Definition of combinations, Condition combinations Questions in Hindi

(A) कुल प्रश्नों की संख्या $= 13$।
चुने जाने वाले प्रश्नों की संख्या $= 10$।
प्रतिबंध: पहले $5$ प्रश्नों में से कम से कम $4$ प्रश्न चुने जाने चाहिए।
स्थिति $I$: यदि पहले $5$ में से ठीक $4$ प्रश्न चुने जाते हैं।
$5$ में से $4$ प्रश्न चुनने के तरीके $= {}^{5}C_{4} = 5$।
शेष $10 - 4 = 6$ प्रश्न अंतिम $13 - 5 = 8$ प्रश्नों में से ${}^{8}C_{6}$ तरीकों से चुने जाते हैं।
तरीकों की संख्या $= 5 \times {}^{8}C_{6} = 5 \times 28 = 140$।
स्थिति $II$: यदि पहले $5$ में से ठीक $5$ प्रश्न चुने जाते हैं।
$5$ में से $5$ प्रश्न चुनने के तरीके $= {}^{5}C_{5} = 1$।
शेष $10 - 5 = 5$ प्रश्न अंतिम $13 - 5 = 8$ प्रश्नों में से ${}^{8}C_{5}$ तरीकों से चुने जाते हैं।
तरीकों की संख्या $= 1 \times {}^{8}C_{5} = 1 \times 56 = 56$।
कुल तरीकों की संख्या $= 140 + 56 = 196$।

(A) कथन $I$: $n$ समान वस्तुओं को $r$ अलग-अलग बक्सों में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या कि कोई भी बक्सा खाली न रहे,${}^{n-1}C_{r-1}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 10$ और $r = 4$ है।
अतः,तरीकों की संख्या ${}^{10-1}C_{4-1} = {}^9C_3$ है।
इस प्रकार,कथन $I$ सत्य है।
कथन $II$: $n$ अलग-अलग वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^nC_r$ है।
$9$ अलग-अलग स्थानों में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^9C_3$ है।
इस प्रकार,कथन $II$ सत्य है।
चूंकि कथन $II$ एक मानक संचय सूत्र है और यह कथन $I$ में दी गई वितरण समस्या के लिए तार्किक व्युत्पत्ति नहीं है,इसलिए कथन $II$ कथन $I$ की सही व्याख्या नहीं है।

(A) दिया गया है,$10$ पुरुषों और $8$ महिलाओं का एक समूह। हमें $8$ सदस्यों की एक समिति बनानी है जिसमें $5$ से अधिक पुरुष न हों और $5$ से कम महिलाएं न हों।
इसका अर्थ है कि (महिलाएं,पुरुष) के संभावित संयोजन हैं:
$(5W, 3M), (6W, 2M), (7W, 1M), (8W, 0M)$।
तरीकों की संख्या की गणना इस प्रकार की जाती है:
$= \binom{8}{5} \times \binom{10}{3} + \binom{8}{6} \times \binom{10}{2} + \binom{8}{7} \times \binom{10}{1} + \binom{8}{8} \times \binom{10}{0}$
$= (56 \times 120) + (28 \times 45) + (8 \times 10) + (1 \times 1)$
$= 6720 + 1260 + 80 + 1 = 8061$ तरीके।

(B) $5$ पासों पर योग $7$ प्राप्त करने के लिए,प्रत्येक पासे पर कम से कम $1$ होना चाहिए। मान लीजिए परिणाम $x_1, x_2, x_3, x_4, x_5$ हैं जहाँ $x_i \ge 1$ है। योग $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 = 7$ है।
चूंकि प्रत्येक $x_i \ge 1$ है,हम $x_i = 1 + y_i$ लिख सकते हैं जहाँ $y_i \ge 0$ है।
इसे प्रतिस्थापित करने पर,हमें $y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + y_5 = 2$ प्राप्त होता है।
अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{n+r-1}{r-1}$ सूत्र द्वारा दी जाती है जहाँ $n=2$ और $r=5$ है।
यह $\binom{2+5-1}{5-1} = \binom{6}{4} = \binom{6}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = 15$ है।
वैकल्पिक रूप से,स्थितियाँ हैं:
$(i)$ चार $1$ और एक $3$: $\frac{5!}{4!1!} = 5$ तरीके।
(ii) तीन $1$ और दो $2$: $\frac{5!}{3!2!} = 10$ तरीके।
कुल तरीके = $5 + 10 = 15$।

(A) $N = m \times n$ भिन्न वस्तुओं को $n$ व्यक्तियों के बीच समान रूप से वितरित करने के तरीकों की संख्या $\frac{(mn)!}{(m!)^n}$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$N = 500$,$n = 50$,और $m = 10$ (क्योंकि $500 = 50 \times 10$)।
अतः,वितरण के तरीकों की संख्या $\frac{500!}{(10!)^{50}}$ है।

(C) $52$ पत्तों में से $5$ पत्तों का चयन करना है जिसमें ठीक एक इक्का हो:
$1$. $4$ इक्कों में से $1$ इक्का चुनने के तरीके: $^4C_1 = 4$.
$2$. शेष $48$ पत्तों में से $4$ पत्ते चुनने के तरीके: $^{48}C_4$.
$3$. कुल संयोजनों की संख्या $^4C_1 \times ^{48}C_4$ है।
$\begin{aligned} & = 4 \times \frac{48 \times 47 \times 46 \times 45}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \\ & = 4 \times 194580 \\ & = 778320 \end{aligned}$

(B) $n$ अवयवों के समुच्चय से $8$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की कुल संख्या $\binom{n}{8}$ द्वारा दी जाती है।
$a_4$ को समाहित करने वाले $8$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या शेष $(n-1)$ अवयवों में से $7$ अवयवों को चुनने के बराबर है,जो $\binom{n-1}{7}$ है।
प्रश्न के अनुसार,$\binom{n}{8} = 5 \times \binom{n-1}{7}$ है।
सर्वसमिका $\binom{n}{r} = \frac{n}{r} \binom{n-1}{r-1}$ का उपयोग करने पर,हमें $\binom{n}{8} = \frac{n}{8} \binom{n-1}{7}$ प्राप्त होता है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\frac{n}{8} \binom{n-1}{7} = 5 \times \binom{n-1}{7}$।
चूँकि $\binom{n-1}{7} \neq 0$,दोनों पक्षों को $\binom{n-1}{7}$ से विभाजित करने पर $\frac{n}{8} = 5$ प्राप्त होता है।
अतः,$n = 5 \times 8 = 40$।

(C) द्विपद गुणांक $^{n}C_{r}$ के एक प्राकृतिक संख्या होने के लिए,$n \geq r \geq 0$ और $n, r \in \mathbb{N}_0$ होना आवश्यक है।
दिए गए $^{20-2x}C_{x-3} \in N$ के लिए,निम्नलिखित शर्तें पूरी होनी चाहिए:
$1) \; x-3 \geq 0 \Rightarrow x \geq 3$
$2) \; 20-2x \geq x-3$ $\Rightarrow 23 \geq 3x$ $\Rightarrow x \leq \frac{23}{3} \approx 7.66$
$3) \; 20-2x \geq 0 \Rightarrow x \leq 10$
इन असमिकाओं को संयोजित करने पर,हमें $3 \leq x \leq 7.66$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x \in N$,इसलिए $x$ के संभावित मान $3, 4, 5, 6, 7$ हैं।
अतः,समुच्चय में $5$ अवयव हैं।

(C) सर्वसमिका ${}^{n}C_{r} + {}^{n}C_{r-1} = {}^{n+1}C_{r}$ का उपयोग करने पर:
${}^{(n-1)}C_6 + {}^{(n-1)}C_7 = {}^{n}C_7$
दी गई असमिका: ${}^{n}C_7 < {}^{n}C_8$
गुणधर्म $\frac{{}^{n}C_{r}}{{}^{n}C_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{{}^{n}C_8}{{}^{n}C_7} > 1$
$\frac{n-8+1}{8} > 1$
$\frac{n-7}{8} > 1$
$n-7 > 8$
$n > 15$
अतः,$n$ का न्यूनतम पूर्णांक मान $16$ है।

(C) दी गई असमिका: ${ }^{(n-1)} C_3 + { }^{(n-1)} C_4 > { }^n C_3$
पास्कल सर्वसमिका ${ }^n C_{r-1} + { }^n C_r = { }^{n+1} C_r$ का उपयोग करने पर:
${ }^{(n-1)} C_3 + { }^{(n-1)} C_4 = { }^n C_4$
इस मान को असमिका में रखने पर:
${ }^n C_4 > { }^n C_3$
सूत्र का विस्तार करने पर:
$\frac{n!}{4!(n-4)!} > \frac{n!}{3!(n-3)!}$
दोनों पक्षों को $n!$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{4!(n-4)!} > \frac{1}{3!(n-3)!}$
$\frac{1}{4 \times 3! \times (n-4)!} > \frac{1}{3! \times (n-3) \times (n-4)!}$
$\frac{1}{4} > \frac{1}{n-3}$
$n - 3 > 4$
$n > 7$
अतः,$n$ का न्यूनतम पूर्णांक मान $8$ है।

(D) दिया गया समीकरण: $10 \cdot ^nC_2 = 3 \cdot ^{n+1}C_3$
सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$10 \cdot \frac{n!}{2!(n-2)!} = 3 \cdot \frac{(n+1)!}{3!(n-2)!}$
$10 \cdot \frac{n(n-1)}{2} = 3 \cdot \frac{(n+1)n(n-1)}{6}$
$5n(n-1) = \frac{(n+1)n(n-1)}{2}$
चूंकि $n > 2$,दोनों पक्षों को $n(n-1)$ से विभाजित करने पर:
$5 = \frac{n+1}{2}$
$10 = n + 1$
$n = 9$

(A) दिया गया है $\frac{{ }^{2n}C_3}{{ }^{n}C_3} = \frac{12}{1}$.
सूत्र ${ }^{n}C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{(2n)!}{3!(2n-3)!}}{\frac{n!}{3!(n-3)!}} = 12$
$\Rightarrow \frac{2n(2n-1)(2n-2)(2n-3)!}{3!(2n-3)!} \times \frac{3!(n-3)!}{n(n-1)(n-2)(n-3)!} = 12$
$\Rightarrow \frac{2n(2n-1) \cdot 2(n-1)}{n(n-1)(n-2)} = 12$
$\Rightarrow \frac{4n(2n-1)}{n(n-2)} = 12$
$\Rightarrow \frac{4(2n-1)}{n-2} = 12$
$\Rightarrow 2n-1 = 3(n-2)$
$\Rightarrow 2n-1 = 3n-6$
$\Rightarrow n = 5$.

(B) हम गुणधर्म ${ }^n C_r={ }^n C_{n-r}$ का उपयोग करते हैं।
${ }^9 C_5={ }^9 C_{9-5}={ }^9 C_4$.
अब,व्यंजक ${ }^9 C_3+{ }^9 C_4$ हो जाता है।
पास्कल के सर्वसमिका ${ }^n C_r+{ }^n C_{r-1}={ }^{n+1} C_r$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
${ }^9 C_4+{ }^9 C_3={ }^{10} C_4$.
इसकी तुलना ${ }^{10} C_r$ से करने पर,हमें $r=4$ प्राप्त होता है।

(B) हम पास्कल के सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: ${}^nC_r + {}^nC_{r-1} = {}^{n+1}C_r$.
दी गई अभिव्यक्ति ${}^{34}C_5 + \sum_{i=0}^4 {}^{38-i}C_4 = {}^{34}C_5 + {}^{38}C_4 + {}^{37}C_4 + {}^{36}C_4 + {}^{35}C_4 + {}^{34}C_4$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $({}^{34}C_5 + {}^{34}C_4) + {}^{35}C_4 + {}^{36}C_4 + {}^{37}C_4 + {}^{38}C_4$ प्राप्त होता है।
सर्वसमिका ${}^{34}C_5 + {}^{34}C_4 = {}^{35}C_5$ लागू करने पर,अभिव्यक्ति ${}^{35}C_5 + {}^{35}C_4 + {}^{36}C_4 + {}^{37}C_4 + {}^{38}C_4$ हो जाती है।
इस प्रक्रिया को जारी रखने पर: ${}^{35}C_5 + {}^{35}C_4 = {}^{36}C_5$,फिर ${}^{36}C_5 + {}^{36}C_4 = {}^{37}C_5$,फिर ${}^{37}C_5 + {}^{37}C_4 = {}^{38}C_5$,और अंत में ${}^{38}C_5 + {}^{38}C_4 = {}^{39}C_5$ प्राप्त होता है।

(C) हम सर्वसमिका ${ }^n C_r + { }^n C_{r-1} = { }^{n+1} C_r$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया है: ${ }^{n-3} C_r + B \cdot { }^{n-3} C_{r-1} + B^{\prime} \cdot { }^{n-3} C_{r-2} + { }^{n-3} C_{r-3} = { }^n C_r$.
हम जानते हैं कि ${ }^n C_r = { }^{n-1} C_r + { }^{n-1} C_{r-1} = ({ }^{n-2} C_r + { }^{n-2} C_{r-1}) + ({ }^{n-2} C_{r-1} + { }^{n-2} C_{r-2}) = { }^{n-2} C_r + 2 \cdot { }^{n-2} C_{r-1} + { }^{n-2} C_{r-2}$.
आगे विस्तार करने पर: ${ }^{n-2} C_r + 2({ }^{n-3} C_{r-1} + { }^{n-3} C_{r-2}) + ({ }^{n-3} C_{r-2} + { }^{n-3} C_{r-3}) = { }^{n-3} C_r + 3 \cdot { }^{n-3} C_{r-1} + 3 \cdot { }^{n-3} C_{r-2} + { }^{n-3} C_{r-3}$.
इस समीकरण की तुलना दिए गए समीकरण से करने पर,हमें $B = 3$ और $B^{\prime} = 3$ प्राप्त होता है।
अतः,$(B, B^{\prime}) = (3, 3)$.

(C) हम सर्वसमिका ${}^{n} C_r + {}^{n} C_{r-1} = {}^{n+1} C_r$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया व्यंजक: $\sum_{r=0}^4 {}^{19-r} C_3 + {}^{15} C_4$
$= {}^{19} C_3 + {}^{18} C_3 + {}^{17} C_3 + {}^{16} C_3 + {}^{15} C_3 + {}^{15} C_4$
$= {}^{19} C_3 + {}^{18} C_3 + {}^{17} C_3 + {}^{16} C_3 + ({}^{15} C_3 + {}^{15} C_4)$
$= {}^{19} C_3 + {}^{18} C_3 + {}^{17} C_3 + ({}^{16} C_3 + {}^{16} C_4)$
$= {}^{19} C_3 + {}^{18} C_3 + ({}^{17} C_3 + {}^{17} C_4)$
$= {}^{19} C_3 + ({}^{18} C_3 + {}^{18} C_4)$
$= {}^{19} C_3 + {}^{19} C_4$
$= {}^{20} C_4$

(D) दिया गया है,${}^n C_7 = {}^n C_6$.
गुणधर्म का उपयोग करने पर: यदि ${}^n C_x = {}^n C_y$ है,तो या तो $x = y$ या $x + y = n$ होता है।
चूंकि $7 \neq 6$,इसलिए $n = 7 + 6 = 13$ होगा।
अतः,${}^n C_2 = {}^{13} C_2 = \frac{13 \times 12}{2 \times 1} = 13 \times 6 = 78$.
अतः,विकल्प $D$ सही है।

(D) दिया गया है कि,${ }^{12} C_{2 k-1}={ }^{12} C_{k+1}$.
हम जानते हैं कि यदि ${ }^n C_x={ }^n C_y$ हो,तो या तो $x=y$ होगा या $x+y=n$ होगा।
स्थिति $1$: $2k-1 = k+1$
$k = 2$.
स्थिति $2$: $(2k-1) + (k+1) = 12$
$3k = 12$
$k = 4$.
अतः,$k=4$ दिए गए विकल्पों में से एक है,इसलिए सही उत्तर $4$ है।

(C) हमें समीकरण दिया गया है: $^{n-1}C_r = (k^2 - 3) \cdot ^nC_{r+1}$.
सर्वसमिका $^nC_r = \frac{n}{r} \cdot ^{n-1}C_{r-1}$ का उपयोग करते हुए,हम लिख सकते हैं $^nC_{r+1} = \frac{n}{r+1} \cdot ^{n-1}C_r$.
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$^{n-1}C_r = (k^2 - 3) \cdot \frac{n}{r+1} \cdot ^{n-1}C_r$.
यह मानते हुए कि $^{n-1}C_r \neq 0$,दोनों पक्षों को $^{n-1}C_r$ से विभाजित करने पर:
$1 = (k^2 - 3) \cdot \frac{n}{r+1}$.
$k^2 - 3$ के लिए पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$k^2 - 3 = \frac{r+1}{n}$.
चूंकि $0 \le r \le n-1$,अनुपात $\frac{r+1}{n}$ अंतराल $(0, 1]$ में स्थित है।
अतः,$0 < k^2 - 3 \le 1$.
सभी पक्षों में $3$ जोड़ने पर:
$3 < k^2 \le 4$.
वर्गमूल लेने पर,हमें $k \in [-2, -\sqrt{3}) \cup (\sqrt{3}, 2]$ प्राप्त होता है।
दिए गए विकल्पों के साथ तुलना करने पर,अंतराल $[\sqrt{3}, 2]$ $k$ के संभावित मानों का एक उपसमुच्चय है।

(A) दिया गया है $N(n) = n \prod_{r=1}^{2023} (n^2 - r^2) = n \cdot \left[ \prod_{r=1}^{2023} (n-r) \right] \left[ \prod_{r=1}^{2023} (n+r) \right]$.
$n = 2024$ के लिए,हमें प्राप्त होता है:
$N(2024) = 2024 \cdot [(2023)(2022) \dots (1)] \cdot [(2025)(2026) \dots (4047)]$.
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$N(2024) = (4047)(4046) \dots (2025)(2024)(2023) \dots (1) = (4047)!$.
हमें ${}^{N}C_{N-1}$ ज्ञात करना है जहाँ $N = N(2024) = (4047)!$.
गुणधर्म ${}^{n}C_{r} = {}^{n}C_{n-r}$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है ${}^{N}C_{N-1} = {}^{N}C_{1} = N$.
अतः,${}^{N}C_{N-1} = (4047)!$.

(D) दिया गया समीकरण $x_1+x_2+x_3+x_4=10$ है।
समीकरण $x_1+x_2+...+x_r=n$ के अ-ऋणात्मक पूर्णांक हलों के लिए सूत्र $^{n+r-1}C_{r-1}$ है।
यहाँ,$n=10$ और $r=4$ है।
मान रखने पर,हमें प्राप्त होता है:
$^{10+4-1}C_{4-1} = ^{13}C_3$।
मान की गणना करने पर:
$^{13}C_3 = \frac{13 \times 12 \times 11}{3 \times 2 \times 1} = 13 \times 2 \times 11 = 286$।

(C) दिया गया है $n(A) = 8$.
$A$ के कम से कम $6$ अवयव वाले उपसमुच्चयों की संख्या है:
$^8C_6 + ^8C_7 + ^8C_8$
सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$^8C_6 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$
$^8C_7 = \frac{8}{1} = 8$
$^8C_8 = 1$
कुल उपसमुच्चय $= 28 + 8 + 1 = 37$.

(C) चूंकि $2$ विशेष छात्रों को हमेशा टीम में शामिल किया जाना है,इसलिए हमने पहले ही $2$ सदस्यों का चयन कर लिया है।
चयन किए जाने वाले शेष सदस्य $= 5 - 2 = 3$।
चयन के लिए उपलब्ध शेष छात्र $= 12 - 2 = 10$।
इसलिए,$10$ उपलब्ध छात्रों में से शेष $3$ छात्रों का चयन करने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
तरीकों की संख्या $= {}^{10}C_{3} = \frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1} = 10 \times 3 \times 4 = 120$।

(B) हम उन त्रिकों $(x, y, z)$ की संख्या ज्ञात कर रहे हैं जिनके लिए $x, y, z \in N$,$x < y < z$,और $x+y+z=12$ है।
चूंकि $x < y < z$,हमारे पास $x+y+z > x+x+x = 3x$ है,इसलिए $3x < 12$,जिसका अर्थ है $x < 4$। अतः,$x$ का मान $1, 2,$ या $3$ हो सकता है।
स्थिति $1$: यदि $x=1$,तो $y+z=11$ जहाँ $1 < y < z$। संभावित युग्म $(y, z)$ हैं $(2, 9), (3, 8), (4, 7), (5, 6)$। (कुल $4$)
स्थिति $2$: यदि $x=2$,तो $y+z=10$ जहाँ $2 < y < z$। संभावित युग्म $(y, z)$ हैं $(3, 7), (4, 6)$। (कुल $2$)
स्थिति $3$: यदि $x=3$,तो $y+z=9$ जहाँ $3 < y < z$। एकमात्र संभावित युग्म $(y, z)$ है $(4, 5)$। (कुल $1$)
त्रिकों की कुल संख्या $= 4 + 2 + 1 = 7$।

(C) छात्र को $13$ में से $10$ प्रश्न इस प्रकार चुनने हैं कि पहले $6$ प्रश्नों में से कम से कम $5$ प्रश्न हों। इसके लिए दो स्थितियाँ संभव हैं:
स्थिति $I$: पहले $6$ में से $5$ प्रश्न और शेष $7$ में से $5$ प्रश्न चुनना।
तरीकों की संख्या $= {}^{6}C_{5} \times {}^{7}C_{5} = 6 \times 21 = 126$.
स्थिति $II$: पहले $6$ में से $6$ प्रश्न और शेष $7$ में से $4$ प्रश्न चुनना।
तरीकों की संख्या $= {}^{6}C_{6} \times {}^{7}C_{4} = 1 \times 35 = 35$.
कुल तरीकों की संख्या $= 126 + 35 = 161$.

(B) $12$ सदस्यों की एक समिति इस प्रकार बनाई जानी है कि महिलाएं बहुमत में हों। चूंकि $9$ महिलाएं और $8$ पुरुष हैं,इसलिए महिलाओं के बहुमत में होने के संभावित मामले हैं:
स्थिति $I$: $9$ महिलाएं और $3$ पुरुष
तरीकों की संख्या $= {^9C_9} \times {^8C_3} = 1 \times 56 = 56$
स्थिति $II$: $8$ महिलाएं और $4$ पुरुष
तरीकों की संख्या $= {^9C_8} \times {^8C_4} = 9 \times 70 = 630$
स्थिति $III$: $7$ महिलाएं और $5$ पुरुष
तरीकों की संख्या $= {^9C_7} \times {^8C_5} = 36 \times 56 = 2016$
कुल तरीकों की संख्या $= 56 + 630 + 2016 = 2702$

(D) $5$ उपलब्ध विकल्पों में से किसी भी संख्या में विकल्पों को चुनने के कुल तरीके संचय के योग द्वारा दिए जाते हैं: $\binom{5}{0} + \binom{5}{1} + \binom{5}{2} + \binom{5}{3} + \binom{5}{4} + \binom{5}{5} = 2^5 = 32$।
चूंकि छात्र को दो या दो से अधिक विकल्प चुनने हैं,इसलिए हमें उन स्थितियों को बाहर करना होगा जहां $0$ या $1$ विकल्प चुना गया है।
$0$ विकल्प चुनने के तरीके $\binom{5}{0} = 1$ हैं।
$1$ विकल्प चुनने के तरीके $\binom{5}{1} = 5$ हैं।
अतः,दो या दो से अधिक विकल्प चुनने के तरीके $32 - (1 + 5) = 32 - 6 = 26$ हैं।

(A) माना $3$-अंकीय संख्या $abc$ है,जहाँ $a$ सैकड़े का अंक,$b$ दहाई का अंक और $c$ इकाई का अंक है।
दी गई शर्त $a + b + c = 10$ है,जहाँ $1 \leq a \leq 9$ और $0 \leq b, c \leq 9$ है।
माना $a' = a - 1$,तो $a = a' + 1$ है। समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर:
$(a' + 1) + b + c = 10 \Rightarrow a' + b + c = 9$,जहाँ $a', b, c \geq 0$ है।
अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $^{n+r-1}C_{r-1}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n=9$ और $r=3$ है:
$^{9+3-1}C_{3-1} = ^{11}C_2 = \frac{11 \times 10}{2} = 55$ है।
हालाँकि,हमें उन स्थितियों को घटाना होगा जहाँ कोई भी अंक $9$ से अधिक हो।
चूँकि $a = a' + 1$ है,यदि $a' = 9$ है,तो $a = 10$ होगा,जो एक अंक के लिए संभव नहीं है।
यह हल $(a', b, c) = (9, 0, 0)$ के अनुरूप है,जो $a = 10, b = 0, c = 0$ देता है।
अतः,हम इस $1$ अमान्य स्थिति को घटाते हैं: $55 - 1 = 54$ है।
इसलिए,ऐसी $3$-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $54$ है।

(D) छात्र को $13$ में से $10$ प्रश्नों का चयन करना है। पहले $5$ प्रश्न एक समूह में हैं और शेष $8$ प्रश्न दूसरे समूह में हैं।
उसे पहले $5$ प्रश्नों में से कम से कम $4$ प्रश्नों के उत्तर देने होंगे।
स्थिति $1$: वह पहले $5$ में से $4$ प्रश्न और शेष $8$ में से $6$ प्रश्न चुनता है।
तरीकों की संख्या = ${}^5C_4 \times {}^8C_6 = 5 \times 28 = 140$.
स्थिति $2$: वह पहले $5$ में से $5$ प्रश्न और शेष $8$ में से $5$ प्रश्न चुनता है।
तरीकों की संख्या = ${}^5C_5 \times {}^8C_5 = 1 \times 56 = 56$.
कुल तरीकों की संख्या = $140 + 56 = 196$.

(C) $30$ व्यक्तियों की समिति चुनने के लिए जिसमें लड़कों,लड़कियों और शिक्षकों की संख्या समान हो,हमें $10$ लड़के,$10$ लड़कियाँ और $10$ शिक्षक चुनने होंगे।
$20$ में से $10$ लड़कों को चुनने के तरीके $= ^{20}C_{10} = \frac{20!}{10!10!}$.
$20$ में से $10$ लड़कियों को चुनने के तरीके $= ^{20}C_{10} = \frac{20!}{10!10!}$.
$20$ में से $10$ शिक्षकों को चुनने के तरीके $= ^{20}C_{10} = \frac{20!}{10!10!}$.
कुल तरीके $= \frac{20!}{10!10!} \times \frac{20!}{10!10!} \times \frac{20!}{10!10!} = \frac{(20!)^3}{(10!)^6}$.

(A) मतदाता $12$ उपलब्ध उम्मीदवारों में से $1, 2, 3,$ या $4$ उम्मीदवारों को वोट दे सकता है।
$12$ में से $k$ उम्मीदवारों को चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र ${}^{12}C_k$ द्वारा दी जाती है।
चूंकि मतदाता को कम से कम एक उम्मीदवार को वोट देना है,इसलिए कुल तरीकों की संख्या $1, 2, 3,$ या $4$ उम्मीदवारों को चुनने का योग है:
$\text{कुल तरीके} = {}^{12}C_1 + {}^{12}C_2 + {}^{12}C_3 + {}^{12}C_4$
$= 12 + 66 + 220 + 495 = 793$

(B) दिया गया समीकरण $x+y+z+w=25$ है,जहाँ $x, y, z \geq -1$ और $w \geq 1$ है।
माना $a = x+1 \geq 0$,$b = y+1 \geq 0$,$c = z+1 \geq 0$,और $d = w-1 \geq 0$ है।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(a-1) + (b-1) + (c-1) + (d+1) = 25$ प्राप्त होता है।
यह $a+b+c+d-2 = 25$,अर्थात $a+b+c+d = 27$ में सरल हो जाता है।
$a+b+c+d = n$ के लिए गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या का सूत्र ${}^{n+k-1}C_{k-1}$ है,जहाँ $k$ चरों की संख्या है।
यहाँ $n=27$ और $k=4$ है,इसलिए हलों की संख्या ${}^{27+4-1}C_{4-1} = {}^{30}C_3$ होगी।

(A) दिया गया अनुपात: $\frac{{ }^{n+2} C_2}{{ }^{n+3} C_1} = \frac{4}{2} = 2$.
सूत्र ${ }^n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(n+2)!}{2! n!} \div (n+3) = 2$.
$\frac{(n+2)(n+1)}{2} \times \frac{1}{n+3} = 2$.
$(n+2)(n+1) = 4(n+3)$.
$n^2 + 3n + 2 = 4n + 12$.
$n^2 - n - 10 = 0$.
द्विघात सूत्र $n = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$ का उपयोग करके $n$ का मान ज्ञात करने पर:
$n = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4(1)(-10)}}{2} = \frac{1 \pm \sqrt{41}}{2}$.
चूंकि $\sqrt{41}$ एक पूर्णांक नहीं है,इसलिए $n$ एक प्राकृतिक संख्या $(n \notin N)$ नहीं हो सकता।
अतः,$n$ के मानों की संख्या $0$ है।

(D) हमें $7$ भारतीयों $(I)$,$6$ अमेरिकियों $(A)$,$5$ रूसियों $(R)$ और $4$ ऑस्ट्रेलियाई $(AU)$ लोगों में से $5$ सदस्यों की समिति बनानी है ताकि प्रत्येक देश का कम से कम एक प्रतिनिधि हो।
चूंकि कुल सदस्य $5$ हैं और $4$ देश हैं,इसलिए एक देश के $2$ सदस्य होंगे और बाकी तीन देशों के $1-1$ सदस्य होंगे।
संभावित वितरण:
$1$. $2I, 1A, 1R, 1AU: {^7C_2} \times {^6C_1} \times {^5C_1} \times {^4C_1} = 2520$
$2$. $1I, 2A, 1R, 1AU: {^7C_1} \times {^6C_2} \times {^5C_1} \times {^4C_1} = 2100$
$3$. $1I, 1A, 2R, 1AU: {^7C_1} \times {^6C_1} \times {^5C_2} \times {^4C_1} = 1680$
$4$. $1I, 1A, 1R, 2AU: {^7C_1} \times {^6C_1} \times {^5C_1} \times {^4C_2} = 1260$
कुल तरीके $= 2520 + 2100 + 1680 + 1260 = 7560$.

(D) $TSEAMCET$ शब्द में $8$ अक्षर हैं: $T, T, E, E, S, A, M, C$.
यहाँ $6$ भिन्न अक्षर हैं: $\{T, E, S, A, M, C\}$.
हमें $4$ अक्षरों का चयन करना है।
स्थिति $1$: सभी $4$ अक्षर भिन्न हों।
तरीकों की संख्या $= {}^{6}C_{4} = \frac{6 \times 5 \times 4 \times 3}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 15$.
स्थिति $2$: एक समान अक्षरों का जोड़ा और $2$ भिन्न अक्षर।
तरीकों की संख्या $= {}^{2}C_{1} \times {}^{5}C_{2} = 2 \times \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 20$.
स्थिति $3$: दो समान अक्षरों के जोड़े।
तरीकों की संख्या $= {}^{2}C_{2} = 1$.
कुल तरीकों की संख्या $= 15 + 20 + 1 = 36$.

(B) $(2n+1)$ पुस्तकों में से कम से कम $(n+1)$ पुस्तकें चुनने के कुल तरीके संयोजनों के योग द्वारा दिए जाते हैं:
$^{2n+1}C_{n+1} + ^{2n+1}C_{n+2} + \dots + ^{2n+1}C_{2n} = 255$.
ध्यान दें कि छात्र सभी पुस्तकें नहीं चुन सकता है,इसलिए $^{2n+1}C_{2n+1}$ पद को बाहर रखा गया है।
हम जानते हैं कि $^{2n+1}C_0$ से $^{2n+1}C_{2n+1}$ तक के सभी संयोजनों का योग $2^{2n+1}$ है।
चूंकि $^{2n+1}C_k = ^{2n+1}C_{2n+1-k}$,पहले आधे पदों का योग दूसरे आधे पदों के योग के बराबर है।
विशेष रूप से,$\sum_{k=n+1}^{2n} {^{2n+1}C_k} = \frac{2^{2n+1}}{2} - 1 = 2^{2n} - 1$.
दिया गया है कि $2^{2n} - 1 = 255$,तो $2^{2n} = 256$ है।
चूंकि $256 = 2^8$,हमें $2n = 8$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $n = 4$।
पुस्तकों की कुल संख्या $2n + 1 = 2(4) + 1 = 9$ है।

(C) छात्र को कुल $13$ प्रश्नों में से $10$ प्रश्नों का चयन करना है,जिसमें पहले $5$ प्रश्नों में से कम से कम $4$ प्रश्नों का चयन करने की शर्त है।
स्थिति $I$: पहले $5$ प्रश्नों में से $4$ प्रश्न और शेष $8$ प्रश्नों में से $6$ प्रश्न चुनना।
तरीकों की संख्या $= {}^{5}C_{4} \times {}^{8}C_{6} = 5 \times 28 = 140$.
स्थिति $II$: पहले $5$ प्रश्नों में से $5$ प्रश्न और शेष $8$ प्रश्नों में से $5$ प्रश्न चुनना।
तरीकों की संख्या $= {}^{5}C_{5} \times {}^{8}C_{5} = 1 \times 56 = 56$.
कुल विकल्पों की संख्या $= 140 + 56 = 196$.

(A) टीम चुनने के कुल तरीकों की संख्या $10$ में से $5$ खिलाड़ियों को चुनकर और फिर शेष $5$ खिलाड़ियों में से $1$ कप्तान को चुनकर निकाली जाती है।
यह इस व्यंजक द्वारा दिया गया है:
$({ }^{10} C_5) \times ({ }^5 C_1)$
$= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} \times 5$
$= 252 \times 5 = 1260$.

(C) $6$ अलग वस्तुओं में से प्रत्येक को $2$ बक्सों में से किसी एक में $2$ तरीकों से रखा जा सकता है।
चूंकि $6$ वस्तुएं हैं,इसलिए उन्हें वितरित करने के कुल तरीके $2^6 = 64$ हैं।
हालांकि,इसमें $2$ स्थितियां शामिल हैं जिनमें एक बक्सा खाली रहता है (अर्थात,सभी $6$ वस्तुएं पहले बक्से में हैं,या सभी $6$ वस्तुएं दूसरे बक्से में हैं)।
चूंकि शर्त यह है कि कोई भी बक्सा खाली नहीं होना चाहिए,इसलिए हम इन $2$ स्थितियों को घटा देते हैं।
आवश्यक तरीकों की संख्या $= 2^6 - 2 = 64 - 2 = 62$.

(B) यह समस्या समीकरण $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 + x_5 + x_6 + x_7 = 3$ के गैर-ऋणात्मक पूर्णांक समाधान खोजने के बराबर है,जहाँ $x_i \ge 0$ है।
स्टार्स और बार्स सूत्र का उपयोग करते हुए,तरीकों की संख्या $\binom{n+r-1}{r-1}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 3$ (समान गेंदें) और $r = 7$ (अलग डिब्बे) हैं।
तरीकों की संख्या = $\binom{7+3-1}{7-1} = \binom{9}{6}$.
चूँकि $\binom{9}{6} = \binom{9}{3} = \frac{9 \times 8 \times 7}{3 \times 2 \times 1} = 84$.

(B) दिया गया समीकरण $x+y+z+t=10$ है,जहाँ $x \geq 2$ और $z \geq 5$ है।
माना $x = x' + 2$ जहाँ $x' \geq 0$ है।
माना $z = z' + 5$ जहाँ $z' \geq 0$ है।
इन मानों को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $(x' + 2) + y + (z' + 5) + t = 10$।
$x' + y + z' + t + 7 = 10$।
$x' + y + z' + t = 3$।
अ-ऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करने का सूत्र $\binom{n+r-1}{r-1}$ है,जहाँ $n=3$ और $r=4$ है।
हलों की संख्या = $\binom{3+4-1}{4-1} = \binom{6}{3}$।
$\binom{6}{3} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$।

(B) मान लीजिए $x_1, x_2, x_3$ उन $3$ व्यक्तियों द्वारा प्राप्त सिक्कों की संख्या है।
हमारे पास शर्त है $x_1 + x_2 + x_3 = 15$ जहाँ $x_i \geq 3$ है।
मान लीजिए $y_i = x_i - 3$,तो $y_i \geq 0$ होगा।
समीकरण में $x_i = y_i + 3$ प्रतिस्थापित करने पर:
$(y_1 + 3) + (y_2 + 3) + (y_3 + 3) = 15$
$y_1 + y_2 + y_3 = 6$
अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{n+r-1}{r-1}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n = 6$ और $r = 3$ है।
तरीकों की संख्या $= \binom{6+3-1}{3-1} = \binom{8}{2} = 28$.

(B) दिया गया है,$S_r = \{(x, y, z) : x + y + z = 11, x \geq r, y \geq r, z \geq r\}$.
$S_2$ के लिए: $x+y+z=11, x \geq 2, y \geq 2, z \geq 2$.
माना $x-2=a, y-2=b, z-2=c$,जहाँ $a, b, c \geq 0$.
तब $(a+2)+(b+2)+(c+2)=11 \Rightarrow a+b+c=5$.
अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{n+k-1}{k-1} = \binom{5+3-1}{3-1} = \binom{7}{2} = 21$ द्वारा दी जाती है।
अतः,$n(S_2) = 21$.
$S_3$ के लिए: $x+y+z=11, x \geq 3, y \geq 3, z \geq 3$.
माना $x-3=a, y-3=b, z-3=c$,जहाँ $a, b, c \geq 0$.
तब $(a+3)+(b+3)+(c+3)=11 \Rightarrow a+b+c=2$.
हलों की संख्या $\binom{2+3-1}{3-1} = \binom{4}{2} = 6$ है।
अतः,$n(S_3) = 6$.
$S_4$ के लिए: $x+y+z=11, x \geq 4, y \geq 4, z \geq 4$.
माना $x-4=a, y-4=b, z-4=c$,जहाँ $a, b, c \geq 0$.
तब $(a+4)+(b+4)+(c+4)=11 \Rightarrow a+b+c=-1$.
चूँकि $a, b, c \geq 0$,यह संभव नहीं है,इसलिए $n(S_4) = 0$.
अतः,$n(S_2) + n(S_3) + n(S_4) = 21 + 6 + 0 = 27$.

(A) $n$ समान वस्तुओं को $r$ व्यक्तियों के बीच वितरित करने के लिए,हम स्टार्स और बार्स सूत्र का उपयोग करते हैं: $\binom{n+r-1}{r-1}$.
यहाँ,$n = 8$ (समान सेब) और $r = 3$ (व्यक्ति) हैं।
तरीकों की संख्या $\binom{8+3-1}{3-1} = \binom{10}{2}$ है।
संयोजन की गणना करने पर: $\binom{10}{2} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.

(A) $(2n+1)$ पुस्तकों में से अधिकतम $n$ पुस्तकें चुनने के तरीकों की संख्या इस प्रकार है:
${}^{2n+1}C_1 + {}^{2n+1}C_2 + \dots + {}^{2n+1}C_n = 255$ $(i)$
गुणधर्म ${}^mC_r = {}^mC_{m-r}$ का उपयोग करने पर:
${}^{2n+1}C_{2n} + {}^{2n+1}C_{2n-1} + \dots + {}^{2n+1}C_{n+1} = 255$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:
$({}^{2n+1}C_1 + {}^{2n+1}C_2 + \dots + {}^{2n+1}C_{2n}) = 510$
दोनों पक्षों में ${}^{2n+1}C_0$ और ${}^{2n+1}C_{2n+1}$ (दोनों $1$ हैं) जोड़ने पर:
${}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_1 + \dots + {}^{2n+1}C_{2n+1} = 510 + 1 + 1 = 512$
चूंकि द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{k=0}^{m} {}^mC_k = 2^m$ होता है,इसलिए:
$2^{2n+1} = 512 = 2^9$
घातांकों की तुलना करने पर:
$2n + 1 = 9$
$2n = 8$
$n = 4$

(B) व्यंजक $(p+1)(p+2)(p+3) \ldots (p+q)$,$(p+1)$ से शुरू होने वाली $q$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल है।
हम जानते हैं कि $q$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल हमेशा $q!$ से विभाज्य होता है।
इसे $\frac{(p+q)!}{p!} = q! \times \binom{p+q}{q}$ के रूप में लिखा जा सकता है।
चूंकि $\binom{p+q}{q}$ सभी $p, q \in N$ के लिए एक पूर्णांक है,इसलिए यह व्यंजक हमेशा $q!$ से विभाज्य है।
अतः,वह सबसे बड़ा पूर्णांक जो सभी $p \in N$ के लिए इस गुणनफल को विभाजित करता है,$q!$ है।

(A) मान लीजिए कि $r$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याएँ $(n+1), (n+2), \dots, (n+r)$ हैं।
उनका गुणनफल $P = (n+1)(n+2) \dots (n+r)$ है।
हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
$P = \frac{(n+r)!}{n!}$.
$r!$ से गुणा और भाग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$P = \frac{(n+r)!}{n! r!} \times r! = \binom{n+r}{r} \times r!$.
चूंकि $\binom{n+r}{r}$ $n+r$ वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या है,यह हमेशा एक पूर्णांक होता है।
इसलिए,गुणनफल $P$ हमेशा $r!$ से विभाज्य होता है।

(C) '$EQUATION$' शब्द में $8$ अलग-अलग अक्षर हैं: $5$ स्वर $(E, U, A, I, O)$ और $3$ व्यंजन $(Q, T, N)$।
हमें $5$ में से $3$ स्वर और $3$ में से $2$ व्यंजन चुनने हैं।
अक्षरों को चुनने के तरीके = $^5C_3 \times ^3C_2 = 10 \times 3 = 30$।
चूँकि सभी $3$ स्वर एक साथ होने चाहिए,हम $3$ स्वरों को एक ब्लॉक के रूप में मानते हैं। अब हमारे पास $1$ स्वरों का ब्लॉक और $2$ व्यंजन हैं,कुल $3$ इकाइयों को व्यवस्थित करना है।
इन $3$ इकाइयों को व्यवस्थित करने के तरीके = $3! = 6$।
स्वर ब्लॉक के भीतर,$3$ स्वरों को $3! = 6$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
कुल शब्दों की संख्या = $30 \times 6 \times 6 = 1080$।