Mix Examples-Permutation and Combination Questions in Hindi

(D) माना समुच्चय $S$ में $2n + 1$ अवयव हैं। हमें $n$ से अधिक अवयव वाले उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करनी है,जिसका अर्थ है $n+1, n+2, \dots, 2n+1$ अवयव वाले उपसमुच्चय।
ऐसे उपसमुच्चयों की संख्या का योग: $S = \binom{2n+1}{n+1} + \binom{2n+1}{n+2} + \dots + \binom{2n+1}{2n+1}$ है।
संचय के गुण $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ का उपयोग करते हुए:
$\binom{2n+1}{n+1} = \binom{2n+1}{n}$,$\binom{2n+1}{n+2} = \binom{2n+1}{n-1}$,इत्यादि।
अतः,$S = \binom{2n+1}{n} + \binom{2n+1}{n-1} + \dots + \binom{2n+1}{0}$ है।
हम जानते हैं कि $2n+1$ अवयवों वाले समुच्चय के कुल उपसमुच्चयों की संख्या $\sum_{k=0}^{2n+1} \binom{2n+1}{k} = 2^{2n+1}$ होती है।
चूंकि $\binom{2n+1}{0} + \binom{2n+1}{1} + \dots + \binom{2n+1}{n} = \binom{2n+1}{n+1} + \binom{2n+1}{n+2} + \dots + \binom{2n+1}{2n+1} = S$,इसलिए $2S = 2^{2n+1}$ है।
अतः,$S = \frac{2^{2n+1}}{2} = 2^{2n}$।

(B) माना पूर्णांक $n$ है। हम व्यंजक $n^3 - n$ की जाँच करते हैं।
व्यंजक का गुणनखंड करने पर,हमें $n^3 - n = n(n^2 - 1) = n(n - 1)(n + 1)$ प्राप्त होता है।
यह तीन क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है: $(n - 1)$,$n$,और $(n + 1)$।
किन्हीं भी तीन क्रमागत पूर्णांकों के समूह में,कम से कम एक संख्या सम ($2$ से विभाज्य) होती है और ठीक एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है।
चूँकि गुणनफल $2$ और $3$ दोनों से विभाज्य है,और $\text{gcd}(2, 3) = 1$ है,इसलिए गुणनफल $2 \times 3 = 6$ से विभाज्य होगा।
अतः,$n^3 - n$ हमेशा $6$ से विभाज्य है।

(D) $1, 2, 3, 4$ अंकों का उपयोग करके बिना पुनरावृत्ति के बनाई जा सकने वाली कुल संख्याओं में $1$-अंकीय,$2$-अंकीय,$3$-अंकीय और $4$-अंकीय संख्याएँ शामिल हैं।
$1$-अंकीय संख्याओं की संख्या $= ^4P_1 = 4$.
$2$-अंकीय संख्याओं की संख्या $= ^4P_2 = 4 \times 3 = 12$.
$3$-अंकीय संख्याओं की संख्या $= ^4P_3 = 4 \times 3 \times 2 = 24$.
$4$-अंकीय संख्याओं की संख्या $= ^4P_4 = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.
कुल संख्याएँ $= ^4P_1 + ^4P_2 + ^4P_3 + ^4P_4 = 4 + 12 + 24 + 24 = 64$.
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(D) $0, 1, 2, \dots, 9$ अंकों का उपयोग करके बनाए जा सकने वाले $5$ अंकों के कुल टेलीफोन नंबरों की संख्या $10^5 = 100000$ है (क्योंकि प्रत्येक स्थान को $10$ तरीकों से भरा जा सकता है)।
बिना किसी अंक की पुनरावृत्ति वाले $5$ अंकों के टेलीफोन नंबरों की संख्या $^{10}P_5 = 10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 = 30240$ है।
अतः,कम से कम एक अंक की पुनरावृत्ति वाले टेलीफोन नंबरों की संख्या = कुल टेलीफोन नंबर - बिना पुनरावृत्ति वाले टेलीफोन नंबर।
अभीष्ट संख्या $= 100000 - 30240 = 69760$।

(B) $10$ जानवर और $10$ पिंजरे हैं। $4$ पिंजरे छोटे हैं,जिसका अर्थ है कि $5$ विशिष्ट जानवर उनमें प्रवेश नहीं कर सकते।
इन $5$ जानवरों को शेष $6$ बड़े पिंजरों में व्यवस्थित करने के तरीके $^6P_5 = 720$ हैं।
शेष $5$ जानवरों को शेष $5$ पिंजरों में व्यवस्थित करने के तरीके $5! = 120$ हैं।
कुल तरीके = $^6P_5 \times 5! = 720 \times 120 = 86400$.

(C) कम से कम एक $1$ वाली $4$-अंकीय संख्याओं की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम पूरक विधि का उपयोग करते हैं:
अंकों $\{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ का उपयोग करके बनने वाली कुल $4$-अंकीय संख्याएँ (जहाँ पहले स्थान पर $0$ नहीं हो सकता) $7 \times 8 \times 8 \times 8 = 3584$ हैं।
अंक $1$ को शामिल न करने वाली $4$-अंकीय संख्याओं की संख्या (अंकों $\{0, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ का उपयोग करके) $6 \times 7 \times 7 \times 7 = 2058$ है।
अतः,कम से कम एक $1$ वाली $4$-अंकीय संख्याओं की संख्या $3584 - 2058 = 1526$ है।

(C) मान लीजिए $P = (A - 1)(B - 2)(C - 3) ..... (K - 11)$.
गुणनखंडों का योग लें: $S = (A - 1) + (B - 2) + (C - 3) + ..... + (K - 11)$.
$S = (A + B + C + ..... + K) - (1 + 2 + 3 + ..... + 11)$.
चूंकि $(A, B, ....., K)$,$(1, 2, ....., 11)$ का एक क्रमचय है,इसलिए $(A + B + C + ..... + K) = (1 + 2 + 3 + ..... + 11) = 66$.
अतः,$S = 66 - 66 = 0$.
पूर्णांकों के किसी भी समूह में,अंतरों $(A_i - i)$ का योग शून्य होता है। $11$ पूर्णांकों का योग $0$ (एक सम संख्या) होने के लिए,योग में विषम पदों की संख्या सम होनी चाहिए।
चूंकि कुल $11$ पद हैं (जो एक विषम संख्या है),इसलिए कम से कम एक पद $(A_i - i)$ सम होना चाहिए।
यदि पूर्णांकों के गुणनफल में कम से कम एक गुणनखंड सम है,तो पूरा गुणनफल सम होगा।
इसलिए,गुणनफल हमेशा सम होता है।

(C) चरण $1$: $100$ रुपये के $4$ नोटों को $3$ बच्चों में इस प्रकार वितरित करें कि प्रत्येक बच्चे को कम से कम एक नोट मिले। यह $x_1 + x_2 + x_3 = 4$ के धनात्मक पूर्णांक समाधान खोजने के बराबर है,जहाँ $x_i \ge 1$ है। स्टार्स और बार्स सूत्र का उपयोग करते हुए,तरीकों की संख्या $\binom{4-1}{3-1} = \binom{3}{2} = 3$ है।
चरण $2$: $5$ अन्य अलग-अलग नोटों को $3$ बच्चों में वितरित करें। प्रत्येक $5$ नोट को $3$ बच्चों में से किसी को भी $3$ तरीकों से दिया जा सकता है। अतः,इन $5$ नोटों के लिए कुल तरीके $3^5$ हैं।
चरण $3$: वितरण के कुल तरीके चरण $1$ और चरण $2$ के तरीकों का गुणनफल है,जो $3 \times 3^5 = 3^6$ है।

(D) प्रत्येक प्रश्न का उत्तर $4$ तरीकों से दिया जा सकता है।
चूंकि $3$ प्रश्न हैं,इसलिए सभी प्रश्नों के उत्तर देने के कुल तरीके $4 \times 4 \times 4 = 4^3 = 64$ हैं।
सभी उत्तर सही होने का केवल $1$ तरीका है।
अतः,सभी उत्तर सही प्राप्त करने में विफल रहने के तरीकों की संख्या $64 - 1 = 63$ है।

(D) दिया गया है $\alpha = ^mC_2 = \frac{m(m-1)}{2}$.
हमें $^\alpha C_2 = \frac{\alpha(\alpha-1)}{2}$ ज्ञात करना है।
$\alpha = \frac{m(m-1)}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$^\alpha C_2 = \frac{\frac{m(m-1)}{2} \left( \frac{m(m-1)}{2} - 1 \right)}{2}$
$= \frac{m(m-1)}{4} \left( \frac{m^2 - m - 2}{2} \right)$
$= \frac{m(m-1)(m-2)(m+1)}{8}$
$= 3 \cdot \frac{(m+1)m(m-1)(m-2)}{24}$
$= 3 \cdot ^{m+1}C_4$.

(A) हमारे पास $52$ पत्तों के दो पैकेट हैं,जिससे कुल $104$ पत्ते होते हैं।
पहले पैकेट के प्रत्येक पत्ते के लिए दूसरे पैकेट में एक समान पत्ता (समान सूट और समान मूल्य) होता है।
$26$ पत्ते इस प्रकार चुनने के लिए कि कोई भी दो पत्ते एक ही सूट और एक ही मूल्य के न हों,हमें पहले $52$ उपलब्ध प्रकारों में से $26$ अलग-अलग प्रकार के पत्ते चुनने होंगे। यह $^{52}C_{26}$ तरीकों से किया जा सकता है।
इन $26$ चुने गए पत्तों में से प्रत्येक के लिए,हमारे पास $2$ विकल्प हैं (या तो पहले पैकेट से या दूसरे पैकेट से)।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $^{52}C_{26} \times 2^{26}$ है।

(B) $30$ में से $3$ संख्याओं को चुनने के कुल तरीके $^{30}C_3$ हैं।
गणना: $^{30}C_3 = \frac{30 \times 29 \times 28}{3 \times 2 \times 1} = 4060$.
$1$ से $30$ के बीच $15$ सम संख्याएँ हैं। $3$ सम संख्याओं को चुनने के तरीके $^{15}C_3$ हैं।
गणना: $^{15}C_3 = \frac{15 \times 14 \times 13}{3 \times 2 \times 1} = 455$.
$3$ संख्याओं को चुनने के तरीके जिनमें सभी सम न हों,कुल तरीकों में से सभी सम संख्याओं वाले तरीकों को घटाने पर प्राप्त होते हैं: $4060 - 455 = 3605$.

(A) $1, 2, 3, 4$ अंकों का उपयोग करके दो प्रकार की संख्याएँ बनाई जा सकती हैं ताकि प्रत्येक अंक $6$-अंकीय संख्या में कम से कम एक बार आए:
$(i)$ एक अंक $3$ बार दोहराया जाए और शेष तीन अंक प्रत्येक एक बार आएँ (जैसे,$1, 1, 1, 2, 3, 4$)।
ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{3!1!1!1!} \times \binom{4}{1} = \frac{720}{6} \times 4 = 120 \times 4 = 480$ है।
$(ii)$ दो अंक प्रत्येक $2$ बार दोहराए जाएँ और शेष दो अंक प्रत्येक एक बार आएँ (जैसे,$1, 1, 2, 2, 3, 4$)।
ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या $\frac{6!}{2!2!1!1!} \times \binom{4}{2} = \frac{720}{4} \times 6 = 180 \times 6 = 1080$ है।
अतः,ऐसी $6$-अंकीय संख्याओं की कुल संख्या $480 + 1080 = 1560$ है।

(D) '$MATHEMATICS$' शब्द में $11$ अक्षर हैं: $M, M, A, A, T, T, H, E, I, C, S$। इसमें $8$ अलग-अलग अक्षर हैं: $\{M, A, T, H, E, I, C, S\}$।
स्थिति $I$: $2$ समान और अन्य $2$ समान अक्षर।
$3$ जोड़ों में से $2$ जोड़े चुनने के तरीके $^3C_2 = 3$ हैं।
व्यवस्थाओं की संख्या = $3 \times \frac{4!}{2!2!} = 18$।
स्थिति $II$: $2$ समान और $2$ अलग अक्षर।
$3$ जोड़ों में से $1$ जोड़ा चुनने के तरीके $^3C_1 = 3$ और शेष $7$ में से $2$ अलग अक्षर चुनने के तरीके $^7C_2 = 21$ हैं।
व्यवस्थाओं की संख्या = $3 \times 21 \times \frac{4!}{2!} = 756$।
स्थिति $III$: सभी $4$ अक्षर अलग हों।
$8$ में से $4$ अलग अक्षर चुनने के तरीके $^8C_4 = 70$ हैं।
व्यवस्थाओं की संख्या = $70 \times 4! = 1680$।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या = $18 + 756 + 1680 = 2454$।

(A) दिया गया है $^nC_r = ^nC_{r-1}$। गुणधर्म $^nC_a = ^nC_b \implies a = b$ या $a + b = n$ का उपयोग करने पर,हमें $r + (r-1) = n$ प्राप्त होता है,अर्थात $r = \frac{n+1}{2}$।
दिया गया है $^nP_r = ^nP_{r+1}$। हम जानते हैं कि $^nP_r = \frac{n!}{(n-r)!}$ और $^nP_{r+1} = \frac{n!}{(n-r-1)!}$।
समीकरण करने पर: $\frac{n!}{(n-r)!} = \frac{n!}{(n-r-1)!} \implies \frac{1}{n-r} = 1 \implies n-r = 1 \implies r = n-1$।
$r = n-1$ को $r = \frac{n+1}{2}$ में रखने पर:
$n-1 = \frac{n+1}{2} \implies 2n - 2 = n + 1 \implies n = 3$।

(D) हम जानते हैं कि क्रमचय का सूत्र $^n{P_r} = \frac{n!}{(n - r)!}$ है।
हम जानते हैं कि संचय का सूत्र $^n{C_r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}$ है।
अब,दोनों व्यंजकों को विभाजित करने पर:
$\frac{^n{P_r}}{^n{C_r}} = \frac{\frac{n!}{(n - r)!}}{\frac{n!}{r!(n - r)!}}$
$= \frac{n!}{(n - r)!} \times \frac{r!(n - r)!}{n!}$
$= r!$
अतः,सही विकल्प $D$ है।

(A) $4$ अंकों की कुल संख्याएँ $9999 - 999 = 9000$ हैं।
एक $4$ अंकों की संख्या $5$ से विभाज्य होती है यदि उसका अंतिम अंक $0$ या $5$ हो।
पहले अंक के लिए $9$ विकल्प हैं $(1-9)$।
दूसरे और तीसरे अंक के लिए $10$ विकल्प हैं $(0-9)$।
अंतिम अंक के लिए $2$ विकल्प हैं ($0$ या $5$)।
अतः,$5$ से विभाज्य $4$ अंकों की संख्याएँ $9 \times 10 \times 10 \times 2 = 1800$ हैं।
इसलिए,$5$ से विभाज्य न होने वाली $4$ अंकों की संख्याएँ $9000 - 1800 = 7200$ हैं।

(D) हम जानते हैं कि $^n{P_r} = ^n{C_r} \times r!$ होता है।
दिए गए मानों को रखने पर: $840 = 35 \times r!$।
$r! = \frac{840}{35} = 24$।
चूँकि $4! = 24$ होता है,इसलिए $r = 4$ है।
अब,$^n{C_r} = 35$ में $r = 4$ रखने पर:
$^n{C_4} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 35$।
$n(n-1)(n-2)(n-3) = 35 \times 24 = 840$।
मानों की जाँच करने पर,$n = 7$ के लिए: $7 \times 6 \times 5 \times 4 = 840$।
अतः,$n = 7$।

(A) दिया गया समीकरण: $^nP_3 + ^nC_{n-2} = 14n$
हम जानते हैं कि $^nP_3 = \frac{n!}{(n-3)!} = n(n-1)(n-2)$
और $^nC_{n-2} = ^nC_2 = \frac{n(n-1)}{2}$
इन मानों को समीकरण में रखने पर: $n(n-1)(n-2) + \frac{n(n-1)}{2} = 14n$
चूंकि $n \geq 3$,हम $n$ से विभाजित कर सकते हैं: $(n-1)(n-2) + \frac{n-1}{2} = 14$
$2$ से गुणा करने पर: $2(n^2 - 3n + 2) + n - 1 = 28$
$2n^2 - 6n + 4 + n - 1 = 28$
$2n^2 - 5n - 25 = 0$
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(2n + 5)(n - 5) = 0$
चूंकि $n$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 5$.

(C) चयन की संख्या $(1 + x + x^2 + \dots + x^8)(1 + x + x^2 + \dots + x^8)(1 + x)^8$ के विस्तार में $x^8$ का गुणांक है।
यह $\left(\frac{1 - x^9}{1 - x}\right)^2 (1 + x)^8$ में $x^8$ का गुणांक है।
चूंकि हम $x^8$ का गुणांक खोज रहे हैं,हम $(1 - x^9)^2$ पद की उपेक्षा कर सकते हैं क्योंकि यह $x^8$ के गुणांक में केवल $1$ का योगदान देता है।
इस प्रकार,हमें $(1 - x)^{-2} (1 + x)^8$ में $x^8$ का गुणांक ज्ञात करने की आवश्यकता है।
$(1 - x)^{-2} = 1 + 2x + 3x^2 + \dots + 9x^8 + \dots$
$(1 + x)^8 = \sum_{r=0}^{8} {}^8C_r x^r = {}^8C_0 + {}^8C_1 x + {}^8C_2 x^2 + \dots + {}^8C_8 x^8$.
$x^8$ का गुणांक $\sum_{r=0}^{8} (r+1) {}^8C_r = {}^8C_0 + 2{}^8C_1 + 3{}^8C_2 + \dots + 9{}^8C_8$ है।
मान लीजिए $f(x) = \sum_{r=0}^{8} {}^8C_r x^{r+1} = x(1 + x)^8$.
$x$ के सापेक्ष अवकलन करने पर: $f'(x) = \sum_{r=0}^{8} (r+1) {}^8C_r x^r = (1 + x)^8 + 8x(1 + x)^7$.
$x = 1$ रखने पर,हमें $\sum_{r=0}^{8} (r+1) {}^8C_r = (1 + 1)^8 + 8(1)(1 + 1)^7 = 2^8 + 8 \cdot 2^7 = 2^7(2 + 8) = 10 \cdot 2^7$ प्राप्त होता है।

(C) दिया गया समीकरण: $^n{P_4} = 30 \times {^n}{C_5}$
सूत्रों $^n{P_r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ और $^n{C_r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{n!}{(n-4)!} = 30 \times \frac{n!}{5!(n-5)!}$
दोनों पक्षों को $n!$ से विभाजित करने पर:
$\frac{1}{(n-4)!} = \frac{30}{120 \times (n-5)!}$
$\frac{1}{(n-4)(n-5)!} = \frac{1}{4 \times (n-5)!}$
हर की तुलना करने पर:
$n - 4 = 4$
$n = 8$

(C) दिया गया समीकरण: $^{n}P_{4} = 24 \times ^{n}C_{5}$
$^{n}P_{r} = \frac{n!}{(n-r)!}$ और $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ के सूत्रों का उपयोग करने पर:
$n(n-1)(n-2)(n-3) = 24 \times \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)(n-4)}{5!}$
चूंकि $n \geq 5$,हम दोनों पक्षों को $n(n-1)(n-2)(n-3)$ से विभाजित कर सकते हैं:
$1 = \frac{24 \times (n-4)}{120}$
$1 = \frac{n-4}{5}$
$5 = n - 4$
$n = 9$

(A) हमारे पास व्यंजक $E = {2^n} \{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 1) \}$ है।
इसे सरल बनाने के लिए,सम संख्याओं के गुणनफल $2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)$ से गुणा और भाग करें:
$E = \frac{{2^n} \{ 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdots (2n - 1) \} \cdot \{ 2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n) \}}{2 \cdot 4 \cdot 6 \cdots (2n)}$
$E = \frac{(2n)!}{2 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 3 \cdots 2 \cdot n}$
$E = \frac{(2n)!}{{2^n} \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots n)}$
$E = \frac{(2n)!}{{2^n} \cdot n!} \cdot {2^n} = \frac{(2n)!}{n!}$.

(C) उम्मीदवार को कुल $6$ प्रश्न इस प्रकार चुनने हैं कि प्रत्येक भाग से कम से कम $2$ प्रश्न चुने जाएं।
$6$ प्रश्न चुनने के संभावित मामले:
स्थिति $1$: भाग $A$ से $2$ प्रश्न और भाग $B$ से $4$ प्रश्न।
तरीकों की संख्या $= {^5C_2} \times {^5C_4} = 10 \times 5 = 50$.
स्थिति $2$: भाग $A$ से $3$ प्रश्न और भाग $B$ से $3$ प्रश्न।
तरीकों की संख्या $= {^5C_3} \times {^5C_3} = 10 \times 10 = 100$.
स्थिति $3$: भाग $A$ से $4$ प्रश्न और भाग $B$ से $2$ प्रश्न।
तरीकों की संख्या $= {^5C_4} \times {^5C_2} = 5 \times 10 = 50$.
कुल तरीकों की संख्या $= 50 + 100 + 50 = 200$.

(A) एक संख्या $3$ से विभाज्य होती है यदि उसके अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो। दिए गए सभी अंकों ${0, 1, 2, 3, 4, 5}$ का योग $15$ है। $5$ अंकों की संख्या बनाने के लिए,हमें एक अंक को इस प्रकार हटाना होगा कि शेष $5$ अंकों का योग $3$ से विभाज्य हो।
स्थिति $1$: $0$ को हटा दें। शेष अंक ${1, 2, 3, 4, 5}$ हैं। योग $15$ है,जो $3$ से विभाज्य है। $5$ अंकों की संख्याओं की संख्या $5! = 120$ है।
स्थिति $2$: $3$ को हटा दें। शेष अंक ${0, 1, 2, 4, 5}$ हैं। योग $12$ है,जो $3$ से विभाज्य है। $5$ अंकों की संख्याओं की संख्या $5! - 4! = 120 - 24 = 96$ है (उन स्थितियों को घटाकर जहाँ $0$ पहले स्थान पर है)।
कुल तरीके = $120 + 96 = 216$.

(B) $1$ से $1000$ तक की संख्याओं में अंक $3$ कितनी बार आता है,यह ज्ञात करने के लिए हम $000$ से $999$ तक की सभी संख्याओं पर विचार करते हैं।
प्रत्येक स्थान (इकाई,दहाई,सैकड़ा) को $10$ अंकों $(0-9)$ में से किसी से भी भरा जा सकता है।
कुल $1000$ संख्याएँ हैं,जिनमें से प्रत्येक $3$ अंकों की है,जिससे कुल $3000$ अंक लिखे जाते हैं।
चूंकि $10$ अंकों में से प्रत्येक समान संख्या में आता है,इसलिए प्रत्येक अंक की आवृत्ति $\frac{3000}{10} = 300$ है।
अतः,अंक $3$ कुल $300$ बार आता है।

(C) मान लीजिए कि बक्से $A, B, C$ हैं। हमें यह सुनिश्चित करना है कि कोई भी बक्सा खाली न रहे और सभी पाँच गेंदें रखी जाएं।
$5$ गेंदों को $3$ बक्सों में इस प्रकार बांटने की दो संभावनाएं हैं कि कोई भी बक्सा खाली न रहे:
$(i)$ दो बक्सों में $1-1$ गेंद और तीसरे बक्से में $3$ गेंदें हों।
गेंदों को चुनने के तरीके $^5C_1 \times ^4C_1 \times ^3C_3 = 5 \times 4 \times 1 = 20$ हैं।
चूंकि $3$ गेंदों वाला बक्सा $3$ बक्सों में से कोई भी हो सकता है,इसलिए इस मामले के लिए कुल तरीके $20 \times 3 = 60$ हैं।
$(ii)$ दो बक्सों में $2-2$ गेंदें और तीसरे बक्से में $1$ गेंद हो।
गेंदों को चुनने के तरीके $^5C_2 \times ^3C_2 \times ^1C_1 = 10 \times 3 \times 1 = 30$ हैं।
चूंकि $1$ गेंद वाला बक्सा $3$ बक्सों में से कोई भी हो सकता है,इसलिए इस मामले के लिए कुल तरीके $30 \times 3 = 90$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $60 + 90 = 150$ है।

(C) $1$ से $1000$ तक की पूर्णांक संख्याओं में अंक $5$ कितनी बार आता है,यह ज्ञात करने के लिए हम $000$ से $999$ तक की संख्याओं पर विचार करते हैं।
प्रत्येक स्थान (इकाई,दहाई,सैकड़ा) $10$ संभावित अंक $(0-9)$ ले सकता है।
$1000$ संख्याओं में,प्रत्येक स्थान पर अंक $5$ कुल $1000/10 = 100$ बार आता है।
चूंकि $3$ स्थान हैं,इसलिए अंक $5$ कुल $3 \times 100 = 300$ बार आता है।
चूंकि $1000$ में $5$ नहीं आता है,इसलिए कुल संख्या $300$ ही रहेगी।

(D) $(n + 1)$ सफेद गेंदों और $(n + 1)$ काली गेंदों को इस प्रकार व्यवस्थित करने के लिए कि कोई भी दो आसन्न गेंदें एक ही रंग की न हों,गेंदों के रंग एकांतर (alternate) होने चाहिए।
स्थिति $1$: व्यवस्था सफेद गेंद से शुरू होती है।
क्रम $W, B, W, B, \dots, W, B$ होना चाहिए।
$(n + 1)$ सफेद गेंदों को $(n + 1)!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है,और $(n + 1)$ काली गेंदों को $(n + 1)!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
इस स्थिति के लिए कुल तरीके $= (n + 1)! \times (n + 1)! = \{(n + 1)!\}^2$.
स्थिति $2$: व्यवस्था काली गेंद से शुरू होती है।
क्रम $B, W, B, W, \dots, B, W$ होना चाहिए।
इसी प्रकार,इस स्थिति के लिए कुल तरीके $= (n + 1)! \times (n + 1)! = \{(n + 1)!\}^2$.
चूंकि ये दोनों स्थितियाँ परस्पर अनन्य (mutually exclusive) हैं,इसलिए व्यवस्थाओं की कुल संख्या $= \{(n + 1)!\}^2 + \{(n + 1)!\}^2 = 2 \{(n + 1)!\}^2$ है।

(C) $PROPORTION$ शब्द में $10$ अक्षर हैं: $P:2, R:2, O:3, T:2, I:1, N:1$। कुल $6$ प्रकार के अक्षर हैं। $4$ अक्षरों की व्यवस्था के लिए विभिन्न स्थितियों पर विचार करने पर,कुल व्यवस्थाएं $758$ प्राप्त होती हैं।

(B) हमारे पास $30 = 2^1 \times 3^1 \times 5^1$ है।
$abc = 30$ के लिए धनात्मक पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम अभाज्य गुणनखंडों $2, 3,$ और $5$ को चरों $a, b,$ और $c$ में वितरित करते हैं।
प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड को $3$ चरों में से किसी को भी $3$ तरीकों से सौंपा जा सकता है।
चूंकि $3$ अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड हैं,इसलिए कुल हलों की संख्या $3 \times 3 \times 3 = 27$ होगी।

(A) हम जानते हैं कि $n \geq 5$ के लिए $n!$ का इकाई अंक $0$ होता है। चूँकि $183 \geq 5$ है,इसलिए $183!$ का इकाई अंक $0$ है।
अब,$3^{183}$ का इकाई अंक ज्ञात करते हैं। $3$ की घातें $4$ के चक्र में दोहराती हैं: $3^1 = 3, 3^2 = 9, 3^3 = 27, 3^4 = 81$। इकाई अंक $3, 9, 7, 1$ हैं।
घात $183$ को $4$ से विभाजित करने पर: $183 = 4 \times 45 + 3$।
अतः,$3^{183}$ का इकाई अंक $3^3$ के इकाई अंक के समान यानी $7$ है।
इस प्रकार,$(183!) + (3^{183})$ का इकाई अंक $0 + 7 = 7$ है।

(B) $n$ के उन मानों को निर्धारित करने के लिए जिनके लिए $2^n(n - 1)! < n^n$ सत्य है,हम $n \in \mathbb{N}$ के छोटे मानों की जाँच करते हैं:
$n = 1$ के लिए: $2^1(0)! = 2(1) = 2$ और $1^1 = 1$। चूँकि $2 \not< 1$,शर्त असत्य है।
$n = 2$ के लिए: $2^2(1)! = 4(1) = 4$ और $2^2 = 4$। चूँकि $4 \not< 4$,शर्त असत्य है।
$n = 3$ के लिए: $2^3(2)! = 8(2) = 16$ और $3^3 = 27$। चूँकि $16 < 27$,शर्त सत्य है।
$n = 4$ के लिए: $2^4(3)! = 16(6) = 96$ और $4^4 = 256$। चूँकि $96 < 256$,शर्त सत्य है।
अतः,असमिका $n > 2$ के लिए सत्य है।

(D) हम प्राकृत संख्याओं $n \geq 1$ के लिए असमिका $(n!)^2 > n^n$ की जाँच करते हैं:
$n=1$ के लिए: $(1!)^2 = 1$ और $1^1 = 1$। चूँकि $1 > 1$ असत्य है,असमिका सत्य नहीं है।
$n=2$ के लिए: $(2!)^2 = 4$ और $2^2 = 4$। चूँकि $4 > 4$ असत्य है,असमिका सत्य नहीं है।
$n=3$ के लिए: $(3!)^2 = 36$ और $3^3 = 27$। चूँकि $36 > 27$ सत्य है,असमिका सत्य है।
$n=4$ के लिए: $(4!)^2 = 576$ और $4^4 = 256$। चूँकि $576 > 256$ सत्य है,असमिका सत्य है।
अतः,असमिका $(n!)^2 > n^n$ सभी $n \geq 3$ के लिए सत्य है।

(A) $20$ जूतों में से $4$ जूते चुनने के कुल तरीके $\binom{20}{4} = 4845$ हैं।
कोई भी जोड़ी न चुने जाने के तरीके:
पहले $10$ जोड़ियों में से $4$ जोड़ियाँ चुनें: $\binom{10}{4}$ तरीके।
फिर,इन $4$ जोड़ियों में से प्रत्येक से $1$ जूता चुनें: $2^4$ तरीके।
कुल तरीके $= \binom{10}{4} \times 2^4 = 210 \times 16 = 3360$।
कोई भी जोड़ी न मिलने की प्रायिकता $= \frac{3360}{4845} = \frac{224}{323}$।
कम से कम एक जोड़ी मिलने की प्रायिकता $= 1 - \frac{224}{323} = \frac{99}{323}$।

(B) $ASSASSIN$ शब्द में $8$ अक्षर हैं: $A(2), S(4), I(1), N(1)$.
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $ = \frac{8!}{2!4!1!1!} = 840$.
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो $S$ एक साथ न आएं,हम पहले शेष अक्षरों $A, A, I, N$ को व्यवस्थित करते हैं। इन $4$ अक्षरों को व्यवस्थित करने के तरीके $\frac{4!}{2!} = 12$ हैं।
ये $4$ अक्षर $5$ रिक्त स्थान बनाते हैं: $\_ L_1 \_ L_2 \_ L_3 \_ L_4 \_$.
हमें इन $5$ स्थानों में से $4$ स्थानों में $S$ को रखना है। $5$ में से $4$ स्थानों को चुनने के तरीके $\binom{5}{4} = 5$ हैं।
अनुकूल व्यवस्था $ = 12 \times 5 = 60$.
आवश्यक प्रायिकता $ = \frac{60}{840} = \frac{1}{14}$.

(C) $UNIVERSITY$ शब्द में $10$ अक्षर हैं,जिसमें $I$ दो बार आता है।
कुल व्यवस्थाओं की संख्या $ = \frac{10!}{2!}$.
दोनों $I$ के एक साथ आने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए,हम दोनों $I$ को एक इकाई $(II)$ के रूप में मानते हैं।
अब,हमारे पास व्यवस्थित करने के लिए $9$ इकाइयाँ हैं: $(U, N, V, E, R, S, T, Y, (II))$.
$I$ के एक साथ आने के तरीकों की संख्या $ = 9!$.
$I$ के एक साथ आने की प्रायिकता $ = \frac{9!}{\frac{10!}{2!}} = \frac{9! \times 2!}{10!} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.
अतः,दोनों $I$ के एक साथ न आने की प्रायिकता $ = 1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$.

(A) $25$ पुस्तकों को व्यवस्थित करने के कुल तरीके $25!$ हैं।
$25$ स्थानों में से,हम गणित के $5$ खंडों के लिए $5$ स्थानों को ${}^{25}C_5$ तरीकों से चुन सकते हैं।
एक बार ये $5$ स्थान चुन लिए जाने के बाद,गणित के $5$ खंडों को बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करने का केवल $1$ तरीका है।
शेष $20$ पुस्तकों को शेष $20$ स्थानों में $20!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,अनुकूल व्यवस्थाओं की संख्या ${}^{25}C_5 \times 1 \times 20! = \frac{25!}{5! \times 20!} \times 20! = \frac{25!}{5!}$ है।
प्रायिकता $\frac{\text{अनुकूल तरीके}}{\text{कुल तरीके}} = \frac{25! / 5!}{25!} = \frac{1}{5!}$ है।

(A) उपलब्ध अंकों का समुच्चय $S = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8\}$ है। कुल अंकों की संख्या $n = 7$ है।
इन $7$ अंकों का उपयोग करके बनाई जा सकने वाली $5$ अंकों की कुल संख्याएँ $^7P_5 = 2520$ हैं।
$5$ अंकों की संख्या के दोनों सिरों पर सम अंक होने के लिए,सम अंक $\{2, 4, 6, 8\}$ हैं। कुल $4$ सम अंक हैं।
पहले और अंतिम स्थान को सम अंकों से भरने के तरीके $^4P_2 = 4 \times 3 = 12$ हैं।
शेष $3$ स्थानों को शेष $5$ अंकों द्वारा $^5P_3 = 60$ तरीकों से भरा जा सकता है।
अतः,अनुकूल परिणामों की संख्या $12 \times 60 = 720$ है।
प्रायिकता $\frac{720}{2520} = \frac{2}{7}$ है।

(A) $10$ छात्रों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के कुल तरीके $10!$ हैं।
दो विशेष छात्रों के एक साथ बैठने की प्रायिकता ज्ञात करने के लिए,हम उन्हें एक इकाई के रूप में मानते हैं।
यहाँ $9$ इकाइयाँ हैं (जोड़ा + $8$ अन्य छात्र),जिन्हें $9!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
जोड़े के भीतर के दो छात्रों को $2! = 2$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,उनके एक साथ बैठने के तरीकों की संख्या $2 \times 9!$ है।
उनके एक साथ बैठने की प्रायिकता $\frac{2 \times 9!}{10!} = \frac{2 \times 9!}{10 \times 9!} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$ है।
अतः,उनके एक-दूसरे के बगल में न बैठने की प्रायिकता $1 - \frac{1}{5} = \frac{4}{5}$ है।

(B) $n \geq 10$ के लिए,$n!$ के अंतिम दो अंक $00$ होते हैं (क्योंकि $10! = 3628800$),इसलिए $n \geq 10$ के लिए दहाई का अंक $0$ होता है।
अतः,$1! + 4! + 7! + 10! + 12! + 13! + 16! + 17!$ के योग का दहाई का अंक $1! + 4! + 7!$ के योग के दहाई के अंक के समान होगा।
योग की गणना करने पर: $1! = 1$,$4! = 24$,$7! = 5040$.
$1 + 24 + 5040 = 5065$.
दहाई का अंक $6$ है।
चूंकि $6$,$3$ से विभाज्य है,इसलिए सही विकल्प $B$ है।

(A) हमारे पास व्यंजक $2^n \{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1)\}$ है।
$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$ से गुणा और भाग करने पर:
$= \frac{2^n \cdot 1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1) \cdot (1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n)}{n!}$
$= \frac{1 \cdot 3 \cdot 5 \cdot \dots \cdot (2n - 1) \cdot (2 \cdot 4 \cdot 6 \cdot \dots \cdot 2n)}{n!}$
$= \frac{1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 \cdot \dots \cdot (2n - 1) \cdot (2n)}{n!}$
$= \frac{(2n)!}{n!}$.

(A) एक या अधिक गेंदों को चुनने के तरीकों की संख्या $(n_1 + 1)(n_2 + 1)(n_3 + 1) - 1$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n_1, n_2, n_3$ प्रत्येक रंग की गेंदों की संख्या है।
यहाँ,$n_1 = 10, n_2 = 9, n_3 = 7$ है।
अतः,तरीकों की संख्या $= (10 + 1)(9 + 1)(7 + 1) - 1$ है।
$= (11)(10)(8) - 1$ है।
$= 880 - 1 = 879$ है।

(C) सबसे पहले,$5$ व्यंजनों में से $3$ और $4$ स्वरों में से $2$ का चयन करें:
$^5C_3 \times ^4C_2 = 10 \times 6 = 60$.
इन $5$ चयनित अक्षरों को $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है:
$5! = 120$.
अतः,कुल शब्दों की संख्या $= 60 \times 120 = 7200$.

(C) $p \geq 5$ के लिए,$p!$ का इकाई अंक $0$ होता है क्योंकि इसमें $2$ और $5$ गुणनखंड होते हैं।
प्रथम योग पर विचार करें: $S_1 = \sum\limits_{1 < p < 100} {p!} = 2! + 3! + 4! + \sum\limits_{5 \leq p < 100} {p!} = 2 + 6 + 24 + 0 = 32$.
$S_1$ का इकाई अंक $2$ है।
द्वितीय योग पर विचार करें: $S_2 = \sum\limits_{n = 1}^{50} {(2n)!} = 2! + 4! + \sum\limits_{n = 3}^{50} {(2n)!}$.
चूंकि $n \geq 3$ के लिए $(2n)!$ में $6! = 720$ शामिल है,जिसका इकाई अंक $0$ है,इसलिए $n \geq 3$ के सभी पदों का इकाई अंक $0$ होगा।
$S_2 = 2 + 24 + 0 = 26$.
$S_2$ का इकाई अंक $6$ है।
$S_1 - S_2$ का इकाई अंक $32 - 26 = 6$ होगा।

(D) प्रत्येक प्रश्न के $4$ विकल्प हैं और केवल $1$ सही उत्तर है।
$3$ प्रश्नों के उत्तर देने के कुल तरीके $= 4 \times 4 \times 4 = 64$ हैं।
सभी प्रश्नों के सही उत्तर देने का केवल $1$ तरीका है।
इसलिए,अनुत्तीर्ण होने के तरीकों की संख्या कुल तरीकों में से उत्तीर्ण होने के तरीके को घटाने पर प्राप्त होती है।
अनुत्तीर्ण होने के तरीकों की संख्या $= 64 - 1 = 63$।

(C) Rs. $100$ के $4$ नोट हैं। चूंकि प्रत्येक $3$ बच्चे को Rs. $100$ का कम से कम एक नोट मिलना चाहिए,इसलिए पहले $3$ बच्चों को $3$ नोट वितरित करते हैं,जो $1$ तरीके से किया जा सकता है।
अब,Rs. $100$ का $1$ नोट और अन्य $5$ अलग नोट शेष हैं।
कुल $6$ नोट वितरित करने हैं।
प्रत्येक नोट को $3$ बच्चों में से किसी को भी दिया जा सकता है,इसलिए प्रत्येक नोट के लिए $3$ विकल्प हैं।
वितरण के कुल तरीके = $3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 3^6$.

(C) हम जानते हैं कि $7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 14 \times 360 = 14k$.
अतः,$7!$ संख्या $14$ से विभाज्य है।
किसी भी $n \geq 7$ के लिए,$n! = 7! \times 8 \times 9 \times \dots \times n$ भी $14$ से विभाज्य होगा।
इसलिए,$(1! + 2! + 3! + \dots + 200!)$ को $14$ से विभाजित करने पर प्राप्त शेषफल वही होगा जो $(1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6!)$ को $14$ से विभाजित करने पर प्राप्त होता है।
योग करने पर: $1! + 2! + 3! + 4! + 5! + 6! = 1 + 2 + 6 + 24 + 120 + 720 = 873$.
$873$ को $14$ से विभाजित करने पर: $873 = 14 \times 62 + 5$.
अतः,शेषफल $5$ है।

(C) $5$ गेंदें $3$ छोटे बक्सों में नहीं आ सकतीं।
शेष $6$ बक्सों में से $5$ का चयन करके इन गेंदों को $^6P_5$ तरीकों से रखा जा सकता है।
अब,$6$ में से बचा हुआ $1$ बक्सा और छोटे $3$ बक्से,कुल $4$ बक्सों में बची हुई $4$ गेंदों को $4!$ तरीकों से रखा जा सकता है।
सभी गेंदों को रखने के कुल प्रकार = $^6P_5 \times 4! = 720 \times 24 = 17280$.