Definition of combinations, Condition combinations Questions in Hindi

(A) $5$ प्रकार की आइसक्रीम में से $6$ आइसक्रीम खरीदने के तरीकों की संख्या (पुनरावृत्ति की अनुमति के साथ) सूत्र $^{n+r-1}C_{r}$ द्वारा दी जाती है,जहाँ $n=5$ और $r=6$ है।
यह $^{5+6-1}C_{6} = ^{10}C_6 = ^{10}C_4 = 210$ के बराबर है।
कथन-$1$ में $^{10}C_5$ दिया गया है,जो $252$ है। अतः,कथन-$1$ गलत है।
$6$ '$A$' और $4$ '$B$' को एक पंक्ति में व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $\frac{(6+4)!}{6! \times 4!} = \frac{10!}{6! \times 4!} = ^{10}C_4 = 210$ है।
यह आइसक्रीम खरीदने के तरीकों की गणना से मेल खाता है।
इसलिए,कथन-$2$ सही है।

(D) हम जानते हैं कि क्रमचय (permutation) का सूत्र $_n{P_r} = \frac{n!}{(n - r)!}$ है।
हम जानते हैं कि संचय (combination) का सूत्र $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n - r)!}$ है।
अब,दोनों को विभाजित करने पर:
$\frac{_n{P_r}}{\binom{n}{r}} = \frac{\frac{n!}{(n - r)!}}{\frac{n!}{r!(n - r)!}}$
$= \frac{n!}{(n - r)!} \times \frac{r!(n - r)!}{n!}$
$= r!$

(A) चुने जाने वाले उम्मीदवारों की संख्या $10$ में से $4$ है।
चूंकि एक मतदाता $1$ से $4$ तक कितने भी उम्मीदवारों को वोट दे सकता है,इसलिए कुल तरीकों की संख्या संचय के योग द्वारा दी जाती है:
कुल तरीके $= ^{10}C_1 + ^{10}C_2 + ^{10}C_3 + ^{10}C_4$.
प्रत्येक पद की गणना करने पर:
$^{10}C_1 = 10$
$^{10}C_2 = 45$
$^{10}C_3 = 120$
$^{10}C_4 = 210$
कुल तरीके $= 10 + 45 + 120 + 210 = 385$.

(C) $n$ समान वस्तुओं को $r$ अलग-अलग बक्सों में इस प्रकार वितरित करने के तरीके कि कोई भी बक्सा खाली न रहे,का सूत्र $^{n-1}C_{r-1}$ है।
यहाँ,$n = 10$ और $r = 4$ है।
अतः,तरीकों की संख्या $^{10-1}C_{4-1} = ^9C_3$ है।
कथन-$1$ सत्य है।
कथन-$2$ बताता है कि $9$ स्थानों में से $3$ स्थानों को $^9C_3$ तरीकों से चुना जा सकता है,जो संचय $(^nC_r)$ की परिभाषा है।
यह तर्क 'स्टार्स एंड बार्स' विधि में कथन-$1$ के सूत्र तक पहुँचने के लिए उपयोग किया जाता है।
इसलिए,कथन-$2$,कथन-$1$ का सही स्पष्टीकरण है।

(C) $n$ समान वस्तुओं को $r$ प्राप्तकर्ताओं के बीच इस प्रकार बांटने के तरीके कि प्रत्येक को कम से कम एक वस्तु मिले,का सूत्र $^{n-1}C_{r-1}$ है।
यहाँ,$n = 11$ और $r = 6$ है।
तरीकों की संख्या $= ^{11-1}C_{6-1} = ^{10}C_5$.
मान की गणना करने पर: $^{10}C_5 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$.

(A) सबसे पहले,हम $6$ '$+$' चिह्नों को एक पंक्ति में व्यवस्थित करते हैं: $+ + + + + +$.
इन $6$ '$+$' चिह्नों द्वारा $7$ रिक्त स्थान (सिरों सहित) बनते हैं: $\_ + \_ + \_ + \_ + \_ + \_ \_$.
यह सुनिश्चित करने के लिए कि कोई भी दो '$*$' चिह्न एक साथ न आएं,हमें $4$ '$*$' चिह्नों को इन $7$ उपलब्ध स्थानों में रखना होगा।
$7$ में से $4$ स्थानों को चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र $^nC_r = \binom{n}{r}$ द्वारा दी जाती है।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $^7C_4 = \frac{7 \times 6 \times 5 \times 4}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 35$ है.

(B) दिया गया है $\binom{2n}{3} : \binom{n}{2} = 44 : 3$.
सूत्र $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{(2n)!}{3!(2n-3)!} \times \frac{2!(n-2)!}{n!} = \frac{44}{3}$
सरल करने पर:
$\frac{2n(2n-1)(2n-2)}{6} \times \frac{2}{n(n-1)} = \frac{44}{3}$
$\frac{4(2n-1)}{3} = \frac{44}{3}$
$2n-1 = 11 \implies n = 6$.
अब,$\binom{6}{r} = 15$.
हम जानते हैं कि $\binom{6}{2} = 15$ और $\binom{6}{4} = 15$ होता है।
अतः,$r = 4$ सही विकल्प है।

(A) $INDEPENDENT$ शब्द में $11$ अक्षर हैं: $3N, 3E, 2D, 1I, 1P, 1T$. भिन्न अक्षर ${N, E, D, I, P, T}$ हैं।
हमें $5$ अक्षरों का चयन करना है। संभावित स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
$(i)$ सभी $5$ अक्षर भिन्न हों: ${N, E, D, I, P, T}$ में से $5$ चुनने के तरीके: $^6C_5 = 6$.
$(ii)$ $2$ समान और $3$ भिन्न हों: ${N, E, D}$ में से $1$ जोड़ा और शेष $5$ प्रकारों में से $3$ भिन्न अक्षर चुनने के तरीके: $^3C_1 \times ^5C_3 = 3 \times 10 = 30$.
$(iii)$ $3$ समान और $2$ भिन्न हों: ${N, E}$ में से $1$ त्रिक और शेष $5$ प्रकारों में से $2$ भिन्न अक्षर चुनने के तरीके: $^2C_1 \times ^5C_2 = 2 \times 10 = 20$.
$(iv)$ $3$ समान और $2$ समान हों: ${N, E}$ में से $1$ त्रिक और शेष $2$ प्रकारों में से $1$ जोड़ा चुनने के तरीके: $^2C_1 \times ^2C_1 = 2 \times 2 = 4$.
$(v)$ $2$ समान,$2$ समान और $1$ भिन्न हो: ${N, E, D}$ में से $2$ जोड़े और शेष $4$ प्रकारों में से $1$ भिन्न अक्षर चुनने के तरीके: $^3C_2 \times ^4C_1 = 3 \times 4 = 12$.
कुल तरीके = $6 + 30 + 20 + 4 + 12 = 72$.

(A) हम जानते हैं कि यदि $^{n}C_{x} = ^{n}C_{y}$ है,तो या तो $x = y$ या $x + y = n$ होता है।
दिया गया है $^{15}C_{3r} = ^{15}C_{r+3}$।
स्थिति $1$: $3r = r + 3$ $\Rightarrow 2r = 3$ $\Rightarrow r = 1.5$।
चूँकि $r$ एक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए यह स्थिति संभव नहीं है।
स्थिति $2$: $3r + (r + 3) = 15$ $\Rightarrow 4r + 3 = 15$ $\Rightarrow 4r = 12$ $\Rightarrow r = 3$।
अतः,$r$ का मान $3$ है।

(C) यहाँ दो खंड $A$ और $B$ हैं,जिनमें से प्रत्येक में $5$ प्रश्न हैं। उम्मीदवार को कुल $6$ प्रश्नों का चयन करना है,जिसमें प्रत्येक खंड से कम से कम $2$ प्रश्न होने चाहिए।
संभावित स्थितियाँ इस प्रकार हैं:
$(i)$ खंड $A$ से $2$ प्रश्न और खंड $B$ से $4$ प्रश्न चुनना:
$^5C_2 \times ^5C_4 = 10 \times 5 = 50$ तरीके।
$(ii)$ खंड $A$ से $3$ प्रश्न और खंड $B$ से $3$ प्रश्न चुनना:
$^5C_3 \times ^5C_3 = 10 \times 10 = 100$ तरीके।
$(iii)$ खंड $A$ से $4$ प्रश्न और खंड $B$ से $2$ प्रश्न चुनना:
$^5C_4 \times ^5C_2 = 5 \times 10 = 50$ तरीके।
कुल तरीकों की संख्या $= 50 + 100 + 50 = 200$।

(A) दिया गया समीकरण $\binom{a^2+a}{3} = \binom{a^2+a}{9}$ है।
गुणधर्म $\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ का उपयोग करने पर,यदि $\binom{n}{x} = \binom{n}{y}$ है,तो या तो $x = y$ या $x + y = n$ होगा।
यहाँ,$3 \neq 9$,इसलिए $3 + 9 = a^2 + a$ होना चाहिए।
$a^2 + a = 12$.
$a^2 + a - 12 = 0$.
$(a + 4)(a - 3) = 0$.
अतः,$a = 3$ या $a = -4$.
$\binom{n}{r}$ में $n$ एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होना चाहिए और $n \geq r$ होना चाहिए। $a = -4$ के लिए $n = 12$ और $a = 3$ के लिए $n = 12$ प्राप्त होता है,जो दोनों $9$ से बड़े हैं।
दोनों मान गणितीय रूप से मान्य हैं,लेकिन दिए गए विकल्पों के अनुसार $a = 3$ सही उत्तर है।

(C) यहाँ एक प्रकार के $3$ सिक्के,दूसरे प्रकार के $4$ सिक्के और तीसरे प्रकार के $5$ सिक्के हैं।
कम से कम एक सिक्का चुनने के तरीकों की कुल संख्या $= (3 + 1)(4 + 1)(5 + 1) - 1$ है।
अतः,$(4)(5)(6) - 1 = 120 - 1 = 119$।

(D) कुल $10$ व्यक्ति उपलब्ध हैं। हमें $5$ व्यक्तियों का चयन करना है।
दिया गया है कि $A$ को हमेशा शामिल करना है और $G, H$ को बाहर रखना है।
चयन के लिए शेष व्यक्ति $10 - 3 = 7$ हैं।
हमें शेष $7$ व्यक्तियों में से $4$ व्यक्तियों का चयन करना है,जो $^7C_4$ तरीकों से किया जा सकता है।
चूंकि $^7C_4 = ^7C_3$,समूह चुनने के तरीके $^7C_3$ हैं।
इन $5$ व्यक्तियों को एक पंक्ति में $5!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
अतः,कुल व्यवस्थाओं की संख्या $= ^7C_3 \times 5!$.

(B) कुल हाथ मिलाने की संख्या ज्ञात करने के लिए,हमें $15$ व्यक्तियों में से $2$ व्यक्तियों को चुनना होगा।
यह एक संचय (combination) की समस्या है क्योंकि हाथ मिलाने वाले दो व्यक्तियों का क्रम मायने नहीं रखता है।
$15$ में से $2$ व्यक्तियों को चुनने के तरीकों की संख्या संचय सूत्र $^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 15$ और $r = 2$ है।
अतः,कुल हाथ मिलाने की संख्या $^{15}C_{2} = \frac{15 \times 14}{2 \times 1} = 105$ होगी।

(C) कुल $14$ खिलाड़ियों में से $5$ गेंदबाज और $9$ अन्य खिलाड़ी हैं।
कम से कम $4$ गेंदबाजों वाली टीम के चयन के लिए दो स्थितियाँ हैं:
स्थिति $1$: $4$ गेंदबाज और $7$ अन्य खिलाड़ियों का चयन: $^5C_4 \times ^9C_7 = 5 \times 36 = 180$।
स्थिति $2$: $5$ गेंदबाज और $6$ अन्य खिलाड़ियों का चयन: $^5C_5 \times ^9C_6 = 1 \times 84 = 84$।
कुल तरीके $= 180 + 84 = 264$।

(B) $n$ भिन्न पुस्तकों में से किसी भी संख्या में पुस्तकों (शून्य सहित) का चयन करने के तरीकों की कुल संख्या का योग: $\binom{n}{0} + \binom{n}{1} + \binom{n}{2} + \dots + \binom{n}{n} = 2^n$ है।
एक या अधिक पुस्तकों का चयन करने के लिए,हमें शून्य पुस्तकों के चयन के मामले (अर्थात $\binom{n}{0} = 1$) को घटाना होगा।
अतः,$n$ पुस्तकों में से एक या अधिक पुस्तकों का चयन करने के तरीकों की संख्या $2^n - 1$ है।
$n = 6$ के लिए,तरीकों की संख्या $2^6 - 1 = 64 - 1 = 63$ है।

(C) कुल खिलाड़ी = $13$,गेंदबाज = $4$,अन्य = $9$ है।
हमें कम से कम $2$ गेंदबाजों के साथ $11$ खिलाड़ियों की एक टीम का चयन करना है।
संभावित मामले इस प्रकार हैं:
मामला $1$: $2$ गेंदबाज और $9$ अन्य: $\binom{4}{2} \times \binom{9}{9} = 6 \times 1 = 6$ है।
मामला $2$: $3$ गेंदबाज और $8$ अन्य: $\binom{4}{3} \times \binom{9}{8} = 4 \times 9 = 36$ है।
मामला $3$: $4$ गेंदबाज और $7$ अन्य: $\binom{4}{4} \times \binom{9}{7} = 1 \times 36 = 36$ है।
कुल तरीके = $6 + 36 + 36 = 78$ है।

(C) हम सर्वसमिका $^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$ का उपयोग करते हैं।
दी गई अभिव्यक्ति: $^nC_{r+1} + ^nC_{r-1} + 2^nC_r$
$= (^nC_{r+1} + ^nC_r) + (^nC_r + ^nC_{r-1})$
सर्वसमिका $^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$ का उपयोग करने पर:
$= ^{n+1}C_{r+1} + ^{n+1}C_r$
पुनः,सर्वसमिका $^nC_r + ^nC_{r-1} = ^{n+1}C_r$ को लागू करने पर (जहाँ $n$ के स्थान पर $n+1$ है):
$= ^{n+2}C_{r+1}$

(C) $DHOLPUR$ शब्द में $7$ भिन्न अक्षर हैं: $D, H, O, L, P, U, R$।
हमें $4$ अक्षरों का शब्द बनाना है जिसमें $L$ और $P$ हमेशा शामिल हों।
चूंकि $L$ और $P$ पहले से ही चुने गए हैं,हमें शेष $5$ अक्षरों $(D, H, O, U, R)$ में से $2$ और अक्षर चुनने होंगे।
इन $2$ अक्षरों को चुनने के तरीके $^5C_2 = 10$ हैं।
अब,हमारे पास $4$ अक्षर हैं ($L, P$ और चुने गए $2$ अक्षर),जिन्हें $4!$ तरीकों से व्यवस्थित किया जा सकता है।
$4! = 24$।
अतः,कुल शब्दों की संख्या = $10 \times 24 = 240$।

(B) $10$ बल्बों में से प्रत्येक के लिए $2$ संभावनाएं हैं: या तो वह चालू हो सकता है या बंद हो सकता है।
चूंकि $10$ बल्ब हैं,इसलिए उन्हें चालू या बंद करने के कुल तरीके $2^{10} = 1024$ हैं।
कमरा तभी प्रकाशित होगा जब कम से कम एक बल्ब चालू हो।
इसलिए,हमें उस स्थिति को घटाना होगा जिसमें सभी बल्ब बंद हैं।
अतः,कमरा प्रकाशित करने के कुल तरीके $2^{10} - 1 = 1024 - 1 = 1023$ हैं।

(C) लड़के बहुमत में होंगे यदि समूह में $(4 \text{ लड़के}, 3 \text{ लड़कियाँ})$,$(5 \text{ लड़के}, 2 \text{ लड़कियाँ})$,या $(6 \text{ लड़के}, 1 \text{ लड़की})$ हों।
कुल संयोजनों की संख्या:
$= \binom{6}{4} \times \binom{4}{3} + \binom{6}{5} \times \binom{4}{2} + \binom{6}{6} \times \binom{4}{1}$
$= 15 \times 4 + 6 \times 6 + 1 \times 4$
$= 60 + 36 + 4 = 100$
अतः,विकल्प $(C)$ सही है.

(B) मान लीजिए कि दो विशिष्ट व्यक्ति $P_1$ और $P_2$ हैं। चूंकि वे एक ही नाव में नहीं हो सकते,इसलिए एक को नाव $A$ में और दूसरे को नाव $B$ में होना चाहिए।
नाव $A$ में पहले से ही $P_1$ है,इसलिए हमें नाव $A$ को भरने के लिए शेष $8$ लोगों में से $4$ लोगों को चुनना होगा। यह $\binom{8}{4}$ तरीकों से किया जा सकता है।
नाव $B$ में तब स्वतः ही $P_2$ और शेष $4$ लोग आ जाएंगे।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $\binom{8}{4} + \binom{8}{4} = 2 \binom{8}{4}$ है।

(B) छात्र को कुल $13$ प्रश्नों में से $10$ प्रश्न चुनने हैं,जिसमें पहले $5$ प्रश्नों में से कम से कम $4$ चुनने की शर्त है।
स्थिति $I$: पहले $5$ में से $4$ प्रश्न और शेष $8$ में से $6$ प्रश्न चुनना।
तरीकों की संख्या = $^5C_4 \times ^8C_6 = 5 \times 28 = 140$.
स्थिति $II$: पहले $5$ में से $5$ प्रश्न और शेष $8$ में से $5$ प्रश्न चुनना।
तरीकों की संख्या = $^5C_5 \times ^8C_5 = 1 \times 56 = 56$.
कुल तरीकों की संख्या = $140 + 56 = 196$.

(A) समिति में कम से कम $3$ महिलाएं होनी चाहिए। चूंकि समिति का कुल आकार $6$ है,इसलिए संभावित स्थितियां इस प्रकार हैं:
स्थिति $1$: $3$ महिलाएं और $3$ पुरुष।
तरीकों की संख्या = $^4C_3 \times ^8C_3 = 4 \times 56 = 224$.
स्थिति $2$: $4$ महिलाएं और $2$ पुरुष।
तरीकों की संख्या = $^4C_4 \times ^8C_2 = 1 \times 28 = 28$.
कुल तरीकों की संख्या = $224 + 28 = 252$.

(B) हमें $7$ सदस्यों का चयन करना है ताकि लड़कों की संख्या $(B)$ लड़कियों की संख्या $(G)$ से अधिक हो। कुल सदस्य $B + G = 7$ हैं।
संभावित स्थितियाँ हैं:
स्थिति $1$: $4$ लड़के और $3$ लड़कियाँ। तरीकों की संख्या = $\binom{6}{4} \times \binom{4}{3} = 15 \times 4 = 60$.
स्थिति $2$: $5$ लड़के और $2$ लड़कियाँ। तरीकों की संख्या = $\binom{6}{5} \times \binom{4}{2} = 6 \times 6 = 36$.
स्थिति $3$: $6$ लड़के और $1$ लड़की। तरीकों की संख्या = $\binom{6}{6} \times \binom{4}{1} = 1 \times 4 = 4$.
कुल तरीकों की संख्या = $60 + 36 + 4 = 100$.

(A) पास्कल के सर्वसमिका $\binom{n}{r} + \binom{n}{r-1} = \binom{n+1}{r}$ का उपयोग करते हुए।
दी गई अभिव्यक्ति: $\left( \binom{15}{8} + \binom{15}{9} \right) - \left( \binom{15}{6} + \binom{15}{7} \right)$.
सर्वसमिका लागू करने पर:
$\binom{15}{8} + \binom{15}{9} = \binom{16}{9}$.
$\binom{15}{6} + \binom{15}{7} = \binom{16}{7}$.
अतः,अभिव्यक्ति $\binom{16}{9} - \binom{16}{7}$ हो जाती है।
$\binom{n}{r} = \binom{n}{n-r}$ गुणधर्म का उपयोग करते हुए,$\binom{16}{7} = \binom{16}{16-7} = \binom{16}{9}$.
इसलिए,$\binom{16}{9} - \binom{16}{9} = 0$.

(C) हम जानते हैं कि $\binom{n}{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ और $\binom{n}{n-1} = \binom{n}{1} = n$.
सूत्र का उपयोग करते हुए:
$\binom{n}{r} \div \binom{n}{n-1} = \frac{n!}{r!(n-r)!} \times \frac{(n-1)!1!}{n!} = \frac{n-r+1}{r}$.

(B) मान लीजिए दो दोस्त $F_1$ और $F_2$ हैं।
स्थिति $1$: $F_1$ को $8$ गेंदें और $F_2$ को $4$ गेंदें मिलती हैं। तरीकों की संख्या $\binom{12}{8} \times \binom{4}{4} = \frac{12!}{8!4!}$ है।
स्थिति $2$: $F_1$ को $4$ गेंदें और $F_2$ को $8$ गेंदें मिलती हैं। तरीकों की संख्या $\binom{12}{4} \times \binom{8}{8} = \frac{12!}{4!8!}$ है।
चूंकि ये दो अलग-अलग स्थितियाँ हैं,कुल तरीकों की संख्या $\frac{12!}{8!4!} + \frac{12!}{4!8!} = 2 \times \frac{12!}{8!4!} = \frac{2! \times 12!}{8!4!}$ होगी।

(B) हम गुणधर्म $\frac{^nC_k}{^nC_{k-1}} = \frac{n-k+1}{k}$ का उपयोग करते हैं।
प्रथम दो समीकरणों के लिए:
$\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{84}{36} = \frac{7}{3} \implies \frac{n-r+1}{r} = \frac{7}{3} \implies 3n - 3r + 3 = 7r \implies 3n - 10r = -3$ $(1)$
अगले दो समीकरणों के लिए:
$\frac{^nC_{r+1}}{^nC_r} = \frac{126}{84} = \frac{3}{2} \implies \frac{n-(r+1)+1}{r+1} = \frac{3}{2} \implies \frac{n-r}{r+1} = \frac{3}{2} \implies 2n - 2r = 3r + 3 \implies 2n - 5r = 3$ $(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर $4n - 10r = 6$ $(3)$ प्राप्त होता है।
समीकरण $(3)$ में से समीकरण $(1)$ घटाने पर:
$(4n - 10r) - (3n - 10r) = 6 - (-3) \implies n = 9$.

(C) $MISSISSIPPI$ शब्द में निम्नलिखित अक्षर हैं: $M: 1, I: 4, S: 4, P: 2$।
संचय बनाने के लिए,हम $M$ ($0$ या $1$),$I$ ($0$ से $4$),$S$ ($0$ से $4$),और $P$ ($0$ से $2$) में से किसी भी संख्या में अक्षरों का चयन कर सकते हैं।
अक्षरों को चुनने के कुल तरीके $(1+1)(4+1)(4+1)(2+1) = 2 \times 5 \times 5 \times 3 = 150$ हैं।
चूंकि हमें कम से कम एक अक्षर चुनना है,इसलिए हम उस स्थिति को घटा देते हैं जहाँ कोई भी अक्षर नहीं चुना गया है (रिक्त समुच्चय)।
अतः,कुल भिन्न संचयों की संख्या $150 - 1 = 149$ है।

(C) माना उम्मीदवारों की संख्या $n$ है।
चूंकि उम्मीदवारों की संख्या चुने जाने वाले व्यक्तियों की संख्या से $1$ अधिक है,इसलिए चुने जाने वाले व्यक्तियों की संख्या $n - 1$ है।
एक मतदाता जिस तरह से अपना वोट डाल सकता है,वह $n$ में से $1, 2, \dots, n - 1$ उम्मीदवारों को चुनने के संयोजनों का योग है।
यह $^nC_1 + ^nC_2 + \dots + ^nC_{n - 1} = 254$ द्वारा दिया गया है।
हम जानते हैं कि द्विपद गुणांकों का योग $\sum_{k=0}^{n} {^nC_k} = 2^n$ होता है।
इसलिए,$^nC_0 + ^nC_1 + \dots + ^nC_{n - 1} + ^nC_n = 2^n$।
$^nC_0 = 1$ और $^nC_n = 1$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $1 + \left(\sum_{k=1}^{n-1} {^nC_k}\right) + 1 = 2^n$ प्राप्त होता है।
$2 + 254 = 2^n$।
$256 = 2^n$।
$2^8 = 2^n$।
अतः,$n = 8$।

(B) $10$ दोस्तों में से $6$ मेहमानों को चुनने के कुल तरीके,ताकि दो विशिष्ट मित्र (मान लीजिए $A$ और $B$) एक साथ न आएं,इस प्रकार हैं:
स्थिति $1$: न तो $A$ और न ही $B$ को आमंत्रित किया जाए।
शेष $8$ दोस्तों में से $6$ का चयन करना: $\binom{8}{6} = \binom{8}{2} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$.
स्थिति $2$: $A$ या $B$ में से केवल एक को आमंत्रित किया जाए।
${A, B}$ में से $1$ मित्र और शेष $8$ में से $5$ मित्रों का चयन करना: $\binom{2}{1} \times \binom{8}{5} = 2 \times \binom{8}{3} = 2 \times \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 56 = 112$.
कुल तरीके = $28 + 112 = 140$.

(D) चरण $1$: कलश $A$ में $3$ अलग-अलग लाल गेंदों में से $2$ गेंदें चुनने के तरीके $^3C_2 = 3$ हैं।
चरण $2$: कलश $B$ में $9$ नीली गेंदों में से $2$ गेंदें चुनने के तरीके $^9C_2 = \frac{9 \times 8}{2} = 36$ हैं।
चरण $3$: चूंकि ये क्रियाएं स्वतंत्र हैं,इसलिए कुल तरीके $3 \times 36 = 108$ होंगे।
अतः,कुल तरीकों की संख्या $108$ है।

(C) महेश एक,दो,तीन,चार,पांच या छह मित्रों को भोजन के लिए आमंत्रित कर सकता है।
यह $6$ मित्रों के समूह के अरिक्त उपसमुच्चयों (non-empty subsets) की कुल संख्या ज्ञात करने के बराबर है।
तरीकों की संख्या इस प्रकार है:
$^6C_1 + ^6C_2 + ^6C_3 + ^6C_4 + ^6C_5 + ^6C_6 = 2^6 - 1$.
$2^6 - 1 = 64 - 1 = 63$.

(A) $r$ क्रमागत प्राकृतिक संख्याओं का गुणनफल $n(n+1)(n+2)...(n+r-1)$ द्वारा दिया जाता है।
यह गुणनफल $r! \times \binom{n+r-1}{r}$ के बराबर है।
चूंकि $\binom{n+r-1}{r}$ एक पूर्णांक है,इसलिए गुणनफल हमेशा $r!$ से विभाज्य होता है।

(A) $n$ समान वस्तुओं को $r$ व्यक्तियों के बीच इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या कि प्रत्येक व्यक्ति को कम से कम एक वस्तु मिले,सूत्र $^{n-1}C_{r-1}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 20$ और $r = 4$ है।
अतः,तरीकों की संख्या $= ^{20-1}C_{4-1} = ^{19}C_3$ है।
मान की गणना करने पर: $^{19}C_3 = \frac{19 \times 18 \times 17}{3 \times 2 \times 1} = 19 \times 3 \times 17 = 969$।

(B) माना कुल $9$ प्रश्नपत्र हैं। यदि उम्मीदवार $f$ प्रश्नपत्रों में अनुत्तीर्ण होता है,तो वह $9-f$ प्रश्नपत्रों में उत्तीर्ण होता है।
सफलता के लिए शर्त: $9-f > f \implies 2f < 9 \implies f < 4.5$.
अतः,उम्मीदवार $0, 1, 2, 3$ या $4$ प्रश्नपत्रों में अनुत्तीर्ण होने पर सफल माना जाता है।
उम्मीदवार $5, 6, 7, 8$ या $9$ प्रश्नपत्रों में अनुत्तीर्ण होने पर असफल माना जाता है।
असफल होने के तरीकों की संख्या = $\binom{9}{5} + \binom{9}{6} + \binom{9}{7} + \binom{9}{8} + \binom{9}{9} = 256$.

(C) $20$ अवयवों वाले समुच्चय के $5$ अवयवों वाले उपसमुच्चयों की कुल संख्या $^{20}C_5$ है।
$a_4$ अवयव को शामिल करने वाले $5$ अवयवों के उपसमुच्चयों की संख्या शेष $19$ अवयवों में से $4$ अवयवों को चुनने के बराबर है,जो $^{19}C_4$ है।
प्रश्न के अनुसार,$^{20}C_5 = k \times ^{19}C_4$ है।
सूत्र $^{n}C_r = \frac{n}{r} \times ^{n-1}C_{r-1}$ का उपयोग करने पर:
$^{20}C_5 = \frac{20}{5} \times ^{19}C_4 = 4 \times ^{19}C_4$ प्राप्त होता है।
अतः,$k = 4$ है।

(C) कुल उम्मीदवारों की संख्या $= 10$.
चुने जाने वाले उम्मीदवारों की संख्या $= 4$.
एक मतदाता अधिकतम $4$ और कम से कम $1$ उम्मीदवार को वोट दे सकता है।
$r$ उम्मीदवारों को वोट देने के तरीके $= ^{10}C_{r}$ द्वारा दिए जाते हैं।
$1$ उम्मीदवार को वोट देने के तरीके $= ^{10}C_{1} = 10$.
$2$ उम्मीदवारों को वोट देने के तरीके $= ^{10}C_{2} = 45$.
$3$ उम्मीदवारों को वोट देने के तरीके $= ^{10}C_{3} = 120$.
$4$ उम्मीदवारों को वोट देने के तरीके $= ^{10}C_{4} = 210$.
कुल तरीके $= 10 + 45 + 120 + 210 = 385$.

(D) यह पुनरावृत्ति के साथ संयोजन (stars and bars method) का एक प्रश्न है।
मान लीजिए $n = 5$ आइसक्रीम के प्रकारों की संख्या है और $r = 6$ खरीदी जाने वाली आइसक्रीम की संख्या है।
पुनरावृत्ति के साथ $n$ प्रकारों में से $r$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या $^{n+r-1}C_r$ सूत्र द्वारा दी जाती है।
मान रखने पर,हमें $^{5+6-1}C_6 = ^{10}C_6$ प्राप्त होता है।
चूंकि $^{10}C_6 = ^{10}C_{10-6} = ^{10}C_4$,और $^{10}C_4 = 210$,जबकि $^{10}C_5 = 252$ है।
अतः,$\text{कथन}-1$ असत्य है।
$\text{कथन}-2$ के लिए,$6$ $A$ और $4$ $B$ को व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या $10$ में से $6$ स्थान चुनने के तरीकों की संख्या है,जो $^{10}C_6$ है।
यह आइसक्रीम खरीदने के तरीकों की संख्या के बराबर है।
इसलिए,$\text{कथन}-2$ सत्य है।

(C) कलश $A$ में $3$ अलग-अलग लाल गेंदें हैं। कलश $A$ से $2$ गेंदें चुनने के तरीके $^3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$ हैं।
कलश $B$ में $9$ अलग-अलग नीली गेंदें हैं। कलश $B$ से $2$ गेंदें चुनने के तरीके $^9C_2 = \frac{9 \times 8}{2 \times 1} = 36$ हैं।
चूंकि कलश $A$ और कलश $B$ से गेंदों का चयन स्वतंत्र घटनाएं हैं,इसलिए इन स्थानांतरणों को करने के कुल तरीके प्रत्येक कलश से गेंदों को चुनने के तरीकों का गुणनफल है।
कुल तरीके $= ^3C_2 \times ^9C_2 = 3 \times 36 = 108$.

(D) कथन-$1$ के लिए: $n$ समान वस्तुओं को $r$ अलग-अलग बक्सों में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या कि कोई भी बक्सा खाली न रहे,सूत्र $^{n-1}C_{r-1}$ द्वारा दी जाती है।
यहाँ,$n = 10$ और $r = 4$ है।
अतः,तरीकों की संख्या $^{10-1}C_{4-1} = ^9C_3$ है।
इस प्रकार,कथन-$1$ सही है।
कथन-$2$ के लिए: $n$ अलग-अलग वस्तुओं में से $r$ वस्तुओं को चुनने के तरीकों की संख्या $^nC_r$ है।
यहाँ,$n = 9$ और $r = 3$ है,इसलिए तरीकों की संख्या $^9C_3$ है।
इस प्रकार,कथन-$2$ सही है।
चूंकि समान वस्तुओं को अलग-अलग बक्सों में वितरित करने का सूत्र (स्टार्स एंड बार्स विधि) स्थानों को चुनने की अवधारणा का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है,इसलिए कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

(C) चूंकि $5$ गेंदें समान हैं और $10$ बक्से समान हैं,इसलिए गेंदों को इस प्रकार वितरित करना कि किसी भी बक्से में एक से अधिक गेंद न हो,$10$ में से $5$ बक्सों को चुनने के बराबर है।
अतः,तरीकों की कुल संख्या ${}^{10}C_5 = \frac{10!}{5!5!}$ है।

(D) समिति का आकार $12$ है। मान लीजिए $W$ महिलाएं और $M$ पुरुष हैं। $W + M = 12$ और $W \ge 5$ है।
$(i)$ महिलाएं बहुमत में हैं $(W > M)$: $W$ के संभावित मान $7, 8, 9$ हैं।
तरीके = $^9C_7 \times ^8C_5 + ^9C_8 \times ^8C_4 + ^9C_9 \times ^8C_3 = 2016 + 630 + 56 = 2702$.
(ii) पुरुष बहुमत में हैं $(M > W)$: $W$ का संभावित मान $5$ है।
तरीके = $^9C_5 \times ^8C_7 = 126 \times 8 = 1008$.

(C) पास्कल की सर्वसमिका $^{n-1}C_r + ^{n-1}C_{r-1} = ^nC_r$ का उपयोग करने पर:
$^{n-1}C_3 + ^{n-1}C_4 = ^nC_4$
दी गई असमिका: $^{n-1}C_3 + ^{n-1}C_4 > ^nC_3$
अतः,$^nC_4 > ^nC_3$
सूत्र $\frac{^nC_r}{^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ का उपयोग करने पर:
$\frac{^nC_4}{^nC_3} > 1$
$\frac{n-4+1}{4} > 1$
$\frac{n-3}{4} > 1$
$n-3 > 4$
$n > 7$

(B) बिना किसी प्रतिबंध के $10$ दोस्तों में से $6$ मेहमानों को चुनने के कुल तरीके $^{10}C_6 = 210$ हैं।
मान लीजिए कि वे दो दोस्त जो एक साथ नहीं आएंगे,$A$ और $B$ हैं।
वे तरीके जिनमें $A$ और $B$ दोनों पार्टी में शामिल हों,शेष $8$ दोस्तों में से $4$ मेहमानों को चुनने के तरीकों के बराबर हैं,जो $^8C_4 = 70$ है।
अतः,$A$ और $B$ के एक साथ न आने के तरीकों की संख्या कुल तरीकों में से दोनों के साथ आने वाले तरीकों को घटाने पर प्राप्त होती है: $210 - 70 = 140$।

(C) कुल उपलब्ध खिलाड़ी = $22$।
हमें $10$ खिलाड़ियों की टीम चुननी है।
$6$ विशेष खिलाड़ी हमेशा शामिल किए जाने हैं,इसलिए हमने $6$ खिलाड़ियों को पहले ही चुन लिया है।
चुनने के लिए शेष खिलाड़ी = $10 - 6 = 4$।
$4$ विशेष खिलाड़ी हमेशा बाहर रखे जाने हैं,इसलिए हम उन्हें कुल पूल से हटा देते हैं।
चुनने के लिए उपलब्ध शेष खिलाड़ी = $22 - 6 - 4 = 12$।
अतः,$12$ में से शेष $4$ खिलाड़ियों को चुनने के तरीकों की संख्या $^{12}C_4$ है।

(A) $x_1 + x_2 + ... + x_k = n$ के हलों की संख्या,जहाँ $x_i \ge i$ है,$(t^1 + t^2 + ...) (t^2 + t^3 + ...) ... (t^k + t^{k+1} + ...)$ के गुणनफल में $t^n$ का गुणांक है।
यह $t^{1+2+...+k} (1 + t + t^2 + ...)^k$ में $t^n$ का गुणांक है।
मान लीजिए $r = 1 + 2 + ... + k = \frac{k(k+1)}{2}$ है।
यह व्यंजक $(1-t)^{-k}$ में $t^{n-r}$ का गुणांक बन जाता है।
द्विपद विस्तार $(1-t)^{-k} = \sum_{j=0}^{\infty} \binom{k+j-1}{k-1} t^j$ का उपयोग करते हुए,$t^{n-r}$ का गुणांक $\binom{k+(n-r)-1}{k-1}$ है।
मान लीजिए $m = k + n - r - 1 = k + n - \frac{k(k+1)}{2} - 1 = \frac{2n - k^2 + k - 2}{2}$ है।
अतः,हलों की संख्या $\binom{m}{k-1}$ है।

(C) फलन $f(x)$ को परिभाषित होने के लिए,हमें तीन शर्तों को पूरा करना होगा:
$1$. द्विपद गुणांकों और क्रमचयों के लिए पैरामीटर गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होने चाहिए:
$^{16-x}C_{2x-1}$ के लिए,$16-x \ge 2x-1 \ge 0$,जिसका अर्थ है $x \le 17/3$ और $x \ge 1/2$.
$^{20-3x}P_{2x-5}$ के लिए,$20-3x \ge 2x-5 \ge 0$,जिसका अर्थ है $x \le 5$ और $x \ge 2.5$.
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $2.5 \le x \le 5$ प्राप्त होता है।
$2$. लघुगणक का आधार $[x + \frac{1}{x}]$ शून्य से बड़ा होना चाहिए और $1$ के बराबर नहीं होना चाहिए।
$x \in [2.5, 5]$ के लिए,$[x + \frac{1}{x}]$ का मान $2, 3, 4, 5$ हो सकता है।
$3$. लघुगणक का तर्क $|x^2 - x - 6| > 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $x \neq 3$ और $x \neq -2$.
अतः,$x \in [2.5, 5]$ में से $x=3$ को हटाने पर,संभावित मान $x=4, 5$ प्राप्त होते हैं।