Definition of combinations, Condition combinations Questions in Gujarati

(B) ધારો કે રૂમમાં કુલ વ્યક્તિઓની સંખ્યા $n$ છે.
હાથ મિલાવવાની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર ${}^{n}C_{2}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે,કારણ કે હાથ મિલાવવાની ક્રિયા $2$ વ્યક્તિઓ વચ્ચે થાય છે.
આપેલ છે કે,${}^{n}C_{2} = 45$.
સૂત્ર ${}^{n}C_{2} = \frac{n(n-1)}{2}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{n(n-1)}{2} = 45$
$n(n-1) = 90$
$n^2 - n - 90 = 0$
$(n - 10)(n + 9) = 0$
વ્યક્તિઓની સંખ્યા ઋણ ન હોઈ શકે,તેથી $n = 10$.

(C) અંકોનો સમૂહ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\}$ છે.
એકી અંકો $\{1, 3, 5, 7\}$ (કુલ $4$) અને બેકી અંકો $\{2, 4, 6\}$ (કુલ $3$) છે.
આપણે $4$ માંથી $2$ એકી અંકો અને $3$ માંથી $2$ બેકી અંકો પસંદ કરવાના છે.
અંકો પસંદ કરવાની રીતો $= {}^{4}C_{2} \times {}^{3}C_{2} = 6 \times 3 = 18$.
આ $4$ પસંદ કરેલા અંકોને $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$4$ અંકની કુલ સંખ્યાઓ $= 18 \times 4! = 18 \times 24 = 432$.

(A) આપણે પાસ્કલના નિત્યસમનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: ${ }^{n} C_{r}+{ }^{n} C_{r+1}={ }^{n+1} C_{r+1}$.
આપેલ પદાવલિ: ${ }^{49} C_3+{ }^{48} C_3+{ }^{47} C_3+{ }^{46} C_3+{ }^{45} C_3+{ }^{45} C_4$.
પગલું $1$: ${ }^{45} C_3+{ }^{45} C_4 = { }^{46} C_4$ ને જોડતા.
પગલું $2$: ${ }^{46} C_3+{ }^{46} C_4 = { }^{47} C_4$ ને જોડતા.
પગલું $3$: ${ }^{47} C_3+{ }^{47} C_4 = { }^{48} C_4$ ને જોડતા.
પગલું $4$: ${ }^{48} C_3+{ }^{48} C_4 = { }^{49} C_4$ ને જોડતા.
પગલું $5$: ${ }^{49} C_3+{ }^{49} C_4 = { }^{50} C_4$ ને જોડતા.
આમ,અંતિમ કિંમત ${ }^{50} C_4$ છે.

(D) આપેલ છે કે ${ }^{n} C_{12}={ }^{n} C_{8}$.
આપણે જાણીએ છીએ કે સંચયના ગુણધર્મ મુજબ ${ }^{n} C_{r}={ }^{n} C_{k}$ હોય તો $r=k$ અથવા $n=r+k$ થાય.
અહીં,$r=12$ અને $k=8$ છે.
કારણ કે $12 \neq 8$,તેથી $n=12+8$ થાય.
આમ,$n=20$ મળે.

(A) આપણે સંચયના ગુણધર્મનો ઉપયોગ કરીએ છીએ: ${ }^{n} C_{r} = { }^{n} C_{n-r}$.
આ ગુણધર્મ ${ }^{16} C_{6}$ અને ${ }^{16} C_{7}$ પદો પર લાગુ કરતા:
${ }^{16} C_{6} = { }^{16} C_{16-6} = { }^{16} C_{10}$
${ }^{16} C_{7} = { }^{16} C_{16-7} = { }^{16} C_{9}$
આ કિંમતોને મૂળ પદાવલિમાં મૂકતા:
${ }^{16} C_{9} + { }^{16} C_{10} - { }^{16} C_{6} - { }^{16} C_{7} = { }^{16} C_{9} + { }^{16} C_{10} - { }^{16} C_{10} - { }^{16} C_{9}$
$= ({ }^{16} C_{9} - { }^{16} C_{9}) + ({ }^{16} C_{10} - { }^{16} C_{10}) = 0 + 0 = 0$.

(D) પગલું $1$: $9$ ઉપલબ્ધ અંકોમાંથી $2$ ભિન્ન અંકો પસંદ કરો. આ $^9C_2 = 36$ રીતે કરી શકાય છે.
પગલું $2$: દરેક પસંદ કરેલી જોડી માટે,આપણે $4$ અંકની સંખ્યા બનાવવાની છે જેમાં બંને અંકોનો ઓછામાં ઓછી એક વાર ઉપયોગ થાય.
પગલું $3$: $2$ પસંદ કરેલા અંકોનો ઉપયોગ કરીને $4$ સ્થાન ભરવાની કુલ રીતો $2^4 = 16$ છે.
પગલું $4$: આપણે એવા કિસ્સાઓ બાકાત રાખવા પડશે જેમાં માત્ર એક જ અંકનો ઉપયોગ થયો હોય (એટલે કે ચારેય અંક સમાન હોય). આવા $2$ કિસ્સાઓ છે.
પગલું $5$: દરેક જોડી માટે માન્ય $4$ અંકની સંખ્યાઓ $(2^4 - 2) = 14$ છે.
પગલું $6$: કુલ સંખ્યાઓ = $36 \times 14 = 504$.

(B) આપેલ છે કે વ્યક્તિ પાસે અલગ-અલગ મૂલ્યના $3$ સિક્કા છે.
રકમ બનાવવા માટે,વ્યક્તિ $1, 2,$ અથવા $3$ સિક્કા પસંદ કરી શકે છે.
$3$ માંથી $1$ સિક્કો પસંદ કરવાની રીતો ${}^3C_1 = 3$ છે.
$3$ માંથી $2$ સિક્કા પસંદ કરવાની રીતો ${}^3C_2 = 3$ છે.
$3$ માંથી $3$ સિક્કા પસંદ કરવાની રીતો ${}^3C_3 = 1$ છે.
દરેક સિક્કાઓના સંયોજનથી એક અનન્ય રકમ બને છે (કારણ કે મૂલ્ય અલગ છે),તેથી કુલ અલગ-અલગ રકમની સંખ્યા ${}^3C_1 + {}^3C_2 + {}^3C_3 = 3 + 3 + 1 = 7$ થાય.

(C) આપણને પદાવલિ $\frac{{}^{n+1}C_{r+1}}{{}^{n+1}C_r} = \frac{n-r+1}{m}$ આપેલ છે.
સૂત્ર ${}^{n}C_{r} = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{{}^{n+1}C_{r+1}}{{}^{n+1}C_r} = \frac{\frac{(n+1)!}{(r+1)!(n-r)!}}{\frac{(n+1)!}{r!(n-r+1)!}} = \frac{r!(n-r+1)!}{(r+1)!(n-r)!}$.
ફેક્ટોરિયલનું સાદુંરૂપ આપતા:
$= \frac{r! \times (n-r+1) \times (n-r)!}{(r+1) \times r! \times (n-r)!} = \frac{n-r+1}{r+1}$.
આપેલ પદાવલિ $\frac{n-r+1}{m}$ સાથે સરખાવતા,આપણને $m = r+1$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(B) આ પદાવલિ ચાર ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર છે: $(n+16)(n+17)(n+18)(n+19)$.
ધારો કે $k = n+16$. તો પદાવલિ $k(k+1)(k+2)(k+3)$ બને છે.
આ $4! \times \binom{k+3}{4}$ ને સમાન છે.
કોઈપણ ધન પૂર્ણાંક $k$ માટે $\binom{k+3}{4}$ હંમેશા પૂર્ણાંક હોવાથી,કોઈપણ $r$ ક્રમિક પૂર્ણાંકોનો ગુણાકાર હંમેશા $r!$ વડે વિભાજ્ય હોય છે.
અહીં,$r = 4$,તેથી પદાવલિ $4! = 24$ વડે વિભાજ્ય છે.
આમ,તમામ $n$ માટે ગુણાકારને ભાગતી સૌથી મોટી ધન પૂર્ણાંક સંખ્યા $24$ છે.

(C) આપણી પાસે $4$ પરિણીત યુગલો છે,એટલે કે $4$ પુરુષો અને $4$ સ્ત્રીઓ છે. આપણે એવી રીતે $4$ વ્યક્તિઓ પસંદ કરવાની છે કે જેમાં કોઈ પણ પરિણીત યુગલ ન હોય.
પ્રથમ,આપણે $4$ ઉપલબ્ધ યુગલોમાંથી $4$ યુગલો પસંદ કરીએ છીએ,જે $\binom{4}{4} = 1$ રીતે કરી શકાય છે.
આ $4$ પસંદ કરેલા યુગલોમાંથી,આપણે દરેક યુગલમાંથી $1$ વ્યક્તિ એવી રીતે પસંદ કરવાની છે કે જેથી આપણી પાસે કુલ $4$ વ્યક્તિઓ હોય. દરેક યુગલમાં $2$ વિકલ્પો હોવાથી (પતિ અથવા પત્ની),$4$ વ્યક્તિઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 2^4 = 16$ છે.
આમ,કુલ રીતોની સંખ્યા $16$ છે.

(D) પગલું $1$: $6$ નવલકથાઓમાંથી $4$ નવલકથાઓ ${}^6C_4$ રીતે પસંદ કરી શકાય.
${}^6C_4 = 15$ રીતો.
પગલું $2$: $3$ કવિતાના પુસ્તકોમાંથી $1$ પુસ્તક ${}^3C_1$ રીતે પસંદ કરી શકાય.
${}^3C_1 = 3$ રીતો.
પગલું $3$: $4$ પસંદ કરેલી નવલકથાઓ અને $1$ કવિતાના પુસ્તકને એવી રીતે ગોઠવો કે કવિતાનું પુસ્તક વચ્ચે રહે. $4$ નવલકથાઓને $4!$ રીતે ગોઠવી શકાય.
$4! = 24$ રીતો.
પગલું $4$: કુલ ગોઠવણીઓ $= 15 \times 3 \times 24 = 1080$.

(A) $8$ પેનમાંથી $4$ પેન પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${ }^8 C_4 = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ છે.
$5$ પેન્સિલમાંથી $3$ પેન્સિલ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${ }^5 C_3 = \frac{5 \times 4 \times 3}{3 \times 2 \times 1} = 10$ છે.
કુલ રીતોની સંખ્યા $= { }^8 C_4 \times { }^5 C_3 = 70 \times 10 = 700$.

(C) ગણ $S = \{1, 2, 3, \dots, 50\}$ માંથી એવી ક્રમિત જોડી $(p, q)$ બનાવવા માટે કે જેથી $p > q$ થાય,આપણે $50$ ઉપલબ્ધ સંખ્યાઓમાંથી $2$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની જરૂર છે.
ધારો કે પસંદ કરેલી સંખ્યાઓ $x$ અને $y$ છે જ્યાં $x < y$.
કોઈપણ આવી જોડી માટે,તેમને $p$ અને $q$ ને એવી રીતે સોંપવાની બરાબર એક રીત છે કે જેથી $p > q$ થાય,જે $p = y$ અને $q = x$ છે.
$50$ માંથી $2$ ભિન્ન સંખ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા સંચયના સૂત્ર $\binom{n}{r}$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
અહીં,$n = 50$ અને $r = 2$.
રીતોની સંખ્યા = $\binom{50}{2} = \frac{50 \times 49}{2 \times 1} = 25 \times 49 = 1225$.

(C) આપણે એવી પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ $n$ શોધવાની છે કે જે $10 < n < 10,000$ હોય અને જેના અંકો ચડતા ક્રમમાં હોય.
આનો અર્થ એ છે કે આપણે $2, 3,$ અથવા $4$ અંકની સંખ્યાઓ શોધવાની છે.
ગણ $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\}$ માંથી પસંદ કરેલા $k$ ભિન્ન અંકો માટે,તેમને ચડતા ક્રમમાં ગોઠવવાની માત્ર એક જ રીત છે.
નોંધો કે $0$ ને સમાવી શકાય નહીં કારણ કે જો $0$ હોય,તો તેને પ્રથમ અંક તરીકે મૂકવો પડે,જે શક્ય નથી.
$1$. $2$-અંકની સંખ્યાઓ: $9$ અંકોમાંથી $2$ અંક પસંદ કરતા: $\binom{9}{2} = 36$.
$2$. $3$-અંકની સંખ્યાઓ: $9$ અંકોમાંથી $3$ અંક પસંદ કરતા: $\binom{9}{3} = 84$.
$3$. $4$-અંકની સંખ્યાઓ: $9$ અંકોમાંથી $4$ અંક પસંદ કરતા: $\binom{9}{4} = 126$.
કુલ સંખ્યા $= 36 + 84 + 126 = 246$.

(D) આપણે $6$ બેટ્સમેન,$6$ બોલર,$4$ ઓલ-રાઉન્ડર અને $4$ વિકેટ કીપરમાંથી $11$ સભ્યો પસંદ કરવાના છે.
શરતો: $B \ge 4, Bo \ge 3, A \ge 2, W = 1$.
કુલ પસંદ કરેલા સભ્યો = $11$.
ધારો કે $b, bo, a, w$ એ દરેક શ્રેણીમાંથી પસંદ કરેલા ખેલાડીઓની સંખ્યા છે.
$w = 1$,તેથી $b + bo + a = 10$.
શક્ય કિસ્સાઓ $(b, bo, a)$ જ્યાં $b \ge 4, bo \ge 3, a \ge 2$:
કિસ્સો $1$: $(5, 3, 2) \implies \binom{6}{5} \times \binom{6}{3} \times \binom{4}{2} \times \binom{4}{1} = 6 \times 20 \times 6 \times 4 = 2880$.
કિસ્સો $2$: $(4, 4, 2) \implies \binom{6}{4} \times \binom{6}{4} \times \binom{4}{2} \times \binom{4}{1} = 15 \times 15 \times 6 \times 4 = 5400$.
કિસ્સો $3$: $(4, 3, 3) \implies \binom{6}{4} \times \binom{6}{3} \times \binom{4}{3} \times \binom{4}{1} = 15 \times 20 \times 4 \times 4 = 4800$.
કુલ રીતો = $2880 + 5400 + 4800 = 13080$.

(D) નિત્યસમ ${ }^n C_r + { }^n C_{r-1} = { }^{n+1} C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને ${ }^{(n-1)} C_2 + { }^{(n-1)} C_3 = { }^n C_3$ મળે છે.
આપેલ અસમતા ${ }^n C_3 > { }^n C_2$ છે.
સંયોજનનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{n!}{3!(n-3)!} > \frac{n!}{2!(n-2)!}$.
પદને સરળ બનાવતા: $\frac{1}{3} > \frac{1}{n-2}$.
$n-2 > 3 \Rightarrow n > 5$.
તેથી,$n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $6$ છે.

(B) આપેલ ગુણોત્તર: $\frac{^{2n}C_4}{^nC_3} = \frac{99}{4}$
સૂત્ર $^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{\frac{(2n)!}{4!(2n-4)!}}{\frac{n!}{3!(n-3)!}} = \frac{99}{4}$
$\frac{(2n)(2n-1)(2n-2)(2n-3)}{4 \times 3 \times 2 \times 1} \times \frac{3 \times 2 \times 1}{n(n-1)(n-2)} = \frac{99}{4}$
$\frac{(2n)(2n-1) \times 2(n-1)(2n-3)}{4 \times n(n-1)(n-2)} = \frac{99}{4}$
$\frac{2(2n-1)(2n-3)}{n-2} = 99$
$4(4n^2 - 6n - 2n + 3) = 99(n-2)$
$16n^2 - 32n + 12 = 99n - 198$
$16n^2 - 131n + 210 = 0$
$(n-6)(16n-35) = 0$
$n$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી $n = 6$.

(D) આપેલ છે: ${}^nC_{r-1}=36$,${}^nC_r=84$ અને ${}^nC_{r+1}=126$.
ગુણોત્તર $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{84}{36} = \frac{7}{3}$ લેતા.
સૂત્ર $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{n-r+1}{r} = \frac{7}{3}$ $\Rightarrow 3n-3r+3 = 7r$ $\Rightarrow 3n+3 = 10r$ (સમીકરણ $i$).
ગુણોત્તર $\frac{{}^nC_{r+1}}{{}^nC_r} = \frac{126}{84} = \frac{3}{2}$ લેતા.
સૂત્ર $\frac{{}^nC_{r+1}}{{}^nC_r} = \frac{n-r}{r+1}$ નો ઉપયોગ કરતા,$\frac{n-r}{r+1} = \frac{3}{2}$ $\Rightarrow 2n-2r = 3r+3$ $\Rightarrow 2n-3 = 5r$ (સમીકરણ $ii$).
સમીકરણ $ii$ પરથી,$r = \frac{2n-3}{5}$. આ કિંમત સમીકરણ $i$ માં મુકતા:
$3n+3 = 10 \left( \frac{2n-3}{5} \right)$ $\Rightarrow 3n+3 = 2(2n-3)$ $\Rightarrow 3n+3 = 4n-6$ $\Rightarrow n = 9$.
$n=9$ ને સમીકરણ $ii$ માં મુકતા: $2(9)-3 = 5r$ $\Rightarrow 15 = 5r$ $\Rightarrow r = 3$.
તેથી,$nr^2 = 9 \times (3)^2 = 9 \times 9 = 81$.

(D) બે સ્વરની પસંદગી $\Rightarrow {}^{5}C_{2} = 10$.
બે વ્યંજનની પસંદગી $\Rightarrow {}^{21}C_{2} = 210$.
ચાર અક્ષરોની કુલ પસંદગી $= 10 \times 210 = 2100$.
આ ચાર ભિન્ન અક્ષરોની ગોઠવણી $= 4!$.
$\therefore$ કુલ શબ્દો $= 2100 \times 4!$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે ક્રમચય અને સંચય વચ્ચેનો સંબંધ નીચે મુજબ છે:
${}^{n}P_r = {}^{n}C_r \times r!$
આપેલ કિંમતો મૂકતા:
$604800 = 120 \times r!$
$r! = \frac{604800}{120}$
$r! = 5040$
કારણ કે $7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$,તેથી:
$r! = 7!$
આમ,$r = 7$.

(A) વિભાગ $1$ માં $3$ પ્રશ્નો છે. આ વિભાગમાંથી એક અથવા વધુ પ્રશ્નો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $2^3 - 1 = 7$ છે.
વિભાગ $2$ માં $4$ પ્રશ્નો છે. આ વિભાગમાંથી એક અથવા વધુ પ્રશ્નો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $2^4 - 1 = 15$ છે.
ઉમેદવારે દરેક વિભાગમાંથી ઓછામાં ઓછો એક પ્રશ્ન પસંદ કરવાનો હોવાથી,કુલ રીતોની સંખ્યા દરેક વિભાગમાંથી પસંદ કરવાની રીતોનો ગુણાકાર છે.
કુલ રીતો $= 7 \times 15 = 105$.

(B) ગણમાં કુલ ઘટકોની સંખ્યા $n = 11$ છે.
વધુમાં વધુ $5$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા શોધવા માટે,આપણે $k = 0, 1, 2, 3, 4, 5$ માટે $k$ ઘટકો પસંદ કરવાની રીતોનો સરવાળો કરીશું.
આ સરવાળો ${ }^{11}C_0 + { }^{11}C_1 + { }^{11}C_2 + { }^{11}C_3 + { }^{11}C_4 + { }^{11}C_5$ દ્વારા મળે છે.

(C) આપેલ અસમતા: ${ }^5 C_{x-1} > 2 \cdot { }^5 C_x$
સંચય વ્યાખ્યાયિત કરવા માટે,$0 \le x-1 \le 5$ અને $0 \le x \le 5$ હોવું જોઈએ. તેથી,$x \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$.
સૂત્ર ${ }^n C_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ નો ઉપયોગ કરતા:
$\frac{{ }^5 C_{x-1}}{{ }^5 C_x} > 2$
$\frac{5!}{(x-1)!(5-(x-1))!} \cdot \frac{x!(5-x)!}{5!} > 2$
$\frac{x!(5-x)!}{(x-1)!(6-x)!} > 2$
$\frac{x(x-1)!(5-x)!}{(x-1)!(6-x)(5-x)!} > 2$
$\frac{x}{6-x} > 2$
$\frac{x}{6-x} - 2 > 0$
$\frac{x - 2(6-x)}{6-x} > 0$
$\frac{x - 12 + 2x}{6-x} > 0$
$\frac{3x - 12}{6-x} > 0$
$\frac{3(x-4)}{-(x-6)} > 0$
$\frac{x-4}{x-6} < 0$
આ અસમતા $4 < x < 6$ માટે સાચી છે.
કારણ કે $x$ પૂર્ણાંક હોવો જોઈએ,તેથી એકમાત્ર શક્ય કિંમત $x = 5$ છે.
તેથી,ઉકેલ ગણ $\{5\}$ છે.

(B) વિદ્યાર્થીએ $13$ માંથી $10$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે. પ્રથમ $5$ પ્રશ્નો એક જૂથમાં છે અને બાકીના $8$ પ્રશ્નો બીજા જૂથમાં છે. વિદ્યાર્થીએ પ્રથમ $5$ પ્રશ્નોમાંથી ઓછામાં ઓછા $3$ પસંદ કરવાના છે.
કિસ્સો $1$: પ્રથમ $5$ માંથી $3$ અને બાકીના $8$ માંથી $7$ પસંદ કરો.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{5}C_{3} \times {}^{8}C_{7} = 10 \times 8 = 80$.
કિસ્સો $2$: પ્રથમ $5$ માંથી $4$ અને બાકીના $8$ માંથી $6$ પસંદ કરો.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{5}C_{4} \times {}^{8}C_{6} = 5 \times 28 = 140$.
કિસ્સો $3$: પ્રથમ $5$ માંથી $5$ અને બાકીના $8$ માંથી $5$ પસંદ કરો.
રીતોની સંખ્યા $= {}^{5}C_{5} \times {}^{8}C_{5} = 1 \times 56 = 56$.
કુલ રીતોની સંખ્યા $= 80 + 140 + 56 = 276$.

(B) આપણે જાણીએ છીએ કે $k \times k! = (k+1-1) \times k! = (k+1)! - k!$.
$k=1$ થી $n$ સુધીનો સરવાળો લેતા:
$\sum_{k=1}^{n} k \times k! = \sum_{k=1}^{n} ((k+1)! - k!) = (2! - 1!) + (3! - 2!) + \ldots + ((n+1)! - n!) = (n+1)! - 1!$.
આપેલ છે કે સરવાળો $11! - 1$ છે,તેથી $(n+1)! - 1 = 11! - 1$,જેનો અર્થ છે કે $n+1 = 11$,એટલે કે $n = 10$.
${}^n C_r$ નું મહત્તમ મૂલ્ય $r = n/2$ પર મળે છે જ્યારે $n$ બેકી સંખ્યા હોય.
$n = 10$ માટે,મહત્તમ મૂલ્ય ${}^{10} C_5 = \frac{10!}{5!5!} = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 252$ છે.

(A) બે બાળકો વચ્ચેની મેચ એ $30$ બાળકોમાંથી $2$ બાળકોની જોડી પસંદ કરવા સમાન છે.
મેચમાં પસંદગીનો ક્રમ મહત્વનો ન હોવાથી,આપણે સંચય (combination) ના સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$30$ માંથી $2$ બાળકો પસંદ કરવાની રીતો $^{30}C_2 = \frac{30 \times 29}{2 \times 1} = 435$ મેચ છે.

(B) આપણે નિત્યસમ ${}^n C_r + {}^n C_{r-1} = {}^{n+1} C_r$ નો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
આપેલી પદાવલિ ${}^n C_{r+1} + {}^n C_{r-1} + 2{}^n C_r$ છે.
જેને $({}^n C_{r+1} + {}^n C_r) + ({}^n C_r + {}^n C_{r-1})$ તરીકે લખી શકાય.
નિત્યસમ લાગુ પાડતા,આપણને ${}^{n+1} C_{r+1} + {}^{n+1} C_r$ મળે છે.
ફરીથી નિત્યસમ લાગુ પાડતા,આપણને ${}^{n+2} C_{r+1}$ મળે છે.
તેથી,વિકલ્પ $B$ સાચો છે.

(C) સમિતિમાં હંમેશા એક ચોક્કસ સભ્યનો સમાવેશ કરવાનો હોવાથી,આપણે $6$ માંથી $1$ સ્થાન ભરી દીધું છે.
તેથી,આપણે બાકીના $10 - 1 = 9$ સભ્યોમાંથી બાકીના $6 - 1 = 5$ સભ્યો પસંદ કરવાના રહે છે.
$9$ માંથી $5$ સભ્યો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ${}^{9}C_{5}$ છે.
આમ,વિકલ્પ $C$ સાચો છે.

(A) ધારો કે વધુમાં વધુ $n$ પુસ્તકો પસંદ કરવાની કુલ રીતો $x$ છે. વિદ્યાર્થીએ ઓછામાં ઓછું એક પુસ્તક પસંદ કરવાનું હોવાથી:
$x = {}^{2n+1}C_1 + {}^{2n+1}C_2 + \dots + {}^{2n+1}C_n = 255$
આપણે જાણીએ છીએ કે $2n+1$ વસ્તુઓ માટે તમામ સંચયોનો સરવાળો:
${}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_1 + \dots + {}^{2n+1}C_n + {}^{2n+1}C_{n+1} + \dots + {}^{2n+1}C_{2n+1} = 2^{2n+1}$
ગુણધર્મ ${}^{m}C_r = {}^{m}C_{m-r}$ નો ઉપયોગ કરતા,${}^{2n+1}C_0 = {}^{2n+1}C_{2n+1} = 1$ મળે.
તેથી,સરવાળાને આ રીતે લખી શકાય:
$2({}^{2n+1}C_1 + {}^{2n+1}C_2 + \dots + {}^{2n+1}C_n) + {}^{2n+1}C_0 + {}^{2n+1}C_{2n+1} = 2^{2n+1}$
$2x + 1 + 1 = 2^{2n+1}$
$2x + 2 = 2^{2n+1}$
$x + 1 = 2^{2n}$
$x = 255$ આપેલ હોવાથી:
$255 + 1 = 2^{2n}$
$256 = 2^{2n}$
$2^8 = 2^{2n}$
$2n = 8 \implies n = 4$
આમ,$n$ નું મૂલ્ય $4$ છે.

(B) $3$ દેશોમાંથી દરેકમાંથી ઓછામાં ઓછો એક સભ્ય હોય તેવી $6$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવા માટે,આપણે શક્ય વિતરણો $(n_I, n_A, n_{Au})$ ધ્યાનમાં લઈએ છીએ જ્યાં $n_I + n_A + n_{Au} = 6$ અને $n_I, n_A, n_{Au} \ge 1$ છે.
$6$ ના $3$ ભાગોમાં વિભાજન:
$1. (4, 1, 1)$ અને તેના ક્રમચયો: $(4, 1, 1), (1, 4, 1), (1, 1, 4)$. આવી $3$ શક્યતાઓ છે.
રીતોની સંખ્યા $= 3 \times \binom{5}{4} \times \binom{5}{1} \times \binom{5}{1} = 375$.
$2. (3, 2, 1)$ અને તેના ક્રમચયો: $(3, 2, 1), (3, 1, 2), (2, 3, 1), (2, 1, 3), (1, 3, 2), (1, 2, 3)$. આવી $6$ શક્યતાઓ છે.
રીતોની સંખ્યા $= 6 \times \binom{5}{3} \times \binom{5}{2} \times \binom{5}{1} = 3000$.
$3. (2, 2, 2)$. આવી $1$ શક્યતા છે.
રીતોની સંખ્યા $= 1 \times \binom{5}{2} \times \binom{5}{2} \times \binom{5}{2} = 1000$.
કુલ રીતો $= 375 + 3000 + 1000 = 4375$.

(A) ધારો કે $10$ મધ્યવર્તી સ્ટેશનો $S_1, S_2, S_3, \dots, S_{10}$ છે.
આપણે $3$ સ્ટેશનો એવી રીતે પસંદ કરવાના છે કે જેથી કોઈ પણ બે ક્રમિક ન હોય.
આ સમસ્યા માટેનું સૂત્ર $^{n-r+1}C_r$ છે,જ્યાં $n = 10$ અને $r = 3$ છે.
રીતોની સંખ્યા $= ^{10-3+1}C_3 = ^8C_3$.
કિંમત ગણતા: $^8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.

(C) આપેલ છે,${}^nC_{r-1}=330$,${}^nC_r=462$,અને ${}^nC_{r+1}=462$.
આપણે જાણીએ છીએ કે $\frac{{}^nC_{r+1}}{{}^nC_r} = \frac{n-r}{r+1}$.
કારણ કે ${}^nC_{r+1} = {}^nC_r = 462$,તેથી $\frac{462}{462} = 1$.
તેથી,$\frac{n-r}{r+1} = 1 \implies n-r = r+1 \implies n = 2r+1$.
હવે,ગુણોત્તર $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{462}{330}$ ધ્યાનમાં લો.
સૂત્ર $\frac{{}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{n-r+1}{r}$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે $\frac{n-r+1}{r} = \frac{462}{330} = \frac{7}{5}$.
સમીકરણમાં $n = 2r+1$ મૂકતા:
$\frac{(2r+1)-r+1}{r} = \frac{7}{5} \implies \frac{r+2}{r} = \frac{7}{5}$.
$5(r+2) = 7r \implies 5r + 10 = 7r \implies 2r = 10 \implies r = 5$.

(D) આપેલ છે,${ }^{n-1} C_3+{ }^{n-1} C_4>{ }^n C_3$
નિત્યસમ ${ }^n C_r+{ }^n C_{r-1}={ }^{n+1} C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,આપણને મળે છે:
${ }^n C_4>{ }^n C_3$
સંયોજનોનું વિસ્તરણ કરતા:
$\frac{n!}{4!(n-4)!} > \frac{n!}{3!(n-3)!}$
$\frac{1}{4(n-4)!} > \frac{1}{(n-3)(n-4)!}$
$\frac{1}{4} > \frac{1}{n-3}$
$n-3 > 4$
$n > 7$
$n$ એ $7$ કરતા મોટી પૂર્ણાંક સંખ્યા હોવી જોઈએ,તેથી $n$ ની ન્યૂનતમ કિંમત $8$ છે.

(B) પાસ્કલના નિત્યસમ ${}^nC_r + {}^nC_{r-1} = {}^{n+1}C_r$ નો ઉપયોગ કરતા,${}^nC_5 + {}^nC_6 = {}^{n+1}C_6$ મળે છે.
આપેલ અસમતા: ${}^{n+1}C_6 > {}^{n+1}C_5$.
સંયોજનોનું વિસ્તરણ કરતા: $\frac{(n+1)!}{6!(n-5)!} > \frac{(n+1)!}{5!(n-4)!}$.
બંને બાજુ $(n+1)!$ વડે ભાગતા અને સાદું રૂપ આપતા: $\frac{1}{6!(n-5)!} > \frac{1}{5!(n-4)!}$.
$6! = 6 \times 5!$ અને $(n-4)! = (n-4) \times (n-5)!$ હોવાથી: $\frac{1}{6 \times 5!(n-5)!} > \frac{1}{5!(n-4)(n-5)!}$.
સામાન્ય પદો દૂર કરતા: $\frac{1}{6} > \frac{1}{n-4}$.
આથી $n-4 > 6$,એટલે કે $n > 10$.
આ શરતનું પાલન કરતી ન્યૂનતમ પ્રાકૃતિક સંખ્યા $n = 11$ છે.

(A) $10$ પુરુષો અને $8$ સ્ત્રીઓમાંથી $8$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવાની છે જેમાં વધુમાં વધુ $5$ પુરુષો અને ઓછામાં ઓછી $5$ સ્ત્રીઓ હોય.
કુલ સભ્યો $8$ હોવાથી,(સ્ત્રીઓ,પુરુષો) ના શક્ય સંયોજનો:
$(5, 3), (6, 2), (7, 1), (8, 0)$.
રીતોની સંખ્યા:
$\sum_{k=5}^{8} {}^{8}C_{k} \times {}^{10}C_{8-k}$
$= {}^{8}C_{5} \times {}^{10}C_{3} + {}^{8}C_{6} \times {}^{10}C_{2} + {}^{8}C_{7} \times {}^{10}C_{1} + {}^{8}C_{8} \times {}^{10}C_{0}$
$= (56 \times 120) + (28 \times 45) + (8 \times 10) + (1 \times 1)$
$= 6720 + 1260 + 80 + 1 = 8061$.

(D) પુરુષો બહુમતીમાં હોય તેવી $10$ સભ્યોની સમિતિ બનાવવા માટે,પુરુષોની સંખ્યા સ્ત્રીઓ કરતા વધારે હોવી જોઈએ. કુલ સભ્યો $10$ હોવાથી,(પુરુષ,સ્ત્રી) માટે શક્ય કિસ્સાઓ $(6, 4), (7, 3), (8, 2)$ છે.
રીતોની સંખ્યા = $^8C_6 \times ^6C_4 + ^8C_7 \times ^6C_3 + ^8C_8 \times ^6C_2$.
દરેક પદની ગણતરી:
$^8C_6 \times ^6C_4 = 28 \times 15 = 420$.
$^8C_7 \times ^6C_3 = 8 \times 20 = 160$.
$^8C_8 \times ^6C_2 = 1 \times 15 = 15$.
કુલ રીતો = $420 + 160 + 15 = 595$.

(C) આને ઉકેલવા માટે,આપણે ગેપ પદ્ધતિનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
$7$ સફેદ દડા સમાન હોવાથી,તેમને માત્ર $1$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
કોઈ પણ બે કાળા દડા પાસપાસે ન હોય તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે $3$ કાળા દડાને $7$ સફેદ દડા દ્વારા બનાવેલી જગ્યાઓમાં મૂકીએ છીએ.
સફેદ દડાને $W$ તરીકે દર્શાવતા,ગોઠવણી આ મુજબ છે: $\_ W \_ W \_ W \_ W \_ W \_ W \_ W \_$.
$3$ સમાન કાળા દડા માટે $8$ ઉપલબ્ધ જગ્યાઓ છે.
$8$ માંથી $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતો ${}^8C_3$ દ્વારા આપવામાં આવે છે.
${}^8C_3 = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.
આમ,કુલ અલગ પાડી શકાય તેવી ગોઠવણીઓની સંખ્યા $56$ છે.

(A) $n$ સમાન વસ્તુઓને $r$ અલગ-અલગ વ્યક્તિઓમાં એવી રીતે વહેંચવા માટે કે જેથી દરેક વ્યક્તિને ઓછામાં ઓછી $1$ વસ્તુ મળે,આપણે $\binom{n-1}{r-1}$ સૂત્રનો ઉપયોગ કરીએ છીએ.
અહીં,$n = 8$ અને $r = 3$ છે.
રીતોની સંખ્યા $\binom{8-1}{3-1} = \binom{7}{2}$ થશે.
$\binom{7}{2} = \frac{7 \times 6}{2 \times 1} = 21$.

(C) $10$ દડા ($6$ કાળા + $4$ લીલા) માંથી $4$ દડા પસંદ કરવાની કુલ રીતો $^{10}C_4 = \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 210$ છે.
એક પણ કાળો દડો પસંદ ન થાય (એટલે કે બધા $4$ દડા લીલા હોય) તેવી રીતોની સંખ્યા $^{4}C_4 = 1$ છે.
તેથી,ઓછામાં ઓછો એક કાળો દડો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા = (કુલ રીતો) - (એક પણ કાળો દડો ન હોય તેવી રીતો) = $210 - 1 = 209$.

(C) ધારો કે સમિતિમાં પુરુષોની સંખ્યા $m$ અને સ્ત્રીઓની સંખ્યા $w$ છે.
આપણને આપેલ છે કે $w = 2m$ અને $m \ge 2$.
કુલ $4$ પુરુષો અને $6$ સ્ત્રીઓ ઉપલબ્ધ હોવાથી,$m \le 4$ અને $w \le 6$ થાય.
$w = 2m$ ને $w \le 6$ માં મૂકતા,$2m \le 6$ મળે,એટલે કે $m \le 3$.
આમ,$m$ ની શક્ય કિંમતો $2$ અને $3$ છે.
કિસ્સો $1$: જો $m = 2$,તો $w = 2(2) = 4$. પસંદગીની રીતો = $^4C_2 \times ^6C_4 = 6 \times 15 = 90$.
કિસ્સો $2$: જો $m = 3$,તો $w = 2(3) = 6$. પસંદગીની રીતો = $^4C_3 \times ^6C_6 = 4 \times 1 = 4$.
કુલ રીતો = $90 + 4 = 94$.

(A) આપણે $5$ વ્યંજનો અને $5$ સ્વરોમાંથી $3$ વ્યંજનો અને $2$ સ્વરોનો ઉપયોગ કરીને શબ્દો બનાવવાના છે.
પ્રથમ,આપણે વ્યંજનો અને સ્વરો પસંદ કરીશું:
$5$ માંથી $3$ વ્યંજનો પસંદ કરવાની રીતો ${}^5C_3 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ છે.
$5$ માંથી $2$ સ્વરો પસંદ કરવાની રીતો ${}^5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ છે.
અક્ષરો પસંદ કરવાની કુલ રીતો = $10 \times 10 = 100$.
હવે,આ $5$ પસંદ કરેલા અક્ષરોને પોતાની વચ્ચે $5!$ રીતે ગોઠવી શકાય છે.
$5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120$.
બનાવી શકાય તેવા શબ્દોની કુલ સંખ્યા = $100 \times 120 = 12000$.

(D) ધારો કે $x_1, x_2, x_3, x_4$ એ $4$ મહેમાનોને મળેલા સફરજનની સંખ્યા છે. આપણે $x_1 + x_2 + x_3 + x_4 = 17$ ના પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા શોધવાની છે જ્યાં દરેક $i \in \{1, 2, 3, 4\}$ માટે $x_i \ge 3$ છે.
ધારો કે $y_i = x_i - 3$,તો $y_i \ge 0$.
સમીકરણમાં $x_i = y_i + 3$ મૂકતા: $(y_1 + 3) + (y_2 + 3) + (y_3 + 3) + (y_4 + 3) = 17$.
$y_1 + y_2 + y_3 + y_4 + 12 = 17 \implies y_1 + y_2 + y_3 + y_4 = 5$.
અન-ઋણ પૂર્ણાંક ઉકેલોની સંખ્યા $\binom{n+r-1}{r-1}$ સૂત્ર દ્વારા મળે છે,જ્યાં $n=5$ અને $r=4$ છે.
રીતોની સંખ્યા $= \binom{5+4-1}{4-1} = \binom{8}{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$.

(B) દરેક શ્રેણીમાં વસ્તુઓ સમાન હોવાથી,દરેક શ્રેણીમાંથી વસ્તુઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા ઉપલબ્ધ વસ્તુઓની સંખ્યા વત્તા એક (શૂન્ય વસ્તુઓ પસંદ કરવાના કિસ્સા માટે) જેટલી હોય છે.
$6$ સમાન ફળો માટે,પસંદગી કરવાની રીતો $(6+1) = 7$ છે.
$7$ સમાન શાકભાજી માટે,પસંદગી કરવાની રીતો $(7+1) = 8$ છે.
$8$ સમાન બિસ્કિટ માટે,પસંદગી કરવાની રીતો $(8+1) = 9$ છે.
દરેક શ્રેણીમાંથી ઓછામાં ઓછી એક વસ્તુ પસંદ થાય તે સુનિશ્ચિત કરવા માટે,આપણે ઓછામાં ઓછું $1$ ફળ,$1$ શાકભાજી અને $1$ બિસ્કિટ પસંદ કરવું આવશ્યક છે.
ઓછામાં ઓછું એક ફળ પસંદ કરવાની રીતો $6$ છે.
ઓછામાં ઓછું એક શાકભાજી પસંદ કરવાની રીતો $7$ છે.
ઓછામાં ઓછું એક બિસ્કિટ પસંદ કરવાની રીતો $8$ છે.
તેથી,કુલ રીતોની સંખ્યા $6 \times 7 \times 8 = 336$ છે.

(D) વિદ્યાર્થીએ કુલ $10$ પ્રશ્નો પસંદ કરવાના છે,જેમાં વિભાગ-$A$ માંથી ઓછામાં ઓછા $4$ અને વિભાગ-$B$ માંથી ઓછામાં ઓછા $3$ પ્રશ્નો હોવા જોઈએ.
શક્ય સંયોજનો $(A, B)$ નીચે મુજબ છે:
$(i)$ $A$ માંથી $4$ અને $B$ માંથી $6$: $\binom{8}{4} \times \binom{6}{6} = 70 \times 1 = 70$
(ii) $A$ માંથી $5$ અને $B$ માંથી $5$: $\binom{8}{5} \times \binom{6}{5} = 56 \times 6 = 336$
(iii) $A$ માંથી $6$ અને $B$ માંથી $4$: $\binom{8}{6} \times \binom{6}{4} = 28 \times 15 = 420$
(iv) $A$ માંથી $7$ અને $B$ માંથી $3$: $\binom{8}{7} \times \binom{6}{3} = 8 \times 20 = 160$
કુલ રીતો $= 70 + 336 + 420 + 160 = 986$.

(D) $5$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક લીલું રમકડું પસંદ કરવાની રીતો $2^5 - 1 = 31$ છે.
$4$ માંથી ઓછામાં ઓછું એક વાદળી રમકડું પસંદ કરવાની રીતો $2^4 - 1 = 15$ છે.
$3$ માંથી કોઈપણ સંખ્યામાં લાલ રમકડાં (શૂન્ય સહિત) પસંદ કરવાની રીતો $2^3 = 8$ છે.
આ પસંદગીઓ સ્વતંત્ર હોવાથી,કુલ સંયોજનોની સંખ્યા $31 \times 15 \times 8$ છે.

(D) સમાન પ્રકારના ફળોને એકસરખા ગણતા.
જો $1^{\text{st}}$ પ્રકારની $p$ એકસરખી વસ્તુઓ,$2^{\text{nd}}$ પ્રકારની $q$ એકસરખી વસ્તુઓ અને $3^{\text{rd}}$ પ્રકારની $r$ એકસરખી વસ્તુઓ હોય,તો કોઈપણ સંખ્યામાં વસ્તુઓ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $(p+1)(q+1)(r+1)$ છે.
આ કિસ્સામાં,$p=4$,$q=5$,અને $r=7$ છે.
શૂન્ય ફળ પસંદ કરવાના કિસ્સા સહિત કુલ રીતો $= (4+1)(5+1)(7+1) = 5 \times 6 \times 8 = 240$.
આપણે ઓછામાં ઓછું એક ફળ પસંદ કરવાનું હોવાથી,આપણે તે કિસ્સો બાદ કરીશું જેમાં $0$ નારંગી,$0$ સફરજન અને $0$ કેરી પસંદ કરવામાં આવે છે.
ઓછામાં ઓછું એક ફળ પસંદ કરવાની કુલ રીતો $= 240 - 1 = 239$.