એક જૂથમાં $4$ છોકરીઓ અને $7$ છોકરાઓ છે. જો ટીમમાં એક પણ છોકરી ન હોય,તો $5$ સભ્યોની ટીમ કેટલી રીતે પસંદ કરી શકાય?

શિષ્યવૃત્તિ માટે,$2n+1$ ઉમેદવારોમાંથી વધુમાં વધુ $n$ ઉમેદવારો પસંદ કરી શકાય છે. જો શિષ્યવૃત્તિ માટે ઓછામાં ઓછા એક ઉમેદવારને પસંદ કરવાની વિવિધ રીતોની સંખ્યા $63$ હોય,તો શિષ્યવૃત્તિ માટે પસંદ કરી શકાય તેવા ઉમેદવારોની મહત્તમ સંખ્યા કેટલી છે -

$7$ ભારતીયો,$6$ અમેરિકનો,$5$ રશિયનો અને $4$ ઓસ્ટ્રેલિયનોમાંથી $5$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની કુલ રીતો કેટલી છે જેથી દરેક સમિતિમાં દરેક દેશમાંથી ઓછામાં ઓછો એક સભ્ય હોય?

$6$ બેટ્સમેન,$6$ બોલર,$4$ ઓલ-રાઉન્ડર અને $4$ વિકેટ કીપરમાંથી ઓછામાં ઓછા $4$ બેટ્સમેન,ઓછામાં ઓછા $3$ બોલર,ઓછામાં ઓછા $2$ ઓલ-રાઉન્ડર અને માત્ર $1$ વિકેટ કીપર પસંદ કરીને $11$ સભ્યોની ક્રિકેટ ટીમ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

$5$ ભારતીયો,$5$ અમેરિકનો અને $5$ ઓસ્ટ્રેલિયનોમાંથી $6$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની રીતોની સંખ્યા શોધો,જેથી સમિતિમાં દરેક દેશમાંથી ઓછામાં ઓછો એક સભ્ય હોય.

બધા $p \in N$ અને નિશ્ચિત $q \in N$ માટે $(p+1)(p+2)(p+3) \ldots (p+q)$ ને ભાગતી સૌથી મોટી પૂર્ણાંક સંખ્યા કઈ છે?