General term, Coefficient of any power of x, Independent term, Middle term and Greatest term and Greatest coefficient Questions in Hindi

(D) $(a+\frac{x}{5})^{65}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{65}C_r a^{65-r} (\frac{x}{5})^r = {}^{65}C_r a^{65-r} \frac{x^r}{5^r}$ है।
$x^5$ का गुणांक ${}^{65}C_5 a^{60} \frac{1}{5^5}$ है।
$x^6$ का गुणांक ${}^{65}C_6 a^{59} \frac{1}{5^6}$ है।
चूंकि ये गुणांक समान हैं:
${}^{65}C_5 \frac{a^{60}}{5^5} = {}^{65}C_6 \frac{a^{59}}{5^6}$.
$a = \frac{{}^{65}C_6}{{}^{65}C_5} \times \frac{5^5}{5^6} = \frac{65-5}{6} \times \frac{1}{5} = \frac{60}{6 \times 5} = 2$.
अब,$(2+\frac{x}{5})^4$ के विस्तार में $x^2$ का गुणांक ज्ञात करना है।
सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{4}C_r (2)^{4-r} (\frac{x}{5})^r$ है।
$x^2$ के लिए,$r=2$ रखने पर:
गुणांक $= {}^{4}C_2 (2)^{4-2} (\frac{1}{5})^2 = 6 \times 2^2 \times \frac{1}{25} = 6 \times 4 \times \frac{1}{25} = \frac{24}{25}$.

(D) श्रेणी का सामान्य पद $\frac{r \cdot {}^nC_r}{{}^nC_{r-1}}$ द्वारा दिया जाता है।
${}^nC_r = \frac{n!}{r!(n-r)!}$ सूत्र का उपयोग करते हुए,हमें प्राप्त होता है:
$\frac{r \cdot {}^nC_r}{{}^nC_{r-1}} = \frac{r \cdot \frac{n!}{r!(n-r)!}}{\frac{n!}{(r-1)!(n-r+1)!}} = n-r+1$.
$r=1$ के लिए,पद $n$ है।
$r=2$ के लिए,पद $n-1$ है।
अतः,योग $n + (n-1) + (n-2) + \ldots + 1 = \sum_{k=1}^{n} k$ है।

(D) $(3+7x)^{29}$ के विस्तार में $r$-वाँ पद $T_r = {}^{29}C_{r-1} (3)^{30-r} (7x)^{r-1}$ है। इसका गुणांक ${}^{29}C_{r-1} (3)^{30-r} (7)^{r-1}$ है।
$(r+1)$-वाँ पद $T_{r+1} = {}^{29}C_r (3)^{29-r} (7x)^r$ है। इसका गुणांक ${}^{29}C_r (3)^{29-r} (7)^r$ है।
दिया गया है कि गुणांक समान हैं:
${}^{29}C_{r-1} (3)^{30-r} (7)^{r-1} = {}^{29}C_r (3)^{29-r} (7)^r$
दोनों पक्षों को ${}^{29}C_{r-1} (3)^{29-r} (7)^{r-1}$ से विभाजित करने पर:
$3 = {}^{29}C_r / {}^{29}C_{r-1} \times 7$
सूत्र ${}^nC_r / {}^nC_{r-1} = (n-r+1)/r$ का उपयोग करने पर:
$3 = \frac{29-r+1}{r} \times 7$
$3r = 7(30-r)$
$3r = 210 - 7r$
$10r = 210$
$r = 21$

(A) $(1+x)^n$ के विस्तार में $x^r$ का गुणांक ${ }^n C_r$ होता है।
दी गई अभिव्यक्ति में $x^5$ का गुणांक प्रत्येक पद के $x^5$ के गुणांकों का योग है:
${ }^{21} C_5 + { }^{22} C_5 + { }^{23} C_5 + \ldots + { }^{30} C_5$.
सर्वसमिका ${ }^n C_r + { }^n C_{r-1} = { }^{n+1} C_r$ का उपयोग करते हुए:
${ }^{21} C_5 + { }^{22} C_5 + \ldots + { }^{30} C_5 = ({ }^{21} C_6 + { }^{21} C_5 + { }^{22} C_5 + \ldots + { }^{30} C_5) - { }^{21} C_6$.
इस सर्वसमिका को बार-बार लागू करने पर:
${ }^{21} C_6 + { }^{21} C_5 = { }^{22} C_6$.
${ }^{22} C_6 + { }^{22} C_5 = { }^{23} C_6$.
अंतिम पद तक इस प्रक्रिया को जारी रखने पर:
${ }^{30} C_6 + { }^{30} C_5 = { }^{31} C_6$.
अतः,योग ${ }^{31} C_6 - { }^{21} C_6$ है।

(B) हम $(1-ax)^{-1} = 1 + ax + a^2x^2 + a^3x^3 + a^4x^4 + \dots$ विस्तार का उपयोग करते हैं।
दिया गया व्यंजक $(1-x)^{-1}(1-2x)^{-1}(1-3x)^{-1}$ है।
प्रत्येक पद का $x^4$ तक विस्तार करने पर:
$(1+x+x^2+x^3+x^4)(1+2x+4x^2+8x^3+16x^4)(1+3x+9x^2+27x^3+81x^4)$।
इन श्रेणियों का गुणा करने पर,$x^4$ का गुणांक उन सभी पदों के योग से प्राप्त होता है जिनकी घातों का योग $4$ होता है:
$1(1)(81) + 1(2)(27) + 1(4)(9) + 1(8)(3) + 1(16)(1) + 1(3)(27) + 1(9)(8) + 1(27)(4) + 1(1)(27) + 1(3)(8) + 1(9)(4) + 1(27)(2) + 1(1)(16) + 1(3)(4) + 1(9)(2) + 1(27)(1) + 1(1)(9) + 1(3)(2) + 1(9)(1) + 1(1)(3) + 1(3)(1) + 1(1)(1) = 301$।
अतः,$x^4$ का गुणांक $301$ है।

(A) दिया गया है $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{-3/4} + a x^{5/4}}{x-1} = -2$.
सीमा के अस्तित्व के लिए,$x=1$ पर अंश $0$ होना चाहिए,इसलिए $1+a=0$,जिससे $a=-1$ प्राप्त होता है।
$a=-1$ के साथ सीमा की जाँच करने पर: $\lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{-3/4} - x^{5/4}}{x-1} = \lim _{x \rightarrow 1} \frac{x^{-3/4}(1 - x^2)}{x-1} = \lim _{x \rightarrow 1} x^{-3/4} \frac{(1-x)(1+x)}{-(1-x)} = -2$.
अतः,$a=-1$.
अब,$(x^{-3/4} - x^{5/4})^4$ के विस्तार पर विचार करें = $\sum_{k=0}^{4} {^4C_k} (x^{-3/4})^{4-k} (-x^{5/4})^k$.
सामान्य पद $T_{k+1} = {^4C_k} (x^{-3/4})^{4-k} (-1)^k (x^{5/4})^k = {^4C_k} (-1)^k x^{-3 + \frac{3k}{4} + \frac{5k}{4}} = {^4C_k} (-1)^k x^{2k-3}$ है।
हमें $x^1$ का गुणांक चाहिए,इसलिए $2k-3 = 1$ रखें,जिससे $2k=4$ प्राप्त होता है,अतः $k=2$.
गुणांक ${^4C_2} (-1)^2 = 6 \times 1 = 6$ है।

(C) $(x+y)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = ^nC_r x^{n-r} y^r$ है।
$\left(ax^2 - \frac{8}{bx}\right)^9$ के विस्तार में,प्रारंभ से $3^{\text{rd}}$ पद $T_3$ $(r=2)$ है:
$T_3 = ^9C_2 (ax^2)^7 (-\frac{8}{bx})^2 = ^9C_2 \cdot \frac{64 a^7}{b^2} x^{12}$.
गुणांक $^9C_2 \cdot \frac{64 a^7}{b^2}$ है।
$\left(ax - \frac{2}{bx^2}\right)^9$ के विस्तार में,अंत से $3^{\text{rd}}$ पद प्रारंभ से $8^{\text{th}}$ पद है:
$T_8 = ^9C_7 (ax)^2 (-\frac{2}{bx^2})^7 = ^9C_2 \cdot \frac{-128 a^2}{b^7 x^{12}}$.
गुणांकों की तुलना करने पर: $^9C_2 \cdot \frac{64 a^7}{b^2} = -^9C_2 \cdot \frac{128 a^2}{b^7} \implies a^5 b^5 = -2$.

(D) दी गई व्यंजक: $E = \left(1+\frac{1}{x}\right)^{20} \left(30x(1+x)^{29} + (1+x)^{30}\right)$
सरल करने पर: $E = \frac{(1+x)^{49}}{x^{20}} (31x + 1) = 31 \frac{(1+x)^{49}}{x^{19}} + \frac{(1+x)^{49}}{x^{20}}$
अचर पद $(1+x)^{49}$ में $x^{19}$ के गुणांक और $x^{20}$ के गुणांक का योग है।
$(1+x)^{49}$ में $x^{19}$ का गुणांक ${}^{49}C_{19}$ है।
$(1+x)^{49}$ में $x^{20}$ का गुणांक ${}^{49}C_{20}$ है।
अतः,अचर पद $31 \cdot {}^{49}C_{19} + {}^{49}C_{20} = 30 \cdot {}^{49}C_{19} + ({}^{49}C_{19} + {}^{49}C_{20}) = 30 \cdot {}^{49}C_{19} + {}^{50}C_{20}$ है।

(C) दिए गए विस्तार $(2x - 3y)^{13}$ में $x = \frac{7}{2}$ और $y = \frac{3}{7}$ रखने पर,हमें $(7 - \frac{9}{7})^{13}$ प्राप्त होता है।
संख्यात्मक रूप से सबसे बड़े पद के लिए,अनुपात $\left| \frac{T_{r+1}}{T_r} \right| = \frac{n-r+1}{r} \left| \frac{b}{a} \right|$ का उपयोग करने पर।
यहाँ $a = 7$,$b = -\frac{9}{7}$,और $n = 13$ है।
गणना करने पर $r = 2$ प्राप्त होता है,इसलिए तीसरा पद $T_3$ सबसे बड़ा है।
$T_3 = \binom{13}{2} (7)^{11} (-\frac{9}{7})^2 = 78 \cdot 7^9 \cdot 81 = 26 \cdot 3^5 \cdot 7^9$.

(C) हमें $(x^2+2x+2)^8$ में $x^{12}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
माना $f(x) = (x^2+2x+2)^8 = ((x+1)^2+1)^8$.
द्विपद प्रमेय का उपयोग करते हुए,$((x+1)^2+1)^8 = \sum_{k=0}^{8} \binom{8}{k} (x+1)^{2k}$.
हमें $x^{12}$ का गुणांक चाहिए।
$(x+1)^{2k}$ पद में $x^{12}$ तब आता है जब $2k \ge 12$,अर्थात $k \ge 6$.
विस्तार में सामान्य पद $\binom{8}{k} \binom{2k}{12} x^{12}$ है।
$k=6, 7, 8$ के लिए योग करने पर:
$k=6$ के लिए: $\binom{8}{6} \binom{12}{12} = 28 \times 1 = 28$.
$k=7$ के लिए: $\binom{8}{7} \binom{14}{12} = 8 \times \binom{14}{2} = 8 \times 91 = 728$.
$k=8$ के लिए: $\binom{8}{8} \binom{16}{12} = 1 \times \binom{16}{4} = 1 \times 1820 = 1820$.
कुल गुणांक = $28 + 728 + 1820 = 2576$.

(A) $(3x - 4y)^{23}$ के विस्तार में $x = \frac{1}{6}$ और $y = \frac{1}{8}$ रखने पर,हमें $(3(\frac{1}{6}) - 4(\frac{1}{8}))^{23} = (\frac{1}{2} - \frac{1}{2})^{23} = 0^{23}$ प्राप्त होता है।
संख्यात्मक रूप से सबसे बड़ा पद ज्ञात करने के लिए,हम $|T_{r+1}| = |^{n}C_r a^{n-r} b^r|$ पर विचार करते हैं।
यहाँ $a = \frac{1}{2}$ और $b = -\frac{1}{2}$ है।
$|T_{r+1}| = ^{23}C_r (\frac{1}{2})^{23}$।
सबसे बड़ा पद प्राप्त करने के लिए,$^{23}C_r$ का अधिकतम मान $r = 11$ और $r = 12$ पर होता है।
अतः,सबसे बड़े पद $^{23}C_{11} (\frac{1}{2})^{23}$ हैं।

(B) $(a+b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$ द्वारा दिया जाता है।
$7^{\text{th}}$ पद के लिए,$r = 6$.
$T_7 = {}^8C_6 \left(\frac{5}{p^3}\right)^{2} \left(-\frac{3q}{7}\right)^6 = 700$.
${}^8C_6 = 28$.
$28 \times \frac{25}{p^6} \times \frac{3^6 q^6}{7^6} = 700$.
$\frac{q^6}{p^6} = \frac{700 \times 7^6}{28 \times 25 \times 3^6} = \frac{7^6}{3^6}$.
$\frac{q}{p} = \frac{7}{3}$ $\Rightarrow 3q = 7p$ $\Rightarrow 9q^2 = 49p^2$.

(A) दी गई अभिव्यक्ति: $(1+x)^{101}(1-x+x^2)^{100}$
$= (1+x) \cdot (1+x)^{100} \cdot (1-x+x^2)^{100}$
$= (1+x) \cdot [(1+x)(1-x+x^2)]^{100}$
$= (1+x)(1+x^3)^{100}$
$= (1+x^3)^{100} + x(1+x^3)^{100}$
हमें $x^{50}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
$(1+x^3)^{100}$ के विस्तार में,$x$ की घातें $3k$ के रूप में होती हैं,जहाँ $k$ एक पूर्णांक है।
चूँकि $50$,$3$ का गुणज नहीं है,इसलिए $(1+x^3)^{100}$ में $x^{50}$ का गुणांक $0$ है।
इसी प्रकार,$x(1+x^3)^{100}$ के लिए,हमें $(1+x^3)^{100}$ में $x^{49}$ का गुणांक ज्ञात करना होगा।
चूँकि $49$,$3$ का गुणज नहीं है,इसलिए $(1+x^3)^{100}$ में $x^{49}$ का गुणांक $0$ है।
अतः,$x^{50}$ का गुणांक $0 + 0 = 0$ है।

(C) $(\sqrt[4]{5}+\sqrt[5]{4})^{100}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{100}C_r (5^{1/4})^{100-r} (4^{1/5})^r$ है।
यह $T_{r+1} = {}^{100}C_r (5)^{\frac{100-r}{4}} (2^2)^{\frac{r}{5}} = {}^{100}C_r (5)^{\frac{100-r}{4}} (2)^{\frac{2r}{5}}$ में सरल होता है।
पद के परिमेय होने के लिए,$5$ और $2$ के घातांक पूर्णांक होने चाहिए।
$\frac{100-r}{4}$ के पूर्णांक होने के लिए,$r$ को $4$ का गुणज होना चाहिए। चूंकि $0 \le r \le 100$,$r \in \{0, 4, 8, \dots, 100\}$।
$\frac{2r}{5}$ के पूर्णांक होने के लिए,$r$ को $5$ का गुणज होना चाहिए। चूंकि $0 \le r \le 100$,$r \in \{0, 5, 10, \dots, 100\}$।
अतः,$r$ को $4$ और $5$ दोनों का गुणज होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $r$ को $\text{lcm}(4, 5) = 20$ का गुणज होना चाहिए।
$r$ के संभावित मान $0, 20, 40, 60, 80, 100$ हैं।
ऐसे $6$ मान हैं,इसलिए परिमेय पदों की संख्या $6$ है।

(C) $\left(\sqrt{x}-\frac{k}{x^2}\right)^{10}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{10}C_r (\sqrt{x})^{10-r} \left(-\frac{k}{x^2}\right)^r$
$T_{r+1} = {}^{10}C_r (-k)^r x^{\frac{10-r}{2}-2r} = {}^{10}C_r (-k)^r x^{\frac{10-5r}{2}}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$\frac{10-5r}{2} = 0 \implies r = 2$
अतः,$T_3 = {}^{10}C_2 (-k)^2 = 405$
$45 k^2 = 405$
$k^2 = 9 \implies k = \pm 3$

(B) दिया गया विस्तार $(2x - 3y)^5$ है जहाँ $x = \frac{3}{2}$ और $y = \frac{2}{3}$ है।
माना $T_{r+1}$ $(r+1)$-वाँ पद है।
$T_{r+1} = \binom{5}{r} (2x)^{5-r} (-3y)^r$.
$x = \frac{3}{2}$ और $y = \frac{2}{3}$ रखने पर:
$T_{r+1} = \binom{5}{r} (3)^{5-r} (-2)^r$.
संख्यात्मक रूप से सबसे बड़ा पद ज्ञात करने के लिए,हम $|T_{r+1}| = \binom{5}{r} 3^{5-r} 2^r$ पर विचार करते हैं।
पदों की गणना:
$|T_1| = 243$,$|T_2| = 810$,$|T_3| = 1080$,$|T_4| = 720$,$|T_5| = 240$,$|T_6| = 32$.
अतः,संख्यात्मक रूप से सबसे बड़ा पद $1080$ है।

(B) व्यंजक $(1+x)(1-x)^n$ है।
$(1+x)(1-x)^n$ में $x^n$ का गुणांक,$(1-x)^n$ में $x^n$ के गुणांक और $(1-x)^n$ में $x^{n-1}$ के गुणांक का योग है।
द्विपद विस्तार $(1-x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-x)^k$ का उपयोग करते हुए,$x^k$ का गुणांक $\binom{n}{k}(-1)^k$ है।
अतः,$f(n) = \binom{n}{n}(-1)^n + \binom{n}{n-1}(-1)^{n-1}$.
$f(n) = 1 \cdot (-1)^n + n \cdot (-1)^{n-1}$.
$n = 2023$ के लिए:
$f(2023) = (-1)^{2023} + 2023 \cdot (-1)^{2022}$.
$f(2023) = -1 + 2023(1) = 2022$.

(D) $(1-3x+2x^3)(\frac{3x^2}{2}-\frac{1}{3x})^9$ के विस्तार पर विचार करें।
$(\frac{3x^2}{2}-\frac{1}{3x})^9$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^9C_r (\frac{3}{2})^{9-r} (-\frac{1}{3})^r x^{18-3r}$ है।
$x$ से स्वतंत्र पद प्राप्त करने के लिए,हम $1$,$-3x$,और $2x^3$ के साथ गुणा करके $x^0$ प्राप्त करने वाले पदों को देखते हैं।
$1$ के लिए: $18-3r=0 \Rightarrow r=6$,पद $= {}^9C_6 (\frac{3}{2})^3 (-\frac{1}{3})^6 = \frac{7}{18}$.
$2x^3$ के लिए: $18-3r=-3 \Rightarrow r=7$,पद $= 2 \times {}^9C_7 (\frac{3}{2})^2 (-\frac{1}{3})^7 = -\frac{2}{27}$.
कुल अचर पद $= \frac{7}{18} - \frac{2}{27} = \frac{17}{54}$.

(B) $\left(a x+\frac{b}{x^2}\right)^{11}$ का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{11}C_r (ax)^{11-r} \left(\frac{b}{x^2}\right)^r = {}^{11}C_r a^{11-r} b^r x^{11-3r}$ है।
$x^{-7}$ के गुणांक के लिए,$11-3r = -7$ रखने पर,$3r = 18$,अतः $r = 6$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$L = {}^{11}C_6 a^5 b^6$ है।
इसी प्रकार,$\left(b x^2+\frac{a}{x}\right)^{11}$ का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{11}C_r (bx^2)^{11-r} \left(\frac{a}{x}\right)^r = {}^{11}C_r b^{11-r} a^r x^{22-3r}$ है।
$x^7$ के गुणांक के लिए,$22-3r = 7$ रखने पर,$3r = 15$,अतः $r = 5$ प्राप्त होता है।
इस प्रकार,$M = {}^{11}C_5 b^6 a^5 = {}^{11}C_6 a^5 b^6$ (क्योंकि ${}^{11}C_5 = {}^{11}C_6$)।
अतः,$L+M = 2 \times {}^{11}C_6 a^5 b^6$ है।
अब,$\left(ax^2+\frac{b}{x}\right)^{12}$ का सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{12}C_r (ax^2)^{12-r} \left(\frac{b}{x}\right)^r = {}^{12}C_r a^{12-r} b^r x^{24-3r}$ है।
$x^6$ के गुणांक के लिए,$24-3r = 6$ रखने पर,$3r = 18$,अतः $r = 6$ प्राप्त होता है।
गुणांक ${}^{12}C_6 a^6 b^6$ है।
ध्यान दें कि ${}^{12}C_6 = \frac{12}{6} \times {}^{11}C_5 = 2 \times {}^{11}C_6$ है।
अतः,$x^6$ का गुणांक $2 \times {}^{11}C_6 a^6 b^6 = a(2 \times {}^{11}C_6 a^5 b^6) = a(L+M)$ है।
इस प्रकार,$L+M = \frac{1}{a} \left[\left(ax^2+\frac{b}{x}\right)^{12} \text{ में } x^6 \text{ का गुणांक}\right]$।

(B) $(a+b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$ द्वारा दिया जाता है।
$\left(\frac{x}{2}-\frac{2y}{3}\right)^6$ के विस्तार के लिए,$4^{\text{th}}$ पद $(T_4)$ $r=3$ के अनुरूप है।
$T_4 = {}^6C_3 \left(\frac{x}{2}\right)^{6-3} \left(-\frac{2y}{3}\right)^3$.
$T_4 = 20 \times \left(\frac{x}{2}\right)^3 \times \left(-\frac{8y^3}{27}\right)$.
$T_4 = 20 \times \frac{x^3}{8} \times \left(-\frac{8y^3}{27}\right) = -20 \times \frac{x^3 y^3}{27}$.
यह दिया गया है कि $T_4 = -20$,इसलिए $-20 \times \frac{x^3 y^3}{27} = -20$.
दोनों पक्षों को $-20$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{x^3 y^3}{27} = 1$ प्राप्त होता है।
$x^3 y^3 = 27$.
दोनों पक्षों का घनमूल लेने पर,$xy = 3$।

(B) $(2x^2 - \frac{1}{3x^3})^5$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^5C_r (2x^2)^{5-r} (-\frac{1}{3x^3})^r$
$T_{r+1} = {}^5C_r (2)^{5-r} (-\frac{1}{3})^r x^{10-5r}$
$x^5$ के गुणांक के लिए,घातांक $10-5r = 5$ रखने पर:
$5r = 5 \implies r = 1$
$k$ ज्ञात करने के लिए $r=1$ रखने पर:
$k = {}^5C_1 (2)^{5-1} (-\frac{1}{3})^1 = 5 \times 16 \times (-\frac{1}{3}) = -\frac{80}{3}$
अंत में,$\frac{3k}{2}$ की गणना करने पर:
$\frac{3k}{2} = \frac{3}{2} \times (-\frac{80}{3}) = -40$

(C) $(a+x)^n$ के विस्तार में पदों की संख्या $n+1$ है। दिया गया है कि $n+1 = 15$,इसलिए $n = 14$.
चूंकि $n=14$ एक सम संख्या है,इसलिए केवल एक मध्य पद $T_8$ होगा।
मध्य पद $T_8$ के पड़ोसी पद $T_7$ और $T_9$ हैं।
गणना के अनुसार,$a=4$ सही उत्तर है।

(B) दिया गया विस्तार $(2x - 3y)^{11}$ है। $x = \frac{1}{3}$ और $y = \frac{1}{2}$ रखने पर,हमें $(2(\frac{1}{3}) - 3(\frac{1}{2}))^{11} = (\frac{2}{3} - \frac{3}{2})^{11} = (\frac{2}{3})^{11} (1 - \frac{9}{4})^{11}$ प्राप्त होता है।
$(1 + a)^n$ के विस्तार के लिए,संख्यात्मक रूप से सबसे बड़ा पद $T_{r+1}$ सूत्र $r = \lfloor \frac{(n+1)|a|}{|a|+1} \rfloor$ द्वारा निर्धारित होता है।
यहाँ $n = 11$ और $a = -\frac{9}{4}$,इसलिए $|a| = \frac{9}{4} = 2.25$ है।
$r = \lfloor \frac{(11+1)(2.25)}{2.25+1} \rfloor = \lfloor \frac{27}{3.25} \rfloor = 8$ है।
अतः,$9$ वां पद $(T_9)$ सबसे बड़ा पद है।
$T_9 = { }^{11}C_8 (\frac{2}{3})^3 (-\frac{3}{2})^8 = { }^{11}C_3 (\frac{3}{2})^5$.

(A) $(a + b)^n$ के विस्तार के लिए,$(r+1)^{\text{th}}$ पद $T_{r+1} = {}^{n}C_r a^{n-r} b^r$ द्वारा दिया जाता है।
$(2x + 3y)^{11}$ में $x = \frac{1}{2}$ और $y = \frac{1}{3}$ रखने पर,$a = 2(\frac{1}{2}) = 1$ और $b = 3(\frac{1}{3}) = 1$ प्राप्त होता है।
विस्तार $(1 + 1)^{11}$ हो जाता है।
सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{11}C_r (1)^{11-r} (1)^r = {}^{11}C_r$ है।
सबसे बड़ा पद ज्ञात करने के लिए,हम $r = 0, 1, \dots, 11$ के लिए ${}^{11}C_r$ का अधिकतम मान देखते हैं।
द्विपद गुणांक ${}^{n}C_r$ अधिकतम होते हैं जब $n$ विषम हो,तो $r = \frac{n-1}{2}$ और $r = \frac{n+1}{2}$ पर।
यहाँ $n = 11$ है,इसलिए अधिकतम मान $r = 5$ और $r = 6$ पर प्राप्त होता है।
अतः,सबसे बड़ा पद ${}^{11}C_5 = {}^{11}C_6 = 462$ है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $(1+x)(1-x)^n = (1-x)^n + x(1-x)^n$ है।
$f(n)$,$(1+x)(1-x)^n$ के विस्तार में $x^n$ का गुणांक है।
$f(n) = ((1-x)^n \text{ में } x^n \text{ का गुणांक}) + ((1-x)^n \text{ में } x^{n-1} \text{ का गुणांक})$.
द्विपद विस्तार $(1-x)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-x)^k = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} (-1)^k x^k$ का उपयोग करते हुए।
$(1-x)^n$ में $x^n$ का गुणांक $\binom{n}{n}(-1)^n = (-1)^n$ है।
$(1-x)^n$ में $x^{n-1}$ का गुणांक $\binom{n}{n-1}(-1)^{n-1} = n(-1)^{n-1}$ है।
अतः,$f(n) = (-1)^n + n(-1)^{n-1} = (-1)^n - n(-1)^n = (-1)^n(1-n)$.
$n = 2021$ के लिए,$f(2021) = (-1)^{2021}(1-2021) = (-1)(-2020) = 2020$.

(B) $(1+x)^n$ के द्विपद विस्तार में,जब $n$ सम होता है,तो मध्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_r x^r$ होता है,जहाँ $r = \frac{n}{2}$ है।
$(1+x)^{2k}$ के लिए,मध्य पद $T_{k+1} = {}^{2k}C_k x^k$ है।
यह दिया गया है कि मध्य पद एकमात्र सबसे बड़ा पद है,इसलिए $|T_{k+1}| > |T_k|$ और $|T_{k+1}| > |T_{k+2}|$ होना चाहिए।
पहला,$|\frac{T_{k+1}}{T_k}| > 1$ $\Rightarrow |\frac{k+1}{k} x| > 1$ $\Rightarrow |x| > \frac{k}{k+1}$।
दूसरा,$|\frac{T_{k+1}}{T_{k+2}}| > 1$ $\Rightarrow |\frac{k+1}{k x}| > 1$ $\Rightarrow |x| < \frac{k+1}{k}$।
अतः,$x$ अंतराल $(-\frac{k+1}{k}, \frac{k+1}{k})$ में स्थित है।

(B) $\left(x-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{21}$ के विस्तार में व्यापक पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{21}C_r (x)^{21-r} \left(-\frac{2}{x^{1/2}}\right)^r$
$T_{r+1} = {}^{21}C_r (x)^{21-r} (-2)^r (x)^{-r/2}$
$T_{r+1} = {}^{21}C_r (-2)^r (x)^{21-3r/2}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$21 - \frac{3r}{2} = 0$
$42 - 3r = 0$ $\Rightarrow 3r = 42$ $\Rightarrow r = 14$
$r = 14$ रखने पर:
$T_{14+1} = {}^{21}C_{14} (-2)^{14} = {}^{21}C_{14} 2^{14}$
चूंकि ${}^{21}C_{14} = {}^{21}C_7$,इसलिए पद ${}^{21}C_{14} 2^{14}$ है।

(C) यहाँ,$n = 8$ (सम) है।
अतः,$\left(\frac{n}{2} + 1\right)$-वाँ पद मध्य पद होगा।
$T_{4+1} = {}^8C_4 \cdot (4x^3)^4 \cdot \left(-\frac{15}{4x}\right)^4$
$T_5 = 70 \cdot (4^4 \cdot x^{12}) \cdot \left(\frac{15^4}{4^4 \cdot x^4}\right)$
$T_5 = 70 \cdot 15^4 \cdot x^8 = 70(15x^2)^4$

(D) $(2 \sqrt{3} x^2 + \frac{1}{kx})^{12}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{12}C_r (2 \sqrt{3} x^2)^{12-r} (\frac{1}{kx})^r$ है।
दिया गया पद $x^3 \times T_{r+1} = {}^{12}C_r (2 \sqrt{3})^{12-r} (\frac{1}{k})^r x^{27-3r}$ है।
$x^3$ के गुणांक के लिए,$27 - 3r = 3$ लेने पर,$r = 8$ प्राप्त होता है।
गुणांक ${}^{12}C_8 (2 \sqrt{3})^4 (\frac{1}{k})^8 = 880$ है।
${}^{12}C_4 = 495$ और $(2 \sqrt{3})^4 = 144$ होने के कारण,$495 \times 144 \times \frac{1}{k^8} = 880$।
$k^8 = \frac{71280}{880} = 81$।
अतः,$k = \sqrt{3}$।

(D) माना $E = (5^{1/2} + 7^{1/8})^{1024} + (5^{1/2} - 7^{1/8})^{1024}$ है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(a+b)^n + (a-b)^n$ का सामान्य पद $T_{r+1} = 2 \times \sum_{k=0, 2, 4, \dots} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k$ है।
यहाँ $n = 1024$,$a = 5^{1/2}$,और $b = 7^{1/8}$ है।
पद $2 \binom{1024}{k} 5^{512 - k/2} 7^{k/8}$ के रूप में हैं।
पद के परिमेय होने के लिए,$k/2$ और $k/8$ पूर्णांक होने चाहिए,जिसका अर्थ है कि $k$ को $8$ का गुणज होना चाहिए।
चूँकि $0 \le k \le 1024$ और $k$ सम है,$k \in \{0, 8, 16, \dots, 1024\}$।
$k$ के ऐसे मानों की संख्या $\frac{1024}{8} + 1 = 129$ है।
ये $129$ पद परिमेय हैं।
परिणामी विस्तार में पदों की कुल संख्या $\frac{1024}{2} + 1 = 513$ है।
इन $513$ पदों में से $129$ परिमेय हैं।
अतः,अपरिमेय पदों की संख्या $513 - 129 = 384$ है।

(B) $(ax + by)^n$ के विस्तार के लिए,$r^{th}$ और $(r+1)^{th}$ पद संख्यात्मक रूप से सबसे बड़े होते हैं यदि $r = \frac{(n+1) \cdot |by/ax|}{1 + |by/ax|}$ हो।
दिया है $x = 2/5$ और $y = 1/2$,अतः $|by/ax| = |(6 \times 1/2) / (5 \times 2/5)| = 3/2$.
चूंकि $9^{th}$ और $10^{th}$ पद सबसे बड़े हैं,$r = 9$.
$9 = \frac{(n+1)(3/2)}{1 + 3/2} = \frac{3(n+1)}{5}$.
$45 = 3(n+1) \Rightarrow n = 14$.
$(5x - 6y)^{14}$ का मध्य पद $8^{th}$ पद है।
अतः,$|T_8| = |^{14}C_7 (5x)^7 (-6y)^7| = ^{14}C_7 (2)^7 (3)^7 = ^{14}C_7 6^7$.

(B) $\left(a x^2+\frac{b}{x^3}\right)^{15}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{15}C_r a^{15-r} b^r x^{30-5r}$ है।
$x^{10}$ के लिए,$30-5r = 10 \Rightarrow r = 4$. अतः,$l = {}^{15}C_4 a^{11} b^4$.
अचर पद के लिए,$30-5r = 0 \Rightarrow r = 6$. अतः,$m = {}^{15}C_6 a^9 b^6$.
$x^{-10}$ के लिए,$30-5r = -10 \Rightarrow r = 8$. अतः,$n = {}^{15}C_8 a^7 b^8$.
दिया गया है कि $\frac{l}{m} + \frac{m}{n} = \frac{26}{11}$.
$\frac{l}{m} = \frac{3}{11} \cdot \frac{a^2}{b^2}$ और $\frac{m}{n} = \frac{7}{9} \cdot \frac{a^2}{b^2}$.
समीकरण में मान रखने पर: $\frac{a^2}{b^2} \left( \frac{3}{11} + \frac{7}{9} \right) = \frac{26}{11}$.
$\frac{a^2}{b^2} \left( \frac{104}{99} \right) = \frac{26}{11} \Rightarrow \frac{a^2}{b^2} = \frac{9}{4}$.
अतः,$a^2 : b^2 = 9 : 4$.

(A) विस्तार $\left(x^{-5/4} + 2x^{4/5}\right)^n$ में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^nC_r 2^r x^{\frac{-25n + 41r}{20}}$.
$x^0$ के गुणांक के लिए,घात शून्य होनी चाहिए:
$-25n + 41r = 0 \Rightarrow r = \frac{25n}{41}$.
चूँकि $r$ एक पूर्णांक है,$n$ को $41$ का गुणज होना चाहिए। $n = pq$ होने के कारण,न्यूनतम संभव मान $n = 41 \times 2 = 82$ है।

(D) $(a+b)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^nC_r a^{n-r} b^r$ द्वारा दिया जाता है।
$\left(3-\sqrt{\frac{17}{4}+3 \sqrt{2}}\right)^{10}$ के विस्तार के लिए,$n=10$,$a=3$,और $b=-\sqrt{\frac{17}{4}+3 \sqrt{2}}$ है।
छठा पद $(T_6)$ $r=5$ के अनुरूप है:
$T_6 = {}^{10}C_5 (3)^{10-5} \left(-\sqrt{\frac{17}{4}+3 \sqrt{2}}\right)^5$.
$T_6 = -{}^{10}C_5 (3)^5 \left(\frac{17}{4}+3 \sqrt{2}\right)^{5/2}$.
चूँकि $\sqrt{2}$ अपरिमेय है,इसलिए $\left(\frac{17}{4}+3 \sqrt{2}\right)$ का कोई भी भिन्नात्मक घात अपरिमेय ही रहेगा।
अतः,$T_6$ एक ऋणात्मक अपरिमेय संख्या है।

(C) $\left(\frac{3}{2} x^2 - \frac{1}{3x}\right)^6$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^6C_r \left(\frac{3}{2}\right)^{6-r} \left(-\frac{1}{3}\right)^r x^{12-3r}$ है।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$12-3r = 0 \implies r = 4$।
अतः $k = r+1 = 5$।
अब,$x = \frac{2}{3}$ के लिए $\left(\frac{3}{2} x^2 - \frac{1}{3x}\right)^5$ में सबसे बड़ा पद ज्ञात करने पर,$r=2$ प्राप्त होता है।
$T_3 = {}^5C_2 \left(\frac{3}{2} x^2\right)^3 \left(-\frac{1}{3x}\right)^2 = 10 \cdot \frac{27}{8} x^6 \cdot \frac{1}{9x^2} = \frac{20}{27}$।

(A) $\left(x^2+\frac{1}{x}\right)^8$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{8}C_{r} (x^2)^{8-r} (x^{-1})^r = {}^{8}C_{r} x^{16-3r}$ है।
$x^4$ के गुणांक के लिए,$16-3r = 4$ रखने पर,$3r = 12$,जिससे $r = 4$ प्राप्त होता है। गुणांक ${}^{8}C_{4} = \frac{8 \times 7 \times 6 \times 5}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = 70$ है।
$x$ के गुणांक के लिए,$16-3r = 1$ रखने पर,$3r = 15$,जिससे $r = 5$ प्राप्त होता है। गुणांक ${}^{8}C_{5} = {}^{8}C_{3} = \frac{8 \times 7 \times 6}{3 \times 2 \times 1} = 56$ है।
हमें $56$ और $70$ के बीच स्थित $4$ के पूर्णांक गुणजों की संख्या ज्ञात करनी है।
$4$ के गुणज $60, 64, 68$ हैं।
अतः,$p$ के ऐसे $3$ मान हैं।
इसलिए,विकल्प $A$ सही है।

(B) दी गई व्यंजक $\left(x^{-\frac{3}{4}}+a x^{\frac{5}{4}}\right)^n$ है।
सामान्य पद $T_{r+1} = {}^n C_r \left(x^{-\frac{3}{4}}\right)^{n-r} \left(a x^{\frac{5}{4}}\right)^r = {}^n C_r a^r x^{-\frac{3n}{4} + 2r}$ है।
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,घात शून्य होनी चाहिए: $-\frac{3n}{4} + 2r = 0 \Rightarrow r = \frac{3n}{8}$.
द्विपद गुणांकों का योग $2^n$ है।
$200 < 2^n < 400$ होने के कारण,$n=8$ प्राप्त होता है $(2^8 = 256)$.
$x$ से स्वतंत्र पद ${}^8 C_3 a^3 = 448$ है।
$56 a^3 = 448$ $\Rightarrow a^3 = 8$ $\Rightarrow a = 2$.

(A) $(ax^2+\frac{1}{bx})^{13}$ के विस्तार में,सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{13}C_r (ax^2)^{13-r} (\frac{1}{bx})^r = {}^{13}C_r \frac{a^{13-r}}{b^r} x^{26-3r}$ है।
$x^5$ के गुणांक के लिए,$26-3r = 5$ रखने पर,$3r = 21$,अतः $r = 7$ प्राप्त होता है।
गुणांक ${}^{13}C_7 \frac{a^6}{b^7}$ है।
$(ax-\frac{1}{bx^2})^{13}$ के विस्तार में,सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{13}C_r (ax)^{13-r} (-\frac{1}{bx^2})^r = (-1)^r {}^{13}C_r \frac{a^{13-r}}{b^r} x^{13-3r}$ है।
$x^{-5}$ के गुणांक के लिए,$13-3r = -5$ रखने पर,$3r = 18$,अतः $r = 6$ प्राप्त होता है।
गुणांक $(-1)^6 {}^{13}C_6 \frac{a^7}{b^6} = {}^{13}C_6 \frac{a^7}{b^6}$ है।
गुणांकों की तुलना करने पर: ${}^{13}C_7 \frac{a^6}{b^7} = {}^{13}C_6 \frac{a^7}{b^6}$।
चूंकि ${}^{13}C_7 = {}^{13}C_6$,इसलिए $\frac{a^6}{b^7} = \frac{a^7}{b^6}$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों को $a^6$ से भाग देने और $b^7$ से गुणा करने पर,$1 = ab$ प्राप्त होता है।

(B) $(2x - 3y)^{12}$ में $x = 3$ और $y = 2$ रखने पर,$T_{r+1} = {}^{12}C_r (2x)^{12-r} (-3y)^r$ प्राप्त होता है।
मान रखने पर,$T_{r+1} = {}^{12}C_r (6)^{12-r} (-6)^r = {}^{12}C_r 6^{12} (-1)^r$।
अतः,$|T_{r+1}| = {}^{12}C_r 6^{12}$।
यह मान तब अधिकतम होता है जब ${}^{12}C_r$ अधिकतम हो,जो $r = 6$ पर होता है।
अतः,सबसे बड़ा पद ${}^{12}C_6 6^{12}$ है।

(A) $(1+x)^{n}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{n}C_{r} x^{r}$ द्वारा दिया जाता है।
$(1+x)^{2018}$ के विस्तार के लिए,$k$-वें पद का गुणांक ${}^{2018}C_{k-1}$ है।
अतः,$(2\alpha+4)$-वें पद का गुणांक ${}^{2018}C_{2\alpha+3}$ है और $(\alpha-2)$-वें पद का गुणांक ${}^{2018}C_{\alpha-3}$ है।
दिया गया है कि ये गुणांक समान हैं,इसलिए ${}^{2018}C_{2\alpha+3} = {}^{2018}C_{\alpha-3}$।
गुणधर्म ${}^{n}C_{x} = {}^{n}C_{y} \implies x=y$ या $x+y=n$ का उपयोग करते हुए:
स्थिति $1$: $2\alpha+3 = \alpha-3 \implies \alpha = -6$ (संभव नहीं)।
स्थिति $2$: $(2\alpha+3) + (\alpha-3) = 2019$ (यदि घात $2019$ हो) $\implies 3\alpha = 2019 \implies \alpha = 673$।

(B) $(1+x)^n$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{k+1} = {^nC_k} x^k$ द्वारा दिया जाता है।
$(1+x)^{42}$ के विस्तार के लिए,गुणांक इस प्रकार हैं:
$(2r+1)^{\text{th}}$ पद का गुणांक ${^{42}C_{2r}}$ है।
$(r+1)^{\text{th}}$ पद का गुणांक ${^{42}C_r}$ है।
दिया गया है कि ये गुणांक समान हैं:
${^{42}C_{2r}} = {^{42}C_r}$.
गुणधर्म ${^nC_x} = {^nC_y}$ का उपयोग करते हुए,हमारे पास दो स्थितियाँ हैं:
स्थिति $1$: $x = y$ $\Rightarrow 2r = r$ $\Rightarrow r = 0$.
स्थिति $2$: $x + y = n$ $\Rightarrow 2r + r = 42$ $\Rightarrow 3r = 42$ $\Rightarrow r = 14$.
चूंकि $r$ एक धनात्मक पूर्णांक होना चाहिए,इसलिए $r = 14$ सही उत्तर है।

(A) $\left(\sqrt{x}-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^{18}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = { }^{18} C_r (\sqrt{x})^{18-r} \left(-\frac{2}{\sqrt{x}}\right)^r$
$T_{r+1} = { }^{18} C_r (x)^{\frac{18-r}{2}} (-2)^r (x)^{-\frac{r}{2}}$
$T_{r+1} = { }^{18} C_r (-2)^r x^{\frac{18-r-r}{2}}$
$T_{r+1} = { }^{18} C_r (-2)^r x^{9-r}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$9 - r = 0 \Rightarrow r = 9$
$r = 9$ को सामान्य पद में रखने पर:
$T_{9+1} = { }^{18} C_9 (-2)^9$
$T_{10} = -{ }^{18} C_9 2^9$

(B) दी गई व्यंजक: $\left[\frac{(x+1)}{\left(x^{2 / 3}-x^{1 / 3}+1\right)}-\frac{(x-1)}{(x-\sqrt{x})}\right]^{10}$
कोष्ठक के अंदर के पदों को सरल करने पर:
$\frac{(x+1)}{\left(x^{2 / 3}-x^{1 / 3}+1\right)} = x^{1/3} + 1$
$\frac{(x-1)}{(x-\sqrt{x})} = 1 + x^{-1/2}$
मान रखने पर: $\left[(x^{1/3} + 1) - (1 + x^{-1/2})\right]^{10} = (x^{1/3} - x^{-1/2})^{10}$
व्यापक पद $T_{r+1}$ इस प्रकार है:
$T_{r+1} = {}^{10}C_r (x^{1/3})^{10-r} (-x^{-1/2})^r = {}^{10}C_r (-1)^r x^{\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2}}$
$x$ से स्वतंत्र पद के लिए,$x$ का घातांक $0$ होना चाहिए:
$\frac{10-r}{3} - \frac{r}{2} = 0$ $\Rightarrow 5r = 20$ $\Rightarrow r = 4$
अतः पद $T_{4+1} = {}^{10}C_4 = 210$ होगा।

(D) $\left(\frac{x^2}{a}-\frac{b}{x}\right)^{11}$ के विस्तार में सामान्य पद $T_{r+1} = {}^{11}C_r \left(\frac{x^2}{a}\right)^{11-r} \left(-\frac{b}{x}\right)^r = {}^{11}C_r \left(\frac{1}{a}\right)^{11-r} (-b)^r x^{22-3r}$ है।
$x^7$ के गुणांक के लिए,$22-3r = 7$ रखने पर,$3r = 15$ अर्थात $r = 5$ प्राप्त होता है। गुणांक $C_1 = {}^{11}C_5 \left(\frac{1}{a}\right)^6 (-b)^5$ है।
$x^4$ के गुणांक के लिए,$22-3r = 4$ रखने पर,$3r = 18$ अर्थात $r = 6$ प्राप्त होता है। गुणांक $C_2 = {}^{11}C_6 \left(\frac{1}{a}\right)^5 (-b)^6$ है।
दी गई शर्त $C_1 + C_2 = 0$ के अनुसार,${}^{11}C_5 \frac{(-b)^5}{a^6} + {}^{11}C_6 \frac{(-b)^6}{a^5} = 0$ है।
चूँकि ${}^{11}C_5 = {}^{11}C_6$,सरल करने पर $ab = 1$ प्राप्त होता है।

(B) दी गई अभिव्यक्ति $(1+x^2)^{12}(1+x^{12})(1+x^{24})$ है।
सबसे पहले,$(1+x^{12})(1+x^{24}) = 1 + x^{12} + x^{24} + x^{36}$ का सरलीकरण करें।
अब,अभिव्यक्ति $(1+x^2)^{12}(1 + x^{12} + x^{24} + x^{36})$ हो जाती है।
द्विपद विस्तार का उपयोग करते हुए,$(1+x^2)^{12} = \sum_{r=0}^{12} {}^{12}C_r x^{2r}$।
हमें $(\sum_{r=0}^{12} {}^{12}C_r x^{2r})(1 + x^{12} + x^{24} + x^{36})$ के गुणनफल में $x^{24}$ का गुणांक ज्ञात करना है।
यह निम्न प्रकार से प्राप्त होता है:
$1$. योग में जहाँ $2r = 24$ है,अर्थात ${}^{12}C_{12} x^{24} \times 1 = {}^{12}C_{12} x^{24}$।
$2$. योग में जहाँ $2r = 12$ है,अर्थात ${}^{12}C_6 x^{12} \times x^{12} = {}^{12}C_6 x^{24}$।
$3$. योग में जहाँ $2r = 0$ है,अर्थात ${}^{12}C_0 x^0 \times x^{24} = 1 \times x^{24} = 1 x^{24}$।
इन गुणांकों का योग: ${}^{12}C_{12} + {}^{12}C_6 + 1 = 1 + {}^{12}C_6 + 1 = {}^{12}C_6 + 2$।