Quadratic expressions and Position of roots Questions in Hindi

(B) माना $f(x) = 5 + 4x - 4x^2 = y$ है।
पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर,हमें $4x^2 - 4x + (y - 5) = 0$ प्राप्त होता है।
चूंकि $x$ वास्तविक है,इसलिए विविक्तकर $D$ का मान $0$ से बड़ा या उसके बराबर होना चाहिए $(D \ge 0)$।
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4(4)(y - 5) \ge 0$।
$16 - 16(y - 5) \ge 0$।
$16$ से भाग देने पर,हमें $1 - (y - 5) \ge 0$ प्राप्त होता है।
$1 - y + 5 \ge 0$।
$6 - y \ge 0$,जिसका अर्थ है कि $y \le 6$।
वैकल्पिक रूप से,$f(x) = 5 - (4x^2 - 4x) = 5 - (4x^2 - 4x + 1 - 1) = 5 - ((2x - 1)^2 - 1) = 6 - (2x - 1)^2$।
चूंकि $(2x - 1)^2 \ge 0$,इसलिए $f(x)$ का अधिकतम मान $6$ है जब $2x - 1 = 0$,अर्थात $x = 1/2$।

(D) द्विघात समीकरण $f(x) = x^2 + x + a = 0$ के मूलों के $k = a$ से अधिक होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों का संतुष्ट होना आवश्यक है:
$1$. $D = b^2 - 4ac \ge 0$
$2$. $f(k) > 0$
$3$. $-\frac{b}{2a} > k$
$k = a$ के लिए इन शर्तों को लागू करने पर:
$1$. $1^2 - 4(1)(a) \ge 0 \implies 1 - 4a \ge 0 \implies a \le \frac{1}{4}$
$2$. $f(a) = a^2 + a + a > 0 \implies a^2 + 2a > 0 \implies a(a + 2) > 0 \implies a < -2$ या $a > 0$
$3$. $-\frac{1}{2(1)} > a \implies a < -\frac{1}{2}$
सभी शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$a \le \frac{1}{4}$,$(a < -2$ या $a > 0)$,और $a < -\frac{1}{2}$.
अतः,$a < -2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2 - 2ax + a^2 + a - 3 = 0$ है।
वास्तविक मूलों के लिए,विविक्तकर $D \ge 0$:
$D = (-2a)^2 - 4(1)(a^2 + a - 3) \ge 0$
$4a^2 - 4a^2 - 4a + 12 \ge 0$
$-4a + 12 \ge 0 \Rightarrow a \le 3$.
माना $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 + a - 3$ है। चूंकि मूल $3$ से कम हैं,परवलय का शीर्ष $x = -b/(2a) = a$ का मान $3$ से कम होना चाहिए और $f(3) > 0$:
$1$) $a < 3$
$2$) $f(3) = 3^2 - 2a(3) + a^2 + a - 3 > 0$
$a^2 - 5a + 6 > 0$
$(a - 2)(a - 3) > 0$
इसका अर्थ है $a < 2$ या $a > 3$.
$a \le 3$,$a < 3$ और ($a < 2$ या $a > 3$) को संयोजित करने पर,हमें $a < 2$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया द्विघात व्यंजक $f(x) = x^2 - 6x + 10$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने की विधि का उपयोग करते हुए:
$f(x) = (x^2 - 6x + 9) + 1$
$f(x) = (x - 3)^2 + 1$.
चूंकि सभी वास्तविक $x$ के लिए $(x - 3)^2 \ge 0$ होता है,इसलिए $(x - 3)^2$ का न्यूनतम मान $0$ है जब $x = 3$ हो।
अतः,$f(x)$ का न्यूनतम मान $0 + 1 = 1$ है।

(D) माना $f(x) = ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta)$.
दिया गया है कि $\alpha < k < \beta$,इसलिए गुणनखंड $(k - \alpha)$ और $(k - \beta)$ के चिह्न विपरीत हैं।
विशेष रूप से,$(k - \alpha) > 0$ और $(k - \beta) < 0$,इसलिए $(k - \alpha)(k - \beta) < 0$.
व्यंजक $f(k) = a(k - \alpha)(k - \beta)$ के ऋणात्मक होने के लिए,हमारे पास $a(k - \alpha)(k - \beta) < 0$ होना चाहिए।
$a$ से गुणा करने पर,हमें $a^2(k - \alpha)(k - \beta) < 0$ प्राप्त होता है,जो $a(ak^2 + bk + c) < 0$ या $a^2k^2 + abk + ac < 0$ के बराबर है।

(D) माना $f(x) = 4x^2 - 20px + (25p^2 + 15p - 66) = 0$ .....$(i)$
$(i)$ के मूल वास्तविक हैं यदि $D \ge 0$:
$D = (-20p)^2 - 4(4)(25p^2 + 15p - 66) = 16(66 - 15p) \ge 0$
$\Rightarrow p \le \frac{22}{5}$ .....$(ii)$
दोनों मूलों के $2$ से कम होने के लिए:
$1)$ $D \ge 0 \Rightarrow p \le \frac{22}{5}$
$2)$ $f(2) > 0$ $\Rightarrow 25p^2 - 25p - 50 > 0$ $\Rightarrow p^2 - p - 2 > 0$
$(p - 2)(p + 1) > 0 \Rightarrow p < -1$ या $p > 2$ .....$(iii)$
$3)$ शीर्ष $x_v < 2$ $\Rightarrow \frac{5p}{2} < 2$ $\Rightarrow p < \frac{4}{5}$ .....$(iv)$
$(ii), (iii),$ और $(iv)$ का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$p < -1$.

(D) माना $f(x) = (x - a)(x - b) - 1 = 0$ है।
$f(a) = (a - a)(a - b) - 1 = -1 < 0$ है।
$f(b) = (b - a)(b - b) - 1 = -1 < 0$ है।
चूँकि $f(x)$ ऊपर की ओर खुलने वाला एक परवलय है,और $f(a) < 0$ तथा $f(b) < 0$ है,इसलिए परवलय का शीर्ष $a$ और $b$ के बीच स्थित है।
चूँकि परवलय ऊपर की ओर खुलता है और $f(a) < 0$ तथा $f(b) < 0$ है,इसलिए ग्राफ $x$-अक्ष को $a$ से कम मान और $b$ से अधिक मान पर काटेगा।
अतः,एक मूल $(-\infty, a)$ में और दूसरा मूल $(b, +\infty)$ में स्थित है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $f(x) = x^2 - 2kx + k^2 + k - 5 = 0$ है।
दोनों मूलों के $5$ से कम होने के लिए निम्नलिखित शर्तें आवश्यक हैं:
$1$. विविक्तकर $D \ge 0$:
$D = 20 - 4k \ge 0 \Rightarrow k \le 5$.
$2$. $f(5) > 0$:
$f(5) = k^2 - 9k + 20 > 0 \Rightarrow k \in (-\infty, 4) \cup (5, \infty)$.
$3$. शीर्ष की स्थिति: $-\frac{b}{2a} < 5$:
$k < 5$.
तीनों शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर,$k \in (-\infty, 4)$ प्राप्त होता है।

(D) माना $f(x) = 2x^2 - 2(2a + 1)x + a(a + 1)$ है।
द्विघात समीकरण $f(x) = 0$ के मूलों के बीच $a$ स्थित होने के लिए शर्त $f(a) < 0$ है।
$f(x)$ में $x = a$ रखने पर:
$f(a) = 2(a)^2 - 2(2a + 1)(a) + a(a + 1) < 0$
$f(a) = 2a^2 - 4a^2 - 2a + a^2 + a < 0$
$-a^2 - a < 0$
$-1$ से गुणा करने पर (असमिका का चिह्न बदल जाएगा):
$a^2 + a > 0$
$a(a + 1) > 0$
यह असमिका तब सत्य होती है जब $a > 0$ या $a < -1$ हो।

(A) $f(x) = \frac{1}{4x^2 + 2x + 1}$ का अधिकतम मान ज्ञात करने के लिए,हम हर $g(x) = 4x^2 + 2x + 1$ का न्यूनतम मान ज्ञात करेंगे।
चूंकि $g(x)$ एक द्विघात व्यंजक $ax^2 + bx + c$ के रूप में है जहाँ $a = 4 > 0$ है,इसलिए इसका न्यूनतम मान $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2(4)} = -\frac{1}{4}$ पर प्राप्त होता है।
हर का न्यूनतम मान $g(-\frac{1}{4}) = 4(-\frac{1}{4})^2 + 2(-\frac{1}{4}) + 1 = 4(\frac{1}{16}) - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 1 = \frac{1-2+4}{4} = \frac{3}{4}$ है।
चूंकि $f(x) = \frac{1}{g(x)}$ है,इसलिए $f(x)$ का अधिकतम मान $g(x)$ के न्यूनतम मान का व्युत्क्रम होगा।
अतः,अधिकतम मान $\frac{1}{3/4} = \frac{4}{3}$ है।

(D) दिया गया है $f(x) = x^2 + 2bx + 2c^2$। पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $f(x) = (x + b)^2 + 2c^2 - b^2$ प्राप्त होता है। $f(x)$ का न्यूनतम मान $2c^2 - b^2$ है।
दिया गया है $g(x) = -x^2 - 2cx + b^2$। पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $g(x) = b^2 + c^2 - (x + c)^2$ प्राप्त होता है। $g(x)$ का अधिकतम मान $b^2 + c^2$ है।
शर्त $\min f(x) > \max g(x)$ के अनुसार,हमारे पास $2c^2 - b^2 > b^2 + c^2$ है।
असमिका को सरल करने पर,हमें $c^2 > 2b^2$ प्राप्त होता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,हमें $|c| > |b|\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।

(B) दिया गया द्विघात व्यंजक $f(x) = ax^2 + bx + c$ है जहाँ $a > 0$ है।
न्यूनतम मान ज्ञात करने के लिए,हम पूर्ण वर्ग विधि का उपयोग करते हैं:
$f(x) = a(x^2 + \frac{b}{a}x) + c$
$f(x) = a(x + \frac{b}{2a})^2 + \frac{4ac - b^2}{4a}$
चूँकि $a > 0$ है,इसलिए $a(x + \frac{b}{2a})^2 \ge 0$ होगा।
अतः,न्यूनतम मान $\frac{4ac - b^2}{4a}$ प्राप्त होता है।

(D) माना $f(x) = x^2 - (K + 1)x + (K^2 + K - 8)$.
एक मूल $2$ से बड़ा और दूसरा $2$ से छोटा होने के लिए,$x = 2$ पर फलन का मान ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $f(2) < 0$.
समीकरण में $x = 2$ रखने पर:
$f(2) = (2)^2 - (K + 1)(2) + (K^2 + K - 8) < 0$
$4 - 2K - 2 + K^2 + K - 8 < 0$
$K^2 - K - 6 < 0$
द्विघात व्यंजक का गुणनखंड करने पर:
$(K - 3)(K + 2) < 0$
यह असमिका तब सत्य होती है जब $K$,समीकरण $(K - 3)(K + 2) = 0$ के मूलों के बीच स्थित हो।
अतः,$-2 < K < 3$.
दिए गए विकल्पों की तुलना करने पर,कोई भी विकल्प $(-2, 3)$ अंतराल से मेल नहीं खाता है।

(A) माना $f(x) = x^2 + 2(a - 3)x + 9$ है।
द्विघात समीकरण $f(x) = x^2 + bx + c$ के मूल $\alpha, \beta$ के लिए यदि $\alpha < k < \beta$ हो,तो शर्त $f(k) < 0$ होती है।
यहाँ,$k = 6$,इसलिए $f(6) < 0$ होना चाहिए।
$f(6) = (6)^2 + 2(a - 3)(6) + 9 < 0$
$36 + 12(a - 3) + 9 < 0$
$45 + 12a - 36 < 0$
$12a + 9 < 0$
$12a < -9$
$a < -9/12 = -3/4$।
अतः,कथन-$II$ कथन-$I$ के लिए आवश्यक शर्त है,और दोनों कथन सत्य हैं।

(C) माना $f(x) = 4x^2 - 20Kx + (25K^2 + 15K - 66)$ है।
दोनों मूलों के $2$ से कम होने के लिए तीन शर्तें पूरी होनी चाहिए:
$1$. विविक्तकर $D \ge 0$:
$D = (-20K)^2 - 4(4)(25K^2 + 15K - 66) = -240K + 1056 \ge 0 \implies K \le 4.4$.
$2$. शीर्ष $x_v < 2$:
$x_v = 2.5K < 2 \implies K < 0.8$.
$3$. $f(2) > 0$:
$25K^2 - 25K - 50 > 0 \implies K^2 - K - 2 > 0 \implies K > 2$ या $K < -1$.
सभी शर्तों को संयोजित करने पर: $(K \le 4.4) \cap (K < 0.8) \cap (K > 2 \cup K < -1)$.
परिणाम $K < -1$ प्राप्त होता है,जो $(-\infty, -1)$ है।

(D) माना $f(x) = (x - a)(x - b) - 1$.
$x = a$ और $x = b$ पर मान ज्ञात करने पर:
$f(a) = (a - a)(a - b) - 1 = -1$
$f(b) = (b - a)(b - b) - 1 = -1$
चूंकि $f(a) < 0$ और $f(b) < 0$ है और परवलय ऊपर की ओर खुलता है,इसलिए एक मूल $a$ से छोटा और दूसरा मूल $b$ से बड़ा होगा।
अतः,एक मूल $(-\infty, a)$ में और दूसरा मूल $(b, +\infty)$ में स्थित है।

(B) माना $f(x) = x^2 + 2(a - 3)x + 9$ है। यदि $6$,$f(x) = 0$ के मूलों के बीच स्थित है,तो शर्त $f(6) < 0$ होगी।
$f(6) = 6^2 + 2(a - 3)(6) + 9 < 0$
$36 + 12(a - 3) + 9 < 0$
$36 + 12a - 36 + 9 < 0$
$12a + 9 < 0$
$12a < -9$
$a < -\frac{9}{12}$
$a < -\frac{3}{4}$
अतः,$a \in (-\infty, -3/4)$।

(B) दिया गया समीकरण: $f(x) = x^2 + 2(a - 1)x + a + 5 = 0$.
$A$. काल्पनिक मूलों के लिए,विविक्तकर $D < 0$:
$D = [2(a - 1)]^2 - 4(1)(a + 5) < 0$
$a^2 - 3a - 4 < 0 \implies a \in (-1, 4)$. अतः,$A \to P$.
$B$. एक मूल $3$ से कम और दूसरा $3$ से अधिक:
इसके लिए $f(3) < 0$:
$f(3) = 7a + 8 < 0 \implies a < -8/7$. अतः,$B \to Q$.
$C$. एक मूल $1$ से कम और दूसरा $3$ से अधिक:
इसके लिए $f(1) < 0$ और $f(3) < 0$:
$f(1) = 3a + 4 < 0 \implies a < -4/3$.
$f(3) < 0 \implies a < -8/7$.
सर्वनिष्ठ: $a < -4/3$. अतः,$C \to R$.
सही मिलान: $A \to P, B \to Q, C \to R$.

(D) दिया गया द्विघात व्यंजक $f(x) = x^2 + 2bx + c$ है।
पूर्ण वर्ग बनाने पर,हमें $f(x) = (x + b)^2 + (c - b^2)$ प्राप्त होता है।
$f(x)$ के हमेशा धनात्मक होने के लिए,व्यंजक का न्यूनतम मान $0$ से अधिक होना चाहिए।
न्यूनतम मान $x = -b$ पर प्राप्त होता है,जो $f(-b) = c - b^2$ है।
अतः,हमें $c - b^2 > 0$ की आवश्यकता है,जिसका अर्थ है $b^2 < c$।

(B) द्विघात समीकरण $f(x) = x^2 - 2kx + k^2 + k - 5 = 0$ के मूल $5$ से कम होने के लिए,तीन शर्तों को पूरा करना आवश्यक है:
$1$. विविक्तकर $D \ge 0$:
$D = (-2k)^2 - 4(1)(k^2 + k - 5) = 4k^2 - 4k^2 - 4k + 20 = 20 - 4k \ge 0 \implies k \le 5$.
$2$. शीर्ष की स्थिति: शीर्ष का $x$-निर्देशांक $-b/(2a) < 5$:
$-(-2k)/(2 \times 1) = k < 5$.
$3$. $x = 5$ पर फलन का मान: $f(5) > 0$:
$f(5) = 5^2 - 2k(5) + k^2 + k - 5 = 25 - 10k + k^2 + k - 5 = k^2 - 9k + 20 > 0$.
$(k - 4)(k - 5) > 0 \implies k < 4$ या $k > 5$.
सभी शर्तों को संयोजित करने पर: $k \le 5$ और $k < 5$ और ($k < 4$ या $k > 5$).
प्रतिच्छेदन $k < 4$ प्राप्त होता है,जो $(-\infty, 4)$ है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - 2mx + m^2 - 1 = 0$ है।
इसे $(x - m)^2 = 1$ के रूप में लिखा जा सकता है।
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर,$x - m = \pm 1$,जिसका अर्थ है $x = m + 1$ या $x = m - 1$ है।
मूलों के $-2$ और $4$ के बीच स्थित होने के लिए,दोनों मूलों को $-2 < x < 4$ असमिका को संतुष्ट करना चाहिए।
$x = m + 1$ के लिए: $-2 < m + 1 < 4 \implies -3 < m < 3$ है।
$x = m - 1$ के लिए: $-2 < m - 1 < 4 \implies -1 < m < 5$ है।
दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करने के लिए,हम $(-3, 3)$ और $(-1, 5)$ अंतरालों का प्रतिच्छेदन लेते हैं,जो $(-1, 3)$ है।

(B) माना द्विघात समीकरण $f(x) = x^2 - 8kx + 16(k^2 - k + 1) = 0$ है।
मूलों के वास्तविक और भिन्न होने के लिए,विविक्तकर $D > 0$:
$D = (-8k)^2 - 4(1)(16(k^2 - k + 1)) > 0$
$64k^2 - 64(k^2 - k + 1) > 0$
$64k - 64 > 0 \implies k > 1$.
माना मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं। दिया गया है कि $\alpha, \beta \ge 4$।
इसका अर्थ है:
$1)$ परवलय का शीर्ष $x = -b/(2a) = 4k \ge 4 \implies k \ge 1$।
$2)$ $f(4) \ge 0$:
$16 - 32k + 16k^2 - 16k + 16 \ge 0$
$16k^2 - 48k + 32 \ge 0$
$(k - 1)(k - 2) \ge 0$।
यह $k \le 1$ या $k \ge 2$ के लिए सत्य है।
$k > 1$ और $k \ge 2$ को संयोजित करने पर,हमें $k \ge 2$ प्राप्त होता है।
$k$ का न्यूनतम मान $2$ है।

(B) माना $y = \frac{x^2 + x + 1}{x^2 - x + 1}$.
तब $y(x^2 - x + 1) = x^2 + x + 1$.
$yx^2 - yx + y = x^2 + x + 1$.
$x^2(y - 1) - x(y + 1) + (y - 1) = 0$.
चूंकि $x \in \mathbb{R}$,इसलिए विविक्तकर $D \geq 0$ होगा।
$D = [-(y + 1)]^2 - 4(y - 1)(y - 1) \geq 0$.
$(y + 1)^2 - 4(y - 1)^2 \geq 0$.
$(y + 1 - 2(y - 1))(y + 1 + 2(y - 1)) \geq 0$.
$(y + 1 - 2y + 2)(y + 1 + 2y - 2) \geq 0$.
$(3 - y)(3y - 1) \geq 0$.
$-1$ से गुणा करने पर,$(y - 3)(3y - 1) \leq 0$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $\frac{1}{3} \leq y \leq 3$.
अतः,अधिकतम मान $3$ और न्यूनतम मान $\frac{1}{3}$ है।

(D) दिया गया फलन एक द्विघात व्यंजक $f(x) = (1 + b^2)x^2 + 2bx + 1$ है।
चूंकि $x^2$ का गुणांक $(1 + b^2) > 0$ है,सभी वास्तविक $b$ के लिए फलन का एक न्यूनतम मान होता है।
द्विघात व्यंजक $ax^2 + Bx + C$ का न्यूनतम मान $-\frac{D}{4a}$ द्वारा दिया जाता है,जहाँ $D = B^2 - 4aC$ है।
यहाँ $a = (1 + b^2)$,$B = 2b$,और $C = 1$ है।
$D = (2b)^2 - 4(1 + b^2)(1) = 4b^2 - 4 - 4b^2 = -4$।
अतः,$m(b) = -\frac{-4}{4(1 + b^2)} = \frac{4}{4(1 + b^2)} = \frac{1}{1 + b^2}$।
चूंकि $b^2 \ge 0$,इसलिए $1 + b^2 \ge 1$ होता है।
अतः,$0 < \frac{1}{1 + b^2} \le 1$।
इस प्रकार,$m(b)$ का परिसर $(0, 1]$ है।

(D) माना $f(x) = 2x^2 + 3x + k$.
द्विघात समीकरण $f(x) = 0$ के दो भिन्न वास्तविक मूल होने के लिए,विविक्तकर $D > 0$ होना चाहिए।
$D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4(2)(k) = 9 - 8k > 0 \implies k < \frac{9}{8}$.
मूलों के अंतराल $[0, 1]$ में स्थित होने के लिए,परवलय का शीर्ष $x = -\frac{b}{2a} = -\frac{3}{4}$ अंतराल $[0, 1]$ के भीतर होना चाहिए।
चूंकि $-\frac{3}{4}$ अंतराल $[0, 1]$ में नहीं है,इसलिए दोनों मूलों का अंतराल $[0, 1]$ में होना असंभव है।
अतः,ऐसी कोई वास्तविक संख्या $k$ अस्तित्व में नहीं है।

(A) माना $f(x) = x^2 - 3x + k$ है। मूलों $\alpha$ और $\beta$ के अंतराल $(0, 1)$ में स्थित होने के लिए,जहाँ $\alpha \neq \beta$ है,निम्नलिखित शर्तें पूरी होनी चाहिए:
$1$. विविक्तकर $\Delta > 0$: $\Delta = (-3)^2 - 4(1)(k) = 9 - 4k > 0 \implies k < \frac{9}{4}$.
$2$. $f(0) > 0$: $0^2 - 3(0) + k > 0 \implies k > 0$.
$3$. $f(1) > 0$: $1^2 - 3(1) + k > 0 \implies 1 - 3 + k > 0 \implies k > 2$.
$4$. परवलय का शीर्ष $x = -\frac{b}{2a}$ अंतराल $(0, 1)$ में स्थित होना चाहिए: $x = -\frac{-3}{2(1)} = \frac{3}{2} = 1.5$.
चूंकि शीर्ष $1.5$ अंतराल $(0, 1)$ में स्थित नहीं है,इसलिए दोनों मूलों का $(0, 1)$ में होना असंभव है।
अतः,$k$ का ऐसा कोई मान अस्तित्व में नहीं है।

(C) माना $f(x) = x^2 - 3x + a$ है।
चूँकि $\alpha < 1 < \beta$ है,इसलिए $x = 1$ पर द्विघात व्यंजक $f(x)$ का मान ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $f(1) < 0$।
$x = 1$ प्रतिस्थापित करने पर:
$f(1) = (1)^2 - 3(1) + a < 0$
$1 - 3 + a < 0$
$-2 + a < 0$
$a < 2$।
चूँकि मूल वास्तविक और भिन्न हैं,इसलिए विविक्तकर $D > 0$ होना चाहिए:
$D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(a) = 9 - 4a > 0$
$9 > 4a \Rightarrow a < 9/4$।
$a < 2$ और $a < 9/4$ को संयोजित करने पर,हमें $a < 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$a \in (-\infty, 2)$।

(B) माना $f(x) = x^2 + (a - 1)x + 2a$ है। अंतराल $(0, 3)$ में ठीक एक मूल होने की शर्तों का पालन करने पर,$a$ के मानों का समुच्चय $(-\infty, 0] \cup (6, \infty)$ प्राप्त होता है।

(C) माना $f(x) = 3ax^2 + 4bx + c$ है।
चूंकि समीकरण $f(x) = 0$ का कोई वास्तविक मूल नहीं है,इसलिए $f(x)$ का ग्राफ $x$-अक्ष को नहीं काटता है।
दिया गया है कि $c > 0$,इसलिए $f(0) = c > 0$ है। चूंकि $f(0) > 0$ है और कोई वास्तविक मूल नहीं है,इसलिए परवलय ऊपर की ओर खुलता है,जिसका अर्थ है कि $3a > 0$,अर्थात $a > 0$ है।
अतः,सभी वास्तविक $x$ के लिए $f(x) > 0$ है।
विशेष रूप से,$f(-1) > 0$ है।
व्यंजक में $x = -1$ रखने पर,हमें $f(-1) = 3a(-1)^2 + 4b(-1) + c = 3a - 4b + c$ प्राप्त होता है।
चूंकि $f(-1) > 0$ है,इसलिए $3a - 4b + c > 0$ होगा,जिसका अर्थ है कि $3a + c > 4b$ है।

(C) माना $f(x) = x^2 - 3x + a$ है।
चूंकि $\alpha < 1 < \beta$ है,इसलिए $x = 1$ पर द्विघात फलन का मान ऋणात्मक होना चाहिए क्योंकि परवलय ऊपर की ओर खुलता है ($x^2$ का गुणांक $1 > 0$ है)।
अतः,$f(1) < 0$ होगा।
$f(1) = (1)^2 - 3(1) + a < 0$
$1 - 3 + a < 0$
$-2 + a < 0$
$a < 2$
इसलिए,$a \in (-\infty, 2)$।

(B) दिया गया है $f(x) = ax^2 + 2bx + c$।
चूँकि $f(x) = 0$ के मूल काल्पनिक हैं,विविक्तकर $D = (2b)^2 - 4ac < 0$,जिसका अर्थ है $4b^2 - 4ac < 0$,या $b^2 < ac$।
यदि $a > 0$ है,तो $ac > b^2 \geq 0$,इसलिए $c > 0$। हालाँकि,$f(x)$ का ग्राफ ऊपर की ओर खुलने वाला परवलय होगा,और चूँकि $D < 0$ है,$f(x)$ हमेशा धनात्मक रहेगा,जो $f(2) = 4a + 4b + c < 0$ के विपरीत है।
इसलिए,$a < 0$ होना चाहिए।
चूँकि $a < 0$ और $D < 0$ है,परवलय नीचे की ओर खुलता है और पूरी तरह से $x$-अक्ष के नीचे स्थित होता है।
अतः,सभी $x \in R$ के लिए $f(x) < 0$ है।
विशेष रूप से,$x = 0$ पर,$f(0) = c$। चूँकि पूरा ग्राफ $x$-अक्ष के नीचे है,$f(0) < 0$,जिसका अर्थ है कि $c < 0$।

(A) माना $f(x) = x^2 - (2a + 3)x + a^2 + 3a$ है। मूल $x = a$ और $x = a + 3$ हैं।
दोनों मूलों के $(0, 4)$ में स्थित होने के लिए,$0 < a < 4$ और $0 < a + 3 < 4$ होना चाहिए।
$0 < a < 4$ से,$a \in (0, 4)$ प्राप्त होता है।
$0 < a + 3 < 4$ से,$-3 < a < 1$ प्राप्त होता है।
इन दोनों अंतरालों का प्रतिच्छेदन लेने पर,$0 < a < 1$ प्राप्त होता है।
अंतराल $(0, 1)$ में $a$ का कोई पूर्णांक मान नहीं है।
अतः,$a$ के पूर्णांक मानों की संख्या $0$ है।

(B) ग्राफ से,परवलय ऊपर की ओर खुलता है,इसलिए $a > 0$ है।
चूंकि शीर्ष $y$-अक्ष के बाईं ओर है,इसलिए शीर्ष का $x$-निर्देशांक $-\frac{b}{2a} < 0$ है। चूंकि $a > 0$ है,इसलिए $b > 0$ होना चाहिए।
ग्राफ $x$-अक्ष के नीचे $y$-अक्ष को काटता है,इसलिए $c < 0$ है।
ग्राफ $x$-अक्ष को दो अलग-अलग बिंदुओं पर काटता है,इसलिए $D = b^2 - 4ac > 0$ है।
अब,विकल्पों की जाँच करते हैं:
$A$: $abc = (+)(+)(-) = - < 0$। यह सही है।
$B$: $ac^2bD = (+)(+)(+)(+) = + > 0$। अतः,$ac^2bD < 0$ गलत है।
$C$: $\frac{a^2c}{b^2D} = \frac{(+)(+)(-)}{(+)(+)} = - < 0$। यह सही है।
$D$: $bD = (+)(+) = + > 0$। यह सही है।
इसलिए,गलत कथन $B$ है।

(B) माना $f(x) = x^2 - 2ax + a^2 - 6a$ है। सभी $x \in [1, 2]$ के लिए $f(x) \leqslant 0$ होने के लिए,$f(1) \leqslant 0$ और $f(2) \leqslant 0$ होना चाहिए।
चरण $1$: $f(1) \leqslant 0$ को हल करें।
$f(1) = 1 - 2a + a^2 - 6a = a^2 - 8a + 1 \leqslant 0$ है।
$a^2 - 8a + 1 = 0$ के मूल $a = 4 \pm \sqrt{15}$ हैं।
अतः,$a \in [4 - \sqrt{15}, 4 + \sqrt{15}]$ $(i)$.
चरण $2$: $f(2) \leqslant 0$ को हल करें।
$f(2) = 4 - 4a + a^2 - 6a = a^2 - 10a + 4 \leqslant 0$ है।
$a^2 - 10a + 4 = 0$ के मूल $a = 5 \pm \sqrt{21}$ हैं।
अतः,$a \in [5 - \sqrt{21}, 5 + \sqrt{21}]$ $(ii)$.
चरण $3$: $(i)$ और $(ii)$ का प्रतिच्छेदन ज्ञात करें।
$a \in [4 - \sqrt{15}, 4 + \sqrt{15}] \cap [5 - \sqrt{21}, 5 + \sqrt{21}] = [5 - \sqrt{21}, 4 + \sqrt{15}]$.

(A) माना $f(x) = (p - 5)x^2 - 2px + (p - 4)$.
शर्तों के अनुसार,यदि $p > 5$ है,तो $f(0) > 0$,$f(2) < 0$,और $f(3) > 0$ होना चाहिए।
$f(0) = p - 4 > 0 \implies p > 4$.
$f(2) = p - 24 < 0 \implies p < 24$.
$f(3) = 4p - 49 > 0 \implies p > \frac{49}{4}$.
अतः,$p \in \left( \frac{49}{4}, 24 \right)$ प्राप्त होता है।

(A) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2 - 2ax + (a^2 - 4) = 0$ है।
इसका गुणनखंड करने पर $(x - (a - 2))(x - (a + 2)) = 0$ प्राप्त होता है।
अतः,मूल $x_1 = a - 2$ और $x_2 = a + 2$ हैं।
चूंकि $a - 2 < a + 2$,छोटा मूल $a - 2$ है और बड़ा मूल $a + 2$ है।
दी गई शर्तों के अनुसार:
$1$) $a - 2 < 1 \implies a < 3$
$2$) $a + 2 > 6 \implies a > 4$
इन दोनों शर्तों को एक साथ संतुष्ट करने वाला $a$ का कोई मान संभव नहीं है।
अतः,$a$ का कोई भी पूर्णांक मान संभव नहीं है।

(A) $f(x) = x^2 + 2px + 2q^2$ के लिए,न्यूनतम मान $x = -p$ पर प्राप्त होता है,जो $f(-p) = (-p)^2 + 2p(-p) + 2q^2 = p^2 - 2p^2 + 2q^2 = 2q^2 - p^2$ है।
$g(x) = -x^2 - 2qx + p^2$ के लिए,अधिकतम मान $x = -q$ पर प्राप्त होता है,जो $g(-q) = -(-q)^2 - 2q(-q) + p^2 = -q^2 + 2q^2 + p^2 = q^2 + p^2$ है।
शर्त $\min f(x) > \max g(x)$ का अर्थ है कि $2q^2 - p^2 > q^2 + p^2$.
पदों को व्यवस्थित करने पर,हमें $q^2 > 2p^2$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है कि $\frac{q^2}{p^2} > 2$.
व्युत्क्रम लेने पर,$\frac{p^2}{q^2} < \frac{1}{2}$,इसलिए $|\frac{p}{q}| < \frac{1}{\sqrt{2}}$.
$2$ से गुणा करने पर,हमें $|\frac{2p}{q}| < \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
चूंकि $p, q$ शून्येतर हैं,इसलिए $|\frac{2p}{q}| > 0$.
अतः,मानों का समुच्चय $[0, \sqrt{2})$ है।

(B) माना $f(x) = ax^2 + 2bx + c$ है। दिया गया है कि $f(x) = 0$ के मूल काल्पनिक हैं,इसलिए विविक्तकर $D = (2b)^2 - 4ac < 0$,जिसका अर्थ है $4b^2 - 4ac < 0$,या $b^2 < ac$ है।
चूंकि $f(x)$ के मूल काल्पनिक हैं,परवलय $y = f(x)$ $x$-अक्ष को नहीं काटता है। अतः,$f(x)$ या तो हमेशा धनात्मक $(a > 0)$ है या हमेशा ऋणात्मक $(a < 0)$ है।
हमें $4a + 4b + c < 0$ दिया गया है। ध्यान दें कि $f(2) = a(2)^2 + 2b(2) + c = 4a + 4b + c$ है।
चूंकि $f(2) < 0$ है,फलन $f(x)$ सभी $x \in \mathbb{R}$ के लिए हमेशा ऋणात्मक होना चाहिए। इसका अर्थ है कि $a < 0$ है।
चूंकि सभी $x$ के लिए $f(x) < 0$ है,इसलिए $f(0) < 0$ होना चाहिए।
$f(0) = a(0)^2 + 2b(0) + c = c$ है।
अतः,$c < 0$ है।

(A) माना $f(x) = x^2 + kx - 4$ है। परवलय ऊपर की ओर खुलता है। छोटे मूल के $(-1, 2)$ में स्थित होने के लिए,अंत बिंदुओं पर फलन का मान $f(-1) > 0$ और $f(2) < 0$ होना चाहिए।
$f(-1) = (-1)^2 + k(-1) - 4 = 1 - k - 4 = -k - 3$ है। चूँकि $f(-1) > 0$,इसलिए $-k - 3 > 0$,जिसका अर्थ है $k < -3$ है।
$f(2) = (2)^2 + k(2) - 4 = 4 + 2k - 4 = 2k$ है। चूँकि $f(2) < 0$,इसलिए $2k < 0$,जिसका अर्थ है $k < 0$ है।
$k < -3$ और $k < 0$ को मिलाने पर,हमें $k \in (-\infty, -3)$ प्राप्त होता है।

(C) $x^2 - 2x - a^2 + 1 = 0$ के मूल $(x-1)^2 - a^2 = 0$ से $x = 1 \pm a$ प्राप्त होते हैं।
माना $f(x) = x^2 - 2(a+1)x + a(a-1)$ है।
शर्त के अनुसार $f(1+a) < 0$ और $f(1-a) < 0$ होना चाहिए।
$f(1+a) = -3a - 1 < 0 \Rightarrow a > -\frac{1}{3}$।
$f(1-a) = (a-1)(4a+1) < 0 \Rightarrow a \in \left( -\frac{1}{4}, 1 \right)$।
दोनों शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर,$a \in \left( -\frac{1}{4}, 1 \right)$ प्राप्त होता है।

(B) माना $f(x) = x^2 - (a + 2)x - (a + 3)$.
$f(x) < 0$ के लिए कम से कम एक धनात्मक मूल $x$ होने हेतु, हम निम्नलिखित स्थितियों पर विचार करते हैं:
स्थिति-$I$: $f(0) < 0$
$-(a + 3) < 0 \Rightarrow a + 3 > 0 \Rightarrow a > -3$.
स्थिति-$II$: $f(0) \geq 0$ और शीर्ष $x > 0$ पर हो तथा $D > 0$ हो।
$1$) $D = (a + 2)^2 + 4(a + 3) = a^2 + 4a + 4 + 4a + 12 = a^2 + 8a + 16 = (a + 4)^2 > 0$, जो सभी $a \neq -4$ के लिए सत्य है।
$2$) $f(0) = -(a + 3) \geq 0 \Rightarrow a \leq -3$.
$3$) शीर्ष $x_v = -\frac{b}{2a} = \frac{a + 2}{2} > 0 \Rightarrow a > -2$.
$a \leq -3$ और $a > -2$ का सर्वनिष्ठ रिक्त समुच्चय $(\phi)$ है।
स्थिति-$I$ और स्थिति-$II$ को मिलाने पर, हमें $a > -3$ प्राप्त होता है।
अतः, मानों का समुच्चय $(-3, \infty)$ है।

(B) माना $A$ के निर्देशांक $(-k, 0)$ और $C$ के निर्देशांक $(k, 0)$ हैं। चूँकि $AC = 4\sqrt{2}$,इसलिए $2k = 4\sqrt{2}$,जिससे $k = 2\sqrt{2}$ प्राप्त होता है।
अतः,$A = (-2\sqrt{2}, 0)$ और $C = (2\sqrt{2}, 0)$ हैं।
चूँकि $\Delta ABC$ एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज है जिसका समकोण $B$ पर है,इसलिए $B$ को $y$-अक्ष पर $(0, -h)$ पर स्थित होना चाहिए,जहाँ $h > 0$ है।
$AC$ का मध्यबिंदु मूलबिंदु $(0, 0)$ है। एक समकोण समद्विबाहु त्रिभुज में,कर्ण पर खींची गई माध्यिका की लंबाई कर्ण की लंबाई की आधी होती है।
इसलिए,माध्यिका $OB$ की लंबाई $= \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} (4\sqrt{2}) = 2\sqrt{2}$ है।
चूँकि $B$,$x$-अक्ष के नीचे है,इसलिए इसके निर्देशांक $(0, -2\sqrt{2})$ हैं।
द्विघात समीकरण $y = ax^2 + bx + c$ का न्यूनतम मान इसके शीर्ष $B$ का $y$-निर्देशांक होता है।
अतः,न्यूनतम मान $-2\sqrt{2}$ है।

(D) हमारे पास $f(x) = x^2 + 2bx + 2c^2$ और $g(x) = -x^2 - 2cx + b^2$ है,जहाँ $x \in R$ है।
$f(x)$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$f(x) = (x + b)^2 + 2c^2 - b^2$.
अतः,$f(x)$ का न्यूनतम मान $f_{\min} = 2c^2 - b^2$ है।
$g(x)$ के लिए पूर्ण वर्ग बनाने पर:
$g(x) = -(x^2 + 2cx) + b^2 = -(x + c)^2 + c^2 + b^2$.
अतः,$g(x)$ का अधिकतम मान $g_{\max} = c^2 + b^2$ है।
दी गई शर्त $\min f(x) > \max g(x)$ के अनुसार:
$2c^2 - b^2 > c^2 + b^2$.
दोनों पक्षों से $c^2$ घटाने और $b^2$ जोड़ने पर:
$c^2 > 2b^2$.
चूँकि $b$ और $c$ शून्येतर हैं,$b^2$ से भाग देने पर:
$\frac{c^2}{b^2} > 2$.
दोनों पक्षों का वर्गमूल लेने पर:
$\left| \frac{c}{b} \right| > \sqrt{2}$.
अतः,$\left| \frac{c}{b} \right| \in (\sqrt{2}, \infty)$।

(C) माना $f(x) = x^2 - (a + 1)x + a^2 + a - 8$.
चूंकि एक मूल $2$ से कम है और दूसरा $2$ से अधिक है,इसलिए $x = 2$ पर फलन का मान ऋणात्मक होना चाहिए,अर्थात $f(2) < 0$.
$f(2) = (2)^2 - (a + 1)(2) + a^2 + a - 8 < 0$
$4 - 2a - 2 + a^2 + a - 8 < 0$
$a^2 - a - 6 < 0$
$(a - 3)(a + 2) < 0$
इस असमिका को हल करने पर,हमें $-2 < a < 3$ प्राप्त होता है।

(A) माना $f(x) = x^2 - mx + 4$ है। मूलों $\alpha, \beta$ के वास्तविक,भिन्न और $[1, 5]$ में स्थित होने के लिए,निम्नलिखित शर्तों को पूरा करना होगा:
$(1)$ विविक्तकर $D > 0$:
$D = (-m)^2 - 4(1)(4) = m^2 - 16 > 0$
$m^2 > 16 \Rightarrow m \in (-\infty, -4) \cup (4, \infty)$
$(2)$ $f(1) > 0$:
$f(1) = 1 - m + 4 = 5 - m > 0 \Rightarrow m < 5$
$(3)$ $f(5) > 0$:
$f(5) = 25 - 5m + 4 = 29 - 5m > 0 \Rightarrow m < \frac{29}{5} = 5.8$
$(4)$ शीर्ष की स्थिति $1 < \frac{-b}{2a} < 5$:
$1 < \frac{m}{2} < 5 \Rightarrow 2 < m < 10$
सभी शर्तों का प्रतिच्छेदन लेने पर:
$m \in (4, \infty) \cap (-\infty, 5) \cap (-\infty, 5.8) \cap (2, 10) = (4, 5)$
अतः,$m \in (4, 5)$। विकल्प $A$ सही है।

(D) मान लीजिए $f(x) = (c - 5)x^2 - 2cx + (c - 4)$ है।
एक मूल $(0, 2)$ में और दूसरा $(2, 3)$ में होने के लिए,$x=2$ पर $f(x)$ का चिह्न बदलना चाहिए।
स्थिति $I$: यदि $c - 5 > 0$ (अर्थात $c > 5$),तो $f(2) < 0$ होगा।
$f(2) = (c - 5)(2)^2 - 2c(2) + (c - 4) = 4c - 20 - 4c + c - 4 = c - 24$ है।
अतः,$c - 24 < 0 \Rightarrow c < 24$ है।
साथ ही,$f(0) > 0$ $\Rightarrow c - 4 > 0$ $\Rightarrow c > 4$ है।
और $f(3) > 0$ $\Rightarrow (c - 5)(9) - 2c(3) + (c - 4) > 0$ $\Rightarrow 9c - 45 - 6c + c - 4 > 0$ $\Rightarrow 4c - 49 > 0$ $\Rightarrow c > 12.25$ है।
इन सबको मिलाने पर,$12.25 < c < 24$ प्राप्त होता है। पूर्णांक ${13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23}$ हैं,जो कुल $11$ मान हैं।
स्थिति $II$: यदि $c - 5 < 0$ (अर्थात $c < 5$),तो $f(2) > 0$ होगा।
$c - 24 > 0 \Rightarrow c > 24$,जो $c < 5$ के साथ विरोधाभास है।
अतः,ऐसे $11$ पूर्णांक मान हैं।

(C) द्विघात व्यंजक $f(x) = ax^2 + bx + c$ के हमेशा धनात्मक होने के लिए $a > 0$ और विविक्तकर $D < 0$ होना चाहिए।
चरण $1$: $a > 0$ की शर्त
$1 + 2m > 0 \Rightarrow m > -\frac{1}{2}$.
चरण $2$: $D < 0$ की शर्त
$D = [-2(1 + 3m)]^2 - 4(1 + 2m)(4(1 + m)) < 0$
$m^2 - 6m - 3 < 0$.
चरण $3$: असमिका $m^2 - 6m - 3 < 0$ को हल करना
$m$ के मूल $3 \pm 2\sqrt{3}$ हैं।
अतः,$3 - 2\sqrt{3} < m < 3 + 2\sqrt{3}$ अर्थात $-0.464 < m < 6.464$.
चरण $4$: $m > -0.5$ के साथ प्रतिच्छेदन
$m$ के पूर्णांक मान ${0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}$ हैं।
कुल $7$ मान संभव हैं।

(B) माना $f(x) = (\lambda^{2}+1)x^{2}-4\lambda x+2$.
अंतराल $(0,1)$ में ठीक एक मूल होने के लिए,हम शर्त $f(0) \cdot f(1) < 0$ पर विचार करते हैं।
$f(0) = 2$
$f(1) = \lambda^{2}+1-4\lambda+2 = \lambda^{2}-4\lambda+3 = (\lambda-1)(\lambda-3)$
अतः,$f(0) \cdot f(1) = 2(\lambda-1)(\lambda-3) < 0$.
इसका अर्थ है $1 < \lambda < 3$.
अब,हम अंतिम बिंदुओं की जाँच करते हैं:
स्थिति $1$: यदि $\lambda = 1$,तो समीकरण $2x^{2}-4x+2 = 0$ हो जाता है,जो $2(x-1)^{2} = 0$ है। मूल $x=1, 1$ हैं। कोई भी मूल $(0,1)$ में नहीं है। इसलिए $\lambda \neq 1$.
स्थिति $2$: यदि $\lambda = 3$,तो समीकरण $10x^{2}-12x+2 = 0$ हो जाता है,जो $2(5x^{2}-6x+1) = 0$ या $2(5x-1)(x-1) = 0$ है। मूल $x = 1/5$ और $x = 1$ हैं। चूँकि $1/5 \in (0,1)$,इसलिए $\lambda = 3$ एक सही समाधान है।
इन दोनों को मिलाने पर,मानों का समुच्चय $\lambda \in (1,3]$ है।

(C) माना $f(x) = 2x^2 - 8x + k$ है।
एक मूल के $(1,2)$ में और दूसरे के $(2,3)$ में स्थित होने के लिए,$x=2$ पर द्विघात का मान ऋणात्मक होना चाहिए और $x=1$ तथा $x=3$ पर मान धनात्मक होना चाहिए।
$f(1) = 2(1)^2 - 8(1) + k = k - 6 > 0 \implies k > 6$.
$f(3) = 2(3)^2 - 8(3) + k = 18 - 24 + k = k - 6 > 0 \implies k > 6$.
$f(2) = 2(2)^2 - 8(2) + k = 8 - 16 + k = k - 8 < 0 \implies k < 8$.
इन दोनों को मिलाने पर,हमें $6 < k < 8$ प्राप्त होता है।
इस अंतराल में $k$ का एकमात्र पूर्णांक मान $k = 7$ है।

(B) दिया गया द्विघात समीकरण $x^2-8kx+16(k^2-k+1)=0$ है।
मूलों के वास्तविक और भिन्न होने के लिए,विविक्तकर $D > 0$:
$D = (-8k)^2 - 4(1)(16(k^2-k+1)) > 0$
$64k - 64 > 0 \Rightarrow k > 1 \cdots (1)$
दोनों मूलों के कम से कम $4$ होने के लिए,शीर्ष $-\frac{b}{2a} \geq 4$:
$4k \geq 4 \Rightarrow k \geq 1 \cdots (2)$
इसके अतिरिक्त,$f(4) \geq 0$:
$16k^2 - 48k + 32 \geq 0$
$k^2 - 3k + 2 \geq 0 \Rightarrow k \leq 1 \text{ या } k \geq 2 \cdots (3)$
$(1)$,$(2)$ और $(3)$ को संयोजित करने पर:
$k \geq 2$ प्राप्त होता है।
अतः,$k$ का न्यूनतम मान $2$ है।