Condition for common roots Questions in Hindi

(C) दिए गए समीकरण $x^{12} - 1 = 0$ और $x^4 + x^2 + 1 = 0$ हैं।
प्रथम समीकरण का गुणनखंड करने पर: $x^{12} - 1 = (x^6 - 1)(x^6 + 1) = (x^2 - 1)(x^4 + x^2 + 1)(x^6 + 1)$.
चूंकि $x^4 + x^2 + 1$,$x^{12} - 1$ का एक गुणनखंड है,इसलिए $x^4 + x^2 + 1 = 0$ के सभी मूल उभयनिष्ठ मूल होंगे।
$x^4 + x^2 + 1 = 0$ को हल करने पर:
माना $y = x^2$,तब $y^2 + y + 1 = 0$.
इसके मूल $y = \omega$ और $y = \omega^2$ हैं,जहाँ $\omega = \frac{-1 + i\sqrt{3}}{2}$.
अतः,$x^2 = \omega$ या $x^2 = \omega^2$.
वर्गमूल लेने पर,$x = \pm \sqrt{\omega} = \pm \omega^2$ और $x = \pm \sqrt{\omega^2} = \pm \omega$.
अतः,उभयनिष्ठ मूल $\pm \omega, \pm \omega^2$ हैं।

(B) माना $\alpha$ समीकरणों $x^2 + ax + b = 0$ और $x^2 + bx + a = 0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$\alpha^2 + a\alpha + b = 0$ और $\alpha^2 + b\alpha + a = 0$ होगा।
दोनों समीकरणों को घटाने पर,$(\alpha^2 + a\alpha + b) - (\alpha^2 + b\alpha + a) = 0$ प्राप्त होता है।
$(a - b)\alpha + (b - a) = 0$.
$(a - b)\alpha = (a - b)$.
यदि $a \neq b$ है,तो $\alpha = 1$ प्राप्त होता है।
$\alpha = 1$ को पहले समीकरण में रखने पर: $(1)^2 + a(1) + b = 0$.
$1 + a + b = 0$.
अतः,$a + b = -1$।

(A) माना $\alpha$ पहले समीकरण का एक मूल है,तो $\frac{1}{\alpha}$ दूसरे समीकरण का एक मूल है।
पहले समीकरण के लिए: $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$।
दूसरे समीकरण के लिए: $a'(\frac{1}{\alpha})^2 + b'(\frac{1}{\alpha}) + c' = 0$,जो सरल होकर $c'\alpha^2 + b'\alpha + a' = 0$ हो जाता है।
समीकरणों $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ और $c'\alpha^2 + b'\alpha + a' = 0$ के लिए वज्र-गुणन विधि (cross-multiplication method) का उपयोग करने पर:
$\frac{\alpha^2}{ba' - b'c} = \frac{\alpha}{cc' - aa'} = \frac{1}{ab' - bc'}$।
दूसरे और तीसरे पद से: $\alpha = \frac{cc' - aa'}{ab' - bc'}$।
पहले और तीसरे पद से: $\alpha^2 = \frac{ba' - b'c}{ab' - bc'}$।
$\alpha^2 = (\alpha)^2$ को बराबर करने पर,हमें प्राप्त होता है: $\frac{ba' - b'c}{ab' - bc'} = \left(\frac{cc' - aa'}{ab' - bc'}\right)^2$।
$(cc' - aa')^2 = (ba' - b'c)(ab' - bc')$।

(B) दिए गए समीकरणों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
$(6k + 2)x^2 + rx + (3k - 1) = 0$ .....$(i)$
$2(6k + 2)x^2 + px + 2(3k - 1) = 0$ .....$(ii)$
चूंकि दोनों मूल समान हैं,इसलिए गुणांक समानुपाती होने चाहिए:
$\frac{2(6k + 2)}{6k + 2} = \frac{p}{r} = \frac{2(3k - 1)}{3k - 1}$
इसे सरल करने पर:
$2 = \frac{p}{r} = 2$
अतः,$p = 2r$,जिसका अर्थ है कि $2r - p = 0$.

(C) माना कि उभयनिष्ठ मूल $y$ है।
अतः,$y^2 + py + q = 0$ और $y^2 + \alpha y + \beta = 0$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(y^2 + py + q) - (y^2 + \alpha y + \beta) = 0$
$y(p - \alpha) + (q - \beta) = 0$
$y(p - \alpha) = \beta - q$
$y = \frac{\beta - q}{p - \alpha} = \frac{q - \beta}{\alpha - p}$।
वैकल्पिक रूप से,वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{y^2}{p\beta - q\alpha} = \frac{y}{q - \beta} = \frac{1}{\alpha - p}$।
दूसरे और तीसरे पद से,$y = \frac{q - \beta}{\alpha - p}$।
पहले और दूसरे पद से,$y = \frac{p\beta - q\alpha}{q - \beta}$।
अतः,उभयनिष्ठ मूल $\frac{q - \beta}{\alpha - p}$ या $\frac{p\beta - \alpha q}{q - \beta}$ है।

(C) माना $x^2 - cx + d = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
चूंकि दूसरे समीकरण $x^2 - ax + b = 0$ के मूल समान हैं और यह पहले समीकरण के साथ एक उभयनिष्ठ मूल $\alpha$ साझा करता है,इसलिए इसके मूल $\alpha$ और $\alpha$ होंगे।
मूलों के गुणों के अनुसार:
पहले समीकरण के लिए: $\alpha + \beta = c$ और $\alpha \beta = d$।
दूसरे समीकरण के लिए: $\alpha + \alpha = a \implies 2\alpha = a$ और $\alpha^2 = b$।
हमें $2(b + d)$ का मान ज्ञात करना है।
मान प्रतिस्थापित करने पर: $2(b + d) = 2(\alpha^2 + \alpha \beta) = 2\alpha(\alpha + \beta)$।
चूंकि $2\alpha = a$ और $\alpha + \beta = c$,इसलिए $2(b + d) = a \times c = ac$।

(D) माना $\alpha$ दोनों समीकरणों का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$\alpha^2 - h\alpha - 21 = 0$ $(1)$
और $\alpha^2 - 3h\alpha + 35 = 0$ $(2)$
समीकरण $(2)$ में से समीकरण $(1)$ को घटाने पर:
$(\alpha^2 - 3h\alpha + 35) - (\alpha^2 - h\alpha - 21) = 0$
$-2h\alpha + 56 = 0$
$2h\alpha = 56$
$h\alpha = 28$
$\alpha = \frac{28}{h}$
$\alpha = \frac{28}{h}$ का मान समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(\frac{28}{h})^2 - h(\frac{28}{h}) - 21 = 0$
$\frac{784}{h^2} - 28 - 21 = 0$
$\frac{784}{h^2} = 49$
$h^2 = \frac{784}{49} = 16$
चूंकि $h > 0$,इसलिए $h = 4$ प्राप्त होता है।

(A) माना समीकरणों के युग्मों के उभयनिष्ठ मूल क्रमशः $\alpha$,$\beta$,और $\gamma$ हैं।
पहले युग्म $(x^2 + px + qr = 0)$ और $(x^2 + qx + rp = 0)$ के लिए,उभयनिष्ठ मूल $\alpha$ है।
दूसरे युग्म $(x^2 + qx + rp = 0)$ और $(x^2 + rx + pq = 0)$ के लिए,उभयनिष्ठ मूल $\beta$ है।
तीसरे युग्म $(x^2 + rx + pq = 0)$ और $(x^2 + px + qr = 0)$ के लिए,उभयनिष्ठ मूल $\gamma$ है।
द्विघात समीकरण के मूलों के गुणों के अनुसार,प्रत्येक समीकरण के लिए मूलों का योग $x$ के गुणांक के साथ ऋणात्मक चिह्न द्वारा प्राप्त होता है।
अतः,$\alpha + \beta = -p$,$\beta + \gamma = -q$,और $\gamma + \alpha = -r$ है।
इन तीनों समीकरणों को जोड़ने पर,हमें $2(\alpha + \beta + \gamma) = -(p + q + r)$ प्राप्त होता है।
इसलिए,तीनों उभयनिष्ठ मूलों का योग $\alpha + \beta + \gamma = \frac{-(p + q + r)}{2}$ है।

(C) माना $\alpha$ समीकरणों $ax^2 + bx + c = 0$ और $bx^2 + cx + a = 0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः $a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ और $b\alpha^2 + c\alpha + a = 0$.
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{\alpha^2}{ab - c^2} = \frac{\alpha}{bc - a^2} = \frac{1}{ac - b^2}$
पहले दो अनुपातों से,$\alpha = \frac{bc - a^2}{ab - c^2}$.
अंतिम दो अनुपातों से,$\alpha = \frac{ac - b^2}{bc - a^2}$.
$\alpha$ के लिए दोनों व्यंजकों को बराबर करने पर:
$(bc - a^2)^2 = (ab - c^2)(ac - b^2)$
$a^4 + ab^3 + ac^3 = 3a^2bc$
चूँकि $a \neq 0$,$a$ से विभाजित करने पर $a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$ प्राप्त होता है।
अतः,$\frac{a^3 + b^3 + c^3}{abc} = 3$.

(A) माना कि $\alpha$ दोनों समीकरणों का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$\alpha^2 + p\alpha + q = 0$ $(i)$
और $\alpha^2 + q\alpha + p = 0$ $(ii)$
समीकरण $(i)$ से समीकरण $(ii)$ को घटाने पर:
$(\alpha^2 + p\alpha + q) - (\alpha^2 + q\alpha + p) = 0$
$(p - q)\alpha + (q - p) = 0$
$(p - q)(\alpha - 1) = 0$
यदि $p \neq q$ है,तो $\alpha = 1$ प्राप्त होता है।
$\alpha = 1$ का मान समीकरण $(i)$ में रखने पर:
$1^2 + p(1) + q = 0$
$1 + p + q = 0$
अतः,$p + q + 1 = 0$.

(D) माना $\alpha$ दोनों समीकरणों का एक उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,${\alpha ^2} + a\alpha + 10 = 0$ $(i)$ और ${\alpha ^2} + b\alpha - 10 = 0$ $(ii)$.
समीकरण $(i)$ से $(ii)$ को घटाने पर: $(a - b)\alpha + 20 = 0$,जिसका अर्थ है $\alpha = -\frac{20}{a - b}$.
$\alpha$ का यह मान $(i)$ में रखने पर:
${\left( -\frac{20}{a - b} \right)^2} + a\left( -\frac{20}{a - b} \right) + 10 = 0$
$\frac{400}{(a - b)^2} - \frac{20a}{a - b} + 10 = 0$
$(a - b)^2$ से गुणा करने पर:
$400 - 20a(a - b) + 10(a - b)^2 = 0$
$10$ से भाग देने पर:
$40 - 2a(a - b) + (a - b)^2 = 0$
$40 - 2a^2 + 2ab + a^2 - 2ab + b^2 = 0$
$40 - a^2 + b^2 = 0$
अतः,$a^2 - b^2 = 40$.

(B) माना कि उभयनिष्ठ गुणनखंड $(x - k)$ है। तब $k$,समीकरणों $x^2 - 11x + a = 0$ और $x^2 - 14x + 2a = 0$ का एक उभयनिष्ठ मूल है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(x^2 - 11x + a) - (x^2 - 14x + 2a) = 0$
$3x - a = 0 \Rightarrow x = \frac{a}{3}$.
$x = \frac{a}{3}$ को पहले समीकरण में रखने पर:
$(\frac{a}{3})^2 - 11(\frac{a}{3}) + a = 0$
$\frac{a^2}{9} - \frac{11a}{3} + a = 0$
$\frac{a^2}{9} - \frac{8a}{3} = 0$
$a^2 - 24a = 0$
$a(a - 24) = 0$
अतः,$a = 0$ या $a = 24$.

(C) माना $\alpha$ समीकरणों $2x^2 + 3x + 5\lambda = 0$ और $x^2 + 2x + 3\lambda = 0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$2\alpha^2 + 3\alpha + 5\lambda = 0$ $(1)$
और $\alpha^2 + 2\alpha + 3\lambda = 0$ $(2)$
समीकरण $(2)$ को $2$ से गुणा करने पर: $2\alpha^2 + 4\alpha + 6\lambda = 0$ $(3)$
समीकरण $(3)$ में से $(1)$ को घटाने पर: $(2\alpha^2 + 4\alpha + 6\lambda) - (2\alpha^2 + 3\alpha + 5\lambda) = 0$
$\alpha + \lambda = 0 \implies \alpha = -\lambda$
$\alpha = -\lambda$ को समीकरण $(2)$ में रखने पर:
$(-\lambda)^2 + 2(-\lambda) + 3\lambda = 0$
$\lambda^2 - 2\lambda + 3\lambda = 0$
$\lambda^2 + \lambda = 0$
$\lambda(\lambda + 1) = 0$
अतः,$\lambda = 0$ या $\lambda = -1$.

(A) चूंकि $a, b, c$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $b^2 = ac$ है।
समीकरण $ax^2 + 2bx + c = 0$ को $ax^2 + 2\sqrt{ac}x + c = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है।
इसे $(\sqrt{a}x + \sqrt{c})^2 = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो पुनरावृत्त मूल $x = -\sqrt{\frac{c}{a}}$ देता है।
चूंकि यह एक उभयनिष्ठ मूल है,इसलिए यह $dx^2 + 2ex + f = 0$ को संतुष्ट करता है।
$x = -\sqrt{\frac{c}{a}}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $d(\frac{c}{a}) - 2e\sqrt{\frac{c}{a}} + f = 0$ प्राप्त होता है।
$c$ से विभाजित करने पर,हमें $\frac{d}{a} - 2e\frac{1}{\sqrt{ac}} + \frac{f}{c} = 0$ मिलता है।
चूंकि $b = \sqrt{ac}$ है,इसलिए यह $\frac{d}{a} + \frac{f}{c} = \frac{2e}{b}$ बन जाता है।
यह शर्त दर्शाती है कि $\frac{d}{a}, \frac{e}{b}, \frac{f}{c}$ $A.P.$ में हैं।

(D) दिए गए समीकरण $x^2 - 3x + a = 0$ $(i)$ और $x^2 + ax - 3 = 0$ $(ii)$ हैं।
समीकरण $(i)$ से $(ii)$ को घटाने पर:
$(x^2 - 3x + a) - (x^2 + ax - 3) = 0$
$-3x - ax + a + 3 = 0$
$-(a + 3)x + (a + 3) = 0$
$(a + 3)(1 - x) = 0$
इसका अर्थ है कि या तो $a = -3$ या $x = 1$ है।
यदि $x = 1$ उभयनिष्ठ मूल है,तो समीकरण $(i)$ में $x = 1$ रखने पर:
$1^2 - 3(1) + a = 0$
$1 - 3 + a = 0$
$a - 2 = 0$
$a = 2$.

(B) माना $\alpha$ समीकरणों $3x^2 + ax + 1 = 0$ और $2x^2 + bx + 1 = 0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
चूँकि $\alpha$ मूल है,हमारे पास है:
$3\alpha^2 + a\alpha + 1 = 0$ --- $(1)$
$2\alpha^2 + b\alpha + 1 = 0$ --- $(2)$
$(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$\alpha^2 + (a - b)\alpha = 0$
$\alpha(\alpha + a - b) = 0$
$\alpha = 0$ संभव नहीं है,इसलिए $\alpha = b - a$ है।
$\alpha = b - a$ को समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$2(b - a)^2 + b(b - a) + 1 = 0$
$2(b^2 - 2ab + a^2) + b^2 - ab + 1 = 0$
$3b^2 - 5ab + 2a^2 + 1 = 0$
अतः,$2a^2 + 3b^2 - 5ab = -1$
इसलिए,$5ab - 2a^2 - 3b^2 = 1$.

(D) दिए गए समीकरण हैं:
$k(6x^2 + 3) + rx + 2x^2 - 1 = 0 \implies (6k + 2)x^2 + rx + (3k - 1) = 0$ $(i)$
$6k(2x^2 + 1) + px + 4x^2 - 2 = 0 \implies (12k + 4)x^2 + px + (6k - 2) = 0$ $(ii)$
समीकरण $(ii)$ को $2$ से विभाजित करने पर: $(6k + 2)x^2 + (p/2)x + (3k - 1) = 0$ $(iii)$
चूंकि समीकरणों के मूल समान हैं,इसलिए समीकरण $(i)$ और $(iii)$ समान होने चाहिए।
$x$ के गुणांकों की तुलना करने पर,$r = p/2$ प्राप्त होता है।
अतः,$2r = p$,जिसका अर्थ है $2r - p = 0$.

(A) यदि दो द्विघात समीकरण $A_1x^2 + B_1x + C_1 = 0$ और $A_2x^2 + B_2x + C_2 = 0$ के मूल समान हैं,तो उनके गुणांक समानुपाती होते हैं,अर्थात $\frac{A_1}{A_2} = \frac{B_1}{B_2} = \frac{C_1}{C_2} = k$।
दिए गए समीकरण $x^2 + 2x + 3 = 0$ और $ax^2 + bx + c = 0$ हैं।
गुणांकों की तुलना करने पर,हमें $\frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{3} = k$ प्राप्त होता है।
इसका अर्थ है $a = k$,$b = 2k$,और $c = 3k$।
अतः,अनुपात $a : b : c = k : 2k : 3k = 1 : 2 : 3$ है।

(C) दिया गया त्रिघात समीकरण $x^3 - 2x^2 + 2x - 1 = 0$ है।
गुणनखंड करने पर,$(x - 1)(x^2 - x + 1) = 0$ प्राप्त होता है।
मूल $x = 1$ और $x = \frac{1 \pm i\sqrt{3}}{2} = -\omega^2, -\omega$ हैं (जहाँ $\omega$ इकाई का सम्मिश्र घनमूल है)।
चूंकि द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + a = 0$ के त्रिघात समीकरण के साथ दो मूल समान हैं,इसलिए ये मूल $-\omega$ और $-\omega^2$ होने चाहिए।
द्विघात समीकरण $ax^2 + bx + a = 0$ के लिए,मूलों का गुणनफल $\frac{a}{a} = 1$ है।
समान मूलों का गुणनफल $(-\omega)(-\omega^2) = \omega^3 = 1$ है,जो सुसंगत है।
मूलों का योग $-\frac{b}{a} = -\omega - \omega^2 = -(\omega + \omega^2) = -(-1) = 1$ है।
अतः,$-\frac{b}{a} = 1 \implies b = -a$,जिसका अर्थ है कि $a + b = 0$।

(D) माना $\alpha$ उभयनिष्ठ मूल है।
तब,$\alpha^2 + a\alpha + 10 = 0 \dots (i)$ और $\alpha^2 + b\alpha - 10 = 0 \dots (ii)$.
समीकरण $(i)$ से $(ii)$ को घटाने पर:
$(a - b)\alpha + 20 = 0 \implies \alpha = -\frac{20}{a - b}$.
$\alpha$ का यह मान $(i)$ में रखने पर:
$\left(-\frac{20}{a - b}\right)^2 + a\left(-\frac{20}{a - b}\right) + 10 = 0$.
$\frac{400}{(a - b)^2} - \frac{20a}{a - b} + 10 = 0$.
$(a - b)^2$ से गुणा करने पर:
$400 - 20a(a - b) + 10(a - b)^2 = 0$.
$10$ से भाग देने पर:
$40 - 2a(a - b) + (a - b)^2 = 0$.
$40 - 2a^2 + 2ab + a^2 - 2ab + b^2 = 0$.
$40 - a^2 + b^2 = 0$.
अतः,$a^2 - b^2 = 40$.

(C) माना $x^2 - cx + d = 0$ के मूल $\alpha$ और $\beta$ हैं।
माना $x^2 - ax + b = 0$ के मूल $\alpha$ और $\alpha$ हैं (क्योंकि इसके दोनों मूल समान हैं)।
दूसरे समीकरण से,मूलों का योग $2\alpha = a$ है,इसलिए $\alpha = \frac{a}{2}$।
मूलों का गुणनफल $\alpha^2 = b$ है,इसलिए $(\frac{a}{2})^2 = b$,जिसका अर्थ है $b = \frac{a^2}{4}$।
चूंकि $\alpha$ पहले समीकरण का भी एक मूल है,इसलिए $\alpha^2 - c\alpha + d = 0$।
$\alpha = \frac{a}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर,हमें $(\frac{a}{2})^2 - c(\frac{a}{2}) + d = 0$ प्राप्त होता है।
यह $\frac{a^2}{4} - \frac{ac}{2} + d = 0$ में सरल हो जाता है।
चूंकि $b = \frac{a^2}{4}$,हम समीकरण में $b$ का मान रखते हैं: $b - \frac{ac}{2} + d = 0$।
अतः,$b + d = \frac{ac}{2}$,जिसका अर्थ है $2(b + d) = ac$।

(D) माना कि उभयनिष्ठ मूल $\alpha$ है। तब,$\alpha^2 - 3\alpha + a = 0$ और $\alpha^2 + a\alpha - 3 = 0$ होगा।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(\alpha^2 - 3\alpha + a) - (\alpha^2 + a\alpha - 3) = 0$.
यह सरल होकर मिलता है: $-3\alpha - a\alpha + a + 3 = 0$.
$-\alpha(3 + a) + (a + 3) = 0$.
$(a + 3)(1 - \alpha) = 0$.
इसका अर्थ है $a = -3$ या $\alpha = 1$.
यदि $\alpha = 1$ एक मूल है,तो $1^2 - 3(1) + a = 0$.
$1 - 3 + a = 0$.
$a - 2 = 0 \implies a = 2$.

(A) माना उभयनिष्ठ मूल $\alpha$ है। चूँकि $\alpha$ दोनों समीकरणों का मूल है,हमारे पास है:
$a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ $(1)$
$c\alpha^2 + b\alpha + a = 0$ $(2)$
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$(a - c)\alpha^2 + (c - a) = 0$
$(a - c)(\alpha^2 - 1) = 0$
चूँकि $a \neq c$,इसलिए $\alpha^2 - 1 = 0$ होगा,जिसका अर्थ है $\alpha = 1$ या $\alpha = -1$।
यह दिया गया है कि उभयनिष्ठ मूल ऋणात्मक है,इसलिए $\alpha = -1$।
$\alpha = -1$ को पहले समीकरण में रखने पर:
$a(-1)^2 + b(-1) + c = 0$
$a - b + c = 0$

(A) माना उभयनिष्ठ गुणनखंड $(x - \alpha)$ है।
तब $\alpha^2 - 11\alpha + a = 0$ $(1)$
और $\alpha^2 - 14\alpha + 2a = 0$ $(2)$
समीकरण $(1)$ से समीकरण $(2)$ को घटाने पर:
$(\alpha^2 - 11\alpha + a) - (\alpha^2 - 14\alpha + 2a) = 0$
$3\alpha - a = 0 \implies \alpha = \frac{a}{3}$
$\alpha = \frac{a}{3}$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(\frac{a}{3})^2 - 11(\frac{a}{3}) + a = 0$
$\frac{a^2}{9} - \frac{11a}{3} + a = 0$
$9$ से गुणा करने पर:
$a^2 - 33a + 9a = 0$
$a^2 - 24a = 0$
$a(a - 24) = 0$
अतः $a = 24$।

(B) माना $\alpha$ दोनों समीकरणों का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$2\alpha^2 + k\alpha - 5 = 0$ और $\alpha^2 - 3\alpha - 4 = 0$.
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करके हल करने पर:
$\frac{\alpha^2}{-4k - 15} = \frac{\alpha}{-5 + 8} = \frac{1}{-6 - k}$.
इससे,$\alpha^2 = \frac{4k + 15}{k + 6}$ और $\alpha = \frac{-3}{k + 6}$.
चूंकि $\alpha^2 = (\alpha)^2$,इसलिए $\left(\frac{-3}{k + 6}\right)^2 = \frac{4k + 15}{k + 6}$.
$\frac{9}{(k + 6)^2} = \frac{4k + 15}{k + 6}$.
$9 = (4k + 15)(k + 6)$.
$9 = 4k^2 + 24k + 15k + 90$.
$4k^2 + 39k + 81 = 0$.
$(k + 3)(4k + 27) = 0$.
अतः,$k = -3$ या $k = -\frac{27}{4}$.

(D) माना उभयनिष्ठ मूल $\alpha$ है। पहले और दूसरे समीकरण के अन्य मूल क्रमशः $\beta$ और $\gamma$ हैं।
दिया है कि $\beta$ और $\gamma$ पूर्णांक हैं और $\frac{\beta}{\gamma} = \frac{4}{3}$ है।
मूलों के गुणों से:
$x^2 - 6x + a = 0$ के लिए,$\alpha + \beta = 6$ और $\alpha\beta = a$ है।
$x^2 - cx + 6 = 0$ के लिए,$\alpha + \gamma = c$ और $\alpha\gamma = 6$ है।
चूंकि $\beta = \frac{4}{3}\gamma$,पहले समीकरण के मूलों के योग में प्रतिस्थापित करने पर: $\alpha + \frac{4}{3}\gamma = 6 \implies 3\alpha + 4\gamma = 18$।
दूसरे समीकरण के मूलों के गुणनफल से,$\gamma = \frac{6}{\alpha}$ है।
$\gamma$ का मान समीकरण में रखने पर: $3\alpha + 4(\frac{6}{\alpha}) = 18 \implies 3\alpha^2 - 18\alpha + 24 = 0 \implies \alpha^2 - 6\alpha + 8 = 0$।
$\alpha$ के लिए हल करने पर: $(\alpha - 2)(\alpha - 4) = 0$,अतः $\alpha = 2$ या $\alpha = 4$ है।
यदि $\alpha = 4$ है,तो $\gamma = \frac{6}{4} = 1.5$ (जो पूर्णांक नहीं है)।
यदि $\alpha = 2$ है,तो $\gamma = \frac{6}{2} = 3$ (पूर्णांक) और $\beta = \frac{4}{3} \times 3 = 4$ (पूर्णांक) है।
अतः,उभयनिष्ठ मूल $\alpha = 2$ है।

(C) माना $\alpha$ समीकरणों $x^2 + bx + c = 0$ और $x^2 + cx + b = 0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ और $\alpha^2 + c\alpha + b = 0$ होगा।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(\alpha^2 + b\alpha + c) - (\alpha^2 + c\alpha + b) = 0$ प्राप्त होता है।
इसे सरल करने पर $(b - c)\alpha + (c - b) = 0$ मिलता है।
$(b - c)\alpha = b - c$।
चूंकि $b \neq c$,$(b - c)$ से भाग देने पर $\alpha = 1$ प्राप्त होता है।
$\alpha = 1$ को पहले समीकरण में रखने पर: $1^2 + b(1) + c = 0$।
अतः,$1 + b + c = 0$,जिसका अर्थ है $b + c + 1 = 0$।

(B) दो द्विघात समीकरणों $a_1x^2 + b_1x + c_1 = 0$ और $a_2x^2 + b_2x + c_2 = 0$ के लिए,यदि मूल समान अनुपात में हैं,तो $\frac{b_1^2}{b_2^2} = \frac{a_1c_1}{a_2c_2}$ होता है।
दिए गए समीकरण $x^2 + 3x + 2 = 0$ और $x^2 - x + \lambda = 0$ हैं।
यहाँ,$a_1 = 1, b_1 = 3, c_1 = 2$ और $a_2 = 1, b_2 = -1, c_2 = \lambda$ है।
इन मानों को सूत्र में रखने पर:
$\frac{3^2}{(-1)^2} = \frac{1 \times 2}{1 \times \lambda}$
$\frac{9}{1} = \frac{2}{\lambda}$
$9\lambda = 2$
$\lambda = \frac{2}{9}$

(C) माना $(x - \alpha)$ उभयनिष्ठ गुणनखंड है।
अतः $x = \alpha$ दोनों समीकरणों का मूल है।
$\alpha^2 - 11\alpha + a = 0$ --- $(1)$
$\alpha^2 - 14\alpha + 2a = 0$ --- $(2)$
समीकरण $(2)$ में से $(1)$ को घटाने पर:
$(\alpha^2 - 14\alpha + 2a) - (\alpha^2 - 11\alpha + a) = 0$
$-3\alpha + a = 0 \implies \alpha = \frac{a}{3}$
$\alpha = \frac{a}{3}$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(\frac{a}{3})^2 - 11(\frac{a}{3}) + a = 0$
$\frac{a^2}{9} - \frac{11a}{3} + a = 0$
$\frac{a^2 - 33a + 9a}{9} = 0 \implies a^2 - 24a = 0$
$a(a - 24) = 0$
चूंकि $a \neq 0$,इसलिए $a = 24$ है।
$a = 24$ को समीकरणों में रखने पर:
$x^2 - 11x + 24 = (x - 8)(x - 3)$
$x^2 - 14x + 48 = (x - 8)(x - 6)$
अतः उभयनिष्ठ गुणनखंड $(x - 8)$ है।

(D) $x^2 + 3x + 4 = 0$ के लिए,विविक्तकर $D = 3^2 - 4(1)(4) = 9 - 16 = -7 < 0$ है।
चूँकि $a, b, c \in R$ है,सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं।
यदि एक मूल उभयनिष्ठ है,तो दोनों मूल उभयनिष्ठ होने चाहिए।
अतः,गुणांक समानुपाती होने चाहिए: $\frac{a}{1} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = k$।
तब,$\frac{a+c}{b} = \frac{k+4k}{3k} = \frac{5k}{3k} = \frac{5}{3}$।
चूँकि $\frac{5}{3} \neq \frac{4}{3}$ है,इसलिए कथन-$I$ असत्य है।
कथन-$II$ दोनों मूल उभयनिष्ठ होने वाले समीकरणों के लिए एक मानक प्रमेय है,जो सत्य है।

(A) दिया गया समीकरण $x^2 + 2x + 3 = 0$ है।
विविक्तकर $D = b^2 - 4ac = (2)^2 - 4(1)(3) = 4 - 12 = -8$ है।
चूँकि $D < 0$ है,इसलिए मूल काल्पनिक हैं।
यदि वास्तविक गुणांकों वाले दो द्विघात समीकरणों का एक उभयनिष्ठ मूल है,तो दोनों मूल समान होंगे।
अतः,गुणांक समानुपाती होंगे:
$\frac{a}{1} = \frac{b}{2} = \frac{c}{3} = k$
इसका अर्थ है $a = k, b = 2k, c = 3k$।
अतः,अनुपात $a:b:c = 1:2:3$ है।

(D) मान लीजिए उभयनिष्ठ मूल $\alpha$ है। तब:
$\alpha^2 + a\alpha + bc = 0$ ....$(1)$
$\alpha^2 + b\alpha + ac = 0$ ....$(2)$
$(1)$ में से $(2)$ को घटाने पर:
$(a - b)\alpha + bc - ac = 0$
$(a - b)\alpha - c(a - b) = 0$
चूंकि $a \ne b$,$(a - b)$ से भाग देने पर $\alpha = c$ प्राप्त होता है।
$\alpha = c$ को $(1)$ में रखने पर:
$c^2 + ac + bc = 0$
$c(c + a + b) = 0$
चूंकि $c \ne 0$,इसलिए $a + b + c = 0$ प्राप्त होता है। यह सिद्ध करता है कि कथन-$2$ सत्य है।
अब,पहले समीकरण के मूल $c$ और $\beta$ हैं। मूलों के गुणनफल से,$c\beta = bc \implies \beta = b$।
दूसरे समीकरण के मूल $c$ और $\gamma$ हैं। मूलों के गुणनफल से,$c\gamma = ac \implies \gamma = a$।
$\beta = b$ और $\gamma = a$ मूलों वाला समीकरण है:
$x^2 - (a + b)x + ab = 0$
चूंकि $a + b = -c$,समीकरण $x^2 - (-c)x + ab = 0$ यानी $x^2 + cx + ab = 0$ बन जाता है। यह सिद्ध करता है कि कथन-$1$ सत्य है।
चूंकि कथन-$2$ $(a+b+c=0)$ का उपयोग कथन-$1$ के समीकरण के रूप को प्राप्त करने के लिए किया जाता है,इसलिए कथन-$2$,कथन-$1$ की सही व्याख्या है।

(C) दिए गए समीकरण $2ax^2 - 3bx + 4c = 0$ और $3x^2 - 4x + 5 = 0$ हैं।
चूंकि दूसरे समीकरण $3x^2 - 4x + 5 = 0$ का विविक्तकर $D = (-4)^2 - 4(3)(5) = 16 - 60 = -44 < 0$ है,इसलिए इसके मूल काल्पनिक हैं।
यदि दो द्विघात समीकरणों का एक मूल उभयनिष्ठ है और गुणांक वास्तविक हैं,तो दोनों मूल उभयनिष्ठ होंगे।
अतः,गुणांकों का अनुपात समान होगा:
$\frac{2a}{3} = \frac{-3b}{-4} = \frac{4c}{5} = k$
$\frac{2a}{3} = k \Rightarrow a = \frac{3k}{2}$
$\frac{3b}{4} = k \Rightarrow b = \frac{4k}{3}$
$\frac{4c}{5} = k \Rightarrow c = \frac{5k}{4}$
अब,$\frac{a + b}{c}$ का मान ज्ञात करते हैं:
$\frac{a + b}{c} = \frac{\frac{3k}{2} + \frac{4k}{3}}{\frac{5k}{4}} = \frac{\frac{17k}{6}}{\frac{5k}{4}} = \frac{34}{15}$.

(B) माना $\alpha$ समीकरणों $x^2 + px + 2q = 0$ और $x^2 + qx + 2p = 0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$\alpha^2 + p\alpha + 2q = 0$ और $\alpha^2 + q\alpha + 2p = 0$ है।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(\alpha^2 + p\alpha + 2q) - (\alpha^2 + q\alpha + 2p) = 0$.
$\alpha(p - q) - 2(p - q) = 0$.
$(p - q)(\alpha - 2) = 0$.
चूंकि $p \neq q$,इसलिए $\alpha - 2 = 0$ होना चाहिए,जिसका अर्थ है $\alpha = 2$.
$\alpha = 2$ को पहले समीकरण में रखने पर: $(2)^2 + p(2) + 2q = 0$.
$4 + 2p + 2q = 0$.
$2(p + q) = -4$.
अतः,$p + q = -2$.

(C) $5x^2 + 12x + 13 = 0$ के मूल काल्पनिक हैं।
अतः,$\frac{a}{5} = \frac{b}{12} = \frac{c}{13} = k$ (माना)।
कोज्या नियम (Law of Cosines) से,$\cos C = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab}$।
मान रखने पर,$\cos C = \frac{(5k)^2 + (12k)^2 - (13k)^2}{2(5k)(12k)} = 0$।
अतः,$\cos C = 0 \Rightarrow \angle C = 90^\circ$।

(B) माना $\alpha$ समीकरणों $ax^2 + bx + c = 0$ और $bx^2 + cx + a = 0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$a\alpha^2 + b\alpha + c = 0$ और $b\alpha^2 + c\alpha + a = 0$ है।
वज्र-गुणन विधि का उपयोग करने पर:
$\frac{\alpha^2}{ab - c^2} = \frac{\alpha}{bc - a^2} = \frac{1}{ac - b^2}$
प्रथम और तृतीय पद से,$\alpha^2 = \frac{ab - c^2}{ac - b^2}$ है।
द्वितीय और तृतीय पद से,$\alpha = \frac{bc - a^2}{ac - b^2}$ है।
चूँकि $\alpha^2 = (\alpha)^2$,इसलिए:
$(ab - c^2)(ac - b^2) = (bc - a^2)^2$
$a^2bc - ab^3 - ac^3 + b^2c^2 = b^2c^2 - 2a^2bc + a^4$
$a^4 + ab^3 + ac^3 = 3a^2bc$
दोनों पक्षों को $abc$ से विभाजित करने पर $(a, b, c \neq 0)$:
$a^3 + b^3 + c^3 = 3abc$
अतः,$\frac{a^3 + b^3 + c^3}{abc} = 3$।

(C) माना $\alpha$ उभयनिष्ठ मूल है।
समीकरणों को घटाने पर: $(b-1)\alpha = b+1 \implies \alpha = \frac{b+1}{b-1}$.
इस मान को समीकरण में रखने पर $b^3+3b=0$ प्राप्त होता है।
अतः $b(b^2+3)=0$.
इस प्रकार,$|b| = \sqrt{3}$ प्राप्त होता है।

(B) माना उभयनिष्ठ मूल $\alpha$ है। समीकरण $2x^2 + 3x + 4 = 0$ के लिए विविक्तकर $D = 3^2 - 4(2)(4) = -23 < 0$ है।
चूंकि गुणांक वास्तविक हैं,इसलिए मूल सम्मिश्र संयुग्मी होंगे। यदि दो समीकरणों के गुणांक वास्तविक हैं और एक मूल उभयनिष्ठ है,तो दोनों मूल उभयनिष्ठ होंगे।
अतः,समीकरण समानुपाती हैं: $\frac{a}{2} = \frac{b}{3} = \frac{c}{4} = k$ (जहाँ $k \ne 0$)।
इस प्रकार,$a : b : c = 2 : 3 : 4$।

(D) चूंकि $\alpha, \beta, \gamma$ एक $G.P.$ में हैं,इसलिए $\beta^2 = \alpha\gamma$ है।
यह दिया गया है कि समीकरणों $\alpha x^2 + 2\beta x + \gamma = 0$ और $x^2 + x - 1 = 0$ के गुणांक समानुपाती हैं,इसलिए दोनों मूल उभयनिष्ठ होंगे।
अतः,$\frac{\alpha}{1} = \frac{2\beta}{1} = \frac{\gamma}{-1} = k$।
इससे $\alpha = k$,$\beta = \frac{k}{2}$,और $\gamma = -k$ प्राप्त होता है।
अब,$\alpha(\beta + \gamma) = k(\frac{k}{2} - k) = k(-\frac{k}{2}) = -\frac{k^2}{2}$।
साथ ही,$\beta\gamma = (\frac{k}{2})(-k) = -\frac{k^2}{2}$।
अतः,$\alpha(\beta + \gamma) = \beta\gamma$।

(N/A) दिया गया है कि $p, q, r$ $G.P.$ में हैं,इसलिए $q^{2} = pr$ है।
समीकरण $p x^{2} + 2 q x + r = 0$ को $p x^{2} + 2 q x + \frac{q^{2}}{p} = 0$ के रूप में लिखा जा सकता है,जो $p^{2} x^{2} + 2 p q x + q^{2} = 0$ में सरल हो जाता है।
यह $(p x + q)^{2} = 0$ है,इसलिए मूल $x = -\frac{q}{p}$ है।
चूंकि यह $d x^{2} + 2 e x + f = 0$ के लिए एक उभयनिष्ठ मूल है,हम $x = -\frac{q}{p}$ को दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं:
$d(-\frac{q}{p})^{2} + 2 e(-\frac{q}{p}) + f = 0$
$d(\frac{q^{2}}{p^{2}}) - 2 e(\frac{q}{p}) + f = 0$
$\frac{p^{2}}{q^{2}}$ से गुणा करने पर:
$d - 2 e(\frac{p}{q}) + f(\frac{p^{2}}{q^{2}}) = 0$
चूंकि $q^{2} = pr$ है,इसलिए $\frac{p}{q} = \frac{q}{r}$ और $\frac{p^{2}}{q^{2}} = \frac{p}{r}$ है।
$d - 2 e(\frac{p}{q}) + f(\frac{p}{r}) = 0$
$p$ से भाग देने पर:
$\frac{d}{p} - 2 \frac{e}{q} + \frac{f}{r} = 0$
$\frac{d}{p} + \frac{f}{r} = 2 \frac{e}{q}$
यह सिद्ध करता है कि $\frac{d}{p}, \frac{e}{q}, \frac{f}{r}$ $A.P.$ में हैं।

(B) दिए गए समीकरण $x^{2}-x+2\lambda=0$ और $3x^{2}-10x+27\lambda=0$ हैं।
चूंकि $\alpha$ एक उभयनिष्ठ मूल है,यह दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है:
$\alpha^{2}-\alpha+2\lambda=0 \quad ...(1)$
$3\alpha^{2}-10\alpha+27\lambda=0 \quad ...(2)$
समीकरण $(1)$ को $3$ से गुणा करने पर: $3\alpha^{2}-3\alpha+6\lambda=0 \quad ...(3)$
$(2)$ में से $(3)$ घटाने पर: $-7\alpha+21\lambda=0 \Rightarrow \alpha=3\lambda$.
$\alpha=3\lambda$ को समीकरण $(1)$ में रखने पर:
$(3\lambda)^{2}-(3\lambda)+2\lambda=0 \Rightarrow 9\lambda^{2}-\lambda=0$.
चूंकि $\lambda \neq 0$,इसलिए $\lambda=\frac{1}{9}$.
अतः $\alpha=3\lambda=3(\frac{1}{9})=\frac{1}{3}$.
पहले समीकरण से,$\alpha+\beta=1 \Rightarrow \beta=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$.
दूसरे समीकरण से,$\alpha\gamma=\frac{27\lambda}{3}=9\lambda=9(\frac{1}{9})=1 \Rightarrow \gamma=\frac{1}{\alpha}=3$.
अंत में,$\frac{\beta\gamma}{\lambda} = \frac{(2/3)(3)}{1/9} = 18$.

(A) मान लीजिए $p_1(x) = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \gamma)$ और $p_2(x) = (x - \alpha)(x - \beta)(x - \delta)$ है।
दिया गया है $p_1(x)q_1(x) + p_2(x)q_2(x) = x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$।
चूंकि $p_1(x)$ और $p_2(x)$ में $(x - \alpha)$ और $(x - \beta)$ उभयनिष्ठ गुणनखंड हैं,इसलिए $(x - \alpha)(x - \beta)$ को $(x - 1)(x - 2)$ को विभाजित करना चाहिए।
अतः,$\alpha = 1$ और $\beta = 2$ है।
$p_1(x)$ और $p_2(x)$ में $x^2$ के गुणांकों से,$\alpha + \beta + \gamma = 2020 \implies 1 + 2 + \gamma = 2020 \implies \gamma = 2017$ है।
इसी प्रकार,$\alpha + \beta + \delta = 2021 \implies 1 + 2 + \delta = 2021 \implies \delta = 2018$ है।
अतः,$p_1(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 2017)$ और $p_2(x) = (x - 1)(x - 2)(x - 2018)$ है।
मानों की गणना करने पर: $p_1(3) = (3 - 1)(3 - 2)(3 - 2017) = 2 \times 1 \times (-2014) = -4028$ है।
$p_2(1) = (1 - 1)(1 - 2)(1 - 2018) = 0$ है।
इसलिए,$p_1(3) + p_2(1) + 4028 = -4028 + 0 + 4028 = 0$ है।

(C) माना $\alpha$ समीकरणों $f(x)=0$ और $g(x)=0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$\alpha^2 + a\alpha + 2 = 0$ और $\alpha^2 + 2\alpha + a = 0$।
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(a-2)\alpha + (2-a) = 0$।
$(a-2)(\alpha - 1) = 0$।
चूंकि बहुपद भिन्न हैं,इसलिए $a \neq 2$। अतः,$\alpha = 1$।
$f(x)=0$ में $\alpha = 1$ रखने पर: $1^2 + a(1) + 2 = 0 \Rightarrow a = -3$।
समीकरण $f(x)+g(x)=0$ का रूप $(x^2-3x+2) + (x^2+2x-3) = 0$ हो जाता है।
$2x^2 - x - 1 = 0$।
मूलों का योग $-\frac{b}{a} = -\frac{-1}{2} = \frac{1}{2}$ है।

(B) माना $\alpha$ समीकरणों $x^2 - 5ax + 1 = 0$ और $x^2 - ax - 5 = 0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः $\alpha^2 - 5a\alpha + 1 = 0$ और $\alpha^2 - a\alpha - 5 = 0$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर: $(\alpha^2 - 5a\alpha + 1) - (\alpha^2 - a\alpha - 5) = 0$.
$-4a\alpha + 6 = 0 \Rightarrow \alpha = \frac{6}{4a} = \frac{3}{2a}$.
$\alpha = \frac{3}{2a}$ को $x^2 - ax - 5 = 0$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$(\frac{3}{2a})^2 - a(\frac{3}{2a}) - 5 = 0$.
$\frac{9}{4a^2} - \frac{3}{2} - 5 = 0$.
$\frac{9}{4a^2} = \frac{13}{2}$.
$a^2 = \frac{9 \times 2}{4 \times 13} = \frac{9}{26}$.
चूंकि $a > 0$,इसलिए $a = \frac{3}{\sqrt{26}}$.
दिया गया है कि $a = \frac{3}{\sqrt{2\beta}}$,अतः $\sqrt{2\beta} = \sqrt{26}$,जिसका अर्थ है $2\beta = 26$,अर्थात $\beta = 13$.

(B) प्रथम समीकरण $x^2+2px+q=0$ के लिए,मूल $\alpha, \beta$ हैं। अतः,$\alpha+\beta = -2p$ और $\alpha\beta = q$। विविक्तकर $D_1 = 4(p^2-q)$ है।
दूसरे समीकरण $ax^2+2bx+c=0$ के लिए,मूल $\alpha, \frac{1}{\beta}$ हैं। अतः,$\alpha+\frac{1}{\beta} = -\frac{2b}{a}$ और $\alpha\cdot\frac{1}{\beta} = \frac{c}{a}$। विविक्तकर $D_2 = 4(b^2-ac)$ है।
चूँकि $\alpha$ एक उभयनिष्ठ मूल है,हमें $(2ap-2b)\alpha + (aq-c) = 0$ प्राप्त होता है। यदि $b=ap$ और $c=aq$ हो,तो समीकरण समान हो जाएंगे,जो $\beta^2 \neq 1$ के विपरीत है। अतः $b \neq ap$ या $c \neq aq$।
चूँकि $\alpha$ वास्तविक है,$p^2-q \geq 0$ और $b^2-ac \geq 0$ होगा,इसलिए उनका गुणनफल $\geq 0$ होगा। अतः $\text{कथन}-1$ सत्य है।
$\text{कथन}-2$ भी सत्य है,लेकिन यह $\text{कथन}-1$ की सीधी व्याख्या नहीं है। इसलिए विकल्प $B$ सही है।

(B) माना $\alpha$ समीकरणों $x^2+bx-1=0$ और $x^2+x+b=0$ का उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$\alpha^2+b\alpha-1=0$ और $\alpha^2+\alpha+b=0$.
दोनों समीकरणों को घटाने पर:
$(\alpha^2+b\alpha-1) - (\alpha^2+\alpha+b) = 0$
$(b-1)\alpha - (1+b) = 0$
$(b-1)\alpha = b+1$
$\alpha = \frac{b+1}{b-1}$ (जहाँ $b \neq 1$).
$\alpha$ का मान दूसरे समीकरण $\alpha^2+\alpha+b=0$ में रखने पर:
$\left(\frac{b+1}{b-1}\right)^2 + \frac{b+1}{b-1} + b = 0$
$(b-1)^2$ से गुणा करने पर:
$(b+1)^2 + (b+1)(b-1) + b(b-1)^2 = 0$
$(b^2+2b+1) + (b^2-1) + b(b^2-2b+1) = 0$
$2b^2+2b + b^3-2b^2+b = 0$
$b^3+3b = 0$
$b(b^2+3) = 0$
चूँकि $b \neq 0$,इसलिए $b^2+3=0$,जिससे $b^2=-3$,अर्थात $b = \pm i\sqrt{3}$।

(A) चूँकि $\alpha$ उभयनिष्ठ मूल है,यह दोनों समीकरणों को संतुष्ट करता है:
$1) \alpha^2 - 5\alpha + 4a = 0 \implies 4a = 5\alpha - \alpha^2$
$2) \alpha^2 - 2a\alpha - 8 = 0$
दूसरे समीकरण में $2a = \frac{5\alpha - \alpha^2}{2}$ प्रतिस्थापित करने पर:
$\alpha^2 - (\frac{5\alpha - \alpha^2}{2})\alpha - 8 = 0$
$2\alpha^2 - 5\alpha^2 + \alpha^3 - 16 = 0$
$\alpha^3 - 3\alpha^2 - 16 = 0$
पूर्णांक मूलों की जाँच करने पर,$\alpha = 4$ समीकरण को संतुष्ट करता है: $64 - 3(16) - 16 = 0$.
$\alpha = 4$ के लिए,$4a = 5(4) - 16 = 4 \implies a = 1$.
व्यंजक $\alpha^4 - \alpha^3 + 68 = 4^4 - 4^3 + 68 = 256 - 64 + 68 = 260$ है।

(B) माना $y$ समीकरणों $x^2+5ax+6=0$ और $x^2+3ax+2=0$ का एक उभयनिष्ठ मूल है।
अतः,$y^2+5ay+6=0$ और $y^2+3ay+2=0$ होगा।
समीकरण $(1)$ में से $(2)$ घटाने पर:
$(y^2+5ay+6) - (y^2+3ay+2) = 0$
$2ay + 4 = 0$
$2ay = -4$
$ay = -2$
$ay = -2$ को समीकरण $(2)$ में प्रतिस्थापित करने पर:
$y^2 + 3(-2) + 2 = 0$
$y^2 - 6 + 2 = 0$
$y^2 - 4 = 0$
$y^2 = 4$
$y = \pm 2$.

(B) सबसे पहले,द्विघात समीकरण $2x^2+3x-2=0$ का गुणनखंड करें:
$2x^2+4x-x-2=0$ $\Rightarrow 2x(x+2)-1(x+2)=0$ $\Rightarrow (2x-1)(x+2)=0$.
अतः,मूल $x=-2$ और $x=\frac{1}{2}$ हैं।
स्थिति $1$: यदि $x=-2$ उभयनिष्ठ मूल है,तो इसे $3x^2+ax-2=0$ में प्रतिस्थापित करें:
$3(-2)^2+a(-2)-2=0$ $\Rightarrow 12-2a-2=0$ $\Rightarrow 10=2a$ $\Rightarrow a=5$.
स्थिति $2$: यदि $x=\frac{1}{2}$ उभयनिष्ठ मूल है,तो इसे $3x^2+ax-2=0$ में प्रतिस्थापित करें:
$3(\frac{1}{2})^2+a(\frac{1}{2})-2=0$ $\Rightarrow \frac{3}{4}+\frac{a}{2}-2=0$ $\Rightarrow \frac{a}{2} = 2 - \frac{3}{4} = \frac{5}{4}$ $\Rightarrow a=2.5$.
$a$ के सभी संभावित मानों का योग $5+2.5=7.5$ है।