\Rightarrow 3n = 18$
$\Rightarrow n = 6$.

(A) $5$ लड़कों और $4$ लड़कियों में से $3$ लड़कों और $3$ लड़कियों की टीम का चयन करना है।
$5$ लड़कों में से $3$ लड़कों को $^{5}C_{3}$ तरीकों से चुना जा सकता है।
$4$ लड़कियों में से $3$ लड़कियों को $^{4}C_{3}$ तरीकों से चुना जा सकता है।
अतः,गुणन सिद्धांत के अनुसार,कुल चयन के तरीके:
$^{5}C_{3} \times ^{4}C_{3} = \frac{5!}{3!2!} \times \frac{4!}{3!1!}$
$= \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{4}{1}$
$= 10 \times 4 = 40$ तरीके।

(A) हमें $9$ गेंदें इस प्रकार चुननी हैं कि प्रत्येक रंग (लाल,सफेद और नीली) की $3$ गेंदें हों।
$6$ लाल गेंदों में से $3$ लाल गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या $^{6}C_{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$ है।
$5$ सफेद गेंदों में से $3$ सफेद गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या $^{5}C_{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ है।
$5$ नीली गेंदों में से $3$ नीली गेंदें चुनने के तरीकों की संख्या $^{5}C_{3} = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ है।
गुणन सिद्धांत के अनुसार,कुल तरीकों की संख्या $20 \times 10 \times 10 = 2000$ है।

(A) $52$ पत्तों की गड्डी में $4$ इक्के और $48$ अन्य पत्ते होते हैं।
हमें $5$ पत्ते इस प्रकार चुनने हैं कि उनमें ठीक $1$ इक्का हो।
सबसे पहले,$4$ इक्कों में से $1$ इक्का $^{4}C_{1}$ तरीकों से चुना जा सकता है।
इसके बाद,शेष $4$ पत्ते $48$ अन्य पत्तों में से $^{48}C_{4}$ तरीकों से चुने जा सकते हैं।
गुणन सिद्धांत का उपयोग करते हुए,कुल संयोजन $= ^{4}C_{1} \times ^{48}C_{4}$ होंगे।
$^{4}C_{1} = 4$.
$^{48}C_{4} = \frac{48 \times 47 \times 46 \times 45}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 194580$.
कुल संयोजन $= 4 \times 194580 = 778320$।

(A) कुल खिलाड़ी = $17$। गेंदबाजों की संख्या = $5$। अन्य खिलाड़ियों की संख्या = $17 - 5 = 12$।
हमें $11$ खिलाड़ियों की एक टीम चुननी है जिसमें ठीक $4$ गेंदबाज हों।
$5$ में से $4$ गेंदबाजों को चुनने के तरीके = $^{5}C_{4} = \frac{5!}{4!1!} = 5$।
शेष $11 - 4 = 7$ खिलाड़ियों को $12$ अन्य खिलाड़ियों में से चुनने के तरीके = $^{12}C_{7} = \frac{12!}{7!5!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9 \times 8}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 792$।
कुल तरीके = $^{5}C_{4} \times ^{12}C_{7} = 5 \times 792 = 3960$।

(A) थैले में $5$ काली और $6$ लाल गेंदें हैं।
$5$ काली गेंदों में से $2$ काली गेंदें चुनने के तरीके $^{5}C_{2}$ हैं।
$6$ लाल गेंदों में से $3$ लाल गेंदें चुनने के तरीके $^{6}C_{3}$ हैं।
अतः,गुणन सिद्धांत के अनुसार,$2$ काली और $3$ लाल गेंदों को चुनने के कुल तरीके:
$= ^{5}C_{2} \times ^{6}C_{3} = \frac{5!}{2!3!} \times \frac{6!}{3!3!} = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} \times \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 20 = 200$.

(A) कुल $9$ पाठ्यक्रम उपलब्ध हैं,जिनमें से $2$ विशिष्ट पाठ्यक्रम प्रत्येक छात्र के लिए अनिवार्य हैं।
चूंकि $2$ पाठ्यक्रम पहले से ही चुने जा चुके हैं,इसलिए छात्र को शेष $5 - 2 = 3$ पाठ्यक्रम चुनने होंगे।
चुनने के लिए शेष पाठ्यक्रमों की संख्या $9 - 2 = 7$ है।
इसलिए,शेष पाठ्यक्रमों को चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
चुनने के तरीकों की संख्या $= ^{7}C_{3} = \frac{7!}{3!4!} = \frac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35$.

(A) चूँकि टीम में कोई भी लड़की शामिल नहीं होगी,इसलिए केवल लड़कों का चयन किया जाना है।
हमें $7$ लड़कों में से $5$ लड़कों का चयन करना है।
चयन करने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,तरीकों की संख्या $= ^{7}C_{5} = ^{7}C_{7-5} = ^{7}C_{2}$ है।
$^{7}C_{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$ है।
इस प्रकार,टीम चुनने के $21$ तरीके हैं।

(A) चुने जाने वाले कुल सदस्यों की संख्या $5$ है। टीम में कम से कम एक लड़का और एक लड़की होनी चाहिए।
टीम के संभावित संयोजन इस प्रकार हैं:
$(a)$ $1$ लड़का और $4$ लड़कियाँ: $^{7}C_{1} \times ^{4}C_{4} = 7 \times 1 = 7$ तरीके।
$(b)$ $2$ लड़के और $3$ लड़कियाँ: $^{7}C_{2} \times ^{4}C_{3} = 21 \times 4 = 84$ तरीके।
$(c)$ $3$ लड़के और $2$ लड़कियाँ: $^{7}C_{3} \times ^{4}C_{2} = 35 \times 6 = 210$ तरीके।
$(d)$ $4$ लड़के और $1$ लड़की: $^{7}C_{4} \times ^{4}C_{1} = 35 \times 4 = 140$ तरीके।
कुल तरीकों की संख्या = $7 + 84 + 210 + 140 = 441$।