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Division into groups, Derangements Questions in Hindi
Class 11 Mathematics · Permutation and Combination · Division into groups, Derangements
47+
Questions
Hindi
Language
100%
With Solutions
Showing 47 of 47 questions in Hindi
1
MediumMCQ
$9$ व्यक्तियों को तीन समान समूहों में विभाजित करने के तरीकों की संख्या है
A
$280$
B
$840$
C
$560$
D
$1680$
Solution
(A) $9$ व्यक्तियों को $3$ व्यक्तियों के $3$ समान समूहों में विभाजित करने के लिए,हम पहले $9$ में से $3$ व्यक्ति चुनते हैं,फिर शेष $6$ में से $3$,और अंत में शेष $3$ में से $3$ व्यक्ति चुनते हैं।
चूंकि समूहों का क्रम मायने नहीं रखता है,इसलिए हम $3!$ से विभाजित करते हैं।
तरीकों की संख्या $\frac{\binom{9}{3} \binom{6}{3} \binom{3}{3}}{3!} = \frac{9!}{(3!)^3 \times 3!}$ द्वारा दी जाती है।
गणना: $\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{6 \times 6 \times 6} = 280$.
चूंकि समूहों का क्रम मायने नहीं रखता है,इसलिए हम $3!$ से विभाजित करते हैं।
तरीकों की संख्या $\frac{\binom{9}{3} \binom{6}{3} \binom{3}{3}}{3!} = \frac{9!}{(3!)^3 \times 3!}$ द्वारा दी जाती है।
गणना: $\frac{9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4}{6 \times 6 \times 6} = 280$.
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EasyMCQ
$15$ अलग-अलग पुस्तकों को समान संख्या के $5$ ढेरों में विभाजित करने के तरीकों की सही संख्या चुनें।
A
$\frac{15!}{(3!)^5 \times 5!}$
B
$\frac{15!}{(3!)^5}$
C
$^{15}C_5$
D
$^{15}P_5$
Solution
(A) $n$ अलग-अलग वस्तुओं को $m$ आकार के $k$ समान समूहों में विभाजित करने के लिए (जहाँ $n = km$),तरीकों की संख्या का सूत्र है: $\frac{n!}{(m!)^k \times k!}$।
यहाँ,$n = 15$,$m = 3$,और $k = 5$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,तरीकों की संख्या $\frac{15!}{(3!)^5 \times 5!}$ प्राप्त होती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।
यहाँ,$n = 15$,$m = 3$,और $k = 5$ है।
इन मानों को प्रतिस्थापित करने पर,तरीकों की संख्या $\frac{15!}{(3!)^5 \times 5!}$ प्राप्त होती है।
अतः,सही विकल्प $A$ है।
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EasyMCQ
$52$ ताश के पत्तों को चार खिलाड़ियों में समान रूप से बांटने के तरीकों की संख्या है
A
$\frac{52!}{(13!)^4}$
B
$\frac{52!}{(13!)^2 \times 4!}$
C
$\frac{52!}{(12!)^4 \times 4!}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) कुल पत्तों की संख्या $52$ है और उन्हें $4$ खिलाड़ियों में समान रूप से बांटना है,जिसका अर्थ है कि प्रत्येक खिलाड़ी को $13$ पत्ते मिलेंगे।
पहले खिलाड़ी के लिए $13$ पत्ते चुनने के तरीके $^{52}C_{13}$ हैं।
शेष $39$ पत्तों में से दूसरे खिलाड़ी के लिए $13$ पत्ते चुनने के तरीके $^{39}C_{13}$ हैं।
शेष $26$ पत्तों में से तीसरे खिलाड़ी के लिए $13$ पत्ते चुनने के तरीके $^{26}C_{13}$ हैं।
शेष $13$ पत्तों में से चौथे खिलाड़ी के लिए $13$ पत्ते चुनने के तरीके $^{13}C_{13}$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या:
$^{52}C_{13} \times ^{39}C_{13} \times ^{26}C_{13} \times ^{13}C_{13} = \frac{52!}{(13!)^4}$.
पहले खिलाड़ी के लिए $13$ पत्ते चुनने के तरीके $^{52}C_{13}$ हैं।
शेष $39$ पत्तों में से दूसरे खिलाड़ी के लिए $13$ पत्ते चुनने के तरीके $^{39}C_{13}$ हैं।
शेष $26$ पत्तों में से तीसरे खिलाड़ी के लिए $13$ पत्ते चुनने के तरीके $^{26}C_{13}$ हैं।
शेष $13$ पत्तों में से चौथे खिलाड़ी के लिए $13$ पत्ते चुनने के तरीके $^{13}C_{13}$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या:
$^{52}C_{13} \times ^{39}C_{13} \times ^{26}C_{13} \times ^{13}C_{13} = \frac{52!}{(13!)^4}$.
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DifficultMCQ
चार अलग-अलग रंगों की गेंदें और उन्हीं रंगों के चार बक्से हैं। गेंदों को प्रत्येक बक्से में एक-एक करके इस प्रकार रखने के कुल कितने तरीके हैं कि कोई भी गेंद अपने स्वयं के रंग के बक्से में न जाए?
A
$8$
B
$7$
C
$9$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) यह 'derangements' का प्रश्न है,जहाँ $n = 4$ वस्तुओं को $n$ बक्सों में इस प्रकार रखा जाना है कि कोई भी वस्तु अपने सही बक्से में न जाए।
'derangements' $D_n$ का सूत्र है:
$D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)$
$n = 4$ के लिए:
$D_4 = 4! \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 12 - 4 + 1 = 9$.
अतः,कुल $9$ तरीके हैं।
'derangements' $D_n$ का सूत्र है:
$D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)$
$n = 4$ के लिए:
$D_4 = 4! \left( \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 12 - 4 + 1 = 9$.
अतः,कुल $9$ तरीके हैं।
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MediumMCQ
$52$ ताश के पत्तों को चार खिलाड़ियों के बीच इस प्रकार बांटने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि तीन खिलाड़ियों के पास $17$ पत्ते हों और चौथे खिलाड़ी के पास केवल एक पत्ता हो।
A
$\frac{52!}{(17!)^3}$
B
$52!$
C
$\frac{52!}{17!}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) $52$ पत्तों को चार खिलाड़ियों में बांटने के कुल तरीके:
$1$. पहले खिलाड़ी के लिए $52$ में से $17$ पत्ते चुनने के तरीके: $^{52}C_{17} = \frac{52!}{35!17!}$.
$2$. दूसरे खिलाड़ी के लिए शेष $35$ में से $17$ पत्ते चुनने के तरीके: $^{35}C_{17} = \frac{35!}{18!17!}$.
$3$. तीसरे खिलाड़ी के लिए शेष $18$ में से $17$ पत्ते चुनने के तरीके: $^{18}C_{17} = \frac{18!}{1!17!}$.
$4$. चौथे खिलाड़ी के लिए शेष $1$ पत्ता: $^{1}C_{1} = 1$.
कुल तरीकों का गुणनफल:
$\frac{52!}{35!17!} \times \frac{35!}{18!17!} \times \frac{18!}{1!17!} \times 1 = \frac{52!}{(17!)^3}$.
$1$. पहले खिलाड़ी के लिए $52$ में से $17$ पत्ते चुनने के तरीके: $^{52}C_{17} = \frac{52!}{35!17!}$.
$2$. दूसरे खिलाड़ी के लिए शेष $35$ में से $17$ पत्ते चुनने के तरीके: $^{35}C_{17} = \frac{35!}{18!17!}$.
$3$. तीसरे खिलाड़ी के लिए शेष $18$ में से $17$ पत्ते चुनने के तरीके: $^{18}C_{17} = \frac{18!}{1!17!}$.
$4$. चौथे खिलाड़ी के लिए शेष $1$ पत्ता: $^{1}C_{1} = 1$.
कुल तरीकों का गुणनफल:
$\frac{52!}{35!17!} \times \frac{35!}{18!17!} \times \frac{18!}{1!17!} \times 1 = \frac{52!}{(17!)^3}$.
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MediumMCQ
$n$ पत्र और $n$ पते लिखे हुए लिफाफे हैं। इस बात की प्रायिकता कि सभी पत्र सही लिफाफे में न रखे जाएं,है:
A
$\frac{1}{n!}$
B
$1 - \frac{1}{n!}$
C
$1 - \frac{1}{n}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) $n$ पत्रों को $n$ लिफाफों में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $n!$ हैं।
केवल $1$ तरीका ऐसा है जिसमें सभी पत्र अपने सही लिफाफों में रखे जाते हैं।
अतः,सभी पत्रों के सही लिफाफे में रखे जाने की प्रायिकता $P(\text{correct}) = \frac{1}{n!}$ है।
सभी पत्रों के सही लिफाफे में न रखे जाने की प्रायिकता $1 - P(\text{correct}) = 1 - \frac{1}{n!}$ है।
केवल $1$ तरीका ऐसा है जिसमें सभी पत्र अपने सही लिफाफों में रखे जाते हैं।
अतः,सभी पत्रों के सही लिफाफे में रखे जाने की प्रायिकता $P(\text{correct}) = \frac{1}{n!}$ है।
सभी पत्रों के सही लिफाफे में न रखे जाने की प्रायिकता $1 - P(\text{correct}) = 1 - \frac{1}{n!}$ है।
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EasyMCQ
तीन पत्र अलग-अलग व्यक्तियों को भेजे जाने हैं और तीन लिफाफों पर पते भी लिखे हुए हैं। पतों को देखे बिना,इस बात की प्रायिकता क्या है कि सभी पत्र सही लिफाफों में जाएं?
A
$\frac{1}{27}$
B
$\frac{1}{9}$
C
$\frac{4}{27}$
D
$\frac{1}{6}$
Solution
(D) $3$ अलग-अलग पत्रों को $3$ अलग-अलग लिफाफों में रखने के कुल तरीके $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ हैं।
इन $6$ संभावित व्यवस्थाओं में से,केवल $1$ व्यवस्था ऐसी है जिसमें सभी पत्र अपने सही लिफाफों में जाते हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$ है।
इन $6$ संभावित व्यवस्थाओं में से,केवल $1$ व्यवस्था ऐसी है जिसमें सभी पत्र अपने सही लिफाफों में जाते हैं।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$ है।
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MediumMCQ
$4$ पते वाले लिफाफे और $4$ संबंधित पत्र हैं। इस बात की प्रायिकता क्या है कि कोई भी पत्र अपने सही लिफाफे में न जाए?
A
$\frac{19}{24}$
B
$\frac{21}{23}$
C
$\frac{23}{24}$
D
$\frac{1}{24}$
Solution
(C) सभी पत्रों के अपने सही लिफाफे में जाने की प्रायिकता $\frac{1}{4!} = \frac{1}{24}$ है।
अतः,कम से कम एक पत्र अपने सही लिफाफे में न जाने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{24} = \frac{23}{24}$ है।
अतः,कम से कम एक पत्र अपने सही लिफाफे में न जाने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{24} = \frac{23}{24}$ है।
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DifficultMCQ
$n$ विभिन्न वस्तुओं $1, 2, 3, \dots, n$ को $1, 2, 3, \dots, n$ चिह्नित $n$ स्थानों पर यादृच्छिक रूप से वितरित किया जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि कम से कम तीन वस्तुएं अपने नंबर के अनुरूप स्थानों पर हों?
A
$\frac{1}{6}$
B
$\frac{5}{6}$
C
$\frac{1}{3}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) मान लीजिए $E_i$ वह घटना है कि $i^{th}$ वस्तु $i^{th}$ स्थान पर जाती है।
हमारे पास $P(E_i) = \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n}$ है,सभी $i$ के लिए।
इस बात की प्रायिकता कि ठीक $3$ विशिष्ट वस्तुएं अपने सही स्थानों पर हों,$P(E_i \cap E_j \cap E_k) = \frac{(n-3)!}{n!}$ है,जहाँ $i < j < k$ है।
चूँकि हम $n$ में से $3$ स्थानों को $\binom{n}{3}$ तरीकों से चुन सकते हैं,इसलिए कम से कम तीन वस्तुओं के अपने संबंधित स्थानों पर होने की प्रायिकता $\binom{n}{3} \times \frac{(n-3)!}{n!} = \frac{n!}{3!(n-3)!} \times \frac{(n-3)!}{n!} = \frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$ है।
हमारे पास $P(E_i) = \frac{(n-1)!}{n!} = \frac{1}{n}$ है,सभी $i$ के लिए।
इस बात की प्रायिकता कि ठीक $3$ विशिष्ट वस्तुएं अपने सही स्थानों पर हों,$P(E_i \cap E_j \cap E_k) = \frac{(n-3)!}{n!}$ है,जहाँ $i < j < k$ है।
चूँकि हम $n$ में से $3$ स्थानों को $\binom{n}{3}$ तरीकों से चुन सकते हैं,इसलिए कम से कम तीन वस्तुओं के अपने संबंधित स्थानों पर होने की प्रायिकता $\binom{n}{3} \times \frac{(n-3)!}{n!} = \frac{n!}{3!(n-3)!} \times \frac{(n-3)!}{n!} = \frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$ है।
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DifficultMCQ
विभिन्न रंगों की $4$ गेंदें हैं और गेंदों के रंगों के समान ही $4$ बक्से हैं। $2$ गेंदों को बक्सों में कितने तरीकों से रखा जा सकता है ताकि वे अपने संबंधित रंगों से मेल न खाएं?
A
$6$
B
$4$
C
$2$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) हमें $4$ गेंदों में से $2$ गेंदों का चयन करना है और उन्हें अन्य $2$ गेंदों के बक्सों में इस प्रकार रखना है कि कोई भी गेंद अपने स्वयं के बक्से में न जाए।
$4$ में से $2$ गेंदों को चुनने के तरीकों की संख्या $^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ है।
चुनी गई $2$ गेंदों के लिए,उन्हें इस प्रकार रखने के तरीकों की संख्या कि कोई भी अपने बक्से में न जाए,वह $D_2 = 2! \times (1 - 1 + \frac{1}{2!}) = 1$ द्वारा दी जाती है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $6 \times 1 = 6$ है।
$4$ में से $2$ गेंदों को चुनने के तरीकों की संख्या $^4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$ है।
चुनी गई $2$ गेंदों के लिए,उन्हें इस प्रकार रखने के तरीकों की संख्या कि कोई भी अपने बक्से में न जाए,वह $D_2 = 2! \times (1 - 1 + \frac{1}{2!}) = 1$ द्वारा दी जाती है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $6 \times 1 = 6$ है।
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DifficultMCQ
समुच्चय $S = \{1, 2, 3, \dots, 12\}$ को तीन समान आकार के समुच्चयों $A, B, C$ में इस प्रकार विभाजित किया जाता है कि $A \cup B \cup C = S$ और $A \cap B = B \cap C = C \cap A = \phi$ हो। $S$ को कितने तरीकों से विभाजित किया जा सकता है?
A
$\frac{12!}{3! \times (3!)^4}$
B
$\frac{12!}{(4!)^3}$
C
$\frac{12!}{(3!)^4}$
D
$\frac{12!}{3! \times (4!)^3}$
Solution
(B) समुच्चय $S$ में $12$ अवयव हैं। चूंकि इसे तीन समान आकार के समुच्चयों $A, B, C$ में विभाजित किया गया है,प्रत्येक समुच्चय में $12 / 3 = 4$ अवयव होने चाहिए।
समुच्चय $A$ के लिए $4$ अवयव चुनने के तरीके $\binom{12}{4}$ हैं।
शेष $8$ अवयवों में से समुच्चय $B$ के लिए $4$ अवयव चुनने के तरीके $\binom{8}{4}$ हैं।
शेष $4$ अवयवों में से समुच्चय $C$ के लिए $4$ अवयव चुनने के तरीके $\binom{4}{4}$ हैं।
चूंकि समुच्चय $A, B, C$ अलग-अलग (labeled) हैं,कुल तरीकों की संख्या:
$\binom{12}{4} \times \binom{8}{4} \times \binom{4}{4} = \frac{12!}{4! \times 8!} \times \frac{8!}{4! \times 4!} \times \frac{4!}{4! \times 0!} = \frac{12!}{(4!)^3}$.
समुच्चय $A$ के लिए $4$ अवयव चुनने के तरीके $\binom{12}{4}$ हैं।
शेष $8$ अवयवों में से समुच्चय $B$ के लिए $4$ अवयव चुनने के तरीके $\binom{8}{4}$ हैं।
शेष $4$ अवयवों में से समुच्चय $C$ के लिए $4$ अवयव चुनने के तरीके $\binom{4}{4}$ हैं।
चूंकि समुच्चय $A, B, C$ अलग-अलग (labeled) हैं,कुल तरीकों की संख्या:
$\binom{12}{4} \times \binom{8}{4} \times \binom{4}{4} = \frac{12!}{4! \times 8!} \times \frac{8!}{4! \times 4!} \times \frac{4!}{4! \times 0!} = \frac{12!}{(4!)^3}$.
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MediumMCQ
$52$ ताश के पत्तों को चार खिलाड़ियों के बीच समान रूप से कितने तरीकों से बांटा जा सकता है?
A
$\frac{52!}{(13!)^4}$
B
$\frac{52!}{(13!)^2 \times 4!}$
C
$\frac{52!}{(12!)^4 \times 4!}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) $52$ ताश के पत्तों को चार खिलाड़ियों के बीच समान रूप से बांटने के तरीकों की संख्या इस प्रकार है:
$\frac{52!}{13! \times 13! \times 13! \times 13!} = \frac{52!}{(13!)^4}$
इसे इस प्रकार भी गणना किया जा सकता है:
$^{52}C_{13} \times ^{39}C_{13} \times ^{26}C_{13} \times ^{13}C_{13} = \frac{52!}{39!13!} \times \frac{39!}{26!13!} \times \frac{26!}{13!13!} \times \frac{13!}{0!13!} = \frac{52!}{(13!)^4}$
$\frac{52!}{13! \times 13! \times 13! \times 13!} = \frac{52!}{(13!)^4}$
इसे इस प्रकार भी गणना किया जा सकता है:
$^{52}C_{13} \times ^{39}C_{13} \times ^{26}C_{13} \times ^{13}C_{13} = \frac{52!}{39!13!} \times \frac{39!}{26!13!} \times \frac{26!}{13!13!} \times \frac{13!}{0!13!} = \frac{52!}{(13!)^4}$
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MediumMCQ
विभिन्न रंगों की $4$ गेंदें और उन्हीं रंगों के $4$ बक्से हैं। $4$ गेंदों को बक्सों में इस प्रकार कितनी तरह से रखा जा सकता है कि प्रत्येक बक्से में एक गेंद हो और कोई भी गेंद अपने रंग के बक्से में न जाए?
A
$3$
B
$6$
C
$9$
D
$12$
Solution
(C) यह $4$ वस्तुओं के अव्यवस्था (derangement) की समस्या है,जिसे $D_4$ के रूप में दर्शाया जाता है।
$n$ वस्तुओं के अव्यवस्था का सूत्र $D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)$ है।
$n = 4$ के लिए:
$D_4 = 4! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{12 - 4 + 1}{24} \right)$
$D_4 = 9$.
अतः,गेंदों को रखने के $9$ तरीके हैं ताकि कोई भी गेंद अपने रंग के बक्से में न जाए।
$n$ वस्तुओं के अव्यवस्था का सूत्र $D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)$ है।
$n = 4$ के लिए:
$D_4 = 4! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{12 - 4 + 1}{24} \right)$
$D_4 = 9$.
अतः,गेंदों को रखने के $9$ तरीके हैं ताकि कोई भी गेंद अपने रंग के बक्से में न जाए।
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MediumMCQ
यदि $6$ पत्र और $6$ संबंधित लिफाफे हैं,तो सभी पत्रों को गलत लिफाफों में कितने तरीकों से रखा जा सकता है?
A
$265$
B
$9$
C
$45$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(A) $n$ पत्रों को गलत लिफाफों में रखने के तरीकों की संख्या डिरेंजमेंट सूत्र $D_n = n! \left[ 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + (-1)^n \frac{1}{n!} \right]$ द्वारा दी जाती है।
$n = 6$ के लिए,तरीकों की संख्या $D_6 = 6! \left[ 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \frac{1}{6!} \right]$ है।
$D_6 = 6! \left[ \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \frac{1}{6!} \right]$.
$D_6 = 360 - 120 + 30 - 6 + 1 = 265$.
$n = 6$ के लिए,तरीकों की संख्या $D_6 = 6! \left[ 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \frac{1}{6!} \right]$ है।
$D_6 = 6! \left[ \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!} + \frac{1}{6!} \right]$.
$D_6 = 360 - 120 + 30 - 6 + 1 = 265$.
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MediumMCQ
चार अलग-अलग रंगों की गेंदें और उन्हीं रंगों के चार बक्से हैं। गेंदों को बक्सों में कितनी तरह से रखा जा सकता है कि कोई भी गेंद अपने रंग के बक्से में न जाए?
A
$8$
B
$7$
C
$9$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(C) यह अव्यवस्था (derangements) की समस्या है,जिसे $D_n$ या $!n$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$n = 4$ वस्तुओं के लिए,अव्यवस्थाओं की संख्या का सूत्र है:
$D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right)$
$n = 4$ रखने पर:
$D_4 = 4! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 12 - 4 + 1 = 9$
अतः,गेंदों को रखने के $9$ तरीके हैं ताकि कोई भी गेंद अपने रंग के बक्से में न जाए।
$n = 4$ वस्तुओं के लिए,अव्यवस्थाओं की संख्या का सूत्र है:
$D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right)$
$n = 4$ रखने पर:
$D_4 = 4! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 12 - 4 + 1 = 9$
अतः,गेंदों को रखने के $9$ तरीके हैं ताकि कोई भी गेंद अपने रंग के बक्से में न जाए।
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DifficultMCQ
$52$ ताश के पत्तों के एक पैकेट को चार समान समूहों में कितने तरीकों से विभाजित किया जा सकता है?
A
$\frac{52!}{(13!)^4}$
B
$\frac{52!}{(13!)^4 \times 4!}$
C
$\frac{52!}{(13!)^4 \times 3!}$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) $52$ अलग-अलग वस्तुओं को $n$ समान आकार के $k$ समूहों में विभाजित करने के तरीकों की संख्या $\frac{n!}{(k!)^n \times n!}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 4$ और $k = 13$ है।
अतः,तरीकों की संख्या $\frac{52!}{(13!)^4 \times 4!}$ होगी।
यहाँ,$n = 4$ और $k = 13$ है।
अतः,तरीकों की संख्या $\frac{52!}{(13!)^4 \times 4!}$ होगी।
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EasyMCQ
$150$ छात्रों ने प्रवेश लिया। उन्हें तीन समान वर्गों $A, B,$ और $C$ में कितने तरीकों से विभाजित किया जा सकता है?
A
$\frac{150!}{3!(50!)^3}$
B
$\frac{150!}{(50!)^3}$
C
$\frac{150!}{(50!)^3} \times 150!$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) कुल छात्रों की संख्या $150$ है। हमें उन्हें $50$ छात्रों के $3$ समूहों में विभाजित करना है।
चूंकि वर्ग $A, B,$ और $C$ अलग-अलग (नामित) हैं,इसलिए $150$ छात्रों को $50$ के $3$ समूहों में बांटने के तरीकों की संख्या मल्टीनोमियल गुणांक द्वारा दी जाती है:
$\frac{150!}{50! 50! 50!} = \frac{150!}{(50!)^3}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।
चूंकि वर्ग $A, B,$ और $C$ अलग-अलग (नामित) हैं,इसलिए $150$ छात्रों को $50$ के $3$ समूहों में बांटने के तरीकों की संख्या मल्टीनोमियल गुणांक द्वारा दी जाती है:
$\frac{150!}{50! 50! 50!} = \frac{150!}{(50!)^3}$.
अतः,सही विकल्प $B$ है।
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DifficultMCQ
यदि $4$ पत्र और $4$ लिफाफे हैं,तो सभी पत्रों को गलत लिफाफों में कितनी तरह से रखा जा सकता है?
A
$8$
B
$9$
C
$16$
D
इनमें से कोई नहीं
Solution
(B) यह $n$ वस्तुओं के विन्यास (derangement) की समस्या है,जिसे $D_n$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$n = 4$ के लिए,विन्यास की संख्या का सूत्र है:
$D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right)$
$n = 4$ रखने पर:
$D_4 = 4! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{12 - 4 + 1}{24} \right)$
$D_4 = 12 - 4 + 1 = 9$
अतः,सभी पत्रों को गलत लिफाफों में रखने के कुल $9$ तरीके हैं।
$n = 4$ के लिए,विन्यास की संख्या का सूत्र है:
$D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right)$
$n = 4$ रखने पर:
$D_4 = 4! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{12 - 4 + 1}{24} \right)$
$D_4 = 12 - 4 + 1 = 9$
अतः,सभी पत्रों को गलत लिफाफों में रखने के कुल $9$ तरीके हैं।
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DifficultMCQ
$4$ पत्र और $4$ लिफाफे हैं। यदि पत्रों को यादृच्छिक रूप से लिफाफों में रखा जाता है,तो इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि सभी पत्र गलत लिफाफों में रखे गए हैं।
A
$5/4$
B
$3/7$
C
$2/9$
D
$3/8$
Solution
(D) $n$ पत्रों को $n$ लिफाफों में इस प्रकार रखने के तरीकों की संख्या कि कोई भी पत्र सही लिफाफे में न हो,उसे डिरेंजमेंट सूत्र $D_n = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{(-1)^k}{k!}$ द्वारा दिया जाता है।
$4$ पत्रों को $4$ लिफाफों में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $4! = 24$ हैं।
$n=4$ के लिए डिरेंजमेंट की संख्या $D_4 = 4! \left( \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right) = 24 \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right) = 12 - 4 + 1 = 9$ है।
इस बात की प्रायिकता कि सभी पत्र गलत लिफाफों में हैं,$\frac{D_4}{4!} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$ है।
$4$ पत्रों को $4$ लिफाफों में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $4! = 24$ हैं।
$n=4$ के लिए डिरेंजमेंट की संख्या $D_4 = 4! \left( \frac{1}{0!} - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} \right) = 24 \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right) = 12 - 4 + 1 = 9$ है।
इस बात की प्रायिकता कि सभी पत्र गलत लिफाफों में हैं,$\frac{D_4}{4!} = \frac{9}{24} = \frac{3}{8}$ है।
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DifficultMCQ
$n$ भिन्न वस्तुओं $1, 2, 3, \dots, n$ को $n$ भिन्न स्थानों $1, 2, 3, \dots, n$ पर व्यवस्थित किया गया है। कम से कम तीन वस्तुओं के अपने सही स्थान पर होने की प्रायिकता क्या है?
A
$\frac{1}{6}$
B
$\frac{5}{6}$
C
$\frac{1}{3}$
D
इनमें से कोई नहीं।
Solution
(D) माना $E_i$ वह घटना है कि $i^{th}$ वस्तु $i^{th}$ स्थान पर है।
किसी विशिष्ट $3$ वस्तुओं के अपने सही स्थान पर होने की प्रायिकता $\frac{(n-3)!}{n!}$ है।
$n$ स्थानों में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीके $\binom{n}{3}$ हैं।
बड़े $n$ के लिए,यह प्रायिकता पॉइसन वितरण (Poisson distribution) के अनुसार $1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ होती है,जहाँ $\lambda = 1$ है।
यह मान $\frac{1}{6}$ के बराबर नहीं है।
अतः,सही उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।
किसी विशिष्ट $3$ वस्तुओं के अपने सही स्थान पर होने की प्रायिकता $\frac{(n-3)!}{n!}$ है।
$n$ स्थानों में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीके $\binom{n}{3}$ हैं।
बड़े $n$ के लिए,यह प्रायिकता पॉइसन वितरण (Poisson distribution) के अनुसार $1 - [P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)]$ होती है,जहाँ $\lambda = 1$ है।
यह मान $\frac{1}{6}$ के बराबर नहीं है।
अतः,सही उत्तर 'इनमें से कोई नहीं' है।
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MediumMCQ
यदि $4$ पत्रों को $4$ लिफाफों में यादृच्छिक रूप से रखा जाता है,तो क्या प्रायिकता है कि कोई भी पत्र अपने सही लिफाफे में न जाए?
A
$1/24$
B
$1$
C
$23/24$
D
$9/24$
Solution
(C) $4$ पत्रों को $4$ लिफाफों में रखने के कुल तरीके $4! = 24$ हैं।
सभी पत्रों के सही लिफाफे में जाने का केवल $1$ तरीका है।
अतः,सभी पत्रों के सही लिफाफे में जाने की प्रायिकता $\frac{1}{24}$ है।
सभी पत्रों के सही लिफाफे में न जाने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{24} = \frac{23}{24}$ है।
सभी पत्रों के सही लिफाफे में जाने का केवल $1$ तरीका है।
अतः,सभी पत्रों के सही लिफाफे में जाने की प्रायिकता $\frac{1}{24}$ है।
सभी पत्रों के सही लिफाफे में न जाने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{24} = \frac{23}{24}$ है।
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EasyMCQ
तीन पत्रों को तीन अलग-अलग व्यक्तियों के पते लिखे तीन लिफाफों में यादृच्छिक रूप से रखा जाता है। सभी पत्रों के सही लिफाफों में होने की प्रायिकता .......... है।
A
$\frac{1}{27}$
B
$\frac{1}{9}$
C
$\frac{4}{27}$
D
$\frac{1}{6}$
Solution
(D) $3$ पत्रों को $3$ लिफाफों में रखने के कुल तरीके $n = 3! = 6$ हैं।
इनमें से,सभी पत्रों को सही लिफाफों में रखने का केवल $r = 1$ तरीका है।
वर्णित घटना की प्रायिकता $\frac{r}{n} = \frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$ है।
इनमें से,सभी पत्रों को सही लिफाफों में रखने का केवल $r = 1$ तरीका है।
वर्णित घटना की प्रायिकता $\frac{r}{n} = \frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$ है।
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DifficultMCQ
समुच्चय $S = \{1, 2, 3, \dots, 12\}$ को तीन समान आकार के समुच्चयों $A, B, C$ में इस प्रकार विभाजित किया जाना है कि $A \cup B \cup C = S$ और $A \cap B = B \cap C = C \cap A = \emptyset$ हो। $S$ को विभाजित करने के तरीकों की संख्या है:
A
$\frac{12!}{(4!)^3}$
B
$\frac{12!}{(4!)^4}$
C
$\frac{12!}{3!(4!)^3}$
D
$\frac{12!}{3!(4!)^4}$
Solution
(C) समुच्चय $S$ में $12$ अवयव हैं।
हमें $S$ को तीन समान आकार के असंयुक्त समुच्चयों $A, B, C$ में विभाजित करना है।
चूंकि $|S| = 12$,प्रत्येक समुच्चय में $12 / 3 = 4$ अवयव होने चाहिए।
$12$ भिन्न वस्तुओं को $4$ के आकार वाले $3$ अनचिह्नित समूहों में बांटने के तरीकों की संख्या $\frac{1}{3!} \binom{12}{4, 4, 4}$ द्वारा दी जाती है।
इसकी गणना इस प्रकार है:
$\frac{1}{3!} \times \binom{12}{4} \times \binom{8}{4} \times \binom{4}{4} = \frac{1}{3!} \times \frac{12!}{4!8!} \times \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{4!0!} = \frac{12!}{3!(4!)^3}$.
हमें $S$ को तीन समान आकार के असंयुक्त समुच्चयों $A, B, C$ में विभाजित करना है।
चूंकि $|S| = 12$,प्रत्येक समुच्चय में $12 / 3 = 4$ अवयव होने चाहिए।
$12$ भिन्न वस्तुओं को $4$ के आकार वाले $3$ अनचिह्नित समूहों में बांटने के तरीकों की संख्या $\frac{1}{3!} \binom{12}{4, 4, 4}$ द्वारा दी जाती है।
इसकी गणना इस प्रकार है:
$\frac{1}{3!} \times \binom{12}{4} \times \binom{8}{4} \times \binom{4}{4} = \frac{1}{3!} \times \frac{12!}{4!8!} \times \frac{8!}{4!4!} \times \frac{4!}{4!0!} = \frac{12!}{3!(4!)^3}$.
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AdvancedMCQ
मान लीजिए $A = \{x_1, x_2, x_3, x_4\}$ और $B = \{y_1, y_2, y_3, y_4\}$ है। एक फलन $f: A \to B$ परिभाषित है। $i = 1, 2, 3, 4$ के लिए $f(x_i) \neq y_i$ वाले एकैकी (one-one) फलनों की संख्या ज्ञात कीजिए:
A
$2$
B
$9$
C
$44$
D
$256$
Solution
(B) यह समस्या $4$ भिन्न अवयवों के विन्यास (derangement) ज्ञात करने के समान है,जिसे $D_4$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$n$ अवयवों के विन्यास का सूत्र $D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)$ है।
$n = 4$ के लिए:
$D_4 = 4! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 12 - 4 + 1 = 9$.
अतः,ऐसे एकैकी फलनों की संख्या $9$ है।
$n$ अवयवों के विन्यास का सूत्र $D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)$ है।
$n = 4$ के लिए:
$D_4 = 4! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 24 \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} \right)$
$D_4 = 12 - 4 + 1 = 9$.
अतः,ऐसे एकैकी फलनों की संख्या $9$ है।
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AdvancedMCQ
$12345$ के सभी अंकों की ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या ज्ञात कीजिए जिनमें कम से कम $3$ अंक अपने मूल स्थानों पर न हों।
A
$89$
B
$109$
C
$78$
D
$57$
Solution
(B) माना $S = \{1, 2, 3, 4, 5\}$। हमें ऐसी क्रमचय (permutations) ज्ञात करनी हैं जिनमें कम से कम $3$ अंक अपने मूल स्थान पर न हों।
इसका अर्थ है कि अधिकतम $2$ अंक अपने मूल स्थान पर हैं।
कुल क्रमचय = $5! = 120$.
$k$ अंकों के अपने मूल स्थान पर होने की संख्या $f(k) = \binom{5}{k} D_{5-k}$ है,जहाँ $D_n$ $n$ वस्तुओं का विन्यास (derangement) है।
$D_0 = 1, D_1 = 0, D_2 = 1, D_3 = 2, D_4 = 9, D_5 = 44$.
कम से कम $3$ अंक अपने मूल स्थान पर न होने की संख्या = कुल क्रमचय - ($4$ या $5$ अंक मूल स्थान पर होने की संख्या)।
$5$ अंक मूल स्थान पर: $\binom{5}{5} D_0 = 1 \times 1 = 1$.
$4$ अंक मूल स्थान पर: $\binom{5}{4} D_1 = 5 \times 0 = 0$.
$3$ अंक मूल स्थान पर: $\binom{5}{3} D_2 = 10 \times 1 = 10$.
अधिकतम $2$ अंक मूल स्थान पर होने की संख्या = $120 - (1 + 0 + 10) = 109$.
इसका अर्थ है कि अधिकतम $2$ अंक अपने मूल स्थान पर हैं।
कुल क्रमचय = $5! = 120$.
$k$ अंकों के अपने मूल स्थान पर होने की संख्या $f(k) = \binom{5}{k} D_{5-k}$ है,जहाँ $D_n$ $n$ वस्तुओं का विन्यास (derangement) है।
$D_0 = 1, D_1 = 0, D_2 = 1, D_3 = 2, D_4 = 9, D_5 = 44$.
कम से कम $3$ अंक अपने मूल स्थान पर न होने की संख्या = कुल क्रमचय - ($4$ या $5$ अंक मूल स्थान पर होने की संख्या)।
$5$ अंक मूल स्थान पर: $\binom{5}{5} D_0 = 1 \times 1 = 1$.
$4$ अंक मूल स्थान पर: $\binom{5}{4} D_1 = 5 \times 0 = 0$.
$3$ अंक मूल स्थान पर: $\binom{5}{3} D_2 = 10 \times 1 = 10$.
अधिकतम $2$ अंक मूल स्थान पर होने की संख्या = $120 - (1 + 0 + 10) = 109$.
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AdvancedMCQ
$5$ क्रम का एक वर्ग आव्यूह इस प्रकार है कि सभी $i + j = 6$ के लिए $a_{ij} = 0$ है,जहाँ सभी $i, j$ के लिए $a_{ij} \in \{0, 1\}$ है। प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ में केवल एक ही शून्येतर अवयव है। तो ऐसे आव्यूहों की संख्या है:
A
$44$
B
$720$
C
$24$
D
$120$
Solution
(A) $n=5$ क्रम का एक वर्ग आव्यूह जिसमें प्रत्येक पंक्ति और प्रत्येक स्तंभ में केवल एक शून्येतर अवयव $(1)$ हो,उसे क्रमचय आव्यूह कहा जाता है।
कुल ऐसे $n!$ आव्यूह होते हैं।
$n=5$ के लिए,ऐसे कुल आव्यूहों की संख्या $5! = 120$ है।
हालाँकि,हमें शर्त दी गई है कि जब भी $i + j = n + 1 = 6$ हो,तब $a_{ij} = 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि शून्येतर अवयव आव्यूह के प्रति-विकर्ण (anti-diagonal) पर नहीं हो सकता।
मान लीजिए $S_n$ क्रम $n$ के सभी क्रमचय आव्यूहों का समुच्चय है। हमें उन आव्यूहों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें प्रति-विकर्ण पर कोई $1$ न हो।
यह $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ के उन क्रमचयों $\sigma$ को खोजने के बराबर है जिनके लिए सभी $i \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ के लिए $\sigma(i) \neq 6 - i$ हो।
$n=5$ के लिए,ऐसे क्रमचयों की संख्या $44$ है।
कुल ऐसे $n!$ आव्यूह होते हैं।
$n=5$ के लिए,ऐसे कुल आव्यूहों की संख्या $5! = 120$ है।
हालाँकि,हमें शर्त दी गई है कि जब भी $i + j = n + 1 = 6$ हो,तब $a_{ij} = 0$ होना चाहिए।
इसका अर्थ है कि शून्येतर अवयव आव्यूह के प्रति-विकर्ण (anti-diagonal) पर नहीं हो सकता।
मान लीजिए $S_n$ क्रम $n$ के सभी क्रमचय आव्यूहों का समुच्चय है। हमें उन आव्यूहों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें प्रति-विकर्ण पर कोई $1$ न हो।
यह $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ के उन क्रमचयों $\sigma$ को खोजने के बराबर है जिनके लिए सभी $i \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$ के लिए $\sigma(i) \neq 6 - i$ हो।
$n=5$ के लिए,ऐसे क्रमचयों की संख्या $44$ है।
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MediumMCQ
तीन व्यक्तियों को तीन पत्र लिखाए जाते हैं और उनमें से प्रत्येक के लिए एक लिफाफा तैयार किया जाता है। पत्रों को यादृच्छिक रूप से लिफाफों में इस प्रकार डाला जाता है कि प्रत्येक लिफाफे में ठीक एक पत्र हो। इस बात की प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि कम से कम एक पत्र अपने सही लिफाफे में हो।
A
$1/3$
B
$1/2$
C
$2/3$
D
$5/6$
Solution
(C) मान लीजिए पत्र $L_1, L_2, L_3$ हैं और उनके संबंधित लिफाफे $E_1, E_2, E_3$ हैं। $3$ पत्रों को $3$ लिफाफों में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $3! = 6$ हैं।
ये व्यवस्थाएं इस प्रकार हैं:
$(L_1E_1, L_2E_2, L_3E_3)$ - तीनों सही
$(L_1E_1, L_2E_3, L_3E_2)$ - $L_1$ सही
$(L_2E_2, L_1E_1, L_3E_3)$ - $L_3$ सही
$(L_3E_3, L_2E_2, L_1E_1)$ - $L_2$ सही
$(L_1E_2, L_2E_3, L_3E_1)$ - कोई भी सही नहीं
$(L_1E_3, L_2E_1, L_3E_2)$ - कोई भी सही नहीं
ऐसी $4$ व्यवस्थाएं हैं जिनमें कम से कम एक पत्र अपने सही लिफाफे में है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
ये व्यवस्थाएं इस प्रकार हैं:
$(L_1E_1, L_2E_2, L_3E_3)$ - तीनों सही
$(L_1E_1, L_2E_3, L_3E_2)$ - $L_1$ सही
$(L_2E_2, L_1E_1, L_3E_3)$ - $L_3$ सही
$(L_3E_3, L_2E_2, L_1E_1)$ - $L_2$ सही
$(L_1E_2, L_2E_3, L_3E_1)$ - कोई भी सही नहीं
$(L_1E_3, L_2E_1, L_3E_2)$ - कोई भी सही नहीं
ऐसी $4$ व्यवस्थाएं हैं जिनमें कम से कम एक पत्र अपने सही लिफाफे में है।
अतः,अभीष्ट प्रायिकता $\frac{4}{6} = \frac{2}{3}$ है।
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MediumMCQ
आठ व्यक्तियों को शहर $A$ से शहर $B$ तक तीन अलग-अलग मेक (make) की कारों में ले जाना है। यदि प्रत्येक कार में अधिकतम तीन व्यक्ति बैठ सकते हैं,तो उन्हें ले जाने के तरीकों की संख्या $...........$ है।
A
$3360$
B
$1680$
C
$560$
D
$1120$
Solution
(B) $8$ व्यक्तियों को $3$ कारों में ले जाने के लिए,जिनमें से प्रत्येक की अधिकतम क्षमता $3$ व्यक्तियों की है,व्यक्तियों का वितरण $(3, 3, 2)$ होना चाहिए।
सबसे पहले,हम $8$ व्यक्तियों को $3, 3,$ और $2$ के समूहों में विभाजित करते हैं:
$\text{समूह बनाने के तरीके} = \frac{8!}{3!3!2!} \times \frac{1}{2!}$
चूंकि कारें अलग-अलग मेक (make) की हैं,इसलिए समूहों का क्रम मायने रखता है,इसलिए हम $3!$ से गुणा करते हैं:
$\text{कुल तरीके} = \left( \frac{8!}{3!3!2! \times 2!} \right) \times 3!$
$= \frac{40320}{6 \times 6 \times 2 \times 2} \times 6$
$= \frac{40320}{144} \times 6 = 280 \times 6 = 1680$.
सबसे पहले,हम $8$ व्यक्तियों को $3, 3,$ और $2$ के समूहों में विभाजित करते हैं:
$\text{समूह बनाने के तरीके} = \frac{8!}{3!3!2!} \times \frac{1}{2!}$
चूंकि कारें अलग-अलग मेक (make) की हैं,इसलिए समूहों का क्रम मायने रखता है,इसलिए हम $3!$ से गुणा करते हैं:
$\text{कुल तरीके} = \left( \frac{8!}{3!3!2! \times 2!} \right) \times 3!$
$= \frac{40320}{6 \times 6 \times 2 \times 2} \times 6$
$= \frac{40320}{144} \times 6 = 280 \times 6 = 1680$.
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DifficultMCQ
एक परीक्षा में,$5$ छात्रों को उनके रोल नंबर के अनुसार सीटें आवंटित की गई हैं। उन तरीकों की संख्या,जिनमें से कोई भी छात्र अपनी आवंटित सीट पर नहीं बैठता है,$..........$ है।
A
$43$
B
$44$
C
$42$
D
$41$
Solution
(B) उन तरीकों की संख्या जिनमें $n$ छात्रों में से कोई भी अपनी आवंटित सीट पर नहीं बैठता है,उसे डिरेंजमेंट सूत्र $D_n = n! \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \dots + \frac{(-1)^n}{n!}\right)$ द्वारा दिया जाता है।
$n = 5$ के लिए:
$D_5 = 5! \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!}\right)$
$D_5 = 120 \left(1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120}\right)$
$D_5 = 120 \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120}\right)$
$D_5 = 60 - 20 + 5 - 1$
$D_5 = 44$.
$n = 5$ के लिए:
$D_5 = 5! \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \frac{1}{5!}\right)$
$D_5 = 120 \left(1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120}\right)$
$D_5 = 120 \left(\frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120}\right)$
$D_5 = 60 - 20 + 5 - 1$
$D_5 = 44$.
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DifficultMCQ
मान लीजिए $\alpha = \frac{(4!)!}{(4!)^{3!}}$ और $\beta = \frac{(5!)!}{(5!)^{4!}}$. तो:
A
$\alpha \in N$ और $\beta \notin N$
B
$\alpha \notin N$ और $\beta \in N$
C
$\alpha \in N$ और $\beta \in N$
D
$\alpha \notin N$ और $\beta \notin N$
Solution
(C) दिया गया है $\alpha = \frac{(4!)!}{(4!)^{3!}} = \frac{24!}{(24)^6}$ और $\beta = \frac{(5!)!}{(5!)^{4!}} = \frac{120!}{(120)^{24}}$.
$n$ भिन्न वस्तुओं को $m$ आकार के $k$ समूहों में विभाजित करने के तरीकों की संख्या (जहाँ $n = km$) $\frac{n!}{(m!)^k \cdot k!}$ द्वारा दी जाती है।
$\alpha$ के लिए,$n=24, m=4, k=6$ है। तरीकों की संख्या $\frac{24!}{(4!)^6 \cdot 6!} = K_1$ है,जहाँ $K_1 \in N$ है।
अतः,$\alpha = K_1 \cdot 6!$ है। चूंकि $K_1$ और $6!$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\alpha \in N$ है।
$\beta$ के लिए,$n=120, m=5, k=24$ है। तरीकों की संख्या $\frac{120!}{(5!)^{24} \cdot 24!} = K_2$ है,जहाँ $K_2 \in N$ है।
अतः,$\beta = K_2 \cdot 24!$ है। चूंकि $K_2$ और $24!$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\beta \in N$ है।
अतः,$\alpha$ और $\beta$ दोनों प्राकृतिक संख्याएँ हैं।
$n$ भिन्न वस्तुओं को $m$ आकार के $k$ समूहों में विभाजित करने के तरीकों की संख्या (जहाँ $n = km$) $\frac{n!}{(m!)^k \cdot k!}$ द्वारा दी जाती है।
$\alpha$ के लिए,$n=24, m=4, k=6$ है। तरीकों की संख्या $\frac{24!}{(4!)^6 \cdot 6!} = K_1$ है,जहाँ $K_1 \in N$ है।
अतः,$\alpha = K_1 \cdot 6!$ है। चूंकि $K_1$ और $6!$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\alpha \in N$ है।
$\beta$ के लिए,$n=120, m=5, k=24$ है। तरीकों की संख्या $\frac{120!}{(5!)^{24} \cdot 24!} = K_2$ है,जहाँ $K_2 \in N$ है।
अतः,$\beta = K_2 \cdot 24!$ है। चूंकि $K_2$ और $24!$ पूर्णांक हैं,इसलिए $\beta \in N$ है।
अतः,$\alpha$ और $\beta$ दोनों प्राकृतिक संख्याएँ हैं।
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DifficultMCQ
मान लीजिए कि समुच्चय $S = \{2, 4, 8, 16, \ldots, 512\}$ को $3$ समुच्चयों $A, B, C$ में समान संख्या में अवयवों के साथ विभाजित किया जाता है,ताकि $A \cup B \cup C = S$ और $A \cap B = B \cap C = A \cap C = \phi$ हो। $S$ के ऐसे संभावित विभाजनों की संख्या किसके बराबर है?
A
$1680$
B
$1520$
C
$1710$
D
$1640$
Solution
(A) समुच्चय $S = \{2^1, 2^2, 2^3, \ldots, 2^9\}$ में $9$ अवयव हैं।
हमें इन $9$ अवयवों को $3$ समुच्चयों $A, B, C$ में विभाजित करना है,जिनमें से प्रत्येक में $3$ अवयव हों।
$9$ अलग-अलग वस्तुओं को $3$ के $3$ समूहों में विभाजित करने के तरीकों की संख्या मल्टीनोमियल गुणांक द्वारा दी जाती है:
$\frac{9!}{3! 3! 3! 3!}$
चूंकि समुच्चय $A, B, C$ अलग-अलग (नामित) हैं,इसलिए हम समूहों को $A, B, C$ में असाइन करने के लिए $3!$ से गुणा करते हैं:
$\text{तरीकों की संख्या} = \frac{9!}{3! 3! 3! 3!} \times 3! = \frac{9!}{3! 3! 3!} = \frac{362880}{216} = 1680$.
हमें इन $9$ अवयवों को $3$ समुच्चयों $A, B, C$ में विभाजित करना है,जिनमें से प्रत्येक में $3$ अवयव हों।
$9$ अलग-अलग वस्तुओं को $3$ के $3$ समूहों में विभाजित करने के तरीकों की संख्या मल्टीनोमियल गुणांक द्वारा दी जाती है:
$\frac{9!}{3! 3! 3! 3!}$
चूंकि समुच्चय $A, B, C$ अलग-अलग (नामित) हैं,इसलिए हम समूहों को $A, B, C$ में असाइन करने के लिए $3!$ से गुणा करते हैं:
$\text{तरीकों की संख्या} = \frac{9!}{3! 3! 3! 3!} \times 3! = \frac{9!}{3! 3! 3!} = \frac{362880}{216} = 1680$.
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Difficult
एक संगीत कक्षा में पाँच छात्र $S_1, S_2, S_3, S_4$ और $S_5$ हैं और उनके लिए एक पंक्ति में पाँच सीटें $R_1, R_2, R_3, R_4$ और $R_5$ व्यवस्थित हैं,जहाँ शुरू में सीट $R_i$ छात्र $S_i$ को आवंटित की गई है,$i = 1, 2, 3, 4, 5$। लेकिन,परीक्षा के दिन,पाँच छात्रों को यादृच्छिक रूप से पाँच सीटें आवंटित की जाती हैं।
$(1)$ परीक्षा के दिन,इस बात की प्रायिकता कि छात्र $S_1$ को पहले से आवंटित सीट $R_1$ मिले,और शेष छात्रों में से किसी को भी उसे पहले से आवंटित सीट न मिले,है
$(A)$ $\frac{3}{40}$ $(B)$ $\frac{1}{8}$ $(C)$ $\frac{7}{40}$ $(D)$ $\frac{1}{5}$
$(2)$ $i = 1, 2, 3, 4$ के लिए,मान लीजिए $T_i$ वह घटना है कि छात्र $S_i$ और $S_{i+1}$ परीक्षा के दिन एक-दूसरे के बगल में नहीं बैठते हैं। तो,घटना $T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap T_4$ की प्रायिकता है
$(A)$ $\frac{1}{15}$ $(B)$ $\frac{1}{10}$ $(C)$ $\frac{7}{60}$ $(D)$ $\frac{1}{5}$
$(1)$ परीक्षा के दिन,इस बात की प्रायिकता कि छात्र $S_1$ को पहले से आवंटित सीट $R_1$ मिले,और शेष छात्रों में से किसी को भी उसे पहले से आवंटित सीट न मिले,है
$(A)$ $\frac{3}{40}$ $(B)$ $\frac{1}{8}$ $(C)$ $\frac{7}{40}$ $(D)$ $\frac{1}{5}$
$(2)$ $i = 1, 2, 3, 4$ के लिए,मान लीजिए $T_i$ वह घटना है कि छात्र $S_i$ और $S_{i+1}$ परीक्षा के दिन एक-दूसरे के बगल में नहीं बैठते हैं। तो,घटना $T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap T_4$ की प्रायिकता है
$(A)$ $\frac{1}{15}$ $(B)$ $\frac{1}{10}$ $(C)$ $\frac{7}{60}$ $(D)$ $\frac{1}{5}$
Solution
(A, C) $(1)$ $5$ छात्रों को $5$ सीटों में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $n(S) = 5! = 120$ हैं।
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि $S_1$ को सीट $R_1$ मिलती है और शेष $4$ छात्रों में से किसी को भी उनकी मूल सीट नहीं मिलती है।
यह $4$ वस्तुओं का अव्यवस्था (derangement) है,जिसे $D_4$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$n(A) = D_4 = 4! \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}\right) = 9$.
$P(A) = \frac{9}{120} = \frac{3}{40}$.
$(2)$ मान लीजिए $E_i$ वह घटना है कि $S_i$ और $S_{i+1}$ बगल में बैठते हैं। हमें $P(T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap T_4) = 1 - P(E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup E_4)$ ज्ञात करना है।
गणना के अनुसार,ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या जहाँ कोई भी दो क्रमिक छात्र एक साथ न हों,$14$ है।
अतः,$P(T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap T_4) = \frac{14}{120} = \frac{7}{60}$.
मान लीजिए $A$ वह घटना है कि $S_1$ को सीट $R_1$ मिलती है और शेष $4$ छात्रों में से किसी को भी उनकी मूल सीट नहीं मिलती है।
यह $4$ वस्तुओं का अव्यवस्था (derangement) है,जिसे $D_4$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$n(A) = D_4 = 4! \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}\right) = 9$.
$P(A) = \frac{9}{120} = \frac{3}{40}$.
$(2)$ मान लीजिए $E_i$ वह घटना है कि $S_i$ और $S_{i+1}$ बगल में बैठते हैं। हमें $P(T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap T_4) = 1 - P(E_1 \cup E_2 \cup E_3 \cup E_4)$ ज्ञात करना है।
गणना के अनुसार,ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या जहाँ कोई भी दो क्रमिक छात्र एक साथ न हों,$14$ है।
अतः,$P(T_1 \cap T_2 \cap T_3 \cap T_4) = \frac{14}{120} = \frac{7}{60}$.
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DifficultMCQ
छह कार्ड और छह लिफाफों को $1, 2, 3, 4, 5, 6$ क्रमांकित किया गया है। कार्डों को लिफाफों में इस प्रकार रखा जाना है कि प्रत्येक लिफाफे में ठीक एक कार्ड हो,कोई भी कार्ड समान संख्या वाले लिफाफे में न हो और कार्ड संख्या $1$ हमेशा लिफाफा संख्या $2$ में रखा जाए। इसे करने के तरीकों की संख्या है:
A
$264$
B
$265$
C
$53$
D
$67$
Solution
(C) मान लीजिए कार्ड $C_1, C_2, C_3, C_4, C_5, C_6$ हैं और लिफाफे $E_1, E_2, E_3, E_4, E_5, E_6$ हैं।
दिया गया है कि $C_1, E_2$ में है।
हमें $C_2, C_3, C_4, C_5, C_6$ को $E_1, E_3, E_4, E_5, E_6$ में इस प्रकार रखना है कि $i \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$ के लिए $C_i, E_i$ में न हो।
स्थिति $1$: $C_2, E_1$ में है।
तब हमें $C_3, C_4, C_5, C_6$ को $E_3, E_4, E_5, E_6$ में इस प्रकार रखना है कि कोई भी कार्ड $C_i, E_i$ में न हो। यह $4$ वस्तुओं का विन्यास (derangement) है,$D_4 = 4!(\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}) = 9$।
स्थिति $2$: $C_2, E_1$ में नहीं है।
हमें $5$ कार्ड $C_2, C_3, C_4, C_5, C_6$ को $E_1, E_3, E_4, E_5, E_6$ में इस प्रकार रखना है कि $C_2 \neq E_1, C_3 \neq E_3, C_4 \neq E_4, C_5 \neq E_5, C_6 \neq E_6$ हो। यह $5$ वस्तुओं का विन्यास है,$D_5 = 44$।
कुल तरीके = $9 + 44 = 53$।
दिया गया है कि $C_1, E_2$ में है।
हमें $C_2, C_3, C_4, C_5, C_6$ को $E_1, E_3, E_4, E_5, E_6$ में इस प्रकार रखना है कि $i \in \{2, 3, 4, 5, 6\}$ के लिए $C_i, E_i$ में न हो।
स्थिति $1$: $C_2, E_1$ में है।
तब हमें $C_3, C_4, C_5, C_6$ को $E_3, E_4, E_5, E_6$ में इस प्रकार रखना है कि कोई भी कार्ड $C_i, E_i$ में न हो। यह $4$ वस्तुओं का विन्यास (derangement) है,$D_4 = 4!(\frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}) = 9$।
स्थिति $2$: $C_2, E_1$ में नहीं है।
हमें $5$ कार्ड $C_2, C_3, C_4, C_5, C_6$ को $E_1, E_3, E_4, E_5, E_6$ में इस प्रकार रखना है कि $C_2 \neq E_1, C_3 \neq E_3, C_4 \neq E_4, C_5 \neq E_5, C_6 \neq E_6$ हो। यह $5$ वस्तुओं का विन्यास है,$D_5 = 44$।
कुल तरीके = $9 + 44 = 53$।
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EasyMCQ
पाँच पत्रों को यादृच्छिक रूप से पाँच संबोधित लिफाफों में रखा जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि सभी पत्र अपने संबंधित सही लिफाफों में नहीं भेजे गए हैं?
A
$\frac{1}{120}$
B
$\frac{1}{5}$
C
$\frac{119}{120}$
D
$\frac{4}{5}$
Solution
(C) $5$ पत्रों को $5$ लिफाफों में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $5! = 120$ हैं।
केवल $1$ तरीका ऐसा है जिसमें सभी पत्र अपने संबंधित सही लिफाफों में जाते हैं।
अतः,सभी पत्रों के सही लिफाफों में जाने की प्रायिकता $P(E) = \frac{1}{5!} = \frac{1}{120}$ है।
सभी पत्रों के सही लिफाफों में न जाने की प्रायिकता $P(E') = 1 - P(E)$ है।
$P(E') = 1 - \frac{1}{120} = \frac{119}{120}$.
केवल $1$ तरीका ऐसा है जिसमें सभी पत्र अपने संबंधित सही लिफाफों में जाते हैं।
अतः,सभी पत्रों के सही लिफाफों में जाने की प्रायिकता $P(E) = \frac{1}{5!} = \frac{1}{120}$ है।
सभी पत्रों के सही लिफाफों में न जाने की प्रायिकता $P(E') = 1 - P(E)$ है।
$P(E') = 1 - \frac{1}{120} = \frac{119}{120}$.
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MediumMCQ
$52$ ताश के पत्तों को $4$ खिलाड़ियों के बीच इस प्रकार बांटने के कुल तरीकों की संख्या क्या है कि $3$ खिलाड़ियों के पास $17$ पत्ते हों और चौथे खिलाड़ी के पास केवल $1$ पत्ता हो?
A
$\frac{52!}{(17!)^3 \cdot 3!}$
B
$\frac{52!}{(17!)^3}$
C
$\frac{52!}{17!}$
D
$\frac{52!}{17}$
Solution
(B) $52$ पत्तों को $17, 17, 17$ और $1$ के समूहों में विभाजित करने के लिए,हम मल्टीनोमियल गुणांक का उपयोग करते हैं।
चूंकि $4$ खिलाड़ी अलग-अलग हैं,इसलिए कुल तरीके $\frac{52!}{17! 17! 17! 1!}$ होंगे।
अतः,सही उत्तर $\frac{52!}{(17!)^3}$ है।
चूंकि $4$ खिलाड़ी अलग-अलग हैं,इसलिए कुल तरीके $\frac{52!}{17! 17! 17! 1!}$ होंगे।
अतः,सही उत्तर $\frac{52!}{(17!)^3}$ है।
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EasyMCQ
तीन पत्र,जिनमें से प्रत्येक के लिए एक लिफाफा है,को यादृच्छिक रूप से लिफाफों में रखा जाता है। इस बात की प्रायिकता क्या है कि सभी पत्र सही लिफाफों में नहीं रखे गए हैं?
A
$\frac{1}{6}$
B
$\frac{5}{6}$
C
$\frac{1}{3}$
D
$\frac{2}{3}$
Solution
(B) $3$ पत्रों को $3$ लिफाफों में रखने के कुल तरीके $3! = 6$ हैं।
सभी पत्रों को उनके सही लिफाफों में रखने का केवल $1$ तरीका है।
सभी पत्रों के सही लिफाफों में रखे जाने की प्रायिकता $\frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$ है।
अतः,सभी पत्रों के सही लिफाफों में न रखे जाने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
सभी पत्रों को उनके सही लिफाफों में रखने का केवल $1$ तरीका है।
सभी पत्रों के सही लिफाफों में रखे जाने की प्रायिकता $\frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$ है।
अतः,सभी पत्रों के सही लिफाफों में न रखे जाने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$ है।
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MediumMCQ
$3$ दर्जन फलों (कोई भी दो फल समान नहीं हैं) को $9$ व्यक्तियों में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या क्या है कि प्रत्येक को समान संख्या में फल मिलें?
A
$\frac{36!}{(9!)^4}$
B
$\frac{36!}{(4!)^9}$
C
${ }^{36} P_9 \times 4!$
D
$\frac{36!}{4!(9!)^4}$
Solution
(B) फलों की कुल संख्या = $3 \times 12 = 36$।
व्यक्तियों की संख्या = $9$।
प्रत्येक व्यक्ति को समान संख्या में फल मिलते हैं,इसलिए प्रत्येक को $\frac{36}{9} = 4$ फल मिलते हैं।
$36$ अलग-अलग फलों को $9$ समूहों में,प्रत्येक समूह में $4$ फल के रूप में वितरित करने के तरीकों की संख्या मल्टीनोमियल गुणांक द्वारा दी जाती है:
$\frac{36!}{4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4!} = \frac{36!}{(4!)^9}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।
व्यक्तियों की संख्या = $9$।
प्रत्येक व्यक्ति को समान संख्या में फल मिलते हैं,इसलिए प्रत्येक को $\frac{36}{9} = 4$ फल मिलते हैं।
$36$ अलग-अलग फलों को $9$ समूहों में,प्रत्येक समूह में $4$ फल के रूप में वितरित करने के तरीकों की संख्या मल्टीनोमियल गुणांक द्वारा दी जाती है:
$\frac{36!}{4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4! \times 4!} = \frac{36!}{(4!)^9}$।
अतः,सही विकल्प $B$ है।
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MediumMCQ
$15$ व्यक्तियों को $3, 5$ और $7$ व्यक्तियों के $3$ समूहों में विभाजित करने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए ताकि दो विशेष व्यक्ति $5$ व्यक्तियों के समूह में शामिल न हों।
A
$\frac{11!}{(3!)(5!)(7!)}$
B
$13 \times \frac{11!}{3!7!}$
C
$90 \times \frac{13!}{7!}$
D
$13 \times \frac{11!}{3!5!}$
Solution
(D) कुल व्यक्ति = $15$। समूहों का आकार $3, 5, 7$ है।
माना दो विशेष व्यक्ति $P_1$ और $P_2$ हैं।
हमें समूह इस प्रकार बनाने हैं कि $P_1$ और $P_2$ $5$ के समूह में न हों।
कुल तरीकों में से उन तरीकों को घटाने पर जिनमें $P_1$ और $P_2$ $5$ के समूह में हैं:
कुल तरीके = $\frac{15!}{3!5!7!}$।
$P_1$ और $P_2$ के $5$ के समूह में होने के तरीके = $\binom{13}{3} \times \binom{10}{7} = \frac{13!}{3!10!} \times \frac{10!}{7!3!} = \frac{13!}{3!3!7!}$।
घटाने पर: $\frac{15!}{3!5!7!} - \frac{13!}{3!3!7!} = 13 \times \frac{11!}{3!5!}$।
माना दो विशेष व्यक्ति $P_1$ और $P_2$ हैं।
हमें समूह इस प्रकार बनाने हैं कि $P_1$ और $P_2$ $5$ के समूह में न हों।
कुल तरीकों में से उन तरीकों को घटाने पर जिनमें $P_1$ और $P_2$ $5$ के समूह में हैं:
कुल तरीके = $\frac{15!}{3!5!7!}$।
$P_1$ और $P_2$ के $5$ के समूह में होने के तरीके = $\binom{13}{3} \times \binom{10}{7} = \frac{13!}{3!10!} \times \frac{10!}{7!3!} = \frac{13!}{3!3!7!}$।
घटाने पर: $\frac{15!}{3!5!7!} - \frac{13!}{3!3!7!} = 13 \times \frac{11!}{3!5!}$।
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MediumMCQ
$200$ असमान वस्तुओं को $10$ समूहों में,जिनमें से प्रत्येक में $20$ तत्व हों,विभाजित करने के तरीकों की संख्या है
A
$(200)! / (20!)^{10} \cdot 10!$
B
$(200)! / (10!)^{10} \cdot 20!$
C
$(200)! / (20!)^{10} \cdot 10!$
D
$(200)! / (10!)^{20} \cdot 20!$
Solution
(C) $mn$ भिन्न वस्तुओं को $n$ आकार के $m$ समान समूहों में विभाजित करने के तरीकों की संख्या $\frac{(mn)!}{(n!)^m \cdot m!}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$mn = 200$ और $n = 20$,जिसका अर्थ है कि $m = 10$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें तरीकों की संख्या $\frac{200!}{(20!)^{10} \cdot 10!}$ प्राप्त होती है।
यहाँ,$mn = 200$ और $n = 20$,जिसका अर्थ है कि $m = 10$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर,हमें तरीकों की संख्या $\frac{200!}{(20!)^{10} \cdot 10!}$ प्राप्त होती है।
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MediumMCQ
एक व्यक्ति $6$ मित्रों को पत्र लिखता है और संबंधित लिफाफों पर पते लिखता है। पत्रों को लिफाफों में कितने तरीकों से रखा जा सकता है ताकि उनमें से कम से कम दो पत्र गलत लिफाफों में हों?
नोट : $D_n = n! \left( \sum_{i=0}^n \frac{(-1)^i}{i!} \right)$
नोट : $D_n = n! \left( \sum_{i=0}^n \frac{(-1)^i}{i!} \right)$
A
${ }^6 C _4 \cdot D_2$
B
$\sum_{r=3}^6{ }^6 C_{6-r} \cdot D_r$
C
$\sum_{r=2}^6{ }^6 C_{6-r} \cdot D_r$
D
${ }^6 C_1 D_5 + { }^6 C_0 \cdot D_6$
Solution
(C) $6$ पत्रों को $6$ लिफाफों में रखने के कुल तरीके $6!$ हैं।
कम से कम दो पत्रों के गलत लिफाफों में होने के तरीकों की संख्या $\sum_{r=2}^6 { }^6 C_{6-r} D_r = { }^6 C_4 D_2 + { }^6 C_3 D_3 + { }^6 C_2 D_4 + { }^6 C_1 D_5 + { }^6 C_0 D_6$ द्वारा दी जाती है,
जहाँ $D_r = r! \left( \sum_{i=0}^r \frac{(-1)^i}{i!} \right)$ है।
कम से कम दो पत्रों के गलत लिफाफों में होने के तरीकों की संख्या $\sum_{r=2}^6 { }^6 C_{6-r} D_r = { }^6 C_4 D_2 + { }^6 C_3 D_3 + { }^6 C_2 D_4 + { }^6 C_1 D_5 + { }^6 C_0 D_6$ द्वारा दी जाती है,
जहाँ $D_r = r! \left( \sum_{i=0}^r \frac{(-1)^i}{i!} \right)$ है।
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View Solution41
EasyMCQ
यदि $5$ पत्रों को $5$ संबोधित लिफाफों में रखा जाना है,तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि कम से कम एक पत्र गलत पते वाले लिफाफे में रखा जाए?
A
$\frac{1}{5}$
B
$\frac{1}{120}$
C
$\frac{4}{5}$
D
$\frac{119}{120}$
Solution
(D) $5$ पत्रों को $5$ संबोधित लिफाफों में रखने के कुल तरीके $5! = 120$ हैं।
सभी पत्रों के सही लिफाफे में रखे जाने के तरीकों की संख्या $1$ है।
अतः,सभी पत्रों के सही रखे जाने की प्रायिकता $\frac{1}{120}$ है।
कम से कम एक पत्र के गलत लिफाफे में रखे जाने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{120} = \frac{119}{120}$ है।
सभी पत्रों के सही लिफाफे में रखे जाने के तरीकों की संख्या $1$ है।
अतः,सभी पत्रों के सही रखे जाने की प्रायिकता $\frac{1}{120}$ है।
कम से कम एक पत्र के गलत लिफाफे में रखे जाने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{120} = \frac{119}{120}$ है।
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View Solution42
MediumMCQ
$8$ अलग-अलग रंग की गेंदें और $8$ बैग हैं जिनका रंग गेंदों के समान है। यदि प्रत्येक बैग में एक गेंद यादृच्छिक रूप से रखी जाती है,तो इस बात की प्रायिकता क्या है कि $5$ गेंदें अपने संबंधित रंग के बैग में रखी गई हैं?
A
$\frac{1}{120}$
B
$\frac{1}{160}$
C
$\frac{1}{180}$
D
$\frac{1}{360}$
Solution
(D) $8$ गेंदों को $8$ बैगों में रखने के कुल तरीके $8!$ हैं।
हमें उन तरीकों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें ठीक $5$ गेंदें अपने संबंधित बैग में हों।
सबसे पहले,$8$ में से $5$ गेंदों को चुनते हैं जो सही बैग में हों,जिसे $\binom{8}{5}$ तरीकों से किया जा सकता है।
शेष $3$ गेंदों को शेष $3$ बैगों में इस प्रकार रखा जाना चाहिए कि उनमें से कोई भी अपने संबंधित बैग में न हो। यह $3$ वस्तुओं का अव्यवस्था (derangement) है,जिसे $D_3$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$D_3 = 3! \times (1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}) = 2$.
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $\binom{8}{5} \times D_3 = 56 \times 2 = 112$ है।
प्रायिकता $\frac{112}{8!} = \frac{112}{40320} = \frac{1}{360}$ है।
हमें उन तरीकों की संख्या ज्ञात करनी है जिनमें ठीक $5$ गेंदें अपने संबंधित बैग में हों।
सबसे पहले,$8$ में से $5$ गेंदों को चुनते हैं जो सही बैग में हों,जिसे $\binom{8}{5}$ तरीकों से किया जा सकता है।
शेष $3$ गेंदों को शेष $3$ बैगों में इस प्रकार रखा जाना चाहिए कि उनमें से कोई भी अपने संबंधित बैग में न हो। यह $3$ वस्तुओं का अव्यवस्था (derangement) है,जिसे $D_3$ द्वारा दर्शाया जाता है।
$D_3 = 3! \times (1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!}) = 2$.
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $\binom{8}{5} \times D_3 = 56 \times 2 = 112$ है।
प्रायिकता $\frac{112}{8!} = \frac{112}{40320} = \frac{1}{360}$ है।
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View Solution43
EasyMCQ
यदि $5$ अलग-अलग लोगों को लिखे गए $5$ पत्र और उन्हें संबोधित $5$ लिफाफे हैं,तो इन पत्रों को इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या क्या है कि कोई भी पत्र अपने संबंधित लिफाफे में न जाए?
A
$9$
B
$24$
C
$44$
D
$119$
Solution
(C) दिया गया है कि $5$ पत्र $5$ अलग-अलग लोगों को लिखे गए हैं और $5$ लिफाफे उन्हें संबोधित हैं।
इन पत्रों को इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या कि कोई भी पत्र अपने संबंधित लिफाफे में न जाए,$5$ वस्तुओं के 'derangement' (विस्थापन) की संख्या के बराबर है।
$n$ वस्तुओं के derangement का सूत्र $D_n = n! \left[ 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \ldots + (-1)^n \frac{1}{n!} \right]$ है।
यहाँ,$n = 5$ है।
$D_5 = 5! \left[ 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120} \right] = 44$.
अतः,$5$ पत्रों को $5$ लिफाफों में इस प्रकार रखने के तरीकों की संख्या कि सभी गलत लिफाफों में हों,$44$ है।
इन पत्रों को इस प्रकार व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या कि कोई भी पत्र अपने संबंधित लिफाफे में न जाए,$5$ वस्तुओं के 'derangement' (विस्थापन) की संख्या के बराबर है।
$n$ वस्तुओं के derangement का सूत्र $D_n = n! \left[ 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \ldots + (-1)^n \frac{1}{n!} \right]$ है।
यहाँ,$n = 5$ है।
$D_5 = 5! \left[ 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120} \right] = 44$.
अतः,$5$ पत्रों को $5$ लिफाफों में इस प्रकार रखने के तरीकों की संख्या कि सभी गलत लिफाफों में हों,$44$ है।
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EasyMCQ
$4$ पत्रों को $4$ संबोधित लिफाफों में इस प्रकार रखने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि कोई भी पत्र अपने सही लिफाफे में न जाए:
A
$8$
B
$12$
C
$16$
D
$9$
Solution
(D) यह विकृतियों (derangements) की समस्या है,जिसे $D_n$ द्वारा दर्शाया जाता है,जहाँ $n$ वस्तुओं की संख्या है।
$n=4$ के लिए,विकृतियों की संख्या का सूत्र $D_n = n! \times \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}\right)$ है।
$n=4$ रखने पर:
$D_4 = 24 \times \left(1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24}\right)$
$D_4 = 24 \times \left(\frac{12 - 4 + 1}{24}\right)$
$D_4 = 24 \times \frac{9}{24} = 9$.
वैकल्पिक रूप से,समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
कुल तरीके $= 4! = 24$.
वे तरीके जिनमें कम से कम एक पत्र सही लिफाफे में हो $= \binom{4}{1} \times 3! - \binom{4}{2} \times 2! + \binom{4}{3} \times 1! - \binom{4}{4} \times 0! = 24 - 12 + 4 - 1 = 15$.
आवश्यक तरीके $= 24 - 15 = 9$.
$n=4$ के लिए,विकृतियों की संख्या का सूत्र $D_n = n! \times \left(1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!}\right)$ है।
$n=4$ रखने पर:
$D_4 = 24 \times \left(1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24}\right)$
$D_4 = 24 \times \left(\frac{12 - 4 + 1}{24}\right)$
$D_4 = 24 \times \frac{9}{24} = 9$.
वैकल्पिक रूप से,समावेशन-अपवर्जन सिद्धांत का उपयोग करते हुए:
कुल तरीके $= 4! = 24$.
वे तरीके जिनमें कम से कम एक पत्र सही लिफाफे में हो $= \binom{4}{1} \times 3! - \binom{4}{2} \times 2! + \binom{4}{3} \times 1! - \binom{4}{4} \times 0! = 24 - 12 + 4 - 1 = 15$.
आवश्यक तरीके $= 24 - 15 = 9$.
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EasyMCQ
$5$ विवाहित जोड़ों में,यदि $5$ पुरुषों के नामों का मिलान उनकी पत्नियों के नामों के साथ यादृच्छिक रूप से किया जाता है,तो इसकी प्रायिकता क्या है कि किसी भी पुरुष का मिलान उसकी पत्नी के नाम के साथ नहीं होता है?
A
$\frac{9}{20}$
B
$\frac{1}{5}$
C
$\frac{11}{30}$
D
$\frac{17}{60}$
Solution
(C) $5$ पुरुषों को $5$ पत्नियों के साथ मिलाने के कुल तरीके $5! = 120$ हैं।
जिन तरीकों से कोई भी पुरुष अपनी पत्नी के साथ नहीं मिलता है,वह $5$ वस्तुओं का अव्यवस्था (derangement) है,जिसे $D_5$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अव्यवस्था का सूत्र $D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)$ है।
$n = 5$ के लिए:
$D_5 = 5! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120} \right) = 120 \left( \frac{60 - 20 + 5 - 1}{120} \right) = 44$.
अतः,प्रायिकता कि कोई भी पुरुष अपनी पत्नी के साथ नहीं मिलता है,$\frac{D_5}{5!} = \frac{44}{120} = \frac{11}{30}$ है।
जिन तरीकों से कोई भी पुरुष अपनी पत्नी के साथ नहीं मिलता है,वह $5$ वस्तुओं का अव्यवस्था (derangement) है,जिसे $D_5$ द्वारा दर्शाया जाता है।
अव्यवस्था का सूत्र $D_n = n! \left( 1 - \frac{1}{1!} + \frac{1}{2!} - \frac{1}{3!} + \frac{1}{4!} - \dots + \frac{(-1)^n}{n!} \right)$ है।
$n = 5$ के लिए:
$D_5 = 5! \left( 1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6} + \frac{1}{24} - \frac{1}{120} \right) = 120 \left( \frac{60 - 20 + 5 - 1}{120} \right) = 44$.
अतः,प्रायिकता कि कोई भी पुरुष अपनी पत्नी के साथ नहीं मिलता है,$\frac{D_5}{5!} = \frac{44}{120} = \frac{11}{30}$ है।
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MediumMCQ
$7$ ग्रीटिंग कार्ड हैं,प्रत्येक अलग रंग का है और कार्ड्स के समान ही $7$ रंगों के $7$ लिफाफे हैं। कार्ड्स को लिफाफों में इस प्रकार रखने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए कि ठीक $4$ कार्ड अपने संबंधित रंग के लिफाफों में जाएं:
A
${ }^{7} C_{3}$
B
$2 \times { }^{7} C_{3}$
C
$3! \times { }^{4} C_{4}$
D
$3! \times { }^{7} C_{3} \times { }^{4} C_{3}$
Solution
(B) ठीक $4$ कार्ड अपने संबंधित लिफाफों में जाएं,इसके तरीकों की संख्या:
$1$. $7$ में से $4$ कार्ड चुनें जिन्हें उनके सही लिफाफों में रखा जाना है,जो ${ }^{7} C_{4}$ तरीकों से किया जा सकता है।
$2$. शेष $3$ कार्डों को शेष $3$ लिफाफों में इस प्रकार रखा जाना चाहिए कि कोई भी कार्ड अपने सही लिफाफे में न जाए (यह $3$ वस्तुओं का अव्यवस्था या 'derangement' है,जिसे $D(3)$ कहा जाता है)।
$3$. $D(3) = 3! \left(1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right) = 2$.
$4$. कुल तरीके = ${ }^{7} C_{4} \times D(3) = { }^{7} C_{3} \times 2 = 2 \times { }^{7} C_{3}$.
$1$. $7$ में से $4$ कार्ड चुनें जिन्हें उनके सही लिफाफों में रखा जाना है,जो ${ }^{7} C_{4}$ तरीकों से किया जा सकता है।
$2$. शेष $3$ कार्डों को शेष $3$ लिफाफों में इस प्रकार रखा जाना चाहिए कि कोई भी कार्ड अपने सही लिफाफे में न जाए (यह $3$ वस्तुओं का अव्यवस्था या 'derangement' है,जिसे $D(3)$ कहा जाता है)।
$3$. $D(3) = 3! \left(1 - 1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{6}\right) = 2$.
$4$. कुल तरीके = ${ }^{7} C_{4} \times D(3) = { }^{7} C_{3} \times 2 = 2 \times { }^{7} C_{3}$.
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DifficultMCQ
एक व्यक्ति के पास तीन अलग-अलग बैग और चार अलग-अलग किताबें हैं। वह इन किताबों को बैग में कितने तरीकों से रख सकता है कि कोई भी बैग खाली न रहे?
A
$18$
B
$36$
C
$39$
D
$72$
Solution
(B) हमें $4$ अलग-अलग किताबों को $3$ अलग-अलग बैगों में इस प्रकार वितरित करना है कि कोई भी बैग खाली न रहे।
यह $4$ तत्वों के एक सेट से $3$ तत्वों के एक सेट पर आच्छादक (onto) फलनों की संख्या ज्ञात करने के बराबर है।
$n$ तत्वों के सेट से $m$ तत्वों के सेट पर आच्छादक फलनों की संख्या का सूत्र $\sum_{k=0}^{m} (-1)^k \binom{m}{k} (m-k)^n$ है।
यहाँ,$n = 4$ और $m = 3$ है।
तरीकों की संख्या = $\binom{3}{0} 3^4 - \binom{3}{1} 2^4 + \binom{3}{2} 1^4 = 1 \times 81 - 3 \times 16 + 3 \times 1 = 81 - 48 + 3 = 36$.
यह $4$ तत्वों के एक सेट से $3$ तत्वों के एक सेट पर आच्छादक (onto) फलनों की संख्या ज्ञात करने के बराबर है।
$n$ तत्वों के सेट से $m$ तत्वों के सेट पर आच्छादक फलनों की संख्या का सूत्र $\sum_{k=0}^{m} (-1)^k \binom{m}{k} (m-k)^n$ है।
यहाँ,$n = 4$ और $m = 3$ है।
तरीकों की संख्या = $\binom{3}{0} 3^4 - \binom{3}{1} 2^4 + \binom{3}{2} 1^4 = 1 \times 81 - 3 \times 16 + 3 \times 1 = 81 - 48 + 3 = 36$.
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View SolutionPermutation and Combination — Division into groups, Derangements · Frequently Asked Questions
1Are these Permutation and Combination questions useful for JEE and NEET?
Yes. All questions in this section are mapped to JEE Main and NEET exam patterns. Previous year questions from JEE Main, NEET, GUJCET and state-level exams are included with full solutions.
2Can I switch to Hindi or Gujarati for these questions?
Yes. Use the language tabs in the hero section or the sidebar to view the same questions and solutions in English, Hindi or Gujarati.
3How do I generate a question paper from this subtopic?
Use the Vedclass Exam Paper Generator — select the chapter and subtopic, set difficulty, and generate Sets A, B, C, D automatically. First 3 chapters of every subject are free.
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