Solution of quadratic equations and Nature of roots Questions in Hindi

(A) माना $y = 4+\frac{1}{5+\frac{1}{4+\frac{1}{5+\ldots}}}$.
यहाँ पद की पुनरावृत्ति होती है: $y = 4+\frac{1}{5+\frac{1}{y}}$.
समीकरण को सरल करने पर: $y - 4 = \frac{y}{5y+1}$.
गुणा करने पर: $(y-4)(5y+1) = y$.
$5y^2 - 20y - 4 = 0$.
द्विघात सूत्र $y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$y = \frac{20 \pm \sqrt{480}}{10}$.
चूंकि $y > 0$,इसलिए $y = \frac{20 + \sqrt{480}}{10} = 2 + \frac{2}{5}\sqrt{30}$.

(A) माना $x=3+\frac{1}{4+\frac{1}{3+\frac{1}{4+\frac{1}{3+\ldots \infty}}}}$
अतः,$x=3+\frac{1}{4+\frac{1}{x}}=3+\frac{x}{4x+1}$
$\Rightarrow x-3=\frac{x}{4x+1}$
$\Rightarrow (x-3)(4x+1)=x$
$\Rightarrow 4x^2+x-12x-3=x$
$\Rightarrow 4x^2-12x-3=0$
द्विघात सूत्र $x=\frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ का उपयोग करने पर:
$x=\frac{12 \pm \sqrt{(-12)^2-4(4)(-3)}}{2(4)}$
$x=\frac{12 \pm \sqrt{144+48}}{8}=\frac{12 \pm \sqrt{192}}{8}$
$x=\frac{12 \pm 8\sqrt{3}}{8} = \frac{3}{2} \pm \sqrt{3} = 1.5 \pm \sqrt{3}$
चूंकि $x > 0$,इसलिए $x=1.5+\sqrt{3}$ होगा।

(D) स्थिति-$I$: $x \leq 5$
$(x+1)^{2} - (x-5) = \frac{27}{4}$
$(x+1)^{2} - (x+1) - \frac{3}{4} = 0$
$y = x+1$ रखने पर,$4y^{2} - 4y - 3 = 0$
$(2y-3)(2y+1) = 0 \implies y = \frac{3}{2}, -\frac{1}{2}$
$x = \frac{1}{2}$ और $x = -\frac{3}{2}$ (दोनों $x \leq 5$ के लिए मान्य हैं)
स्थिति-$II$: $x > 5$
$(x+1)^{2} + (x-5) = \frac{27}{4}$
$4x^{2} + 12x - 43 = 0$
इस समीकरण के मूल $x > 5$ की शर्त को संतुष्ट नहीं करते हैं।
अतः,कुल $2$ वास्तविक मूल हैं।

(B) मान लीजिए $f(x) = 2x^{5}+5x^{4}+10x^{3}+10x^{2}+10x+10$ है।
सबसे पहले,मूल का स्थान ज्ञात करने के लिए पूर्णांक बिंदुओं पर फलन का मान निकालते हैं।
$f(-2) = 2(-32) + 5(16) + 10(-8) + 10(4) + 10(-2) + 10 = -34$.
$f(-1) = 2(-1) + 5(1) + 10(-1) + 10(1) + 10(-1) + 10 = 3$.
चूंकि $f(-2) < 0$ और $f(-1) > 0$ है,इसलिए मध्यवर्ती मान प्रमेय (Intermediate Value Theorem) के अनुसार,अंतराल $(-2, -1)$ में कम से कम एक वास्तविक मूल है।
अब,वास्तविक मूलों की संख्या निर्धारित करने के लिए अवकलन की जाँच करते हैं।
$f'(x) = 10x^{4} + 20x^{3} + 30x^{2} + 20x + 10 = 10(x^{4} + 2x^{3} + 3x^{2} + 2x + 1)$.
यहाँ $x^{4} + 2x^{3} + 3x^{2} + 2x + 1 = (x^{2} + x + 1)^{2}$ है।
अतः,$f'(x) = 10(x^{2} + x + 1)^{2}$ है।
$x^{2} + x + 1$ का विविक्तकर (discriminant) $1 - 4 = -3$ है,जो ऋणात्मक है,इसलिए यह सभी वास्तविक $x$ के लिए धनात्मक है।
इस प्रकार,$f'(x) > 0$ है,जिसका अर्थ है कि $f(x)$ निरंतर वर्धमान फलन है और इसका केवल एक वास्तविक मूल है।
चूंकि मूल $(-2, -1)$ में स्थित है,इसलिए $a = -2$ है। अतः,$|a| = |-2| = 2$।

(A) माना $a = 3x^2 + 4x + 3$ और $b = 3x^2 + 4x + 2$ है। यहाँ $b = a - 1$ है।
दिया गया समीकरण $a^2 - (k + 1)ab + kb^2 = 0$ हो जाता है।
गुणनखंड करने पर:
$(a - b)(a - kb) = 0$
दो स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$1) \; a = b \Rightarrow 3 = 2$ (असंभव)।
$2) \; a = kb \Rightarrow 3x^2 + 4x + 3 = k(3x^2 + 4x + 2)$।
समीकरण को व्यवस्थित करने पर:
$3(k - 1)x^2 + 4(k - 1)x + (2k - 3) = 0$।
वास्तविक मूलों के लिए,विविक्तकर $D \geq 0$:
$D = 16(k - 1)^2 - 12(k - 1)(2k - 3) \geq 0$
$4(k - 1)(-2k + 5) \geq 0$
$(k - 1)(2k - 5) \leq 0$।
हल करने पर,$1 \leq k \leq \frac{5}{2}$ प्राप्त होता है। $k = 1$ के लिए समीकरण का अस्तित्व नहीं है,अतः $k \neq 1$।
अतः,$k \in (1, \frac{5}{2}]$।

(A) मान लीजिए $x^{2}+ax+b=0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
यदि $\alpha$ एक मूल है,तो $\alpha^{2}-2$ भी एक मूल होना चाहिए।
स्थिति $1$: $\alpha = \beta$. तब $\alpha = \alpha^{2}-2$,जिससे $\alpha^{2}-\alpha-2=0$,जो $\alpha=2$ या $\alpha=-1$ देता है।
यदि $\alpha=2$,तो $x^{2}-4x+4=0$,अतः $(a, b) = (-4, 4)$।
यदि $\alpha=-1$,तो $x^{2}+2x+1=0$,अतः $(a, b) = (2, 1)$।
स्थिति $2$: $\alpha \neq \beta$. मूलों का समुच्चय $S = \{\alpha, \beta\}$ को $f(x) = x^{2}-2$ द्वारा स्वयं पर मैप होना चाहिए।
उपस्थिति $2.1$: $f(\alpha)=\alpha$ और $f(\beta)=\beta$. इससे $\alpha, \beta \in \{2, -1\}$ प्राप्त होता है। चूँकि $\alpha \neq \beta$,इसलिए $\{\alpha, \beta\} = \{2, -1\}$। तब $a = -(\alpha+\beta) = -1$ और $b = \alpha\beta = -2$। अतः $(a, b) = (-1, -2)$।
उपस्थिति $2.2$: $f(\alpha)=\beta$ और $f(\beta)=\alpha$. तब $\alpha^{2}-2=\beta$ और $\beta^{2}-2=\alpha$। घटाने पर $\alpha^{2}-\beta^{2} = \beta-\alpha$ प्राप्त होता है,इसलिए $(\alpha-\beta)(\alpha+\beta+1)=0$। चूँकि $\alpha \neq \beta$,इसलिए $\alpha+\beta = -1$। साथ ही $\alpha^{2}+\beta^{2}-4 = \alpha+\beta = -1$,इसलिए $(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha\beta = 3$,जो $1-2\alpha\beta=3$ देता है,इसलिए $\alpha\beta=-1$। इस प्रकार $a = -(\alpha+\beta) = 1$ और $b = \alpha\beta = -1$। अतः $(a, b) = (1, -1)$।
उपस्थिति $2.3$: $f(\alpha)=f(\beta)=\alpha$ (या $\beta$)। यदि $f(\alpha)=f(\beta)=\alpha$ है,तो $\alpha^{2}-2=\alpha$ और $\beta^{2}-2=\alpha$। इसलिए $\alpha \in \{2, -1\}$। यदि $\alpha=2$,तो $\beta^{2}-2=2$ $\Rightarrow \beta^{2}=4$ $\Rightarrow \beta=-2$ (चूँकि $\beta \neq \alpha$)। तब $a = -(2-2)=0$ और $b = 2(-2)=-4$। अतः $(a, b) = (0, -4)$। यदि $\alpha=-1$,तो $\beta^{2}-2=-1$ $\Rightarrow \beta^{2}=1$ $\Rightarrow \beta=1$ (चूँकि $\beta \neq \alpha$)। तब $a = -(-1+1)=0$ और $b = -1(1)=-1$। अतः $(a, b) = (0, -1)$।
ऐसे $6$ युग्म हैं: $(2, 1), (-4, 4), (-1, -2), (1, -1), (0, -4), (0, -1)$।

(C) दिया गया समीकरण: $[e^{x}]^{2} + [e^{x} + 1] - 3 = 0$.
किसी भी पूर्णांक $n$ के लिए $[x + n] = [x] + n$ गुण का उपयोग करते हुए,हमारे पास $[e^{x} + 1] = [e^{x}] + 1$ है।
इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $[e^{x}]^{2} + [e^{x}] + 1 - 3 = 0$.
मान लीजिए $t = [e^{x}]$. तो समीकरण $t^{2} + t - 2 = 0$ बन जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t + 2)(t - 1) = 0$,जिससे $t = -2$ या $t = 1$ प्राप्त होता है।
चूंकि $e^{x} > 0$,$[e^{x}]$ का मान $-2$ नहीं हो सकता।
अतः,$[e^{x}] = 1$.
महत्तम पूर्णांक फलन की परिभाषा के अनुसार,$1 \leq e^{x} < 2$.
दोनों तरफ प्राकृतिक लघुगणक लेने पर: $\ln(1) \leq x < \ln(2)$.
चूंकि $\ln(1) = 0$,हमें $0 \leq x < \ln(2)$ प्राप्त होता है।
इसलिए,$x \in [0, \ln 2)$.

(C) दिया गया समीकरण $x^{2}-|x|-12=0$ है।
चूंकि $x^{2} = |x|^{2}$,हम समीकरण को $|x|^{2}-|x|-12=0$ के रूप में लिख सकते हैं।
माना $t = |x|$,जहाँ $t \geq 0$ है। समीकरण $t^{2}-t-12=0$ बन जाता है।
द्विघात समीकरण का गुणनखंड करने पर: $(t-4)(t+3)=0$ प्राप्त होता है।
इससे $t=4$ या $t=-3$ मिलता है।
चूंकि $t = |x| \geq 0$ है,इसलिए हम $t=-3$ को अस्वीकार करते हैं।
अतः,$|x|=4$,जिसका अर्थ है $x=4$ या $x=-4$ है।
इसलिए,कुल $2$ वास्तविक हल हैं।

(B) दिया गया समीकरण $x^{2}+(20)^{\frac{1}{4}} x+(5)^{\frac{1}{2}}=0$ है।
हम इसे $x^{2}+\sqrt{5} = -(20)^{\frac{1}{4}} x$ के रूप में लिख सकते हैं।
दोनों पक्षों का वर्ग करने पर,$(x^{2}+\sqrt{5})^{2} = ((20)^{\frac{1}{4}} x)^{2}$ प्राप्त होता है।
$x^{4} + 2\sqrt{5}x^{2} + 5 = \sqrt{20}x^{2}$.
चूंकि $\sqrt{20} = 2\sqrt{5}$,समीकरण $x^{4} + 2\sqrt{5}x^{2} + 5 = 2\sqrt{5}x^{2}$ बन जाता है।
यह सरल होकर $x^{4} + 5 = 0$,या $x^{4} = -5$ हो जाता है।
पुनः वर्ग करने पर,$x^{8} = (-5)^{2} = 25$.
चूंकि $\alpha$ और $\beta$ मूल समीकरण के मूल हैं,वे $x^{4} = -5$ को संतुष्ट करते हैं,और इसलिए $\alpha^{8} = 25$ और $\beta^{8} = 25$.
अतः,$\alpha^{8} + \beta^{8} = 25 + 25 = 50$.

(B) दिया गया समीकरण: $e^{4x} - e^{3x} - 4e^{2x} - e^{x} + 1 = 0$.
$e^{2x}$ से भाग देने पर ($e^{2x} > 0$ है):
$e^{2x} - e^{x} - 4 - e^{-x} + e^{-2x} = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर: $(e^{2x} + e^{-2x}) - (e^{x} + e^{-x}) - 4 = 0$.
माना $t = e^{x} > 0$. तब $e^{x} + e^{-x} = t + \frac{1}{t} = \alpha$,जहाँ $\alpha \geq 2$.
यहाँ $e^{2x} + e^{-2x} = (t + \frac{1}{t})^2 - 2 = \alpha^2 - 2$.
समीकरण में मान रखने पर: $(\alpha^2 - 2) - \alpha - 4 = 0$.
$\alpha^2 - \alpha - 6 = 0$.
$(\alpha - 3)(\alpha + 2) = 0$.
चूँकि $\alpha \geq 2$,इसलिए $\alpha = 3$.
अब,$t + \frac{1}{t} = 3 \Rightarrow t^2 - 3t + 1 = 0$.
विविक्तकर $D = (-3)^2 - 4(1)(1) = 5 > 0$.
चूँकि $t = e^{x} > 0$ और मूलों का गुणनफल $1$ तथा योग $3$ है,इसलिए $t$ के दोनों मूल धनात्मक हैं।
अतः,$x$ के $2$ वास्तविक मूल प्राप्त होते हैं।

(B) दिया गया समीकरण: $(e^{2x} - 4)(6e^{2x} - 5e^x + 1) = 0$
द्विघात भाग का गुणनखंड करने पर: $6e^{2x} - 5e^x + 1 = (3e^x - 1)(2e^x - 1) = 0$
अतः समीकरण: $(e^{2x} - 4)(3e^x - 1)(2e^x - 1) = 0$
तीन स्थितियाँ प्राप्त होती हैं:
$1) e^{2x} = 4 \Rightarrow x = \ln 2$
$2) e^x = \frac{1}{3} \Rightarrow x = -\ln 3$
$3) e^x = \frac{1}{2} \Rightarrow x = -\ln 2$
वास्तविक मूलों का योग = $\ln 2 - \ln 3 - \ln 2 = -\ln 3$.

(D) दिया गया समीकरण: $e^{4x} + 4e^{3x} - 58e^{2x} + 4e^{x} + 1 = 0$.
$e^{2x}$ से भाग देने पर:
$e^{2x} + 4e^{x} - 58 + 4e^{-x} + e^{-2x} = 0$.
पदों को व्यवस्थित करने पर:
$(e^{2x} + e^{-2x}) + 4(e^{x} + e^{-x}) - 58 = 0$.
माना $t = e^{x} + e^{-x}$. वास्तविक $x$ के लिए $t \geq 2$.
चूंकि $(e^{x} + e^{-x})^{2} = e^{2x} + e^{-2x} + 2$,इसलिए $e^{2x} + e^{-2x} = t^{2} - 2$.
समीकरण में मान रखने पर:
$(t^{2} - 2) + 4t - 58 = 0 \implies t^{2} + 4t - 60 = 0$.
गुणनखंड करने पर:
$(t + 10)(t - 6) = 0$.
अतः,$t = -10$ या $t = 6$.
चूंकि $t = e^{x} + e^{-x} \geq 2$,इसलिए $t = -10$ संभव नहीं है।
अतः,$e^{x} + e^{-x} = 6$.
$e^{2x} - 6e^{x} + 1 = 0$.
माना $u = e^{x}$. तब $u^{2} - 6u + 1 = 0$.
विविक्तकर $D = (-6)^{2} - 4(1)(1) = 32 > 0$.
मूलों का गुणनफल $1 > 0$ और योग $6 > 0$ है,इसलिए दोनों मूल $u_{1}, u_{2}$ धनात्मक हैं।
चूंकि $u = e^{x} > 0$,इसलिए दोनों मूलों के लिए $x = \ln(u)$ के वास्तविक हल प्राप्त होते हैं।
अतः,$2$ वास्तविक हल हैं।

(D) दिए गए समीकरण $(p^{2}+q^{2})x^{2}-2q(p+r)x + q^{2}+r^{2}=0$ को $(px-q)^{2} + (qx-r)^{2} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
अतः,$x = \frac{q}{p} = \frac{r}{q}$ प्राप्त होता है।
दूसरे समीकरण $x^{2}+2x-8=0$ के मूल $x = -4$ या $x = 2$ हैं।
यदि हम $x = -4$ लेते हैं,तो $\frac{q}{p} = -4$ और $\frac{r}{q} = -4$ प्राप्त होता है।
इसलिए $q = -4p$ और $r = 16p$ होता है।
अब,$\frac{q^{2}+r^{2}}{p^{2}} = \frac{(-4p)^{2} + (16p)^{2}}{p^{2}} = \frac{16p^{2} + 256p^{2}}{p^{2}} = 272$।

(B) दिया गया समीकरण: $x^{5}(x^{3}-x^{2}-x+1)+x(3x^{3}-4x^{2}-2x+4)-1=0$
पदों का गुणनखंड करने पर: $(x-1)^{2}(x+1)(x^{5}+3x-1)=0$ प्राप्त होता है।
माना $f(x) = x^{5}+3x-1$। चूँकि $f'(x) = 5x^{4}+3 > 0$ है,इसलिए $f(x)$ एक वर्धमान फलन है और इसका केवल $1$ वास्तविक मूल है।
$(x-1)^{2}(x+1) = 0$ के मूल $x=1$ और $x=-1$ हैं।
अतः,कुल $3$ भिन्न वास्तविक मूल हैं।

(B) दिया गया है $\alpha + \beta = \sqrt{2}$ और $\alpha \beta = \sqrt{6}$।
मान लीजिए $x^{2}+ax+b=0$ के मूल $y_1 = \frac{1}{\alpha^{2}}+1$ और $y_2 = \frac{1}{\beta^{2}}+1$ हैं।
मूलों का योग: $-a = y_1 + y_2 = \frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{(\alpha \beta)^{2}} + 2 = \frac{(\alpha+\beta)^{2}-2\alpha \beta}{(\alpha \beta)^{2}} + 2 = \frac{2-2\sqrt{6}}{6} + 2 = \frac{1-\sqrt{6}}{3} + 2 = \frac{7-\sqrt{6}}{3}$।
मूलों का गुणनफल: $b = y_1 y_2 = (\frac{1}{\alpha^{2}}+1)(\frac{1}{\beta^{2}}+1) = \frac{1}{(\alpha \beta)^{2}} + \frac{\alpha^{2}+\beta^{2}}{(\alpha \beta)^{2}} + 1 = \frac{1}{6} + \frac{2-2\sqrt{6}}{6} + 1 = \frac{1+2-2\sqrt{6}+6}{6} = \frac{9-2\sqrt{6}}{6}$।
अब,समीकरण $x^{2}-(a+b-2)x+(a+b+2)=0$ पर विचार करें।
$a+b = -\frac{7-\sqrt{6}}{3} + \frac{9-2\sqrt{6}}{6} = \frac{-14+2\sqrt{6}+9-2\sqrt{6}}{6} = -\frac{5}{6}$।
समीकरण $x^{2}-(-\frac{5}{6}-2)x+(-\frac{5}{6}+2) = 0$ बन जाता है,जो $x^{2} + \frac{17}{6}x + \frac{7}{6} = 0$ या $6x^{2}+17x+7=0$ है।
मूल $x = \frac{-17 \pm \sqrt{289 - 168}}{12} = \frac{-17 \pm \sqrt{121}}{12} = \frac{-17 \pm 11}{12}$ हैं।
$x_1 = -\frac{28}{12} = -\frac{7}{3}$ और $x_2 = -\frac{6}{12} = -\frac{1}{2}$।
दोनों मूल वास्तविक और ऋणात्मक हैं।

(D) दिया गया फलन $f(x) = ax^{2} + bx + c$ है।
हमें $f(1) = 3$,$f(-2) = \lambda$,$f(3) = 4$ और $f(0) + f(1) + f(-2) + f(3) = 14$ दिया गया है।
योग समीकरण में ज्ञात मानों को प्रतिस्थापित करने पर:
$f(0) + 3 + \lambda + 4 = 14$
$f(0) + 7 + \lambda = 14$
$f(0) = 7 - \lambda$.
चूंकि $f(0) = a(0)^{2} + b(0) + c = c$,इसलिए $c = 7 - \lambda$ है।
अब,समीकरणों की प्रणाली बनाने के लिए दिए गए मानों का उपयोग करें:
$f(1) = a + b + c = 3 \implies a + b = 3 - c = 3 - (7 - \lambda) = \lambda - 4$ (समीकरण $1$)
$f(3) = 9a + 3b + c = 4 \implies 9a + 3b = 4 - c = 4 - (7 - \lambda) = \lambda - 3$ (समीकरण $2$)
$f(-2) = 4a - 2b + c = \lambda \implies 4a - 2b = \lambda - c = \lambda - (7 - \lambda) = 2\lambda - 7$ (समीकरण $3$)
समीकरण $1$ से,$b = \lambda - 4 - a$ है। इसे समीकरण $2$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$9a + 3(\lambda - 4 - a) = \lambda - 3$
$9a + 3\lambda - 12 - 3a = \lambda - 3$
$6a = -2\lambda + 9 \implies a = \frac{9 - 2\lambda}{6}$।
$a$ का मान समीकरण $3$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$4(\frac{9 - 2\lambda}{6}) - 2b = 2\lambda - 7$
$2(\frac{9 - 2\lambda}{3}) - 2b = 2\lambda - 7$
$b = \frac{9 - 2\lambda}{3} - (\lambda - \frac{7}{2}) = \frac{18 - 4\lambda - 6\lambda + 21}{6} = \frac{39 - 10\lambda}{6}$।
$a + b = \lambda - 4$ का उपयोग करते हुए:
$\frac{9 - 2\lambda}{6} + \frac{39 - 10\lambda}{6} = \lambda - 4$
$48 - 12\lambda = 6\lambda - 24$
$18\lambda = 72 \implies \lambda = 4$.

(B) दिया गया समीकरण: $\frac{3 x^{2}-9 x+17}{x^{2}+3 x+10}=\frac{5 x^{2}-7 x+19}{3 x^{2}+5 x+12}$
अंश को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$\frac{(x^{2}+3 x+10) + (2 x^{2}-12 x+7)}{x^{2}+3 x+10} = \frac{(3 x^{2}+5 x+12) + (2 x^{2}-12 x+7)}{3 x^{2}+5 x+12}$
$1 + \frac{2 x^{2}-12 x+7}{x^{2}+3 x+10} = 1 + \frac{2 x^{2}-12 x+7}{3 x^{2}+5 x+12}$
$(2 x^{2}-12 x+7) \left( \frac{1}{x^{2}+3 x+10} - \frac{1}{3 x^{2}+5 x+12} \right) = 0$
स्थिति $1$: $2 x^{2}-12 x+7 = 0$. मूलों का योग $-\frac{b}{a} = -(\frac{-12}{2}) = 6$ है। विविक्तकर $D = 88 > 0$ है,अतः दोनों मूल वास्तविक हैं।
स्थिति $2$: $x^{2}+3 x+10 = 3 x^{2}+5 x+12 \implies x^{2}+x+1 = 0$. विविक्तकर $D = -3 < 0$ है,अतः कोई वास्तविक मूल नहीं है।
अतः,$x$ के सभी वास्तविक मानों का योग $6$ है।

(A) दिया गया है,$x = (\sqrt{50} + 7)^{1/3} - (\sqrt{50} - 7)^{1/3}$.
दोनों पक्षों का घन करने पर,हम सर्वसमिका $(a - b)^3 = a^3 - b^3 - 3ab(a - b)$ का उपयोग करते हैं:
$x^3 = (\sqrt{50} + 7) - (\sqrt{50} - 7) - 3[(\sqrt{50} + 7)(\sqrt{50} - 7)]^{1/3} \cdot x$
पदों को सरल करने पर:
$x^3 = 14 - 3(50 - 49)^{1/3} \cdot x$
$x^3 = 14 - 3(1)^{1/3} \cdot x$
$x^3 = 14 - 3x$
समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर:
$x^3 + 3x - 14 = 0$
मानों की जाँच करने पर,हम पाते हैं कि $x = 2$ एक मूल है क्योंकि $2^3 + 3(2) - 14 = 8 + 6 - 14 = 0$.
बहुपद का गुणनखंड करने पर:
$(x - 2)(x^2 + 2x + 7) = 0$
द्विघात गुणनखंड $x^2 + 2x + 7$ का विविक्तकर $D = 2^2 - 4(1)(7) = 4 - 28 = -24 < 0$ है,इसलिए इसका कोई वास्तविक मूल नहीं है।
अतः,एकमात्र वास्तविक समाधान $x = 2$ है।

(C) दिया गया समीकरण $x^3+3x^2+3x+3=0$ है।
मान लीजिए $f(x) = x^3+3x^2+3x+3$ है।
तब $f'(x) = 3x^2+6x+3 = 3(x+1)^2$ है।
चूंकि सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए $f'(x) \geq 0$ है,इसलिए फलन $f(x)$ एकदिष्ट वर्धमान फलन है।
अतः,समीकरण $f(x)=0$ का केवल एक वास्तविक मूल $\alpha$ है।
चूंकि $f(-3) = -27+27-9+3 = -6 < 0$ और $f(-2) = -8+12-6+3 = 1 > 0$ है,इसलिए वास्तविक मूल $\alpha$ अंतराल $(-3, -2)$ में स्थित है।
मान लीजिए कि त्रिघात समीकरण के मूल $\alpha, \beta, \gamma$ हैं,जहाँ $\beta$ और $\gamma$ अवास्तविक सम्मिश्र संयुग्मी मूल हैं।
विएटा के सूत्रों से,मूलों का योग $\alpha + \beta + \gamma = -3$ है।
इसलिए,$\beta + \gamma = -3 - \alpha$ है।
चूंकि $-3 < \alpha < -2$ है,हमारे पास $-(-2) < -\alpha < -(-3)$ है,जिसका अर्थ है $2 < -\alpha < 3$।
सभी भागों में $-3$ जोड़ने पर: $2-3 < -3 - \alpha < 3-3$,जो $-1 < \beta + \gamma < 0$ देता है।
अतः,अवास्तविक मूलों का योग $-1$ और $0$ के बीच स्थित है।

(D) दिया गया समीकरण: $\sqrt{x+3-4 \sqrt{x-1}}+\sqrt{x+8-6 \sqrt{x-1}}=1$
मान लीजिए $u = \sqrt{x-1}$,जहाँ $u \ge 0$ है। तब $x-1 = u^2$,अतः $x = u^2+1$ है।
समीकरण में मान रखने पर:
$\sqrt{u^2+1+3-4u} + \sqrt{u^2+1+8-6u} = 1$
$\sqrt{u^2-4u+4} + \sqrt{u^2-6u+9} = 1$
$|u-2| + |u-3| = 1$
यह समीकरण तभी सत्य है जब $2 \le u \le 3$ हो।
चूँकि $u = \sqrt{x-1}$ है,इसलिए $2 \le \sqrt{x-1} \le 3$।
वर्ग करने पर: $4 \le x-1 \le 9$,जिससे $5 \le x \le 10$ प्राप्त होता है।
अतः,समीकरण के अंतराल $[5, 10]$ में अनंत हल हैं।

(B) हमारे पास $f(x) = (x - a_1)(x - a_2) + (x - a_2)(x - a_3) + (x - a_3)(x - a_1)$ है।
विस्तार करने पर,$f(x) = 3x^2 - 2(a_1 + a_2 + a_3)x + (a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_1)$ प्राप्त होता है।
$f(x) \geq 0$ के लिए विविक्तकर $D \leq 0$ होना चाहिए।
$D = [-2(a_1 + a_2 + a_3)]^2 - 4(3)(a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_1) \leq 0$.
$4(a_1 + a_2 + a_3)^2 - 12(a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_1) \leq 0$.
$4$ से विभाजित करने पर,$(a_1 + a_2 + a_3)^2 - 3(a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_1) \leq 0$.
$a_1^2 + a_2^2 + a_3^2 - (a_1a_2 + a_2a_3 + a_3a_1) \leq 0$.
$2$ से गुणा करने पर,$(a_1 - a_2)^2 + (a_2 - a_3)^2 + (a_3 - a_1)^2 \leq 0$.
चूँकि वर्गों का योग $\leq 0$ है,इसलिए प्रत्येक पद $0$ होना चाहिए।
अतः,$a_1 = a_2 = a_3$।

(D) दिया गया है कि समीकरण $x^2+2ax+b^2=0$ के दो अलग-अलग वास्तविक मूल हैं,इसलिए इसका विविक्तकर $D_1 > 0$ है।
$D_1 = (2a)^2 - 4(1)(b^2) = 4a^2 - 4b^2 > 0 \Rightarrow a^2 > b^2$ $(i)$
इसी प्रकार,समीकरण $x^2+2bx+c^2=0$ के लिए,विविक्तकर $D_2 > 0$ है।
$D_2 = (2b)^2 - 4(1)(c^2) = 4b^2 - 4c^2 > 0 \Rightarrow b^2 > c^2$ $(ii)$
$(i)$ और $(ii)$ से,हमारे पास $a^2 > b^2 > c^2$ है,जिसका अर्थ है कि $a^2 > c^2$ है।
अब,समीकरण $x^2+2cx+a^2=0$ पर विचार करें। इसका विविक्तकर $D_3$ है:
$D_3 = (2c)^2 - 4(1)(a^2) = 4c^2 - 4a^2 = 4(c^2 - a^2)$।
चूंकि $a^2 > c^2$ है,इसलिए $c^2 - a^2 < 0$ है,जिसका अर्थ है $D_3 < 0$ है।
अतः,समीकरण $x^2+2cx+a^2=0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

(A) माना $f(x) = x^3+ax^2+bx+c$.
तब $f'(x) = 3x^2+2ax+b$.
द्विघात $f'(x)$ का विविक्तकर $D = (2a)^2 - 4(3)(b) = 4a^2 - 12b = 4(a^2-3b)$ है।
यदि $a^2-2b < 0$ है,तो $a^2 < 2b$.
अतः $D < 0$ है,जिसका अर्थ है कि सभी $x$ के लिए $f'(x) > 0$ है।
इसलिए $f(x)$ एक निरंतर वर्धमान फलन है।
एक निरंतर वर्धमान त्रिघात बहुपद का ठीक एक वास्तविक मूल और दो सम्मिश्र मूल होते हैं।
अतः,विकल्प $A$ में दिया गया कथन सही है।

(C) दिया गया समीकरण: $6^m + 2^{m+n} \cdot 3^w + 2^n = 332$.
हम समीकरण को $6^m + 2^m \cdot 2^n \cdot 3^w + 2^n = 332$ के रूप में लिख सकते हैं,जो $6^m + 2^n(2^m \cdot 3^w + 1) = 332$ में सरल हो जाता है।
यदि $m=2$ है,तो $6^2 + 2^n(2^2 \cdot 3^w + 1) = 332$.
$36 + 2^n(4 \cdot 3^w + 1) = 332$.
$2^n(4 \cdot 3^w + 1) = 296$.
चूंकि $296 = 8 \times 37 = 2^3 \times 37$,इसलिए $2^n = 2^3$,जिसका अर्थ है $n=3$.
साथ ही,$4 \cdot 3^w + 1 = 37$,जिसका अर्थ है $4 \cdot 3^w = 36$,जिससे $3^w = 9$ प्राप्त होता है,अर्थात $w=2$ है।
अतः,$m=2, n=3$ धनात्मक पूर्णांक हैं जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं।
अब,$m^2 + mn + n^2 = (2)^2 + (2)(3) + (3)^2 = 4 + 6 + 9 = 19$।

(C) दिया गया समीकरण $[x^2] = x + 1$ है।
चूंकि $[x^2]$ एक पूर्णांक है,इसलिए $x + 1$ भी एक पूर्णांक होना चाहिए,जिसका अर्थ है कि $x$ एक पूर्णांक है।
मान लीजिए $x = n$,जहाँ $n \in \mathbb{Z}$ है।
समीकरण $[n^2] = n + 1$ हो जाता है।
चूंकि $n^2$ एक पूर्णांक है,इसलिए $[n^2] = n^2$ है।
अतः,$n^2 = n + 1$,जिसका अर्थ है $n^2 - n - 1 = 0$।
इस द्विघात समीकरण के मूल $n = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ हैं।
चूंकि $\frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$ पूर्णांक नहीं हैं,इसलिए कोई भी पूर्णांक $n$ समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है।
इसलिए,समीकरण $[x^2] = x + 1$ का कोई हल नहीं है।

(C) दिया गया द्विघात समीकरण $2x^2 + bx + \frac{1}{b} = 0$ है,जिसके दो भिन्न वास्तविक मूल हैं,इसलिए विविक्तकर $D > 0$ होगा।
$D = b^2 - 4(2)(\frac{1}{b}) > 0$
$b^2 - \frac{8}{b} > 0 \Rightarrow \frac{b^3 - 8}{b} > 0$
गुणनखंड $b^3 - 8 = (b - 2)(b^2 + 2b + 4)$ का उपयोग करते हुए,और यह देखते हुए कि $b^2 + 2b + 4 = (b + 1)^2 + 3 > 0$ सभी वास्तविक $b$ के लिए है,असमिका सरल होकर निम्न हो जाती है:
$\frac{b - 2}{b} > 0$
यह तब सत्य है जब $b \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)$ हो।
अब,विकल्प $(c)$ की जाँच करें:
$b^2 - 3b > -2 \Rightarrow b^2 - 3b + 2 > 0$
$(b - 2)(b - 1) > 0$
यह तब सत्य है जब $b \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty)$ हो।
चूँकि $(-\infty, 0) \cup (2, \infty)$,$(-\infty, 1) \cup (2, \infty)$ का उपसमुच्चय है,इसलिए मूल द्विघात समीकरण की शर्त को पूरा करने वाले सभी $b$ के लिए $b^2 - 3b > -2$ शर्त संतुष्ट होती है।

(B) दिया गया है कि $p(x) = x^2 + ax + b$ के दो भिन्न वास्तविक मूल $r_1$ और $r_2$ हैं। अतः,$p(x) = (x - r_1)(x - r_2)$.
तब $g(x) = p(x^3) = (x^3 - r_1)(x^3 - r_2)$.
किसी भी वास्तविक $r$ के लिए $x^3 - r = 0$ का ठीक एक वास्तविक मूल होता है,इसलिए $g(x)$ के मूल $x = \sqrt[3]{r_1}$ और $x = \sqrt[3]{r_2}$ हैं।
चूंकि $r_1 \neq r_2$,इसलिए $\sqrt[3]{r_1} \neq \sqrt[3]{r_2}$ है। अतः,$g(x)$ के ठीक दो भिन्न वास्तविक मूल हैं। कथन $I$ सत्य है और $II$ असत्य है।
कथन $III$ के लिए,$g(x) = (x^3)^2 + a(x^3) + b = x^6 + ax^3 + b$. जैसे $x \to \infty$,$g(x) \to \infty$. चूंकि $g(x)$ सम घात $(6)$ का एक सतत बहुपद है,इसका एक वैश्विक न्यूनतम मान होगा। अतः,एक ऐसी वास्तविक संख्या $\alpha$ मौजूद है कि सभी वास्तविक $x$ के लिए $g(x) \geq \alpha$ है। कथन $III$ सत्य है।
इसलिए,$I$ और $III$ दोनों सत्य हैं।

(A) द्विघात समीकरण $4x^2+bx+c=0$ के मूल समान होते हैं यदि इसका विविक्तकर $D = b^2 - 4(4)(c) = 0$ हो।
इसका अर्थ है $b^2 = 16c$,या $b^2 = (4\sqrt{c})^2$,जिसका अर्थ है $b = 4\sqrt{c}$।
चूंकि $b$ एक पूर्णांक होना चाहिए और $b \in S$,इसलिए $c$ को एक पूर्ण वर्ग संख्या होनी चाहिए ताकि $4\sqrt{c} \in \{1, 2, \ldots, 100\}$ हो।
मान लीजिए $c = k^2$ किसी पूर्णांक $k$ के लिए। तो $b = 4k$।
चूंकि $1 \le b \le 100$,हमारे पास $1 \le 4k \le 100$ है,जिसका अर्थ है $1 \le k \le 25$।
साथ ही,$c = k^2$ को $S$ में होना चाहिए,इसलिए $1 \le k^2 \le 100$,जिसका अर्थ है $1 \le k \le 10$।
अतः,$k$ के लिए संभावित मान $\{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\}$ हैं।
ऐसी $10$ युग्म $(b, c)$ संभव हैं।
$S$ से $b$ और $c$ चुनने के कुल तरीके $100 \times 100 = 10000$ हैं।
प्रायिकता $\frac{10}{10000} = \frac{1}{1000} = 0.001$ है।

(B) दिया गया है कि $p = p_1 + p_2 = p_3 - p_4$ जहाँ $p, p_1, p_2, p_3, p_4$ अभाज्य संख्याएँ हैं।
स्थिति $I$: यदि $p_1, p_2, p_3, p_4$ सभी विषम हैं,तो $p_1 + p_2$ सम होगा,जिसका अर्थ है कि $p$ सम है। चूँकि $p$ अभाज्य है,$p = 2$ होगा। लेकिन $p_1 + p_2 = 2$ अभाज्य संख्याओं के लिए संभव नहीं है।
स्थिति $II$: $p_1, p_2$ में से कम से कम एक $2$ होना चाहिए। मान लीजिए $p_2 = 2$ है। तो $p = p_1 + 2$। चूँकि $p$ और $p_1$ अभाज्य हैं,$p_1$ विषम होना चाहिए। यदि $p_1$ विषम है,तो $p$ भी विषम होगा।
$p = p_3 - p_4$ से,$p_3 = p + p_4$। चूँकि $p$ विषम है,$p_3$ के अभाज्य होने के लिए $p_4 = 2$ होना आवश्यक है।
इस प्रकार,$p = p_1 + 2$ और $p = p_3 - 2$,जिसका अर्थ है $p_3 = p + 2$ और $p_1 = p - 2$।
हमें $p-2, p, p+2$ तीनों को अभाज्य होना चाहिए। इस प्रकार की एकमात्र अभाज्य त्रयी $(3, 5, 7)$ है।
अतः,$p = 5$ एकमात्र समाधान है।
विशेष अभाज्य संख्याओं की संख्या $1$ है।

(B) दिया गया समीकरण: $x^4-x^2+2x-1=0$
समीकरण को इस प्रकार लिखें: $x^4-(x^2-2x+1)=0$
यह सरल होकर बनता है: $x^4-(x-1)^2=0$
वर्गों के अंतर के सूत्र $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ का उपयोग करने पर:
$(x^2-(x-1))(x^2+(x-1))=0$
$(x^2-x+1)(x^2+x-1)=0$
स्थिति $1$: $x^2-x+1=0$. विविक्तकर $D = (-1)^2 - 4(1)(1) = 1-4 = -3$. चूँकि $D < 0$,कोई वास्तविक मूल नहीं है।
स्थिति $2$: $x^2+x-1=0$. विविक्तकर $D = (1)^2 - 4(1)(-1) = 1+4 = 5$. चूँकि $D > 0$,दो भिन्न वास्तविक मूल हैं।
अतः,वास्तविक मूलों की कुल संख्या $2$ है।

(B) कथन $I$ असत्य है। सुसंगत रैखिक समीकरणों के युग्म के या तो अद्वितीय हल (प्रतिच्छेदी रेखाएं) हो सकते हैं या अनंत हल (संपाती रेखाएं) हो सकते हैं।
कथन $II$ असत्य है। मान लीजिए कि दो क्रमागत पूर्णांक $x$ और $x+1$ हैं।
प्रश्न के अनुसार,$x^2 + (x+1)^2 = 365$.
$x^2 + x^2 + 2x + 1 = 365$
$2x^2 + 2x - 364 = 0$
$x^2 + x - 182 = 0$
$(x + 14)(x - 13) = 0$
अतः,$x = 13$ या $x = -14$.
यदि $x = 13$ है,तो पूर्णांक $13$ और $14$ हैं। जाँच: $13^2 + 14^2 = 169 + 196 = 365$.
चूंकि ऐसे पूर्णांक मौजूद हैं,इसलिए कथन $II$ असत्य है।
अतः,$I$ और $II$ दोनों असत्य हैं।

(B) मान लीजिए $P(n)$,$n$ के अंकों का गुणनफल है। हमें दिया गया है $P(n) = n^2-10n-36$.
चूंकि $P(n) \geq 0$,इसलिए $n^2-10n-36 \geq 0$। $n^2-10n-36 = 0$ को हल करने पर $n = 5 \pm \sqrt{61}$ प्राप्त होता है। चूंकि $n$ एक प्राकृतिक संख्या है,इसलिए $n \geq 5 + \sqrt{61} \approx 12.8$,अतः $n \geq 13$।
यदि $n$ एक $2$-अंकीय संख्या है,$n = 10a+b$,तो $P(n) = ab \leq 81$। अतः $n^2-10n-36 \leq 81$,जिसका अर्थ है $n^2-10n-117 \leq 0$। इसके मूल $5 \pm \sqrt{142} \approx 5 \pm 11.9$ हैं,इसलिए $n \leq 16.9$। अतः $n \in \{13, 14, 15, 16\}$।
$n=13$ के लिए,$P(13) = 1 \times 3 = 3$ और $13^2-10(13)-36 = 169-130-36 = 3$। यह संतुष्ट होता है।
$n=14, 15, 16$ के लिए समीकरण संतुष्ट नहीं होता है।
यदि $n$ एक $3$-अंकीय संख्या है,तो $n^2-10n-36$ का मान $3$-अंकीय संख्या के अधिकतम गुणनफल $729$ से बहुत अधिक हो जाता है।
अतः केवल $n=13$ ही हल है।

(D) दिया गया है,$72^x \cdot 48^y = 6^{xy}$।
आधारों को $2$ और $3$ की घातों के रूप में व्यक्त करने पर:
$(2^3 \cdot 3^2)^x \cdot (2^4 \cdot 3^1)^y = 2^{xy} \cdot 3^{xy}$।
$2^{3x+4y} \cdot 3^{2x+y} = 2^{xy} \cdot 3^{xy}$।
दोनों पक्षों में $2$ और $3$ के घातांकों की तुलना करने पर:
$3x + 4y = xy$ $(1)$
$2x + y = xy$ $(2)$
$(1)$ और $(2)$ से,$3x + 4y = 2x + y$,जो सरल होकर $x = -3y$ देता है।
$x = -3y$ को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$2(-3y) + y = (-3y)y$
$-6y + y = -3y^2$
$-5y = -3y^2$।
चूँकि $y \neq 0$,$y$ से भाग देने पर:
$-5 = -3y \implies y = \frac{5}{3}$।
अब,$x$ का मान ज्ञात करें:
$x = -3 \left(\frac{5}{3}\right) = -5$।
अतः,$x + y = -5 + \frac{5}{3} = \frac{-15 + 5}{3} = -\frac{10}{3}$।

(C) मान लीजिए $p(x) = x^{135}+x^{125}-x^{115}+x^5+1$ और $q(x) = x^3-x = x(x-1)(x+1)$.
चूंकि भाजक $q(x)$ की घात $3$ है,इसलिए शेषफल $r(x)$,$ax^2+bx+c$ के रूप में होगा।
अतः,$p(x) = (x^3-x)k(x) + ax^2+bx+c$.
$x=0$ के लिए: $p(0) = 1$. अतः,$c = 1$.
$x=1$ के लिए: $p(1) = 3$. अतः,$a+b+c = 3 \Rightarrow a+b = 2$.
$x=-1$ के लिए: $p(-1) = -1$. अतः,$a-b+c = -1 \Rightarrow a-b = -2$.
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2a = 0 \Rightarrow a = 0$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2b = 4 \Rightarrow b = 2$.
इसलिए,$r(x) = 2x+1$.
$r(x) = 2x+1$ की घात $1$ है.

(B) दिया गया है कि $A, G, H$ दो भिन्न धनात्मक वास्तविक संख्याओं के समांतर,गुणोत्तर और हरात्मक माध्य हैं,इसलिए $A > G > H > 0$ और $AH = G^2$ होता है।
दिया गया द्विघात समीकरण $A(G-H) x^2 + G(H-A) x + H(A-G) = 0$ है।
मान लीजिए $f(x) = A(G-H) x^2 + G(H-A) x + H(A-G)$ है।
$f(1) = A(G-H) + G(H-A) + H(A-G) = AG - AH + GH - GA + HA - HG = 0$ है।
अतः $x = 1$ समीकरण का एक मूल है।
मान लीजिए मूल $\alpha$ और $\beta = 1$ हैं। मूलों का गुणनफल $\alpha \cdot \beta = \frac{H(A-G)}{A(G-H)}$ है।
चूंकि $\beta = 1$,इसलिए $\alpha = \frac{H(A-G)}{A(G-H)}$ है।
$AH = G^2$ का उपयोग करने पर,$\alpha = \frac{G}{A}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $A > G > 0$,इसलिए $0 < \frac{G}{A} < 1$ होता है। अतः,$0 < \alpha < 1$।

(D) दिया गया समीकरण: $x^5-6x^4+11x^3-5x^2-3x+2=0$.
पूर्णांक मूलों की जाँच करने पर,$x=1$ और $x=2$ मूल हैं।
बहुपद को $(x-1)(x-2) = x^2-3x+2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:
$(x-1)(x-2)(x^3-3x^2+1)=0$.
गैर-पूर्णांक मूल समीकरण $x^3-3x^2+1=0$ के मूल हैं।
विएटा के सूत्रों के अनुसार,मूलों का योग $-\frac{b}{a} = -\frac{-3}{1} = 3$ है।
अतः,सभी गैर-पूर्णांक मूलों का योग $3$ है।

(B) दिया गया है $t^2 = at + b$,जहाँ $a$ और $b$ धनात्मक पूर्णांक हैं।
$t$ से गुणा करने पर,$t^3 = at^2 + bt$ प्राप्त होता है।
$t^2 = at + b$ का मान रखने पर:
$t^3 = a(at + b) + bt = a^2t + ab + bt = (a^2 + b)t + ab$.
प्रत्येक विकल्प की तुलना $(a^2 + b)t + ab$ के रूप से करने पर:
$(A)$ $4t + 3$: $a^2 + b = 4$ और $ab = 3$. यदि $a = 1$,तो $b = 3$,जो $1^2 + 3 = 4$ को संतुष्ट करता है। संभव है।
$(B)$ $8t + 5$: $a^2 + b = 8$ और $ab = 5$. यदि $a = 1$,$b = 5$,तो $a^2 + b = 6 \neq 8$. यदि $a = 5$,$b = 1$,तो $a^2 + b = 26 \neq 8$. कोई धनात्मक पूर्णांक हल संभव नहीं है।
$(C)$ $10t + 3$: $a^2 + b = 10$ और $ab = 3$. यदि $a = 3$,$b = 1$,तो $a^2 + b = 9 + 1 = 10$. संभव है।
$(D)$ $6t + 5$: $a^2 + b = 6$ और $ab = 5$. यदि $a = 1$,$b = 5$,तो $a^2 + b = 1 + 5 = 6$. संभव है।
अतः,$t^3$ कभी भी $8t + 5$ के बराबर नहीं हो सकता।

(D) दिया गया समीकरण: $(1+a+b)^2=3(1+a^2+b^2)$
बाएँ पक्ष का विस्तार करने पर: $1+a^2+b^2+2a+2b+2ab = 3+3a^2+3b^2$
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर: $2a^2+2b^2-2a-2b-2ab+2=0$
$2$ से विभाजित करने पर: $a^2+b^2-a-b-ab+1=0$
पूर्ण वर्ग बनाने के लिए पुनः $2$ से गुणा करने पर: $2a^2+2b^2-2a-2b-2ab+2=0$
इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $(a-1)^2+(b-1)^2+(a-b)^2=0$
चूँकि वास्तविक संख्याओं के वर्गों का योग शून्य तभी होता है जब प्रत्येक पद शून्य हो:
$a-1=0, b-1=0, a-b=0$
इसका अर्थ है $a=1$ और $b=1$ है।
अतः,ठीक एक हल युग्म $(a, b) = (1, 1)$ है।

(C) माना $2$-अंकीय संख्या $n = 10a + b$ है,जहाँ $a \in \{1, 2, \dots, 9\}$ और $b \in \{0, 1, \dots, 9\}$ है।
दिया है,$n = a^2 + b^3$.
अतः,$10a + b = a^2 + b^3$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,$a^2 - 10a + b^3 - b = 0$,जिसे $a(10 - a) = b(b - 1)(b + 1)$ के रूप में लिखा जा सकता है।
$b$ के मानों की जाँच करने पर:
यदि $b = 3$ है,तो $a(10 - a) = 3(2)(4) = 24$। समीकरण $a^2 - 10a + 24 = 0$ को हल करने पर,$(a - 4)(a - 6) = 0$ प्राप्त होता है,इसलिए $a = 4$ या $a = 6$ है। अतः संख्याएँ $43$ और $63$ हैं।
अन्य मानों के लिए कोई पूर्णांक हल प्राप्त नहीं होता है।
अतः,ऐसी $2$ संख्याएँ हैं।

(D) दिया गया है $p(x) = x^2 - 5x + a$ और $q(x) = x^2 - 3x + b$।
चूँकि $(x - 1)$ $\text{HCF}$ है,$p(1) = 0$ और $q(1) = 0$ होगा।
$p(1) = 1 - 5 + a = 0 \implies a = 4$।
$q(1) = 1 - 3 + b = 0 \implies b = 2$।
अतः,$p(x) = x^2 - 5x + 4 = (x - 1)(x - 4)$ और $q(x) = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$।
$k(x) = \text{LCM}(p(x), q(x)) = (x - 1)(x - 2)(x - 4)$।
हमें $(x - 1) + k(x) = 0$ के मूलों का योग ज्ञात करना है।
$(x - 1) + (x - 1)(x - 2)(x - 4) = 0$।
$(x - 1)[1 + (x - 2)(x - 4)] = 0$।
$(x - 1)[1 + x^2 - 6x + 8] = 0$।
$(x - 1)(x^2 - 6x + 9) = 0$।
$(x - 1)(x - 3)^2 = 0$।
मूल $1, 3, 3$ हैं।
मूलों का योग $1 + 3 + 3 = 7$ है।

(C) दिया गया समीकरण $2013 + a^2 = b^2$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $b^2 - a^2 = 2013$ प्राप्त होता है।
वर्गों के अंतर के सर्वसमिका का उपयोग करते हुए,$(b - a)(b + a) = 2013$ होता है।
$2013$ का अभाज्य गुणनखंड $3 \times 11 \times 61 = 33 \times 61$ है।
चूंकि $a$ और $b$ प्राकृतिक संख्याएँ हैं,$b + a > b - a$ और दोनों $2013$ के धनात्मक गुणनखंड होने चाहिए।
$ab$ को न्यूनतम करने के लिए,हम ऐसे गुणनखंड $(b - a)$ और $(b + a)$ देखते हैं जो एक-दूसरे के सबसे करीब हों।
मान लीजिए $b - a = 33$ और $b + a = 61$ है।
दोनों समीकरणों को जोड़ने पर: $2b = 94 \Rightarrow b = 47$ प्राप्त होता है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $2a = 28 \Rightarrow a = 14$ प्राप्त होता है।
अतः,$ab$ का न्यूनतम मान $14 \times 47 = 658$ है।

(C) त्रिभुज के अस्तित्व के लिए,किन्हीं दो भुजाओं का योग तीसरी भुजा से अधिक होना चाहिए और सभी भुजाओं की लंबाई धनात्मक होनी चाहिए।
माना भुजाएँ $a = b+5$,$c = 3b-2$ और $d = 6-b$ हैं।
भुजाओं के धनात्मक होने के लिए: $b > -5$,$b > 2/3$ और $b < 6$। अतः $2/3 < b < 6$।
स्थिति $I$: $b+5 = 3b-2$
$2b = 7 \Rightarrow b = 3.5$।
भुजाएँ $8.5, 8.5, 2.5$ हैं। यह एक वैध त्रिभुज है।
स्थिति $II$: $3b-2 = 6-b$
$4b = 8 \Rightarrow b = 2$।
भुजाएँ $7, 4, 4$ हैं। यह एक वैध त्रिभुज है।
स्थिति $III$: $b+5 = 6-b$
$2b = 1 \Rightarrow b = 0.5$।
यह शर्त $b > 2/3$ का उल्लंघन करता है।
अतः,$b$ के $2$ मान संभव हैं।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण: $a x^2+(a+b) x+b = 0$
गुणनखंड करने पर:
$a x^2 + a x + b x + b = 0$
$a x(x + 1) + b(x + 1) = 0$
$(a x + b)(x + 1) = 0$
मूल $x = -\frac{b}{a}$ और $x = -1$ हैं।
विश्लेषण:
$1$. चूँकि $-1$ एक मूल है,समीकरण में हमेशा कम से कम एक ऋणात्मक मूल होता है। अतः,कथन $I$ सत्य है।
$2$. मूल $-1$ और $-\frac{b}{a}$ हैं। चूँकि $a$ और $b$ वास्तविक हैं,दोनों मूल वास्तविक हैं। अतः,कथन $III$ सत्य है।
$3$. धनात्मक मूल का अस्तित्व $-\frac{b}{a}$ के चिह्न पर निर्भर करता है। यदि $\frac{b}{a} > 0$ है,तो मूल ऋणात्मक है। यदि $\frac{b}{a} < 0$ है,तो मूल धनात्मक है। चूँकि $\frac{b}{a}$ का चिह्न निश्चित नहीं है,कथन $II$ अनिवार्य रूप से सत्य नहीं है।
अतः,कथन $I$ और $III$ अनिवार्य रूप से सत्य हैं।

(C) मान लीजिए पिरामिड के वर्गाकार आधार की भुजा $x$ है और पिरामिड की ऊँचाई $y$ है।
पिरामिड का आयतन $V = \frac{1}{3} x^2 y$ है।
जब भुजा की लंबाई $x$ में $p \%$ की वृद्धि होती है,तो नई लंबाई $x' = x \left(\frac{100+p}{100}\right)$ होती है।
जब ऊँचाई $y$ में $p \%$ की कमी होती है,तो नई ऊँचाई $y' = y \left(\frac{100-p}{100}\right)$ होती है।
चूँकि आयतन समान रहता है,$V = \frac{1}{3} (x')^2 y' = \frac{1}{3} x^2 y$।
सरल करने पर,$1 = \left(\frac{100+p}{100}\right)^2 \left(\frac{100-p}{100}\right)$ प्राप्त होता है।
इस समीकरण को हल करने पर $p^2 + 100p - 10000 = 0$ प्राप्त होता है।
द्विघात सूत्र का उपयोग करने पर,$p = 50(\sqrt{5} - 1) \approx 61.8$ प्राप्त होता है।
अतः,$60 < p < 65$।

(C) मान लीजिए $f(x) = ax^2 + bx + c$ है।
दिया गया है कि $f(2) = 10$,इसलिए $4a + 2b + c = 10$ $(i)$.
दिया गया है कि $f(-2) = -2$,इसलिए $4a - 2b + c = -2$ $(ii)$.
समीकरण $(ii)$ को समीकरण $(i)$ से घटाने पर:
$(4a + 2b + c) - (4a - 2b + c) = 10 - (-2)$
$4b = 12$
$b = 3$.
$f(x)$ में $x$ का गुणांक $b$ है,जो $3$ है।

(C) दिया गया है $f(x) = ax^2 + bx + c$ जहाँ $a, b, c \in \mathbb{Z}$.
$f(1) = 0$ होने के कारण,$a + b + c = 0$,जिसका अर्थ है $c = -a - b$.
$f(x)$ में $c$ का मान रखने पर,$f(x) = ax^2 + bx - a - b = (x - 1)(ax + a + b)$.
$40 < f(6) < 50 \implies 40 < 5(7a + b) < 50 \implies 8 < 7a + b < 10$.
चूंकि $a, b$ पूर्णांक हैं,$7a + b = 9$.
$60 < f(7) < 70 \implies 60 < 6(8a + b) < 70 \implies 10 < 8a + b < 11.66$.
अतः,$8a + b = 11$.
दोनों समीकरणों को हल करने पर: $a = 2$ और $b = -5$.
अतः $c = 3$ और $f(x) = 2x^2 - 5x + 3$.
$f(50) = 2(50)^2 - 5(50) + 3 = 4753$.
$1000t < 4753 < 1000(t + 1)$ होने के कारण,$t = 4$ प्राप्त होता है।

(C) परवलय $y = x^2 + 2ax + 2021$ और $x$-अक्ष $(y = 0)$ के प्रतिच्छेदन बिंदु द्विघात समीकरण $x^2 + 2ax + 2021 = 0$ के मूलों द्वारा दिए जाते हैं।
मूलों के परिमेय होने के लिए,विविक्तकर $D$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए।
$D = (2a)^2 - 4(1)(2021) = 4a^2 - 8084 = 4(a^2 - 2021)$.
अतः,$a^2 - 2021$ एक पूर्ण वर्ग होना चाहिए,मान लीजिए $\lambda^2$ है।
$a^2 - \lambda^2 = 2021 \Rightarrow (a - \lambda)(a + \lambda) = 2021$.
चूंकि $2021 = 43 \times 47$,हम गुणनखंड $(1, 2021)$ और $(43, 47)$ पर विचार करते हैं।
$a$ के अधिकतम मान के लिए,$a + \lambda = 2021$ और $a - \lambda = 1$ लेते हैं।
जोड़ने पर: $2a = 2022 \Rightarrow a = 1011$.
दूसरा मामला: $a + \lambda = 47$ और $a - \lambda = 43$ $\Rightarrow 2a = 90$ $\Rightarrow a = 45$.
अतः,$E$ का सबसे बड़ा अवयव $1011$ है।

(B) द्विघात समीकरण $x^2 + 4x \cos \theta + \cot \theta = 0$ के मूल समान होने के लिए,इसका विविक्तकर (discriminant) $D$ शून्य होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac = (4 \cos \theta)^2 - 4(1)(\cot \theta) = 0$
$16 \cos^2 \theta - 4 \cot \theta = 0$
$4 \cos^2 \theta = \cot \theta$
$4 \cos^2 \theta = \frac{\cos \theta}{\sin \theta}$
चूंकि $0 < \theta < \pi / 2$,इसलिए $\cos \theta \neq 0$,अतः हम $\cos \theta$ से विभाजित कर सकते हैं:
$4 \cos \theta \sin \theta = 1$
$2 \sin 2 \theta = 1$
$\sin 2 \theta = \frac{1}{2}$
चूंकि $0 < \theta < \pi / 2$,इसलिए $0 < 2 \theta < \pi$ है। $2 \theta$ के लिए हल $\frac{\pi}{6}$ और $\frac{5 \pi}{6}$ हैं।
अतः,$\theta = \frac{\pi}{12}$ या $\theta = \frac{5 \pi}{12}$।

(D) माना त्रिभुज के कोण $\alpha, \beta, \gamma$ हैं। हमें दो कोण $A = 2x + 7$ और $B = 7x + 10$ दिए गए हैं।
समद्विबाहु त्रिभुज के लिए,कम से कम दो कोण समान होने चाहिए। हम तीन स्थितियों पर विचार करते हैं:
स्थिति $1$: $A = B$
$2x + 7 = 7x + 10$ $\Rightarrow 5x = -3$ $\Rightarrow x = -0.6$.
कोण $A = 5.8^\circ, B = 5.8^\circ, C = 168.4^\circ$ हैं। यह एक मान्य त्रिभुज है।
स्थिति $2$: $A = C$
चूंकि $A + B + C = 180^\circ$,इसलिए $2A + B = 180^\circ$.
$2(2x + 7) + (7x + 10) = 180$ $\Rightarrow 11x = 156$ $\Rightarrow x = \frac{156}{11}$.
यह एक मान्य त्रिभुज है।
स्थिति $3$: $B = C$
चूंकि $A + B + C = 180^\circ$,इसलिए $A + 2B = 180^\circ$.
$(2x + 7) + 2(7x + 10) = 180$ $\Rightarrow 16x = 153$ $\Rightarrow x = \frac{153}{16}$.
यह एक मान्य त्रिभुज है।
अतः,$x$ के कुल $3$ वास्तविक मान प्राप्त होते हैं।

(B) माना $\alpha$ समीकरणों $x^2 - ax + b = 0$ और $x^3 - ax^2 + bx + a - b = 0$ का उभयनिष्ठ वास्तविक मूल है।
चूंकि $\alpha$ पहले समीकरण का मूल है,इसलिए $\alpha^2 - a\alpha + b = 0$ है।
इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $\alpha(\alpha^2 - a\alpha + b) + a - b = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $\alpha^2 - a\alpha + b = 0$,इसलिए $a - b = 0$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $a = b$ है।
$a = b$ को पहले समीकरण में रखने पर,$x^2 - ax + a = 0$ प्राप्त होता है।
वास्तविक मूलों के लिए विविक्तकर $D \geq 0$ होना चाहिए,अतः $a^2 - 4a \geq 0$ है।
यह $a(a - 4) \geq 0$ देता है,जिसका अर्थ है $a \leq 0$ या $a \geq 4$ है।
चूंकि $1 \leq a, b \leq 2021$ और $a = b$ है,इसलिए $4 \leq a \leq 2021$ होना चाहिए।
ऐसे पूर्णांकों $a$ की कुल संख्या $2021 - 4 + 1 = 2018$ है।