$^{69}C_{3r-1} - ^{69}C_{r^2} = ^{69}C_{r^2-1} - ^{69}C_{3r}$ ને સંતોષતી $r$ ની કિંમતોની સંખ્યા કેટલી છે?

વિધાન-$1:$ $10$ સમાન દડાઓને $4$ ભિન્ન પેટીઓમાં એવી રીતે વહેંચવાની રીતોની સંખ્યા કે જેથી કોઈ પણ પેટી ખાલી ન રહે,તે $^9C_3$ છે.
વિધાન-$2:$ $9$ અલગ-અલગ જગ્યાઓમાંથી કોઈપણ $3$ જગ્યાઓ પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા $^9C_3$ છે.

$3$-અંકી એવી કુલ કેટલી સંખ્યાઓ છે,જેના અંકોનો સરવાળો $10$ થાય?

ધારો કે $A_1, A_2, \dots, A_{11}$ એક ટીમમાં ખેલાડીઓ છે જેમની ટી-શર્ટ પર $1, 2, \dots, 11$ નંબર છે. ટીમ દ્વારા ફાઈનલ મેચમાં $100$ સોનાના સિક્કા જીતવામાં આવ્યા હતા. આ સિક્કાઓને ખેલાડીઓ વચ્ચે એવી રીતે વહેંચવાના છે કે દરેક ખેલાડીને તેના ટી-શર્ટ નંબર કરતા ઓછામાં ઓછા $1$ સિક્કો વધુ મળે,પરંતુ કેપ્ટન અને વાઈસ-કેપ્ટનને તેમના ટી-શર્ટ નંબર કરતા અનુક્રમે ઓછામાં ઓછા $5$ અને $3$ સિક્કા વધુ મળે. જો કેપ્ટન $A_1$ અને વાઈસ-કેપ્ટન $A_2$ હોય,તો આ સિક્કાઓ કેટલી અલગ અલગ રીતે વહેંચી શકાય?

એક વિદ્યાર્થીને $(2n+1)$ પુસ્તકોના સંગ્રહમાંથી વધુમાં વધુ $n$ પુસ્તકો પસંદ કરવાની છૂટ છે. જો ઓછામાં ઓછું એક પુસ્તક પસંદ કરવાની કુલ રીતોની સંખ્યા $255$ હોય,તો $n$ નું મૂલ્ય શોધો.

${ }^{16} C_{9}+{ }^{16} C_{10}-{ }^{16} C_{6}-{ }^{16} C_{7}$ ની કિંમત શોધો.