Definition of combinations, Condition combinations Questions in Hindi

(B) मान लीजिए कमरे में कुल व्यक्तियों की संख्या $n$ है।
हाथ मिलाने की कुल संख्या संचय सूत्र ${}^{n}C_{2}$ द्वारा दी जाती है,क्योंकि एक हाथ मिलाना $2$ लोगों के बीच होता है।
दिया गया है,${}^{n}C_{2} = 45$.
सूत्र ${}^{n}C_{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{n(n-1)}{2} = 45$
$n(n-1) = 90$
$n^2 - n - 90 = 0$
$(n - 10)(n + 9) = 0$
चूंकि व्यक्तियों की संख्या ऋणात्मक नहीं हो सकती,इसलिए $n = 10$.

(C) अंकों का समूह $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ है।
विषम अंक $\{1, 3, 5, 7\}$ (कुल $4$) हैं और सम अंक $\{2, 4, 6\}$ (कुल $3$) हैं।
हमें $4$ में से $2$ विषम अंक और $3$ में से $2$ सम अंक चुनने हैं।
अंकों को चुनने के तरीके $= {}^{4}C_{2} \times {}^{3}C_{2} = 6 \times 3 = 18$।
इन $4$ चयनित अंकों को $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$4$ अंकों की कुल संख्याएँ $= 18 \times 4! = 18 \times 24 = 432$।

(A) हम पास्कल के सर्वसमिका का उपयोग करते हैं: ${ }^{n} C_{r}+{ }^{n} C_{r+1}={ }^{n+1} C_{r+1}$.
दिया गया व्यंजक: ${ }^{49} C_3+{ }^{48} C_3+{ }^{47} C_3+{ }^{46} C_3+{ }^{45} C_3+{ }^{45} C_4$.
चरण $1$: ${ }^{45} C_3+{ }^{45} C_4 = { }^{46} C_4$ को संयोजित करने पर।
चरण $2$: ${ }^{46} C_3+{ }^{46} C_4 = { }^{47} C_4$ को संयोजित करने पर।
चरण $3$: ${ }^{47} C_3+{ }^{47} C_4 = { }^{48} C_4$ को संयोजित करने पर।
चरण $4$: ${ }^{48} C_3+{ }^{48} C_4 = { }^{49} C_4$ को संयोजित करने पर।
चरण $5$: ${ }^{49} C_3+{ }^{49} C_4 = { }^{50} C_4$ को संयोजित करने पर।
अतः,अंतिम मान ${ }^{50} C_4$ है।

(D) दिया गया है कि ${ }^{n} C_{12}={ }^{n} C_{8}$ है।
हम जानते हैं कि संचय के गुणधर्म के अनुसार ${ }^{n} C_{r}={ }^{n} C_{k}$ का अर्थ है कि या तो $r=k$ या $n=r+k$ होगा।
यहाँ,$r=12$ और $k=8$ है।
चूंकि $12 \neq 8$,इसलिए $n=12+8$ होगा।
अतः,$n=20$ प्राप्त होता है।

(A) हम संचय के गुणधर्म का उपयोग करते हैं: ${ }^{n} C_{r} = { }^{n} C_{n-r}$।
इस गुणधर्म को ${ }^{16} C_{6}$ और ${ }^{16} C_{7}$ पदों पर लागू करने पर:
${ }^{16} C_{6} = { }^{16} C_{16-6} = { }^{16} C_{10}$
${ }^{16} C_{7} = { }^{16} C_{16-7} = { }^{16} C_{9}$
इन मानों को मूल व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर:
${ }^{16} C_{9} + { }^{16} C_{10} - { }^{16} C_{6} - { }^{16} C_{7} = { }^{16} C_{9} + { }^{16} C_{10} - { }^{16} C_{10} - { }^{16} C_{9}$
$= ({ }^{16} C_{9} - { }^{16} C_{9}) + ({ }^{16} C_{10} - { }^{16} C_{10}) = 0 + 0 = 0$।

(D) चरण $1$: $9$ उपलब्ध अंकों में से $2$ भिन्न अंकों का चयन करें। यह $^9C_2 = 36$ तरीकों से किया जा सकता है।
चरण $2$: प्रत्येक चयनित जोड़ी के लिए,हमें $4$ अंकों की संख्या बनानी है जिसमें दोनों अंकों का कम से कम एक बार उपयोग हो।
चरण $3$: $2$ चयनित अंकों का उपयोग करके $4$ स्थानों को भरने के कुल तरीके $2^4 = 16$ हैं।
चरण $4$: हमें उन स्थितियों को बाहर करना होगा जहाँ केवल एक अंक का उपयोग किया गया हो (अर्थात सभी $4$ अंक समान हों)। ऐसी $2$ स्थितियाँ हैं।
चरण $5$: प्रत्येक जोड़ी के लिए मान्य $4$ अंकों की संख्याएँ $(2^4 - 2) = 14$ हैं।
चरण $6$: कुल संख्याएँ = $36 \times 14 = 504$।

(B) दिया गया है कि व्यक्ति के पास अलग-अलग मूल्यवर्ग के $3$ सिक्के हैं।
राशि बनाने के लिए,व्यक्ति $1, 2,$ या $3$ सिक्के चुन सकता है।
$3$ में से $1$ सिक्का चुनने के तरीके ${}^3C_1 = 3$ हैं।
$3$ में से $2$ सिक्के चुनने के तरीके ${}^3C_2 = 3$ हैं।
$3$ में से $3$ सिक्के चुनने के तरीके ${}^3C_3 = 1$ हैं।
चूंकि सिक्कों का प्रत्येक संयोजन एक अद्वितीय राशि बनाता है (क्योंकि मूल्यवर्ग अलग हैं),इसलिए विभिन्न राशियों की कुल संख्या ${}^3C_1 + {}^3C_2 + {}^3C_3 = 3 + 3 + 1 = 7$ है।

(C) हमें व्यंजक $\frac{{}^{n+1}C_{r+1}}{{}^{n+1}C_r} = \frac{n-r+1}{m}$ दिया गया है।
सूत्र ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{{}^{n+1}C_{r+1}}{{}^{n+1}C_r} = \frac{\frac{(n+1)!}{(r+1)!(n-r)!}}{\frac{(n+1)!}{r!(n-r+1)!}} = \frac{r!(n-r+1)!}{(r+1)!(n-r)!}$.
क्रमगुणित (factorial) को सरल करने पर:
$= \frac{r! \times (n-r+1) \times (n-r)!}{(r+1) \times r! \times (n-r)!} = \frac{n-r+1}{r+1}$.
दिए गए व्यंजक $\frac{n-r+1}{m}$ के साथ तुलना करने पर,हमें $m = r+1$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(B) यह व्यंजक चार क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल है: $(n+16)(n+17)(n+18)(n+19)$.
माना $k = n+16$. तब व्यंजक $k(k+1)(k+2)(k+3)$ हो जाता है।
यह $4! \times \binom{k+3}{4}$ के बराबर है।
चूंकि किसी भी धनात्मक पूर्णांक $k$ के लिए $\binom{k+3}{4}$ हमेशा एक पूर्णांक होता है,इसलिए किन्हीं $r$ क्रमागत पूर्णांकों का गुणनफल हमेशा $r!$ से विभाज्य होता है।
यहाँ,$r = 4$,इसलिए व्यंजक $4! = 24$ से विभाज्य है।
अतः,वह सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक जो सभी $n$ के लिए गुणनफल को विभाजित करता है,$24$ है।

(C) हमारे पास $4$ विवाहित जोड़े हैं,जिसका अर्थ है $4$ पुरुष और $4$ महिलाएँ। हमें $4$ व्यक्तियों का चयन इस प्रकार करना है कि कोई भी विवाहित जोड़ा शामिल न हो।
सबसे पहले,हम $4$ उपलब्ध जोड़ों में से $4$ जोड़ों का चयन करते हैं,जिसे $\binom{4}{4} = 1$ तरीके से किया जा सकता है।
इन $4$ चयनित जोड़ों में से,हमें प्रत्येक जोड़े से $1$ व्यक्ति का चयन इस प्रकार करना है कि हमारे पास कुल $4$ व्यक्ति हों। चूँकि प्रत्येक जोड़े में $2$ विकल्प होते हैं (पति या पत्नी),$4$ व्यक्तियों को चुनने के तरीकों की संख्या $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 = 16$ है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $16$ है।

(D) चरण $1$: $6$ उपन्यासों में से $4$ उपन्यास ${}^6C_4$ तरीकों से चुने जा सकते हैं।
${}^6C_4 = 15$ तरीके।
चरण $2$: $3$ कविता की पुस्तकों में से $1$ पुस्तक ${}^3C_1$ तरीकों से चुनी जा सकती है।
${}^3C_1 = 3$ तरीके।
चरण $3$: $4$ चुने गए उपन्यासों और $1$ कविता की पुस्तक को इस प्रकार व्यवस्थित करें कि कविता की पुस्तक बीच में रहे। $4$ उपन्यासों को $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$4! = 24$ तरीके।
चरण $4$: कुल व्यवस्थाएं $= 15 \times 3 \times 24 = 1080$।

(A) $8$ पेन में से $4$ पेन चुनने के तरीकों की संख्या ${ }^8 C_4 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ है।
$5$ पेंसिल में से $3$ पेंसिल चुनने के तरीकों की संख्या ${ }^5 C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ है।
कुल तरीकों की संख्या $= { }^8 C_4 \times { }^5 C_3 = 70 \times 10 = 700$।

(C) समुच्चय $S = \{1, 2, 3, \dots, 50\}$ से ऐसा क्रमित युग्म $(p, q)$ बनाने के लिए कि $p > q$ हो,हमें $50$ उपलब्ध संख्याओं में से $2$ अलग-अलग संख्याएँ चुननी होंगी।
मान लीजिए चुनी गई संख्याएँ $x$ और $y$ हैं जहाँ $x < y$ है।
ऐसे किसी भी युग्म के लिए,उन्हें $p$ और $q$ को इस प्रकार निर्दिष्ट करने का केवल एक ही तरीका है कि $p > q$ हो,जो $p = y$ और $q = x$ है।
$50$ में से $2$ अलग-अलग संख्याएँ चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र $\binom{n}{r}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 50$ और $r = 2$ है।
तरीकों की संख्या = $\binom{50}{2} = \frac{50 \times 49}{2 \times 1} = 25 \times 49 = 1225$.

(C) हमें ऐसे पूर्णांक $n$ ज्ञात करने हैं जहाँ $10 < n < 10,000$ हो और अंक सख्ती से बढ़ते क्रम में हों।
इसका अर्थ है कि हमें $2, 3,$ या $4$ अंकों वाली संख्याएँ देखनी हैं।
समुच्चय $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ से चुने गए $k$ अलग-अलग अंकों के लिए,उन्हें बढ़ते क्रम में व्यवस्थित करने का केवल एक ही तरीका है।
ध्यान दें कि $0$ को शामिल नहीं किया जा सकता क्योंकि यदि $0$ मौजूद है,तो उसे पहला अंक होना होगा,जो संभव नहीं है।
$1$. $2$-अंकीय संख्याएँ: $9$ अंकों में से $2$ अंक चुनने के तरीके: $\binom{9}{2} = 36$.
$2$. $3$-अंकीय संख्याएँ: $9$ अंकों में से $3$ अंक चुनने के तरीके: $\binom{9}{3} = 84$.
$3$. $4$-अंकीय संख्याएँ: $9$ अंकों में से $4$ अंक चुनने के तरीके: $\binom{9}{4} = 126$.
कुल संख्या $= 36 + 84 + 126 = 246$.

(D) हमें $6$ बल्लेबाज,$6$ गेंदबाज,$4$ ऑल-राउंडर और $4$ विकेट कीपर में से $11$ सदस्यों का चयन करना है।
शर्तें: $B \ge 4, Bo \ge 3, A \ge 2, W = 1$.
कुल चयनित सदस्य = $11$.
मान लीजिए $b, bo, a, w$ प्रत्येक श्रेणी से चुने गए खिलाड़ियों की संख्या है।
$w = 1$,इसलिए $b + bo + a = 10$.
संभावित स्थितियाँ $(b, bo, a)$ जहाँ $b \ge 4, bo \ge 3, a \ge 2$:
स्थिति $1$: $(5, 3, 2) \implies \binom{6}{5} \times \binom{6}{3} \times \binom{4}{2} \times \binom{4}{1} = 6 \times 20 \times 6 \times 4 = 2880$.
स्थिति $2$: $(4, 4, 2) \implies \binom{6}{4} \times \binom{6}{4} \times \binom{4}{2} \times \binom{4}{1} = 15 \times 15 \times 6 \times 4 = 5400$.
स्थिति $3$: $(4, 3, 3) \implies \binom{6}{4} \times \binom{6}{3} \times \binom{4}{3} \times \binom{4}{1} = 15 \times 20 \times 4 \times 4 = 4800$.
कुल तरीके = $2880 + 5400 + 4800 = 13080$.

(D) सर्वसमिका ${ }^n C_r + { }^n C_{r-1} = { }^{n+1} C_r$ का उपयोग करने पर,हमें ${ }^{(n-1)} C_2 + { }^{(n-1)} C_3 = { }^n C_3$ प्राप्त होता है।
दी गई असमिका ${ }^n C_3 > { }^n C_2$ है।
क्रमचय-संचय के विस्तार से: $\frac{n!}{3!(n-3)!} > \frac{n!}{2!(n-2)!}$.
सरल करने पर: $\frac{1}{3} > \frac{1}{n-2}$.
$n-2 > 3 \Rightarrow n > 5$.
अतः,$n$ का न्यूनतम मान $6$ है।

(B) दिया गया अनुपात: $\frac{^{2n}C_4}{^nC_3} = \frac{99}{4}$
सूत्र $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{\frac{(2n)!}{4!(2n-4)!}}{\frac{n!}{3!(n-3)!}} = \frac{99}{4}$
$\frac{(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{3 \times 2 \times 1}{n(n-1)(n-2)} = \frac{99}{4}$
$\frac{(2n)(2n-1) \times 2(n-1)(2n-3)}{4 \times n(n-1)(n-2)} = \frac{99}{4}$
$\frac{2(2n-1)(2n-3)}{n-2} = 99$
$4(4n^2 - 6n - 2n + 3) = 99(n-2)$
$16n^2 - 32n + 12 = 99n - 198$
$16n^2 - 131n + 210 = 0$
$(n-6)(16n-35) = 0$
चूंकि $n$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n = 6$।

(D) हमें दिया गया है: ${}^nC_{r-1}=36$,${}^nC_r=84$ और ${}^nC_{r+1}=126$।
अनुपात $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{84}{36} = \frac{7}{3}$ लेने पर।
सूत्र $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर,$\frac{n-r+1}{r} = \frac{7}{3}$ $\Rightarrow 3n-3r+3 = 7r$ $\Rightarrow 3n+3 = 10r$ (समीकरण $i$)।
अनुपात $\frac{{}^nC_{r+1}}{{}^nC_r} = \frac{126}{84} = \frac{3}{2}$ लेने पर।
सूत्र $\frac{{}^nC_{r+1}}{{}^nC_r} = \frac{n-r}{r+1}$ का उपयोग करने पर,$\frac{n-r}{r+1} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow 2n-2r = 3r+3$ $\Rightarrow 2n-3 = 5r$ (समीकरण $ii$)।
समीकरण $ii$ से,$r = \frac{2n-3}{5}$। इस मान को समीकरण $i$ में रखने पर:
$3n+3 = 10 \left( \frac{2n-3}{5} \right)$ $\Rightarrow 3n+3 = 2(2n-3)$ $\Rightarrow 3n+3 = 4n-6$ $\Rightarrow n = 9$।
$n=9$ को समीकरण $ii$ में रखने पर: $2(9)-3 = 5r$ $\Rightarrow 15 = 5r$ $\Rightarrow r = 3$।
अतः,$nr^2 = 9 \times (3)^2 = 9 \times 9 = 81$।

(D) दो स्वरों का चयन $\Rightarrow {}^{5}C_{2} = 10$.
दो व्यंजनों का चयन $\Rightarrow {}^{21}C_{2} = 210$.
चार अक्षरों का कुल चयन $= 10 \times 210 = 2100$.
इन चार अलग-अलग अक्षरों की व्यवस्था $= 4!$.
$\therefore$ कुल शब्द $= 2100 \times 4!$.

(B) हम जानते हैं कि क्रमचय और संचय के बीच का संबंध इस प्रकार है:
${}^{n}P_r = {}^{n}C_r \times r!$
दिए गए मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$604800 = 120 \times r!$
$r! = \frac{604800}{120}$
$r! = 5040$
चूंकि $7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$,इसलिए:
$r! = 7!$
अतः,$r = 7$.

(A) खंड $1$ में $3$ प्रश्न हैं। इस खंड से एक या अधिक प्रश्नों का चयन करने के तरीकों की संख्या $2^3 - 1 = 7$ है।
खंड $2$ में $4$ प्रश्न हैं। इस खंड से एक या अधिक प्रश्नों का चयन करने के तरीकों की संख्या $2^4 - 1 = 15$ है।
चूंकि उम्मीदवार को प्रत्येक खंड से कम से कम एक प्रश्न का चयन करना है,इसलिए कुल तरीकों की संख्या प्रत्येक खंड से चयन करने के तरीकों का गुणनफल है।
कुल तरीके $= 7 \times 15 = 105$।

(B) समुच्चय में कुल अवयवों की संख्या $n = 11$ है।
अधिकतम $5$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की संख्या ज्ञात करने के लिए,हम $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ के लिए $k$ अवयवों को चुनने के तरीकों का योग करेंगे।
यह योग ${ }^{11}C_0 + { }^{11}C_1 + { }^{11}C_2 + { }^{11}C_3 + { }^{11}C_4 + { }^{11}C_5$ द्वारा प्राप्त होता है।

(C) दी गई असमिका: ${ }^5 C_{x-1} > 2 \cdot { }^5 C_x$
संचय को परिभाषित करने के लिए,$0 \le x-1 \le 5$ और $0 \le x \le 5$ होना चाहिए। अतः,$x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$।
सूत्र ${ }^n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{{ }^5 C_{x-1}}{{ }^5 C_x} > 2$
$\frac{5!}{(x-1)!(5-(x-1))!} \cdot \frac{x!(5-x)!}{5!} > 2$
$\frac{x!(5-x)!}{(x-1)!(6-x)!} > 2$
$\frac{x(x-1)!(5-x)!}{(x-1)!(6-x)(5-x)!} > 2$
$\frac{x}{6-x} > 2$
$\frac{x}{6-x} - 2 > 0$
$\frac{x - 2(6-x)}{6-x} > 0$
$\frac{x - 12 + 2x}{6-x} > 0$
$\frac{3x - 12}{6-x} > 0$
$\frac{3(x-4)}{-(x-6)} > 0$
$\frac{x-4}{x-6} < 0$
यह असमिका $4 < x < 6$ के लिए सत्य है।
चूंकि $x$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए एकमात्र संभव मान $x = 5$ है।
अतः,हल समुच्चय $\{5\}$ है।

(B) छात्र को $13$ में से $10$ प्रश्न चुनने हैं। पहले $5$ प्रश्न एक समूह में हैं और शेष $8$ प्रश्न दूसरे समूह में हैं। छात्र को पहले $5$ प्रश्नों में से कम से कम $3$ चुनने हैं।
स्थिति $1$: पहले $5$ में से $3$ और शेष $8$ में से $7$ चुनें।
तरीकों की संख्या $= {}^{5}C_{3} \times {}^{8}C_{7} = 10 \times 8 = 80$.
स्थिति $2$: पहले $5$ में से $4$ और शेष $8$ में से $6$ चुनें।
तरीकों की संख्या $= {}^{5}C_{4} \times {}^{8}C_{6} = 5 \times 28 = 140$.
स्थिति $3$: पहले $5$ में से $5$ और शेष $8$ में से $5$ चुनें।
तरीकों की संख्या $= {}^{5}C_{5} \times {}^{8}C_{5} = 1 \times 56 = 56$.
कुल तरीकों की संख्या $= 80 + 140 + 56 = 276$.

(B) हम जानते हैं कि $k \times k! = (k+1-1) \times k! = (k+1)! - k!$ होता है।
$k=1$ से $n$ तक योग करने पर:
$\sum_{k=1}^{n} k \times k! = \sum_{k=1}^{n} ((k+1)! - k!) = (2! - 1!) + (3! - 2!) + \ldots + ((n+1)! - n!) = (n+1)! - 1!$।
दिया गया है कि योग $11! - 1$ है,इसलिए $(n+1)! - 1 = 11! - 1$,जिसका अर्थ है कि $n+1 = 11$,अर्थात $n = 10$।
${}^n C_r$ का अधिकतम मान $r = n/2$ पर प्राप्त होता है जब $n$ सम संख्या हो।
$n = 10$ के लिए,अधिकतम मान ${}^{10} C_5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$ है।

(A) दो बच्चों के बीच एक मैच $30$ बच्चों में से $2$ बच्चों की जोड़ी चुनने के बराबर है।
चूंकि मैच में चयन का क्रम मायने नहीं रखता,इसलिए हम संचय (combination) के सूत्र का उपयोग करते हैं।
$30$ में से $2$ बच्चों को चुनने के तरीकों की संख्या $^{30}C_2 = \frac{30 \times 29}{2 \times 1} = 435$ मैच है।

(B) हम सर्वसमिका ${}^n C_r + {}^n C_{r-1} = {}^{n+1} C_r$ का उपयोग करते हैं।
दिया गया व्यंजक ${}^n C_{r+1} + {}^n C_{r-1} + 2{}^n C_r$ है।
इसे $({}^n C_{r+1} + {}^n C_r) + ({}^n C_r + {}^n C_{r-1})$ के रूप में लिखा जा सकता है।
सर्वसमिका लागू करने पर,हमें ${}^{n+1} C_{r+1} + {}^{n+1} C_r$ प्राप्त होता है।
पुनः सर्वसमिका लागू करने पर,हमें ${}^{n+2} C_{r+1}$ प्राप्त होता है।
अतः,विकल्प $B$ सही है।

(C) चूंकि समिति में हमेशा एक विशिष्ट सदस्य शामिल होना चाहिए,इसलिए हमने $6$ में से $1$ स्थान पहले ही भर लिया है।
अतः,हमें शेष $10 - 1 = 9$ सदस्यों में से $6 - 1 = 5$ सदस्यों का चयन करना है।
$9$ में से $5$ सदस्यों को चुनने के तरीकों की संख्या ${}^{9}C_{5}$ है।
अतः,विकल्प $C$ सही है।

(A) माना अधिकतम $n$ पुस्तकें चुनने के कुल तरीके $x$ हैं। चूंकि छात्र को कम से कम एक पुस्तक चुननी है:
$x = {}^{2n+1}C_1 + {}^{2n+1}C_2 + \dots + {}^{2n+1}C_n = 255$
हम जानते हैं कि $2n+1$ वस्तुओं के लिए सभी संयोजनों का योग:
${}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_1 + \dots + {}^{2n+1}C_n + {}^{2n+1}C_{n+1} + \dots + {}^{2n+1}C_{2n+1} = 2^{2n+1}$
गुणधर्म ${}^{m}C_r = {}^{m}C_{m-r}$ का उपयोग करने पर,${}^{2n+1}C_0 = {}^{2n+1}C_{2n+1} = 1$ प्राप्त होता है।
अतः,योग को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$2({}^{2n+1}C_1 + {}^{2n+1}C_2 + \dots + {}^{2n+1}C_n) + {}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_{2n+1} = 2^{2n+1}$
$2x + 1 + 1 = 2^{2n+1}$
$2x + 2 = 2^{2n+1}$
$x + 1 = 2^{2n}$
$x = 255$ दिया गया है,इसलिए:
$255 + 1 = 2^{2n}$
$256 = 2^{2n}$
$2^8 = 2^{2n}$
$2n = 8 \implies n = 4$
अतः,$n$ का मान $4$ है।

(B) $3$ देशों में से प्रत्येक से कम से कम एक सदस्य के साथ $6$ सदस्यों की समिति बनाने के लिए,हम वितरण $(n_I, n_A, n_{Au})$ पर विचार करते हैं जहाँ $n_I + n_A + n_{Au} = 6$ और $n_I, n_A, n_{Au} \ge 1$ है।
$6$ के $3$ भागों में विभाजन:
$1. (4, 1, 1)$ और इसके क्रमपरिवर्तन: $(4, 1, 1), (1, 4, 1), (1, 1, 4)$। ऐसे $3$ मामले हैं।
तरीकों की संख्या $= 3 \times \binom{5}{4} \times \binom{5}{1} \times \binom{5}{1} = 375$.
$2. (3, 2, 1)$ और इसके क्रमपरिवर्तन: $(3, 2, 1), (3, 1, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (1, 3, 2), (1, 2, 3)$। ऐसे $6$ मामले हैं।
तरीकों की संख्या $= 6 \times \binom{5}{3} \times \binom{5}{2} \times \binom{5}{1} = 3000$.
$3. (2, 2, 2)$। ऐसा $1$ मामला है।
तरीकों की संख्या $= 1 \times \binom{5}{2} \times \binom{5}{2} \times \binom{5}{2} = 1000$.
कुल तरीके $= 375 + 3000 + 1000 = 4375$.

(A) मान लीजिए कि $10$ मध्यवर्ती स्टेशन $S_1, S_2, S_3, \dots, S_{10}$ हैं।
हमें $3$ स्टेशनों का चयन इस प्रकार करना है कि कोई भी दो स्टेशन लगातार न हों।
इसके लिए सूत्र $^{n-r+1}C_r$ है,जहाँ $n = 10$ और $r = 3$ है।
तरीकों की संख्या $= ^{10-3+1}C_3 = ^8C_3$ है।
मान की गणना करने पर: $^8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$।

(C) दिया गया है,${}^nC_{r-1}=330$,${}^nC_r=462$,और ${}^nC_{r+1}=462$।
हम जानते हैं कि $\frac{{}^nC_{r+1}}{{}^nC_r} = \frac{n-r}{r+1}$।
चूंकि ${}^nC_{r+1} = {}^nC_r = 462$,इसलिए $\frac{462}{462} = 1$।
अतः,$\frac{n-r}{r+1} = 1 \implies n-r = r+1 \implies n = 2r+1$।
अब,अनुपात $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{462}{330}$ पर विचार करें।
सूत्र $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर,हमें $\frac{n-r+1}{r} = \frac{462}{330} = \frac{7}{5}$ प्राप्त होता है।
समीकरण में $n = 2r+1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\frac{(2r+1)-r+1}{r} = \frac{7}{5} \implies \frac{r+2}{r} = \frac{7}{5}$।
$5(r+2) = 7r \implies 5r + 10 = 7r \implies 2r = 10 \implies r = 5$।

(D) दिया गया है,${ }^{n-1} C_3+{ }^{n-1} C_4>{ }^n C_3$
सर्वसमिका ${ }^n C_r+{ }^n C_{r-1}={ }^{n+1} C_r$ का उपयोग करने पर,हमें प्राप्त होता है:
${ }^n C_4>{ }^n C_3$
संचयों का विस्तार करने पर:
$\frac{n!}{4!(n-4)!} > \frac{n!}{3!(n-3)!}$
$\frac{1}{4(n-4)!} > \frac{1}{(n-3)(n-4)!}$
$\frac{1}{4} > \frac{1}{n-3}$
$n-3 > 4$
$n > 7$
चूंकि $n$ को $7$ से बड़ा पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $n$ का न्यूनतम मान $8$ है।

(B) पास्कल की सर्वसमिका ${}^nC_r + {}^nC_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ का उपयोग करने पर,${}^nC_5 + {}^nC_6 = {}^{n+1}C_6$ प्राप्त होता है।
दी गई असमिका: ${}^{n+1}C_6 > {}^{n+1}C_5$.
संचयों का विस्तार करने पर: $\frac{(n+1)!}{6!(n-5)!} > \frac{(n+1)!}{5!(n-4)!}$.
दोनों पक्षों को $(n+1)!$ से विभाजित करने और सरल करने पर: $\frac{1}{6!(n-5)!} > \frac{1}{5!(n-4)!}$.
चूंकि $6! = 6 \times 5!$ और $(n-4)! = (n-4) \times (n-5)!$,इसलिए: $\frac{1}{6 \times 5!(n-5)!} > \frac{1}{5!(n-4)(n-5)!}$.
समान पदों को हटाने पर: $\frac{1}{6} > \frac{1}{n-4}$.
इसका अर्थ है $n-4 > 6$,अतः $n > 10$.
इस शर्त को पूरा करने वाली न्यूनतम प्राकृतिक संख्या $n = 11$ है।

(A) $10$ पुरुषों और $8$ महिलाओं में से $8$ सदस्यों की समिति बनानी है जिसमें अधिकतम $5$ पुरुष और कम से कम $5$ महिलाएं हों।
चूंकि कुल सदस्य $8$ हैं,इसलिए (महिलाएं,पुरुष) के संभावित संयोजन हैं:
$(5, 3), (6, 2), (7, 1), (8, 0)$।
तरीकों की संख्या है:
$\sum_{k=5}^{8} {}^{8}C_{k} \times {}^{10}C_{8-k}$
$= {}^{8}C_{5} \times {}^{10}C_{3} + {}^{8}C_{6} \times {}^{10}C_{2} + {}^{8}C_{7} \times {}^{10}C_{1} + {}^{8}C_{8} \times {}^{10}C_{0}$
$= (56 \times 120) + (28 \times 45) + (8 \times 10) + (1 \times 1)$
$= 6720 + 1260 + 80 + 1 = 8061$।

(D) $10$ सदस्यों की समिति बनाने के लिए जहाँ पुरुषों का बहुमत हो,पुरुषों की संख्या महिलाओं से अधिक होनी चाहिए। चूँकि कुल सदस्य $10$ हैं,(पुरुष,महिला) के लिए संभावित स्थितियाँ $(6, 4), (7, 3), (8, 2)$ हैं।
तरीकों की संख्या = $^8C_6 \times ^6C_4 + ^8C_7 \times ^6C_3 + ^8C_8 \times ^6C_2$.
प्रत्येक पद की गणना:
$^8C_6 \times ^6C_4 = 28 \times 15 = 420$.
$^8C_7 \times ^6C_3 = 8 \times 20 = 160$.
$^8C_8 \times ^6C_2 = 1 \times 15 = 15$.
कुल तरीके = $420 + 160 + 15 = 595$.

(C) इसे हल करने के लिए,हम गैप विधि का उपयोग करते हैं।
चूंकि $7$ सफेद गेंदें समान हैं,उन्हें केवल $1$ तरीके से व्यवस्थित किया जा सकता है।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो काली गेंदें एक साथ न हों,हम $3$ काली गेंदों को $7$ सफेद गेंदों द्वारा बनाए गए रिक्त स्थानों में रखते हैं।
सफेद गेंदों को $W$ के रूप में दर्शाते हुए,व्यवस्था इस प्रकार है: $\_ W \_ W \_ W \_ W \_ W \_ W \_ W \_$.
$3$ समान काली गेंदों के लिए $8$ उपलब्ध स्थान हैं।
$8$ में से $3$ स्थानों को चुनने के तरीके ${}^8C_3$ द्वारा दिए जाते हैं।
${}^8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.
अतः,कुल विशिष्ट व्यवस्थाओं की संख्या $56$ है।

(A) $n$ समान वस्तुओं को $r$ अलग-अलग प्राप्तकर्ताओं के बीच इस प्रकार वितरित करने के लिए कि प्रत्येक को कम से कम $1$ वस्तु मिले,हम $\binom{n-1}{r-1}$ सूत्र का उपयोग करते हैं।
यहाँ,$n = 8$ और $r = 3$ है।
तरीकों की संख्या $\binom{8-1}{3-1} = \binom{7}{2}$ है।
$\binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$।

(C) $10$ गेंदों ($6$ काली + $4$ हरी) में से $4$ गेंदें चुनने के कुल तरीके $^{10}C_4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ हैं।
$4$ गेंदें चुनने के ऐसे तरीके जिनमें कोई भी काली गेंद न हो (अर्थात सभी $4$ गेंदें हरी हों) $^{4}C_4 = 1$ हैं।
अतः,कम से कम एक काली गेंद चुनने के तरीकों की संख्या = (कुल तरीके) - (बिना काली गेंद वाले तरीके) = $210 - 1 = 209$.

(C) मान लीजिए समिति में पुरुषों की संख्या $m$ और महिलाओं की संख्या $w$ है।
हमें दिया गया है कि $w = 2m$ और $m \ge 2$ है।
चूंकि $4$ पुरुष और $6$ महिलाएं उपलब्ध हैं,इसलिए $m \le 4$ और $w \le 6$ है।
$w = 2m$ को $w \le 6$ में रखने पर,$2m \le 6$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $m \le 3$।
अतः,$m$ के संभावित मान $2$ और $3$ हैं।
स्थिति $1$: यदि $m = 2$,तो $w = 2(2) = 4$। तरीकों की संख्या = $^4C_2 \times ^6C_4 = 6 \times 15 = 90$।
स्थिति $2$: यदि $m = 3$,तो $w = 2(3) = 6$। तरीकों की संख्या = $^4C_3 \times ^6C_6 = 4 \times 1 = 4$।
कुल तरीकों की संख्या = $90 + 4 = 94$।

(A) हमें $5$ व्यंजनों और $5$ स्वरों में से $3$ व्यंजनों और $2$ स्वरों का उपयोग करके शब्द बनाने हैं।
सबसे पहले,हम व्यंजनों और स्वरों का चयन करेंगे:
$5$ में से $3$ व्यंजनों को चुनने के तरीके ${}^5C_3 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ हैं।
$5$ में से $2$ स्वरों को चुनने के तरीके ${}^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ हैं।
अक्षरों को चुनने के कुल तरीके = $10 \times 10 = 100$ हैं।
अब,इन $5$ चयनित अक्षरों को आपस में $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$ हैं।
कुल बनने वाले शब्दों की संख्या = $100 \times 120 = 12000$ है।

(D) मान लीजिए कि $x_1, x_2, x_3, x_4$ क्रमशः $4$ मेहमानों द्वारा प्राप्त सेबों की संख्या है। हमें $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 17$ के पूर्णांक हलों की संख्या ज्ञात करनी है जहाँ प्रत्येक $i \in \{1, 2, 3, 4\}$ के लिए $x_i \ge 3$ है।
मान लीजिए $y_i = x_i - 3$,तो $y_i \ge 0$ होगा।
समीकरण में $x_i = y_i + 3$ प्रतिस्थापित करने पर: $(y_1 + 3) + (y_2 + 3) + (y_3 + 3) + (y_4 + 3) = 17$.
$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + 12 = 17 \implies y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 5$.
अऋणात्मक पूर्णांक हलों की संख्या $\binom{n+r-1}{r-1}$ सूत्र द्वारा दी जाती है,जहाँ $n=5$ और $r=4$ है।
तरीकों की संख्या $= \binom{5+4-1}{4-1} = \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.

(B) चूंकि प्रत्येक श्रेणी में वस्तुएं समान हैं,इसलिए प्रत्येक श्रेणी से वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या उपलब्ध वस्तुओं की संख्या प्लस एक (शून्य वस्तुओं को चुनने के मामले के लिए) के बराबर होती है।
$6$ समान फलों के लिए,चुनने के तरीके $(6+1) = 7$ हैं।
$7$ समान सब्जियों के लिए,चुनने के तरीके $(7+1) = 8$ हैं।
$8$ समान बिस्कुटों के लिए,चुनने के तरीके $(8+1) = 9$ हैं।
यह सुनिश्चित करने के लिए कि प्रत्येक श्रेणी से कम से कम एक वस्तु चुनी जाए,हमें कम से कम $1$ फल,$1$ सब्जी और $1$ बिस्कुट चुनना होगा।
कम से कम एक फल चुनने के तरीके $6$ हैं।
कम से कम एक सब्जी चुनने के तरीके $7$ हैं।
कम से कम एक बिस्कुट चुनने के तरीके $8$ हैं।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $6 \times 7 \times 8 = 336$ है।

(D) छात्र को कुल $10$ प्रश्न चुनने हैं,जिसमें खंड-$A$ से कम से कम $4$ और खंड-$B$ से कम से कम $3$ प्रश्न होने चाहिए।
संभावित संयोजन $(A, B)$ इस प्रकार हैं:
$(i)$ $A$ से $4$ और $B$ से $6$: $\binom{8}{4} \times \binom{6}{6} = 70 \times 1 = 70$
(ii) $A$ से $5$ और $B$ से $5$: $\binom{8}{5} \times \binom{6}{5} = 56 \times 6 = 336$
(iii) $A$ से $6$ और $B$ से $4$: $\binom{8}{6} \times \binom{6}{4} = 28 \times 15 = 420$
(iv) $A$ से $7$ और $B$ से $3$: $\binom{8}{7} \times \binom{6}{3} = 8 \times 20 = 160$
कुल तरीके $= 70 + 336 + 420 + 160 = 986$.

(D) $5$ में से कम से कम एक हरा खिलौना चुनने के तरीके $2^5 - 1 = 31$ हैं।
$4$ में से कम से कम एक नीला खिलौना चुनने के तरीके $2^4 - 1 = 15$ हैं।
$3$ में से किसी भी संख्या में लाल खिलौने (शून्य सहित) चुनने के तरीके $2^3 = 8$ हैं।
चूंकि ये चयन स्वतंत्र हैं,इसलिए संयोजनों की कुल संख्या $31 \times 15 \times 8$ है।

(D) समान प्रकार के फलों को एक जैसा मानते हुए।
यदि $1^{\text{st}}$ प्रकार की $p$ समान वस्तुएं,$2^{\text{nd}}$ प्रकार की $q$ समान वस्तुएं और $3^{\text{rd}}$ प्रकार की $r$ समान वस्तुएं हैं,तो वस्तुओं की कोई भी संख्या चुनने के कुल तरीके $(p+1)(q+1)(r+1)$ होते हैं।
इस मामले में,$p=4$,$q=5$,और $r=7$ है।
शून्य फल चुनने के मामले सहित कुल तरीके $= (4+1)(5+1)(7+1) = 5 \times 6 \times 8 = 240$।
चूंकि हमें कम से कम एक फल चुनना है,इसलिए हम उस मामले को घटा देंगे जिसमें $0$ संतरे,$0$ सेब और $0$ आम चुने जाते हैं।
कम से कम एक फल चुनने के कुल तरीके $= 240 - 1 = 239$।